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Otto-Von-Guericke-Universit¨ at Magdeburg Fuzzy Logik unscharfer Fortschritt 31. Januar 2008 Fakult¨ at: Fakult¨ at f ¨ ur Informatik Institut: Institut f ¨ ur Simulation und Grafik (ISG) Verfasser: Sebastian Schiller Sebastian Straube Betreuer: Dipl. Ing. Benjamin Rauch-Gebbensleben Dipl. Ing. Kristina Dammasch

Otto-Von-Guericke-Universitat Magdeburg¨ Fuzzy Logik · Abstract Was ist Fuzzy Logik? Das Wort fuzzy bedeuted soviel wie ” fransig“ oder ” unscharf“. In dieser Seminararbeit

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Otto-Von-Guericke-Universitat Magdeburg

Fuzzy Logikunscharfer Fortschritt

31. Januar 2008

Fakultat: Fakultat fur InformatikInstitut: Institut fur Simulation und Grafik (ISG)Verfasser: Sebastian Schiller

Sebastian StraubeBetreuer: Dipl. Ing. Benjamin Rauch-Gebbensleben

Dipl. Ing. Kristina Dammasch

Abstract

Was ist Fuzzy Logik? Das Wort fuzzy bedeuted soviel wie ”fransig“ oder ”unscharf“. In dieser Seminararbeitwerden die Grundlagen der Fuzzy Logik verdeutlicht. Dabei wird geklart, wo sich die Fuzzy Logik eingliedert undwelche Grundlagen benotigt werden um den Modellierungsprozess zu verstehen. An einem Beispiel wird danngezeigt, wie man aus der realen Welt zu einem modellierten System kommt. Dabei geht es immer um ein Problem,wie kriegt man die realen(analogen) Probleme, in ein digitales System. Wobei man immer unter der Pramisse steht,wie komplex muss das System sein damit es unter realen Voraussetzungen uberhaupt funktioniert.

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Inhaltsverzeichnis1 Motivation 4

2 Grundlagen 52.1 klassische Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Fuzzy Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Normalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Konvexitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Zugehorigkeitsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Fuzzy Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.1 Minimum Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.2 Maximum Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.3 Komplementbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 linguistische Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Prozess der Fuzzy Logik 103.1 Fuzzifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Inferenzschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Defuzzifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Spezielles Anwendungsgebiet 134.1 Regelungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Fazit 17

6 Literaturverzeichnis 18

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Abbildungsverzeichnis1 Grauwertbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Gemalde von Wassily Kandinsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Grauwertbildung anhand des Gemaldes von Wassily Kandinsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Operationen klassischer Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Konvexe / nicht konvexe Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Standard Zugehorigkeitsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Durchschnitt Fuzzy Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Vereinigung Fuzzy Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Komplement Fuzzy Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810 linguistische Modifikatoren (Quelle: Hamid R.Tizhoosh, Fuzzy-Bildverarbeitung) . . . . . . . . . 911 Fuzzifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012 Inferenzdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113 Inferenzdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215 Zusammenhang Große/Luftmenge/Innendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316 Fuzzifizierung Luftmenge/Luftdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417 Fuzzifizierungsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518 fuzziges Ausgangssignal mit Schwerpunkt aus Druck und Luftmenge . . . . . . . . . . . . . . . 1619 Verhaltnis von Systemkomplexitat und Modellgenauigkeit (Quelle: Hamid R.Tizhoosh, Fuzzy-

Bildverarbeitung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

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1 MotivationWie gebe ich in einem diskretem System die Werte ”fast“, ”ahnlich“ oder ”schnell“ ein? Mit der Fuzzy Logik wirddas moglich. Nehmen wir als Beispiel die Bildverarbeitung. Man nehme ein Bild was aus 256 Graustufen besteht.Jetzt mochte man genau diese Informationen aus dem Bild holen, die die Werte ”dunkelgrau“ annehmen. Ohne dieFuzzy Logik wurde man wahrscheinlich einen intuitiven Algorithmus benutzen. Erstmal musste man festlegen was

”dunkelgrau“ bedeuted. Nehme man daher an ”dunkelgrau“ entspricht dem Grauwert fur einen Pixel der dem Wertkleiner gleich 57 ist [siehe Abbildung 1(a)]. Diesen Grauwert wird 0 bzw. schwarz zugeordnet. Nun nehmen wirdie Grauwerte eines Pixelbereichs, der fur die Grauwerte von 0 bis 57 ebenfalls den Grauwert 0 zuordnet und demBereich von 57 bis 107 nicht einschrankt [siehe Abbildung 1(b)]. Nehmen wir ein Bild von Wassily Kandinsky1.

