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 Ozeanzirkulation im Wassertank Laborkurs moderne Physik Florentin Spadin Silvan Etter Herbstsemester 2011 Universit ¨ at Bern

Ozean Zirkulation

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Ozeanzirkulation im WassertankLaborkurs moderne Physik

Florentin Spadin

Silvan Etter

Herbstsemester 2011

Universitat Bern

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Theorie 3

2.1 Grundlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Navier-Stokes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Hydrostatisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Geostrophisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Taylor Columns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Ekman Layers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Hadley Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Taylor-Column 9

4 Ekman-Layers 10

4.1 Ekman-Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Windscherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Barokline Verwirbelungen 12

6 Diskussion 13

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1 EINLEITUNG 2

1 Einleitung

Im Experiment “Ozeanzirkulation im Wassertank“ sollen verschiedene Stromungs-phanomene nachgestellt werden, wie sie in Ozeanen oder der Atmosphare zu fin-den sind. Die mathematisch-physikalische Grundlage bildet die Navier-Stokes-Gleichung, welche die Vorgange erklart. Zur praktischen Realisierung benut-zen wir einen Wassertank, der auf eine drehbare Plattform gestellt wird. Dannkonnen die Wassermenge und die Rotationsgeschwindigkeit variiert werden.Durch ein Kuhlelement in der Mitte des Tanks oder ein Hindernis am Rand mo-dellieren wir verschiedene Szenarien. Mit etwas Farbe wird der Stromungsverlauf sichtbar gemacht und mit einer Funkkamera aufgezeichnet.

Abbildung 1: Die Versuchsanlage. Der Drehtisch mit variabler Rotationsfre-quenz, darauf der Wassertank. Oben ist die Funkkamera zu sehen, welche mitdem System mitdreht, daneben der Rechner, an welchen die Aufnahmen gefunktwerden. [1]

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2 THEORIE  3

2 Theorie

2.1 Grundlage

In der numerischen Stromungsmechanik bilden die Massenerhaltung, die Ener-gieerhaltung und die Impulserhaltung die Grundannahmen f ur das physikalischeModell. Dabei stellen die Kontinuitatsgleichung

∂ρ

∂t= − (ρv) (1)

und der erste Hauptsatz der Thermodynamik

U  = Q + ∆W  (2)

die Bedingungen f ur die Massenerhaltung und die Energieerhaltung, wahrenddie Impulserhaltung durch die Navier-Stokes-Gleichung beschrieben wird. Durchdiese Gleichungen sowie die ausseren Gegebenheiten wie Topologie, Rotationund Strahlungsintensitat sind die Stromungsverlaufe im Prinzip determiniert.

2.2 Navier-Stokes-Gleichung

Die Veranderung des Impulses und damit der Geschwindigkeit

dvdt

= ∂v∂t

+v (3)

wird durch die Navier-Stokes-Gleichung

ρdv

dt= − 2ρ( ω × v)   

 

 1

− ρ ω × ( ω × r)   2

−   p  3

− ρg  4

+  f R  5

(4)

beschrieben.

Die einzelnen Komponenten sind hier:

•Corioliskraftdichte, induziert durch die (Erd-)Rotation des Systems

• Zentrifugalkraftdichte, ebenfalls aufgrund der Rotation

• Druckgradienteninduzierte Kraftdichte

• Schwerkraftdichte

• Reibungskraftdichte (Von ausseren Faktoren abhangig)

Fur die Navier-Stokes-Gleichung gibt es bislang keine analytische Losung. FurSimulationen werden jedoch mit guten Ergebnissen numerische Verfahren ange-wendet. Im folgenden werden einige Spezialf alle betrachtet.

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2 THEORIE  4

2.2.1 Hydrostatisches Gleichgewicht

Im Hydrostatische Gleichgewicht ist das System sowohl Rotations- als auchReibungsfrei (ω = 0, f R = 0). Zusatzlich ist es stationar und in Ruhe ( dv

dt= v =

0). Mit diesen Annahmen folgt aus der Navier-Stokes-Gleichung

  p = ρg

was schliesslich zu

 p(z) = −ρgz + p0

f uhrt. In der Atmosphare, unter Annahme der idealen Gasgleichung

 p =ρRT 

lasst sich die barometrische Hohenformel

 p = P 0e−gM

RT z (5)

herleiten. Dabei ist R die universelle Gaskonstante und M die molare Masse desGases.

