Pearson MathematikfürWirtschaftswissenschaftler Lösunghandbuch Mai2012 2

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Mathematik

Text of Pearson MathematikfürWirtschaftswissenschaftler Lösunghandbuch Mai2012 2

  • LsungshandbuchKnut Sydster, Arne Strm und Peter HammondMathematik fr Wirtschaftswissenschaftler,3., akt. Aufl., Pearson Studium, Mnchen 2009

    Kapitel 1 Einfhrung, I: Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    Kapitel 2 Einfhrung, II: Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    Kapitel 3 Einfhrung, III: Verschiedenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    Kapitel 4 Funktionen einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    Kapitel 5 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    Kapitel 6 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    Kapitel 7 Anwendungen der Differentialrechnung . . . . . . . . . 19

    Kapitel 8 Univariate Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    Kapitel 9 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . 32

    Kapitel 11 Funktionen mehrerer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    Kapitel 12 Handwerkszeug fr komparativ statische Analysen 36

    Kapitel 13 Multivariate Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    Kapitel 14 Optimierung unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . 46

    Kapitel 15 Matrizen und Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    Kapitel 16 Determinanten und inverse Matrizen . . . . . . . . . . . . 57

    Kapitel 17 Lineare Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 B

    ER

    BLIC

    K

  • CWS Lsungshandbuch fr das Buch Mathematik fr Wirtschaftswissenschaftler

    Vorwort

    Diese ausfhrlichen Lsungen begleiten das Buch Mathematik fr Wirtschaftswissenschaftler (3., akt. Auflage,Pearson Studium, 2009). Der Schwerpunkt liegt dabei darin, detailliertere Lsungen zu den mit markiertenAufgaben aus dem Buch zu geben. Dabei sollte dieses Handbuch in Verbindung mit den Lsungen aus demBuch verwendet werden. In einigen Fllen sind nur Teilaufgaben detailliert dargestellt, da der Rest auf gleicheWeise gelst werden kannn. Fr die Mitarbeit bedanken wir uns bei Carren Pindiriri fr ihre Untersttzung alsKorrekturleserin. Wir sind dankbar fr Verbesserungsvorschlge der Leser sowie fr Hinweise zur Beseitigungvon Ungenauigkeiten und Fehlern.

    Oslo und Coventry

    Knut SydsterArne StrmPeter Hammond

    Fr die deutscheAusgabe bitte ich nachdrcklichdarum,mir die Fehler mitzuteilen. Tun Sie das bitte wirklich.

    Fred Bker (fboeker@uni-goettingen.de)

    2

  • Kapitel 1 Einfhrung, I: Algebra

    Kapitel 1 Einfhrung, I: Algebra

    1.1

    1. (a) Wahr. (b) Falsch. 5 ist kleiner als 3, so dass 5 auf der Zahlengeraden links von 3 liegt.(Siehe Abb. 1.1.1 imBuch.) (c) Falsch.13 ist eine ganze, aberkeine natrlicheZahl. (d) Wahr. Jedenatrliche Zahl ist eine rationale Zahl. Zum Beispiel: 5 = 5/1. (e) Falsch, da 3.1415 = 31415/10000ein Quotient aus zwei ganzen Zahlen ist. (f) Falsch. Gegenbeispiel:

    2 + (2) = 0. (g) Wahr.

    (h) Wahr.

    1.3

    9. (a) (2t 1)(t2 2t + 1) = 2t(t2 2t + 1) (t2 2t + 1) = 2t3 4t2 + 2t t2 + 2t 1 = 2t3 5t2 + 4t 1(b) (a + 1)2 + (a 1)2 2(a + 1)(a 1) = a2 + 2a + 1 + a2 2a + 1 2a2 + 2 = 4(c) (x+y+z)2 = (x+y+z)(x+y+z) = x(x+y+z)+y(x+y+z)+z(x+y+z) = x2+xy+xz+yx+y2+yz+zx+zy+z2 =x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz (d) (xyz)2 = (xyz)(xyz) = x2xyxzxy+y2+yzxz+yz+z2,so dass (x + y + z)2 (x y z)2 = 4xy + 4xz.

    13. (a) a2 + 4ab + 4b2 = (a + 2b)2 nach der ersten binomischen Formel (1.3.1).(d) 9z2 16w2 = (3z 4w)(3z + 4w) nach der Formel fr die Differenz von Quadraten (1.3.3).(e) 15x2 + 2xy 5y2 = 15 (x2 10xy +25y2) = 15 (x 5y)2 (f) a4 b4 = (a2 b2)(a2 + b2). Es wird dieFormel fr die Differenz von Quadraten (1.3.3) verwendet. Da a2 b2 = (ab)(a +b), folgt die Antwortim Buch.

