Philipps-Universität Marburg Prof. Dr. Udo Kuckartz 04-2004 LösungenFolie 1 Statistik für die Erziehungswissenschaft Lösungen zu allen Übungsteilen

Philipps-Universität Marburg Prof. Dr. Udo Kuckartz 04-2004 Lösungen Folie 1

Statistik für die Erziehungswissenschaft

Lösungen zu allen Übungsteilen


Kapitel 1 - Lösungen I

1. Was steht am Anfang jedes Forschungsprojektes?Problemwahl, Forschungsfrage

2. Was ist empirische Sozialforschung?Systematische (= nach Regeln) Erfassung und Deutung sozialer Tatbestände (= beobachtbares, menschliches Verhalten, von Menschen geschaffene Gegenstände sowie durch Sprache vermittelte Meinungen, Informationen über Erfahrungen, Einstellungen, Werturteile, Absichten u.a.m.)empirisch = erfahrungsgemäß, bzw. theoretisch formulierte Annahmen, die an spezifischen Wirklichkeiten überprüft werden.


Kapitel 1 - Lösungen II

3. Für welche Form der Definition gilt die folgende Aussage: „Solche Definitionen können weder wahr noch falsch sein.“

a) Nominaldefinition b) Realdefinition

4. Was ist eine Hypothese?

a) eine Behauptung, die sich auf subjektiver Erfahrung begründet

b) eine allgemeine Aussagen über Zusammenhänge zweier Variablen c) eine wissenschaftliche Aussagen mit Anspruch auf Richtigkeit


Kapitel 1 - Lösungen III

5. Erläutern sie den Unterschied zwischen einer unabhängigen und einer abhängigen Variable

Eine unabhängige Variable kann im Design der Forschungsfrage durch den Versuchsleiter beeinflusst werden. Die abhängige Variable wird in Abhängigkeit von der unabhängigen Variable untersucht und mit dieser in Zusammenhang gebracht.

6. In einem Experiment wird untersucht, inwiefern sich überhöhter Kaffeegenuss auf die Nervosität auswirkt. Was ist in diesem Setting die unabhängige, was die abhängige Variable?

Unabhängige Variable: KaffeegenussAbhängige Variable: Nervosität


Kapitel 1 - Lösungen IV

7. Was bedeutet „Falsifikationsprinzip“? a) Aussagen werden überprüft und bewahrheitet. b) Aussagen werden überprüft und gegebenenfalls widerlegt, können aber nicht bewahrheitet werden. c) Aussagen werden überprüft und unabhängig von dem Ergebnis als wahr angenommen.

8. Bringen Sie die Schritte des Forschungsprozesses in die richtige Reihenfolge.A) AnalysephaseB) DefinitionsphaseC) Disseminationsphase D) DurchführungsphaseReihenfolge:___B D A C_____________________________



1. Nennen Sie mindestens drei verschiedene Forschungsdesigns.QuerschnittuntersuchungenLängsschnittuntersuchungenprospektive / retrospektive Studienexperimentelle UntersuchungenQuasiexperimentelle Untersuchungen

2. Wie viele Messzeitpunkte hat eine Längsschnittstudie mindestens?Sie muss mindestens zwei Messzeitpunkte haben.

3. Was ist der Unterschied zwischen einer Panelstudie und einer Trendanalyse und was ihre Gemeinsamkeit?Eine Panelstudie befragt die gleichen Personen zu unterschiedlichen Zeitpunkten und eine Trendanalyse befragt unterschiedliche Personen zu unterschiedlichen Zeitpunkten. Bei beiden Designs handelt es sich um Längsschnittuntersuchungen.



4. In einer experimentellen Untersuchung wird gewöhnlich eine Gruppe von Probanden gebildet, die nicht dem Treatment ausgesetzt werden. Wie bezeichnet man diese Gruppe?

a) Doppel-Blind-Gruppe b) Versuchsgruppe c) Kontrollgruppe

5. Beschreiben Sie den Aufbau eines Doppel-Blind-Versuchs.

Weder der wissenschaftliche Personal, das die Versuche durchführt, noch die Versuchspersonen wissen, wer zur Versuchs- und wer zur Kontrollgruppe gehört.



6. Versuchen sie, mindestens zwei Indikatoren zu benennen für:

- Verwahrlosung: Wohnungssituation, Bindungsverhalten- Medieneinsatz in Seminaren: Beamereinsatz, Flipchartbenutzung- Aufmerksamkeit von StudentInnen: Gesichtausdruck, Beteiligung- gesunde Lebensweise: regelmäßige sportliche Betätigung, Essverhalten

7. Betrachten sie die folgende Aussage: „Im weitesten Sinne ist Messen die Zuordnung von Zahlen zu Objekten / Ereignissen anhand bestimmter Regeln.“Welcher Begriff dieser Aussage beschreibt das empirische Relativ?

a) Objekte / Ereignisse b) bestimmte Regeln c) Zahlen



8. Welches Gütekriterium wird durch die folgende Definition beschrieben: „??? bezeichnet die Gültigkeit eines Indikators. Dies ist der Fall, wenn der Indikator tatsächlich den Sachverhalt anzeigt, der mit dem definierten Begriff bezeichnet worden ist.“ a) Validität b) Objektivität c) Relativität

9. Was versteht man unter Reliabilität?Reliabilität ist die Reproduzierbarkeit von Ergebnissen unter den gleichen intersubjektiven Bedingungen, also insbesondere die Forderung, dass andere Forscher bei Anwendung desselben Erhebungsinstruments in Interaktion mit demselben Untersuchungsgegenstand zu demselben Ergebnis gelangen.


Kapitel 2 - Lösungen V

10. Welche Aussagen sind aufgrund des Skalenniveaus der Daten möglich bei:Bsp: Nominalskalenniveau: Gleichheit / Verschiedenheit (= / ≠)Ordinalskalenniveau: Relationen (= / ≠; < / >) Intervallskalenniveau: Gleichheit von Differenzen (= / ≠; < / >; + / -) Verhältnisskalenniveau: Verhältnisaussagen (= / ≠; < / >; + / -; doppelt so groß, halb so groß o.ä.)

