AlexanderGrossmannPhysikKompaktleifaden

LehrbuchPhysik

AlexanderGrossmann

PhysikKompaktleitfadenPraktikumundExamensvorbereitungineinemBuch

FürNaturwissenschaftler,MedizinerundPharmazeuten

3.,überarbeiteteundkorrigierteAusgabe

Autor:

Prof.Dr.rer.nat.AlexanderGrossmann

Berlin

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©2018AlexanderGrossmann,Berlin

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DOI:10.24921/2018.94115921

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HerstellungderVerlagsausgabe(Druck-unddigitaleFassung):

CarlGrossmannVerlag,Berlin,Bern

www.carlgrossmann.com

ISBN:978-3-941159-02-0(gedruckteAusgabe,Paperback)

ISBN:978-3-941159-21-1(e-Book,OpenAccess)

Einführung

NichtnurimanObstwiesenreichenTübingenbeobachtenwireinenscheinbarbanalenVorgang:EinreiferApfelfälltvoneinemBaumzuBoden.

BereitsIsaakNewtonhatdiesesAllerwelts-Ereignisim17.Jahrhundertangeblichsoinspiriert,dasserdiegrundlegendenGesetzederMechanikundderGravitationaufstellte.HinterdieserBeobachtungverbergensichinderTateineReihevonwichtigenSchlussfolgerungen.EinigeBeispiele:DerApfelfälltinderRegelgeradlinigzuBoden,erbenötigteinegewisseZeitfürdenFallunderfälltniemalswiedernachoben.Beo bachtenwireineganzeReihevonsolchenEreignissen,könnenwirnochmehrFolgerungenableiten:DieZeit,indereinApfelzuBodenfällthängtnichtvondessenGewichtab,wohlabervonderHöhe,ausdererzuBodenfällt.JehöherderAstüberdemBodenhängt,destoschnelleristderApfelkurzvordemAufprallaufderWiese.

OffensichtlichstehthintereinemphysikalischenGesetz,dasmanvielleichtnochausderSchulzeitalsauswendiggelerntesFormel-GebildeinErinnerunghat,einemehroderminderdirekteBeobachtung.AusdieserBeobachtungeinesinderNaturvorkommendenGegenstandes(Apfel)undeinesEreignisses,zumBeispielderBewegungdesGegenstandes(zu-Boden-Fallen),könnenwirRegelnaufstellen,dieallgemeingültigsindundnichtnurdenspeziellen,geradebeobachtetenFallbeschreiben.SowirdjederApfelirgendwanneinmalzuBodenfallen(vorausgesetzt,erwurdenichtgepflückt)undwirkönnendieZeitvorhersagen,diederApfelbenötigt,umauseinerbestimmtenHöhedenBodenzuerreichen.Daserscheintsicherzunächstnichtbesondersspannend,abernunsindwirinderLage,dieDauerjedesfreienFallseinesbeliebigenGegen standsvorherzusagen,ohnedassdasEreignistatsächlichstattfand.

DasPhysikalischePraktikumstellteinewichtigeErgänzungzuden

VorlesungenimFachPhysikdar.InsbesondereStudierendenimNebenfachbereitetdieUmsetzungdesinderVorlesungtheoretischvermitteltenStoffsaufalltäglichephysikalischeProzessegroßeSchwierigkeiten.DurchdenoftsehrstraffenZeitplanbleibtdemHörerderPhysikimNebenfachanderseitskaumZeit,sichumfassendmitdenvorgestelltenphysikalischenPhänomenenauseinanderzusetzen.ZurerfolgreichenDurchführungderpraktischenÜbungenistabereinegewisseBasisanphysikalischenundmathematischenGrundlagenerforderlich,dieesdemTeilnehmerermöglicht,seineBeobachtungenexaktzunotierenundausdemBeobachteteneinenphysikalischenZusammenhangzuformulieren.DervorliegendeKompaktleitfadensollTeilnehmernamPhysikali‐schenPraktikumeinerseitsdieInformationenliefern,diezurDurchführungderspeziellenPraktikumsversuchebefähigen.AndererseitssollgleichzeitigeinemöglichstbreitephysikalischeBasisvermitteltwerden,dieimIdealfalldenStoffdeseinenVersuchbegleitendenVorlesungsabschnittsenthält.NebenetlichenBeispielen,dieabstraktwirkendephysikalischePhänomeneoderFormelnineinealltägliche,Sprache‘übersetzen,findetderLesereineReihevondurchgerechneten,einfachenÜbungsaufgabenzurVertiefungdesStoffs.IndieserHinsichtgehtderUmfangdiesesBuchesweitüberdassonstfüreinereinePraktikumsan leitungüblicheMaßhinaus.EseignetsichdaherauchfürdieeffizienteundzeitökonomischeVorbereitungaufeinzelneModuleoderdasStaatsexamenfürNebenfachstudierendederPhysikineinemBuch.

BesondererDankbeiderErstellungdererstenAuflagediesesBuchesgaltSonjaHilbert,DirkAmonundSvenRempefürdietatkräftigeMitarbeitamdidaktischen„Grundgerüst“eineszuGrundeliegendenSkriptumszumPraktikumfürNaturwissenschaftleranderUniversitätTübingen.InzwischenhatsichdasPraktikuminTübingenweiterentwickelt,undauchderInhaltderdortvermitteltenVersuche.AllerdingswaresvonAnfangannichtSinnundZweckdiesesBuches,diePraktikumsversuchevorOrt1:1darzustellen,sonderndenLesern

AlexanderGrossmann

einGefühlfürtypischePraktikumsversuchezugeben,dieanjederUniversitätletztlichimDetailundderAusführunganderskonzipiertwarenundsind.AllendenjenigenseifürdiehilfreicheundkonstruktiveKritikgedankt,diezurBeseitigungderunvermeidlichenvielenkleinenFehlerchenbeigetragenhaben.Nobodyisperfect:JederHinweisaufnochverbliebeneUnstimmigkeitenodermöglicheErgänzungenwirdgerneentgegengenommen:alexander.grossmann@htwk-leipzig.de

Berlin,imJanuar2018

HinweisezumPhysikpraktikumundzudiesemBuchWer?DasPhysikalischePraktikumwirdvonNaturwissenschaftlern,alsoBiologen,Chemikern,Biochemikern,Geologen,Mineralogen,GeoökologensowievonMedizinernundPharmazeutenbearbeitet.DiegenauenAnforderungensindmitderjeweilsgültigenStudienordnungIhresStudiengangesabzugleichen,insbesonderehängtdieZahlderzuabsolvierendenVersuchsterminevomjeweiligenStudienfachab.

Warum?ImPraktikumsollenSielernen,wieeinfachephysikalischeExperimentegeplant,aufgebaut,durchgeführtundausgewertetwerden.ZieldesPraktikumsistnichtdasAuswendiglerneneinerVersuchsbeschreibungodereines,Kochrezeptes‘,sonderndasVerstehendesSinnseinesphysikalischenExperiments.Nurdann,wennSiedieeinzelnenSchritteeinesVersuchesverstandenhabenunddieTheoriezudenentsprechendenphysikalischenPhänomenenaufdenVersuchanwendenkonnten,sindSieinderLage,ähnlicheFragestellungenineinemanderenZusammenhang(zumBeispielIhremStudienfach)erfolgreichzuverstehen.DazudienendieZahlreichen,einfachenBeispieleimText,dievonFormulierungundSchwierigkeitsgraddenExamensfrageninPharmazieundÄrztlicherVorprüfungentsprechen.

Was?DieVersuchewurdenausdemBereichdergrundlegendenPhysikausgewählt,dieSieindenerstenbeidenSemesterneinerAnfängervorlesungzurExperimentalphysikkennengelernthaben.DerindiesemBuchbehandelteStoffdecktdenRahmeneinerAnfängervorlesungabundeignetsichdahervorzüglichzureffizientenVorbereitungaufdasVordiplomimNebenfachPhysikoderdesStaatsexamens.DieAuswahlderVersuchedecktimSchwerpunktdieBereiche

SchwingungenundWellen,ElektrizitätundMagnetismus,OptikundInterferenzundAtom-undKernphysik

ab.DieimPraktikumzubearbeitendenVersuchestellennatürlichnureineAuswahldesStoffseinerPhysikvorlesungdar.DerindiesemKompaktleitfadenbehandelteStoffdecktdenGegenstandskatalogzurÄrztlichenVorprüfungGK1teilweiseab.DiejenigenStoffbereicheoderStichpunkte,diesichmitanderenFächern,wieChemie,BiochemieoderBiologieüberschneiden,wurdengekürztodergarnichtbehandelt,umüberflüssigeMehrarbeitzuvermeiden.

Wie?ZurBearbeitungdereinzelnenVersuchewerdenmeistArbeitsgruppengebildet,diedurchdasgesamtePraktikumvoneinemfestenBetreuerodereinerBetreuerinbegleitetwerden.DerBetreueristAn sprechpartnerfüralleorganisatorischenundfachlichenFragen,dieimLaufedesPraktikumsauftretenwerden.ZumeistjezweiTeilnehmerbearbeitenzusammeneinenVersuchundführendieMessungengemeinsamdurch.ZujedemVersuchwirdeinVersuchsprotokollangefertigt,dasknapp,abervollständigenthält:

dieTheoriezumVersuch,denAufbaudesExperiments,eineBeschreibungderdurchgeführtenMessungenunddieAuswertungderMessergebnisse

DieeigentlichenVersuchsanleitungensindmiteinemBalkenamTextrandgekennzeichnetundenthaltenjeweilseinenallgemeinenTheorieteil,derverbindlichfürallenachfolgendenVersucheeinesSchwerpunktgebietes(zumBeispielSchwingungenundWellen)ist.Jenach dem,welchenVersuchSieausdiesemGebietkonkretbearbeiten,lesenSiebittezusätzlichdasentsprechendeKapitelzumVersuchselbstdurch,indemergänzendeTheorieunddereigentlicheAufbaudesExperimentsbeschriebensind.DieAnleitungwurdesogeschrieben,dassSiedenzueinererfolgreichenDurchführungdesVersuchesnotwendigenStoffvollständigenthält.IneinigenFällenkannesaberhilfreichodersogargewünschtsein,zusätzlicheLiteraturstellenanhandvonPhysikbücherndurchzuarbeitenundsodasWissenzuvertiefen.

Tipp!AnhandderaufgeführtenÜbungsaufgabenkönnenSieIhrphysikalischesVerständnisrechtzeitigvordemVersuchsterminüberprüfenundgegebenenfallsnochunklareSachverhalteoderBegriffegezieltnachschlagen:ImPrinzipistalsLiteraturjedeskompaktereLehrbuchderPhysikzurVertiefunggeeignet,wenigervielbändigeAbhandlungen.

HinweisezurVersuchsdurchführungZuIhrereigenenSicherheitundderSicherheitIhrerKommilitonenmüsseneinigeRegelnwährenddesPraktikumsunbedingtbeachtetwerden:ElektrischeSchaltungensindstromlos,alsobeiausgeschaltetemNetzgerätvorzubereiten.ErstnachKontrolleundFreigabedurchdenBetreuerdarfdieNetzspannungangelegtwerden,alsodasNetzgeräteingeschaltetwerden.

VordemAusschaltenvonregelbarenNetzteilenimmerzuerstdieSpannung/denStromaufNulldrehen.GeräteundAnlagen,dieimPraktikumbereitgestelltwerden,stellenteilweisehoheSachwertedarundsindinjedemFallsorgsamzubehan deln.SollteeinGerätdefektseinoderimLaufe

einesVersuchesFunktionsstörungenaufweisen,meldenSiediesbittesofortIhremBetreuer.

LaserkönnenernsthafteAugenverletzungenhervorrufen.WerdenVersuchemiteinemLaserdurchgeführt,müssenSieunbedingtdieHinweisedesBetreuerszumUmgangmitdemGerätbeachten.SchauenSieniemalsdirektindenStrahl,daAugenschädenodergarErblindungdieFolgeseinkönnten!

ManipulationvonMessdatenistDummheit.WennSiealleVersuchesorgfältigundnachderAnleitungbzw.denAnweisungendesBetreuersdurchführen,werdenSieinderRegelkeineSchwierigkeitenbeiderkorrektenAuswertunghaben.SolltenIhnenaberzumBeispielunerwartetstarkvonderTheorieabweichendeZahlenwertewährendderMessungoderderAuswertungauffallen,meldenSiediesbitteIhremBetreuer.OftistesnureinkleinerHandgriffamVersuchsaufbau,derdasProblemlöst.FallsSieMesswertewiderbesserenWissens,schönen‘odergar,erfinden‘,begehenSieeinenBetrug.Nichtzuletztseitdenjüngstaufgedeckten,vereinzeltenFällenvonwissenschaftlichemBetrugindenNaturwissenschaftenundderMedizinsolltesichjederderVerantwortungdesWissenschaftlersbeiderkorrektenDatenaufnahmebewusstsein.BeieinerFälschungvonMessdatensolltesichderbetreffen deTeilnehmerüberlegen,oberfüreinewissenschaftlicheLaufbahngeeignetist.

Inhalt1 GrundbegriffedesMessensundderquantitativen

Beschreibung

1 PhysikalischeGrößenundEinheiten

2 MessenundUnsicherheitenbeimMessen

3 ZusammenhängezwischenphysikalischenGrößen

2 Mechanik,SchwingungenundWellen

1 AllgemeineGrundlagenderMechanik

1.1 MechanikderstarrenKörperGrundbegriffedesMessensundderquantitativenBeschreibung

1.2 VerformungvonFestkörpern

1.3 KräfteanGrenzflächen

1.4 Hydrodynamik

1.5 Schwingungen

1.6 Wellen

2 Versuch:ResonanzRE

2.1 Grundlagen

2.2 Versuchsaufbau

2.3 Messungen

2.4 Auswertung

3 Versuch:SaitenschwingungenSA

3.1 Grundlagen

3.2 Versuchsaufbau

3.3 Messungen

3.4 Auswertung

4 Versuch:SchallgeschwindigkeitinGasenCS

4.1 Grundlagen

4.2 Versuchsaufbau

4.3 DurchführungdesVersuchs

4.4 Auswertung

5 Akustik

3 Wärmelehre

1 AllgemeineGrundlagen

1.1 Temperatur

1.2 InnereEnergie

1.3 Wärmeübertragung

1.4 Wärmekapazität

1.5 Wärmemischung

2 Versuch:SpezifischeWärmekapazitätvonWasserSW

2.1 Messung

2.2 Auswertung

3 Gase

4 Elektrizitätslehre

1 AllgemeineGrundlagen

1.1 ElektrischeLadung

1.2 DasCoulomb-Gesetz

2 Versuch:SpannungsabfallundWheatston-BrückeOG

2.1 ElektrischerStrom

2.2 Strom-undSpannungsmessung

2.3 Versuchsdurchführung

3 Versuch:KondensatorundSpuleKS

3.1 DerKondensator

3.2 Magnetismus

3.3 Versuchsdurchführung

4 Versuch:SpezifischeLadungdesElektronsEM

4.1 FreieundgebundeneElektronen

4.2 ElektroneninFeldern

4.3 ErzeugungdesMagnetfeldes

4.4 Versuchsdurchführung

4.5 Elektronenmikroskop

5 Optik

1 AllgemeineGrundlagen

1.1 DieNaturdesLichtes

1.2 GeometrischeOptik

2 Versuch:OptischeAbbildungmitLinsenOA

2.1 Grundlagen

2.2 MethodenzurBestimmungvonBrennweiten

2.3 Aufgaben

3 Versuch:InterferenzamGitter,BeugungamSpalt IF

3.1 Wellenoptik

3.2 BeugungamSpalt

3.3 BeugungamGitter

3.4 Messungen

4 Versuch:SaccharimetrieSC

4.1 Polarisation

4.2 Messungen

5 Versuch:MikroskopMI

5.1 Grundlagen

5.2 Aufgaben

6 Atom-undKernphysik

1 Franck-Hertz-VersuchFH

1.1 Atommodelle

1.2 ExperimentelleBestätigungdes2.BohrschenPostulats

1.3 Versuchsdurchführung

2 IonisierendeStrahlung

2.1 Röntgenstrahlung

2.2 Dosimetrie

3 Versuch:HalbwertszeitundRadioaktiverZerfallHW

3.1 Radioaktivität

3.2 Messungen

A Anhang

1 BedienungsanleitungfürdasOszilloskop

2 WichtigeZahlenundGrößen

Index

1GrundbegriffedesMessensundderquantitativenBeschreibung

Einheit,Maßzahl,Basisgröße,BasiseinheitVektoren,Skalare,Flächen,Volumen,Winkel,RaumwinkelSystematischeundzufällige,relativeundabsoluteFehlerArithmetischesMittel,Standardabweichung,Normalverteilung,Vertrauensbereich,FehlerfortpflanzungAuswertung,Ausgleichsgrade

1PhysikalischeGrößenundEinheitenEinephysikalischeGrößenimmtBezugaufeinengenaudefiniertenTeilderNatur und beschreibt die Eigenschaften und Beschaffenheit physikalischerDinge.JedePhysikalischeGrößeistdurcheinMessverfahrenbestimmt.

BeispielDieBestimmungeinerunbekanntenLängeeinesGegenstandeserfolgtdurchVergleichderLängedesGegenstandesmiteinemMaßstab,zumBeispieleinemMetermaß.

GrundsätzlichgiltfürallephysikalischenGrößen:Definition

EinephysikalischeGrößeGistgenaufestgelegtdurchdasProduktausZahlenwert(Maßzahl)und(Maß-)Einheit.

G={G}·[G]

{G}:ZahlenwertvonG

[G]:EinheitvonG

Beispiel Die Länge L des zu vermessenden Gegenstandes wurde durchVergleichmitdemMetermaßbestimmtalsL=4m.Alsoist{L}=4der Zahlenwert und [L] = m die Maßein heit der gesuchtenphysikalischenGröße.

