Touristischer Lernweg

Themen: Kreis, Flächenberechnung, Verhältnisrechnung, Volumenberechnung, Strahlensatz, Trigonometrische Funktionen und Satz des Pythagoras Notwendige Hilfsmittel und Materialien:

Maßband, Taschenrechner und Stift

Konzipiert vom P-Seminar Outdoor-Mathematik 2013/15

P L A T Z F Ü R F O R M E L N

P-Seminar Outdoor-Mathematik: Mathematische Lernwege in Laufen und Umgebung

Vorwort

Grüß Gott, Sie wollen die Stadt Laufen entdecken?

Schön, dass Sie sich für unseren Math-Trail entschieden haben!

Wir, das P-Seminar Outdoor-Mathematik 2013/15 des Rottmayr-Gymnasiums freuen uns sehr, Sie an unserem Touristischen Lernweg zur Stadt Laufen begrüßen zu dürfen.

Doch was ist Outdoor-Mathematik?

Outdoor-Mathematik ist die spielerische Vermittlung von mathematischen Kenntnissen und Zusammenhängen, die über unsere Umgebung erfolgt. Das Ziel unseres Seminars war es, mehrere Lernwege in und um Laufen zu er-stellen. Wir haben die Absicht, Jung und Alt für Mathematik zu begeistern und Schülern eine Abwechslung vom oftmals eintönigen Mathematikunter-richt zu bieten. Insgesamt haben wir vier Lernwege in verschiedenen Ni-veaustufen und einen touristischen Lernweg ausgearbeitet. Die Wege sind während unseres Seminars über zwei Jahre hinweg entstanden.

Großer Dank gilt unserem Seminarleiter Herrn Dr. Uwe Schleypen und Herrn Prof. Dr. Matthias Ludwig von der Universität Frankfurt für die hilf-reichen Ratschläge, welche uns maßgeblich in unserem Projekt unterstützt haben.

Das P-Seminar Outdoor Mathematik wünscht Ihnen

viel Spaß beim Lösen der Aufgaben!

http://www.rottmayr-gymnasium.de/faecher/mathematik/outdoor-mathematik/

http://www.rottmayr-gymnasium.de/faecher/mathematik/outdoor-mathematik/

Zur Geschichte Laufens

Die Stadt Laufen existiert bereits seit langer Zeit. Be-kannt wurde die Stadt allerdings durch den Salzhandel. Die ersten Hinweise auf die Salzachschifffahrt stammen aus dem Jahr 826. Die Schiffherren in Laufen gehörten dem Patriziat an und waren damit in etwa dem ritterli-chen Adel gleichgestellt, deren eindrucksvolle Häuser mit der gesamten mittelalterlichen Altstadt erhalten sind. Flüsse wie die Salzach waren im 19. Jahrhundert wichtige Transportwege, denn nur so konnten große und schwere Lasten befördert werden. In unserer Region wurde das Salz in Bad Reichenhall (reich an Hall) und Hallein (kleines Hall) abgebaut und über die Salzach weiter- verschifft. Im Jahr 1790 erlangte die Schifffahrt ihren Höhepunkt. In den weiteren zehn Jahren wurden 6248 Salzschiffe gebaut und in etwa 1100 Mann beschäf-tigt. 1866 fand aufgrund des Eisenbahnbaus der letzte königliche Salztransport auf der Salzach statt.

Lage der Stationen

A) Beet an der Salzachhalle B) Das Kriegerdenkmal C) Das Salzschiff D) Bis oben hin voll! E1) Die Stiftskirche E2) Treppe zum Europasteg F) Das Absperrventil am Rupertusplatz G) Das gläserne Dreieck H) Das Geländermuster an der Länderbrücke I) Der Marienbrunnen J) Das Stadttor

Formelsammlung

Beet an der Salzachhalle

Die Salzachhalle gilt als DAS Veran-staltungszentrum im Rupertiwinkel. Ihr Programm umfasst hauptsächlich Konzerte, Kabaretts und Theaterstü-cke, aber auch Veranstaltungen wie Kinovorstellungen oder sogar Pup-pentheater. Auf dem kleinen Platz vor der Salzachhalle befindet sich ein Blu-menbeet, das man, wie im Bild eingezeichnet, in zwei Flächen einteilen kann. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Kreisflächen und stellen Sie anschließend einen mathematischen Zusammenhang zwischen ihnen her!