    1.4

    5. (a)1

    x 2 1

    x + 2=

    x + 2(x 2)(x + 2)

    x 2(x + 2)(x 2) =

    x + 2 x + 2(x 2)(x + 2) =

    4x2 4

    (b) Da 4x + 2 = 2(2x + 1) und 4x2 1 = (2x + 1)(2x 1), lautet der kleinste gemeinsame Nenner2(2x + 1)(2x 1). Hieraus folgt:6x + 254x + 2

    6x2 + x 24x2 1 =

    (6x + 25)(2x 1) 2(6x2 + x 2)2(2x + 1)(2x 1) =

    21(2x 1)2(2x + 1)(2x 1) =

    212(2x + 1)

    (c)18b2

    a2 9b2 a

    a + 3b+ 2 =

    18b2 a(a 3b) + 2(a2 9b2)(a + 3b)(a 3b) =

    a(a + 3b)(a + 3b)(a 3b) =

    aa 3b

    (d)1

    8ab 1

    8b(a + 2)+

    1b(a2 4) =

    a2 4 a(a 2) + 8a8ab(a2 4) =

    2(5a 2)8ab(a2 4) =

    5a 24ab(a2 4)

    (e)2t t2t + 2

    (

    5tt 2

    2tt 2

    )=

    t(2 t)t + 2

    3tt 2 =

    t(t 2)t + 2

    3tt 2 =

    3t2t + 2

    (f)a(1 12a

    )0.25

    =a 12

    14

    = 4a 2, so dass 2 a(1 12a

    )0.25

    = 2 (4a 2) = 4 4a = 4(1 a)

    6. (a)2x+

    1x + 1

    3 = 2(x + 1) + x 3x(x + 1)x(x + 1)

    =2 3x2x(x + 1)

    (b)t

    2t + 1 t

    2t 1 =t(2t 1) t(2t + 1)

    (2t + 1)(2t 1) =2t

    4t2 1(c)

    3xx + 2

    4x2 x

    2x 1(x 2)(x + 2) =

    3x(x 2) + 4x(x + 2) (2x 1)(x 2)(x + 2) =

    7x2 + 1x2 4

    (d)

    1x+

    1y

    1xy

    =

    (1x+1y

    )xy

    1xy

    xy=

    y + x1

    = x + y (e)

    1x2

    1y2

    1x2

    +1y2

    =

    (1x2

    1y2

    ) x2y2

    (1x2

    +1y2

    ) x2y2

    =y2 x2x2 + y2

    (f) Indem man Zhler und Nenner mit xy multipliziert, erhlt mana(y x)a(y + x)

    =y xy + x

    .

    3

  • CWS Lsungshandbuch fr das Buch Mathematik fr Wirtschaftswissenschaftler

    8. (a)14

    15=

    520

    420

    =120

    , so dass(14 15

    )2 = ( 120)2 = 202 = 400.(b) n n

    1 1n

    = n n n(1 1

    n

    ) n

    = n n2

    n 1 =n(n 1) n2

    n 1 =n

    n 1

    (c) Wenn u = xpq , folgt1

    1 + xpq+

    11 + xqp

    =1

    1 + u+

    11 + 1/u

    =1

    1 + u+

    u1 + u

    = 1.

    (d)

    (1

    x 1 +1

    x2 1)(x2 1)

    (x 2

    x + 1

    )(x2 1)

    =x + 1 + 1

    x3 x 2x + 2 =x + 2

    (x + 2)(x2 2x + 1) =1

    (x 1)2

    (e)1

    (x + h)2 1

    x2=

    x2 (x + h)2x2(x + h)2

    =2xh h2x2(x + h)2

    , so dass

    1(x + h)2

    1x2

    h=

    2x hx2(x + h)2

    .

    (f) Multiplikation des Zhlers und Nenners mit x2 1 = (x + 1)(x 1) ergibt 10x2

    5x(x 1) =2x

    x 1 .

    1.5

    5. Multiplizieren Sie Zhler und Nenner mit: (a)75. (b) 53. (c) 3+2. (d) xy yx.

    (e)x + h +

    x . (f) 1 x + 1.