11. Nennen Sie je zwei Beispiele für nominale, ordinale und intervallskalierte Merkmale.nominal: Geschlecht, Religionszugehörigkeitordinal: BAT Gehaltsgruppen, Militärrangintervall: Einstufen auf einer Skala, Zeugnisnoten


Kapitel 2 - Lösungen VI

12. Um welches Skalenniveau handelt es sich bei den folgenden Daten:

(Auszüge aus Fragebögen zum Ankreuzen)a) Raucher/Nichtraucher Skalenniveau: Nominalb) Ich mag Statistik

sehr gerne / gerne / teils-teils / nicht so / gar nichtSkalenniveau: Intervall

c) Ich mag am liebsten bis am wenigsten (bringen sie die Aussagen in eine Reihenfolge)Bücher lesen / Fahrrad fahren / segeln / Radio hören / Kino / Theater / Fernsehen Skalenniveau: Ordinal


Kapitel 3 – Lösungen I

1. Man hat 25 Studenten nach der Anzahl der von ihnen gelesenen Zeitschriften/Periodika befragt und folgende Daten ermittelt:

1,1,1,1,1,1, 2,2,2, 3,3,3,3,3,3, 4,4, 5,5,5,5, 8, 9,9, 10

Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle nach folgendem Muster Zeitschriften/Periodika

6 24,0 24,0 24,03 12,0 12,0 36,06 24,0 24,0 60,02 8,0 8,0 68,04 16,0 16,0 84,01 4,0 4,0 88,02 8,0 8,0 96,01 4,0 4,0 100,0

25 100,0 100,0

123458910Gesamt

GültigHäufigkeit Prozent

GültigeProzente

KumulierteProzente


Kapitel 3 – Lösungen II2. Kreuzen Sie an:

wahr falsch a) Die relative Häufigkeit ist immer größer als die absolute. x

b) Rundungsfehler heben sich beim Aufsummieren der relativen Häufigkeiten gegenseitig auf und es ergeben sich immer 100%.

x

c) Wenn bei einer intervallskalierten Variable der kleinste Wert 10 und der größte 120 ist, beträgt bei 10 Kategorien die Kategorienbreite 12.

x

d) Es macht keinen Sinn, Kategorien bei nominal oder ordinalskalierten Variablen zu bilden.

x

e) Häufigkeitsverteilungen machen keinen Sinn bei nominalskalierten Variablen. x

f) Mit Balkendiagrammen lassen sich leichter mehr Kategorien darstellen als mit einem Astdiagramm.

x

x


Kapitel 3 – Lösungen III

3. Zeichnen Sie zu folgender Häufigkeitsverteilung, welche die Anzahl der abonnierten Zeitschrift von 25 Studierenden wiedergibt, ein vertikales Balkendiagramm.

4. Erstellen Sie zu den gleichen Daten ein so genanntes Histogramm (Balkendiagramm mit kategorisierten Daten), indem Sie 5 Kategorien bilden. Wählen Sie dabei eine Kategorienbreite von 2.

Kategorie Häufigkeit 1 6 2 3 3 6 4 2 5 4 8 1 9 2 10 1

Zeitschriften/Periodika

Kategorien

109854321

Häu

figke

it

7

6

5

4

3

2

1

0

Kategorien

10,08,06,04,02,0

Zeitschriften/Periodika

Häu

figke

it

10

8

6

4

2

0

Std.abw. = 2,71

Mittel = 3,8

N = 25,00


Kapitel 3 – Lösungen IV

5. Wodurch unterscheidet sich das Histogramm vom Balkendiagramm? Der wesentliche Unterschied ist die Einteilung der x-Achse: Während bei einem Balkendiagramm meist nur die vorkommenden Kategorien abgetragen werden, deckt die Einteilung beim Histogramm die gesamte Breite zwischen der minimalsten und maximalsten Kategorie mit gleichen Abständen ab. Ein Histogramm gibt detaillierte Informationen über die Verteilung der erhobenen Variablen. Aus einem Balkendiagramm können detaillierte Informationen über die Häufigkeiten abgelesen werden.

Bei einem Histogramm werden zwecks Übersicht oftmals Kategorien zusammengefasst. Im obigen Histogramm entstanden aus den Kategorien 1-2, 3-4, 5-6, 7-8 und 9-10 fünf neue Kategorien, wobei die jeweiligen Balkenhöhen/Häufigkeiten addiert wurden.


Kapitel 3 – Lösungen V

6. Bilden Sie Kategorien über die folgenden Daten:Körpergröße 1,22 m, 1,27m, 1,38m, 1,45m, 1,67m, 1,90m

Es sollen 4 bzw. 2 Kategorien gebildet werden und dazu jeweils die Häufigkeiten der Kategorie in der Tabelle aufgeführt werden.

Kategorie Kategorienmitte Häufigkeit 1,22-1,38 1,30 3 1,39-1,55 1,47 1 1,56-1,72 1,64 1 1,73-1,90 1,81 1

Kategorie Kategorienmitte Häufigkeit 1,22-1,55 1,38 4 1,56-1,90 1,72 2


Kapitel 4 – Lösungen I

1. Kreuzen Sie an, welches Maß der zentralen Tendenz mit den Daten des jeweiligen Skalenniveaus berechnet werden darf.

Skalenniveaus Maße der zentralen Tendenz

Nominalskala Ordinalskala Intervallskala

Modalwert / Modus Zulässig Zulässig zulässig Median NICHT zulässig Zulässig Zulässig

Mittelwert NICHT zulässig NICHT zulässig zulässig


Kapitel 4 – Lösungen II

2. Ordnen Sie die Aussagen einem Maß der zentralen Tendenz zu. a) Modus b) Median c) Mittelwert

i) Der Wert liegt genau in der Mitte aller Werte und teilt somit alle Daten in zwei Hälften. 50% der Werte liegen unterhalb des Wertes, 50% der Werte liegen oberhalb dieses Wertes. a b c

ii) Der Wert gibt die numerische Mitte aller Einzelwerte an. Es müssen nicht notwendigerweise 50% der Daten unter- bzw. oberhalb dieses Wertes liegen.

a b ciii) Der Wert gibt an, welcher Wert am häufigsten in den

Daten vorkommt. a b c



3. Was sagt der Wert des arithmetischen Mittels (Mittelwert) aus, wenn ich von der Normalverteilung ausgehe?Ausgehend von der Normalverteilung liegen 50% der Testpersonen über, und 50% unter dem arithmetischen Mittel (Mittelwert). In diesem Fall entspricht der Mittelwert dem Median (s. Aufgabe 2, Kapitel 4).