2.2.2 Geostrophisches Gleichgewicht

Ein System im Geostrophischen Gleichgewicht ist sowohl Reibungs- und Schwer-kraftfrei (f R = 0, g = 0) als auch stationar ( dv

dt= 0), aber nicht zwingend in

Ruhe. Mit diesen Annahmen folgt aus der Navier-Stokes-Gleichung

0 = −2ρ( ω × v)−   p

Das wiederum liefert, unter der Voraussetzung eines v in der xy-Ebene

v = vx  ex + vy  ey

sowie der Gleichung

 ω × v = 2ω sin ϕv := f v

wobei ϕ den Breitengrad angibt, das folgende

f vx = −1

ρ

∂p

∂yf vy =

1

ρ

∂p

∂x(6)

Das bedeutet, dass Druckgradienten in x-Richtung Strome in y-Richtung auslosenund umgekehrt.

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2 THEORIE  5

2.3 Taylor Columns

Unter einer Taylor Column versteht man eine Saule einer Flussigkeit innerhalbdieser Flussigkeit. Die Stromung umfliesst scheinbar ein Hindernis, das sich ei-gentlich auf einer anderen Hohe befindet.

Abbildung 2: Visualisierung einer Taylor Column [1]

Um das mathematisch herzuleiten, beginnen wir mit der Navier-Stokes-Gleichungim geostrophischen Gleichgewicht

2ρ( ω × v) = −  p (7)

und betrachten dann die Rotation auf beiden Seiten der Gleichung.

2ρ(  × ( ω × v)) = 0

2ρ( ω(  v)− v(  ω) + (v  ) ω − ( ω  )v) = 0

Mit  ω=konst. verschwinden die beiden mittleren Terme, der erste verschwindetmit der Annahme ρ=konst. und der Kontinuitatsgleichung. Wir erhalten darausdas Taylor-Proudman-Theorem :

( ω  )v = 0 (8)

Wahlen wir das Koordinatensystem nun so, dass die z-Achse in Richtung  ω

zeigt, folgt

∂ 

∂zv = 0 (9)

was bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit mit der Hohe nicht andert

(man beachte die Vernachlassigung der Reibung und der Schwerkraft). Die Tay-lor Columns folgen aus diesem Prinzip.

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2 THEORIE  6

2.4 Ekman Layers

Um Stromungs- und andere Vorgange besser zu verstehen, teilt man ein Fluid(vgl. Atmosphare) in Schichten mit verschiedenen Eigenschaften. In der Ozean-zirkulation gibt es ein Phanomen, bei dem sich mit der Tiefe die Stromungsrichtungund -starke andert, die sich aufgrung einer Kraft auf die Oberflache ergibt. DasPhanomen wird, nach Vagn Walfrid Ekman, der sie als erster erklart hat, EkmanLayers genannt. Das resultierende Stromungsbild heisst Ekman Spirale.

Abbildung 3: Prinzip einer Ekman Spirale [1]

Um die Ekman Layers zu erklaren, betrachten wir nun zusatzlich den Reibungs-term in der Navier-Stokes-Gleichung. Dieser ist mit der ’diffusiven Wirbel Visko-sitat’ ν  skaliert und proportional zu ∆v. Ist der Druckgradient vernachlassigbarklein, resultiert als Gleichung f ur das Geschwindigkeitsprofil der Ekman Spirale

vi = −(ν 

f )2

∂ 4

∂z4vi (10)

mit i=x,y. Sie wird durch folgende Ansatze gelost

vx = C exp(z√2H 

) cos(z√2H 

)

vy = C exp(z√2H 

)sin(z√2H 

)

Dabei ist H:= 

νf 

die Dicke der Ekman Schicht und C  = vx(z = 0) die Ge-

schwindigkeit am Ort der Scherung.