    12. (a) Fr x = 1 ergibt sich fr die linke Seite 4 und fr die rechte Seite 2. (Tatschlich ist (2x )2 = 22x .)(b) Gltig, da apq = ap/aq. (c) Gltig, da ap = 1/ap. (d) Fr x = 1 wre 5 = 1/5, welches einWiderspruch ist. (e) Fr x = y = 1 wre a2 = 2a, welches generell falsch ist. (Tatschlich ist ax+y =axay .) (f) 2

    x 2y = 2x+y , nicht 2xy .

    1.6

    4. (a) 2 0 oder 3x + 1 2(2x + 4)2x + 4

    > 0 oder

    x 72x + 4

    > 0. Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt, dass die Ungleichung fr 7 < x < 2 erfllt ist.Ein gravierender Fehler ist es, die Ungleichung mit 2x + 4 zu multiplizieren, ohne dass 2x + 4 > 0unterstellt wurde. Bei Multiplikation mit 2x + 4 muss im Falle der Negativitt die Richtung der Un-gleichung umgekehrt werden. (Es wre vorteilhaft, die Ungleichungen fr verschiedene Werte von xzu prfen. Zum Beispiel ist sie bei x = 0 nicht erfllt. Wie sieht es mit x = 5 aus?)(b) Die Ungleichung ist quivalent zu

    120n

    34

    0, d.h. 3(160 n)4n

    0. Ein Vorzeichen-Diagrammzeigt, dass die Ungleichung fr n < 0 und fr n 160 erfllt ist. (Beachten Sie: Fr n = 0 macht dieUngleichung keinen Sinn. Bei n = 160 besteht Gleichheit.) (c) Einfach: g(g 2) 0, usw.(d) Beachten Sie, dass p2 4p + 4 = (p 2)2. Dann lsst sich die Ungleichung auf p + 1

    (p 2)2 0 redu-zieren. Der Bruch macht fr p = 2 keinen Sinn. Das Ergebnis im Buch folgt.

    (e) Die Ungleichung ist quivalent zun 2n + 4

    2 0, d.h. n 2 2n 8n + 4

    0 oder 3n 10n + 4

    0,usw. (f) Siehe Buch und verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm. (Dividieren Sie nicht durch x2, dasich dann x = 0 als falsche Lsung ergibt.)

    5. (a) Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm. (b) Die Ungleichung ist fr x = 1 nicht erfllt. Wennx = 1, ist sie offensichtlich fr x + 4 > 0 erfllt, d. h. x > 4 (da (x 1)2 fr x = 1 positiv ist).(c) Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm. (d) Die Ungleichung ist fr x = 1/5 nicht erfllt.Wenn x = 1/5, ist sie offensichtlich fr x < 1 gltig. (e) Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm.((5x 1)11 < 0, wenn x < 1/5 und > 0, wenn x > 1/5.)

    4

  • Kapitel 2 Einfhrung, II: Gleichungen

    (f)3x 1

    x> x +3 oder

    3x 1x

    (x +3) > 0 oder (1 + x2)

    x> 0, so dass x < 0. (1+x2 ist immer positiv.)

    (g)x 3x + 3

    > 2x 1 oder x 3x + 3

    (2x 1) < 0 oder 2x(x + 2)x + 3

    < 0. Verwenden Sie jetzt ein Vorzeichen-

    Diagramm.

    (h) Nutzen Sie den Hinweis sowie ein Vorzeichen-Diagramm. (Genau genommen knnte diese und diefolgende Aufgabe in Kapitel 2.3 verschoben werden, falls das Schulalgebra-Wissen nicht vorhandenist.) (i) Nutzen Sie den Hinweis sowie ein Vorzeichen-Diagramm.

    Aufgaben zur Wiederholung fr Kapitel 1

    4. (a) (2x)4 = 24x4 = 16x4 (b) 21 41 = 1/2 1/4 = 1/4, so dass (21 41)1 = 4.(c) Krzen Sie den gemeinsamen Faktor 4x2yz2. (d) (ab3)3 = (1)3a3b9 = a3b9, so dass

    [(ab3)3(a6b6)2]3 = [a3b9a12b12]3 = [a9b3]3 = a27b9. (e) a5 a3 a2a3 a6 =

    a6

    a3= a3

    (f)[(x

    2

    )3 8x2

    ]3=

    [ x3 88 x2

    ]3= (x5)3 = x15

    8. Alle sind einfach zu lsen bis auf (c), (g) und (h): (c) 3 (36 ) = 3+36 = 3+332 =3 + 32. (g) (1 + x + x2 + x3)(1 x) = (1 + x + x2 + x3) (1 + x + x2 + x3)x = 1 x4.(h) (1 + x)4 = (1