(a) Grauwerte bei 57 (b) Grauwerte zwischen 57und 107

Abbildung 1: Grauwertbildung

Nun sucht man alle ”dunkelgrauen“ Werte heraus (siehe Abbildung 3(a)). Man sieht, dass sehr viele Informationen

Abbildung 2: Gemalde von Wassily Kandinsky

des Bildes verloren gehen. Die Fuzzy Logik nimmt jetzt nicht nur einen Wert fur ”dunkelgrau“, sondern ein Set vonGrauwerten. Damit lassen sich mehr Informationen aus dem Bild herausholen [siehe Abbildung 3(b)]. Die Abbil-dung 3(c) zeigt den Informationsgewinn durch die angewandte Fuzzy Logik. Sicherlich lasst sich das Problem auch

(a) Grauwerte bei 57 (b) Grauwerte zwischen 57 und 107 (c) negativ von (b)

Abbildung 3: Grauwertbildung anhand des Gemaldes von Wassily Kandinsky

ohne Fuzzy Logik losen. Das Problem was dabei entsteht, ist die Komplexitat des zu modellierenden Systems. Beieinem Bild ist die Komplexitat wahrscheinlich noch uberschaubar, wenn man aber in die Anwendungsgebiete derFuzzylogik schaut (z.B. in der Automobilindustrie) wird man schnell erkennen, dass die Komplexitat der Systemesehr hoch ist. Mit mathematischen Modellen stoßt man sehr schnell an die Leistungsgrenzen. Die Fuzzy Logik istauch ein mathematisches Modell, das ein anderes System benutzt um die gesuchte Funktion zu diskretisieren, dazuwird die gesuchte Funktion approximiert. Im nachsten Kapitel werden Sie naheres uber die Grundlagen erfahren.

1Russicher Maler,Graphiker,Kunsttheoretiker: 1866 - 1944

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2 Grundlagen

2.1 klassische MengenKlassische Mengen sind all diejenigen Mengen, die auch in der Mathematik verwendet werden. Sie werden da-zu genutzt, reale Objekte in ein mathematisches System unterzubringen. Die klassischen Mengen haben gewis-se Operationen, die auch in der Fuzzy Logik gelten. Ob ein Element in der Menge liegt, kann mit einer Zu-gehorigkeitsfunktion beschrieben werden.

fA (x) ={

1 fur f alls x ∈ A0 fur f alls x /∈ A

Beispiel2 fur eine klassische Menge, aus einer Grundmenge X = {1,2, . . . ,7}. Wobei die Elemente x die Nachbarnvon ”4“ sein sollen. Daraus ergibt sich folgende Menge: Aklassisch = {3,4,5}. Das heisst die Menge besteht aus denNachbarn 3, 5 und sich selbst. Angenommen die Mengen A und B liegen in X, dann gibt es folgende Operatoren:

Vereinigung A∩B := {x | x ∈ A∨ x ∈ B}Durchschnitt A∪B := {x | x ∈ A∧ x ∈ B}

Komplement A := {x | x /∈ A, x ∈ X}

Diese Operationen kann man auch auf aussagenlogische Ausdrucke zuruckfuhren. Deshalb mochte ich an dieser

(a) Vereinigung (b) Durchschnitt (c) Komplement

Abbildung 4: Operationen klassischer Mengen

Stelle auf die Operatoren eingehen, die uns die Logik bietet. Die Logik wird getrennt in binare Logik, mehrwer-tige Logik, dynamische Logik und die temporale Logik. Ich mochte betonen das wir in der Fuzzy Logik Mengenverwenden, die auch in der binaren logk verwendet werden. In der binaren Logik gibt es drei Grundoperatoren,das sind UND(∧), ODER(∨) und NEGATION(¬). Folgendes Beispiel soll verdeutlichen, wie die Operatoren an-zuwenden sind.

C D C ∧ D C ∨ D ¬C1 1 1 1 01 0 0 1 00 1 0 1 10 0 0 0 1

Aus diesem Zusammenhang ergeben die Operationen von Mengen folgende Beziehungen:

Vereinigung C∪D := C∧D

Durchschnitt C∩D := C∨ D

Komplement C := ¬C

Das heisst, man hat eine Menge, die man mit einem logischen Operator verknupft. Wenn Sie sich damit intensiverauseinandersetzen wollen, empfehle ich das Buch ”Logik fur Informatiker. B.G. Teubner, Stuttgart, 2005“ vonProfessor Dr. Jurgen Dassow

2Quelle: Hamid R.Tizhoosh, Fuzzy-Bildverarbeitung

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2.2 Fuzzy MengenIm Gegensatz zu klassischen Mengen, wird die Zugehorigkeitsfunktion in der Fuzzy Logik mit µA bezeichnet.Wobei jedem Element x in der Grundmenge X eine reelle Zahl im abgeschlossenen Intervall [ 0, 1] zugeordnetwird.