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2 THEORIE  7

Beweis

∂ 4

∂z4vx =

∂ 4

∂z4C exp(

z√2H 

) cos(z√2H 

)

=∂ 3

∂z3

C √2H 

exp(z√2H 

)(cos(z√2H 

)− sin(z√2H 

))

=∂ 2

∂z2

−2C 

2H 2exp(

z√2H 

)sin(z√2H 

)

=∂ 

∂z

−C √2H 3

exp(z√2H 

)(cos(z√2H 

) + sin(z√2H 

))

=−2C 

2H 4exp(

z√2H 

) cos(z√2H 

)

= −(

ν )2

vx

(11)

Genauso f ur vy .Diese Losungsansatze zeigen einen exponentiellen Abfall der Stromungsstarkemit der Tiefe und erklaren mit dem Sinus- und Cosinusanteil auch die Spiral-bildung. Die Ekman Spirale in einem Ozean hat den Transport grosser Wasser-massen, den Ekman Transport, zur Folge. Beachtet man die Rotationssymmetriedx=dy:=L, folgt aus der Beschreibung

d  M  = dM x  ex + dM x  ex =dV x

dt ex +

dV y

dt ey

= dxdt

dydz  ex + dydt

dxdz  ey =  vxdydz +  vydxdz (12)

und dem Integral 0

−∞ vidz = ±CH √ 2

, mit i=x,y, plus f ur x, minus f ur y

Beweis 0

−∞vxdz =

 0

−∞C exp(

z√2H 

) cos(z√2H 

)dz

=√

2HC exp(z√2H 

) cos(z√2H 

)

0

−∞

+

 0

−∞C exp(

z√2H 

)sin(z√2H 

)dz

=√

2HC  +√

2HC exp(z√2H 

)sin(z√2H 

)0−∞

− 0−∞

C exp(z√2H 

) cos(z√2H 

)dz

=√

2HC − 

0

−∞vxdz

=CH √

2(13)

Genauso f ur y.

der Ausdruck f ur den Ekman Transport

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2 THEORIE  8

 M  =LCH √2 (  ex −  ey) = Lvx(z = 0) ν 

2f (  ex −  ey) (14)

2.5 Hadley Zirkulation

Als Hadley Zirkulation versteht man allgemein die Zirkulation aufgrund starkerTemperaturunterschiede. Das Medium erwarmt sich an einem Punkt und dehntsich deshalb aus. Da die Dichte dann geringer ist, steigt es auf und wird von dernachstromenden Masse weggedruckt. Nach einiger Zeit hat es sich abgekuhlt undbeginnt zu sinken. Unten steigt dann der Druck und das Medium fliesst vom

Ort hoheren Drucks zum warmeren Ort mit tieferem Druck, wo der Vorgangerneut beginnt.

Abbildung 4: Schematische Darstellung der Hadley Zirkulation in der Atmo-sphare. Zu beachten ist auch die Ablenkung der Stromungen aufgrund der Co-rioliskraft. [1]

Die Dichte lasst sich dann als Funktion der Temperatur ausdrucken:

∆ρ = αρ0∆T  (15)

Ohne die Corioliskraft waren Temperatur- und Druckgradient parallel und derDruckausgleich f ande entlang dieser Linien statt. Stattdessen fliessen die Fluid-massen auch senkrecht dazu, was zu so genannten baroklinen Verwirbelungenf uhrt.

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3 TAYLOR-COLUMN  9

3 Taylor-Column

Unsere Versuchsreihe begannen wir mit der Taylor-Column. Dabei wird der(runde) Wassertank auf ca. 10 cm mit Wasser gef ullt, wobei ein Metallzylindervon ca. 4 cm Hohe auf dem Grund des Tankes platziert wird. Dann wird dergesamte Tank in konstante Rotation versetzt. Nach einer Wartezeit von ca. 10min scheint das Wasser ohne Relativgeschwindigkeit zum Tank mitzudrehen(sog. solid body rotation ). Vor den Zylinder wird nun Farbe ins Wasser gegebenund anschliessend wird der Tank leicht abgebremst (in unserem Fall um ca. 1U/min), was dazu f uhrt, dass sich das Wasser relativ zum Zylinder bewegt unduber diesen hinwegstromt.