Konzipiert von Colin Dietrich

Das Kriegerdenkmal

Sie sehen hier das Kriegerdenkmal, welches von dem münchener Bild-hauer Valentin Kraus geschaffen und 1911 von dem Freilassinger Fabrikan-ten Georg Wrede für die Gefallenen des deutsch-französischen Krieges 1870 / 1871 gestiftet. Auslöser dieses Krieges war der Streit zwischen Frankreich und Preußen um die Frage der spanischen Thronkandidatur eines Hohenzollernprinzens. Entgegen Na-poleons Erwartung traten die vier süddeutschen Staaten in Erfüllung ihrer so genannten Schutz- und Trutzbündnisse mit dem Norddeutschen Bund auf dessen Seite in den Krieg ein. Währenddessen blieben die anderen eu-ropäischen Staaten neutral, da sie den Angriff Frankreichs als überflüssig betrachteten. Innerhalb weniger Wochen wurde Frankreich besiegt und Napoleon gefangen genommen. Daraufhin bildete sich in Frankreich die „dritte Republik“, welche den Krieg noch bis 1871 weiterführte. Das Denkmal in Laufen, welches vor Ihnen steht, wurde später noch um Gedenktafeln der Gefallenen des ersten und zweiten Weltkriegs erwei-tert. Dieses Denkmal steht auf ein Fundament aus Stufen. Wie groß ist die Oberfläche der Stufen? Reicht diese Fläche aus, um den gesamten Bereich aus Kies rund um die Statue zu bedecken?

Konzipiert von Christian Wimmer

Das Salzschiff

Der Salzhandel hat Laufen zu einer bekannten Stadt gemacht. Flüsse wie die Salzach waren früher sehr wichtig um große und schwere Lasten zu transportieren. Ein sehr wichtiger Beruf in der Stadt war der des Salzschiffers. Nicht im-mer lief der Handel ohne Probleme ab. Im Stadtpark ist ein Salzschiff ge-strandet und hat einiges an Ladung verloren. Entdecken Sie das Salzfass vor dem Schiff? Ein sogenanntes Barrique Fass ist in Wirklichkeit 120cm hoch. Auf welche Größe müssten Sie schrumpfen, damit Sie im Verhältnis zum Fass im Stadtpark passen?

Konzipiert von Sophia Schweiger

Bis oben hin voll!

Sehen Sie das abgebildete Häuschen? Besonders das Glasdach ist ein wah-rer Blickfang. Stellen Sie sich vor, Sie würden das Dach abnehmen, umdre-hen und dreieckige Seitenwände ein-bauen. Wie viele Liter Wasser benö-tigt man nun um es bis oben hin zu füllen?

Konzipiert von Marco Tschimpke

Die Stiftskirche

Die Stiftskirche in Laufen ist als die älteste goti-sche Hallenkirche Bayerns bekannt. Auch die Pfarrei Laufen existiert laut Belegen schon seit dem 12. Jahrhundert. Die Stiftskirche ist mit ih-rem prunkvollen Inneren wirklich schön zu be-sichtigen. Außerdem ist sie ein stimmungsvoller Ort der Ruhe und für ein persönliches Gebet im-mer das Richtige. Im Folgenden soll die Höhe der Kirche berechnet werden. Gegeben ist die Höhe der Statue, welche 3,98m beträgt. Ermitteln Sie die Höhe des Kirchturms der ca. 106m von der Statue entfernt ist. Beachten Sie außerdem, dass sich der Boden der Kirche ca. 1m über deinem Standort befindet.

Konzipiert von Marco Tschimpke

Treppe zum Europasteg

Bereits zwei Holzbrücken, deren Pfeiler man immer noch sehen kann, sind bei einem Hoch-wasser weggerissen worden. Beim Bau des Euro-pastegs 2006 mussten Holzlatten auf Wagen für das Geländer des Stegs rauf gebracht werden. Welche Kraft musste für jede Holzlatte mindes-tens aufgewendet werden, wenn ein ca. 1000g wiegt? Die Hangabtriebskraft Fh=ma würde die Holzlatten wieder runterrutschen lassen, wobei sich diese durch Vektorenaddition (vgl. Skizze, FG=mg; g=9,81m/s

2) errechnen lässt. Bei der Vek-torenaddition müssen Sie nichts messen, Sie können die Kräftevektoren als ein Dreieck auffas-sen und dort trigonometrische Funktionen ver-wenden. Die Reibung ist zu vernachlässigen.