A = {( x,µA ( x)) | x ∈ X}

Wenn man von oben das Nachbarmengenbeispiel aufgreifen, dann ist die Notation der Fuzzy Menge folgenderma-ßen:

Aklassisch = {3,4,5}

AFuzzy ={

0,61

,0,92

,1,03

,1,04

,1,05

,0,96

,0,67

}Daraus kann man ablesen, dass die Nachbarn in der Umgebung von ”4“ eine unscharfe Menge bilden. Man kanndie Nachbarn eindeutig identifizieren, weil µA = 1 bzw. 100% ist. Wie man sieht, gehoren die restlichen Wertenicht mehr zu 100% in unseren Ergebnisraum. Aus dem gesamten Mengenbereich gehoren {2,3} zu 90% und{1,7} zu 60% zur Zielmenge. Was kann man daraus fur die Fuzzy Mengen ableiten? Zum Einen sieht man anhanddes Beispiels eine gewisse Unscharfe der Zielmenge. Die Zugehorigkeitsfunktionen dieser Zielmenge kann voneinem Experten festgelegt werden. Spater zeige ich Ihnen auch, wie diese Zugehorigkeitsfunktionen aussehenkonnen. Eine Anforderung an die Zugehorigkeitsfunktionen ist, dass die Funktion normalisiert werden muss undgleichzeitig Konvexitat erfullt.

2.2.1 Normalisierung

Jede Fuzzy Menge kann alle Werte im Intervall von [0 bis 1] annehmen, d.h. die Funktionen mussen beschranktwerden bzw. das Maximum der Zugehorigkeitsfunktionen µ(x) = 1 muss gesetzt werden. Daraus folgt, dass dieFunktionen auf µ(x) = 1 skaliert werden mussen.

2.2.2 Konvexitat

Die Konvexitatseigenschaft ist eine sehr wichtige geometrische Eigenschaft. Ohne diese Eigenschaft ware es nichtmoglich sinnvolle Ergebnisse zu erzielen. Man kann sagen, dass eine Menge Konvex ist, wenn man beliebigeEcken der Menge miteinander verbindet und die daraus resultierenden Vektoren innerhalb der Menge liegen. Diese

(a) Konvexe Menge (b) nicht Konvexe Menge

Abbildung 5: Konvexe / nicht konvexe Menge

Eigenschaften sind Vorraussetzung der Zugehorigkeitsfunktion.

2.2.3 Zugehorigkeitsfunktion

Die Zugehorigkeitsfunktion kann als Gutemittel zwischen unserer realen Welt und der mathematischen Welt be-trachtet werden. Um so mehr Zustande diese Funktion annehmen kann, desto besser konnen die Funktionen appro-ximiert werden. In Abbildung 6 sehen Sie verschiedene Formen von Zugehorigkeitsfunktionen. Das Dreieck stelltin der Linguistik die Aussage ”fast/genau“ wieder. Wobei das Trapez die Aussage”etwa/zwischen“ wiederspiegelt.Die Glockenkurve ist noch etwas allgemeiner und spiegelt in unserem Wortschatz ”ungefahr“ dar. Dabei mussbeachtet werden, dass jede konkave Funktion quasikonkav ist, jedoch ist die Gaußsche Glockenkurve nur quasi-konkav, aber nicht konkav und damit ein Spezialfall. Die Z-Form hingegen ist relativ allgemein und man konntees linguistisch mit ”vielleicht“ ganz gut beschreiben. Da die Z-Form ein teil der Glockenkurve ist, ist sie auch eineAusnahme. Die Wahl der Zugehorigkeitsfunktion hat bereits etwas mit der Gute des Ergebnisraumes zu tun. Durch

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Erfahrungen und Expertenwissen kann der Mensch intuitiv einschatzen, welche Kurve fur welches Problem ambesten geeignet ist.(Quelle: Hamid R.Tizhoosh, Fuzzy-Bildverarbeitung)

(a) Dreick (b) Trapez (c) Glockenkurve (d) Z-Form

Abbildung 6: Standard Zugehorigkeitsfunktionen

2.3 Fuzzy SetsFuzzy Sets sind Zugehorigkeitsfunktionen, die Operationen der Mengenlehre auf die Fuzzy Mengen erweitert.Wie auch in der Mengenlehre gibt es die Operationen Vereinigung, Durchschnitt und Komplement. Mit dem Un-terschied, dass die Menge durch eine oder mehrere Zugehorigkeitsfunktion beschrieben wird. Als nachstes werdendie ”neuen“ Operationen im Detail angeguckt. Als Grundlage benutze ich die zwei Fuzzy Mengen A und B auf derGrundmenge X.

