Pearson MathematikfürWirtschaftswissenschaftler Lösunghandbuch Mai2012 2

LsungshandbuchKnut Sydster, Arne Strm und Peter HammondMathematik fr Wirtschaftswissenschaftler,3., akt. Aufl., Pearson Studium, Mnchen 2009

Kapitel 1 Einfhrung, I: Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Kapitel 2 Einfhrung, II: Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Kapitel 3 Einfhrung, III: Verschiedenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Kapitel 4 Funktionen einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Kapitel 5 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Kapitel 6 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Kapitel 7 Anwendungen der Differentialrechnung . . . . . . . . . 19

Kapitel 8 Univariate Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Kapitel 9 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . 32

Kapitel 11 Funktionen mehrerer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Kapitel 12 Handwerkszeug fr komparativ statische Analysen 36

Kapitel 13 Multivariate Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Kapitel 14 Optimierung unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . 46

Kapitel 15 Matrizen und Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Kapitel 16 Determinanten und inverse Matrizen . . . . . . . . . . . . 57

Kapitel 17 Lineare Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 B

ER

BLIC

K

CWS Lsungshandbuch fr das Buch Mathematik fr Wirtschaftswissenschaftler

Vorwort

Diese ausfhrlichen Lsungen begleiten das Buch Mathematik fr Wirtschaftswissenschaftler (3., akt. Auflage,Pearson Studium, 2009). Der Schwerpunkt liegt dabei darin, detailliertere Lsungen zu den mit markiertenAufgaben aus dem Buch zu geben. Dabei sollte dieses Handbuch in Verbindung mit den Lsungen aus demBuch verwendet werden. In einigen Fllen sind nur Teilaufgaben detailliert dargestellt, da der Rest auf gleicheWeise gelst werden kannn. Fr die Mitarbeit bedanken wir uns bei Carren Pindiriri fr ihre Untersttzung alsKorrekturleserin. Wir sind dankbar fr Verbesserungsvorschlge der Leser sowie fr Hinweise zur Beseitigungvon Ungenauigkeiten und Fehlern.

Oslo und Coventry

Knut SydsterArne StrmPeter Hammond

Fr die deutscheAusgabe bitte ich nachdrcklichdarum,mir die Fehler mitzuteilen. Tun Sie das bitte wirklich.

Fred Bker ([email protected])

2

Kapitel 1 Einfhrung, I: Algebra

Kapitel 1 Einfhrung, I: Algebra

1.1

1. (a) Wahr. (b) Falsch. 5 ist kleiner als 3, so dass 5 auf der Zahlengeraden links von 3 liegt.(Siehe Abb. 1.1.1 imBuch.) (c) Falsch.13 ist eine ganze, aberkeine natrlicheZahl. (d) Wahr. Jedenatrliche Zahl ist eine rationale Zahl. Zum Beispiel: 5 = 5/1. (e) Falsch, da 3.1415 = 31415/10000ein Quotient aus zwei ganzen Zahlen ist. (f) Falsch. Gegenbeispiel:

2 + (2) = 0. (g) Wahr.

(h) Wahr.

1.3

9. (a) (2t 1)(t2 2t + 1) = 2t(t2 2t + 1) (t2 2t + 1) = 2t3 4t2 + 2t t2 + 2t 1 = 2t3 5t2 + 4t 1(b) (a + 1)2 + (a 1)2 2(a + 1)(a 1) = a2 + 2a + 1 + a2 2a + 1 2a2 + 2 = 4(c) (x+y+z)2 = (x+y+z)(x+y+z) = x(x+y+z)+y(x+y+z)+z(x+y+z) = x2+xy+xz+yx+y2+yz+zx+zy+z2 =x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz (d) (xyz)2 = (xyz)(xyz) = x2xyxzxy+y2+yzxz+yz+z2,so dass (x + y + z)2 (x y z)2 = 4xy + 4xz.

13. (a) a2 + 4ab + 4b2 = (a + 2b)2 nach der ersten binomischen Formel (1.3.1).(d) 9z2 16w2 = (3z 4w)(3z + 4w) nach der Formel fr die Differenz von Quadraten (1.3.3).(e) 15x2 + 2xy 5y2 = 15 (x2 10xy +25y2) = 15 (x 5y)2 (f) a4 b4 = (a2 b2)(a2 + b2). Es wird dieFormel fr die Differenz von Quadraten (1.3.3) verwendet. Da a2 b2 = (ab)(a +b), folgt die Antwortim Buch.

1.4

5. (a)1

x 2 1

x + 2=

x + 2(x 2)(x + 2)

x 2(x + 2)(x 2) =

x + 2 x + 2(x 2)(x + 2) =

4x2 4

(b) Da 4x + 2 = 2(2x + 1) und 4x2 1 = (2x + 1)(2x 1), lautet der kleinste gemeinsame Nenner2(2x + 1)(2x 1). Hieraus folgt:6x + 254x + 2

6x2 + x 24x2 1 =

(6x + 25)(2x 1) 2(6x2 + x 2)2(2x + 1)(2x 1) =

21(2x 1)2(2x + 1)(2x 1) =

212(2x + 1)

(c)18b2

a2 9b2 a

a + 3b+ 2 =

18b2 a(a 3b) + 2(a2 9b2)(a + 3b)(a 3b) =

a(a + 3b)(a + 3b)(a 3b) =

aa 3b

(d)1

8ab 1

8b(a + 2)+

1b(a2 4) =

a2 4 a(a 2) + 8a8ab(a2 4) =

2(5a 2)8ab(a2 4) =

5a 24ab(a2 4)

(e)2t t2t + 2

(

5tt 2

2tt 2

)=

t(2 t)t + 2

3tt 2 =

t(t 2)t + 2

3tt 2 =

3t2t + 2

(f)a(1 12a

)0.25

=a 12

14

= 4a 2, so dass 2 a(1 12a

)0.25

= 2 (4a 2) = 4 4a = 4(1 a)

6. (a)2x+

1x + 1

3 = 2(x + 1) + x 3x(x + 1)x(x + 1)

=2 3x2x(x + 1)

(b)t

2t + 1 t

2t 1 =t(2t 1) t(2t + 1)

(2t + 1)(2t 1) =2t

4t2 1(c)

3xx + 2

4x2 x

2x 1(x 2)(x + 2) =

3x(x 2) + 4x(x + 2) (2x 1)(x 2)(x + 2) =

7x2 + 1x2 4

(d)

1x+

1y

1xy

=

(1x+1y

)xy

1xy

xy=

y + x1

= x + y (e)

1x2

1y2

1x2

+1y2

=

(1x2

1y2

) x2y2

(1x2

+1y2

) x2y2

=y2 x2x2 + y2

(f) Indem man Zhler und Nenner mit xy multipliziert, erhlt mana(y x)a(y + x)

=y xy + x

.

3


8. (a)14

15=

520

420

=120

, so dass(14 15

)2 = ( 120)2 = 202 = 400.(b) n n

1 1n

= n n n(1 1

n

) n

= n n2

n 1 =n(n 1) n2

n 1 =n

n 1

(c) Wenn u = xpq , folgt1

1 + xpq+

11 + xqp

=1

1 + u+

11 + 1/u

=1

1 + u+

u1 + u

= 1.

(d)

(1

x 1 +1

x2 1)(x2 1)

(x 2

x + 1

)(x2 1)

=x + 1 + 1

x3 x 2x + 2 =x + 2

(x + 2)(x2 2x + 1) =1

(x 1)2

(e)1

(x + h)2 1

x2=

x2 (x + h)2x2(x + h)2

=2xh h2x2(x + h)2

, so dass

1(x + h)2

1x2

h=

2x hx2(x + h)2

.

(f) Multiplikation des Zhlers und Nenners mit x2 1 = (x + 1)(x 1) ergibt 10x2

5x(x 1) =2x

x 1 .

1.5

5. Multiplizieren Sie Zhler und Nenner mit: (a)75. (b) 53. (c) 3+2. (d) xy yx.

(e)x + h +

x . (f) 1 x + 1.

12. (a) Fr x = 1 ergibt sich fr die linke Seite 4 und fr die rechte Seite 2. (Tatschlich ist (2x )2 = 22x .)(b) Gltig, da apq = ap/aq. (c) Gltig, da ap = 1/ap. (d) Fr x = 1 wre 5 = 1/5, welches einWiderspruch ist. (e) Fr x = y = 1 wre a2 = 2a, welches generell falsch ist. (Tatschlich ist ax+y =axay .) (f) 2

x 2y = 2x+y , nicht 2xy .

1.6

4. (a) 2 0 oder 3x + 1 2(2x + 4)2x + 4

> 0 oder

x 72x + 4

> 0. Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt, dass die Ungleichung fr 7 < x < 2 erfllt ist.Ein gravierender Fehler ist es, die Ungleichung mit 2x + 4 zu multiplizieren, ohne dass 2x + 4 > 0unterstellt wurde. Bei Multiplikation mit 2x + 4 muss im Falle der Negativitt die Richtung der Un-gleichung umgekehrt werden. (Es wre vorteilhaft, die Ungleichungen fr verschiedene Werte von xzu prfen. Zum Beispiel ist sie bei x = 0 nicht erfllt. Wie sieht es mit x = 5 aus?)(b) Die Ungleichung ist quivalent zu

120n

34

0, d.h. 3(160 n)4n

0. Ein Vorzeichen-Diagrammzeigt, dass die Ungleichung fr n < 0 und fr n 160 erfllt ist. (Beachten Sie: Fr n = 0 macht dieUngleichung keinen Sinn. Bei n = 160 besteht Gleichheit.) (c) Einfach: g(g 2) 0, usw.(d) Beachten Sie, dass p2 4p + 4 = (p 2)2. Dann lsst sich die Ungleichung auf p + 1

(p 2)2 0 redu-zieren. Der Bruch macht fr p = 2 keinen Sinn. Das Ergebnis im Buch folgt.

(e) Die Ungleichung ist quivalent zun 2n + 4

2 0, d.h. n 2 2n 8n + 4

0 oder 3n 10n + 4

0,usw. (f) Siehe Buch und verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm. (Dividieren Sie nicht durch x2, dasich dann x = 0 als falsche Lsung ergibt.)

5. (a) Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm. (b) Die Ungleichung ist fr x = 1 nicht erfllt. Wennx = 1, ist sie offensichtlich fr x + 4 > 0 erfllt, d. h. x > 4 (da (x 1)2 fr x = 1 positiv ist).(c) Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm. (d) Die Ungleichung ist fr x = 1/5 nicht erfllt.Wenn x = 1/5, ist sie offensichtlich fr x < 1 gltig. (e) Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm.((5x 1)11 < 0, wenn x < 1/5 und > 0, wenn x > 1/5.)

4

Kapitel 2 Einfhrung, II: Gleichungen

(f)3x 1

x> x +3 oder

3x 1x

(x +3) > 0 oder (1 + x2)

x> 0, so dass x < 0. (1+x2 ist immer positiv.)

(g)x 3x + 3

> 2x 1 oder x 3x + 3

(2x 1) < 0 oder 2x(x + 2)x + 3

< 0. Verwenden Sie jetzt ein Vorzeichen-

Diagramm.

(h) Nutzen Sie den Hinweis sowie ein Vorzeichen-Diagramm. (Genau genommen knnte diese und diefolgende Aufgabe in Kapitel 2.3 verschoben werden, falls das Schulalgebra-Wissen nicht vorhandenist.) (i) Nutzen Sie den Hinweis sowie ein Vorzeichen-Diagramm.

Aufgaben zur Wiederholung fr Kapitel 1

4. (a) (2x)4 = 24x4 = 16x4 (b) 21 41 = 1/2 1/4 = 1/4, so dass (21 41)1 = 4.(c) Krzen Sie den gemeinsamen Faktor 4x2yz2. (d) (ab3)3 = (1)3a3b9 = a3b9, so dass

[(ab3)3(a6b6)2]3 = [a3b9a12b12]3 = [a9b3]3 = a27b9. (e) a5 a3 a2a3 a6 =

a6

a3= a3

(f)[(x

2

)3 8x2

]3=

[ x3 88 x2

]3= (x5)3 = x15

8. Alle sind einfach zu lsen bis auf (c), (g) und (h): (c) 3 (36 ) = 3+36 = 3+332 =3 + 32. (g) (1 + x + x2 + x3)(1 x) = (1 + x + x2 + x3) (1 + x + x2 + x3)x = 1 x4.(h) (1 + x)4 = (1 + x)2(1 + x)2 = (1 + 2x + x2)(1 + 2x + x2).

11. (a) und (b) sind einfach zu lsen. (c) ax+ay+2x+2y = ax+2x+ay+2y = (a+2)x+(a+2)y = (a+2)(x+y)(d) 2x2 5yz + 10xz xy = 2x2 + 10xz (xy + 5yz) = 2x(x + 5z) y(x + 5z) = (2x y)(x + 5z)(e) p2 q2 + p q = (p q)(p + q) + (p q) = (p q)(p + q + 1) (f) Siehe Lsung im Buch.

15. (a)s

2s 1 s

2s + 1=

s(2s + 1) s(2s 1)(2s 1)(2s + 1) =

2s4s2 1

(b)x

3 x 1 xx + 3

24x2 9 =

x(x + 3) (1 x)(x 3) 24(x 3)(x + 3) =

7(x + 3)(x 3)(x + 3) =

7x 3

(c) Multiplikation des Zhlers und Nenners mit x2y2 ergibty xy2 x2 =

y x(y x)(y + x) =

1x + y

.

16. (a) Krzen Sie den Faktor 25ab. (b) x2 y2 = (x + y)(x y). Krzen Sie x + y . (c) Der Bruch kann zu(2a 3b)2

(2a 3b)(2a + 3b) =2a 3b2a + 3b

umgeschrieben werden. (d)4x x3

4 4x + x2 =x(2 x)(2 + x)

(2 x)2 =x(2 + x)2 x

Kapitel 2 Einfhrung, II: Gleichungen

2.1

3. (a) Beachten Sie, dass die Gleichung fr x = 3 und x = 4 nicht definiert ist. Multipliziert man dieGleichung mit dem Hauptnenner (x +3)(x +4), erhlt man (x 3)(x +4) = (x +3)(x 4). Somit ist x = 0.(b) Multiplikation mit dem Hauptnenner (x 3)(x + 3) ergibt 3(x + 3) 2(x 3) = 9. Wir erhaltendaraus x = 6. (c) Aus der Multiplikation mit dem Hauptnenner 15x (wobei x = 0), folgt 18x2 75 =10x2 15x + 8x2. Es ergibt sich x = 5.

5. (a) Multiplikation mit dem Hauptnenner 12 ergibt 9y 3 4 + 4y + 24 = 36y . Somit ist y = 17/23.(b) Aus der Multiplikation mit 2x(x +2) folgt 8(x +2)+6x = 2(2x+2)+7x, d. h. x = 4. (c) Multiplika-tion des Zhlers und Nenners im ersten Bruchmit 1z fhrt zu 2 2z z

(1 z)(1 + z) =6

2z + 1. Multiplikation

mit (1 z2)(2z + 1) ergibt (2 3z)(2z + 1) = 6 6z2. Somit ist z = 4. (d) Indem wir die Klammernauflsen, erhalten wir

p4

38

14+

p12

13+

p3

= 13. Die Multiplikation mit dem Hauptnenner 24

fhrt zu einer Gleichung mit der Lsung p = 15/16.