Die Formelzeichen physikalische Größen werden in Büchern immer kursivdargestellt, um sie auch optisch von den (Maß-)Einheiten zu trennen. AlleEinheiten von physikalischen Größen können auf sieben Basisgrößenzurückgeführtwerden.DieseBasisgrößenbildendasinternationalfestgelegteSI-System(SystèmeInternational).Definition

DieBasisgrößen und die zugehörigenBasiseinheiten des SI-Systemssind

Basisgröße Formelzeichen Einheit Zeichen

Länge l Meter m

Masse m Kilogramm kg

Zeit t Sekunde s

Temperatur T Kelvin K

Elektrische

Stromstärke I Ampere A

Lichtstärke IV Candela Cd

Stoffmenge n Mol mol

Alle Basisgrößen sind voneinander unabhängig und durch Eichverfahrengenaufestgelegt.

BeispielDieBasisgrößeLängewarursprünglichdurcheinenbeson ders exaktangefertigtenMaßstab,dasPariserUrmeterfestgelegt.DieGenauigkeitdiesesMaßstabsistausnaheliegendenGründenabersehrbegrenzt,sodass die Definition des Meters heutzutage über dieLichtgeschwindigkeit festgelegt ist: EinMeter ist die Entfernung, dieLichtimVakuumineiner299792485telSekundezurücklegt.

Vonden siebenBasisgrößen leiten sichalle anderenphysikalischenGrößenalsabgeleiteteoderzusammengesetzteGrößenab.

BeispielDie Geschwindigkeit (Formelzeichen: v) ist eine zusammengesetzteGrößeausdenBasiseinheitenLängelundZeitt.

Esgilt: .DieMaßeinheitderGeschwindigkeitistm/s.

Die Beschreibung einer physikalischen Größe durch ihre BasiseinheitenbezeichnetmanalsDimension.

BeispielImvorherigenBeispielistdieDimensionderGeschwin digkeit

Um unhandliche Darstellungen von großen oder kleinen Werten zuvermeiden, bedientman sichVorsilben, die dieGrößenordnungen (meist in

1000er,alsodezimalenSchritten)derEinheitenangeben:

Vorsilbe Abkürzung Größenordnung Vorsilbe Abkürzung Größenordnung

Deka da 10=101 Dezi d 0,1=10–1

Hekto h 100=102 Centi c 0,01=10–2

Kilo k 1000=103 Milli m 0,001=10–3

Mega M 106 Mikro μ 10–6

Giga G 109 Nano n 10–9

Tera T 1012 Pico P 10–12

DurchdieKombinationderVorsilbeundderMaßeinheiterhältmaneinVielfachesoderBruchteilderMaßzahl.

Beispiel25mm=2,5cm=0,025m=2,5·104μm;0,000063m=0,063mm=63μm.

In derNatur beobachtetman bestimmteGrößen, denen nicht nur ein reinerZahlenwert,sondernaucheineRichtungzugeordnetwerdenkann.RollteineKugel auf einer Ebene, so ist die Richtung dieser Bewegung offensichtlichderGeschwindigkeitderKugelzugeordnet.DieGeschwindigkeitbezeichnetman daher als Vektor oder vektorielle Größe.Man kennzeichnet gerichteteGrößen, also Vektoren, durch einen Pfeil über dem sonst üblichenFormelzeichen: .WeitereSchreibweiseninderLiteratursind:voder .

Beispiel Vektorielle Größen sind Kraft, Geschwindigkeit, Beschleu nigung,Impuls,Drehmoment,elektrischeStromdichte,magnetischeFeldstärke.

AndererseitsgibtesGrößen,denenkeineRichtungzugeordnetwerdenkann,wieimvorherigenBeispielderZeitoderderMassederKugel.DieseGrößenheißenSkalar(e).

Beispiel Einige wichtige skalare Größen sind: Masse, Stoffmenge, Dichte,Länge,Zeit,Temperatur,Druck,Arbeit,Energie,Leistung,elektrischeLadung,Frequenz.

In einer Zeichnung kann einem Vektor eine Richtung zugeordnet werden,wobeidiePfeilspitzeinderZeichnungimmerinRichtungdesVektorszeigt.BeispielEinSeil ist aneinemGegenstandGbefestigt.ZiehtmanamSeil, so

wirkt eineKraft inSeilrichtung.DieRichtungderKraft ergibt sichausderPfeilrichtungindernebenstehendenZeichnung.

Beim Rechnen mit vektoriellen Größen muss die Richtung der Vektorenbeachtetwerden.DieAdditionvonVektoren erfolgt durchVerschiebenderVektoren,sodassjeweilsAnfangs-undEndpunkteeinesVektorsaneinanderliegen.(BeiderVektorsubtraktionwirdderVektorum180°gedrehtunddannaddiert:

AdditionvonVektoren

Umgekehrt lässt sich ein Vektor beliebig in Komponenten zerlegen. DieSummederKomponentenmussnatürlichwiederdenursprünglichenVektorergeben.DieGewichtskraft einerKugelaufeiner schiefenEbenekannmanzumBeispiel ineineKraft senkrechtzurEbeneundeineparallelzurEbenezerlegen.LetztereistbestimmendfürdiebeschleunigteBewegungderKugelhangabwärts.

Ist dieRichtungdesVektors in einerRechnungohneBelang, benötigtmannurdenZahlenwertunddieEinheit,alsodenBetragdesVektors.

Beispiel Der Betrag eines Geschwindigkeitsvektors schreibt sich als | | odereinfachalsv.

DerBetrageinesVektorsentsprichtdessenLänge.

Fläche,Volumen,WinkelWichtige, häufig verwendete Formeln zur Berechnung von Flächen sind inderfolgendenTabellezusammengefasst:

Dreieck:A= ·Grundlinie·Höhe

Rechteck:A=Länge·Breite

Kreis:A=π·(Radius)2

Wichtige Formeln zur Berechnung von Volumina sind in der folgendenTabellezusammengefasst:

ZurBeschreibungderAusrichtungverschiedenerVektorengibtmandenWinkelzwischendenVektorenan.ZurMessungvonWinkelnverwendetmandasGradmaßoderdasBogenmaß.DasGradmaßteilteinenKreisin360gleicheTeileoder360°(Grad)ein.DieweitereUnterteilungeinesGradeserfolgtnichtdezimal,sonderninderausderZeitan gabebekanntenMinuten-undSekunden-Einteilung:Definition

ImGradmaßentsprichtderVollkreisdemWinkel360°1°(Grad)=60‘(Minuten)=60·60“(Sekunden)

EineandereEinteilungistdasBogenmaß:Definition

ImBogenmaß entspricht derVollkreis demWinkel 2π.Die EinheitdesBogenmaßistderRadiant(rad).

ZurUmrechnungzwischenBogenmaßundGradmaßverwendetmanfolgendeBeziehung:Formel

UmrechnungvomBogen-insGradmaß

UmrechnungvomWinkel-insBogenmaß

α°:WinkelimGradmaß,α:WinkelimBogenmaß

BeispielGebräuchlicheWinkelsind:360°=2π,180°=π,90°=π/2und270°=3π/2.

DieseUmrechnungsbeispieleerzeugeneindezimalesErgebnis imGradmaß,alsozumBeispiel10,5°statt10°30‘.DieUmrechnungindasGradmaßmitMinutenundSekundenistetwaskomplizierter:

Beispiel Umrechnung des Winkels α = 5,645 rad im Bogenmaß in dasGradmaß:

5,645:0,017453=323°+0,007611,0,007611:0,000291=26‘+0,000025und0,000025:0,000005=5“.Alsoα=323°26‘5“.

Auf einem (wissenschaftlichen) Taschenrechner finden Sie die Bezeich‐nungenDEG für dasGradmaß undRAD für dasBogenmaß.Vergewis sernSie sich also vor jeder Rechnung mit Winkeln, welches Winkelmaßeingestelltist.

Bei einem ebenen Dreieck gilt, dass die Summe der Winkel genau 180°beträgt.DieWinkelbezeichnetmaninderRegelmitgriechischenBuchstabenα(Alpha),β(Beta),γ(Gamma),usw.

IneinemrechtwinkligenDreieckisteinWinkelgenau90°.ImrechtwinkligenDreieckgeltenfolgendewichtigeBeziehungen:Formel

SatzdesPythagoras

im rechtwinkligenDreieck verhalten sich die Längen a, b und c derSeitendesDreieckswie

a2+b2=c2

Formel

ImrechtwinkligenDreieck(s.Skizze)gilt

VerlässtmandieEbeneundbetrachtetdendreidimensionalenFall,mussmanzumRaumwinkelübergehen.

Definition

Der Raumwinkel Ω entspricht einem von einem Punkt im RaumausgehendemStrahlenbüschel.

Einheit:[Ω]=1Steradiant(sr)S:auseinerKugelmitRadiusrausgeschnitteneOberfläche

BeispielEinRaumwinkelvonΩ=1srschneidetaufeinerKugelmitRadiusr=1meineFlächederGröße1m2aus.

Beispiel Der volle Raumwinkel, in den zum Beispiel eine punktförmigeLichtquelleausstrahlt,beträgtimmer

DasfolgendeKapitelbeschreibtdieverschiedenenFehler,diebeiMessungenauftretenkönnen.BeieinererstenDurchsichtdiesesBucheskanndasKapitelauchübersprungenwerdenundbeiBedarfnachgearbeitetwerden.

2MessenundUnsicherheitenbeimMessenEine wichtige Aufgabe in der Technik, der Physik oder den Naturwis ‐senschaften besteht in der Messung einer physikalischen Größe (bei‐spielsweiseLänge,Gewicht,Geschwindigkeit,Strom,Spannung).DerwahreWertdieserGrößelässtsichexperimentellniemalsexakt,sondernnurmitderGenauigkeit des verwendeten Messaufbaus bestimmen. Ungenauigkeiteneiner Messung können in der begrenzten Auflösung des Messinstrumentsliegen oder durch den Beobachter bei der Erfas sung der Messdatenhervorgerufen werden. Das Ziel der Messung einer physikalischen GrößekanndahernurdieBestimmungeinesWertessein,derhinreichendnaheamexakten(wahren)WertderMessgrößeliegt.DiesenWertbezeichnetmanoftalsrichtigenWert.

ZurAngabe derGenauigkeit,mit der dieserWert bestimmtwurde,müs senmöglichst alle störenden Einflüsse auf die Messung bekannt sein, die dasMessergebnis verfälschen. Tritt der Fehler der Messung bei gleichenVersuchsbedingungen stets mit gleichem Betrag und Vorzeichen auf, oderlässt sich bei wiederholter Messung eine Gesetzmäßigkeit des Fehlerserkennen, liegt ein systematischer Fehler vor. Beispiele für systematischeFehler sind falsche Maßstäbe bei der Längenmessung, zu leichte oder zuschwere Eichgewichte bei einer Gewichtsbestimmung und elektrische odermagnetischeStörfelderimRaum.

DasErkennenoderBestimmenvonsystematischenFehlernistoftschwierigund erfordert je nach Versuchsaufbau eine unterschiedlicheVorgehensweisen. Hilfreich ist oft die Wiederholung einer Messung mitverschiedenen Verfahren, also unterschiedlichen Versuchsaufbauten. DerelektrischeWiderstandkannz.B.durchSpannungs-undStrommes sungunddanach durch die Wheatstone-Brücke gemessen werden. Wurde einsystematischerFehlererkannt,sollteentwederseineUrsachebeseitigtwerden(z.B. durch Abschirmung eines störenden Magnetfeldes), oder dasMessergebnis korrigiert werden. Beträgt beispielsweise die Länge einesfehlerhaften,Meter’maßstabsnur99cm,sofälltjedeMessung1%zugroßausund jederMesswertmussmitdemKorrekturfaktor99/100multipliziertwerden.NichterfasstesystematischeFehlerkönnendagegennurabgeschätzt werden. In einem Physikalischen Praktikum sind Korrekturenaufgrund bekannter systematischer Fehler in der Regel amMessinstrumentoder in der Praktikumsanleitung vermerkt und müssen bei derVersuchsdurchführungberücksichtigtwerden.

Messgeräte haben einen absoluten und einen relativenMessfehler, die sichaus einem zufälligen und systematischen Anteil zusammensetzen. DerHerstellergibtmeisteineobereFehlergrenzean.

BeispielEinedigitalePersonenwaagehabeeinenabsolutenFehlervonmaximal±250g(sierundetaufvolle0,5-kg-Schritte)pluseinenrelativenFehlervon1%des angezeigtenMess wertes.Bei 50 kg ist derFehler somitkleinerals±1,5%.

OftmalstretenFehlerbeieinerMessungnurzufälligauf,beispielsweisedurchWechsel der Beobachtungsrichtung bei der Ablesung der Skala einesMessinstruments (Parallaxenfehler), ungenaues Betätigen einer Stoppuhroder wechselnde Umgebungsbedingungen im Versuchslabor oder der zumessendenGröße.DiesezufälligenFehlersindineinzelnenMessungennichtzu erkennen und führen zusammen mit dem unbekann ten systematischenFehler zurMessunsicherheit. Zufällige Fehler kön nen nur statistisch erfasstwerden,beispielsweisedurchmehrfacheWiederholungderMessungineinerMessreihe.

DigitaleversusanalogeMessungBei analoger Messung verändert sich die Anzeige des Messinstrumen tes„analog“ zu der zu messenden Größe. Beispiele sind dasDrehspulmessinstrument, dessen Zeiger entsprechend dem durchfließendenStromausschlägt,oderdasQuecksilberthermometer,beidemsichdieLängedes Quecksilberfadens mit der Temperatur ändert. Der Messwert wird erstvon einer Person anhand einer Skala erfasst.Dabei kommt es zu typischenAblesefehlernwiedemobenerwähntenParallaxenfehler.

Ein digitales Messgerät gibt den Messwert über eine Digitalanzeige aus.AchtenSieaufdieAngabenderMessgenauigkeit.WomöglichsinddieletztenStellenderAnzeigenichtverlässlich.

Beispiel Ein Digitalvoltmeter (Genauigkeit 5 %) zeigt eine Spannung von1000mV an. Dann liegt der tatsächlichWert zwischen 950mV und1050mV!

Desweiteren kommt es bei einemDigitalmessgerät zwangsläufig zu einemRundungsfehler. Für eine optimale Messung ist deswegen sowohl beianaloger wie bei digitaler Messung ein Gerät bzw. ein Messbereich zuwählen,beidemderMesswertmöglichstgroßdargestelltwird.SolassensichAblese-undRundungsfehlerminimieren.

FehlereinerMessung

BeiEinzelmessungenkönnenwirdenFehlernurabschätzen, indemwiraufdie Herstellerangaben für das Messgerät zurückgreifen oder plausibleAnnahmen über die Fehlerquellen des Messprozesses machen. EinwiederholtesMessendesselben tatsächlichenWertes ermöglicht jedocheineBehandlungmit statistischenMethoden.DerMesswert einerEinzelmessungwird im Folgenden als xi bezeichnet.Wird dieMessung n-fachwiederholt,kann der Mittelwert der Messreihe als arithmetisches Mittel dervoneinanderunabhängigennEinzelmessungengebildetwerden.Definition

Arithmetisches Mittel der voneinander unabhängigen nEinzelmessungenmitWertxi:

Durch die Mittelwertbildung werden zufällige Fehler zumindest teilweiseausgeglichen.GraphischbeobachtetmaneineHäufungderzufälligverteiltenMessergebnisseinderUmgebungdeswahrenWertesxw:

Je größer dieAnzahlnderEinzelmessungen, die demMittelwert zugrundeliegen, desto näher liegt der Mittelwert an einem Grenzwert, demErwartungswert der Messgröße. Trägt man die Häufigkeit H (oderWahrscheinlichkeit dw/dx) übereinstimmender Messwerte über demMesswertxiauf,erhältmaneinMaximumamMittelwert undeinenAbfallnachbeidenSeitenderx-Achse.DiesestatistischeVerteilungderMesswerteheißtGaußverteilungoderNormalverteilung:

Aufgrund der Kurvenform bezeichnet man den funktionalen Verlauf dieserVerteilungoftauchals„GaußscheGlockenkurve“.

Ist die Messung mit keiner systematischen Abweichung behaftet und dieAnzahlderEinzelmessungennsehrgroß,stimmtderdurchdasMaximumderGaußverteilung bestimmte Wert mit dem wahren Wert der Messgröße

überein.LiegteinsystematischerFehlerderVersuchsanordnungvor, istdasMaximumumdiesesystematischeAbweichungverschoben.Je„breiter“dieGlockenkurveist,destomehrstreuendieMesswerteumdenMittelwertunddestounsichereristdieMessung.EinMaßfürdieBreitederWahrscheinlichkeitsverteilungunddamit fürdie statistischeSicherheit einerMessreihe ist die Standardabweichung σ. Bei einer Normal- oderGaußverteilungliegen31,7%derMesswerteaußerhalbdesIntervalls ±σ(s.Skizze) und die statistische Sicherheit beträgt daherP = 68,3 %, wie sichdurchIntegrationüberdw/dxindiesenIn tervallgrenzenleichtberechnenlässt.Dagegenliegennur4,6%derMesswerteaußerhalbdesBereiches ±2σundnoch 0,3% außerhalb ±3σ. Liegen dieMesswerte normalverteilt vor, d.h.besitzt die Verteilung der Messwerte die Gaußsche Form, kann dieStandardabweichung bereits bei einer relativ kleinen Zahl vonEinzelmessungen (einige 10 Messwerte) bestmöglich angenähert werdendurchdiesogenannteempirischeStandardabweichungs.Definition

EmpirischeStandardabweichung

DieStandardabweichungwirdauchalsmittlererquadratischerFehler

der Einzelmessxmg bezeichnet und ist bei den heute erhältlichen wissen‐schaftlichenTaschenrechnernfesteingebaut.

DerFehlerdesausallennMesswertenberechnetenarithmetischenMittelsistum kleineralsderfürdieEinzelmessungangegebene

Wert. Die empsche Standardabweichung des arithmetischen Mittels s ( )beträgtalso

InderRegelwirdder berechneteMittelwert einerMessreihenichtmit demgesuchtenWertübereinstimmen.MansuchtdahereinenBereich,indemderrichtigeWertderMessgrößemiteinerbestimmtenstatistischenSicherheitPliegt, sofern keine systematischen Fehler dieMes sung beeinflussen. DiesesIntervallwirdalsVertrauensbereichdesMittelwertesbezeichnetundvondenVertrauensgrenzen eingeschlossen. Ist σ nicht bekannt, können dieVertrauensgrenzenaus

berechnetwerden.