2.3.1 Minimum Operator

Der Minimum Operator ist gleichzusetzen mit der Schnittmenge von der klassischen Menge. Die Zugehorigkeitsfunktionensind µA und µB.

µA∩B (x) = min(µA (x) , µB (x)) fur ∀x ∈ X

Abbildung 7: Durchschnitt Fuzzy Menge

2.3.2 Maximum Operator

Der Maximum Operator ist die Vereinigung der Fuzzy Menge. Die Zugehorigkeitsfunktionen sind ebenfalls µAund µB.

µA∪B (x) = max(µA (x) , µB (x)) fur ∀x ∈ X

2.3.3 Komplementbildung

Die Zugehorigkeitsfunktionen sind µA und µA. Wobei µA das Komplement zu µA darstellt.

µA (x) = 1−µA (x) fur ∀x ∈ X

Zum Abschluss der Einfuhrung in die Grundlagen der Fuzzy Logik, mochte ich noch zeigen, wie sich diese Ope-ratoren wertmaßig auf bestimmte Zugehorigkeitsfunktionen auswirken.

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Abbildung 8: Vereinigung Fuzzy Menge

Abbildung 9: Komplement Fuzzy Menge

Element µA µB Durchschnitt Vereinigung Komplement1 0,0 1,0 0,0 1,0 1,02 0,3 0,9 0,3 0,9 0,73 0,5 0,7 0,5 0,7 0,54 0,8 0,4 0,4 0,8 0,25 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0

Im nachsten Schritt wird ein grobes Konzept betrachtet. Nun ist die Frage zu klaren, wie man von der sprachlichenEbene zur mathematischen Ebene gelangt.

2.4 linguistische MittelWelche Worter benutzt man in der deutschen Sprache, um bestimmte Vorgange naher zu beschreiben? Es sind dieAdjektive, welche auch als Eigenschaftswort bezeichnet werden. Fruher in der Schule sagte man auch ”Wiewort“.Wie kommt man von diesem Eigenschaftswort zu einem komplexen System? Erstens muss man fur diese Adjektiveeinen bestimmten Wertebereich festlegen. Das Menschliche daran ist, dass jeder diese Adjektive auf seine Artinterpretiert. Man weiß was gemeint ist, wenn man etwas mit Adjektiven beschreiben mochte, kann aber nichtgenau festlegen, um welchen Wert es sich handelt. Diese Interpretation der Werte hangt von unserer Erfahrung abund ist subjektiv. Es gibt Tabellen wo man nachlesen kann, welches Adjektiv welchen Wert annehmen kann. Jenachdem wer und wie diese Tabellen erfasst wurden, unterscheiden sich die Ergebnisse. Jedoch sind sie ein guterStartpunkt, um unsere Adjektive durch Zahlen darzustellen. Anhand einer Abbildung lasst sich der Prozess derQuantifizierung ganz gut erlautern.

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Abbildung 10: linguistische Modifikatoren (Quelle: Hamid R.Tizhoosh, Fuzzy-Bildverarbeitung)

Die linguistischen Variablen werden durch syntaktische Regeln in Terme zusammengefasst. Diese konnen anhandeiner ”Ubersetzungstabelle“ und treffender Zugehorigkeitsfunktion in Zahlenwerte umgewandelt werden. Anhandder kennengelernten Grundlagen ist man nun in der Lage, zu dem eigentlichen Prozess der Fuzzy Logik zu kom-men.

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3 Prozess der Fuzzy Logik

3.1 FuzzifizierungUm Fuzzifizierung zu erlautern, braucht man die Grundlagen. In diesem Moment sollten Sie wissen, was eine Fuz-zy Menge ist und welche Eigenschaften sie hat. Zusatzlich wird der Begriff Fuzzy Sets benotigt. Durch Abbildung10 ist bereits grob dargestellt, dass ein linguistischer Term etwas mit unseren Zugehorigkeitsfunktionen zu tun hat.Wie sieht es nun genau aus? Die Zugehorigkeitsfunktionen wird benutzt, um unsere Zielmenge zu quantisieren.Siehe Abbildung 11. Die Zugehorigkeitsfunktion µ(x) bildet unsere Eingange (Inputs) auf unscharfe Mengen ab.