5


2.2

2. (a) Multiplizieren Sie beide Seiten mit abx, um b + a = 2abx zu erhalten. Somit ist x =a + b2ab

=

a2ab

+b

2ab=

12

(1a+1b

). (b) Multipliziert man die Gleichungmit cx+d, folgt daraus ax+b = cAx+dA

bzw. (acA)x = dAb. Somit ist x = (dAb)/(acA). (c) Multiplizieren Sie die Gleichung mit x1/2,um 12p = wx

1/2 zu erhalten. Somit ist x1/2 = p/2w , so dass durch Quadrieren jeder Seite x = p2/4w2

folgt. (d) Multiplizieren Sie jede Seite mit1 + x , um 1+x+ax = 0 zu erhalten, so dass x = 1/(1+a).

(e) x2 = b2/a2, so dass x = b/a. (f) Wir sehen sofort, dass x = 0.4. (a) x a = x b ( )x = a b, so dass x = (a b)/( ). (b) Quadrieren jeder Seite

vonpq = 3q + 5 ergibt pq = (3q + 5)2, so dass p = (3q + 5)2/q. (c) Y = 94 + 0.2(Y (20 + 0.5Y )) =

94 + 0.2Y 4 0.1Y , so dass 0.9Y = 90 und somit Y = 100. (d) Potenzieren Sie jede Seite mit demExponenten 4: K 2 12

rw

K = Q4, so dassK 3 = 2wQ4/r und somit K =(2wQ4/r

)1/3. (e) Multiplikation desZhlers und Nenners im linken Bruch mit 4K 1/2L3/4 ergibt 2L/K = r/w . Somit erhalten wir L = rK/2w .

(f) Potenzieren jeder Seite mit dem Exponenten 4 ergibt: 116p4K1

(12

rw

)= r4. Es folgt K1 = 32r3w/p4,

so dass K = 132p4r3w1.

5. (a)1s

=1t

1T

=T ttT

, so dass s =tT

T t . (b)KLM = B + L, so dass KLM = (B + L)2 und

somit M = (B + L)2/KL. (c) Multiplikation jeder Seite mit x z ergibt x 2y + xz = 4xy 4yz oder(x+4y)z = 4xyx+2y und somit z = (4xyx+2y)/(x+4y). (d) V = CCT/N , so dassCT/N = CVund somit T = N (1 V/C ).

2.3

5. (a) Siehe Lsung im Buch. (b) Wenn die erste der beiden natrlichen Zahlen n ist, dann ist die darauffolgende n + 1, so dass die Forderung n2 + (n + 1)2 = 13 ist, was sich zu 2n2 + 2n 12 = 0 vereinfachenlsst, d. h. n2 + n 6 = 0. Diese quadratische Gleichung hat die Lsungen n = 3 und n = 2, d.h. diezwei gesuchten Zahlen lauten 2 und 3. (Wenn wir nach ganzzahligen Lsungen gesucht htten, wre3 und 2 eine weitere Lsung.) (c) Wenn die krzere Seite x ist und die andere x + 14, so ist nachdem Satz des Pythagoras (siehe Anhang A.1. Fertigen Sie eine Zeichnung an.) x2 + (x + 14)2 = (34)2

oder x2 + 14x 480 = 0. Die Lsungen lauten x = 16 und x = 30, so dass die krzere Seite 16 cmlang und die lngere 16 cm + 14 cm = 30 cm lang ist. Beachten Sie: Die negative Lsung x = 30 ergibtkeinen Sinn. (d) Sei die bliche Geschwindigkeit x km/h und die bliche Fahrzeit t Stunden. Dannist xt = 80. Nun sind 16 Minuten 16/60 = 4/15 Stunden, so dass das Fahren mit der Geschwindigkeitx + 10 fr t 4/15 Stunden (x + 10)(t 4/15) = 80 entspricht. Aus der ersten Gleichung erhalten wirt = 80/x. Dies wird in die zweite Gleichung eingesetzt, so dass (x + 10)(80/x 4/15) = 80. Nach einerUmstellung ergibt sich x2 + 10x 3000 = 0 mit der positive Lsung x = 50. Demnach betrgt seinebliche Geschwindigkeit 50 km/h.

2.4

4. (a) Wenn die zwei Zahlen x und y sind, dann gilt x + y = 52 und x y = 26. Addiert man beideGleichungen, ergibt dies 2x = 78, so dass x = 39 sowie y = 52 39 = 13. (b) Die Kosten fr einenStuhl seien x Euro und die eines Tisch y Euro. Dann ist 5x + 20y = 1800 und 2x + 3y = 420. Lsendes Systems ergibt x = 120 und y = 60. (c) Sei x die Anzahl der von B produzierten Einheiten. Dannwerden x + 12x =

32x Einheiten von A produziert und es ergibt sich 300 32x + 200x = 13000 oder

650x = 13000, d. h. x = 20. Demnach sollten 30 Einheiten in der Qualitt A und 20 in der QualittB produziert werden. (d) Wenn x zu 5 % investiert wird und y zu 7.2%, folgt x + y = 10000 und0.05x + 0.072y = 676. Die Lsung betrgt x = 2000 und y = 8000.

2.5

2. (a) Der Zhler 5+x2 wird niemals 0, d. h. es gibt keine Lsungen. (b) Die Gleichung ist offensichtlich

qivalent zux2 + 1 + 2x

x2 + 1= 0 oder

(x + 1)2

x2 + 1= 0, so dass x = 1. (c) Fr x = 1 ist der Ausdruck auf

6

Kapitel 3 Einfhrung, III: Verschiedenes

der linken Seite nicht definiert. Multiplizieren Sie die Gleichungen mit (x +1)2/3. Dann verndert sichder Zhler zu x + 1 13x. Dies ist 0 fr x = 3/2. (d) Multiplikation mit x 1 und Umstellung ergibtx(2x 1) = 0. Somit ist x = 0 oder x = 1/2.

3. (a) z = 0 erfllt die Gleichung.Wenn z = 0, krzenwir z2 und erhalten: za = za+zboder z(1(a+b)) =a. Wenn a + b = 1 ist, haben wir einen Widerspruch, da a = 0. Wenn a + b = 1, folgt z = a/(1 (a + b)).(b) Die Gleichung ist quivalent zu (1 + )(x y) = 0, so dass = 1, = 0 oder x = y . (c) = 1macht die Gleichung bedeutungslos. Multiplikation der Gleichung mit 12 ergibt (1) = oder(2 ) = 0, so dass = 0 oder = 2. (d) Die Gleichung ist quivalent zu b(1 + )(a 2) = 0, so dassb = 0, = 1 oder a = 2.


2. Durch elementare Umformungen sieht man, dass die hier gegebenenGleichungen zu denen in Aufgabe2.1.3 quivalent sind.

3. (a) x = 23 (y 3) + y = 23y 2 + y = 53y 2 oder 53y = x + 2, so dass y = 35(x + 2).(b) ax cx = b + d oder (a c)x = b + d, so dass x = (b + d)/(a c).(c) Quadrieren beider Seiten von

L = Y0/AK ergibt L = (Y0/AK )2.

(d) qy = m px, so dass y = (m px)/q. (e) und (f): Siehe Lsung im Buch.5. (a) Man multipliziert die Gleichungen mit 5K 1/2, um K 1/2 = 15L1/3 zu erhalten. Quadrieren beider

Seiten ergibt K = 225L2/3. (b) Man potenziert jede Seite mit dem Exponenten 1/t, um 1 + r/100 = 21/t

zu erhalten. Somit ist r = 100(21/t 1). (c) abxb10 = p, d. h. xb10 = p/ab. Potenzieren Sie nun jedeSeite mit dem Exponenten 1/(b 1). (d) Potenzieren Sie jede Seite mit dem Exponenten , um(1 )a + b = c oder b = 1(c (1 )a) zu erhalten. Potenzieren Sie jetzt jede Seite mitdem Exponenten1/.

9. (a) Siehe Lsung imBuch. (b) Seiu = 1/x und v = 1/y . Dann reduziertsich das System auf3u+2v = 2und 2u 3v = 1/4 mit der Lsung u = 1/2 und v = 1/4. Daraus folgt, dass x = 1/u = 2 und y = 1/v = 4.(c) Siehe Lsung im Buch.


3.1

3. (a) bis (d): Betrachten Sie den letzten Term und ersetzen Sie n durch k . Summieren Sie ber k von 1bis n. (e) Die Koeffizienten sind die Potenzen 3n fr n = 1,2, 3,4,5, so dass der allgemeine Term3nxn

ist. (f) und (g): Siehe Lsung im Buch. (h) Dies ist sehr trickreich. Man sollte sehen, dass jeder Termum 198 grer ist als der vorangegangene. (Diese Aufgabe steht in Beziehung zu der Geschichte berGau in Kap. 3.2 unter Ntzliche Formeln.)

7. (a)n

k=1 ck2 = c 12 + c 22 + + c n2 = c(12 + 22 + + n2) = cnk=1 k2 (b) Falsch, selbst fr n = 2:

Die linke Seite ist (a1 + a2)2 = a21 + 2a1a2 + a22, die rechte Seite ist aber a

21 + a

22. (c) Beide Seiten sind

gleich b1 + b2 + + bN . (d) Beide Seiten sind gleich 51 + 52 + 53 + 54 + 55. (e) Beide Seiten sindgleich a20,j + + a2n1,j. (f) Falsch, selbst fr n = 2: Die linke Seite ist a1 + a2/2, die rechte Seite ist aber(1/k)(a1 + a2).

3.2

5. Man brauchthier nicht unbedingt das Summationszeichen zu verwenden.Die Summe ist a+(a+d)+(a+2d)+ +(a+(n1)d). Das sind n Terme. Die Summe aller as betrgtna. Der Rest ist d(1+2+ +n1).Dann verwendet man Formel (3.2.4).

7


3.3

1. (a) SieheBuch. (b)2

s=0

4r=2

(rsr+s

)2=

2s=0

[(2s2+s

)2+(

3s3+s

)2+(

4s4+s

)2]=

(23

)2+(34

)2+(45

)2+(44

)2+(65

)2+(86

)2=

5 + 31133600 (c)m

i=1

nj=1 i j2 =

mi=1 i

nj=1 j

2 = 12m(m+1) 16n(n+1)(2n +1) = 112m(m+ 1)n(n+1)(2n +1),wobei wir (3.2.4) und (3.2.5) verwendet haben.

4. a ist der Mittelwert von ass, da a =1n

ns=1

(1m

mr=1

ars

)=

1n

ns=1

as.

Um () zu beweisen, muss beachtet werden, dass arj a unabhngig vom Summationsindex s ist. Es istein gemeinsamer Faktor,wennwir ber s summieren, so dass

ms=1(arj a)(asj a) = (arj a)

ms=1(asj a)

fr jedes r gilt. Als nchstes ergibt die Summation ber r

mr=1

ms=1

(arj a)(asj a) =[ m

r=1

(arj a)][ m

s=1

(asj a)]. ()

Indem wir die Eigenschaften von Summen und die Definition von aj verwenden, erhalten wir

mr=1

(arj a) =mr=1

arj mr=1

a = maj ma = m(aj a).

Auf gleiche Weise, indem wir r durch s als Summationsindex ersetzen, erhalten wirm

s=1(asj a) =m(aj a). Dann setzt man diese Werte in () ein und es folgt ().

3.4

6. (a) Wenn (i)x 4 = x + 5 9, dann ist auch (ii) x 4 = (x + 5 9)2, was wir durch Quadrieren

beider Seiten von (i) erhalten. Berechnet man das Quadrat auf der rechten Seite von (ii), ergibt sichx + 5 = 5 und somit x + 5 = 25, d. h. x = 20. Das zeigt: Wenn x eine Lsung von (i) ist, so ist x = 20.

Kein anderer Wert fr x kann die Gleichung (i) erfllen. Sobald wir aber die Lsung berprfen,finden wir heraus, dass mit x = 20 die linke Seite von (i)

16 = 4 ergibt, whrend die rechte Seite

25 9 = 5 9 = 4 ist. Somit sind linke und rechte Seite verschieden, d. h. die Gleichung (i) hat inWirklichkeit berhaupt keine Lsung. (Aber beachten Sie, dass 42 = (4)2, d. h. das Quadrat der linkenSeite ist gleich demQuadrat der rechten Seite. Das ist der Grund,warum sich die falsche Lsung x = 20einschleichen konnte.)(b) Wenn x eine Lsung von (iii)

x 4 = 9 x + 5 ist, dann finden wir wie in (a) heraus, dass x

eine Lsung von (iv) x 4 = (9x + 5 )2 sein muss. Nun ist (9x + 5 )2 = (x + 59)2, so dass dieGleichung (iv) quivalent zu der Gleichung (ii) aus (a) ist. Das bedeutet, dass (iv) genau eine Lsunghat, nmlich x = 20. Indem wir diesen Wert fr x in die Gleichung (iii) einsetzen, ergibt sich, dassx = 20 eine Lsung von (iii) ist.Eine geometrische Erklrung der Resultate kann in Verbindung mit der folgenden Abbildung gegebenwerden.

y

-5

5

x5 10 15 20 25

y = 9 x + 5

y =

x 4

y =

x + 5 9

Abbildung CWS3.4.6

8


Man kann sehen, dass die zwei durchgezogenenKurven in der Abbildung keinen gemeinsamen Punkthaben,d. h. die Ausdrcke

x 4undx + 59 sind fr keinemWert vonx gleich. (Tatschlich erhht

sich die Differenzx 4(x + 59) mit zunehmendenx, so dass es auchkeinen Schnittpunktweiter

rechts geben kann.) Dies erklrt, warum die Gleichung in (a) keine Lsung hat. Andererseits schneidetdie gestrichelte Kurve y = 9x + 5 die Kurve y = x + 5 bei x = 20 (und nur da). Dies entspricht derLsung aus (b).Anmerkung: In (a) war es notwendig die Lsung zu berprfen,da der bergang von (i) zu (ii) lediglicheine Implikation und keine quivalenz ist. In gleicher Weise war es notwendig das Ergebnis in (b) zuberprfen, da der bergang von (iii) zu (iv) ebenso nur eine Implikation ist zumindest ist einequivalenz nicht klar erkennbar. (Es stellte sich zwar eine quivalenz heraus. Das konnten wir abernicht wissen, bevor wir die Gleichung gelst hatten.)