Der Faktor t hängt von der Anzahl der Messungen und der gewähltenstatistischenSicherheitabundkannausfolgenderTabelleabgelesenwerden:

n t(P=68,3%) t(P=95%) t(P=99%)

5 1,15 2,8 4,6

10 1,06 2,3 3,25

20 1,03 2,1 2,9

50 1,00 2,0 2,7

DerVertrauensbereichbeträgtsomit

Insgesamt besteht das Messergebnis x einer Messreihe aus n voneinanderunabhängigen Einzelmessungen aus dem Mittelwert und derMessunsicherheitu:

Die Messunsicherheit u ist die Summe aus zufälligen Fehlern (Stan ‐dardabweichungmitVertrauensbereich)unddemnichtquantitativerfassten,alsonurabgeschätztensystematischenFehlerh

bei dem die gewählte statistische Sicherheit P immer angegeben werdenmuss.

FehlerfortpflanzungIn vielen Experimenten kann die gesuchte Größe x nicht unmittelbargemessenwerden,sondernmussausanderen,direktmessbarenGrößeny,z,…berechnetwerden;mansprichtvon„indirekterMessung“.Gesuchtistnunder maximale Fehler, auch Größtfehler genannt, der beim resultierendenWert möglich ist. Im Folgenden sei zur Vereinfachung angenommen, diegesuchte Größe hänge nur von zwei Messgrößen y und z ab (dieVerallgemeinerung auf drei undmehrVariablen funktio niert entsprechend).Zunächst betrachten wir nur einfache Fälle zur Fehlerfortpflanzung, wieSumme, Differenz oder Produkt, bei denen der Fehler ohneDifferentialrechnung angegeben werden kann. Die Ursprungs- oderEingangswerteyundzsindmitdenFehlernΔyundΔzbehaftet.

DieAuswirkungderFehlerderEingangsgrößenaufdieSummex=y+zistgegebendurch

das heißt, der maximale Absolutfehler einer (algebraischen) Summe istgleich der Summe der Absolutfehler der einzelnen Summanden. LetztereBeziehunggiltauchfürdenFehlerderDifferenzx=y–z.

LiegtdiezubestimmendeGrößealsProduktderEingangsgrößenyundzvor,istalsox=y·z,isteszweckmäßig,stattdesabsolutendenrelativenFehleroderRelativfehleranzugeben.

Der maximale Relativfehler eines Produktes ist gleich der Summe derRelativfehlerdereinzelnenFaktoren:

FürdenrelativenFehlereinesQuotientenergibtsichderanalogeAus druck,dasheißt,dermaximaleRelativfehlereinesQuotientenistgleichderSummederRelativfehlervonDividendundDivisor.

DermaximaleRelativfehlereinesPotenzproduktesx=ya+zb+…(a,b,…beliebigreell)lässtsichangebenals

DermaximaleAbsolutfehlerdesLogarithmusx=ln(y/c),mitderKon stantencalsfehlerfreieGröße,istgleichdemrelativenFehlerdesArguments:

DermaximaleAbsolutfehler der Sinusfunktion x = sin y (y dimensions los,z.B.WinkelimBogenmaß)lautet

ZurBerechnungdesFehlerseinerbeliebigenphysikalischenGrößeng,diealsFunktiong=g(x,y,….)einerodermehrunabhängigerVeränderlichenx,y,…vorliegt, verwendet man das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz. Beidieser Methode wird der Fehler δg aus der Wurzel aus der Summe derQuadrate der partiellen Ableitungen von g nach den Variablen x, y,…berechnet,welchemitdemFehlerderEingangsgrößenδx,δy,…multipliziertwurden.DerFehlergemäßdemGaußschenFehlerfortpflanzungsgesetzlautetdann

UndanalogdazugiltfürdieStandardabweichungσbeiMehrfachmes sung:

AngabenvonDezimalstellenWennSie einenMesswert notieren oder anDritteweitergeben,müssen Siedarandenken,denabgeschätztenGrößtfehlermitanzugeben.SiekönnenihnbeliebigalsRelativ-oderAbsolutfehlerausdrücken.OhnedieseFehlerangabeistderWertoft imwahrstenSinnedesWorteswertlos.Esverstehtsichvonselbst, dass nur die verlässlichenDezimalstellen notiertwerden.Gerade dieVerwendung des Taschenrechners zur Ermittlung des Messwertes beiindirekterMessungverleitetzurAngabesinnlosgenauerWerte.

Beispiel Die Lichtgeschwindigkeit wurde experimentell bestimmt mit(2,997930 ± 3 · 10–6) · 108 m/s . Der absolute Fehler der Messungbeträgtalsoetwa±300m/s.

BeispielBeieinerStromstärkemessungwurdefolgenderWertaufgenommen:I=4,00±0,12A.DerrelativeFehler,alsodierelativeMessunsicherheitbeträgtdann±3%.

BeispielEinrotesBlutkörperchenwirdunterdemMikroskopalskreisförmigesScheibchen beobachtet. ImMittelwird einDurchmesser von ± 8 μmgemessenmit einerMessunsicherheit von d=± 0,1 μm.Der relativeFehlerbeiderAngabederQuerschnittsflächeAbeträgtdann±2,5%.

BeispielDerMittelwert desDurchmessers von 100Erythrozyten sei =8,0μm.Nachträglichstelltsichheraus,dasssichunter

den Messwerten ein sehr großer Wert (ein „Ausreißer“) mit einemDurchmesservom30μmbefindet.DerMittelwertder99ErythrozytenohnedenAusreißerbeträgtdann

=(100·8–30)μm/99=7,8μm.

3ZusammenhängezwischenphysikalischenGrößenAnpassungvonFunktionenanMesswerteBisherwurdegezeigt,dassderwahreWerteinerfesten,physikalischenGrößedurch mehrmalige Messung der Größe und Mittelwertbildung über dieEinzelmessungen bestmöglich angenähertwerden kann.Oftmals ist es auchmöglich, einen zwischen einer variablen Größe x und einer von ihrabhängigenGröße ybestehenden funktionalen Zusammenhang y=f (x) auseiner Reihe von n gemessenen Wertepaaren (xi, yi) zu bestimmen. ZurAnpassungmussdieArtderFunktion fbekannt sein (lineareAbhängigkeit,Exponentialfunktion, etc.), die sich in der Regel aus der Theorie desExperimentsoderdesVersuchsergibt.Esistnaheliegend,dieWertepaareineinemDiagrammgraphischaufzutragenundzuverifizieren,obeinderartigerfunktionaler Zusammenhang zwischen den Wertepaaren besteht. Oft ist essinnvoll, eine Koordinatentransformation vorzunehmen, zum Beispiel einelogarithmische Teilung, d.h. den Auftrag der Messwerte auf (halb)-logarithmischenPapier,umdieAuswertungzuvereinfachen.

Ein wichtiges Verfahren zur Anpassung eines funktionalen, linearenZusammenhangs zwischen zwei Messgrößen ist das Einzeichnen einerAusgleichsgeraden.

Beispiel Elektrischer Widerstand eines Leiters, bei dem ein linearerZusammenhang zwischen der angelegten Spannung U und demgemessenenStromIdurchdenLeiterüberdasOhm-scheGesetz(sieheKapitel4)gegebenist.DieProportionalitätskonstantezwischenbeidenGrößen ergibt sich aus der Steigung einer Geraden durch dieMesswertpaareim(U,I)-DiagrammalselektrischerWiderstandR.

Die zu bestimmende Steigung m der Geraden ist der Quotient aus derOrdinaten-DifferenzundderAbszissen-DifferenzzweierPunkte (x1,y1)und(x2,y2)derAusgleichsgeraden:

Die Punkte (x1, y1) und (x2, y2) sollen im Interesse einer guten Auswer‐tegenauigkeitmöglichstweit auseinander liegen.SinnvollerweiseverwendetmanbeieinergrößerenAnzahlvonWertepaarengeradesolchePunkte,dieinderNähedeserstenundletztenMesswertesliegen,sichabernochinnerhalbdesMessbereichsbefinden.

Zur Bestimmung der Differenzen (y2–y1) und (x2–x1) wird ein Stei‐gungsdreieckgezeichnet:

AusderZeichnungwerdenzurBildungderDifferenzendieGrößenx1undx2bzw.y1undy2abgelesenundnichtdieDifferenz(s.Skizze)mitdemLinealbestimmt,daletzteresVerfahrenzuschwerenFehlern,z.B.beiÄnderungdesMaßstabesinOrdinateundAbzisse,führenkann.

Zur Bestimmung des Fehlers der Steigung wird zunächst der Bereicheingegrenzt, in dem sich abweichende Geraden befinden können. DieserBereich heißt Fehlerstreifen. Das Einzeichnen des Fehlerstreifens (ge‐strichelteLinien in derSkizze) liefert zweimaximal abweichendeGeraden,die sich im Schwerpunkt S der Meßwerteverteilung schneiden. Nur beikonstantem Meßfehler liegt der Schwerpunkt in der Mitte der Verteilung,sonstisterzuhöherenMeßgenauigkeitenhinverschoben.Fürbeidemaximalabweichende Geraden werden analog zum beschriebenen Verfahren dieSteigungenm1undm2berechnet,ausdenensichderFehlerderSteigungderoptimalenGeradeergibtzu

SinddieFehlerdereinzelnenMeßpunktebereitsvordemAuftragenbekannt(z.B.beiZählratenfürzufallsbedingtemittierteTeilchen),kannderFehlerderSteigung auch direkt aus den Fehlern des ersten und letzten MeßpunktsmittelsdesGaußschenFehlerfortpflanzungsgesetzesberechnetwerden.

2Mechanik,SchwingungenundWellen

KinetischeGrößen,NewtonscheAxiomeMechanischeSpannungen,HookeschesGesetzHydrodynamik,Kontinuitätsgleichung,BernoullischesGesetzSchwingungen,Eigenfrequenz,erzwungeneSchwingungWellen,Wellengeschwindigkeit,SuperpositionsprinzipSchall,Lautstärke

1AllgemeineGrundlagenderMechanik1.1MechanikderstarrenKörper

Translationsbewegungen

Ein Körper, der in Bewegung ist, besitzt eine Geschwindigkeit. DieGeschwindigkeit ist eine vektorielle, also gerichtete Größe. Man unter‐scheidetzweiArtenderBewegung,dieTranslationunddieRotation.Definition

EinegeradlinigeBewegung,beiderdieGeschwindigkeitdesKörperskonstantist,bezeichnetmanalsgleichförmigeTranslation.

Bei einer gleichförmigen Translation kann die Geschwindigkeit des sichbewegenden Körpers bestimmt werden aus dem Verhältnis zwischenzurückgelegtemWegsinderdafürbenötigtenZeitt.EsgiltdanndieFormel

Geschwindigkeit=Weg/Zeitoder

v=s/t(gleichförmigeTranslation)

Beispiel Ein Teilchen legt in der Zeit t = 6ms einenWeg von s = 30 μmzurück.DieGeschwindigkeitdesTeilchensbeträgtdann:v=s/t=30·10–3mm/6·10–3s=5mm/s.

BeispielBei einer gleichförmigenBewegung ist dieBeschleunigungnull, dadieGeschwindigkeitkonstantist.

ÄndertsichdieGeschwindigkeitwährendderBewegungdesKörpers,kannmanzueinemZeitpunkttnurdieMomentangeschwindigkeitangeben.

Zeichnerisch lässt sich dieMomentangeschwindigkeit aus einemWeg-Zeit-Diagramm (oder s-t-Diagramm) ablesen. DieMomentangeschwindigkeit istdanndieSteigungderKurveims-t-Diagramm.

BeispielEinFahrradbewegtsichwie imgezeigtens-t-Diagrammdargestellt.Zu den mit einem Pfeil gekennzeichneten Zeiten ist dieGeschwindigkeitdesFahrradesnull.

Beispiel Die größte Momentangeschwindigkeit eines Zuges, der zwischenzweiBahnhöfenfährt,beträgtvm=(12km–5km)/(40min–35min)= 7 km / 5 min = 1,4 km/min = 84 km/h. Offensichtlich ein„Bummelzug“.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit, die der Zug aus dem vorangegangenenBeispiel, oder allgemein ein bewegter Körper zwischen zwei Punktenaufweist,heißtauchmittlereGeschwindigkeit.Formel

Mittlere Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit) zwischenzweiPunkten1und2:

Δs:Wegstrecke(Wegintervall)zwischenPunkt1und2Δt:Zeitintervall,inderdieStreckeΔszurückgelegtwurde.Formel

Umrechnungzwischenm/sundkm/h:

Vonm/saufkm/h:xm/smal3,6=ykm/h

Vonkm/haufm/s:ykm/hdurch3,6=xm/s

BeispielEinPaketläuftaufeinemFließbanderst5min8sunddirektanschließendweitere5min7s.DiemittlereGeschwindigkeitdesPaketsbeträgt:v=10m/15s=0,67m/s=2,4km/h.

BeispielZweiJoggerstartengleichzeitiganeinemOrtundlaufeninentgegengesetzteRichtungen(geradlinig)auseinander.IhreGeschwindigkeitbeträgt8km/hbzw.11km/h.SiebewegensichmiteinerGeschwindigkeitauseinandervon:v=8km/h+11km/h=19km/h.

Beispiel Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit von v1 = 20 km/hhinter einem Fahrrad her, das mit v2 = 12 km/h un terwegs ist. DeranfänglicheAbstandbeträgt600m.GesuchtistderWegsunddieZeitt,bisdasAutodasFahrradeingeholthat.

DasAutolegtindergesuchtenZeitdenWegs=20km/h·tzurück. Gleichzeitig wird in dieser Zeit der Abstand voll- ständigaufgeholt, also s–600m=12km/h · t.Wir setzen sausder erstenGleichungeinunderhalten:

20km/h·t–600m=12km/h·toder8km/h·t=600m.DieZeittzumEinholendesFahrradesbeträgtalsot=600m/8km/h=600m/2,22m/s=270s.IndieserZeithatdasAutodenWegs=20km/h·270s=5,6m/s·270s=1.500m=1,5kmzurückgelegt.

Im Folgenden betrachten wir die Bewegung von Körpern, die einegleichmäßigenBeschleunigungaufweisen.Definition

EinegeradlinigeBewegung, bei der dieBeschleunigungkonstant ist,heißtgleichmäßigbeschleunigteTranslation.

UntereinerBeschleunigungverstehtmaneineÄnderungderGeschwindigkeitjeZeiteinheit.DieUrsacheeinerBeschleunigungistimmereineKraftaufdenKörper.EinegleichförmigbeschleunigteBewegungistimGeschwindigkeits-Zeit-Diagramm(v-t-Diagramm)immereinelineareKurve,alsoeineGerade.

Beispiel Eine gleichmäßig beschleunigte Translation im (1) Weg-Zeit-Diagramm, (2) Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und (3)Beschleunigungs-Zeit-Diagramm. Es handelt sich um dreigleichwertigeDarstellungsformenzurBeschreibungeinundderselbenBewegungsformeinesKörpers,dersichmitkonstanterBeschleunigungbewegt.

Definition

Die durchschnittliche Beschleunigung entspricht der gesamtenGeschwindigkeitsänderung Δv geteilt durch die dafür benötigte ZeitΔt.Alsoam=Δv/Δt.

Beispiel Eine U-Bahn startet mit einer konstanten Beschleunigung von 1,2m/s2.In20serreichtsiedamiteineGeschwindigkeitvonv=a·t=1,2m/s2·20s=24m/s=86,4km/h.

BeispielEinAutowirdausdemStandmitkonstanterBeschleunigungvon0,1m/s2 über eine Strecke von 500 m beschleunigt. Gesucht ist dieGeschwindigkeitamEndederStrecke.Esgilts=½at2.DieGrößensundasindbekannt.Zu nächstmüssenwiranhanddieserBeziehungdieZeitberechnen, inderdieBeschleunigungstattfindet: t=(2s/a)½=100s.

DieEndgeschwindigkeitistdaherv=a·t=0,1m/s2·100s=10m/s.

Die Beschleunigung ist eine vektorielle, also gerichtete Größe. ZweiBeschleunigungen sind nur dann gleich, wenn Betrag und Richtungübereinstimmen.Wirdein inBewegungbefindlicherKörper abgebremst, soist seineBeschleunigungnegativ, er erfährt eineVerzögerung (a<0).Beider Abbremsung eines sich bewegenden Körpers sind Beschleunigung undGeschwindigkeiteinanderentgegengerichtet.

GeometrischwirddieBeschleunigungdurchdieSteigungderKurve imv-t-Diagrammrepräsentiert.

BeispielEinFahrzeug,dassichmiteinerGeschwindigkeitvon10m/sbewegt,wird in 10 s gleichmäßig bis zum Stillstand abgebremst. SeineBeschleunigungistdannnegativ.FürdieseVerzögerunggilt:am=–10m/s/10s=–1m/s2.

Beispiel Bei einer gleichförmig beschleunigten Translation ist dieGeschwindigkeit eine lineare, ansteigende Gerade, deren Steigungimmergleichist(sieheDiagrammeoben).DieBeschleunigungistalsokonstant.

BeispielEinWagenwirdaufeinergeradehorizontalenSchieneausderRuhemitkonstanterBeschleunigungbeschleunigt.FürdieFahrstreckes,dieGeschwindigkeit vund dieBeschleunigunga treffen qualitativ die inobigenBeispielgezeigtenDiagrammezu.

Beispiel Eine konstante positive (negative) Beschleunigung wird im s-t-Diagramm mit linearer Achsenteilung als immer steiler ansteigende(abfallende) Kurve dargestellt (siehe linkes Diagramm in obigemBeispiel).

DieKraft istdieUrsache jederBeschleunigung.SiehatdasZeichenFunddieEinheit [F]=N(Newton1)=kgm/s2.EsgeltendievierNewtonschenGesetze,auchNewtonscheAxiomegenanntGesetz

1.NewtonscheAxiom

OhneKrafteinwirkungbeharrteineMasseinRuheodergleichförmigerBewegung.