4. Bei einem kognitiven Test für Kleinkinder (Zusammenlegen eines Puzzles in einer bestimmten Zeit) seien die Werte normalverteilt, der Mittelwert betrage 120 Sekunden, die Standardabweichung sei 10 Sek. Wie viele Messwerte liegen dann zwischen 110 und 130 Sekunden? a) etwa 95% b) etwa 68% c) etwa 50% d) etwa 33%

5. Eine Verteilung, bei der der Modus rechts vom arithmetischen Mittel liegt, bezeichnet man als ... a) symmetrisch b) bimodal c) rechtssteil d) glockenförmig



6. Die folgenden Daten geben an, wie viele richtige Antworten in einem Test gegeben wurden. Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung.

X x-xquer (x-xquer)² 18 -2,11 4,45 20 -0,11 0,01 22 1,89 3,75 24 3,89 15,13 17 -3,11 9,67 18 -2,11 4,45 20 -0,11 0,01 21 0,89 0,79 21 0,89 0,79 = 39,05

N= 9

20,11

= 4,34

S = 2,08

X

S2



6.a) Welche Aussagen kann man anhand der berechneten Daten machen?

Unter Annahme der Normalverteilung der Daten kann man sagen: Zwischen 18,03 und 22,19 liegen 68% der Werte. Zwischen 15,95 und 24,27 liegen 95% der Werte.


Kapitel 4 – Lösungen VI

7. Der Mittelwert eines Tests betrage 50, die Standardabweichung 7,5. Eine Person habe den Test mit 57,5 Punkten abgeschlossen. Berechnen Sie den z-Wert mithilfe der z-Transformation.

Wozu dient die z-Transformation?Zum transformieren der Daten in die Standardnormalverteilung. So werden zum Beispiel Testwerte zweier Personen aus verschiedenen Tests vergleichbar gemacht.

Welche Aussagen kann man aufgrund des oben berechneten z-Wertes machen?84,13 % sind schlechter oder gleich unserer Versuchsperson.nur 15,87 % sind besser als unsere Versuchsperson.

z = 5,7

505,57 = 1


Kapitel 4 – Lösungen VII

8. Folgende Häufigkeitstabelle gibt die Anzahl der abonnierten Zeitschrift im Monat von 25 Studierenden wieder.

Anzahl der Zeitschriften

Häufigkeit

1 6 2 3 3 6 4 2 5 4 8 1 9 2

10 1

Bestimmen Sie

den Modus (Modalwert) = 1 und 3

den Median = 3 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 8 9 9 10

das arithmetische Mittel = 94/25 = 3,76

die Summe aller Abwei- chungen vom Mittelwert = 0

die Spannweite (Range) = 10-1 = 9

die AD-Streuung = 52,8 / 25 = 2,11

die Varianz = 7,06 (n=25)

die Standardabweichung = 2,66 (n=25)



1. Wie wahrscheinlich ist es, dass

a) beim Münzwurf 4 mal hintereinander Zahl kommt. n= 4 k= 4 p= 0,5 P=0,0625

b) beim Münzwurf bei 7 Würfen 5 mal Kopf zu werfenn= 7 k= 5 p= 0,5 P=0,1641

c) bei 4 Münzwürfen 2 mal Zahl zu werfen

n= 4 k= 2 p= 0,5 P=0,3750

d) beim Würfeln von 6 Würfen 3mal hintereinander eine 6 zu bekommen.

n= 6 k= 3 p= 1/6 0,15 P=0,0415

e) beim Würfeln von 5 Würfen 4mal hintereinander eine 1 zu bekommen.

n= 5 k= 4 p= 1/6 0,15 P=0,0022

Benutzen Sie zur Lösung die Tabelle der Binomialverteilung.



2. Was ist der Unterschied zwischen der Normalverteilung und der Standardnormalverteilung?

Die Normalverteilung geht davon aus, dass der Mittelwert genau die Mitte der Daten abbildet (also 50% der Daten unter- bzw. oberhalb des Mittelwertes liegen. Bei der Standardnormalverteilung ist dieser Mittelwert genau auf den Wert 0 festgelegt, die Standardabweichung auf den Wert S = 1. Mit der z-Transformation kann jeder beliebige Wert in einen Wert der Standardnormalverteilung „übersetzt“ (transformiert) werden.

3. Was bildet die folgende Grafik ab? Eine Normalverteilung oder eine Standardnormalverteilung? Begründen Sie ihre Antwort.

X

Da auf der Grafik der Mittelwert nicht mit der Wert 0 gekennzeichnet ist, handelt es sich lediglich um eine beliebige Normalverteilung. Die Regel, 68% der Werte liegen zwischen -1 bis 1 Standardabweichung (bzw. 95,5% der Werte zwischen -2 bis 2 Standardab-weichungen) gilt für alle Normalverteilungen.



4. Was ist ein Elementarereignis?

Ein Elementarereignis ist ein bestimmtes Ereignis, dass bei einem Zufallsexperiment auftreten kann. Z.B. beim Würfeln eine 1 zu würfeln ist ein Elementarereignis.

5. Was ist der Ereignisraum eines Zufallsexperiments?

Der Ereignisraum eines Zufallsexperiments umfasst alle möglichen Elementarereignisse, die während des Experiments eintreten können. z.B. ist das Elementarereignis, eine 1 zu würfeln nur eins von sechs möglichen Elementarereignissen. Möglich wäre auch eine 2, 3 usw. zu würfeln.