7. (a) Hier haben wir dann und nur dann, da4 = 2. (b) Unter Zuhilfenahme eines Vorzeichen-

Diagramms kann man sehen, dass x(x + 3) < 0 ist, wenn x in dem offenen Intervall (3, 0) liegt.Demnach haben wir eine Implikation von links nach rechts (d. h. nur wenn), jedoch nicht in dieandere Richtung. (Zum Beispiel, wenn x = 10, dann ist x(x + 3) = 130.) (c) x2 < 9 3 < x < 3,so dass x2 < 9 nur wenn x < 3. Wenn z.B. x = 5 ist, haben wir x < 3, aber x2 > 9. Deshalb kannwenn nicht gelten. (d) x2 + 1 ist niemals 0, so dass dann und nur dann gilt. (e) Wenn x > 0,dann ist x2 > 0, aber x2 > 0 kann auch gelten, wenn x < 0. (f) x4 + y4 = 0 x = 0 und y = 0.Wenn x = 0 und z.B. y = 1, folgt x4 + y4 = 1, so dass wenn nicht gelten kann.

9. (a) Wenn x und y nicht beide nichtnegativ sind, so muss wenigstens einer von ihnen negativ sein,d. h. x < 0 oder y < 0. (b) Wenn nicht alle x grer oder gleich a sind, dann muss wenigstens einx kleiner als a sein. (c) Mindestens eine der Variablen x und y ist kleiner als 5. (Wre es einfacher,wenn die zu negierende Aussage folgender wre: Weder John noch Diana ist jnger als 5 Jahre?)(d) bis (f): Siehe Lsung im Buch.

3.7

3. Fr n = 1 sind beide Seiten 1/2. Nehmen Sie an, dass () fr n = k wahr ist. Dann ist die Summe derersten k + 1 Terme:

11 2 +

12 3 +

13 4 + +

1k(k + 1)

+1

(k + 1)(k + 2)=

kk + 1

+1

(k + 1)(k + 2).

Aberk

k + 1+

1(k + 1)(k + 2)

=(k + 1)2

(k + 1)(k + 2)=

k + 1k + 2

, was () fr n = k + 1 ist. Deshalb ist nach demPrinzip der mathematischen Induktion () fr alle n wahr.

4. Die Behauptung ist fr n = 1 wahr. Nehmen Sie als Induktionshypothese an, dass k3 + (k +1)3 + (k +2)3

durch 9 teilbar ist. Beachten Sie, dass (k +1)3 + (k +2)3 + (k +3)3 = (k +1)3 + (k +2)3 +k3 +9k2 +27k +27 =k3+(k+1)3 +(k+2)3 +9(k2+3k+3). Dies ist durch9 teillbar, da die Induktionshypothese impliziert, dassdie Summe der ersten drei Terme durch 9 teilbar ist, whrend der letzte Term offensichtlich ebensodurch 9 teilbar ist.

Aufgaben zur Wiederholung zu Kapitel 3

6. (b) falsch, da x2 = 16 auch die Lsung x = 4 hat, wahr, denn aus x = 4 folgt x2 = 16. (c) wahr, falsch, denn fr y > 2 und x = 3 gilt (x 3)2(y + 2) = 0. (d) und sind beide wahr,da die Gleichung x3 = 8 nur die einzige Lsung x = 2 hat. (Nach der Terminologie in Kapitel 6.3 istf (x) = x3 streng monoton wachsend. Siehe Aufgabe 6.3.3 und den Graphen in Abb. 4.3.7.)

9. BetrachtenSie Abb.A3.6.8 imBuch.Seink die ZahlderStudierenden inderMengeSk fr k = 1,2, . . . , 8.Es seien A, B und C die Mengen der Studierenden, die Englisch, Franzsisch bzw. Spanisch studieren.Da 10 Studenten alle drei Sprachen studieren, ist n7 = 10. Es gibt 15, die Franzsisch und Spanischstudieren, so dass 15 = n2 + n7, d. h. n2 = 5. Weiterhin ist 32 = n3 + n7, so dass n3 = 22. Ferner ist110 = n1 +n7, d. h. n1 = 100. Die restlichen Informationen implizieren, dass 52 = n2 +n3 +n6 +n7 ist, so

9


dass n6 = 52 52210 = 15. Ferner ist 220 = n1 +n2 +n5 +n7, so dass n5 = 220 100 510 = 105.Schlielich ist 780 = n1 + n3 + n4 + n7, so dass n4 = 780 100 22 10 = 648. Die Antworten zu denFragen sind: (a): n1 = 100. (b): n3 + n4 = 648 + 22 = 670. (c) 1000 8i=1 ni = 1000 905 = 95.

Kapitel 4 Funktionen einer Variablen

4.2

1. (a) f (0) = 02+1 = 1, f (1) = (1)2+1 = 2, f (1/2) = (1/2)2+1 = 1/4+1 = 5/4und f (2) = (2)2+1 = 2+1 =3. (b) (i) Da (x)2 = x2, folgt f (x) = f (x) fr alle x. (ii) f (x+1) = (x+1)2+1 = x2+2x+1+1 = x2+2x+2und f (x) + f (1) = x2 + 1 + 2 = x2 + 3. Demnach gilt dies genau dann, wenn x2 + 2x + 2 = x2 + 3,d. h. genau dann, wenn x = 1/2. (iii) f (2x) = (2x)2 + 1 = 4x2 + 1 und 2f (x) = 2x2 + 2. Nun ist4x2 + 1 = 2x2 + 2 x2 = 1/2 x = 1/2 = 12

2.

10. (a) Nein: f (2 + 1) = f (3) = 18, whrend f (2) + f (1) = 10. (b) Ja: f (2 + 1) = f (2) + f (1) = 9. (c) Nein:f (2 + 1) = f (3) =

3 1.73, whrend f (2) + f (1) = 2 + 1 2.41.

13. (a) Wir mssen 5 x 0, d.h. x 5 voraussetzen. (b) Der Nenner x2 x = x(x 1) muss von 0verschieden sein, d.h. x = 0 und x = 1. (c) Zunchst muss der Nenner von 0 verschieden sein, sodass wir x = 2 und x = 3 verlangen. Da wir die Quadratwurzel nur aus einer nichtnegativen Zahlziehen knnen, muss der Bruch (x 1)/(x 2)(x + 3) 0 sein. Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt, dassDf = (3, 1] (2,). Beachten Sie insbesondere, dass die Funktion an der Stelle x = 1 definiert ist undden Wert 0 hat.

15. g ist offensichtlich fr x 2 definiert, d. h. Dg = [2,). Beachten Sie, dass g(2) = 1 und g(x) 1fr alle x Df . Wenn x von 2 bis wchst, fllt g(x) von 1 bis , so dass Rg = (, 1].

4.4

3. Wenn D = a + bP , dann ist 200 = a + 10b und 150 = a + 15b. Auflsen nach a und b ergibt a = 300 undb = 10, so dass D = 300 10P .

4. L1: Die Steigung ist offensichtlich 1. Mithilfe der Punkt-Steigungs-Formelmit (x1,y1) = (0, 2) und a = 1ergibt sich y = x + 2. L2: Nutzt man die Zwei-Punkte-Formel mit (x1, y1) = (0, 3) und (x2, y2) = (5, 0)

ergibt sich: y 3 = 0 35 0x bzw. y =

35x +3. L3: Die Steigung ist 0. Somit lautet die Gleichung y = 1.

Fr L4 und L5: siehe Buch.

10. Die Punkte, die die Ungleichung 3x +4y 12 erfllen, liegen auf oder unterhalb der Geraden 3x +4y =12, wie es im Beispiel 6 fr eine hnliche Ungleichung erklrt wurde. Die Punkte, die die Ungleichungx y 1 oder (quivalent) y x 1 erfllen, liegen auf oder oberhalb der Geraden x y = 1.Schlielich liegen die Punkte, die die Ungleichung 3x +y 3 oder (quivalent) y 33x erfllen, aufoder oberhalb der Geraden 3x + y = 3. Die Menge der Punkte, die alle drei Ungleichungen gleichzeitigerfllen, ist in Abb. A.4.4.10 im Buch dargestellt.

4.5

3. Aus der Zwei-Punkte-Formel folgt C 200 = 275 200150 100(x 100) oder C =

32x + 50.

4.6

2. Ergnzungen zu den Lsungen aus dem Buch: (c) Formel (4.6.4) mit a = 12 und b = 1 ergibtx = 1 als den Maximumpunkt. (Alternativ kann quadratisch ergnzt werden: f (x) = 12 (x2 + 2x 3) = 12 (x2 + 2x +14) = 12 (x +1)2 + 2, worauswir sofort sehen, dass f (x) denMaximalwert 2 an der Stellex = 1 hat.) (e) Verwenden Sie (2.3.5) oder multiplizieren Sie die Klammern aus, um die Formel frf (x) zu verifizieren. Benutzen Sie ein Vorzeichen-Diagramm,um die Vorzeichen fr f (x) zu bestimmen.

10

Kapitel 4 Funktionen einer Variablen

6. Auflsen ergibtU (x) = (1 + r2)x2 + 8(r 1)x. Verwenden Sie dann Formel (4.6.4) mit a = (1 + r2) undb = 8(r 1).

9. (b) Wenn B2 4AC > 0, dann hat nach Formel (2.3.4) die Gleichung f (x) = Ax2 + Bx + C = 0 zweiverschiedene Lsungen. Dies ist nicht mglich, wenn f (x) 0 fr alle x. Hieraus folgt: A = a21 + a22 + + a2n, B = 2(a1b1 + a2b2 + + anbn) und C = b21 + b22 + + b2n, so dass die Behauptung folgt.

4.7

1. (a) Die ganzzahligen Lsungen mssen Teiler von 6 sein, d. h. 1, 2, 3 und 6 sind die einzigenmglichen ganzzahligen Lsungen. Dabei sind 2, 1, 1 und 3 Lsungen. Da es nicht mehr als vierLsungen fr ein Polynom vom Grad 4 geben kann, sind alle Lsungen gefunden.(b) Dieselben mglichen ganzzahligen Lsungen wie in (a). Dabei sind 6 und 1 die ganzzahligenLsungen. (Die dritte Lsung lautet 1/2.)(c) Weder 1 noch 1 erfllt die Gleichung, so dass es keine ganzzahligen Lsungen gibt.(d) Zuerstmultipliziert man die Gleichung mit 4, um ganzzahlige Koeffizienten zu erhalten. Dann sind1, 2 und 4 die einzig mglichen ganzzahligen Lsungen. Dabei sind 1, 2 und 2 die Lsungen.

3. (a) Die Antwort ist 2x2 + 2x + 4 + 3/(x 1), da

(2x3 + 2x 1) (x 1) = 2x2 + 2x + 42x3 2x2

2x2 + 2x 12x2 2x

4x 14x 4

3 Rest

(b) Die Antwort ist x2 + 1, da

(x4 + x3 + x2 + x) (x2 + x) = x2 + 1x4 + x3

x2 + xx2 + x

0 kein Rest

(c) Die Antwort ist x3 4x2 + 3x + 1 4x/(x2 + x + 1), da

(x5 3x4 + 1) (x2 + x + 1) = x3 4x2 + 3x + 1x5 + x4 + x3

4x4 x3 + 1 4x4 4x3 4x2

3x3 + 4x2 + 13x3 + 3x2 + 3x

x2 3x + 1x2 + x + 1

4x Rest

11


(d) Die Antwort ist 3x5 + 6x3 3x2 + 12x 12 + (28x2 36x + 13)/(x3 2x + 1), da

(3x8 x2 + 1) (x3 2x + 1) = 3x5 + 6x3 3x2 + 12x 123x8 6x6 + 3x5

6x6 3x5 + x2 + 16x6 12x4 + 6x3

3x5 + 12x4 6x3 + x2 + 1 3x5 + 6x3 3x2

12x4 12x3 + 4x2 + 112x4 24x2 + 12x

12x3 + 28x2 12x + 1 12x3 + 24x 12

28x2 36x + 13 Rest

4. (a) y = 12(x + 1)(x 3). (Da der Graph die x-Achse in den beiden Punkten x = 1 und x = 3schneidet, probieren wir es mit der quadratischen Funktion: f (x) = a(x + 1)(x 3). Dann istf (1) = 4a und der Graph verluft durch den Punkt (1,2), d. h. f (1) = 2 = 4a. Des-halb muss a = 1/2 sein.) (b) Da die Gleichung f (x) = 0 die Lsungen x = 3, 1,2 hat, pro-bieren wir die kubische Funktion f (x) = b(x + 3)(x 1)(x 2). Dann ist f (0) = 6b. Am Gra-phen sehen wir: f (0) = 12. Somit ist b = 2 und demnach y = 2(x + 3)(x 1)(x 2).(c) y = 12 (x + 3)(x 2)2. (Wir versuchen ein Polynom in der Form f (x) = c(x 2)2(x + 3) mit x = 2 alsdoppelte Nullstelle. Dann ist f (0) = 12c. Am Graphen sehen wir, dass f (0) = 6 und somit c = 1/2.)

8. Mit Polynomdivision erhlt man

(x2 x ) (x + ) = x ( + )x2 + x

( + )x ( + )x ( + )

( + ) Rest

und somit

E = (x ( + ) + ( + )

x +

)= x ( + ) + ( + )

x +

4.8

4. (a) C. Der Graph ist eine Parabel. Da der Koeffizient von x2 positiv ist, hat sie einen Minimumpunkt.(b) D. Die Funktion ist definiert fr x 2 und schneidet die y-Achse an der Stelle y = 22 2.8.(c) E. Der Graph ist eine Parabel. Da der Koeffizient von x2 negativ ist, hat sie einen Maximumpunkt.(d) B. Wenn x steigt, fllt y und y geht gegen 2, wenn x gro wird.(e) A. Die Funktion ist definiert fr x 2 und steigt, wenn x steigt.(f) F. Sei y = 2 ( 12 )x . Dann steigt y , wenn x steigt. Fr groeWerte von x nhert sich y der Zahl 2 an.

5. (a) Siehe Lsung im Buch. (b) 9t = (32)t = 32t und (27)1/5/3 = (33)1/5/3 = 33/5/3 = 32/5. Dann ist2t = 2/5 und somit t = 1/5.

4.9

10. Setzen Sie y = Abx mit b > 0. In (a) erhalten wir dann, da der Graph durch die Punkte (x, y) = (0, 2)und (x, y) = (2, 8) verluft: 2 = Ab0, d.h. A = 2 und 8 = 2b2, so dass b = 2. Daher ist y = 2 2x .In (b) haben wir: 23 = Ab

1 und 6 = Ab. Es folgt: A = 2 und b = 3 und somit y = 2 3x .In (c) haben wir: 4 = Ab0 und 1/4 = Ab4. Es folgt: A = 4, b4 = 1/16 und somit b = 1/2. Demnach isty = 4(12 )

x .

12

Kapitel 5 Eigenschaften von Funktionen

4.10

3. (a) und (c): siehe Buch. (b) Da lnx2 = 2 ln x, ist 7 ln x = 6, so dass ln x = 6/7 und somit x = e6/7.

4. (a) ln(Aert) = ln(Best), so dass lnA + rt = lnB + st oder (r s)t = ln(B/A) und somit t = 1r s ln

BA.

(b) t =1

0.09 0.02 ln5.6 10121.2 1012 =

10.07

ln143

22.Bezogen auf die Aufgabenstellung htten die zwei Lnder in ungefhr 22 Jahren (d.h. im Jahr 2012) einidentisches BSP.