2.NewtonscheAxiom

Es gilt der Zusammenhang zwischen Kraft F, Masse m und derBeschleunigunga:

F=m·a.

3.NewtonscheAxiom

DievonzweiKörpernaufeinanderausgeübtenKräftesindgleichgroßundentgegengerichtet(actiogleichreactio).

4.NewtonscheAxiom

KräfteaddierensichwieVektoren.

BeispielZudenhäufigvorkommendenKräftengehörenbeispiels weisenebender allgegenwärtigen Schwerkraft, die Gleit-und HaftreibungzwischenfestenKörpern (sie istproportionalzurNormalkraft,diediebeiden reibenden Flächen zusammendrückt), die Auftriebskraft inFlüssigkeiten(sie istgleichdemGewichtderverdrängtenFlüssigkeit)oderdieZentrifugalkraft(Fliehkraft).

DieSchwerkraftbewirkt,dassDingezuBodenfallen.DerfreieFallisteineSonderform der gleichförmig Beschleunigung. Beim freien Fall erfährt einKörpereineBeschleunigung,diegleichderErdbeschleunigunggist,alsoa=g=9,81m/s2≈10m/s2.Darausfolgt,dassalleKörperimluftleerenRaum

(Vakuum, also unter Vernachlässigung der Luftreibung) gleich schnell zuBodenfallen.

BeispielZweiKugelnvon10kgund20kgwerdenineinemluftleerenRaumzurgleichenZeitvondergleichenHöhefallengelassen.InhalberHöheüberdemBodenistdanndieBeschleunigungderKugelngleich.SogarinjederbeliebigenHöhegilta=g.

Gesetz

Fallgesetz: Die Fallgeschwindigkeit eines Körpers im freien Fallbeträgt

h:Fallhöhe

g:Erdbeschleunigung

BeispielGalileoGalilei (1564–1642) führte amSchiefenTurm von Pisa dieersten systematischen Experimente zum Fallgesetz durch. Er ließverschieden schwere und unterschiedlich großeKörper vomTurm zuBodenfallenundbeobachtetedenAufprall.AlleKörperkamennahezugleichzeitig amBoden an; es gab nurminimaleAbweichungen durchdenunterschiedlichenLuftwiderstandderKörper(Luftreibung).

Beimfreien(reibungsfreien)FalleinesKörpersausderRuhelagegilt:

DieAusgangsgeschwindigkeitistnull.DiemomentaneGeschwindigkeitnimmtausderRuheherausgleichmäßigzu.DiemittlereGeschwindigkeitiststetsgeringeralsdieindiesemMomenterreichteMomentan-Geschwindigkeit.DieGeschwindigkeitsteigtproportionalzu an,wennsderzurückgelegteFallwegist.DieBeschleunigungistunabhängigvonderFalldauert.DieGeschwindigkeitnachderFalldauertbeträgtv=a·t=g·t.DiekinetischeEnergienimmtbeimFallzuundistproportionalzurFallstrecke.DerFallwegistproportionalzumQuadratderFalldauer,alsos=t2.

FindetderfreieFallunternormalenBedingungenanLuftstatt,giltaußerdem:

Die Reibungskraft, die der Körper in der umgebenden Luft erfährt,wächstmitzunehmenderGeschwindigkeit.

BeispielEinKörper fällt frei ausderHöheh=50mzuBoden (h=0m).DieFallbewegung beginnt zur Zeit t=0 s.DasWeg-Zeit-Diagramm kanndannwienebenstehendgezeigtgezeichnetwerden.DieZeitt,nachderderKörperaufdenBodenschlägt,beträgt

Beispiel Ein Auto fährt mit 50 km/h frontal gegen eine Mauer. Auf einerStrecke von 50 cm, der Knautschzone, komme es gleichmäßigverzögertzumStillstand.DieInsassensinddabeieinerBeschleunigungvon20gausgesetzt.

EngverknüpftmitderGeschwindigkeiteinesKörpersistseinImpuls.EsgiltFormel

Impulsp,[p]=kg·m/s,istdefiniertals

p=m·v

FüreinabgeschlossenesSystemgiltdieImpulserhaltung:Satz

Impulserhaltung

In einemAbgeschlossenen System ist die Summe aller Impulse eineKonstanteundgleichdemImpulsdesSchwerpunktesdesSystems.

BeispielEinAutoderMasse1200kgtrifftmiteinerGeschwindigkeitvon20m/saufeinparkendesAutoderMasse800kg.WieschnellistderresultierendeSchrotthaufenunmittelbarnachderKollision?DerImpulsdesparkendenAutosistnull,derdesfahrendenp=1200kg·20m/s=24000kg·m/sDerGesamtimpulsistalsogleichp=24000kg·m/s,dieGesamtmassebeträgt2000kg,unddamitdieGeschwindigkeitnachdemUnfallv=p/m=24000/2000m/s=12m/s.

DiekinetischeEnergieEkin,dieeinsichbewegenderKörperrelativzueinemBezugssystemhatistgegebendurch

Formel

kinetischeEnergieEkin,[Ekin]=J,istdefiniertals

Man definiert zusätzlich die sogenannte potentielle Energie einer Mas se.DurcheinKraftfeld,wiezumBeispieldasderErde,kanneinKörperdurchseine relativeLage bezogen auf einen vorgegebenen Punkt eine bestimmteEnergiebesitzen.

BeispielDenkenSieanden3kgschwerenDachziegel,dervomDachfallenkann.SeinepotentielleEnergiebezogenaufdasNiveaudesDachesistnull,bezogenaufdie10mtieferliegendeStraßenjedoch

FürdieEnergiegiltderSatz

Energieerhaltungssatz

In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller Energienkonstant.

BeiderEnergieerhaltungmüssen sämtlichemöglicheFormenderEnergie–kinetische, potentielle, elektrische Energie, Volumenarbeit, Wärme usw. –berücksichtigtwerden.

DieÄnderungderEnergieproZeitistdieDefinition

LeistungP,[P]=W(Watt)=J/s

RotationsbewegungenDreht sich ein Körper um eine Achse, zum Beispiel Material in einerZentrifuge,führteinKörpereineDrehbewegungoderRotationaus.Diefürdie Translation geltenden Gesetze können einfach an die der Rotationangepasstwerden,wennfolgendeErsetzungenvorgenommenwerden:

Definition

fDrehwinkel

rKreisradius

sWegstreckeaufKreisrand

Eine Drehbewegung ist gleichförmig, wenn die Winkelgeschwindigkeitkonstant ist, das heißt der rotierendeKörper in gleichen Zeiten um gleicheWinkel gedreht wird. Unter einer konstanten Winkelgeschwindig keitverstehtmandasVerhältnisdesDrehwinkelszurderzurDrehungbenötigtenZeit:ω=f/t.Definition

Unter einer konstanten Umlauf-Frequenz f, der Drehzahl, verstehtman das Verhältnis der Anzahl der UmdrehungenN zur benötigtenZeitt:

f=N/t.

BeispielBeieinerZentrifuge,diemitgleichmäßigerDrehfrequenzläuft, lässtsichdieWinkelgeschwindigkeitωdesRotorserrechnendurchω=2π/Umlaufzeit.

Beispiel Eine Zentrifuge wird zur Erhöhung der Drehzahl von einerHandkurbel über einGetriebemit derÜbersetzung 1 : 5 angetrieben.Bei 4 Umdrehungen der Kurbel je Sekunde benötigt ein Umlauf derZentrifugeetwa

t=2π/ω=1/(4s–1·5)=0,05s.

Allgemein führen bei jeder Drehbewegung die nicht im Drehmittelpunktliegenden Massenpunkte eines starren Körpers eine Bewegung auf einerKreisbahnaus.

Bewegt sich ein Massenpunkt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit aufeinerKreisbahn,sogilt:

EshandeltsichumeinegleichförmigeKreisbewegung.DerMassenpunktlegtingleichenZeitengleicheKreisbogenabschnittezurück.

DieBahngeschwindigkeitdesMassenpunktesbesitztständigdieRichtungderandiesemPunktderKreisbahnanliegendenTagente.DerMassenpunkterfährteineRadialbeschleunigung.DieWinkelgeschwindigkeitω=2π·fistkonstant;dieBahn-geschwindigkeitbeträgtv=ω·r.DieWinkelbeschleunigungbistnull.

Definition

Die Radialbeschleunigung ist eine Beschleunigung einesMassenpunktes auf einer Kreisbahn, die auf den Kreismit telpunktgerichtetist.SiewirdverursachtvonderRadialkraft.

Definition

Die Radialkraft (oder Zentripetalkraft) FR ist die Kraft, die denKörperaufeinerKreisbahnhält;siezeigtaufdenKreismittelpunkt.

Esist

FR=m·aR=m·r·ω2.

m:MassedesrotierendenKörpers.

RadialbeschleunigungundRadialkraft ändernwährendeinergleichförmigenDrehbewegung ständig ihreRichtung,bleibenabervomBetragnach immerkonstant.

Beispiel Eine Scheibe mit 10 cm Durchmesser rotiert mit 30 000UmdrehungenproMinute.DieBahngeschwindigkeitbeträgtdann:v=ω·r=2π·f·r=2π·30000/60s·0,05m=157m/s.

Definition

AlsFliehkraft (Zentrifugalkraft)Fz bezeichnet man die Kraft, mitder der rotierende Körper von der Drehachse wegstrebt. DieZentrifugalkraftistdieGegenkraftzurZentripetalkraftundvomBetraggleichdieser.Esgilt:

Fz=m·ω2·r=m·v2/r

BeispielDasPrinzipderFliehkraftwirdtechnischgenutztinZentrifugenundWäscheschleudern.

Bei einer gleichförmig (winkel-)beschleunigten Drehbewegung ist dieWinkelbeschleunigung b konstant und die Winkelgeschwindigkeit pro‐portionalzurZeitt.

BeispielEinRad,dassichmitderWinkelgeschwindigkeit800s–1rotiert,wirdin5SekundenbiszumStillstandabgebremst.IndieserAbbremszeitistderBetragder(mittleren)Winkelbeschleunigung160s–1.DaessichumeineVerzögerunghandelt,istdieWinkelbeschleunigungnegativ,ganzanalogzurTranslation.

Wirkt eine Kraft auf einen drehbaren, starren Körper, so erzeugt sie einDrehmoment.DasDrehmomententsprichtderWirkungeinesKräftepaares.

Definition

DasDrehmoment ist das Produkt aus senkrecht wirkender Kraft Fund der Hebelarmlänge l. Dabei bezeichnet die Hebelarmlänge denAbstandzwischendemAnsatzpunktAderKraftunddemDrehpunkt.Allgemeingilt:

M=F·rsinα

r:RadiusderRotationα:WinkelzwischenRadiusundKraftFürdenFall,dassdieHebelarmlängegleichdemRadiusist,alsol=rist,gilt:

M=F·l[M]=N(Newton)·m(Meter)=N·m

DasDrehmomentisteinevektorielle,alsoeinegerichteteGröße.

BeispielAneineramEndedrehbargelagertenStangederLänge lgreifteineKraftF an. Der Betrag des auf die Stange wirk samen Drehmomentsbeträgt dannM = F┴ · l. F┴ ist die Kraftkomponente senkrecht zurDrehachse.

DieGrößeeinesDrehmomentshängtabvon

demBetragderangreifendenKraft,derRichtungderangreifendenKraft,demAbstandzwischenDrehpunktundAngriffspunktderKraftunddemWinkelzwischenKraftundKraftarm.

Ein Drehmoment, das an einem frei beweglichen Körper angreift, bewirkteine Winkelbeschleunigung. Wirken mehrere Kräfte auf einen drehbarenKörper, ist das resultierende Drehmoment gleich der Summe aus deneinzelnenDrehmomenten.DabeiistaufdieRichtungderangreifendenKräftezuachten.

BeispielAneinemdrehbarenBalkengreifenimAbstandvon8cmbzw.16cmvomDrehpunktKräftevon15Nbzw.10Nan(Skizzeblau).DieRichtungderKräfteistjeweilsentgegengesetzt.InsgesamtwirkteinDrehmomentvon

M=M1+M2=0,08m·15N+0,16m·10N=

=l,2Nm+l,6Nm=2,8Nm.

BeispielAneinemdrehbarenBalkengreifenimAbstandvon8cmbzw.16cmvomDrehpunktKräfte von 15N bzw. 10N an.BeideKräfte zeigennachunten(Skizze).InsgesamtwirkteinDrehmomentvon

M=M1+M2=–(0,08m·15N)+0,16m·10N=

=–1,2Nm+1,6Nm=0,4Nm.

BeispielEinGewichtvon5NhängtaneinemFaden,derübereinezentrischgelagerte Rolle von 40 cm Durchmesser gewickelt ist. Es wirkt einDrehmomentvon

M=5N·0,2m=1Nm.

Beispiel Die Fortbewegung von Mensch und Tier beruht meist auf derDrehbewegungderGliedmaßen.DasDrehmoment,dasderMuskelaufdie Knochenachse ausübt, hängt von der Gelenkstellung ab. BeiAusübungverschiedenerSportartenkannmansichvergewissern,dassderSportlerinbestimmtenGelenkstellungenoffensichtlichmehrKrafthat,alsinanderen.

Ist die Summe aller Drehmomente, die an einem Körper angreifen undgleichzeitig die Resultierende aller auf ihn wirkender Kräfte null, befindetsichderKörperimGleichgewicht.JenachStellungundHaltungdesKörpersunterscheidetmandreiGleichgewichtsartenoder-lagen:

StabileLage(stabilesGleichgewicht):BeiAuslenkungausderGleichgewichtslagefälltderKörperwiederinsGleichgewichtzurück,ernimmtwiederseineRuhelageein(Beispiel:Stehaufmännchen).LabileLage(labilesGleichgewicht):BeieinerAuslenkungkipptderKörpersofortum.IndifferenteLage(indifferentesGleichgewicht):JedeAuslenkungführtsofortzueinerneuenGleichgewichtslage(wiezumBeispielbeieinerKugelaufeinerebenenFläche).

Die Art des Gleichgewichts wird bestimmt durch die Bewegung desSchwerpunktesbeiAuslenkungausderGleichgewichtslage.Definition

Als Schwerpunkt eines Körpers bezeichnet man den Punkt desKörpers,andemdasGesamtgewichtdesKörpersangreift.Manstelltsich das gesamteGewicht des Körpers in diesem Punkt vereint vor.DerSchwerpunktkanninnerhalboderaußerhalbdesKörpersliegen.

Bei der stabilen Lage muss der Schwerpunkt angehoben werden (Energiemussaufgewendetwerden).BeiderlabilenLagefälltderSchwerpunktimmernachuntenundbeiderindifferentenLagebleibtderSchwerpunktaufgleicherHöhe.

DiegenaueLagedesSchwerpunkteshängtvonderräumlichenVerteilungderMassedesKörpers abundkannbeihomogenenund regelmäßigenKörpernleichtberechnetwerden.AmSchwerpunktangreifendeKräfteerzeugenkeinDrehmoment, sondern führen zur fortschreitenden Bewegung des Körpers,alsoeinerTranslation.

BeispielVerschiedeneKörpermiteingezeichnetemSchwerpunkt

Unter einemHebel versteht man einen festen, länglichen Körper, der umeinen Drehpunkt gelagert ist. Bei einem einarmigen Hebel liegt derDrehpunkt am Ende. Beim zweiarmigen Hebel greifen die Kräfte aufverschiedenen Seiten vom Drehpunkt an (zum Beispiel: Waage, Zange,Schere).AneinemHebelherrschtGleichgewicht,wennsichdieangreifendenDrehmomentezunulladdieren.Definition

Hebelgesetz

KraftmalKraftarm=LastmalLastarm

F1·l1=F2·l2BeispielBeimAnhebeneinerschwerenKisteverwendetmaneineStange,die

unterdenRandderKisteuntergeschobenwird.JelängerdieStangeist,destoleichterfälltdasAnhebenderKiste.

BeispielZahlreicheKnochenvonWirbeltierendienenalsHebel.DieGelenkebilden die Drehpunkte, die Muskeln stellen die Kräfte her. Von denMuskeln ziehen Sehnen quasi als Zugstricke zu den Knochen, mitdenensieverwachsensind.

BeispielAneinerWaagewirktamrechtenArmimAbstandvon20cmzumDrehpunkt eine Kraft von 5 N (Skizze).Welche (parallel) gerichteteKraftmussamanderenHebelarmderLänge100cmangreifen,damitdas gesamte Drehmoment Null ist, sich die Waage also imGleichgewichtbefindet?MitdemHebelgesetzgilt:

F=5N·0,2m/1m=1N.

BeispielDamitderBalkenmitzweiGewichtenvonje100NimAbstandvon5und10 cmvomDrehpunkt imGleichge wicht ist,muss dieKraftFauf der linken Seite des Hebels nach dem Hebelgesetz und derHebelarmlängevon10cmwegen100N·0,05m+100N·0,1m=F·0,01mdenWertF=150Nannehmen.

BeispielAls einfachstesModell einesUnterarms dient ein einarmigerHebelmitdennebenstehendenAbmessungen,derumdenDrehpunktgelagertist.DieKraftF=100NziehtuntereinemWinkelvon30°undhältdenHebeldamitinwaagerechterLage.ImDrehpunkt(Lager)DwirktdanneineKraftvon86,6Ninx-Richtung.

EinDrehmoment,dasaneinenfreibeweglichenKörperangreift,bewirkteineWinkelbeschleunigung. Das Verhältnis von (wirksamen) Drehmoment zur

erzieltenWinkelbeschleunigungbezeichnetmanalsTrägheitsmomenteinesKörpers.Definition

TrägheitsmomentJ(oderθ),

[J]=kg·m2

J=Drehmoment/Winkelbeschleunigung=M·ω=m·r2

Das Trägheitsmoment ist abhängig von der Masse eines Körpers und derVerteilungderMasseumdieDrehachse.BeieinemrotierendenSystemkannalsodieWinkelgeschwindigkeiterhöhtwerden,indemdasTrägheitsmomentdurchVerlagerungderMasseverkleinertwird.