6. Der Mittelwert eines Tests betrage 10, die Standardabweichung 2. Eine Person habe den Test mit dem Wert 8 abgeschlossen, bestimmen Sie den z-Wert.

z = (8-10) / 2 = -2 / 2 = -1



7. Andreas hat im Untertest I eines Intelligenztest den Punktwert 70 erreicht und im Untertest II den Punktwert 8. Das Testmanual weist folgende Normwerte für die beiden Untertests auf; für beide Untertests liegt Normalverteilung vor:Norm für Untertest I: arithm. Mittel = 65 Standardabweichung = 5Norm für Untertest II: arithm. Mittel = 6 Standardabweichung = 1

a) Hat Andreas in Untertest I oder in Untertest II besser abgeschnitten?

Die Standardisierung mit z-Transformation ergibt folgende Werte: z(I) = (70-65)/5 = 1z(II) = (8-6)/1 = 2Aus z(II) > z(I) folgt, dass Andreas im Untertest II besser abgeschnitten hat.

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für die in den beiden Untertests erreichten und alle kleineren Punktwerte? Benutzen Sie zur Lösung die Tabelle der Normalverteilung.

p(z2) = 0,9772 p(z1) = 0,8413



1. Formulieren Sie eine Alternativ- und eine Nullhypothese zu den Variablen:V1: Männer/Frauen V2: Pädagogik als Studienfach ja/neinH0:Männer und Frauen unterscheiden sich nicht in ihrer Entscheidung, ob sie Pädagogik als Studienfach wählen oder nichtH1: Männer und Frauen unterscheiden sich in ihrer Entscheidung, Pädagogik zu studieren oder nicht.

2. Was ist der Unterschied zwischen einer gerichteten und einer ungerichteten Hypothese?Eine gerichtete Hypothese gibt bereits die Richtung des Zusammenhangs an. Bsp.: Männer wählen eher Pädagogik als Studienfach als Frauen. Ungerichtete Hypothesen geben keine Richtung des Zusammenhangs an.Bsp.: Männer und Frauen unterscheiden sich in ihrer Entscheidung, Pädagogik als Studienfach zu wählen.

3. Wie ist die Nullhypothese formuliert?Es ist immer die Hypothese, die von keinem Unterschied / Zusammenhang zwischen den untersuchten Variablen ausgeht oder (bei gerichteten Hypothesen) von keinem Zusammenhang UND der anderen Richtung des Zusammenhangs als die Alternativhypothese.



4. Was ist die Irrtumswahrscheinlichkeit?

a) die Wahrscheinlichkeit, mit einer Entscheidung für die Alternativhypothese (aufgrund der Stichprobe) zu irren, da in der Population die Nullhypothese gilt.

b) die Wahrscheinlichkeit, mit einer Entscheidung für die Nullhypothese zu irren, da in der Population die Alternativhypothese gilt.

c) die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese zutrifft (in der Population)

d) die Wahrscheinlichkeit, dass die Alternativhypothese zutrifft (in der Population)

5. Warum ist die Nullhypothese so wichtig?

Bevor die Ergebnisse einer Untersuchung vorliegen, gilt immer die Nullhypothese. Sie ist somit die Forschungsbasis. Im Verlauf der Studie kann auch lediglich die Wahrscheinlichkeit minimiert werden, dass die Nullhypothese zutrifft und somit die Alternativhypothese gilt.



6. In der Forschung können Fehler begangen werden, die möglichst vermieden werden sollten.

Einen α-Fehler begeht man, wenn man sich aufgrund der Stichprobe für die H0 entscheidet, obwohl in der Population die H1 gilt. man sich aufgrund der Population für eine zu große Stichprobe entscheidet. man sich aufgrund der Stichprobe für die H1 entscheidet, obwohl in der Population die H0 gilt. man sich aufgrund der Stichprobe für eine zu große Population entscheidet.

6a. Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist somit die Wahrscheinlichkeit, einen α-Fehler zu begehen. wahr falsch



7. Welche Signifikanzniveaus werden in der Statistik üblicherweise verwendet? a) das 5%- und das 1%-Niveau b) das 95%- und das 99%-Niveau c) das 0,5%- und das 0,1%-Niveau

8. Was sagen die %-Zahlen des Signifikanzniveaus aus? sie geben die Irrtumswahrscheinlichkeit an. sie geben den Anteil der Leute an, die in der Studie falsche Antworten gegeben haben sie geben den Prozentsatz an, zu dem das Ergebnis signifikant (=bedeutend) ist.



1. Der T-Test dient (richtige Lösung bitte ankreuzen)

zum Testen eines Stichprobenmittelwertes auf Abweichungen von der Grundgesamtheit

zum Testen von Unterschieden von Stichprobenmittelwerten zum Testen der Güte von Getränken (Tee, Kaffee etc.)

2. Lesen Sie die Werte in der Tabelle ab.

Welcher T-Wert ist zu überschreiten für:df=12 5% Niveau einseitige Fragestellung Das einseitige 5% Niveau entspricht der Wahrscheinlichkeit (Fläche unter der t-Kurve):p = 1- = 1-0.05 = 0.95 t (df=12, p=0.95) = 1,782


Kapitel 7 – Lösungen II

2. Fortsetzung

df=12 5% Niveau zweiseitige Fragestellung Das zweiseitige 5% Niveau entspricht p = 1-/2 = 1-0.025 = 0.975t (df=12, p=0.975) = 2,179

df=20 1% Niveau einseitige Fragestellung t (df=20, p=0.99) = 2,528

df=29 1% Niveau zweiseitige Fragestellung t (df=29, p=0.995) = 2,756



3. In der Studentenstudie 2000 ergaben sich folgende Altersmittelwerte von Männern und Frauen:

Gruppenstatistiken

100 21,94 4,64 ,4619 22,42 2,81 ,65

Geschlechtweiblichmännlich

AlterN Mittelwert

Standardabweichung

Standardfehler des

Mittelwertes

Mit einem geeigneten Test (t-Test) wurde überprüft, ob sich Männer und Frauen bezüglich ihres Alters unterscheiden. Es ergab sich eine 2-seitige Irrtumswahrscheinlichkeit von p=0,664.a) Formulieren Sie eine geeignete Nullhypothese und eine Alternativhypothese. H0: Männliche und weibliche Besucher der Statistik-VL unterscheiden sich in ihrem Durchschnittsalter. H1: Männliche und weibliche Besucher der Statistik-VL unterscheiden sich nicht in ihrem Durchschnittsalter.