4. (a) Wir mssen x2 1 haben, d.h. x 1 oder x 1. (Siehe Abb. 4.3.6.)(b) Die Quadratwurzel ist fr x 4 definiert, jedoch wird bei x = 4 der Nenner 0, so dass x > 4gelten muss. (c) Wir mssen (x 3)(5 x) 0 haben, d.h. 3 x 5 (unter Verwendung einesVorzeichen-Diagramms).

7. (a) Die Punkt-Steigungs-Formel ergibt: y 3 = 3(x + 2) oder y = 3x 3.(b) Die Zwei-Punkte-Formel ergibt: y 5 = 7 5

2 (3) (x (3)) oder y = 2x/5 + 31/5.

(c) y b = 3b b2a a (x a) oder y = (2b/a)x b.

10. (1,3) liegt auf dem Graphen, wenn 3 = a + b + c; (0,6) liegt auf dem Graphen, wenn 6 = c und(3, 15) liegt auf dem Graphen, wenn 15 = 9a + 3b + c. Es folgt: a = 2, b = 1 und c = 6.

14. (a) p(x) = x(x2 + x 12) = x(x 3)(x + 4), da x2 + x 12 = 0 fr x = 3 und x = 4.(b) 1, 2, 4 und 8 sind die einzig mglichen Nullstellen. Durch Ausprobieren erhalten wir q(2) =q(4) = 0, so dass 2(x 2)(x + 4) = 2x2 + 4x 16 ein Faktor von q(x) ist. Polynomdivision ergibt:q(x) (2x2 + 4x 16) = x 1/2, so dass q(x) = 2(x 2)(x + 4)(x 1/2).

16. Wir verwenden (4.7.5) und bezeichnen die Polynome jeweils mit p(x). (a) p(2) = 82k = 0 fr k = 4.(b) p(2) = 4k2 + 2k 6 = 0 fr k = 3/2 und k = 1. (c) p(2) = 26 + k = 0 fr k = 26.(d) p(1) = k2 3k 4 = 0 fr k = 1 und k = 4.

17. Da p(2) = 0, ist x 2 ein Faktor von p(x). Wir erhalten: p(x) (x 2) = 14 (x2 2x 15) = 14 (x +3)(x 5),so dass x = 3 und x = 5 weitere Nullstellen sind. (Alternativ: q(x) hat die gleichen Nullstellen wie4p(x) = x34x211x+30. Dieses Polynom kannnur1,2,3,5,10,15 und30 als ganzzahligeNullstellen haben. Es ist sehr aufwendig, die Nullstellen auf diese Weise zu bestimmen.)

21. (a) ln(x/e2) = ln x ln e2 = lnx 2 (b) ln(xz/y) = ln(xz) ln y = lnx + ln z ln y (c) ln(e3x2) =ln e3 + ln x2 = 3 + 2 ln x fr x > 0. (Im Allgemeinen ist ln x2 = 2 ln |x|.) (d) Siehe Buch.

Kapitel 5 Eigenschaften von Funktionen

5.1

3. Die Gleichgewichtsbedingung lautet 106 P = 10 + 2P und somit ist P = 32. Die dazugehrige Mengeist Q = 106 32 = 74. Siehe Abb. A5.1.3 im Lsungskapitel des Buches.

6. f (y d) = f (y)c ergibtA(y d)+B(y d)2 = Ay+B(y)2c oderAy Ad+B(y)22Bdy+Bd2 =Ay + B(y )2 c. Hieraus folgt: y = [Bd2 Ad + c]/2Bd.

5.2

4. Wenn f (x) = 3x + 7, dann ist f (f (x)) = f (3x + 7) = 3(3x + 7) + 7 = 9x + 28. f (f (x)) = 100 verlangt9x + 28 = 100. Somit ist x = 8.

13


5.3

4. (a) f hat eine Inverse, da sie Eins-zu-Eins ist. Dies wird in der Tabelle deutlich: alle Zahlen aus derzweiten Zeile, dem Definitionsbereich von f 1, sind verschieden. Die Inverse ordnet jeder Zahl derzweiten Zeile die dazugehrige Zahl der ersten Zeile zu.(b) Da f (0) = 4 und f (x) immer um 2 steigt, wenn x um eine Einheit steigt, lautet die Funktion f (x) =2x + 4. Auflsen von y = 2x + 4 nach x ergibt x = 12y 2. Demnach ist f 1(x) = 12x 2.

9. (a) (x3 1)1/3 = y x3 1 = y3 x = (y3 + 1)1/3. Wenn wir x als unabhngige Variableverwenden, ist f 1(x) = (x3 + 1)1/3. R ist der Definitionsbereich sowie der Wertebereich fr f und f 1.

(b) Der Definitionsbereich von f ist die Menge aller x = 2. Fr x = 2 gilt: x + 1x 2 = y x + 1 =

y(x 2) (1 y)x = 2y 1 x = 2y 11 y =

2y + 1y 1 . Wenn wir x als unabhngige Variable

verwenden, gilt: f1(x) = (2x +1)/(x 1). Der Definitionsbereich der Inversen ist die Menge aller x = 1.(c) Hier gilt: y = (1x3)1/5 +2 y 2 = (1x3)1/5 (y 2)5 = 1x3 x3 = 1 (y 2)5 x = (1 (y 2)5)1/3. Mit x als unabhngiger Variable erhalten wir f 1(x) = (1 (x 2)5)1/3. R ist derDefinitionsbereich und Wertebereich fr f und f 1.

10. (a) Der Definitionsbereich ist R und der Wertebereich ist (0,), so dass die Inverse in (0,) definiertist. Aus y = ex+4 erhalten wir ln y = x + 4, so dass x = ln y 4 fr y > 0. (b) Der Wertebereich ist R,welches damit Definitionsbereich der Inversen ist. Aus y = ln x4 erhalten wir ln x = y +4 und darausx = ey+4. (c) Der Definitionsbereich ist R. y steigt und wenn x , folgt: y ln 2. Ferner gilt:y , wenn x . Somit ist der Wertebereich der Funktion (ln 2,). Aus y = ln(2+ ex3) erhaltenwir 2 + ex3 = ey , so dass ex3 = ey 3 und demnach x = 3 + ln(ey 3) fr y > ln 2.

11. Wir mssen x = 12 (ey ey ) nach y auflsen. Wir multiplizieren die Gleichung mit ey und erhalten:

12e

2y 12 = xey oder e2y 2xey 1 = 0. Die Substitution von ey = z ergibt z2 2xz 1 = 0 mit denLsungen z = xx2 + 1. Das Minus-Zeichen wrde z = ex negativ machen, was unmglich ist. Somitgilt z = ey = x +

x2 + 1. Daraus ergibt sich y = ln

(x +

x2 + 1

)als inverse Funktion.

5.4

1. (a) Es ist angebracht, zu untersuchen, ob die Kurve die Achsen schneidet, indem man zuerst x = 0und dann y = 0 setzt. Hieraus ergeben sich vier Punkte. Whlen Sie dann einige Werte von x mit6 < x < 6 und berechnen Sie die dazugehrigen Werte von y . Argumentieren Sie, warum derGraph symmetrisch zur x- und y-Achse ist. (Die Kurve wird als Ellipse bezeichnet. Siehe Kap. 5.5.)(b) Dieser Graph ist symmetrisch zur x- und y-Achse. (Wenn (a, b) auf dem Graphen liegt, so gilt diesauch fr (a,b), (a, b) und (a,b).) (Der Graph ist eine Hyperbel. Siehe Kap. 5.5.)

2. Wir sehen, dass x 0 und y 0 gelten muss. Wenn (a, b) auf dem Graphen liegt, so gilt dies auch fr(b, a), so dass der Graph symmetrisch zur Geraden y = x ist. Siehe Lsung im Buch.

5.5

4. (a) SieheBuch. (b) DaderKreis denMittelpunkt (2, 5)hat, lautet seineGleichung (x2)2+(x5)2 = r2.Da (1, 3) auf dem Kreis liegt, gilt: (1 2)2 + (3 5)2 = r2, so dass r2 = 13.

8. x2 + y2 + Ax + By + C = 0 x2 + Ax + y2 + By + C = 0 x2 + Ax + ( 12A)2 + y2 + By + ( 12B)2 =14 (A

2 + B2 4C ) (x + 12A)2 + (y + 12B)2 = 14 (A2 + B2 4C ). Der letzte Ausdruck ist die Gleichungeines Kreises mit Mittelpunkt

( 12A, 12B) und Radius 12A2 + B2 4C. Wenn A2 + B2 = 4C , bestehtder Graph nur aus dem Punkt

( 12A, 12B). Fr A2 + B2 < 4C ist die Lsungsmenge leer.

5.6

1. In jedemFall (auer in (c)) definiertdie Regel eine Funktion, da sie allen Elementen derAusgangsmengeein eindeutiges Element der Zielmenge zuordnet. Zum Beispiel in (d): Wenn das Volumen V gegeben

14

Kapitel 6 Differentialrechnung

ist, ist die Oberflche S einer Kugel eindeutig bestimmt: V = 43r3 = 43(S/4)

3/2 ergibt r =(3V4

)1/3

und somit S = 4r2 = 4(3V4

)2/3= (36)1/3V 2/3 (Die Formeln fr die Oberflche bzw. das Volumen

einer Kugel mit Radius r sind im Anhang A.1 des Buches zu finden.)


3. (a) Gleichgewichtsbedingung: 150 12P = 20 + 2P. Dies ergibt P = 52 und Q = 20 + 2P = 124. Fr(b) und (c): siehe Lsungen im Buch.

7. (a) f ist definiert und streng monoton wachsend fr ex > 2, d.h. x > ln 2. Der Wertebereich ist R.(f (x) , wenn x ln 2+ und f (x) , wenn x .) Aus y = 3 + ln(ex 2) erhalten wirln(ex 2) = y 3 und somit ex 2 = ey3 oder ex = 2 + ey3, so dass x = ln(2 + ey3). Daher giltf 1(x) = ln(2 + ex3) fr x R.(b) Beachten Sie, dass f streng monoton wachsend ist. Ferner gilt ex , wenn x undex 0, wenn x . Deswegen gilt: f (x) 0, wenn x und f (x) 1, wenn x . Somitist der Wertebereich von f und damit der Definitionsbereich von f 1 gleich (0, 1). Aus y =

aex + a

erhalten wir ex + a = a/y , so dass ex = a(1/y 1) oder x = ln a + ln(1/y 1). Daraus ergibt sichx = (1/) ln a (1/) ln(1/y 1). Demnach ist die Inverse f 1(x) = (1/) ln a (1/) ln(1/x 1) frx (0, 1).


6.2

5. Um die Steigung der Tangente zu bestimmen, verwenden wir das Rezept (6.2.3).(a) (A): f (x0 + x) = f (0 + x) = 3 x + 2 (B): f (x0 + x) f (x0) = f (x) f (0) = 3x + 2 2 = 3 x(C) bis(D): [f (x) f (0)]/x = 3 (E): [f (x) f (0)]/x = 3 3, wenn x 0, so dass f (0) = 3. DieSteigung der Tangente im Punkt (0, 2) ist 3.(b) (A): f (x0 +x) = f (1 +x) = (1 +x)2 1 = 1+2 x + (x)2 1 = 2x + (x)2 (B): f (1 +x) f (1) =2 x + (x)2 (C) bis (D): [f (1 + x) f (1)]/x = 2 + x (E): [f (1 + x) f (1)]/x = 2 + x 2, wennx 0, so dass f (1) = 2.(c) (A): f (3 + x) = 2 + 3/(3 + x) (B): f (3 + x) f (3) = 2 + 3/(3 + x) 3 = x/(3 + x) (C) bis (D):[f (3 + x) f (3)]/x = 1/(3 + x) (E): [f (3 + x) f (3)]/x = 1/(3 + x) 1/3, wenn x 0, sodass f (3) = 1/3.(d) [f (x) f (0)]/x = ((x)3 2 x)/x = (x)2 2 2, wenn x 0, so dass f (0) = 2.(e)

f (1 + x) f (1)x

= 1 + x + 1/(1 + x) + 2x

=x

1 + x 0, wenn x 0, so dass f(0) = 0.

(f)f (1 + x) f (1)

x=

(1 + x)4 1x

=(x)4 + 4 (x)3 + 6 (x)2 + 4 x + 1 1

x= (x)3 + 4 (x)2 +

6 x + 4 4, wenn x 0, so dass f (1) = 4.

8. (a)(

x + x x )(x + x +x ) = (x + x )2 +x + x x xx + x (x)2 = x +x x = x.(b)

f (x + x) f (x)x

=(x + x x)(x + x + x)

x(x + x +

x)

=x

x(x + x +

x)

=1

x + x +x

(c) Folgt aus (b).

6.5

5. (a)1/3 2/3h

h 2 =3h

(1/3 2/3h)3h(h 2) =

h 23h(h 2) =

13h

16, wenn h 2.

(b) Fr x 0 gilt: x2 1 1 und 1/x2 , so dass der Bruch keinen endlichen Grenzwert hat,sondern gegen strebt.

15


(c)32t 96t2 2t 3 =

32(t 3)(t 3)(t + 1) =

32t + 1

8, wenn t 3, so dass 3

32t 96t2 2t 3

38 = 2, wenn t 3.

(d)

h + 3 3

h=

(h + 3 3)(h + 3 + 3)

h(h + 3 +

3)

=h + 3 3

h(h + 3 +

3)

=1

h + 3 +3

123=

36

, wenn

h 0.

(e)t2 4

t2 + 10t + 16=

(t + 2)(t 2)(t + 2)(t + 8)

=t 2t + 8

23, wenn t 2.

(f) Beachten Sie, dass 4 x = (2 + x)(2 x), so dass limx4

2 x4 x = limx4

12 +

x

=14.

6. (a)f (x) f (1)

x 1 =x2 + 2x 3

x 1 =(x 1)(x + 3)

x 1 = x + 3 4, wenn x 1.

(b)f (x) f (1)

x 1 = x + 3 5, wenn x 2.

(c)f (2 + x) f (2)

x=

(2 + x)2 + 2(2 + x) 8x

=(x)2 + 6x

x= x + 6 6, wenn x 0.

(d) Gleiche Lsungwie in (e): Setzen Sie dort: x = x x0. (Im 2. Druck dieser Auflage werden (d) und(e) vertauscht.) .

(e)f (x0 + x) f (x0)

x=

(x0 + x)2 + 2(x0 + x) x20 2x0x

= 2x0 + 2 + x 2x0 + 2, wenn x 0.

(f)f (x0 + x) f (x0 x)

x=

(x0 + x)2 + 2x0 + 2 x (x0 x)2 2x0 + 2 xx

= 4x0 + 4 4x0 + 4,wenn x 0.

7. (a) x3 8 = 0 hat die Lsung x = 2. Polynomdivision ergibt: x3 8 = (x 2)(x2 + 2x + 4).(b) und (c): siehe Buch.