BeispielAneinerimZentrumdrehbargelagertenStangesindanbeidenArmenzwei Massen befestigt. Die Stange rotiert um den Auflagepunktsenkrecht zurAchsemit konstanterWinkelgeschwindigkeit.RutschendieMassen plötzlich nach außen an die Enden der Stange, wird dasTrägheits momentgrößerunddieWinkelgeschwindigkeitkleiner.

Definition

DrehimpulsL

L=J·ω[L]=N·m·s

Der Drehimpuls eines Körpers entspricht dem Drall, den ein rotierenderKörper besitzt. Er ist eine vektorielle Größe und hat die Richtung derWinkelgeschwindigkeitdesrotierendenObjektes.

AnalogzurErhaltungdesImpulsesgiltdieDrehimpuls-Erhaltung:IneinemabgeschlossenenSystemistdieSummeallerDrehimpulsekonstant.BeispielEineZentrifugemitdemTrägheitsmomentJwirdzumAusgleichvon

Reibungsverlustenmit einemDrehmomentM angetrieben. Sie rotiertmitderkonstantenKreisfrequenz2πf.

DerDrehimpulsbeträgtdannL=J·2πf.

BeispielEineZentrifugerotiertmit1000UmdrehungenproSekunde.DasTrägheitsmomentdesRotorsbeträgt1·104cm2·g.DerDrehimpulsdesRotorsbeträgtdamitL=1·104cm2·g·2π·1000s–1=6,28·107cm2·g·s–1

1.2VerformungvonFestkörpern

Wirdeinstabförmiger,festerKörper(durchäußereKräfteanbeidenEnden)gedehnt,erfährtereineLängenänderung.Istseineursprüngliche

LängezumBeispiel l1unddieLänge imgedehntenZustand l2,dannbeträgtdiese (absolute) Längenänderung Δl = l2 – l1. Die Größe derLängenänderung hängt vom Werkstoff und der Kraft ab. AllgemeinbezeichneteineDehnungeinedurchäußereKräftehervorgerufeneForm-undVolumenänderung.Wird andieEndendes stabförmigenKörpers einDruckausgeübt,kommteszueinerVerkürzungderursprünglichenStablänge,alsoeiner Stauchung. Die Längenänderung Δl ist im Falle einer Stauchungnegativ. Die Dehnung ist gleich der relativen Längenänderung Δl/l eines(stabförmigen) Körpers, also das Verhältnis der Längenänderung zurursprünglichenLänge:Definition

Dehnungε=Δl/l=(l2–l1)/l1

Δl<0(Stauchung)Δl>0(Dehnung)Die senkrecht zum Querschnitt angreifende Kraft F auf die Enden desstabförmigenKörpers(Zug-oderDruckkraft)geteiltdurchdenQuerschnittAdesStabesentsprichtdermechanischenSpannungσ.Definition

mechanischeSpannung

σ=F(aufdieStabenden)/A,[σ]=N/m2

Führt die Spannung zu einer Dehnung des Körpers (Δl > 0), liegt eineZugspannungvor;wirdderKörperdurchdieSpannunggestaucht(Δl<0),sprichtmanvoneinerDruckspannung.

NachdemHookeschenGesetzistdieSpannungσproportionalzurDehnungε.Gesetz

HookeschesGesetz

σ=E·ε

mitE:Elastizitätsmodul,[E]=N/m2

DieProportionalitäts-KonstantezwischenderSpannungundderDehnungistder Elastizitätsmodul. Es entspricht dem Verhältnis der erforderlichenSpannungzurerzieltenrelativenLängenänderung.

BeispielEin4mlangerDrahtmiteinemQuerschnittvon2mm2wirddurchBelastungmit500Num5mmelastischgedehnt.DerElastizitätsmoduldesDrahtesbeträgtdannE=σ/ε=(F/A)/(Δl/l)==(500N/2mm2)/(5mm/4005mm)=2·105N/mm2.

BeispielEinGewichtvon10000Nwirdan5Stahlseilenmitje2cm2

Querschnittsoaufgehängt,dassalleSeilegleichmäßigbelastetsind.DieGewichtskräfteverursacheneineZugspannungindenSeilenproSeilvonσ=F/A=10000N/(5·2mm2)=1000N/cm2.

Das Hookesche Gesetz beschreibt eine lineare Abhängigkeit zwischen derSpannung und derDehnung, es gilt daher nur im rein elastischenBereich.Überschreitet die Spannung einen bestimmten Wert, wird die Verformungzunächst viskoelastisch, nach Überschreiten der Elastizitätsgrenzeplastisch,dasichdasGefügedesKörpersumwandeltbishinzumBruchdesKörpers(Bruch-oderZerreißpunkt).

ImviskoelastischenZustandbildensichVerformungenzwarnochzurück,dasheißt sie sind reversibel, die Spannung ist aber nichtmehr proportional zurDehnung.AußerdembeobachtetmaneineelastischeNachwirkung,dievomverwendetenMaterialabhängt.DieGrößedesviskoelastischenBereichsoderFließbereichs im Spannungs-Dehnungs-Diagramm ist ein Maß für dieSprödigkeitoderPlastizitätdesStoffes.BeisprödenStoffen istderBereichsehr schmal, es kommt also bei einer Überdehnung schnell zur plastischenVerformung und Bruch (z.B. gehärteter Kohlenstoffstahl); bei plastischenStoffenistderBereichweit,eineÜberdehnungäußertsichalsozunächstalsplastischeVerformung(z.B.Blei).BeispielViskoelastischeStoffesinddiemenschlicheHautundhochpolymere

Kunststoffe.

Überschreitet die Dehnung schließlich die Elastizitätsgrenze, führt eineweitere Dehnung des Körpers zu einer irreversiblen (unumkehrbaren)Streckung des Körpers. Verschwindet die mechanische Spannung, geht dieDehnungnichtmehraufnullzurück.

Eine nicht mehr elastische Verformung bezeichnet man als plastischeVerformung,alsoeineVerformungbeiderVolumen-undGestaltänderungenzurückbleiben.

Wird auf einen Würfel, dessen Bodenfläche fest mit dem Untergrundverbundenist,eineseitlicheKraft(Scherkraft)ausgeübt(Skizze),de formiertsich der Körper um einen Scherwinkel α. Dieser Scherwinkel ist derSchubspannungτproportional.Definition

Schubspannung

τ=G·α

mitG:Schub-oderTorsionsmodul

[G]=N/m2

Die Schubspannung bei einer Scherung entspricht dem Verhältnis derScherkraftFzumQuerschnittAdesWürfels,alsoτ=F/A.

Wird ein fester (dreidimensionaler) Körper (oder eine Flüssigkeit) durchäußereKräftezusammengedrückt,vergrößert sichderhydrostatischeDruck.Umgekehrt vergrößert sich das Volumen des Körpers (ΔV > 0), wenn derhydrostatische Druck sinkt (Δp < 0). Zur Charakterisierung derZusammendrückbarkeit einesKörpers verwendetman dieKompressibilitätκ,dieproportionaldemQuotientenausΔVundΔpist.Definition

Kompressionsmodul

K=1/κ,[K]=N/m2.

Elastizitätsmodul, Torsionsmodul und der Kompressionsmodul haben alsoalledieEinheiteinesDrucks:[E]=[G]=[K]=N/m2=Pa(Pascal).

1.3KräfteanGrenzflächen

Zwischen Molekülen und Atomen wirken zwischenatomare oder zwi‐schenmolekulare Kräfte, deren Stärke den Aggregatzustand des Stoffesbestimmt.DieseKräftewerdenalsvan-der-Waals-Kräftezusammen-gefasst. Bei Festkörpern und Flüssigkeiten bestimmen diese Kräfte dasVolumen.ManunterscheidetjenachArtderWirkung

Kohäsionskräfte: molekulare (anziehende) Kräfte zwischen den gleichenAtomenbzw.Molekülen.

Adhäsionskräfte:molekulare(anziehende)KräftezwischendenAtomenundMolekülenverschiedenerStoffe.

Adsorptionskräfte: Adhäsionskräfte zwischen festen und flüssigen bzw.festenundgasförmigenStoffen.

BeispielBeifreifallendenWassertropfentrittstetsKohäsionauf.

Die Kohäsionskräfte bedingen den Zusammenhalt der festen und flüssigenStoffe. Eine Folge der Kohäsionskräfte bei Flüssigkeiten ist dieOberflächenspannung.DieOberflächenspannungentstehtanderOberfläche(oderGrenzfläche)einerFlüssigkeit,wosichdiegegenseitigenAnziehungs-(oder Kohäsions-)Kräfte gerade nicht mehr aufheben, wie im Innern derFlüssigkeit. Das führt zu einer in das Innere der Flüssigkeit gerichtetenRestkraft. Die Oberflächenspannung verkleinert daher dieFlüssigkeitsoberflächesoweitwiemöglich.DieOberflächeeinerFlüssigkeitstellt sich stets senkrechtzuderaufdieeinzelnenMolekülewirkendeKraftein.

Beispiel Ein Wassertropfen hat immer Kugelform, da die Oberflä‐chenspannungbeiWassergroßist.

DieOberflächenspannungisttemperaturabhängig.AmGefrierpunktistsieamgrößten,undverringertsichmitzunehmenderTemperatur.VerunreinigungenundadsorbierendeStoffeverminderndieOberflächenspannung.Beispiel Die Oberflächenspannung von Wasser wird durch Zugabe von

Waschmittelnherabgesetzt.

Beispiel Wird eine Fettkörperoberfläche von einer Flüssigkeit vollständigbenetzt,soistderenAdhäsiongrößeralsdieKohä-sion.

DieMessung der Oberflächenspannung geschieht über einen Tropfenzähler(Stalagmometer)oderdieBügelmethode.

In einer engen Röhre, der Kapillare, führt die Adhäsion zwischen denFlüssigkeitsmolekülen und derWand der Kapillare zu einem höheren oder

niedrigeren Flüssigkeitsspiegel, als im umgebenden Gefäß. Sind dieAdhäsionskräfte zwischen Flüssigkeits- undWandmolekülen größer als dieKohäsionskräfte zwischen den Flüssigkeitsmolekülen untereinander, „zieht“sich die Flüssigkeit die Kapillare hinauf. Eine solche Flüssigkeit istbenetzend. Im umgekehrten Fall, bei dem dieKohäsionskräfte dominieren,zieht sichdieFlüssigkeitsoberfläche inderKapillarezurückundbildet einekugelartige (nach oben konvexe) Form (Kapillar-Depression). DieseFlüssigkeitheißtnicht-benetzend.

Beispiel In einerGlaskapillare istWasser eine benetzende,Quecksilber einenichtbenetzendeFlüssigkeit.

BeispielAnderGrenzflächeWasser-GlasüberwiegendieAdhäsionskräftedieKohäsionskräfte,dasWassersteigteineKapillarehinauf.

Beispiel Die Oberfläche der Quecksilbersäule in einem engen Rohr hat dieFormeinesnachobenkonvexenMeniskus.

DieSteighöheeinerFlüssigkeitineinerKapillarehängtabvom

RadiusdesKapillar-Röhrchensr,derOberflächenspannungσ,derDichtederFlüssigkeitρ,derSchwerkraft(bzw.Gravitationsbeschleunigungg)undderBenetzbarkeitderKapillaroberfläche.

Formel

SteighöheeinerFlüssigkeitineinerKapillare

h=2σ/(ρ·g·r)

1.4Hydrodynamik

Als eine Flüssigkeit werden Stoffe bezeichnet, die sich im flüssigen(Aggregat-)Zustand befinden. In einerFlüssigkeit lassen sich die Teilchen(Atome,Moleküle,Ionen)leichtgegeneinanderverschieben.

Beispiel Durch die gegenseitige Verschiebbarkeit der Teilchen nimmt eineFlüssigkeit immer die Form des Gefäßes ein, in dem sich dieFlüssigkeitbefindet.

Kennzeichnend für Flüssigkeiten ist die Volumenbeständigkeit, da dermittlere Abstand der Teilchen in der Flüssigkeit konstant bleibt. EineFlüssigkeit lässt sich daher nur bei sehr hohen Drücken sichtbar zusam‐menpressen.

Beispiel DieVolumenbeständigkeit ermöglicht es,mit einer Flüssigkeit (Öl)gefüllte Kolben zur Übertragung großer Kräfte zu verwenden, ohnedass es zu einem Einfedern kommt, wenn die Mechanik plötzlichbelastetwird(Hydraulik).

Als Strömung fasst man die Bewegung von Flüssigkeiten und Gasen auf.Strömungenwerden verursacht zumBeispiel durch einenDruckunterschiedoderdieSchwerekraft.EineidealeStrömungliegtvor,wennkeinemerklicheinnereReibung(=ReibungzwischendenTeilchender

Flüssigkeit) und keine Wirbelbildung auftritt, also bei der Strömung eineridealen Flüssigkeit oder eines idealen Gases. In einer Strömung hat jedesTeilchen eine inBetrag undRichtung bestimmteGeschwin digkeit, die sichzeitlich ändern kann. Zur Kennzeichnung der Strömung verwendet mansinnvollerweise nicht die einzelnen Geschwindigkeits vektoren der Teilchenselbst, sondern Stromlinien, die die Bewegungs richtung und -stärke einerStrömungveranschaulichen.

StromlinienundBewegungdereinzelnenFlüssigkeitsteilchen

DieDichtederStromlinien,alsodieAnzahlderStromlinienproQuerschnittist proportional der Geschwindigkeit der Flüssigkeit. Eine stationäreStrömung liegt vor, wenn jedes Teilchen einer Stromlinie mit gleicherGeschwindigkeitströmt.DieStromstärkeIoderderVolumenstromgibtan,welchesVolumenVeiner(homogenen)FlüssigkeitdurcheinenQuerschnittAinderZeiteinheittströmt,alsodasjeZeiteinheitbewegteVolumen:Definition

Stromstärke

I=V/t=A·v,[I]=m3/s

v.GeschwindigkeitderFlüssigkeitamQuerschnittA

BeispielMiteiner10ml-Spritzekönnen1mlWasservon20°Cin1sdurcheine Kanüle der Länge 3 cm (Innendurchmesser 0,4 mm) gedrücktwerden.DieGeschwindigkeitdesWasserbeimAustrittausderKanülebeträgt:

v=I/A=I/πr2=1·10–6m3/π(0,2·10–3m)2·l/s=7,9m/s.

Beim Transport einer Flüssigkeit durch ein Rohr ist die Stromstärke IabhängigvonderDruckdifferenzΔpzwischenAnfangundEndedesRohres.EinesolcheFlüssigkeitbezeichnetmanalsNewtonscheFlüs sigkeit.Definition

Strömungswiderstand

FR=Δp/I,[FR]=Pa·s/m3

DieSteigungderKurveimStromstärke-Druck-Diagramm(Skizze)istFR=konstant.

Der Strömungswiderstand FR ist der Quotient aus Druckdifferenz und derStromstärke. In einer Glaskapillare hängt der Strömungswiderstand einerNewtonschen Flüssigkeit von der Temperatur ab, da die Zähigkeit einerNewtonschenFlüssigkeittemperaturabhängigist.

Beispiel Dargestellt ist das Druck-Stromstärke-Diagramm bei derDurchströmung einesBlutgefäßes. (A) die glatteGefäßmuskulatur ist(pharmakologisch) gelähmt. (B) Autoregulation (mit wachsendemDruckwächstdieStromstärkeüberproportional,zumBeispielbeieinerkleinenArterie). (C)NewtonscheFlüssigkeit in einem (starren)Rohr.DieSteigungderKurvebeträgt1/FR.

IneinerStrömungsetztsichderDruckzusammenauszweiTeildrücken:

demstatischenDruck(ausderpotentiellenEnergiederunterDruckstehendenFlüssigkeit)unddem dynamischen Druck oder Staudruck (aus der Bewegungs‐energiederströmendenFlüssigkeit).

Formel

dynamischerDruck

mitρ:DichtederFlüssigkeit

DiemechanischeGesamtenergie einer strömenden Flüssigkeit bleibt immererhalten.DasistdasGesetzvonBernoulli(1700–1782)Esgiltfürstationäre,reibungsfreie Flüssigkeiten. In einer stationären Flüssigkeit ist also dieSummeausstatischemDruckunddynamischenDruckkonstant:Gesetz

vonBernoulli

In einer ruhenden Flüssigkeit ist der dynamische Druck null, der statischeDruckgleichdemhydrostatischenDruck.

Eine Folgerung aus demBernoulli-Gesetz ist der Zusammenhang zwischendynamischem Druck, der Geschwindigkeit der Flüssigkeit und demRohrquerschnitt durch den die Flüssigkeit strömt. Es ergibt sich an Ortenhohen dynamischen Drucks (= hoher Geschwindigkeit) ein nied rigerstatischerDruck.

Gezeigt ist der laminareDurchfluss einer zähenFlüssigkeitdurcheinRohr,dessenQuerschnittsichinderMitteverringert.DerDruckabfallimBereichBistgrößeralsimBereichA.DaheristdieGeschwindigkeitderStrömunginBgrößeralsinA.

An einer Engstelle eines Strömungskanals nimmt die mittlere Strö‐mungsgeschwindigkeitzuundderstatischeDruckab.

Beispiel Technische Anwendungen dieses Prinzips sind der Bunsenbrenner,WasserstrahlpumpenoderZerstäuber.

Nach demDurchflussgesetzoder der sogenanntenKontinuitätsbedingungfließtdurchjedenQuerschnittAeinesRohresindergleichenZeitdasgleicheVolumen:Gesetz

Kontinuitätsbedingung

A·v=konstantoder

A1·v1=A2·v2fürzweiQuerschnitteA1undA2.

Bei einer stationären Strömung treten also in gleichen Zeiten gleicheFlüssigkeitsmengen durch jeden Querschnitt des Rohres. Durch kleineQuerschnitte strömt die Flüssigkeit schneller, als durch weitere. DieStrömungsgeschwindigkeit ist zum Radius des Rohres umgekehrt pro‐portional:v~l/r2~1/A.