3.b) Spricht die Irrtumswahrscheinlichkeit von p=0,664 für oder gegen die Alternativhypothese? Was bedeutet das inhaltlich?

Das spricht eindeutig für die Nullhypothese, weil die Irrtumswahrscheinlichkeit 66,4% größer als 5% ist. Also unterscheiden sich die Studenten nicht signifikant von den Studentinnen, welche die Statistik-VL besuchen, hinsichtlich ihres

Alters.

c) Formulieren Sie eine geeignete gerichtete Alternativhypothese. Betrachten Sie dazu die in der Tabelle angegebenen Werte.H1: Männliche Besucher der Statistik-VL sind durchschnittlich älter als weibliche.

d) Wie groß darf grundsätzlich die Irrtumswahrscheinlichkeit p höchstens sein, damit Sie ein hochsignifikantes Ergebnis erhalten?p muss echt kleiner als 1% sein.



4. Sie haben in einer Studie mit zwei Gruppen zu je 21 Probanden eine Prüfgröße t von 2,2 ermittelt. Nun schlagen Sie in der Tabelle nach und entnehmen dieser für df=40 auf dem 5% Niveau einen Wert von 1,68. Entscheiden Sie sich

a) bei einseitiger Fragestellung für die Alternativhypothese oder für die Nullhypothese?

Für die Alternativhypothese, weil der empirisch in der Studie gewonnene Wert von 2,2 größer ist als der zugehörige kritische t-Wert von 1,68.

b) bei zweiseitiger Fragestellung für die Alternativhypothese oder für die Nullhypothese?

Für den t-Wert ergibt sich bei 2-seitiger Fragestellung statt 1,68 der neue Wert t (df=40, p=0.975) = 2,021 => Auch für die Alternativhypothese, weil der empirisch in der Studie gewonnene Wert von 2,2 immer noch höher ist als 2,021.


Kapitel 7 – Lösungen VI

4.c) Was bedeutet das Ergebnis inhaltlich? (bitte für beide Fälle formulieren)Bei einer Entscheidung für die Alternativhypothese liegt ein auf dem 5%-Niveau signifikanter Unterschied der beiden Gruppen vor.Bei einer Entscheidung für die Nullhypothese lässt sich ein signifikanter Unterschied zwischen den Gruppen nicht feststellen.

5. Bringen Sie die Schritte des t-Testes in die richtige Reihenfolgea) Mittelwerte und Varianzen der beiden Variablen berechnenb) Kritischen t-Wert für (, df) ermittelnc) Prüfgröße t berechnend) Vergleich der Prüfgröße t mit dem Tabellenwert:

wenn t < t,df, dann Beibehaltung der H0e) Standardfehler der Differenz berechnenf) Anzahl der Freiheitsgrade ermittelnReihenfolge:____a) e) c) f) b) d)______________



1. Mit Daten auf welchem Skalenniveau kann man den Chi-Quadrat-Test durchführen?Der Chi-Quadrat-Test kann mit Daten ab Nominalskalen-Niveau (also auch mit ordinal- und intervallskalierten Daten) durchgeführt werden.

2. In einer Vorlesung der Pädagogik mit 105 Teilnehmenden ermitteln Sie folgende Verteilung der Geschlechter.

Untersuchen Sie mittels eines Chi-Quadrat-Testes, ob diese Teilnehmerzusammensetzung mit der Annahme einer Gleichverteilung der Geschlechter (50:50) vereinbar ist. Wählen Sie das 5% Signifikanzniveau, berechnen Sie die erwarteten Häufigkeiten und Chi-Quadrat.

Häufigkeit Erwartet weiblich 80 52,5 männlich 25 52,5 Gesamt 105



2. Lösungsweg bitte hier aufschreiben:

Chi-Quadrat (empirisch) = [ (80-52,5)² + (25-52,5)² ] : 52,5 = [ 27,5² + 27,5² ] : 52,5 = 1512,5 : 52,5 = 28,8 > Chi-Quadrat (df=1, 0.95) = 3,84=> signifikantes Ergebnis; die Teilnehmerzusammensetzung ist

nicht mit einer Gleichverteilung vereinbar

• Angenommen Sie hätten für eine Vierfeldertafel den empirischen Chi-Quadrat-Wert berechnet. Dieser sei größer als der Chi-Quadrat-Wert, den Sie für das 5% Niveau und die entsprechende Zahl von Freiheitsgraden in der Tabelle ablesen. Wie entscheiden Sie sich? a) für die Nullhypothese b) für die Alternativhypothese



4. Berechnen Sie Chi-Quadrat.

in Klammern sind die Erwartungswerte angegeben

2 = (20-15)2 + (30-22,5)2 + (0-18,75)2 +....+ (0-12,5)2 = 99,87 15 22.5 18,75 12,5

Studienrichtung

Wahlpflichtfach

1 2 3 4 Summe

1 20 (15) 30 (22,5) 0 (18,75) 25 (18,75) 75

2 20 (15) 0 (22,5) 30 (18,75) 25 (18,75) 75

3 0 (10) 30 (15) 20 (12,5) 0 (12,5) 50

Summe 40 60 50 50 200



5. Berechnen Sie wieder Chi-Quadrat

Chi-Quadrat (empirisch) = = 21,057

k

1j e(j)

e(j)b(j)

f)²f(f

²

Studienrichtung

Wahlpflichtfach

1 2 3 4 Summe

1 40 (30) 25 (25) 2 (4) 33 (41) 100

2 10 (12) 15 (10) 2 (1,6) 13 (16,4) 40

3 10 (18) 10 (15) 4 (2,4) 36 (24,6) 60

Summe 60 50 8 82 200



6. Sind die Tabellen aus Aufgabe 4 und 5 gleich gut für einen Chi-Quadrat-Test geeignet? Dürfen die Ergebnisse für Aussagen über Zusammenhänge herangezogen werden?

Die Tabelle aus Aufgabe 5 kann nicht für Aussagen über Zusammenhänge zwischen den Variablen Studienrichtung und Wahlpflichtfach herangezogen werden, da mehr als 20% der Tabellenfelder eine erwartete Häufigkeit kleiner 5 haben. Die Tabelle ist somit weniger geeignet für einen Chi-Quadrat-Test.