Abbildung 11: Fuzzifizierung

Einfach gesagt wandeln sich unsere reellen Werte aus dem ”echten“ Leben in unscharf formulierte Werte um. Imabgebildeten Diagramm kann man die in den Grundlagen beschriebenen Funktionsformen erkennen. In diesemFall die Dreieckfunktionen, die sich uberschneiden. Diese Fuzzifizierung ist recht einfach zu verstehen. Da nun dierealen Werte in der gewunschten Form sind, kann das Inferenzschema durchlaufen werden.

3.2 InferenzschemaIm Inferenzschema werden nun die fuzzifizierten Werte in Regeln verarbeitet. Dabei besteht die Inferenz ausRegeln, einem aktuellen Ereignis und einer Schlußfolgerung. Die Inferenz ersetzt das aktuelle Ereignis unterBerucksichtigung der Regeln durch ein neues Ereignis. Regeln setzen sich aus [WENN - DANN] Beziehungenzusammen, wobei die Bedingungen mit einem logischen UND verknupft werden und die Regeln mit einem logi-schen ODER. Das gesamte Schema wird als Regelbasis bezeichnet. Beispiel fur eine Regelbasis:

• Regel 1: WENN(Temperatur ”hoch“) DANN(Heizungsventil ”fast“ zu)∨• Regel 2: WENN(Temperatur ”niedrig“) DANN(Heizungsventil ”weit“ auf)

• Regel 2(Symbol Notation): (Temperatur ”niedrig“)→ (Heizungsventil ”weit“ auf)

Die Festlegung der Regeln basieren auf Erfahrungen und Expertenwissen. In dem Kapitel ”spezielle Anwendungs-gebiete“ werde ich an einem Beispiel zeigen, wie man diese Regeln einsetzen kann. Unser System kann nunnichts mit den Ereignissen aus dem Inferenzschema anfangen. Es gibt zwei unterschiedliche Verfahren, um dieSchlussfolgerungen aus dem Inferenzschema herauszuholen. Das Eine ist das Produktverfahren und das Ande-re das Minimumverfahren. Ich werde mich ausschließlich mit dem Minimumverfahren beschaftigen. Fur jedeRegel(WENN-DANN-Beziehung) wird ein seperates Diagramm erzeugt. In Abbildung 12(a) habe ich die einzel-nen Diagramme bereits zusammengefasst. Der Zugehorigkeitswert der WENN-Bedingung wird auf die Schlußfol-gerung(DANN) abgebildet [Abbildung: 12(b)], dabei ist µ(x) in beiden Diagrammen gleich. Jetzt bestimme ich inunserem Schlußfolgerungsdiagramm genau den Bereich, der von 0 bis zum Zugehorigkeitsgrad µ(x) reicht. Andersgesagt, ich bilde das Minimum der DANN-Inferenz. Das Diagramm nimmt jetzt eine Trapezform an [Abbildung:

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13(a und b)]. Ist dieser Prozess erstmal durch alle Regeln gelaufen, kann ich die entstandenen Trapezflachen mit-einander verknupfen. Hier hilft mir die bekannte ODER-Verknupfung. Das Resultat sollte dann in etwa so aussehenwie in [Abbildung: 13(c)].

(a) ”WENN-Bedingung“ Temperatur (b) Inferenz Heizungsventil

Abbildung 12: Inferenzdiagramm

(a) Fuzzymenge mit Zugehorigkeit 0,4 (b) Fuzzymenge mit Zugehorigkeit 0,6 (c) Schlussfolgerung der gesamten Regeln

Abbildung 13: Inferenzdiagramm

Jetzt muss man diese ”unscharfen“ Werte wieder in reale Werte konvertieren. Diesen Abschnitt des Prozesses nenntman Defuzzifizierung.

3.3 DefuzzifizierungIn der Defuzzifizierung muss man es nun schaffen, die Fuzzifizierung ”umgekehrt“ ablaufen zu lassen. Dazubraucht man alle Ereignisse die aus dem Inferenzschema entstehen und bildet diese wieder in einem Singleton-Diagramm ab. Vorher muss man jedoch den Schwerpunkt der Gesamtschlussfolgerung unserer Regelbasis finden.Dies entspricht dem Mittelwert der Gesamtflache in Abbildung 13(c). Der Schwerpunkt einer Flache lasst sichdurch folgende Formel berechnen.