6.6

7. (a) Mit f (x) = x2 gilt: limx0

f (x0 + x) f (x0)x

= limx0

(5 + x)2 52x

= f (5). Andererseits gilt f (x) = 2x,

so dass f (5) = 10. Demnach ist der Grenzwert 10. (b) und (c): siehe Buch.

6.7

3. (a) y =1x6

= x6 y = 6x7 unter Verwendung der Potenzregel (6.6.4).(b) y = x1(x2 + 1)

x = x1x2x1/2 + x1x1/2 = x3/2 + x1/2 y = 32x1/2 12x3/2

(c) y = x3/2 y = 32x5/2 (d) y =x + 1x 1 y

=1 (x 1) (x + 1) 1

(x 1)2 =2

(x 1)2(e) y =

xx5

+1x5

= x4 + x5 y = 4x5

5x6

(f) y =3x 52x + 8

3(2x + 8) 2(3x 5)(2x + 8)2

=34

(2x + 8)2

(g) y = 3x11 y = 33x12

(h) y =3x 1

x2 + x + 1 y = 3(x

2 + x + 1) (3x 1)(2x + 1)(x2 + x + 1)2

=3x2 + 2x + 4(x2 + x + 1)2

6. (a) f (x) = 6x 12 = 6(x 2) 0 x 2, so dass f monoton wachsend in [2,) ist.(b) f (x) = x3 3x = x(x2 3) = x(x 3)(x + 3), so dass (unter Verwendung einesVorzeichen-Diagramms) f monoton wachsend in

[3,0] und [3,) ist. (c) f (x) = 2(2 x2)(x2 + 2)2

=

2(2 2)(2 + 2)(x2 + 2)2

, so dass f monoton wachsend in [2,2] ist. (d) Siehe Buch.7. (a) y = 1 2x = 3 fr x = 1, so dass die Steigung der Tangente 3 betrgt. Da y = 1 fr x = 1, ergibt

die Punkt-Steigungs-Formel y 1 = 3(x 1) oder y = 3x + 4. (b) y = 4x/(x2 + 1)2 = 1 und y = 0fr x = 1, so dass y = x 1.

16


(c) y = x2 x2, so dass y = 2x +2x3 = 17/4 und y = 15/4 fr x = 2. Demnach ist y = (17/4)x 19/4.(d) y =

4x3(x3 + 3x2 + x + 3) (x4 + 1)(3x2 + 6x + 1)[(x2 + 1)(x + 3)]2

= 119

und y = 1/3 fr x = 0, so dass

y = (x 3)/9 = 19x +

13.

9. (a) Wir verwenden die Quotientenregel: y =at + bct + d

y = a(ct + d) (at + b)c(ct + d)2

=ad bc(ct + d)2

.

(b) y = tn(at + b

)= atn+1/2 + btn y = (n + 1/2)atn1/2 + nbtn1

(c) y =1

at2 + bt + c y = 0 (at

2 + bt + c) 1 (2at + b)(at2 + bt + c)2

=2at b

(at2 + bt + c)2

12. Dies ist ziemlich schwierig, da der Nenner 0 ist fr x1,2 = 2 2 ist. Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt,

dass f (x) > 0 nur in (, 0) und (x1,x2) gilt.

6.8

3. (a) y = (x2 + x + 1)5 = u5, wobei u = x2 + x + 1. Indem man die Kettenregel verwendet, erhlt many = (5)u6u = 5(2x + 1)(x2 + x + 1)6. (b) Mit u = x + x + x ergibt sich y = u = u1/2, so dassy = 12u

1/2u. Nun ist u = x + v1/2 mit v = x + x1/2. Dann gilt u = 1 + 12v1/2v , wobei v = 1 + 12x

1/2.Alles in allem ist y = 12u

1/2u = 12[x + (x + x1/2)1/2

]1/2(1 + 12 (x + x1/2)1/2(1 + 12x1/2)). (c) Siehe Buch.6. x = b ap c = b u mit u = ap c. Dann folgt dx

dp= 1

2uu = a

2ap c .

12. (a), (e) und (g) sind leicht. Fr die restlichen Aufgaben bentigt man die Kettenregel. In (d) bentigenSie die Summen-, Produkt- und Kettenregel. Siehe Buch.

6.9

4. g (t) =2t(t 1) t2

(t 1)2 =t2 2t(t 1)2 , g

(t) =(2t 2)(t 1)2 (t2 2t)2(t 1)

(t 1)4 =2(t 1)(t 1)4 =

2(t 1)3 , so dass

g (2) = 2.

5. In vereinfachter Notation ausgedrckt: y = f g + fg , y = f g + f g + f g + fg = f g + 2f g + fg ,y = f g + f g + 2f g + 2f g + f g + fg = f g + 3f g + 3f g + fg .

6.10

2. (a) dx/dt = (b + 2ct)et + (a + bt + ct2)et = (a + b + (b + 2c)t + ct2)et

(b)dxdt

=3qt2tet (p + qt3)(et + tet)

t2e2t=

(qt4 + 2qt3 pt p)ett2e2t

(c) Siehe Buch.

4. (a) y = 3x2 + 2e2x ist offensichtlich berall positiv, so dass y monoton wachsend in (, ) ist.(b) y = 10xe4x + 5x2(4)e4x = 10x(1 2x)e4x . Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt, dass y monotonwachsend im Intervall [0, 1/2] ist. (c) y = 2xex2 +x2(2x)ex2 = 2x(1x)(1+x)ex2 . Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt, dass y monoton wachsend in (,1] sowie in [0,1] ist.

6.11

3. Fr diese Aufgaben bentigenwir die Kettenregel. Dies ist eine wichtige Regel! Insbesondere bentigen

wir die Tatsache, dassddx

ln f (x) =1

f (x)f (x) =

f (x)f (x)

, wenn f eine differenzierbare Funktion ist (mit

f (x) > 0).

(a) y = ln(ln x) = ln u = y = 1uu =

1ln x

1x

=1

x ln x.

(b) y = ln1 x2 = ln u = y = 1

uu =

11 x2

2x21 x2 =

x1 x2 .

(Alternativ:1 x2 = (1 x2)1/2 = y = 12 ln(1 x2) usw.)

17


(c) y = ex lnx = y = ex ln x + ex 1x

= ex(lnx +

1x

)

(d) y = ex3ln x2 = y = 3x2ex3 lnx2 + ex3 1

x22x = ex

3(3x2 ln x2 +

2x

)

(e) y = ln(ex + 1) = y = ex

ex + 1(f) y = ln(x2 + 3x 1) = y = 2x + 3

x2 + 3x 14. (a) lnu ist definiert fr u > 0, so dass wir voraussetzenmssen, dass x + 1 > 0, d.h. x > 1.

(b) Es muss 1 x = 0 gelten, damit der Bruch definiert ist. Weiter muss 3x 11 x > 0 sein, damit

der Logarithmus definiert ist. Ein Vorzeichen-Diagramm (siehe unten) zeigt, dass3x 11 x genau dann

definiert und positiv ist, wenn 1/3 < x < 1. (c) ln |x| ist definiert |x| > 0 x = 0.

x1/ 3 10

3x 1

1 x

3x 11 x

5. (a) Man muss x2 > 1 haben, d. h. x > 1 oder x < 1. (Siehe Abb. 4.3.6 im Buch.) (b) ln(ln x) istdefiniert, wenn lnx definiert und positiv ist, d. h. fr alle Werte von x > 1. (c) Der Bruch

1ln(ln x) 1

ist definiert, wenn ln(ln x) definiert und verschieden von 1 ist. Nach (b) ist ln(ln x) definiert, wenn

x > 1 ist. Ferner gilt: ln(ln x) = 1 lnx = e x = ee. Folgerung: 1ln(ln x) 1 ist definiert

x > 1 und x = ee.9. In diesen Aufgaben knnen wir LogarithmischesDifferenzierenverwenden. Alternativ knnen wir die

Funktionen in der Gestalt f (x) = eg(x) schreiben und die Regel f (x) = eg(x)g (x) = f (x)g (x) verwenden.

(a) Sei f (x) = (2x)x . Dann ist ln f (x) = x ln(2x), so dassf (x)f (x)

= 1 ln(2x) + x 12x

2 = ln(2x) + 1. Darausfolgt: f (x) = f (x)(ln(2x) + 1) = (2x)x (ln x + ln 2 + 1).

(b) f (x) = xx =

(elnx

)x = ex ln x , so dass f (x) = ex ln x ddx

(x ln x) = x

x

(ln x2x+

xx

).

(c) ln f (x) = x lnx = 12x ln x, so dass f

(x)/f (x) = 12 (ln x + 1). Daraus folgt: f(x) = 12 (

x )x (ln x + 1).

10. ln y = v ln u, so dass y /y = v ln u + (v/u)u und somit y = uv(v ln u + vu

u

).

11. (a) Siehe Lsung im Buch. (b) Sei f (x) = ln(1 + x) 12x. Dann ist f (0) = 0 und f (x) = 1/(x + 1) 12 =(1 x)/2(x + 1), welches positiv in (0,1) ist, so dass f (x) > 0 in (0, 1) und die linke Ungleichungnachgewiesen ist. Um die andere Ungleichung zu beweisen, setzt man g(x) = x ln(1 + x) ein. Dannist g(0) = 0 und g (x) = 1 1/(x + 1) = x/(x + 1) > 0 in (0, 1), so dass die Behauptung gilt. (c) Seif (x) = 2(

x 1) ln x. Dann ist f (1) = 0 und f (x) = (1/x) 1/x = (x x)/xx = (x 1)/x,

welches positiv ist fr x > 1. Daraus folgt die Behauptung.


5. (a) y = 3 und y = 6x = 6 fr x = 1, so dass y (3) = (6)(x 1) oder y = 6x + 3.(b) y = 14 und y = 1/(2x) 2x = 31/4 fr x = 4, so dass y = (31/4)x + 17.(c) y = 0 und y = (2x3 8x2 + 6x)/(x + 3)2 = 1/4 fr x = 1, so dass y = (1/4)(x 1).

18

Kapitel 7 Anwendungen der Differentialrechnung

7. (a) f (x) = x3 +x, usw. (b) Einfach zu lsen. (c) h(y) = y(y2 1) = y3y , usw. (d) bis (f): VerwendenSie die Quotientenregel.

15. (a) y =2xlnx 0, wenn x 1. (b) y = e

x exex + ex

0 ex ex e2x 0 x 0

(c) y = 1 3xx2 + 2

=(x 1)(x 2)

x2 + 2 0 x 1 oder x 2. (Verwenden Sie ein Vorzeichen-

Diagramm.)


7.1

2. Man erhlt durch implizites Differenzieren () 2xy +x2(dy/dx) = 0 und somit dy/dx = 2y/x. Implizi-tes Differenzieren von () nach x ergibt 2y +2x(dy/dx)+2x(dy/dx)+x2 (d2y/dx2) = 0. Durch EinsetzendesResultats fr dy/dx sowie Vereinfachenerhltmand2y/dx2 = 6y/x2. (Alternativ knnenwir2y/xals Bruch differenzieren.) Diese Resultate kann man einfacher erhalten, indem man y = x2 zweimalnach x differenziert.

3. (a) Implizites Differenzieren nach x ergibt () 1 y + 3y + 3xy = 0. Auflsen nach y ergibt: y =(1 + 3y)/(1 3x) = 5/(1 3x)2. Ableiten von () nach x ergibt y + 3y + 3y + 3xy = 0. Einsetzenvon y = (1 + 3y)/(1 3x) und Auflsen nach y ergibt: y = 6y /(1 3x) = 30/(1 3x)3.(c) Implizites Differenzieren nach x ergibt: () 5y4y = 6x5, so dass y = 6x5/5y4 = (6/5)x1/5. DurchAbleiten von () nach x erhlt man: 20y3(y )2 +5y4y = 30x4. Einsetzen von y = 6x5/5y4 und Auflsennach y ergibt: y = 6x4y4 (144/25)x10y9 = (6/25)x4/5.

6. (a) 2x + 2yy = 0; lsen Sie dies nach y auf. (b) 1/2x + y /2y = 0; lsen Sie dies nach y auf.

(c) 4x3 4y3y = 2xy3 + x23y2y ; lsen Sie dies nach y auf.8. (a) y + xy = g (x) + 3y2y ; lsen Sie dies nach y auf. (b) g (x + y)(1 + y ) = 2x + 2yy ; lsen Sie dies

nach y auf. (c) 2(xy + 1)(y + xy ) = f (x2y)(2xy + x2y ); lsen Sie dies nach y auf. (Wie haben wirf (x2y) nach x differenziert? Nun, wenn z = f (u) und u = x2y , dann ist z = f (u)u, wobei u ein Produktaus zwei Funktionen ist, die beide von x abhngig sind. Somit ist u = 2xy + x2y .)

10. (a) 2(x2 +y2)(2x +2yy ) = a2(2x2yy ); lsen Sie dies nach y auf. (b) Beachten Sie, dass y = 0, wennx2 +y2 = a2/2, d.h. y2 = 12a

2 x2. Setzt man dies in die gegebene Gleichung ein, erhlt man x = 14a6.

Hieraus ergeben sich vier Punkte auf dem Graphen, in denen die Tangente horizontal ist.

7.2

1. Implizites Differenzieren nach P , mit Q als Funktion von P , ergibtdQdP

P1/2 +Q 12P1/2 = 0. Daher gilt:dQdP

= 12QP1 = 19P3/2

.

5. Differenzieren von () nach P ergibt f (P + t)(dPdt

+ 1)2

+ f (P + t)d2Pdt2

= g (P)(dPdt

)2+ g (P)

d2Pdt2

. Mit

vereinfachter Notation erhlt man f (P + 1)2 + f P = g (P )2 + g P . Einsetzen von P = f /(g f ) undAuflsen nach P ergibt P = [f (g )2 g (f )2]/(g f )3.

7.3

2. (a) f (x) = x24 x2 + 1

3x3

2x24 x2 =

4x2(3 x2)34 x2 . Lsungen fr die restlichenAufgaben: siehe Buch.

5. (a) Siehe Buch. (b) dy/dx = ex/(ex + 3), so dass dx/dy = (ex + 3)/ex = 1 3ex .(c) Implizites Differenzieren nach x ergibt y3 + x3y2(dy/dx) 3x2y x3(dy/dx) = 2. Lsen Sie nachdy/dx auf und verwenden Sie dann (7.3.5).

19


7.4

3. (a) f (0) = 1 und f (x) = (1 + x)2, so dass f (0) = 1. Dann ist f (x) f (0) + f (0)x = 1 x.(b) f (0) = 1 und f (x) = 5(1 + x)4, so dass f (0) = 5. Dann ist f (x) f (0) + f (0)x = 1 + 5x.(c) f (0) = 1 und f (x) = 14 (1 x)3/4, so dass f (0) = 14 . Dann ist f (x) f (0) + f (0)x = 1 14x.