1. 200 Studenten wurden nach ihrem Geschlecht (männlich, weiblich) und danach geordnet, ob sie alleine leben (single) oder nicht (non single). Ein unvollständiger Auszug der Daten sieht so aus:

a) Ergänze die Tabelle an den entsprechenden Stellen

b) Berechne Chi-Quadrat

Chi-Quadrat = 1,587

Männlich weiblich Zeilensummen Single 20 40 60 Non-Single 60 80 140 Spaltensummen 80 120 200



1. Fortsetzungc) Berechne den Phi-Koeffizienten

Phi-Koeffizient = - 0,089

d) Was gibt das Ergebnis des Phi-Koeffizienten an?

Der Phi-Koeffizient gibt den Grad des Zusammenhangs an. In diesem Fall ist der Wert nahe 0 und der Zusammenhang ist damit nicht erwähnenswert.

Ein Phi-Koeffizient von 0,3 gibt beispielsweise einen mittleren, ein Wert von 0,6 einen großen Zusammenhang an.



2. Die folgende Tabelle ist von Aufgabe 4, Kapitel 8 übernommen. Berechnen Sie nun den Phi-Koeffizienten und interpretieren Sie das Ergebnis.

Wahlpflichtfach 1 2 3 4 Summe

1 20 30 0 25 75 2 20 0 30 25 75

Studien-richtung

3 0 30 20 0 50 Summe 40 60 50 50 200

Chi-Quadrat (emprisch) = 21,0595Phi-Koeffizient = 0,071

Der Zusammenhang zwischen der Studienrichtung und dem Wahlpflichtfach, die von den Testpersonen angeben wurden, ist gering. Da der Wert nahe an 0 liegt, ist ein Zusammenhang fast nicht vorhanden.



3. Die Teilnehmer/innen der Statistikvorlesung 2000 wurden danach befragt, a) ob sie planen, eventuell ein oder mehrere Semester im Ausland zu studieren und b) in welcher Region sie Abitur gemacht haben.Der Chi-Quadrat-Test ergab folgende Tabellen. Beschreiben und interpretieren Sie die Ergebnisse.

Auslandssemester * Region (des Abiturs) Kreuztabelle

31 23,7 7 14,3 38

13 10,6 4 6,4 17

8 10,6 9 6,4 17

24 31,1 26 18,9 50

76 76,0 46 46,0 122

Marburg und naheUmgebungweitere Umgebungvon MarburgHessenanderesBundesland

Region(desAbiturs)

Gesamt

AnzahlErwartete

Anzahl AnzahlErwartete

Anzahl Anzahl

nein / eher nicht eher ja / bestimmtAuslandssemester

Gesamt



3. Fortsetzung Chi-Quadrat-Tests

13,501 3 ,004Chi-Quadrat nachPearson

Wert df

AsymptotischeSignifikanz(2-seitig)

Symmetrische Maße

,333 ,004Cramer-V Wert

Näherungsweise

Signifikanz

Der Chi-Quadrat-Test lieferte eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,4% und war damit auf dem 1%-Niveau signifikant.Demnach wird die Ho (Es besteht kein Zusammenhang zwischen den Variablen) verworfen und die Entscheidung fällt für die Alternativhypothese H1: Es besteht ein signifikanter Zusammenhang zwischen der Region, in der die Studierenden ihr Abitur gemacht haben, und der Planung, ein oder mehrere Semester im Ausland zu studierenden.



3. Fortsetzung IIAus der Verteilungstabelle ist zu entnehmen, dass die Studierenden, die

in der näheren und weiteren Umgebung von Marburg Abitur machten (n=38+17=55), weniger Interesse haben im Ausland zu studieren als diejenigen aus Hessen und anderen Bundesländern (n=17+50=67).

Der standardisierte Koeffizient Cramers V von 0,333 lässt auf einen mittelgroßen Zusammenhang zwischen Region des Abiturs und Planung Auslandssemester schließen.

Es ist zu vermuten, dass die Studierenden, die nicht aus der Umgebung Marburg kommen, und deshalb schon einmal zu Studienbeginn den Schritt in ein neues Lebens- und Studierumfeld gegangen sind, weniger Schwierigkeiten haben, sich ein Semester im Ausland vorzustellen.

Darüber hinaus sind vermutlich die regionalen Bezüge und Bindungen zur Familie, zum Elternhaus, zu Freunden und zur Region bei den Studierenden aus der Umgebung Marburgs größer. Der „Schritt ins Ausland“ stellt dadurch sicherlich eine größere Hemmschwelle dar.



1. In der Studienanfängerstudie 2002/03 wurde gefragt „Wir oft üben Sie die folgenden Freizeitbeschäftigungen aus“ (Skala 1 (nie) bis 5 (sehr oft)). Die folgende Korrelationsmatrix gibt die bivariaten Korrelationen für vier Beschäftigungen wieder.

Korrelationen

1 ,414** -,192* -,234**, ,000 ,014 ,003

,414** 1 -,111 -,140

,000 , ,155 ,072

-,192* -,111 1 ,017,014 ,155 , ,826

-,234** -,140 ,017 1,003 ,072 ,826 ,

Korrelation nach PearsonSignifikanz (2-seitig)Korrelation nach PearsonSignifikanz (2-seitig)

Korrelation nach PearsonSignifikanz (2-seitig)Korrelation nach PearsonSignifikanz (2-seitig)

Fernsehen

Beschäftigung mitComputer

Sport treiben

Künstlerische Aktivitäten

Fernsehen

Beschäftigung mit

Computer Sport treibenKünstlerische

Aktivitäten

Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,01 (2-seitig) signifikant.**.

Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,05 (2-seitig) signifikant.*.

Lösung Aufgabe 1 a) und b) siehe Tabelle



1. c) welche der folgenden Aussagen ist richtig? A) Seltenes Sporttreiben geht mit

seltenem fernsehen einher. B) Häufiges Sporttreiben geht mit

seltenem fernsehen einher. C) Zwischen der Häufigkeit des

Sporttreibens und des Fernsehens gibt es keinen Zusammen- hang.

d) Versuchen Sie die Matrix inhaltlich zu interpretieren, beachten Sie dabei die Höhe der Korrelationen, die Vorzeichen sowie die Signifikanzen.

siehe nächste Folie



1. d) Die größte, auf dem 1%-Niveau signifikante, Korrelation besteht zwischen Fernsehen und Beschäftigung mit Computer mit r = .414. Studierende, die häufig fernsehen, beschäftigen sich auch häufig mit dem Computer.