Mathematisch: xs =1A

∫A

xdA

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(a) Schwerpunkt von A (b) Singleton Diagramm von (a)

Abbildung 14: Schwerpunkt

Die Berechnung des Schwerpunktes bringt mich zum Ende des Fuzzy Prozesses. Der Schwerpunkt beschreibt denrealen Wert, den gesuchten Ausgang(Output). Diesen Wert kann man jetzt an eine Steuerung ubergeben. Diesekann dann die Maschine oder den Prozess nach den gewunschten Regeln einstellen. Naturlich wird diese Theorietaglich in der Praxis umgesetzt. Das konnen alltagliche Dinge sein, wo man die Fuzzy Logik gar nicht vermutet.Deswegen gebe ich noch einen umfangreichen Ausblick auf ein spezielles Anwendungsgebiet.

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4 Spezielles AnwendungsgebietDie Fuzzy Logik wird in den verschiedensten Anwendungsbereichen verwendet. Wie zum Beispiel in der

• Automatisierungstechnik

• Automobiltechnik

• Betriebswirtschaft

• Bildverararbeitung

• Konsumelektronik

• Kunstliche Intelligenz

• Medizintechnik

• Neuronale Netze

• Regelungstechnik

• Sprachbeschreibung

um nur einige zu nennen. Ich mochte mich hingegen auf das Anwendungsgebiet der Regelungstechnik beschranken.

4.1 RegelungstechnikIch mochte ein relativ einfach scheinendes Beispiel aus der Regelungstechnik zeigen: Das Aufpusten eines Ballonsmit einer Luftballon-Aufblasmaschine. Auf dem ersten Blick erscheinen die vorkommenden Ereignisse sehr trivialzu sein. Allerdings gibt es beim Aufblasen des Ballons eine ”kleine“ Schwierigkeit, die ein mathematisches Mo-dell sehr komplex werden lasst.(Quelle: Drosser, Christoph: Fuzzy-Logik—Methodistische Einfuhrung in krausesDenken, Rowohlt, Hamburg, 1994)

Angenommen, ein mathematisches Modell wurde einen Grenzwert fur den Druck eines Ballons errechnen. DieBallon-Aufblasmaschine soll aufhoren zu pusten, wenn der Ballon diesen Druck erreicht hat. Die Problematikhierbei ist aber, das der Anfangsdruck den man zum Aufpusten eines Ballon benotigt, hoher ist, als der Druck derden Ballon zum Platzen bringt.

Abbildug 15 zeigt gut, wie das Verhaltnis zwischen Druck und Luftmenge, bei Luftballons verschiedener Große,zusammenspielt. A, B und C seien Luftballons. A ist ein kleiner Luftballon, B ist mittelgroß und C groß. Die

Abbildung 15: Zusammenhang Große/Luftmenge/Innendruck

Funktionen der Luftballons beschreiben jeweils das Verhaltnis zwischen Luftmenge und Luftdruck. Man erkenntmit einem Blick, dass dieses System nicht linear ist. Dadurch ist es ein sehr gutes Anwendungsbeispiel fur dieFuzzy-Logik. Es verlangt nach Definition, also einer Fuzzifizierung der Eingange. Doch was sind in diesem Bei-spiel eigentlich die realen Eingangswerte?

Nach kurzem uberlegen ist die Antwort gefunden. Die ”unscharf“ abzubildenen Werte sind zum Einen der Druck,der auf die Gummiwand der Ballons ”druckt“ und zum Anderen die Luftmenge die in den Ballons ist.

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Ein Regelungstechniker, der ohne Fuzzy-Logik diese Maschine modellieren wollte, wurde wahrscheinlich dieGummiausdehnung mit einbeziehen. Welche sich auch berechnen lasst. Diese benotigen wir zur Modellierung indiesem Beispiel nicht.

Man unterteilt stattdessen unseren Druck und die Luftmenge in Fuzzy Begriffe: hoher Druck, mittelhoher Druck,niedriger Druck, große Luftmenge, mittelgroße Luftmenge und kleine Luftmenge. Durch die beiden Diagramme

(a) (b)

Abbildung 16: Fuzzifizierung Luftmenge/Luftdruck

wird schnell klar, dass man den Druck und die Luftmenge nun in fuzzifizierter Form dargestellt hat. Hierbei kannman, wie schon in dem Prozess der Fuzzy-Logik deutlich gemacht, eine Zugehorigkeitsfunktion zu den jeweiligenFuzzy Mengen finden.

Ab wann platzt denn nun ein Ballon und wann muss man das Pusten der Maschine stoppen?

Auch diese Frage ist schnell geklart. Man stellt sich vor, dass die Luftballon-Aufblasmaschine standardmaßigan ist und Luft in den Ballon pustet bis die Maschine den ”Stopp-Befehl“ bekommt.