Konzipiert von Fabian Fleidl, Maxi Dandl und Florian Langgartner

Das Absperrventil am Rupertusplatz

Auf dem 1914 errichteten Platz steht ein Brunnen mit einer Figur des Hl. Rupert. Dieser ist der Schutzpatron der Region (Rupertiwinkel). An der rechten Seite des Brunnens ist unten ein blaues Schild angebracht. Mit sol-chen Schildern werden die Standorte von Hydranten oder Punkte für an-dere mögliche Zugänge zur Kanalisa-tion markiert. In diesem Fall wird der Ort eines Absperrventils (AV) be-schrieben. Auf dem Schild wird schematisch ein Koordinatensystem dargestellt, mit welchem der genaue Ort angegeben werden kann. Die Zahlen links zeigen dabei die Entfernung (in Metern) vom Schild nach links an, die Zahlen rechts die Entfernung nach rechts. Die Zahlen unten geben die Entfernung nach vorne (bzw. aus Sicht des Lesers nach hinten) an. Suchen Sie das zugehörige Absperrventil. Ein Wert auf dem Schild fehlt! Geben Sie diesen möglichst genau an.

Freiwillige Knobelaufgabe: Überlegen Sie, mit welchen weiteren Methoden man den Standort auch eindeutig bestimmen könnte. Der Weg zur nächsten Aufgabe führt jetzt weiter durch das Mühlengaßl, welches für Unaufmerksame nicht leicht zu finden ist, da es auf der gegenüberliegenden Straßenseite des Rupertusplatzes durch eine Holztür zu erreichen ist. Davor rentiert es sich jedoch noch einen Blick nach rechts und links durch die mit ihrem Kopfsteinpflaster historisch anmutende Rottmayrstraße schweifen zu lassen. Das rote Gebäude mit dem kleinen Türmchen ist das alte Rathaus der Stadt Laufen. Linkerhand ist am Ende der Straße nun die Stiftskirche zu sehen, zu der sich ein kurzer Abstecher lohnt. Sie wurde um 1330 erbaut und ist somit die älteste gotische Hallenkirche Süddeutschlands. Konzipiert von Melanie Käser

Das gläserne Dreieck

Sie haben gerade das Mühlengassl durchquert, das die rückseitigen Bebauungen der Rottmayr-straße erschließt. Zusätzlich dazu diente diese Gasse früher als Löschwasserversorgung bei aus-gebrochenen Feuern, da sie direkt an den Salzachuferweg mündet. Vielleicht sind Ihnen die Schwibbögen aufgefallen, die der statischen Sicherung der engen Schluchten dienen. Am Ende dieser Gasse befindet sich eine über-dachte Holztreppe. Wie auf dem Foto zu sehen, befindet sich hinter dem Schild eine dreieckige Öffnung. Berechnen Sie alle Maße (Seitenlängen, Winkel und Flächeninhalt), die ein Fenster ha-ben müsste, um diese Fläche unter dem Dach-first auszufüllen. Um die Aufgabe zu lösen, sollte möglichst nicht geklettert werden.

Konzipiert von Melanie Käser

Das Geländermuster an der Länderbrücke

Sie befinden sich nun an der Länder-brücke, die Laufen mit der österrei-chischen Stadt Oberndorf bei Salz-burg verbindet. Sie wurde zwischen 1901 und 1903 während der Herr-schaft von Kaiser Franz Joseph I. und dem Prinzregent Luitpold von Bayern erbaut und ist im Umkreis von 15 km immer noch die einzige Verbindung zwischen Bayern und dem Land Salz-burg. An beiden Enden der Länderbrücke befindet sich ein Geländer, das durch ein bestimmtes Muster gekennzeichnet ist. Berechnen Sie die durchseh-bare Fläche eines Geländerabschnittes und geben Sie diese in m2 an. Optional können Sie außerdem die Länderbrücke überqueren, um die fan-tastische Sicht auf Laufen von der österreichischen Seite zu genießen und sich das bedeutende Schifferschützen-Corpsdenkmal anzusehen. Dieser Schifferschützen-Corps wurde 1278 von Erzbischof Friedrich II. von Walchen gegründet, um die Schiffer auf der Salzach gegen kriegerische und räuberische Überfälle auf die Salzzillen zu schützen, und existiert, obwohl die Salzsschifffahrt nicht mehr betrieben wird, noch heute unter dem Namen historische Schiffergarde.

Konzipiert von Lisa Abstreiter

Der Marienbrunnen

Der weitläufige, in seiner Gestalt uneinheitliche Marienplatz mit sei-nem Brunnen, der die obere Stadt mit Trinkwasser versorgte, war bis in das späte 19. Jahrhundert zugleich Schrannenplatz, wo regelmäßig Vieh und landwirtschaftliche Produkte feilgeboten wurden. Berechnen Sie die gepflasterte Flä-che des Sechsecks, das den Marien-brunnen umgibt. Die kreisförmige Fläche vor dem Brunnen soll dabei nicht mit einbezogen werden.