Alle Korrelationen liegen unter r = .5, wobei zwischen Fernsehen und Künstlerischen Aktivitäten die höchste negative Korrelation mit r = -.234 besteht.

Ein weiterer negativer Zusammenhang auf dem 5% Signifikanzniveau mit r =-.192 besteht zwischen „Sport treiben“ und „Fernsehen“.Interessant ist, dass dieser negative Zusammenhang nicht auf „Sport treiben“ und die „Beschäftigung mit dem Computer“ übertragen werden kann. Zwischen „Beschäftigung mit dem Computer“ und „Sport treiben“ und „Beschäftigung mit dem Computer“ und „Künstlerische Aktivitäten“ sowie zwischen „Sport treiben“ und „Künstlerische Aktivitäten“ besteht jeweils kein Zusammenhang.

Bei den negativen Zusammenhängen können „je mehr, desto weniger“ – und bei den positiven Zusammenhänge „je mehr, desto mehr“ – Aussagen getroffen werden.



2. Die Korrelationsanalyse mit dem Korrelationskoeffizienten r (Pearson) besteht aus 7 Schritten (Entscheidung für oder gegen H1 soll getroffen werden können). Schreiben sie diese in der richtigen Reihenfolge auf.

a) Mittelwerte von x und y bestimmen b) Standardabweichung von x und y bestimmen c) Kovarianz bestimmen d) Korrelationskoeffizient r bestimmene) Prüfgröße t bestimmen.f) Vergleich der Prüfgröße mit dem kritischen t-Wert der Tabelleg) Entscheidung Nullhypothese oder Alternativhypothese



3. Berechnen Sie die Kovarianz zwischen den Merkmalen x (Anzahl der richtigen Lösungen in Test A) und y (Anzahl der richtigen Lösungen in Test B)

X Y x-xquer y-yquer x-xquer *y-yquer 18 27 -3 -3,5 10,5 20 30 -1 -0,5 0,5 22 33 1 2,5 2,5 24 32 3 1,5 4,5

21x 5,30y Summe = 18

cov(x,y) = 18/4 = 4,5



1. Was ist der Unterschied zwischen den Korrelationskoeffizienten nach Spearman und nach Pearson?Spearmans rho wird ab ordinalskalierten Daten eingesetzt, Pearsons r ab intervallskalierten.

2. Zählen Sie alle Korrelationskoeffizienten auf, die sie kennen.Spearmans rho, Pearsons r, Cramers V, Phi-Koeffizient, Kontingenzkoeffizient C

3. Wann spricht man von einer geringen, einer mittleren bzw. hohen Korrelation. 0,1 - geringe Korrelation0,3 - mittlere Korrelation0,5 - hohe KorrelationMit dem Signifikanzwert hängen sie durch das Bilden der Prüfgröße t zusammen. Je höher die Korrelation, umso eher besteht die Chance ein signifikantes Ergebnis zu erzielen.



4. Die StudentInnen der Vorlesung „Einführung in die sozialwissenschaftliche Statistik“ wurden nach ihrer persönlichen Einschätzung zu verschiedenen Berufsgruppen befragt. Hier sind die Rangreihenfolgen von zwei der befragten Personen.

Berufsgruppe Person 1 Person 2 Rangplatzdiff.

Rangplatzdiff.²

Arzt 1 3 2 4 Dipl.-Päd. 11 2 9 81 Dipl.-Pol. 3 9 6 36 Dipl.-Psych. 2 8 6 36 Soz.Päd. (FH) 4 5 1 1 Dipl.-Soz. 5 10 5 25 Erzieher 12 4 8 64 Lehrer Gr/Mittelstufe

6 6 0 0

Lehrer Oberst 7 7 0 0 Pfarrer 8 12 4 16 Anwalt 9 11 2 4 Soz.Arbeiter 10 1 9 81



4. FortsetzungBerechnen Sie den Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman!

)²n(n

d

rho

n

ii

1

6

1 1

2

)( 11441234861

171620881 2211 , = - 0,22

Und interpretieren Sie das Ergebnis.Es liegt eine geringe, negative Korrelation vor. Das heisst, dass die Berufe, die von Person 1 höher eingeschätzt wurden von Person 2 eher niedriger eingeschätzt wurden und umgekehrt (welcher Beruf bei Person 2 einen hohen Stellenwert hatte, der hat bei Person 1 einen niedrigeren.)



5. Tragen Sie ein, welcher Korrelationskoeffizient in Abhängigkeit vom Skalenniveau der Daten berechnet werden darf.

Skalenniveaus Korrelations-Koeffizienten

Nominalskala Ordinalskala Intervallskala

Phi-Koeffizient Zulässig Zulässig Zulässig Cramers V Zulässig Zulässig Zulässig

Kontingenzkoeffizient Zulässig Zulässig Zulässig Spearman’s Rho NICHT zulässig Zulässig Zulässig

Pearson’s r NICHT zulässig NICHT zulässig Zulässig



6. Was wäre der adäquate Korrelationskoeffizient zwischen den folgenden Merkmalen?

Merkmal X Merkmal Y Korrelationskoeffizient nominalskaliert nominalskaliert Cramer’s V intervallskaliert intervallskaliert Pearsons r intervallskaliert ordinalskaliert Rangkorrelation Spearman



1. Cronbachs Koeffizient Alpha ist ein Maß a für die Trennschärfe von Items b für den Zusammenhang zweier Items c für die Reliabilität einer Skala

2. Eine Skala ist a ein Messinstrument b eine Sammlung von Variablen c ein Koeffizient für den Zusammenhang zweier intervallskalierter Variablen

3. Wie kann man eine Skala gegebenenfalls verbessern?Items mit niedriger Trennschärfe aus der Skala entfernen.Evtl. Items neu formulieren.Evtl. Items hinzunehmen.