Beispiel Beim Durchfluss des Blutes durch eine krankhafte Veren gung vonBlutgefäßen (zum Beispiel durch Ablagerungen) erhöht sich an derEngstelle der dynamische Druck des Blutes. Das führt zu einergrößerenDurchflussgeschwin digkeitanderEngstelle.EsbestehtdaherdieGefahrderAblösungvonAblagerungenvondenGefäßwändenundgravierendengesundheitlichenKomplikationen.

DasDurchflussgesetzistanwendbarauf

idealviskose(Newtonsche)Flüssigkeiten,dienichtkompressibel(zusammendrückbar)sind,ideal(reibungsfreie)Flüssigkeiten,fürdiedasBernoullischeGesetzgilt,undGase,wennderenDichtekonstantbleibt.

Berücksichtigt man auch die Wechselwirkung der Teilchen in einerFlüssigkeit untereinander, also eine reale Flüssigkeit, treten weiterePhänomene, zum Beispiel die (innere) Reibung auf. Eine laminareStrömung liegt vor, wenn die benachbarten Flüssigkeitsschichten ohneVerwirbelung aneinander vorbeigleiten. Kennzeichnend ist also diewirbelfreie Strömung. Die Viskosität oder innere Reibung ist eineStoffgröße,diedieZähigkeitvonFlüssigkeitenundGasenbeschreibt.Definition

Viskosität(innereReibung)

η(griechisch:„Eta“),[η]=Pa·s

Die Viskosität einerNewtonschen Flüssigkeit (zum Beispiel Wasser oderParaffinöl) nimmt im allgemeinenmit steigenderTemperatur ab; beiGasenverhältessichgenauumgekehrt.DieViskositätistinengenRohrenbeieinerlaminarenStrömungunabhängigvondermittlerenFließgeschwindigkeit.

Eine Newtonsche Flüssigkeit ist eine Flüssigkeit, deren Viskosität unabhängigvonderGeschwindigkeitist.

Beispiel Blutplasma ist eine Newtonsche Flüssigkeit, das Blut selbst abernicht!

Beispiel Die Viskosität des Blutes hängt ab von der Temperatur, demProteingehalt, der Zusammensetzung des Plasmas und derStrömungsgeschwindigkeit. DieViskosität des Blutes sinkt erheblich,wenn sich die Blutkörperchen hintereinander anordnen, wie es zumBeispielineinerKapillarederFallist.DieViskositätdesBlutessteigtbeiAbnahmederStrömungsgeschwindigkeit.

Bewegt sich ein Körper in einer Flüssigkeit der Dichte ρ, so behindert dieinnere Reibung η diese Bewegung. Liegen zwei Platten nur durch einen(zähen)Flüssigkeitsfilmvoneinandergetrenntaufeinander,isteineKraftzumVerschieben der oberen Platte erforderlich. Diese Kraft ist gleich derReibungskraftFR.Gesetz

innerenReibung

FR=k·η·v

k.formabhängigeKonstante(Formkonstante)

η:innereReibung(Viskosität)

BeigroßenGeschwindigkeitengilt:FR=k·η·vn,wobeinWertezwischen1und2einnimmt.DieFormkonstantekwirdexperimentellbestimmt.Formel

FormkonstanteeinerKugel

k=6r·π(giltnurfürlaminareStrömungumdieKugel)mitr:RadiusderKugel

DieBestimmungderViskositäteinerzähenFlüssigkeiterfolgtzumBeispielim Kugelfall-Viskosimeter, das auf demGesetz von Stokes beruht. DabeiwirddieSinkgeschwindigkeitderKugelgemessen.DasStokes‘scheGesetz

gibt die Reibungskraft einer Kugel beim laminaren Fall durch eineNewtonscheFlüssigkeitan.Gesetz

vonStokes

FR=6r·π·η·v

mitr:RadiusderKugel

BeispielEineKugelderMassemsinktineinerzähenNewtonschenFlüssigkeitausdemRuhezu stand.NachdemdieKugeleineStreckesdurchlaufenhat, hat sie eine Geschwindigkeit v erreicht. Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagrammistnebenstehenddargestellt.

Überschreitet die Strömung einer Newtonschen Flüssigkeit eine kritischeGeschwindigkeit,gehtsievomlaminarenFlussineineturbulenteStrömungüber.KennzeicheneinerturbulentenStrömungistdieWirbelbildungaufgrundderinnerenReibungundGeschwindigkeit,sieistalsoeineWirbelströmung.BeimÜbergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung erhöhtsichderStrömungswiderstand.

Beispiel Turbulente Strömungen sind der Luftstrom in der Luftröhre, derBlutstromandenHerzklappenundankrankhaftverengtenBlutgefäßen(Gefäßverkalkungen).

Das Durchflussvolumen V kann unter anderem durch Vergrößerung desRadius rdesQuerschnitts unddesDruckgefällesΔpgesteigertwerden.Fürlaminare Strömungen einer homogenen und viskosen Flüssigkeit durch einRohr mit kreisförmigen Querschnitt (zum Beispiel eine Kapillare) gilt dasGesetzvonHagen-Poiseuille:Gesetz

vonHagen-Poiseuille

V~Δp·r4/l

mitl:LängedesRohres

WichtigistdieAbhängigkeitdesDurchflussvolumensvonderviertenPotenzdesRadius.

Beispiel Durch zwei Rohremit der Länge 2m,Durchmesser 4 cm und derLänge 1 m, Durchmesser 2 cm werde Wasser gepumpt. DerDruckabfall sei in beiden Rohren gleich, die Strömung laminar. DieWassermengen,dieingleichenZeiteinheitendurchdieRohregepumptwerden,stehenimVerhältnis

V1:V2=(2cm)4/2m:(1cm)4/1m=16/2:1=8:1.

Mit der Definition der Volumenstromstärke I=V / t gilt I ~ Δp · r4, dieStromstärkeistalsoebenfallsproportionalzurviertenPotenzdesRadiusdesRohresoderderKapillare.

BeispielWirdderRadiuseinerKapillarenurum19%vergrößert,verdoppeltsichdieStromstärke.

WerdenStrömungskanälehintereinandergeschaltet,giltzurBerechnungderGesamtstromstärke Itot:DieStromstärke einerFlüssigkeit ist an allenEndeneinesnichtverzweigtenStrömungskanalgleich.DerGesamtwiderstandergibtsichausderSummedereinzelnenStrömungswiderstände.Werden mehrere Strömungskanäle parallel, also nebeneinander geschaltet,geltendieKirchhoffschenGesetze.Gesetz

1.KirchoffschesGesetz

InjedemPunkteinesLeitersystemsistdieSummederan kommendenStromstärkengleichderSummeallerabfließendenStromstärken:

Itot=I1+I2+I3+…Gesetz

2.KirchoffschesGesetz

In parallel geschalteten Leitern verhalten sich die Stromstärken IumgekehrtwiedieWiderständeR:

I1/I2=R2/R1

Definition

StrömungsleitwertistderKehrwertderStrömungswiderständeI/Δp

DerStrömungswiderstandeinerParallelschaltungistgeringeralsineinerderLeitungenallein.

1.5Schwingungen

Als Schwingung (Oszillation) bezeichnet man einen Vorgang, der sich inregelmäßigenZeitabständenwiederholt,alsozeitlichperiodischist.

AlsSchwinger(Oszillator)bezeichnetmaneinschwingungsfähigesSystem,indemdieSchwingungentsteht.

GanzallgemeinunterscheidetmanzwischenmechanischenundelektrischenSchwingungen, von denen in diesem Kapitel nur erstgenannte behandeltwerdensollen.

MechanischeSchwingungen

Mechanische Schwingungen sind dadurch gekennzeichnet, dass dasschwingendeSystemperiodischeundmeistzuseinerRuhelagesymmetrischeBewegungen ausführt. In der folgenden Abbildung sind einigeschwingungsfähigeSystemedargestellt.

In jedem dieser Beispiele liegt eine schwingende Masse vor, die hin-undherpendelt.

Eine Schwingung entsteht, wenn einem Schwinger (schwingungsfähigenSystem) Energie zugeführt wird. Jedermechanische Schwinger besitzt eineGesamtenergieE,diesichauskinetischerEnergieEkin(Bewegungsenergie) und potentieller Energie Epot (Lageenergie) zu‐sammensetzt:

E=Ekin+Epot

BeiderSchwingungwirdkinetischeEnergieperiodischinpotentielleEnergieumgewandeltundumgekehrt.

KennzeichnendeGrößeneinerSchwingung

DieAuslenkung(Elongation,Momentanwert)AbezeichnetdenmomentanenAbstanddesschwingendenKörpersvonseinerRuhelage.

DiemaximaleAuslenkungnenntmanAmplitudeA0derSchwingung.

AlsPhase bezeichnet man den augenblicklichen Zustand der Schwin gung,der durchAuslenkung und Schwingungsrichtung desKörpers festgelegt ist.

Die Phasendifferenz zweier Schwingungen hat die Dimension einesWinkels.

Unter derSchwingungsdauer (Periodendauer)Tverstehtman dieZeit, diedie schwingende Masse für eine volle Schwingung (Hin- und Hergang)benötigt und damit auch den zeitlichen Abstand zwischen zweiaufeinanderfolgendengleichenBewegungszuständen.DieFrequenz f istderKehrwertderSchwingungsdauerT:

Sie gibt dieAnzahl der Schwingungen proSekunde an undwird inHertz2(1Hz=l/s)gemessen.

HarmonischeSchwingungen

DieeinfachsteSchwingungsformistdiesog.harmonischeSchwingung,beider der Zusammenhang zwischen Auslenkung A und Zeit t durch eineSinusfunktiondargestelltwerdenkann(folgendeAbbildung).

DieSchwingungbeginntzumZeitpunktt=0mitderAuslenkungA=0.ZurZeitt=t1erreichtdieAuslenkungAihrenmaximalenWertA0.AnschließendkehrtdieRichtungderSchwingungum.DerschwingendeKörperpassiertbeit=t2dieRuhelageunderreichtbeit=t3erneuteinenMaximalwert.DanachkehrtdieSchwingungsrichtungwiederum.ZumZeitpunktt=TbeginntdieSchwingungerneutbeiderAnfangsauslenkungA=0.

AmplitudenfunktionA(t)einerharmonischenSchwingung

MathematischlässtsichdieseSchwingungwiefolgtformulieren:

dabeiist:

A(t)dieAuslenkungausderRuhelagezumZeitpunktt

dieKreisfrequenzderSchwingung

j0dieAnfangsphasederSchwingung(inobigerAbbildungistj0=0).Durch die Phase j0 kann der Anfangszustand der Schwingung festgelegtwerden.Fürj0=π/2(90°)ergibtsichbeispielsweiseeineSchwingung,diebeiMaximalauslenkungbeginnt(Kosinusfunktion).

Beispiel Folgende Gleichungen beschreiben also eine harmonischeSchwingung:

UnterwelchenBedingungeneineharmonischeSchwingungentsteht,wirdinKapitel2beimVersuchResonanzbeschrieben.

Beispiel InfolgendenKurven isteinephysikalischeGrößexgegendieZeit taufgetragen. Einen harmonischen Vorgang (innerhalb derZeichengenauigkeit) stellt dieKurve a dar. DieKurven b und c sindperiodisch.Kurvedistnichtperiodisch.

1.6Wellen

Schwingungen können sich ausbreiten. EineWelle ist dann dieGesamtheitder sich von einem Ausgangspunkt im Raum ausbreitendenSchwingungszustände.

ManunterscheidetmechanischeundelektromagnetischeWellen (z.B.Licht,vgl.Optikversuche),vondenenimfolgendenwiederumnuraufmechanischeWelleneingegangenwerdensoll.

MechanischeWellen

Mechanische Wellen sind an die Anwesenheit von Materie gebunden. ImmateriefreienRaum,imVakuum,gibteskeinemechanischenWellen.MechanischeWellen können sich nur über schwingungsfähige,mitein andergekoppelteTeilchenausbreiten.(AndersistdiesbeidenelektromagnetischenWellen,diekeinAusbreitungsmediumbenötigen.)

Wellenentstehung

Gerät einTeilchendesAusbreitungsmediums inSchwingung, sowirddieseSchwingung aufgrund der Kopplung zwischen den Teilchen mit einergewissen Zeitverzögerung auf die benachbarten Teilchen übertra- gen. DieSchwingungdeserstenTeilchensbreitetsichinderMaterieaus.

Wirftman beispielsweise einen Stein auf eine ruhigeWasseroberfläche, sobreiten sich vom Einwurfspunkt wellenförmige Bewegungen (Ober‐flächenwellen)inalleRichtungenaus.

KennzeichnendeGrößeneinerWelle

AlsAusbreitungs-oderPhasengeschwindigkeitcderWellebezeich netmandie Geschwindigkeit, mit der sich der Schwingungszustand, die Phase, derWelleausbreitet.

Mit der Welle erfolgt kein Stofftransport, es breitet sich lediglich einSchwingungszustandaus!DieeinzelnenTeilchendesAusbreitungsmediumsführen lediglich Schwingungen um ihre Ruhelage aus. Da jeder SchwingerEnergiebesitzt,findetmitderWelleallerdingseinEnergietransportstatt.DieFrequenzfderWellebezeichnetdieAnzahlderSchwingungen,diejedeseinzelneTeilchenproSekundedurchfuhrt(vgl.Schwingun gen).Als Wellenlänge l bezeichnet man den räumlichen Abstand zweierbenachbarter phasengleicher Schwingungszustände. Sie ist damit aber auchdieStrecke,diedieWellewährendderDauerTeinerSchwin gungzurücklegt.Damit ergibt sich sofort ein wichtiger Zusammenhang zwischen Aus ‐breitungsgeschwindigkeitc,FrequenzfundWellenlängeleinerWelle.Formel

AusbreitungsgeschwindigkeiteinerWelle

DieserZusammenhanggiltfüralle(auchelektromagnetische)Wellen.

Beispiel Wird die Frequenz f eines Tongenerators verdoppelt, so bleibt dieSchallgeschwindigkeit c konstant und dieWellenlänge lwird halb sogroß:

Beispiel Auf eine Flüssigkeitsoberfläche fallen Tropfen. Es bilden sichOberflächenwellen,dieeineAusbreitungsgeschwin digkeitvon0,5m/sund eine Wellenlänge von 2,5 cm haben. Daraus ergibt sich eineFrequenzderWellenvon:

DieRichtungderAusbreitungsgeschwindigkeiteinerWelleunddieRichtungder Schwingungen schließen einen Winkel ein. Man unterscheidet zweiGrenzfälle:

AlsQuerwellenoderTransversalwellenbezeichnetmanWellen,beidenendieSchwingungsenkrechtzurAusbreitungsrichtungerfolgt.(z.B.Wellenaufeinem Seil → „Saitenschwingungen“, elektromagnetische Wellen →„Saccharimetrie“).

Als Längswellen oder Longitudinalwellen bezeichnet man Wellen, beidenen die Schwingung in Ausbreitungsrichtung erfolgt. (z.B. die hörbarenSchallwellen→„SchallgeschwindigkeitinGasen“).

BeispielVieleinderNaturvorkommendeWellensindLongitudinalwellenmittransversalen Anteilen oder umgekehrt, z.B. die durch den WindentstehendenWelleneinesÄhrenfeldesoderdieBrandungswellendesMeeres.

MathematischeFormulierungvonWellen

Bei derWellenausbreitung handelt es sich um einen räumlich und zeitlichperiodischen Vorgang. Die Auslenkung A eines Teilchens desAusbreitungsmediumsausderRuhelagehängtdahersowohlvomOrtxab,andemsichdasTeilchenbefindet,alsauchvonderZeitt.

DiezusammenfassendeGleichungfürdieAuslenkungAlautet:Formel

dabeiistk=2π/ldieWellenzahl,diedieAnzahlder

WellenlängenproMeter,multipliziertmit2πangibt.„–“entsprichteinernachrechtslaufendenWelle.„+“entsprichteinernachlinkslaufendenWelle.

DarstellungsmöglichkeitenvonWellen:

Wellen lassen sich auf zwei Arten darstellen, je nachdem, ob man dieräumlicheoderdiezeitlichePeriodizitätderWellebetrachtenwill:

DarstellungdeszeitlichenVerlaufsderWelle:

Dabei wird die zeitliche Entwicklung der Amplitude an einem be‐stimmten(festen)Ortbetrachtet:x=const.

OrtsfesteBetrachtungeinerWelle

DarstellungdesräumlichenVerlaufsderWelle:

Dabei wird die räumliche Gestalt der Welle zu einem bestimmten(festen)Zeitpunktbetrachtet:t=const.

MomentaufnahmederräumlichenGestaltderWelle

RE

Übungsaufgabe:

1.a)SkizzierenSieinnebenstehen demDiagrammdenVerlaufeines

Ausschnittsderdurch beschriebenen,harmonischenWelleamOrtx=0.

b)TragenSiedieAmplitudeunddiePeriodeTein.

2Versuch:Resonanz2.1Grundlagen

FreieungedämpfteSchwingungen

BeieinerfreienSchwingungwirdderKörper,z.B.einFederpendel,einmaligausderRuhelageausgelenktunddannsichselbstüberlassen.AlsungedämpftbezeichnetmanSchwingungen,derenGesamtschwingungsenergieEzeitlichkonstantbleibt,d.h.dieAmplitudederSchwingungbleibtimmergleich.Diesist jedoch ein Idealfall, da bei jeder Schwingung Energieverluste durchReibungauftreten.ZurErzeugungeinerwirklichungedämpftenSchwingungmussdaherderEnergieverlustdurchregelmäßigeEnergiezufuhrausgeglichenwerden.

ManbetrachtefolgendesFederpendel:

BefindetsichdieMassemaußerhalbderRuhelage,sotritteinerück treibende,elastischeKraft(Rückstellkraft)Fauf,diebeinichtzugroßerEntfernungvon

der Ruhelage der Auslenkung x proportional ist (HookeschesGesetz, siehevorangegangenesKapitel).Dabei istkdieFederkonstante (inunseremFallfürdieKombinationbeiderSpiralfedern).Wird der Körper ausgelenkt, treibt ihn die auftretende Rückstellkraft inRichtung Ruhelage zurück. Dabei wird potentielle Energie (hier dieFederenergie: Epot = 1/2 k x2) in kinetische Energie (Ekin = 1/2 m v2)umgewandelt. Beim Erreichen der Ruhelage liegt die gesamte Energie inFormvonkinetischerEnergievor,diepotentielleEnergieistindiesemPunktgleichnull.DerKörperschwingtüberdieRuhelagehinaus.