Denkt man an den Prozess der Fuzzy-Logik zuruck, fallt in der chronologischen Reihenfolge der Begriff Infe-renz ins Auge. Doch was sagt er gleich aus. Inferenz bedeutet Schlußfolgerung und diese kann man durch Regelnerhalten. Also muss man fur das System eine Regelbasis aufstellen und anwenden.

Wurde man jetzt alle Regeln aufstellen, die die verschiedenen Zustande und ihre Schlußfolgerungen beschreiben,konnte man bis zu 18 Regeln aufschreiben. Ich mochte unsere Modellierung einfach halten, deshalb verwende ichweniger Regeln. Da man festgelegt habt, dass die Aufblasmaschine standardmaßig lauft muss man nur die Regelnbetrachten, die die Maschine zum stoppen bringen.

Anhand der Abbildung 15 kann man ein Kriterium finden, ab wann so ein Ballon eigentlich platzen wurde.

Ist die Luftmenge in den Ballons klein, soll die Maschine generell nicht stoppen, obwohl der Druck sehr starkist. Diese entsteht durch den gewahlten Anfangsdruck, der uberwunden werden muss.

Bei einer mittelgroßen Luftmenge und hohem Druck, was wieder fuzzige Werte sind, wurden die kleinen undmittelgroßen Ballons anfangen zu platzen. Also muss man hier die erste Regel aufstellen.

Regel 1: WENN die transportierte Luftmenge mittelgroß und der Innendruck hoch ist, DANN hore auf zupusten!

Also wendet man das gelernte Inferenzschema auf dieses Beispiel an. Doch was ist nun mit dem großen Ballon?Wenn die Luftmenge mittelgroß ist und der Innendruck hoch ist, wird er noch nicht platzen. Der große Ballonplatzt erst bei einer großen Luftmenge, wobei der Druck ”nur“ mittelhoch ist. Also leitet man aus dieser Tatsacheunsere zweite Regel ab.

Regel 2: WENN die transpotierte Luftmenge groß und der Innendruck mittelhoch DANN hore auf zupusten!

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Dies sind auch schon alle unsere Regeln die benotigt werden, um die Luftballon-Aufblasmaschine zu stoppen. Inallen anderen Fallen soll sie nicht aufhoren den Ballon aufzupusten.

Diese Regeln sind nun sehr stark vereinfacht, um deutlich zu machen, wie einfach ein System mit der Fuzzy-Logik zu beschreiben ist. Wenn dieses System genauer betrachtet wird, stellt man fest das der Ausgang entwederpusten oder nicht pusten ist. Außerdem musste jede Ballongroße ihre eigenen Regeln besitzen. Angenommen, indem neuen System werden alle Regeln berucksichtig, so kann man den Fuzzifizierungsprozess abarbeiten. Denndie Großen der Luftmengen und die des Innendrucks mochte man beibehalten. Um einen besseren Einblick zu er-halten, wird der kleine Luftballons ausgewahlt. Diese platzen bei hohem Druck und ”fast“ mittelgroßer Luftmenge.Dies wird an mehreren Diagrammen veranschaulicht. In dieser Abbildung sieht man den Prozess der Fuzzifizie-

Abbildung 17: Fuzzifizierungsprozess

rung fur das Anwendungsbeispiel. Im oberen Bildbereich ist die Zugehorigkeit der Luftmenge zu sehen. Diesewird benotigt, wenn zufallig ein Wert fur Druck und Luftmenge eines kleinen Luftballons ausgewahlt wird. DieseZugehorigkeit bildet dann, wie es aus der Theorie bekannt ist, eine Fuzzymenge. Diese Flache wird zusammenmit der Menge, die man aus dem unterem Teil des Bildes erhalt, zusammen auf einem Mengenbereich abgebildet.In der Mitte der Grafik erkennt man diesen zusammengesetzten Mengenbereich. Von diesem Bereich wird derSchwerpunkt gebildet, damit man die fuzzigen Mengen wieder in reale Werter zuruckwandeln kann. Nun nimmtman den Schwerpunkt, der sich aus den Fuzzy Mengen des Drucks und der Luftmenge ergibt, und stellt ihn inRelation zu dem Ausgangssignal dar.

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Abbildung 18: fuzziges Ausgangssignal mit Schwerpunkt aus Druck und Luftmenge

Die Abbildung( 18 ) zeigt das Ausgangssignal in fuzzifizierter Form. Dadurch kann man den Zugehorigkeitsgradder Dreieck- und Trapezfunktion mit Hilfe des gebildeten Schwerpunktes bestimmen. Wenn man jetzt eine Weileauf das Diagramm schaut, erkennt man automatisch welche Menge zu unserem Ausgangssignal gehort. Von dieserist nun nur noch der Schwerpunkt zu berechnen und dann kann die Luftballon-Aufblasmaschine fleißig pusten.