4. F (1) = A und F (K ) = AK 1, so dass F (1) = A. Dann ist F (K ) F (1) +F (1)(K 1) = A+A(K 1) =A(1 + A(K 1)).

9. 3exy2 + 3xexy2(y2 + x2yy ) 2y = 6x + 2yy . Fr x = 1 und y = 0 reduziert sich dies auf 3 2y = 6, sodass y = 3/2. (b) y(x) y(1) + y (1)(x 1) = 32 (x 1)

7.5

2. f (x) = (1 + x)1, f (x) = (1 + x)2, f (x) = 2(1 + x)3, f (iv )(x) = 6(1 + x)4, f (v )(x) = 24(1 + x)5.Dann gilt f (0) = 0, f (0) = 1, f (0) = 1, f (0) = 2, f (iv )(0) = 6, f (v )(0) = 24 und somit ist f (x) f (0) + 11! f

(0)x + 12! f(0)x + 13! f

(0)x3 + 14! f(iv )(0)x4 + 15! f

(v )(0)x5 = x 12x2 + 13x3 14x4 + 15x5.

3. Aus f (x) = 5(ln(1 + x) 1 + x ) = 5 ln(1 + x) 5(1 + x)1/2 erhalten wir f (x) = 5(1 + x)1 52(1 + x)1/2,

f (x) = 5(1 + x)2 + 54(1 + x)3/2 und somit ist f (0) = 5, f (0) = 52 , f (0) = 154 . Das Taylor-Polynom

zweiter Ordnung um x = 0 lautet: f (0) + f (0)x + 12 f(0)x2 = 5 + 52x 158 x2.

9. h(x) =(pxp1 qxq1)(xp + xq) (xp xq)(pxp1 + qxq1)

(xp + xq)2=

2(p q)xp+q1(xp + xq)2

, so dass h(1) = 12 (p q).Da h(1) = 0, erhalten wir h(x) h(1) + h(1)(x 1) = 12 (p q)(x 1).

7.6

1. Aus Aufgabe 7.5.2 wissen wir, dass f (0) = 0, f (0) = 1, f (0) = 1 und f (c) = 2(1 + c)3. Dann ergibt(7.6.3): f (x) = f (0) + 11! f

(0)x + 12! f(0)x + 13! f

(c)x3 = x 12x2 + 13 (1 + c)3x3.4. (a) Aus g(x) = (1 + x)1/3 erhalten wir g (x) = 13 (1 + x)

2/3, g (x) = 29 (1 + x)5/3 und g (x) = 1027 (1 + x)8/3,so dass g(0) = 1, g (0) = 13 , g

(0) = 29 , g (c) = 1027 (1 + c)8/3 und somit g(x) = 1 + 13x 19x2 +R3(x), wobeiR3(x) = 16!

1027 (1 + c)

8/3x3 = 581 (1 + c)8/3x3

(b) c (0, x) und x 0, so dass (1 + c)8/3 1. Damit folgt die Ungleichung.(c) 3

1003 = 10(1 + 3 103)1/3 10.0099900 unter Verwendung von (a) zur Approximation von

(1 + 3 103)1/3. Der Fehler in (b) lautet |R3(x)| 581 (3 103)3 = 53109. Der Fehler in 31003 ist al-

so 10|R3(x)| = 503 109 < 2 108 und die Antwort ist auf sieben Dezimalstellen korrekt.

7.7

4. (a) Elxeax = (x/eax)aeax = ax (b) Elx ln x = (x/ ln x)(1/x) = 1/ ln x

(c) Elx (xpeax) =x

xpeax(pxp1eax + xpaeax) = p + ax

(d) Elx (xp ln x) =x

xp lnx(pxp1 ln x + xp(1/x)) = p + 1/ ln x

9. (a) ElxA =xA

dAdx

= 0 (b) Elx(fg) =xfg

(fg) =xfg

(f g + fg ) =xf

f+

xg

g= Elx f + Elxg

(c) Elxfg=

x(f /g)

(fg

)=

xgf

(gf fg

g2

)=

xf

f xg

g= Elxf Elxg

(d) Siehe Lsung im Buch. (e) hnlich zu (d), jedoch wird +g durch g und +g durch g ausge-tauscht. (f) z = f (g(u)), u = g(x) Elxz = xz

dzdx

=xuuzdzdu

dudx

= Eluf (u) Elxu

7.8

3. Nach (7.8.4) sind die Funktionen berall dort stetig sind, wo sie definiert sind. Somit sind die Funk-tionen in (a) und (d) berall definiert. In (b) muss x = 1 ausgeschlossenwerden, in (c) ist die Funktion

20


definiert fr x < 2, in (e) mssen wir x = 3 1 ausschlieen, da der Nenner fr solche Werte von xden Wert 0 annimmt. Schlielich verlangt der erste Bruch in (f), dass x > 0. Dann ist auch der andereBruch definiert.

7.9

1. (b) |x| = x fr x < 0. Daraus folgt: limx0

x + |x|x

= limx0

x xx

= limx0

0 = 0.

(c) |x| = x fr x > 0. Daraus folgt: limx0+

x + |x|x

= limx0+

x + xx

= limx0+

2 = 2.

(d) Wenn x 0+, folgt x 0, so dass 1/x . (e) Wenn x 3+, folgt x 3 0+ undsomit x/(x 3) . (f) Wenn x 3, folgt x 3 0 und somit x/(x 3) .

4. (a) Vertikale Asymptote: x = 1. Ferner ist x2 (x + 1) = x 1 + 1/(x + 1), so dass y = x 1 eineAsymptote ist fr x . (b) Keine vertikale Asymptote. Ferner ist (2x3 3x2 + 3x 6) (x2 + 1) =2x 3 + (x 3)/(x2 + 1), so dass y = 2x 3 eine Asymptote ist fr x . (c) Vertikale Asymptote:x = 1. Ferner ist (3x2 +2x)(x1) = 3x+5+5/(x1), so dass y = 3x+5 eine Asymptote ist fr x .(d) Vertikale Asymptote: x = 1. Ferner ist (5x4 3x2 + 1) (x3 1) = 5x + (3x2 + 5x + 1)/(x3 1), sodass y = 5x eine Asymptote ist fr x .

7.10

4. Anmerkung 4.7.2 besagt, dass jede ganzzahligeLsung fr die Gleichung f (x) = x4+3x33x28x+3 = 0ein Teiler vom konstanten Term 3 sein muss. Um dies direkt sehen zu knnen, muss beachtet werden,dass

3 = x4 3x3 + 3x2 + 8x = x(x3 3x2 + 3x + 8)gelten muss. Wenn x eine ganze Zahl ist, so muss auch der eingeklammerte Ausdruck eine ganze Zahlsein. Demnach sind die einzig mglichen ganzzahligen Lsungen 1 und 3. Nach dem Einsetzenjeder Mglichkeit erhalten wir nur 3 als ganzzahlige Lsung.In der Aufgabe wird gesagt, dass es drei weitere reelle Lsungen gibt mit approximativen Werten vonx0 = 1.9, y0 = 0.4 und z0 = 1.5. Wenn wir das Newton-Verfahren einmal fr jede Lsung anwenden,erhalten wir neue Approximationen:

x1 = 1.9 f (1.9)f (1.9) = 1.9 0.17498.454

1.9 + 0.021 = 1.879.

y1 = 0.4 f (0.4)f (0.4) = 0.4 0.46248.704 0.4 0.053 = 0.347.

z1 = 1.5 f (1.5)f (1.5) = 1.5 0.562516.75

1.5 + 0.034 = 1.534.Durch przisere Berechnungen kann gezeigt werden, dass die tatschlichen Lsungen (gerundet aufsechs Dezimalstellen) 1.879385, 0.347296, und 1.532089 sind.

7.11

2. (a) Wennn , folgt 2/n 0 und somit 52/n 5. (b) Wenn n , folgt n2 1n

= n1/n .

(c) Wenn n , folgt 3n2n2 1 =

3n

n2 1/n2 =

32 1/n2

32=

32

3.

7.12

2. Anwenden der Regel von LHospital ergibt limxa

x2 a2x a =

00

= limxa

2x1

= 2a. Aber beachten Sie, dass

die Regel von LHospital hier nicht unbedingt notwendig ist, da x2 a2 = (x + a)(x a) und somitlimxa

x2 a2x a = limxa(x + a) = 2a.

21


(b) limx0

2(1 + x)1/2 2 x2(1 + x + x2)1/2 2 x =

00

= limx0

(1 + x)1/2 1(1 + 2x)(1 + x + x2)1/2 1 =

00

=

limx0

12 (1 + x)3/22(1 + x + x2)1/2 + (1 + 2x)2( 12 )(1 + x + x2)3/2

= 13

7. L = limxa

f (x)g(x)

= limxa

1/g(x)1/f (x)

=00

= limxa

1/(g(x))21/(f (x))2

g (x)f (x)

= limxa

(f (x))2

(g(x))2 g

(x)f (x)

= L2 limxa

g (x)f (x)

=

L2 limxa

1f (x)/g (x)

. Die Behauptung folgt. (Hierbei haben wir Probleme mit Division durch 0 igno-

riert, wenn entweder f (x) oder g (x) gegen 0 konvergieren, wenn x gegen a.)


2. 5y4y y2 2xyy = 0, so dass y = y2

5y4 2xy =y

5y3 2x . Da y = 0 die gegebene Gleichung(y5 xy2 = 24) bedeutungslos macht, ist y niemals 0.

6. y = 0, wenn 1 + 15 ln x = 0, d. h. ln x = 5 und damit x = e5.

7. (a) Wir mssen1 + x1 x > 0 haben, d. h. 1 < x < 1. Wenn x 1

, folgt f (x) . Wenn x 1,folgt f (x) . Da f (x) = 1/(1 x2) > 0, wenn 1 < x < 1, bedeutet dies, dass f streng monotonwachsend ist und der Wertebereich von f ist R. (b) Aus y =

12ln

1 + x1 x erhalten wir ln

1 + x1 x = 2y , so

dass1 + x1 x = e

2y . Dann lst man nach x auf.

9. (a) f (0) = ln 4 und f (x) = 2/(2x + 4), so dass f (0) = 1/2. Dann ist f (x) f (0) + f (0)x = ln 4 + x/2.(b) g(0) = 1 und g (x) = (1/2)(1 + x)3/2, so dass g (0) = 1/2. Dann ist g(x) g(0) + g (0)x = 1 x/2.(c) h(0) = 0 und h(x) = e2x + 2xe2x, so dass h(0) = 1. Dann ist h(x) h(0) + h(0)x = x.

12. Mit x = 12 und n = 5 erhaltenwir aus Formel (7.6.6) e12 = 1+

12

1!+

(12

)22!

+

(12

)33!

+

(12

)44!

+

(12

)55!

+

(12

)66!

ec, wobei

c eine Zahlen zwischen 0 und 12 ist. Nun ist R6(12

)=

(12

)66!

ec 0 gilt, ist dies einMinimumpunkt. (b) y = 2(xa)4(xb) = 0, wenn x = 13 (a+2b).Dies ist ein Maximumpunkt, da y = 6 fr alle x. (c) y = 1/x 5 = 0, wenn x = 15 . Dies ist einMaximumpunkt, da y = 1/x2 < 0 fr alle x > 0.

10. (a) f (x) = k Aex = 0, wenn x0 = (1/) ln(A/k). Beachten Sie, dass x0 > 0 genau dann, wennA > k . Ferner ist f (x) < 0 fr x < x0 und f (x) > 0 fr x > x0, so dass x0 das Minimierungsproblemlst. (b) Einsetzen von A in die Lsung von (a) ergibt einen Ausdruck fr die optimale Hhe x0.Sein Wert steigt, wenn p0 (Wahrscheinlichkeit einer berflutung) oder V (Kosten einer berflutung)steigen, fllt aber, wenn (Zinssatz) oder k (Grenzkonstruktionskosten) steigen. Die Vorzeichen dieserReaktionen sind offensichtlich das, was konomen erwarten wrden. (Nicht nur konomen.)

8.3

2. (a) (Q) = Q(aQ)kQ = Q2 +(ak)Q, so dass(Q) = 2Q+(ak) = 0, wennQ = 12 (ak). Diesermaximiert , da(Q) < 0. Der Gewinn desMonopolisten betrgt(Q) = ( 12 (ak))2+(ak) 12 (ak) =14 (a k)2. (b) d(Q)/dk = 12 (a k) = Q wie in Beispiel 3. (c) Die neue Gewinnfunktion ist(Q) = (Q) + sQ = Q2 + (a k)Q + sQ. (Q) = 2Q + a k + s = 0, wenn Q = 12 (a k + s). Nun istQ = 12 (ak + s) = ak , wenn s = ak , welches die Subvention ist, die den Monopolisten veranlassensoll, a k Einheiten zu produzieren.

5. T(W ) = a

pb(bW + c)p1W (bW + c)pW 2

= a(bW + c)p1pbW bW c

W 2, usw.

23


8.4

2. In allen Fllen existieren nach dem Extremwertsatz Maximum- undMinimumpunkte. Gehen Sie nachdem Rezept (8.4.1) vor.(a) f (x) ist strengmonoton fallend, so dass das Maximum an der Stelle x = 0 und das Minimum an derStelle x = 3 angenommen wird. (b) f (1) = f (2) = 10 und f (x) = 3x2 3 = 0 fr x = 1. f (1) = 6.(c) f (x) = x + 1/x, f (1/2) = f (2) = 5/2 und f (x) = 1 1/x2 = 0, wenn x = 1. f (1) = 2.(d) f (1) = 4, f (5) = 0 und f (x) = 5x2(x2 3) = 0, wenn x = 0 und x = 3. f (0) = 0, f (3) = 63.(e) f (0) = 0, f (3000) = 4.5 109, f (x) = 3(x2 3000x +2 106) = 3(x 500)(x 2000). f (1000) = 2.5 109,f (2000) = 2 109.

4. (a) Wenn es 60 + x Passagiere gibt, verdient die Chartergesellschaft von jedem 800 10x, d. h. sieerwirtschaftet (60 + x)(800 10x). Der Sportverein erhlt 1/10 des Betrags. (b) Siehe Buch.

6. (a) (f (2) f (1))/(2 1) = (4 1)/1 = 3 und f (x) = 2x, so dass 2x = 3 und damit x = 3/2.(b) (f (1)f (0))/1 = 1 und f (x) = 2x/1 x2, so dass 2x/1 (x)2 = 1 und damit x = 5/5. (Aus2x/

1 (x)2 = 1 ergibt sich 1 (x)2 = 2x und damit 1 (x)2 = 4(x)2. Die positive Lsung ist

x =5/5. (c) (f (6) f (2))/4 = 1/6 und f (x) = 2/x2, so dass2/(x)2 = 1/6 und damit x = 12.

(d) (f (4) f (0))/4 = 1/4 und f (x) = x/9 + x2, so dass x/9 + (x)2 = 1/4 und damit x = 3.

8.5

1. (Q) = 10Q 11000Q2 (5000 + 2Q) = 8Q 11000Q2 5000. Da (Q) = 8 1500Q = 0 fr Q = 4000 und(Q) = 1500 < 0, wird der Gewinn fr Q = 4000 maximal.