Die vorhandene Energie wird nun verwandt, um die Federn wieder zudeformieren und dadurch potentielle Energie zu speichern. Es ergibt sichdemnacheinWechselspielzwischenbeidenEnergieformen.DieSummeauskinetischer und potentieller Energie bleibt im Fall der ungedämpften, alsoreibungsfreienSchwingungkonstant:Gesetz

Energiesatz

Beispiel Ein Federpendel schwinge ungedämpft um seine Ruhelage. In denZeitpunkten b und d liegt die Schwingungsenergie vollständig alspotentielle Energie vor. Zu den Zeitpunkten a und c liegt dieSchwingungsenergievollständigalsBewegungs energievor.

Beispiel Ein ungedämpftes Federpendel sei aus seiner Ruhelage ausgelenktundwerdezumZeitpunktt=0losgelassen.DenzeitlichenVerlaufderpotentiellenEnergieEpotderFederundderkinetischenEnergieEkinderMassezeigtdienebenstehendeAbbildung.

WiezuAnfangdesletztenKapitelsausgeführtwurde,bewirkteineKrafteineBeschleunigung(NewtonscheAxiome):

(2.3)

(2.5)

(2.6)

(2.2)

RE

(2.4)

F=m·a=m·ẍ(Zur Nomenklatur: ein Punkt über einer Variablen bedeutet die Ablei‐tung dieser Größe nach der Zeit, zwei Punkte entsprechend die zweifacheAbleitungnachderZeit.)

DurchGleichsetzenderGleichungen2.2und2.1ergibtsich:

m·ẍ=−k·xBei dieser Gleichung handelt es sich um eine Differentialgleichung 2.Ordnung,waslediglicheineGleichungbezeichnet,dieeineGröße(hierx)mitihrer2.AbleitunginBeziehungsetzt.

AlsFunktionx(t),diedieseDifferentialgleichungerfüllt,ergibtsich:

wobeifürdieKreisfrequenzω0gilt:Definition

Kreisfrequenz

DieslässtsichanhandderfolgendenProberechnungleichtzeigen.

EinsetzenindieDifferentialgleichung2.3ergibt:

Damit folgt für die Frequenz f0 (oder oftmit dem griechischenBuchstaben„v“(Ny)bezeichnet)derfreienungedämpftenSchwingung:

DadieSchwingungsfrequenzf0nurvonsystemeigenenBauelementen(Massem ;Federkonstantek )abhängig ist,nenntmansieauchdieEigenfrequenzdesSystems.

BeispielBeieinemFederpendelmitderEigenfrequenz frwirddieMassedesschwingenden Körpers verdoppelt. Die Eigenfrequenz desFederpendelsistnun:fr/ .

Beispiel Ein Federpendel habe die Eigenfrequenz 2Hz. Eine Eigenfrequenzvon 1 Hz hat das Federpendel, wenn die Masse des schwingendenKörpersvervierfachtwird.

(2.7)

RE

BeispielEinFederpendelmitderFederkonstantenk=100N/mundderMassem=0,25kgschwingtmiteinerKreisfrequenzvon20s–1.

Dagilt:w0=2π·f0=2π/T0,ergibtsichmit2.5fürdieSchwingungsdauerT0

=2π/w0derfreien,ungedämpftenSchwingung:

Die Frequenz f0 und die Schwingungsdauer T0 sind also von der Fe ‐derkonstante k der verwendeten Federn und von der Masse m desschwingendenKörpers abhängig, jedoch unabhängig von derAmplitudeA0

derSchwingung.

Beispiel Bei einem Fadenpendel zeigt sich, dass die rücktreibendeKraft fürkleineAuslenkungengerade

ist. Dabei istm dieMasse des Pendels, l die Länge des Fadens und g dieErdbeschleunigung (x = 0 ist die Ruhelage). Damit ist dieBewegungsgleichungvondergleichenStrukturwiebeimFederpendel,nur dasswir stattkdieKonstantemg/lnehmenmüssen.Wir erhaltenfürdieEigenfrequenz: dieinteressanterweisenichtvonderMasseabhängt.

Beispiel Ein Federpendel mit der Masse m = 100 g und der Feder‐konstantenk=0,4N/mhateineSchwingungsdauervonetwa3,14s.

BeispielAufdemfederndenSitzeinesTraktorssitzteinLandwirt;dabeiistdieschwingendeMasse80kg.DiePeriodendauer liegtbei1s.SetztsichseineFrauansSteuerreduziertsichdieschwingendeMasseauf60kg.DiezuerwartendeSchwingungsdauerberechnetsichzu:

Die in Gl. 2.4 dargestellte Funktion x(t) beschreibt eine harmonischeSchwingung. Harmonische Schwingungen kommen also immer dannzustande, wenn Gl. 2.1 gilt, d.h., wenn die Rückstellkraft proportional zurAuslenkungist.

Beispiel Ein ungedämpft schwingendes Pendel führe die dargestellteBewegungaus:

a)DieBewegungistharmonisch.

b)DieSchwingungsdauerbeträgt5s.

(2.8)

(2.9)

(2.10)

c)DieFrequenzbeträgt0,2Hz.

d)DieAmplitudeistkonstant.

FreiegedämpfteSchwingungenAlsgedämpftbezeichnetmanSchwingungen,derenGesamtenergieimLaufeder Zeit abnimmt. Hierbei handelt es sich um den Realfall, denn bei jederpraktisch realisierten mechanischen Schwingung wird ein Teil derSchwingungsenergieaufgrundvonReibunginWärmeumgewandeltundgehtsomitverloren.

DieDämpfung habe die Form einer zur Geschwindigkeit v proportionalenReibungskraftFRundwirkeentgegengesetztzurBewegungsrichtung:

Damit lautet die Bewegungsgleichung im Fall der freien gedämpftenSchwingung

AlsLösungdieserDifferentialgleichungergibtsich:

Dabeiist:

A0dieAnfangsamplitudezurZeitT=0.

β=R/2mdieAbklingkonstante(ins–1)

wdieKreisfrequenzdergedämpftenSchwingung,wobeigilt

Die Frequenz der gedämpften Schwingung nimmt mit zunehmenderDämpfungab.

Solangeβ2<w02 ist,kommteineSchwingungzustande,derenAmplitudeA(t)mitderZeitexponentiellabnimmt,undzwarumsoschneller,jegrößerdieDämpfung und damitβ ist.Dieser sogenannteSchwingfall ist in folgenderAbbildungdargestellt.

RE

Wird β2 =w02, so ist die Reibung gerade so groß, dass das System keineSchwingungmehrausführenkann.Eserfolgt lediglicheineRück kehr indieRuhelage.MannenntdiesdenaperiodischenGrenzfall.

DerFallβ2>w02wirdKriechfallgenannt.Auchhierkehrtderausgelenkte

KörpernurlangsamindieRuhelagezurück,ohneübersiehinausschwingenzukönnen.

Definition

DieGüteeinesschwingungsfähigenSystemsist

k:Federkonstante

m:MassedesschwingendenKörpers

R:Reibungskonstante

Die Güte eines Systems ist demnach umso größer, je kleiner die Rei ‐bungskonstanteRist.

Zusammenfassend seien nochmals die beiden Folgen der Dämpfunggenannt:

1.DieAmplitudeA(t)derSchwingungnimmtmitderZeitexponentiellab.

2. Die Frequenz der Schwingung ist kleiner als die Eigenfrequenz desSystems(d.h.kleineralsdieFrequenzimungedämpftenFall).

ÞDieSchwingungsdauerTistgrößeralsdiederungedämpftenSchwingung(T0).

ErzwungeneSchwingungen

Bei einer freien Schwingung wird der Körper einmalig aus der Ruhelageausgelenkt und dann sich selbst überlassen. Er schwingt bei geringerDämpfungpraktischmitseinerEigenfrequenz.

Wirktnuneineäußere, sichperiodischänderndeKraftaufdasschwingendeSystemein(z.B.durchKopplungmiteinemMotor,vgl.Versuchsaufbau),so

(2.11)

(2.12)

RE

kommteszueinererzwungenenSchwingung.

Die bisherige Bewegungsgleichung 2.9 muss nun durch die zusätzlicheperiodischeZwangskraftFz=F0 ·cos(w · t)ergänztwerden.Esergibt sichdieDifferentialgleichung

AlsFolgestelltsichzunächsteineÜberlagerungauseinerfreiengedämpftenSchwingungundeinererzwungenenSchwingungein.BeidiesemzuBeginnstattfindenden sogenannten Einschwingvorgang macht das PendelanharmonischeBewegungen.

Wie im letzten Abschnitt gezeigt, klingt die freie gedämpfte Schwin gungjedoch aufgrund der Dämpfung mit der Zeit ab, so dass nach einiger Zeit(Einschwingzeit) nur noch der erzwungeneAnteil übrig bleibt.Das SystemhatdensogenanntenstationärenZustanderreicht.

AlsLösungderDifferentialgleichung2.11ergibtsichimstationärenZustandeineSchwingungderForm

(Details z.B. in: Staudt Experimentalphysik I, 7. Aufl. 1999, S.198ff). DasSystem schwingt im stationären Zustand also mit der Kreisfrequenzw dererregenden Kraft, ist jedoch gegenüber dieser Zwangskraft um j(w)phasenverschoben. Sowohl diese Phasenverschiebung j als auch dieAmplitudeAderSchwingunghängenvonderErregerfrequenzab.LiegtdieErregerfrequenz weit unterhalb der Resonanzfrequenz, so sind Erreger undSchwingung praktisch in gleicher Phase.Mit zunehmender Erregerfrequenzeilt der Erreger der Schwingung immer mehr voraus. Bei derResonanzfrequenzbestehtgeradeeinePhasenverschiebungvon90°.FürsehrhoheFrequenzenbewegensichErregerundSchwingergegenphasig.

VariiertmandieFrequenz f=w/2πdererregendenKraft,sobeobach tetman,dassdieAmplitudederSchwingunginderNähederEigenfrequenzf0=w0/2πdes erregtenSystems steil ansteigt.Es liegtResonanz vor.ManbezeichneteinsolchesSystemalsResonator.

(2.13)

TrägtmanineinemDiagrammdieAmplitudeA(w)inAbhängigkeitvonderErregerkreisfrequenzwauf,soerhältmanfürverschiedeneDämpfungendieinobigerAbbildungdargestelltenResonanzkurven.OhneDämpfungliegtdasResonanzmaximum bei der Eigenkreisfrequenz w0 des Systems. DieResonanzamplitudegehtindiesemIdealfallgegenunendlich.

JestärkerdieDämpfungist,umsoflacherwirddieResonanzkurveundumsoweiterverschiebt sichdieResonanzfrequenzzukleinerenWertenhin (sieheobigeAbbildung).

Esgilt:

Die Resonanz spielt in der Technik und im Alltag eine große Rolle. Diemeisten mechanischen Gebilde sind schwingungsfähig und können durchäußereregelmäßigeKräfteangeregtwerden.DabeiweistjedesSystem,jederKörperbevorzugteFrequenzen,diesog.Eigenfrequenzenauf.DiesehängenvonderForm,derMasse,derElastizitätundderinnerenStrukturdesKörpersab.

Komplexe Systeme wie Brücken, Maschinen, Flugzeuge, Radioempfängerund organische Zellen zeigen nicht nur eine Eigenfrequenz, sondern eineVielzahl. Bei der Konstruktion mechanischer Strukturen müssen derenEigenfrequenzensorgfältigbeachtetwerden.IsteineBrückeoderTragflächenicht entsprechend entworfen, so kann z.B. der Wind Schwingungen imBereich der Eigenfrequenzen anregen. Die Struktur gerät in Resonanz undkatastrophale Schwingungsweiten (Amplituden), die z.B. zum Bruch einerBrückeführenkönnen,sinddieFolge.

BeispielEinAutobesitzteineEigenfrequenzvon2Hz.EsfährtaufeineraltenAutobahn, die im Abstand von 15 m tiefe Querfugen hat. Bei jederQuerfugeerhältdasAutoeinenStoß.EntsprichtderzeitlicheAbstandzwischenzweiStößengeradederPeriodendauerT=1/fdesAutos,soliegt Resonanz vor. Die Stoßdämpfer werden dann besonders bean ‐sprucht.

Diespassiert,wennfürdieGeschwindigkeitvdesAutosgilt:

2.2Versuchsaufbau

DasimPraktikumsversuchverwendetePendelbestehtauseinemGleiter,derdurchzweiSchraubenfedernaneineRuhelagegebundenist(vgl.Abbildungunten). Zur Vermeidung der Reibung befindet sich der Gleiter auf einerLuftkissenbahn.

Eine geschwindigkeitsproportionaleDämpfung (sieheGleichung (2.8))wirddurch eineWirbelstrombremse erreicht.DieWirbelstrombremsewird durchPermanentmagnete realisiert, die so an den Seiten des Gleiters angebrachtsind, dass ihr Magnetfeld die Luftkissenschiene senkrecht durchsetzt. UmverschiedeneDämpfungenzuerreichen,kanndieAnzahlderMagnetpaare(jeeinMagnet rechts und links amGleiter) von 1 bis 7 Paaren bzw. 2 bis 14Magnetenvariiertwerden.Dabeiistzubeachten,dassnichtaufdemGleiterangebrachte Magnete durch gleich schwere Messingstücke ersetzt werden,damitdieMassemdesGleitersbeijederDämpfunggleichbleibt.

Die Amplitude A der Schwingungen kann mithilfe eines angeklebtenMaßbandsdirektanderLuftkissenbahnabgelesenwerden.

ZurMessungderPeriodendauerT(=2π/w)derSchwingungdienteine

Doppel-Lichtschranke,die sich inderRuhelagedesGleitersbefindet (solltedies nicht der Fall sein, bitte nachjustieren!). Sie gibt ein Signal,wenn derGleitervonlinksnachrechtsdurchläuft,alsonachjederSchwingungsperiode.Die elektronische Stoppuhr, die durch ein Signal dieser Lichtschrankeausgelesen und sofort wieder neu gestartet wird befindet sich in einemspeziellfürdiesenVersuchausgestattetenBetriebsgerät,dessenFrontplattein

RE

obiger Abbildung dargestellt ist. Die gemessene Schwingungsdauer T desGleiterswirdaufdermittlerenAnzeigedesBetriebsgerätesangezeigt.

Zur Realisation der erzwungenen Schwingung lässt sich an der Ver‐suchsapparatureinMotorzuschalten,derübereinenExzentermitdemEndedereinenFederverbundenistundsomitdasSystemzumSchwingenanregenkann. Die Elektronik zur Ansteuerung des Motors befindet sich imBetriebsgerät.DerMotorwirdmitdenTasten(I)anundausgeschaltet.BeimAusschalten bleibt der Exzenter in seiner Null-Position stehen, damit dieRuhelage des Gleiters bei der Untersuchung der freien, gedämpftenSchwingungen (ohne Motor) an derselben Stelle liegt wie bei derUntersuchungdererzwungenenSchwingungen(mitMotor).

DielinkeAnzeigeamBetriebsgerätzeigtdiePeriodendauerTMotor(ins)

deräußerenKraftan.SiekannmitdenvierTasten(II)unterderAnzeigeimBereichvon1sbis4sverändertwerden.DieAnzeigeleuchtetnur,wennderMotor eingeschaltet ist. Schalter (III) ist der Netzschalter, mit dem dasBetriebsgeräteingeschaltetwird.

2.3Messungen

1.FreieSchwingungen

Die ersteMessung beschäftigt sichmit freien Schwingungen verschiedenerDämpfung.

UmdieunterschiedlichenDämpfungenzuerreichen,setztmannacheinanderpMagnetpaare(0,1,3,7)aufdenGleiterauf.Nichtbenötigte

Magnete müssen durch gleich schwere Messingstücke ersetzt werden. Fürjede Anzahl von Magnetpaaren (0,1,3,7) ist nun folgende Messungdurchzuführen:

ManlenktdenGleiter jeweilsca.35bis45cmnachrechtsausderRu‐helageausundbeginntmitdemLoslassendiefreieSchwingung.

Zuerst ist die SchwingungsdauerT (mittlereAnzeige) und damit dieKreisfrequenzwderSchwingungzubestimmen.Nach erneutemAuslenken um ca. 30 cm (dieserWert entspricht derAnfangsamplitude A0 der jeweiligen Schwingung – notieren!) undLoslassendesGleiters sinddie aufeinanderfolgendenAmplitudenA1,A2,…,A10(beigroßempauchweniger)abzulesenundineineTabelleeinzutragen.

Esempfiehltsich,dieMessungbeimaximalerMagnetpaaranzahl(p=7)zubeginnen,undsichschrittweisezukleinererDämpfungvorzuarbeiten,dadieGeschwindigkeit des Gleiters für kleinere Dämpfungen immer höher wird,wasdasAblesenderAmplitudenerschwert!

2.ErzwungeneSchwingungen

Zu messen ist die Amplitude A (w) des Gleiters in Abhängigkeit von derErregerkreisfrequenzwfürdiezweiunterschiedlichenDämpfungenp=1undp=7.

Dabei beginntman ambestenmit demwegen der kürzerenEinschwingzeitweniger problematischen Fall größerer Dämpfung (p = 7). (Bei größererDämpfung klingt die beim Einschwingvorgang noch vorhandene freiegedämpfte Schwingung schneller ab (vgl. Gl. 2.10), der interessierendestationäreZustandwirddemnachschnellererreicht.)

ZumessensindjeweilsdieAmplitudeA(w)fürSchwingungsdauernTzwischen1,6sund4,0s.DabeiistdieSchwingungsdauervon1,6bis2,0sin0,2s–Schritten,von2,0bis3,0s(inderNähederResonanz)in0,1s–Schrittenundab3,0swiederin0,2s–Schrittenzuerhöhen.Nach dem Einstellen der Erregerfrequenz desMotors ist jeweils dasAbklingendesEinschwingvorgangsabzuwarten,bevordieAmplitudeabgelesen wird. (Der stationäre Zustand ist erreicht, wenn linke undmittlereAnzeigedesBetriebsgerätesetwaübereinstimmenbzw.wenndieAmplitudederSchwingungkonstantbleibt).