Nachfolgende Bilder zeigen den Verlauf der Beobachtung bei einer Umdrehungs-geschwindigkeit von ω = 20 U/min :

Abbildung 5: Effekt der Taylor-Column

Wie in der Theorie (siehe Kapitel 2.3) bereits errechnet, zeigt sich eine Invarianzder Geschwindigkeit senkrecht uber dem Zylinder. Das bedeutet, dass das Was-ser direkt uber dem Zylinder stationar bleibt, das Wasser also um den Zylinderherum und nicht uber ihn hinweg stromt.

Den Versuch haben wir mit verschiedenen Umdrehungsgeschwindigkeiten so-wie verschieden grossen Geschwindigkeitsreduktionen durchgef uhrt. Es zeigte

sich, dass der Effekt bei grosseren Rotationsgeschwindigkeiten und kleinerenGeschwindigkeitsreduktionen starker ausgepragt ist. Ist die Geschwindigkeits-reduktion im Vergleich zur Umdrehungsgeschwindigkeit zu gross, so reisst derEffekt allerdings ab. Wir vermuten, dass letzteres mit der Tragheit der Wasser-massen sowie innerer Reibung zusammenhangt.

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4 EKMAN-LAYERS  10

4 Ekman-Layers

4.1 Ekman-Strom

Wiederum f ullten wir den Tank auf ca. 10 cm mit Wasser und liessen ihn mitkonstanter Geschwindigkeit drehen, bis keine Relativgeschwindigkeiten mehrauftraten. Nach der Zugabe von etwas Farbe f uhrt eine Anderung der Rota-tionsgeschwindigkeit dazu, dass sich die Farbe spiralf ormig nach innen oderaussen bewegt.

Dabei f uhrt eine Verringerung der Rotationsgeschwindigkeit dazu, dass sich dieFarbe nach innen bewegt (zyklonischer Ekman-Strom). Der Effekt ist da-mit zu erklaren, dass bei einer Verringerung der Rotationsgeschwindigkeit zwi-schen Zentrum und Rand des Kreisbeckens ein Druckunterschied (Uberdruckam Rand, Unterdruck im Zentrum) einstellt, der die Farbe zum Zentrum hinfliessen lasst (siehe Grafik 6).

Abbildung 6: zyklonischer Ekman Strom

Gegenteiliges gilt f ur eine Erhohung der Rotationsgeschwindigkeit: es entstehenein Unterdruck im Zentrum sowie ein Uberdruck am Rand, die die Farbe nachaussen fliessen lassen (antizyklonischer Ekman-Stom).

Abbildung 7: antizyklonischer Ekman Strom

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4 EKMAN-LAYERS  11

4.2 Windscherung

Bei diesem Versuch werden die Einflusse des Windes auf die Zirkulation imWassertank simuliert. Dazu wird uber eine durch einen Elektromotor angetrie-bene Lochplatte ein direkter Stress auf die Wasseroberflache ausgeubt. Zu be-ginn des Experiments wurde der Tank wie bei den vorhergegangenen Versuchenprapariert. Anstelle jedoch die Rotationsgeschwindigkeit zu verandern, wird die-se konstant gehalten (die konstante Rotation entspricht in unserem Modell derErdrotation). Stattdessen wird die Lochplatte in Rotation versetzt, und zwarentweder mit oder entgegen der Drehrichtung des Tanks.

Folgende Grafik zeigt den Verlauf der Beobachtung bei Umdrehungsrichtung desWindmotors mit dem Tank:

Abbildung 8: Effekte der Applikation von simuliertem Wind

Es zeigt sich, dass sich ein zyklonischer Ekman Strom bildet, wobei das Wasserzur Tankmitte stromt und von dort senkrecht nach oben (sog. upwelling) undanschliessend aussen, und schliesslich am Rand das Tankes entlang nach unten(sog. downwelling).

Umgekehrt bildet sich bei Drehung des Windmotors entgegen der Drehrichtungdes Tankes ein antizyklonischer Ekman-Strom, und es konnen upwelling am

Rand sowie downwelling im Zentrum des Tankes beobachtet werden.