4. (i) (Q) = 1840Q (2Q2 + 40Q + 5000) = 1800Q 2Q2 5000. Da (Q) = 1800 4Q = 0 fr Q = 450und (Q) = 4 < 0, wird der Gewinn fr Q = 450 maximal.(ii) (Q) = 2200Q 2Q2 5000. Da (Q) = 2200 4Q = 0 fr Q = 550 und (Q) = 4 < 0, wird derGewinn fr Q = 550 maximal.(iii) (Q) = 2Q2 100Q5000 ist fr alle Q 0 negativ, so dass der Gewinn offensichtlich fr Q = 0maximal wird.

6. (Q) = PabQb1 = 0, wennQb1 = P/ab, d. h.Q = (P/ab)1/(b1). Ferner ist (Q) = ab(b1)Qb2 < 0fr alle Q > 0, so dass dies der Maximumpunkt ist.

8.6

2. (a) Strengmonoton fallend, d. h. es existieren keine Extrempunkte. (b) f (x) = 3x2 3 = 0 fr x = 1.Mit f (x) = 6x folgt: f (1) = 6 und f (1) = 6, so dass x = 1 ein lokaler Maximumpunkt und x = 1ein lokaler Minimumpunkt ist. (c) f (x) = 1 1/x2 = 0 fr x = 1. Mit f (x) = 2/x3 folgt: f (1) = 2und f (1) = 2, so dass x = 1 ein lokaler Maximumpunkt und x = 1 ein lokaler Minimumpunkt ist.(d) bis (f): siehe Buch.

3. (a) f (x) ist genau dann definiert, wenn x = 0 und x 6. f (x) = 0 fr x = 6 und fr x = 2. Fr jedenanderen Punkt x im Definitionsbereich hat f (x) dasselbe Vorzeichen wie (x + 2)/x, so dass f (x) > 0,falls x (6,2) oder x (0,). (b) Zuerst bestimmen wir die Ableitungen von f :

f (x) = 2x2

x + 6 +

x + 2x

1

2x + 6

=4x 24 + x2 + 2x

2x2x + 6

=x2 2x 242x2

x + 6

=(x + 4)(x 6)2x2

x + 6

.

Mithilfe eines Vorzeichen-Diagramms sehen wir, dass f (x) > 0 fr 6 < x < 4, f (x) < 0 fr 4 0 fr 6 < x. Es folgt, dass f streng monoton wachsend in[6,4] ist, fallend in [4, 0), fallend in (0,6] und steigend in [6,). Aus der Untersuchungder erstenAbleitung (Theorem 8.6.1) folgt, dass f zwei lokale Minima an den Stellen x1 = 6 und x2 = 6 hat undein lokales Maximum an der Stelle x3 = 4 mit f (6) = 0, f (6) = 43

8 = 8

2/3 und f (4) = 12

2.

24

Kapitel 8 Univariate Optimierung

(c) Da limx0x + 6 = 6 > 0, whrend limx0 (1 + 2/x) = und limx0+ (1 + 2/x) = , sehen wir,

dass limx0 f (x) = und limx0+ f (x) = . Ferner ist

limx f

(x) = limx

(x2 2x 242x2

1x + 6

)=

12

0 = 0.

4. In der Abbildung CWS8.6.3 wird f (x) dargestellt. Zuerst betrachten wir Punkt a. Da f (x) < 0 linksvon a, f (a) = 0 und f (x) > 0 rechts von a, ist a ein lokaler Minimumpunkt. In den Punkten b und e istf (x) > 0 auf jeweils beiden Seiten der Punkte, so dass sie keine Extrempunkte sein knnen.

y

4

2

2

4

68

x 6 4 2 2 4 6 8 10

Abbildung CWS8.6.3

6. (a) f (x) = x2ex(3 + x). Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm. (x = 0 ist kein Extrempunkt, sonderneinWendepunkt.) (b) SieheBuch.VerwendenSie einVorzeichen-Diagrammfr g (x) oder berprfenSie das Vorzeichen von g (x) = 2x (2 + 4x ln x + x2(ln 2)2) in den stationren Punkten.

7. f (x) = x3 + ax + b , wenn x und f (x) , wenn x . Demnach hat f (x) mindestenseine reellwertige Nullstelle. Wir haben f (x) = 3x2 + a. Fr a 0 ist f (x) > 0 fr alle x = 0, so dass fstrengmonoton wachsend ist, und es gibt nur eine Nullstelle. BeachtenSie: Fr a 0 ist 4a3+27b2 0.Nun sei a < 0. Dann ist f (x) = 0 fr x = a/3 = p, wobei p = a/3 > 0. Dann hat f ein lokalesMaximum in (p,b + 2pp) und ein lokales Minimum in (p,b 2pp). Falls einer der lokalenExtremwerte 0 ist, hat die Gleichung eine doppelte Nullstelle. Dies ist genau dann der Fall, wenn4p3 = b2, d. h. genau dann, wenn 4a3 + 27b2 = 0. Die Gleichung hat genau dann drei reellwertigeNullstellen, wenn der lokale Maximumwert positiv und der lokale Minimumwert negativ ist. Dies trittgenau dann ein, wenn |b| < 2pp b2 < 4p3 4a3 + 27b2 < 0.

8.7

1. (a) f (x) = 3x2 + 3x 6 = 3(x 1)(x + 2). Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagrammund die Lsung imBuch. (b) f (x) = 6x + 3 = 0 fr x = 1/2. f (x) wechselt das Vorzeichen an der Stelle x = 1/2, d. h.es liegt ein Wendepunkt vor.

3. Einfach zu lsen mit diesen Ableitungen: (a) y = ex(1+x), y = xex . (b) y = x 1x2

, y =2 xx3

.

(c) y = x2ex (3 x), y = xex (x2 6x + 6).(d) y =

1 2 ln xx3

, y =6 lnx 5

x4. (e) y = 2ex(ex 1), y = 2ex(2ex 1).

(f) y = 2ex(2 x2), y = ex(x2 2x 2).


2. (a) Q(L) = 24L 320L2 = 3L(8 120L) = 0 fr L = 160. Da Q(L) in [0,160] monoton steigend undin [160,200] monoton fallend, wird Q(L) fr L = 160 maximiert. Der Output pro Arbeitskraft istQ(L)/L = 12L 120L2. Diese quadratische Funktion hat ihr Maximum fr L = 120. (b) Siehe Buch.

3. (a) = 0.0016Q2 + 44Q 0.0004Q2 8Q 64000 = 0.002Q2 + 36Q 64000, wobei Q = 9000 diesequadratische Funktion maximiert.

(b) ElQC (Q) =Q

C (Q)C (Q) =

0.0008Q2 + 8Q0.0004Q2 + 8Q + 64000

0.12 fr Q = 1000.

25


4. (a) Siehe Aufgabe 8.7.3(c). (b) limx f (x) = 0 nach Formel (7.12.3). limx f (x) = , da x

3 undex . (Siehe Abb. A8.W.4.)

5. (a) Siehe Buch. (b) Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt, dass f (x) 0 in (1, 1] und f (x) 0 in [1,).Demnach ist x = 1 ein Maximumpunkt. f (x) =

x(x2 + x 1)(x + 1)2

= 0 fr x = 0 und x = 12 (5 1).

(x = 12 (5 1) befindet sich auerhalb des Definitionsbereichs.) Da das Vorzeichen von f (x) an

diesen Stellen wechselt, sind beide Punkte Wendepunkte.

6. (a) h(x) =ex(2 + e2x) ex2e2x

(2 + e2x)2=

ex(2 e2x)(2 + e2x)2

. Siehe Buch.

(b) h ist streng monoton wachsend in (, 0], limxh(x) = 0 und h(0) = 1/3. Demnach hat h, definiert

in (, 0], eine Inverse, die in (0,1/3] definiert ist mit Werten in (, 0]. Um die Inverse zu finden,beachten Sie:

ex

2 + e2x= y y(ex )2 ex + 2y = 0. Diese quadratische Funktion in ex hat die

Nullstellen: ex = [1 1 8y2]/2y . Da y = 1/3 fr x = 0, zeigt dies, dass ex = [1 1 8y2]/2y seinmuss und demnach x = ln(11 8x2 )ln(2x). Verwendetman x als die unabhngigeVariable, so isth1(x) = ln(1 1 8x2 ) ln(2x). Die Funktion und ihre Inverse sind in Abb. CWS8.W.6 dargestellt.

y

1.5

1.0

0.5

0.5

x 1.5 1.0 0.5 0.5

h

h 1

Abbildung CWS8.W.6

8. f (x) =6x2(x2 3)(x2 + 2)

(x4 + x2 + 2)2, so dass f stationre Punkte hat, wenn x = 0 und x = 3. x = 3 ist ein

lokaler (und globaler) Maximumpunkt, x = 3 ein lokaler (und globaler) Minimumpunkt und beix = 0 ist keines von beiden. (Es ist ein Wendepunkt.) Der Graph von f wird in Abb. A8.W.8 im Buchdargestellt.

Kapitel 9 Integralrechnung

9.1

1. Dies sollte einfach zu lsen sein, da alle Integranden Potenzen von x sind. Beachten Sie, dass xx =

x x1/2 = x3/2, 1/x = x1/2 undxxx =

xx3/2 =

x x3/4 = x7/4 = x7/8.

4. (a)(t3 + 2t 3)dt =

t3 dt +

2t dt

3dt = 14 t

4 + t2 3t + C

(b)(x 1)2 dx =

(x2 2x + 1)dx = 13x3 x2 + x + C . Alternativ: Da

ddx

(x 1)3 = 3(x 1)2, haben

wir(x 1)2 dx = 13 (x 1)3 + C1. Dies stimmt mit der ersten Antwort mit C1 = C + 1/3 berein.

(c)(x 1)(x + 2)dx =

(x2 + x 2)dx = 13x3 + 12x2 2x + C

26


(d) Entwedermultipliziert man (x+2)3 = x3+6x2+12x+8 aus, um(x+2)3 dx = 14x

4+2x3+6x2+8x+C

zu erhalten oder:(x + 2)3 = 14 (x + 2)

4 + C1. (e)(e3x e2x + ex)dx = 13e3x 12e2x + ex + C

(f)

x3 3x + 4x

dx = (

x2 3 + 4x

)dx = 13x

3 3x + 4 ln |x| + C

5. (a) Vereinfachen Sie zunchst den Integranden:(y 2)2

y=

y2 4y + 4y

= y3/2 4y1/2 + 4y1/2. Damit

erhalten Sie

(y 2)2y

dy =(y3/2 4y1/2 + 4y1/2)dy = 25y5/2 83y3/2 + 8y1/2 + C .

(b) Polynomdivision ergibt:x3

x + 1= x2x+1 1

x + 1, so dass

x3

x + 1dx = 13x

3 12x2+xln |x+1|+C .

(c) Daddx

(1 + x2)16 = 16(1 + x2)15 2x = 32x(1 + x2)15, erhalten wir

x(1 + x2)15 dx = 132 (1 + x2)16 + C .

10. (a) Einfach. (b) (ii)x + 2 = (x + 2)1/2 und verwenden Sie (a). (iii)

14 x = (4 x)

1/2 und ver-

wenden Sie (a).

11. (a) F (x) = (1

2ex 2x

)dx =

12ex x2 + C . F (0) = 12 impliziert C = 0.

(b) F (x) =(x x3)dx = 1

2x2 1

4x4 + C . F (1) = 512 impliziert C =

16 .

13. f (x) =(x2 + x3 + 2)dx = x1 + 1

4x4 + 2x + C . Aus f (1) = 1/4 erhalten wir 1/4 = 1 + 14 + 2 + C , so

dass C = 1. Erneute Integration ergibt f (x) = (

x1 + 14x4 + 2x 1

)dx = lnx + 1

20x5 + x2 x +D.

Mit f (1) = 0 haben wir 0 = ln 1 + 120 + 1 1 + D, so dass D = 1/20.

9.2

5. Wir behandeln hier nur (c) und (f): (c) 3

2

(12x

2 13x3)dx =

3

2

(16x

3 112x4)=

3

2

[112x

3(2 x)] = 2712 + 3212 = 512 . (f)

32

( 1t 1 + t

)dt =

3

2

[ln(t 1) + 12 t2

]= ln 2 + 92 42 = ln 2 + 52

6. (a) Ein Vorzeichen-Diagrammzeigt, dass f (x) > 0 fr 0 < x < 1 und fr x > 2. (b) f (x) = x33x2+2x,so dass f (x) = 3x26x+2 = 0 fr x0 = 1

3/3 undx1 = 1+

3/3.Wir sehen,dass f (x) > 0 x < x0

oder x > x1. Und f (x) < 0 x0 < x < x1. Somit ist f (streng) monoton wachsend in (, x0] undin [x1,) sowie (streng) monoton fallend in [x0,x1]. Damit ist x0 ein lokaler Maximumpunkt ist undx1 ein lokaler Minimumpunkt.

(c) Siehe Abbildung im Buch. 10

f (x) dx = 10(x3 3x2 + 2x)dx =

1

0

(x44

x3 + x2)=

14

0 = 14

7. (a) f (x) = 1 + 3000000x2

= 0, wenn x =3000000 = 1000

3. (Beachten Sie: x > 0.) Fr den Rest der

Aufgabe: siehe Buch.

9.3

2. (a) 10(xp+q + xp+r )dx =

1

0

xp+q+1

p + q + 1+

xp+r+1

p + r + 1=

1p + q + 1

+1

p + r + 1(b) f (1) = 6 impliziert a+ b = 6. Da f (x) = 2ax + b, impliziert f (1) = 18, dass 2a+ b = 18. Es folgt, dassa = 12 und b = 6, so dass f (x) = 12x2 6x. Dann erhalten wir f (x) = (12x2 6x)dx = 4x3 3x2 + C .Da aber

20 (4x

3 3x2 + C ) = 18 gelten soll, muss 20(x4 x3 + Cx) = 18 sein, d. h. C = 5.

27


3. (a) Siehe Buch. (b) 10(x2 + 2)2 dx =

10(x4 + 4x2 + 4)dx =

1

0

(15x

5 + 43x3 + 4x

)= 83/15

(c) 10

x2 + x +x + 1

x + 1dx =

10

x(x + 1) + (x + 1)1/2

x + 1dx =

10(x+(x+1)1/2)dx =

1

0

(12x

2+2(x+1)1/2)dx =

22 32 (d) A

x + bx + c

+dx

= Ax + c + b c

x + c+

dx

= A +A(b c)x + c

+dx. Integrieren Sie nun.

6. Aus y2 = 3x erhalten wir x = 13y2, welches in die andere Gleichung eingesetzt y + 1 =

(13y

2 1)2 ergibtoder y(y3 6y 9) = 0. Es gilt y3 6y 9 = (y 3)(y2 + 3y +3), wobei y2 + 3y +3 niemals 0 wird. Somitsind (0,0) und (3, 3) die einzigen Schnittpunkte. Siehe Buch.