4. Zur Messung des räumlichen Vorstellungsvermögens von Studierenden wurden zwei Skalen entwickelt. Skala A weist einen Reliabilitätskoeffizient Alpha=.52 auf, Skala B einen Koeffizienten Alpha = .77.Welche Skala ist besser geeignet: a Skala A b Skala B c beide gleich gut d beide sind nicht geeignet

5. Wie wird bei der Likert-Skala der Gesamtpunktwert der Probanden berechnet. a durch Ordnen der Items nach Schwierigkeit und Zuordnung der Personen zu dieser Rangskala b durch Summierung der Messwerte der einzelnen Items c durch Bildung des Mittelwertes der trennschärfsten Items



1. Was bedeutet die Signifikanz des F-Wertes bei der Varianzanalyse? a) Die Wahrscheinlichkeit für das zufällige Zustandekommen des Ergebnisses b) Die Wahrscheinlichkeit für die Geltung der H1 c) Die Wahrscheinlichkeit für die Wirkung des Treatments

2. Geben sie die sechs Schritte der Varianzanalyse an:

a) Bestimmung der QS total (Gesamtsumme der Abweichungsquadrate)b) Bestimmung der QS treatment und der Treatment-Varianzc) Bestimmung der QS fehler und der Varianz des Fehlersd) Bildung der Prüßgröße Fe) Wahl des Signifikanzniveaus, Vergleich des empirischen F-Wertes mit dem kritischen F-Wert der Tabelle f) Entscheidung für Null- und Alternativhypothese



3. Die Varianzanalyse will: a) Den Zusammenhang zwischen zwei nominalskalierten Daten untersuchen b) Die Varianz einer abhängigen Variablen durch unabhängige Variable(n) erklären c) Den Mittelwerte einer Stichprobe mit dem Mittelwert der Grundgesamtheit vergleichen d) Die Varianz einer Variablen bestimmen

4. Welches Skalenniveau muss die abhängige Variable bei der Varianzanalyse besitzen? a) spielt keine Rolle b) Nominalskalenniveau c) Intervallskalenniveau d) Ordinalskalenniveau



5. Es wurde eine einfaktorielle Varianzanalyse durchgeführt mit der abhängigen Variable Umweltbewusstsein und der unabhängigen Variable Bildung. Das Umweltbewusstsein wurde mittels einer aus 14 Itemsbestehenden Skala gemessen: Je höher der Skalenwert ist, desto höher ist das Umweltbewusstsein. Es wurden drei Stufen des Bildungsniveaus unterschieden: niedrig, mittel und hoch. Interpretieren Sie die folgenden, von SPSS berechneten Ergebnisse dieser Analyse. Hat Bildung einen Einfluss auf das Umweltbewusstsein? Wenn ja, in welcher Weise? Deskriptive Statistik

Gesamtskala Umweltbewusstsein

636 50,0267 6,6825 ,2650 49,5064 50,5471 24,00 70,00631 51,5087 6,8310 ,2719 50,9747 52,0427 27,00 68,00647 52,0927 6,8825 ,2706 51,5614 52,6241 29,00 70,00

1914 51,2137 6,8516 ,1566 50,9065 51,5208 24,00 70,00

niedrigmittelhochGesamt

N MittelwertStandardabweichung

Standardfehler Untergrenze Obergrenze

95%-Konfidenzintervall fürden Mittelwert

Minimum Maximum



5. Fortsetzung ANOVA

Gesamtskala Umweltbewusstsein

1450,918 2 725,459 15,691 ,00088354,684 1911 46,23589805,601 1913

Zwischen den GruppenInnerhalb der GruppenGesamt

Quadratsumme df

Mittel derQuadrate F Signifikanz

Das Ergebnis ist signifikant (F=15,69, p=.000), d.h. die Gruppen unterscheiden sich: Bildung hat einen Effekt auf das Umweltbewusstsein. Dieses steigt mit dem Bildungsniveau an, die erste Gruppe „Bildung niedrig“ weist durchschnittlich das geringste Umweltbewusstsein auf (Skalenmittelwert= 50,0), die Gruppe mit dem höchsten Bildungsniveau zeigt sich im Mittel am umweltbewusstesten (Skalenmittelwert 52,1). Mit zwei Skalenpunkten sind die Unterschiede allerdings nicht sehr groß.



6. Berechnen einer Varianzanalyse: Je 10 Schüler werden zufällig auf drei verschiedene Lernmethoden des Englischunterrichts verteilt. Nach 10 Unterrichtsstunden wird ein Englisch-Test geschrieben, dessen Werte in der unten stehenden Tabelle wiedergegeben sind. Berechnen Sie eine Varianzanalyse! Unterschieden sich die Gruppen signifikant?

Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 22 24 22 24 26 27 23 20 29 21 26 25 25 27 26 25 26 28 21 25 23 21 26 24 24 23 30 24 27 26

Mittelwert A1=23 Mittelwert A2=25 Mittelwert A1=26



6. FortsetzungGesamtmittelwert= 24,66Berechnen Sie zunächst die Fehlerquadratsumme QS Fehler= 126und die Fehlervarianz (df hier= 27) = 126/27= 4,66 Berechnen Sie nun die Treatmentquadratsummer QS Treat=10*(23-24,66)²+10*(25-24,66)²+10*(26-24,66)² = 46,66

und die Treatmentvarianz (df hier = 2)= 46,66/2=23,33

Bilden Sie nun die Prüfgröße F= = 23,33 / 4,66= 5

Der kritische F-Wert für 2 Zählerfreiheitsgrade, 27 Nennerfreiheitsgrade und 5% Irrtumswahrscheinlichkeit lautet 3,35.

Treffen Sie die Entscheidung Nullhypothese versus Alternativhypothese! Da der kritische F-Wert der Tabelle unter dem berechneten F-Wert bleibt, wird die H0 verworfen und die H1 angenommen.

ianzFehler

ianzTreatmentvar

var

Documents

Philipps-Universität Marburg Prof. Dr. Udo Kuckartz 04-2004 LösungenFolie 1 Statistik für die Erziehungswissenschaft Lösungen zu allen Übungsteilen