Upwelling und downwelling spielen in der Natur in Kustennahe eine grosse Rol-le; sie treten dann am starksten auf, wenn der Winde parallel zur Kuste weht.Upwelling und downwelling haben Einfluss auf die Oberflachentemperatur derMeere sowie die Biologische Produktivitat, und damit indirekt auch auf Fisch-bestande in Kustennahe. [3]

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5 BAROKLINE VERWIRBELUNGEN  12

5 Barokline Verwirbelungen

Barokline Verwirbelungen entstehen durch einen Temperaturgradienten, der inunserem Experiment mit Hilfe eines Kuhlkorpers (ein mit Eis gef ullter Zylinder)im Zentrum des Tanks auf das Wasser aufgepragt wird. Der Tank wird wiederumauf konstanter Rotationsgeschwindigkeit gehalten, anschliessend wird Farbe anverschiedenen Stellen in den Tank gegeben.

Folgende Grafik zeigt die entstehenden Verwirbelungen nach ca. 3 Minuten:

Abbildung 9: Barokline Verwirbelungen

Und nach ca. 10 Minuten (unter kontinuierlicher Zugabe von Farbe):

Abbildung 10: Barokline Verwirbelungen

Beide Grafiken zeigen, dass die entstandenen Verwirbelungen sowohl zyklo-nisch wie auch antizyklonisch sind und keine bevorzugte Richtung zu existierenscheint.

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6 DISKUSSION  13

6 Diskussion

Bei der Durchf uhrung der Versuche stiessen wir vor allem auf technische Schwie-rigkeiten. Zum einen haten wir wahrend der gesamten Zeit probleme, die mon-tierte Kamera zum laufen zu bringen. Sowohl kaputte Akkus, ein defektes Ver-bindungskabel sowie schlussendlich gar das Versagen der Kamera selbst kostetenuns einiges an Nerven und Zeit.

Zu Beginn des letzten Teil des Versuches, der Baroklinen Verwirbelungen , war esdann auch platzlich unmoglich, von der zweiten Kamera ein Signal zu bekom-men. Wir waren gezwungen, auf eine Handy-Kamera zuruckzugreifen. Eben-falls beim Versuch zu den Baroklinen Verwirbelungen stiessen wir auf das Pro-blem, dass es relativ schwierig war, den Kuhlkorper auf Temperatur zu halten.Kontinuierliches Kuhlen mit flussigem Stickstoff war notig, um f ur die Dauer

des Experiments einen ausgepragten Temperaturgradienten aufrecht erhalten zukonnen.

Trotz einiger Ruckschlage zeihen wir jedoch ein positives Fazit. Die vorgestelltenExperimente geben einen guten Uberblick uber die Effekte, die die Zirkulationder Ozeane beeinflussen. Besonders beeindruckt waren wir davon, dass die Effek-te nur durch den (im Alltag nicht f uhlbaren) Coriolis-Effekt zu Stande kommen.

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LITERATUR 14

Literatur

[1] Robert Schneider, Hubertus Fischer; Ozeanzirkulation im Wassertank, La-borkurs Moderne Physik; Universitat Bern Abteilung Klima- und Umwelt-physik

[2] Wikipedia; Korkenzieherstromung;http://de.wikipedia.org/wiki/Korkenzieherstromung; 20.12.2011

[3] NASA; Ocean Motion and Surface Currents, Wind-driven surface cur-rents;http://oceanmotion.org/html/background/upwelling-and-downwelling.htm; 14.01.2012

Abbildungsverzeichnis

1 Die Versuchsanlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Visualisierung einer Taylor Column [1] . . . . . . . . . . . . . . . 53 Prinzip einer Ekman Spirale [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Hadley Zirkulation in der Atmosphare . . . . . . . . . . . . . . . 85 Effekt der Taylor-Column . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 zyklonischer Ekman Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 antizyklonischer Ekman Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

8 Effekte der Applikation von simuliertem Wind . . . . . . . . . . . 119 Barokline Verwirbelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210 Barokline Verwirbelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12