7. W (T ) = K (1 e%T)/%T . Hierbei gilt W (T ) 0 fr T . Verwendet man die Regel von LHspital,erhlt man W (T ) K fr T 0+. Fr T > 0 ergibt sich W (T ) = Ke%T (1 + %T e%T)/%T2 < 0,da e%T > 1 + %T (siehe Aufgabe 6.11.11). Wir schlieen, dass W (T ) streng monoton fallend ist undW (T ) (0,K ).

8. (a) f (x) =2

x + 4 (x + 4 2) > 0 fr x > 0 und f hat den Wertebereich (,), so dass f eine

Inverse hat, die auf (, ) definiert ist. Die Inverse ist g(x) = ex/2 + 4ex/4. (y = 4 ln(x + 4 2) ln(

x + 4 2) = y/4 x + 4 = ey/4 + 2 x + 4 = (ey/4 + 2)2 x = ey/2 + 4ey/4.)

(b) Siehe Abb. A9.3.8. (c) In Abb. A9.3.8 sind die Graphen von f und g symmetrisch zur Geradeny = x, so dass Flche A = Flche B. Flche B ist die Flche eines Rechtecks mit der Grundseite a undder Hhe 10, verringert um die Flche unterhalb des Graphen von g ber dem Intervall [0, a]. Demnachist B = 10a a0 (ex/2 + 4ex/4)dx = 10a + 18 2ea/2 16ea/4. Da a = f (10) = 4 ln(14 2), vereinfachtsich dies zu 10a + 14 814 6.26.

9.4

2. (a) Sei n die Menge aller Personen. Die Anzahl der Personenmit einem Einkommen im Intervall [b,2b]

istN = n 2bb

Br2 dr = n2b

bBr1 = nB

2b. Ihr Gesamteinkommen istM = n

2bb

Br2r dr = n 2bb

Br1 dr =

n2b

bB ln r = nB ln 2. Das durchschnittliche Einkommen ist m = M/N = 2b ln 2.

(b) Die Gesamtnachfrage ist x(p) = 2bb

nD(p, r)f (r)dr = 2bb

nAprBr2 dr = nABp 2bb

r2 dr =

nABp2b

b

r1

1 = nABpb1

21 1 1 .

5. (a) Siehe Abb. A9.4.5. (b) t0

(g() f ()) d =

t0

(23 302 + 100)d = 12 t2(t 10)2 0 fr alle t.

(c) 100

p(t)f (t) = 100

(t3 + 9t2 + 11t 11 + 11/(t + 1)) dt = 940 + 11 ln 11 966.38; 100

p(t)g(t)dt = 100

(t3 19t2 + 79t + 121 121/(t + 1)) dt = 3980/3 121 ln 11 1036.52. Frderungsprofil g sollte

gewhlt werden.

9.5

1. (a)

xf

exg

dx = xf

(ex )g

1f

(ex )g

dx = xex +

ex dx = xex ex + C

(b)

3xe4x dx = 3x 14e4x

3 1

4e4x dx =

34xe4x 3

16e4x + C

(c)(1 + x2)ex dx = (1 + x2)(ex )

2x(ex )dx = (1 + x2)ex + 2

xex dx = (1 + x2)ex

2xex 2ex + C = (x2 + 2x + 3)ex + C

(d)

xln x dx = 12x2 ln x

12x

2 1xdx = 12x

2 ln x

12x dx =

12x

2 ln x 14x2 + C

28


2. (a) Siehe Buch.(b) Erinnern Sie sich, dass ddx 2

x = 2x ln 2 ist. Demnach ist 2x/ ln 2 das unbestimmte Integral von 2x . Es

folgt, dass 20

x2x dx =2

0x

2x

ln 2

20

2x

ln 2dx =

8ln 2

2

0

2x

(ln 2)2=

8ln 2

( 4(ln 2)2

1(ln 2)2

)=

8ln 2

3(ln 2)2

.

(c) Zuerst wenden wir die partielle Integration auf das unbestimmte Integral an mit f (x) = x2 und

g(x) = ex . Dann erhalten wir: ()

x2ex dx = x2ex

2xex dx. Um das letzte Integral zu bestimmen,

mssen wir ein weiteres Mal partiell integrieren mit f (x) = 2x und g(x) = ex . Daraus ergibt sich2xex dx = 2xex

2ex dx = 2xex (2ex +C ). Eingesetzt in () folgt x2ex dx = x2ex 2xex +2ex +C

und damit 10

x2ex dx =1

0(x2ex 2xex + 2ex) = (e 2e + 2e) (0 0 + 2) = e 2. Alternativ kann

Formel (9.5.2) angewendet werden: 10

x2ex dx =1

0x2ex 2

10

xex dx = e 2[ 1

0xex

10

ex dx]=

e 2[e 10ex] = e 2.5. (a) NachFormel (9.5.2) ist:

T0

tert dt =T

0t1r

ert T0

1r

ert dt =Tr

erT+1r

T0

ert dt =Tr

erT+

1r

T

0

1r

ert =1r2

(1 (1 + rT )erT). Multiplizieren Sie diesen Ausdruck mit b.

(b) T0

(a + bt)ert dt = a T0

ert dt + b T0

tert dt. Verwenden Sie dann (a).

(c) T0

(a bt + ct2)ert dt = a T0

ert dt b T0

tert dt + c T0

t2ert dt. Verwenden Sie die vorherigen

Resultate und T0

t2ert dt =T

0t2(1/r)ert

T0

2t(1/r)ert dt = (1/r)T2erT + (2/r) T0

tert dt.

9.6

2. (a) Siehe Buch. (b) Mit u = x3 + 2 erhalten wir du = 3x2 dx undx2ex

3+2 dx =

13e

u du = 13eu + C = 13e

x3+2 + C .

(c) Erster Versuch: u = x +2 fhrt zu du = dx und

ln(x + 2)2x + 4

dx =

lnu2u

. Dies sieht nicht wesentlich

einfacher aus als das ursprngliche Integral. Eine bessere Idee ist es, u = ln(x + 2) zu substituieren.

Dann ist du =dx

x + 2und

ln(x + 2)2x + 4

dx =

12udu =

14 (u)

2 + C = 14 (ln(x + 2))2 + C .

(d) Erster Versuch: u = 1 + x fhrt zu du = dx undx1 + x dx =

(u 1)udu = (u3/2 u1/2)du

= 25u5/2 23u3/2 + C = 25(1 + x)5/2 23 (1 + x)3/2 + C . Zweiter Versuch: u =

1 + x. Dann ist u2 = 1 + x und

2udu = dx. Daraus ergibt sich:x1 + x dx =

(u2 1)u2udu = (2u4 2u3)du usw. berprfen Sie,

ob Sie dieselbe Antwort erhalten. In diesem Fall funktioniert auch die partielle Integration. Setzen Sief (x) = x und g (x) =

1 + x und g(x) = 23 (1 + x)

3/2. (Die Antwort sieht anders aus, ist aber dieselbe.)

(e) Mit u = 1 + x2 oder x2 = u 1 ist du = 2xdx, so dass

x3

(1 + x2)3dx =

x2 x

(1 + x2)3dx =

12

u 1u3

du = 12

(u2 u3)du = 12u1 + 14u2 + C =

12(1 + x2)

+1

4(1 + x2)2+ C.

(f) Mit u =4 x3 erhalten wir u2 = 4 x3 und 2udu = 3x2dx, so dass

x5

4 x3 dx =

x3

4 x3 x2 dx =

(4 u2)u ( 23 )udu =

( 83u2 + 23u4) du = 89u3 + 215u5 + C = 89 (4 x3)3/2 +215 (4 x3)5/2 + C .

6. (a) I = 10(x4 x9)(x5 1)12 dx =

10

x4(x5 1)13 dx. Sei u = x5 1. Dann ist du = 5x4dx und wenn

x = 0, dann ist u = 1 undwenn x = 1, dann ist u = 0 und demnach I = 0

115u

13 du = 0

1170u

14 = 170 .

29


(b) Aus u =x folgt u2 = x und 2udu = dx und somit

ln x

xdx = 2

ln u2 du = 4

ln udu =

4(u lnu u) + C = 4x lnx 4x + C = 2x ln x 4x + C . (Partielle Integration funktioniert hierebenso mit f (x) = ln x und g (x) = 1/

x.)

(c) Aus u = 1+x erhalten wir u1 = x bzw. (u1)2 = x, so dass 2(u1)du = dx. Wenn x = 0, folgt

u = 1 und wenn x = 4, folgt u = 3. Demnach ist 40

dx1 +

x

= 31

2(u 1)u

du = 2 31(u1/2 u1/2)du =

23

1( 23 (u

3/2 2u1/2)du = 83 . (Die Substitution u =1 +

x funktioniert ebenso.)

7. (a) Aus u = 1 + ex folgt: u > 0 und du =

12x

ex dx. Wenn x = 1, dann ist u = 1 + e und fr x = 4 istu = 1 + e2. Daraus erhalten wir (beachten Sie, wie die Grenzen der Integration bertragen werden): 41

ex

x (1 + e

x)

dx = 1+e21+e

2duu

= 21+e2

1+eln u = 2 ln(1 + e2) 2 ln(1 + e).

(b) Eine naheliegende Substitution ist u = ex + 1 mit du = ex dx oder dx = du/ex = du/(u 1).Wenn x = 0, ist u = 2, wenn x = 1/3, ist u = e1/3 + 1. Demnach ist

1/30

dxex + 1

= e1/3+12

1u(u 1) du = e1/3+1

2

(1

u 1 1u

)du =

e1/3+1

2

(ln |u1|ln |u|) = 13 ln(e1/3+1)+ln 2 = ln 2ln(e1/3+1). (berprfen

Sie die letzte Gleichung.) Schreibt man den Integranden alsex

1 + exum, funktioniert die Substitution

t = ex (oder noch besser u = 1 + ex) mit dt = exdx ziemlich gut. berzeugen Sie sich, dass Siedieselbe Lsung erhalten.

9.7

3. (a) Siehe Lsung im Buch. Indem wir eine vereinfachte Notation und das Resultat aus Beispiel 1(a)verwenden, erhalten wir:(b)

0 (x 1/)2 ex dx =

0 (x 1/)2 ex +

0 2 (x 1/) ex dx =

1/2 + 2 0 xe

x dx (2/) 0 ex dx = 1/2 + 2/2 2/2 = 1/2(c)

0 (x 1/)3 ex dx =

0 (x 1/)3 ex +

0 3 (x 1/)2 ex dx =

1/3 + (3/) 0 (x 1/)2 ex dx = 1/3 + (3/)(1/2) = 2/35. (a) f (x) = (1 3 ln x)/x4 = 0 fr x = e1/3 und f (x) > 0 fr x < e1/3 sowie f (x) < 0 fr x > e1/3.

Demnach hat f ein Maximum an der Stelle e1/3. Der Maximalwert ist 1/(3e). Da f (x) fr x 0+,hat die Funktion kein Minimum. Beachten Sie, dass f (x) 0 fr x . (Verwenden Sie die Regelvon LHospital.)(b)

ba x

3 lnx dx = ba12x

2 lnx + ba

12x

3 dx =ba( 12x2 lnx 14x2). Dies divergiert, wenn b = 1 und

a 0. Aber 1 x3 ln x dx = 1/4.7. Wenn beide Grenzwerte existieren, ist das Integral die Summe der beiden folgenden Grenzwerte:

I1 = lim"0+ 32+"

(1/

x + 2

)dx und I2 = lim"0+

3"2

(1/

3 x )dx. Es gilt:

I1 = lim"0+

32+"

(2x + 2

)= lim

"0+(25 2" ) = 25 und I2 = lim

"0+3"2

(23 x ) = lim"0+

(2" + 25 ) =25.

12. (a) Die vorgeschlagene Substitution ergibt +

f (x)dx =

1

+

eu2du = 1, indem man (9.7.8) ver-

wendet.

(b) +

xf (x)dx =

1

+

( +2u)eu

2du = . Dabei wurde (a) und Beispiel 9.7.3 verwendet.

(c) I = +

x2f (x)dx =

1

+

(22u2+22u+2)eu

2du =

22

+

u2eu2du+

22

+

ueu2du+

2

+

eu2du = 2 + 0 + 2. (Beachten Sie, dass partielle Integration

u2eu

2du = 12ueu

2+

12e

u2 du ergibt, so dass +

u2eu

2du = 12

.)

30


9.8

5. P(10) = 705 ergibt 641e10k = 705 oder e10k = 705/641. Bildet man den natrlichen Logarithmus aufbeiden Seiten, folgt 10k = ln(705/641), so dass k = 0.1 ln(705/641).

7. Unkompliziert zu lsen. Beachten Sie, dass es in (9.8.10), falls b = 0, immer zwei konstante Lsungengibt: x 0 und x a/b. Letztere erhlt man, indem man in (9.8.10) A = 0 setzt. So kommt zustzlichzu der Lsung im Buch in (e) x 0 und in (f) K 0 als Lsung hinzu.

9. (a) Verwenden Sie (9.8.7). (Die Anwendung von (9.8.10) und dann die Ausnutzung von N (0) = 1, umdie Konstante zu bestimmen, ist weniger effizient.)

(b) 800 =1000

1 + 999e0.39t 999e0.39t = 1

4, so e0.39t = 1/3996 und somit 0.39t = ln 3996, usw.

9.9

2. (a) dx/dt = e2t/x2. Trennung der Variablen:x2 dx =

e2t dt. Integration ergibt 13x

3 = 12e2t + C1. Dann

lsen wir nach x auf: x3 = 32e2t + 3C1 = 32e

2t +C mit C = 3C1. Daher ist x = 3

32e

2t + C . (Sie drfen nicht

bis zum Schluss warten, um die Konstanten einzufgen. Falsch ist folgendes: 13x3 = 12e

2t bzw. x3 = 32e2t

bzw. x = 3

32e

2t + C . Dies ist keine Lsung!)

(b)ex dx =

etdt. Integration ergibt: ex = et + C1. Auflsen nach x ergibt: ex = et + C mit

C = C1. Daher ist x = ln(et + C ), so dass x = ln(et + C ). (c) Direkt aus (9.9.3).(d) Analog zu (a).(e) Nach (9.9.5) ist x = Ce2t + e2t

(t)e2t dt = Ce2t e2t te2t dt. Hier ist te2t dt = t( 12 )e2t +

12

e2t dt = ( 12 t 14 )e2t und demnach x = Ce2t e2t( 12 t 14 )e2t = Ce2t + 12 t + 14 .

(f) Nach Formel (9.9.5) ist: x = Ce3t + e3te3t tet

23t dt = Ce3t + e3ttet

2dt = Ce3t + 12e

t23t .

3. Die Gleichung ist separierbar:dk/k = set dt, so dass ln k = set +C1 oder k = e

s e

teC1 = Ce

s e

t. Mit

k(0) = k0 haben wir k0 = Ces und somit k = k0e

s (e

t1).

5. (a) Siehe Buch. (b)K dK =

L0et dt, so dass

11 K

1 =L0

et + C1.

Daher ist K 1

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Pearson MathematikfürWirtschaftswissenschaftler Lösunghandbuch Mai2012 2