Konzipiert von Leonhard Starzer

Das Stadttor

Das Obere Stadttor oder auch Salzburgtor genannt war seit jeher ein wichtiger Zugangspunkt für die Stadt Laufen. Der Turm, den Sie sehen können, wurde unter dem Salzburger Fürsterzbischof Jo-hann Ernst Graf Thun fertig gestellt und zeigt auch heute noch dessen Wappen. Ursprünglich hatte das Tor vor dem Durchgang einen Graben mit Brücke, sodass die Bürgerwehr es verteidigen konnte. Heute jedoch wird das Tor als Durchgang benötigt, um über die Länderbrücke zu gelangen. Aufgrund des hohen Verkehrs stellt sich die Frage, wie hoch denn ein Pkw oder auch ein Lkw tat-sächlich sein könnte, wenn es die erlaubte ge-setzliche Breite von 2,50 m erfüllt. Hinweis: Man kann annehmen, dass das Tor die rechts skizzierte Form hat.

Konzipiert von Fabian Fleidl, Maxi Dandl und Florian Langgartner

Touristischer Lernweg - Lösungen

Beet an der Salzachhalle

Lösung: Durchmesser innerer Kreis: 210cm � r = 105cm Flächeninhalt innerer Kreis: r2 · π = 1052 · π ≈ 34636[cm2] ≈ 3,5m2

Flächeninhalt äußerer Kreis: s = 105 + 58 = 163[cm] r2 · π = 1632 · π ≈ 83469[cm2] ≈ 8,4m2 evtl. mathematischer Zusammenhang: prozentueller Anteil vom inneren am äußeren Kreis; Fläche des schwarzen Bereiches ausrechnen; etc.

Das Kriegerdenkmal

Breite Stufe 1 bStufe 1 = 2,50m Länge Stufe 1 lStufe 1 = 2,90m Breite Stufe 2 bStufe 2 = 1,6m Länge Stufe 2 lStufe 2 = 2,0m Breite Statue bStatue = 0,6m Länge Statue lStatue = 1,0m Höhe Stufen h = 0,3m Radius der Kreisfläche r = 2,9m Breite Kiesfläche bKies = 2,55m

O= hb2hl2hb2hl2lb-lb 2 Stufe2 Stufe1 Stufe1 StufeStatueStatue1 Stufe1 Stufe ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ = 0,31,623,0220,32,520,32,9210,69,25,2 ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅ ≈ 12,4 [m²]

A = ≈⋅⋅+⋅=⋅+⋅⋅ 9,2255,29,25,02²5,02ππ rbr Kies 28 [m²]

-> Nein, es reicht nicht aus, da die Kiesfläche größer ist als die Oberfläche des Podests der Statue.

Das Salzschiff

(Rechenbeispiele mit erfundenen Zahlen) Antwort: Als Salzschiffer wäre ich ca. 89,38cm groß.

Höhe eines echten Fasses Körpergröße (variabel)

120 cm deine Körpergröße

Höhe des Fasses am Spielplatz

Körpergröße Salzschiffer

62 cm Gesucht

Bis oben hin voll!

Fall 1: Es hat so viel Wasser im Glascontainer Platz bis der untere Rand der Öffnung erreicht wird. Länge (Quader) lQuader = 16,7dm; Breite (Quader) bQuader = 16,2dm; Höhe (Quader) hQuader = 12dm; VFlasche = 0,7l

Vgesucht = VQuader = QuaderQuaderQuaderhbl ⋅⋅ = 122,167,16 ⋅⋅ = 3246,48 [dm³] = =

3246,48 [l]

-> Anzahl an Flaschen: Flasche

gesucht

V

V

= 7,048,3246

≈ 4637 [Flaschen] Fall 2: Es hat so viel Wasser im Glascontainer Platz bis die Decke erreicht wird (d.h. die Öffnung wird nicht beachtet). Länge (Quader) lQuader = 16,7dm; Breite (Quader) bQuader = 16,2dm; Höhe (Quader) hQuader = 12dm; VFlasche = 0,7l; Höhe (Prisma) hPrisma = 7dm; obere Länge des Trapez lOber = 3dm VQuader = 3246,48 [l] (vgl. Fall1)

VPrisma = QuaderlG ⋅ = QuaderOberQuaderisma llbh ⋅⋅+⋅ 5,0)(Pr = 7,165,0)32,16(7 ⋅⋅+⋅ =

= 1122,24 [dm³] = 1122,24 [l]

Vgesucht = VQuader + VPrisma = 24,112248,3246 + = 4368,72 [l]

-> Anzahl an Flaschen:

VgesuchtVFlasche = 7,0

72,4368

≈ 6241 [Flaschen]