ABER Woher weiß man uberhaupt, ob das System in der Realitat funktionieren wird? Kann es nicht sein, dass einpaar der Luftballons zerplatzen? Diese Frage kann man eindeutig mit ja beantworten. Das hangt mit den definier-ten Fuzzy Sets und deren Zugehorigkeitsgrad zusammen. Allgemein hangt es auch mit dem Experten zusammen,der die Regeln des Systems erstellt. Wie in den Grundlagen schon festgestellt wird, hangt das mit der subjektivenErfahrung und dem Expertenwissen unmittelbar zusammen. Daraus folgt, dass die Qualitat des Modells stark vomModellierer abhangt. Ob dieses Modell in der Realitat funktioniert, kann man z.B. durch Simulationsumgebungenherausfinden. Leider bleibt zur Realisierung immer noch ein gewisses ”Restrisiko“. Auch wenn die Fuzzy Logikzur mathematischen Logik relativ ungenau ist, kann man durch die fuzzifizierte Vereinfachung der Ausgangsregelnfunktionierende komplexe Modelle beschreiben.

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5 FazitAn meinem Beispiel der Luftballonaufblasmaschine sieht man, dass selbst einfachste Prozesse einen hohen Gradan Komplexitat annehmen konnen. Durch dieses ”einfache“ Beispiel, sollte man gut erkennen konnen, wie dieFuzzy-Logik arbeitet. In der realen Welt sind die Anwendungen sehr viel komplexer, als es in dem Beispiel darge-stellt wird. Der Nachteil von mathematischen Modellen ist die hohe Komplexitat mit dem Vorteil der Genauigkeit.Abbildung 19 verdeutlicht den Zusammenhang zwischen der Systemkomplexitat und der Modellgenauigkeit. Umso genauer die Anforderungen an ein System ist, desto schwieriger wird das Handling der Systemumgebung. Mitmathematischen Gleichungen kann man eine hohe Genauigkeit erzielen. Die Leistungsfahigkeit nimmt jedoch rapi-de ab. Mit modellfreien Methoden, wie neuronale Netze und Fuzzy Logik, kann das Wissen uber Systemverhaltenund Zusammenwirkungen die Komplexitat reduzieren. Ist es nicht so, dass sich die Komplexitat eines Systemsreduziert, um so mehr man daruber weiß? Durch die ”statischen“ Inferenzregeln ist die Fuzzy-Logik im gewissen

Abbildung 19: Verhaltnis von Systemkomplexitat und Modellgenauigkeit (Quelle: Hamid R.Tizhoosh, Fuzzy-Bildverarbeitung)

Maße begrenzt. Hat man einmal ein Modell entwickelt, ist es schwer es an veranderte Bedingungen anzupassen.An der Stelle stoßt die Fuzzy Logik schnell an ihre Grenzen. In dem Sinne, dass die einmal festgetzten Regelnnicht mehr der Realitat entsprechen. Durch Neuronale Netze konnen Fuzzy Systeme ”lernen“. Sie passen sichIhrer Umgebung bis zu einem gewissen Grad an. Das wird beispielsweise in der Robotik genutzt. Auf diesem Ge-biet der Wissenschaft versuchen Forscher intelligente Roboter zu programmieren. Dabei spielt die Fuzzy-Logik inKombination mit Neuronalen Netzen eine sehr große Rolle. Diese Entwicklung stellt einen sehr großen Fortschrittfur wirtschaftliche Anwendungen dar. Der ”unscharfe“ Fortschritt.

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6 Literaturverzeichnis

• Dassow, J.: Logik fur Informatiker. B.G. Teubner, Stuttgart, 2005

• Drosser, Christoph: Fuzzy-Logik—Methodistische Einfuhrung in krauses Denken, Rowohlt, Hamburg, 1994

• Schulte, Ulrich: Einfuhrung in die Fuzzy-Logik—Fortschritt durch Unscharfe, Franis, Munchen, 1993

• Tizhoosh, Hamid R.: Fuzzy-Bildverarbeitung—Einfuhrung in die Theorie und Praxis, Springer, Berlin, 1998

• Traeger, Dirk H.: Einfuhrung in die Fuzzy-Logik, Teubner, Stuttgart, 1993

• Zimmermann, Hans-Jurgen u. Constantin v. Altrock: Bd.2 Anwendung, Ouldenbourg, Munchen, 1995

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