Die Stiftskirche

hStatue = 3,98m Strahlensatz: (hKirche + 1 m) ÷ (106m + 4,25m) = (hStatue - hAuge) ÷ 4,25m → hKirche = ((hStatue - hAuge) (106m + 4,25m) ÷ 4,25m) - 1m + hAuge = 61,1m

Treppe zum Europasteg

s = 9,6m sin α = Fh ÷ Fg, mSteigung = 17 ÷ 49 tan α = h ÷ x = ]y ÷ ]x = m α = arctan m = 19,134° Fh = Fg ·sin α = m · g ·sin (19,134°) = m · 0,33 m/s2 = 0,33 N

Das Absperrventil am Rupertusplatz Fehlender Wert: Je nach Messung zwischen 1,80 m und 2,00 m Zur freiwilligen Knobelaufgabe: Man könnte den Standort auch mit einem Winkelwert (zu einer festgesetzten Gerade) und der Länge des Abstandes zum Schild eindeutig angeben.

Das gläserne Dreieck

− Berechnung der Seiten über den Satz des

Pythagoras: c = 105 – 15cm – 15cm = 75cm a² + b² = c²; a = b, da Dreieck rechtwinklig und gleichschenklig ist; → 2a² = 2b² = c² |:2 a² = b² = c²/2 |√ a = b = √c²/2 = √75²/2 ≈ 53,0 [cm] − Berechnung der Winkle durch

Innenwinkelsumme: γ = 90°, wegen rechtwinkligem Dreieck α = β , wegen gleichschnekligem Dreieck α = β = (180° - γ) : 2 = 45° − Berechnung der Seiten über sinus oder cosinus: sin α = a : c → a = sin α · c = sin (45°) · 75cm ≈ 53,0cm sin β = b : c → b = sin β · c = cos (45°) · 75cm ≈ 53,0cm − Berechnung des Flächeninhalts: sin α = h : b → h = sin α · b A = 0,5 · c · h = 0,5 · c · sin α · b = 1406,35cm² oder: A = 0,5 · a² = 1406,35cm² oder: A = (0,5c)² = 1406,25cm²

Das Geländermuster an der Länderbrücke

1. Lösungsweg: Berechnung der einzelnen Figuren Ages = 4 ⋅ A1 + 2 ⋅ A2 + 2 ⋅ A3 + 2 ⋅ A4 = = 4 ⋅ 0,5 ⋅ 25,5 cm ⋅ 14 cm + 2 ⋅ 22,6 cm ⋅ 22,6 cm + 2 ⋅ 0,5 ⋅ 30 cm ⋅ 14 cm + 2 ⋅ 0,5 ⋅ (38,7 cm + 71 cm) ⋅ 15 cm = 3801,02 cm2 ≈ 0,38 m2

2. Lösungsweg: Teilung des Musters in vier gleiche Teile (mittelgroßes Dreieck = A1; großes Dreieck = 0,5 ⋅A2; kleines Dreieck = 0,5 ⋅A3; rechtwinkliges Trapez = 0,5 ⋅A4) Ages = 4 ⋅ (A1 + 0,5 ⋅A2 + 0,5 ⋅A3 + 0,5 ⋅A4) = = 4 ⋅ (0,5 ⋅ 25,5 cm ⋅ 14 cm + 0,5 ⋅ 22,6 cm ⋅ 22,6 cm + 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 30 cm ⋅ 14 cm + 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ (38,7 cm + 71 cm) ⋅ 15 cm = = 3801,02 cm2 ≈ 0,38 m2

Der Marienbrunnen

ADreieck = b · c = 6,62 m · 2,26 m ≈ 14,38 m2

ARechteck = a · b = 4 m · 6,62 m = 26,48 m2

ASechseck = 14,38 m2 + 26,48 = 40,86 m2

UKreis = 8 · u = 8 · 2,05m = 16,4 m

16,4 m = 2 · π · r => r ≈ 2,61 m

AKreis = π · 2,612 ≈ 21,40 [m2]

AGesamt = 40,86 m2 – 21,40 m2 = 19,46 m2

Das Stadttor

Um nicht von einem Auto zusammengefahren zu werden, kann man in guter Näherung davon ausgehen, dass die Höhe des Halbkreises der Höhe des Rechtecks entspricht. Damit ergibt sich, dass g = 2,55m und r = 2,55m ist. Gesucht ist die Höhe H des LKWs mit H = g + h (Höhe des LKW Teiles im Einheitskreis) a entspricht der halben Breite des LKWs. H = g + h ; mit

=> Alternativ kann man auch noch mit dem Einheitskreis rechnen.

g

r H

h

a