2.4Auswertung

ZuMessung1:

1.1BerechnenSie für jedeDämpfung(jedesp)ausdenMesswerten fürdieaufeinanderfolgendenAmplitudenA1,A2,…,A10dieGrößenRi=ln(Ai/A0).AufdieseWeiseerhaltenSiefürjedesp10WerteRi(R1,R2,…,R10)dieineinDiagrammalsFunktionvoni(1,2,…,10)einzutragensind.

Für jedesp isteineAusgleichsgeradedurchdieentsprechendenMesspunktezulegen.

NachGl.2.10giltfürdieAmplitudenbeidergedämpftenSchwingung:

Damitergibtsich:

RE

undfolglich

1.2 Anhand der Steigungen der Ausgleichsgeraden und der gemessenenSchwingungsdauernTsinddieAbklingkonstantenß(p)zubestimmen.

1.3TragenSieineinemweiterenDiagrammdieAbklingkonstantenβ(p)überder Anzahl p derMagnetpaare auf. Zeichnen Sie eine Ausgleichsgeradeund ermitteln Sie durch Extrapolation die für kritische Dämpfung(aperiodischer Grenzfall: βkrit2 = w0

2) notwendige Anzahl pkrit vonDämpfungsmagnetpaaren.VerwendenSiealsw0diefürp=0gemesseneKreisfrequenz.

ZuMessung2:

2.1ZeichnensiedieResonanzkurvenA(w)überwfürbeideDämpungeninein Diagramm. Achten Sie hier ganz besonders darauf, den Maßstabgünstigzuwählen,sodassdasganzeBlattausgenutztwird!

2.2BestimmenSiefürbeideDämpfungendieMaximalamplitudeAmaxunddiejeweilige ResonanzfrequenzwResonanz. Vergleichen Sie dieWertemit dentheoretischenÜberlegungen.

2.3 Berechnen Sie für den Fall größerer Dämpfung (p = 7) anhand dergemessenenResonanzfrequenzwResonanzundder inAufgabe1bestimmtenEigenfrequenzw0mithilfevonGl.2.13dieAbklingkonstanteß(p=7)undvergleichen sie diese mit dem aus der freien Schwingung gewonnenenWert.

Übungsaufgaben

1EineMassevon2kgschwingtmiteinerFrequenzvon1HzaneinerFeder.Welche Schwingungsfrequenz besitzt die Feder, wenn sie mit einerweiterenMassevon3kgbelastetwird?(0,63Hz)

2EinAutovon950kgschwingt leermit einerFrequenzvon1HzaufdenAchsfedern.WelcheSchwingungsfrequenzbesitztdasFahrzeug,wennesmit4Personen(300kg)besetztist,diedieFederngleichmäßigbelasten?(0,87Hz)

3. a) Skizzieren Sie im untenstehenden Diagramm den Verlauf einesAusschnittsderdurch

beschriebenen,ungedämpftenharmonischenWelleamOrtx=0.

b)TragenSiealleAchsenbezeichnungen,dieAmplitudey0unddiePeriodeTein.

c) Skizzieren Sie (farbig oder gestrichelt) den zeitlichen Verlauf derselbenWellebeikleinerDämpfung(β2<w0

2).

SA

3Versuch:Saitenschwingungen3.1Grundlagen

Man stelle sich ein an einerWandbefestigtes langes, gespanntesGum‐mibandvor.Bewegtmandas andere, freieEndedesGummibandespe‐riodischaufundwiederab,soentstehteinesichaufdemBandausbreitendeWelle.

Das Gummiband stellt einen linearen Wellenträger dar, der aus vielenmiteinander gekoppelten schwingungsfähigen Teilchen besteht. Wird dasAbschlussteilchen am einen Ende des Bandes wie gerade beschrieben inSchwingunggebracht,breitetsichdieseSchwingungaufdieNachbarteilchenunddamitaufdasganzeGummibandaus.

Da die Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung steht,entstehteineTransversalwelle.EsgiltdieallgemeineBeziehung:

c=l·f

DieAusbreitungsgeschwindigkeitcderWelleaufdemGummibandistgleichdemProduktausWellenlängelundFrequenzfderWelle.

ReflexionvonWellen

Gelangt eineWelle an ein Ende des Ausbreitungsmediums, kommt es zurReflexionderWelle.

Wir betrachtenwieder das an derWandbefestigteGummiband.Lenktmandieses an seinem losen Ende nur einmal nach oben aus, entsteht eineAusbuchtung,einWellenberg,derüberdasganzeGummibandläuft.AnderWanderfährtdieAusbuchtungeineStörung,sieklapptnachunten:Esfindetein Phasensprung von π statt. Der ankommende Wellenberg läuft alsWellentalzurück(vgl.folgendeAbbildung).

Befindet sichbeinochmaligerVersuchsdurchführungzwischenGummibandundWandeindünnerFaden,sodassdasGummibandauchandiesemEndefrei schwingen kann, findet kein Phasensprung statt. Ein ankommenderWellenbergwirdalsoalsWellenbergreflektiert.

SA

Reflexionamfestenundamlosen(freien)Ende

Beispiel Auch wenn eine Schallwelle senkrecht an einer Mauer reflektiertwird, handelt es sich um eine Reflexion an einem festen Ende.Verallgemeinert lässt sich sagen: Die Reflexion an derWand ist einSonderfall der Reflexion an einem dichteren Medium, undentsprechend ist die Reflexion am losen Ende ein Sonderfall derReflexionaneinemdünnerenMedium.

StehendeWellenNachderReflexionderWellekommteszurÜberlagerungvoneinlau fenderundrücklaufenderWelle.BeiderÜberlagerung(Interferenz)vonWellengiltdas Gesetz der ungestörten Superposition, d.h. die Auslenkungen derEinzelwellen addieren sich zur Gesamtauslenkung. Auf dem Gummibandsieht man nur die aus der Überlagerung resultierende Welle. Im Falle derÜberlagerung einerWelle mit ihrer reflektiertenWelle handelt es sich umeineÜberlagerungvonWellengleicherAmplitudeAundFrequenzf,jedochentgegengesetzterAusbreitungsrichtungc.Man stelle sich ein unendlich langes Seil vor, auf dem von beiden SeitenWellengleicherAmplitudeundFrequenzerzeugtwerden.DieWellenlaufenaufeinander zu und überlagern sich, sobald sie aufeinandertreffen. InfolgenderAbbildungmögediegestricheltgezeichneteWellevon linksnachrechts laufen, die durchgezogene (dünne)Welle von rechts nach links. Diebeiden gezeichnetenWellen zeigen jeweils die Form des Seiles an, die diejeweiligeWellealleindemSeilgebenwürde.

ZurEntstehungstehenderWellen

Beim Vorhandensein beider Wellen erfahren alle Punkte des Seilesgleichzeitig zwei Auslenkungen. Die Abbildung zeigt verschiedeneMomentaufnahmen der so entstehenden Überlagerung der Wellen (starkdurchgezogeneLinie),gekennzeichnetdurchverschiedeneZeitpunktet1bist4.Zum Zeitpunkt t1 überlagern sich die beiden Wellen gerade so, dass einWellenberg (Maximum) der einenWelle auf einWellental (Minimum) derentgegenlaufenden Welle trifft. Die Amplituden sind an jedem Punktentgegengesetztgleichgroßundhebensichfolglichauf.DasSeilwirdnichtausgelenkt.

Zum Zeitpunkt t2 sind beide Wellen um λ/4 (nach rechts bzw. links)weitergewandert. Jetzt treffen geradeWellenberge undWellentäler bei derWellen aufeinander. Die Einzelauslenkungen addieren sich, das Seil wirddoppelt so starkausgelenktwiebeimVorhandenseineiner einzelnenWelle.DiedargestelltenZeitpunktet3undt4liegenwiederjeeineViertelperiodeT/4später(diesentsprichteinemFortschreitenderWellenumλ/4).Manerkenntin der Abbildung, dass es bei dieser Überlagerung von zweigegeneinanderlaufendenWellen Punkte gibt, die dauernd in Ruhe sind, diesog. Schwingungsknoten. Außerhalb der Knoten führt jeder Punkt eineharmonische Schwingungmit einer vomOrt abhängigenAmplitude aus. Inder Mitte zwischen zwei Knoten liegen die Schwingungsbäuche, die mitgrößterAmplitudeschwingen.

DerAbstandzwischenzweiBäuchenbzw.zwischenzweiKnoten istgleicheiner halben Wellenlänge (λ/2), der zwischen einem Knoten und dembenachbartenSchwingungsbauchentsprechendλ/4.

SA

DasowohldiePunkteständigerRuhealsauchdiegrößterBewegungimmerdieselben sind, nennt man dies eine stehende Welle (siehe folgendeAbbildung).

Bei der Reflexion einer Welle an einem festen Ende entsteht an der Re‐flexionsstelle ein Knoten, bei der Reflexion an einem losen (freien) EndebeobachtetmandorteinenSchwingungsbauch.

BeispielEineSchallwelle trifftsenkrechtaufeineWandundwirdreflektiert.An der Wand entsteht ein Schwingungsknoten. Der nächste Bauchbefindetsich8cmvonderWandentfernt.DieWellenlängebeträgt

l/4=8cm=>l=32cm.

Beispiel Eine ebene Welle treffe senkrecht auf eine Wand und werde vondieser reflektiert, so dass sich vor der Wand eine stehende Welleausbildet.

DieAbbildungstelltdenVerlaufdesMomentanwertesderAuslenkungy der Welle in Abhängigkeit von der Zeit t an einem festen Ort(außerhalbeinesWellenknotens)dar.

VergleichvonstehenderundfortschreitenderWelle

Saitenschwingungen

AufeinemanbeidenSeiteneingespanntenSeilodereinerSaitekönnensichnicht stehendeWellen jeder beliebigen Frequenz ausbilden. In diesem FallwirddieWellenämlichvielfachreflektiert,d.h.sieläuftvielfachhinundher.Es addieren sich also sehr viele Wellen, deren Amplituden sich nur inSonderfällennichtvölligauslöschen.

Im Fall fester Enden an beiden Seiten ergeben sich für stehende WellenfolgendeRandbedingungen:

AnbeidenEndenbefindensichSchwingungsknotenDerKnotenabstandbeträgtλ/2

Daraus folgt, dass stehende Wellen immer dann entstehen, wenn dieSaitenlängeLgeradeeinganzzahligesVielfachesderhalbenWellen längeist.Bedingung

fürdasZustandekommenstehenderWellenaufeinereingespanntenSaite:

NächsteAbbildungzeigtBespielefürstehendeWellenaufeinerSaite.

Da man die Saite auch als schwingungsfähigen Körper ansehen kann, dermehrereEigenfrequenzenbesitzt (vgl.Versuch:Resonanz), nenntman diesich auf einer Saite ausbildenden stehenden Wellen auch Ei‐genschwingungen der Saite. Für n = 1 bildet sich dieGrundschwingung(oderauch1.Harmonische)aus.DieFällen=2,3,4,…bezeichnetmanals1., 2., 3., … Oberschwingung (oder als 2., 3., 4., … Harmonische).Zwischen denEnden der Saite befinden sich jeweilsnSchwingungsbäucheundn−1Schwingungsknoten.

Beispiel StehendeWellen können sich auch bei Schallwellen (vgl. VersuchSchallgeschwindigkeit in Gasen) ausbilden. Richtet man einenLautsprecher senkrecht gegen eine Wand aus, so werden dieaustretenden Schallwellen reflektiert. Zwischen Wand undLautsprecher entsteht genau dann eine stehende Welle, wenn der

(3.2)

(3.3)

SA

Abstand Wand-Lautsprecher gerade ein ganzzahliges Vielfaches derhalbenSchallwellenlängeist.IstdieseBedingungerfüllt, sokannman,wennmansichentlangderstehenden Welle bewegt, deutliche Intensitäts unterschiede hören. IndenSchwingungsbäuchenistdieLautstärkeamgrößten,andenStellenderKnotenamniedrigsten.

Mitc=l·fundL=n·l/2bzw.l=n·2L/nergibtsichfürdieFrequenzenderEigenschwingungen:Formel

EigenfrequenzeneinerSaite

c: Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle auf der Saite Da dieEigenfrequenzderGrundschwingung(n=1),diesog.Grundfrequenzf1=c/2Lbeträgt,kannmanauchschreiben:

fn=n·f1BeispielEineSaiteschwingtmiteinerFrequenzvon1500Hzundbildetdabei

3 Schwingungsbäuche aus. Es handelt sich demnach um die 2.Oberschwingung bzw. 3. Harmonische der Saite. Die GrundfrequenzderSaiteergibtsichzu:f1=1500Hz/3=500Hz

WieGl.3.3zeigt,hängendieEigenfrequenzeneinerSaitevonihrerLängeLundderAusbreitungsgeschwindigkeitcderWelleaufderSaiteab.

DieAusbreitungsgeschwindigkeitchängtwiederumvondenfolgendenzweiGrößenab:

1.vonderMassenbelegungμderSaite.

ErweitertmanmitderQuerschnittsflächeAderSaite,soerhältman:

2.vonderKraftF,mitderdieSaitegespanntist.

In unserem Versuch wird die Saite durch ein angehängtes MassestückMgespannt(vgl.nächsteAbbildung),dieSaitenspannungFentsprichtalsoderGewichtskraft,dieaufdieMasseMwirkt:

F=M·gmitderErdbeschleunigungg=9,81m/s2

(3.4)

Beispiel Dass die Saitenspannung Auswirkungen auf die Schwin‐gungsfrequenz einer Saite hat, zeigt sich beim Stimmen vonSaiteninstrumenten. Je mehr eine Geigensaite gespannt wird, umsogrößer wird die Ausbreitungsgeschwindigkeit c von Wellen auf derSaiteunddamiterhöhtsichauchdieSchwingungsfrequenzfderSaite(f=c/l). Der von der Saite ausgehende Ton wird höher (vgl. VersuchSchallgeschwindigkeitinGasen).

Eslässtsichzeigen,dassgilt:Formel

AusbreitungsgeschwindigkeitcderWelleaufderSaite

BeispielEinStrickderLänge5mwiegt10kgundwirdmitderKraft200Ngespannt.EineSeilwelleläuftentlangdesStricks.DieGeschwindigkeitcderWelleberechnetsichzu:

BeispielEinSeilwirdzwischenzweiHakenaneinerWandgespannt,die1,2m voneinander entfernt sind. Das Seil schwingt mit 450 Hz in einerstehendenWelle, die zwei Knoten zwischen den Enden aufweist. Eshandelt sich also um die 2. Oberschwingung bzw. um die 3.Harmonische.

Die Wellenlänge l berechnet sich mit Gl. 3.1 zu 80 cm. Wird dieSaitenspannung vervierfacht, so verdoppelt sich dieAusbreitungsgeschwindigkeit c der Welle auf der Saite . DieFrequenzder3.Harmonischenberechnetsichaufgrundvonf=c/lzu:f=2.450Hz=900Hz.

3.2Versuchsaufbau

Im vorliegenden Versuch werden Eigenschwingungen eines Gummibandesmit Hilfe eines mechanischen Erregers, der im wesentlichen wie einLautsprecherfunktioniert,hervorgerufen.

SchemadesVersuchsaufbaus

Ein Schema des Versuchsaufbaus ist in obiger Abbildung gezeigt. DieSchwingungsfrequenz f wird durch einen Frequenzgenerator erzeugt undangezeigt.Siekannkontinuierlichverändertwerden.ErreichtdieeingestellteErregerfrequenz denWert einer Eigenschwingung fn des Gummibandes, sokommt es zu einer Resonanzerscheinung, d.h. die Amplitude derSaitenschwingungwirddeutlichzunehmen.DurchAbzählenderKnotenkannfestgestelltwerden,welcheOberschwingungangeregtwurde.

Die Saitenspannung F kann durch Auflegen zusätzlicher Gewichtsstü ckevariiertwerden.DieSaitenlängeLwirddurchEinspannendesGummibandesmit einer Klemme festgelegt. Wichtig ist es, die Ein spannklemmen beimAuflegenzusätzlicherGewichtsstückezuöffnen,understdanachwieder zuschließen,sonständertsichdieSaitenspannungnicht!3.3Messungen

1.Manmessebei3verschiedenenSpannungen (MassenM)möglichstvieleEigenschwingungenderSaite.

DieeinzelnenMassestückesindbezeichnet,dieSaitenlängeistaus zumessen.2. Man messe bei einer festen Spannung mit 3 verschiedenen Längen Lmindestens3Eigenschwingungen.

3.4Auswertung

ZuMessung1:

TragenSiediegemessenenEigenfrequenzenfnineinemDiagrammalsFunktion der Nummer n der Eigenschwingung (fn = f(n)) auf undbestimmenSiedieGrundfrequenzen f1fürdiedreiMassenMausderSteigungderAusgleichsgeraden.Bestimmen sie die Ausbreitungsgeschwindigkeiten c für die dreiSpannungenmithilfevonGl.3.2.Bestimmen Sie mithilfe von Gl. 3.4 den Mittelwert derMassenbelegungμdesGummibandes.

ZuMessung2:

Zeigen Sie mit den Ergebnissen der Messung 2, dass dieGrundfrequenzf1umgekehrtproportionalzurSaitenlängeList.

SA

Übungsaufgaben1.EinSeil, das an einemEndemit einerMauer fest verbunden ist,wird inSchwingung versetzt. Der von der Wand aus gesehen zweiteSchwingungsbauch befindet sich 24 cm vom Befestigungspunkt entfernt.WiegroßistdieWellenlängederSchwingung?(32cm)

2. In einem senkrechten Rohr der Länge L = 17 cm bildet sich einestehendeWelleaus.DieSchwingungsforminAbesitzteineFrequenzfundeineWellenlängel.

a)WiegroßistdieWellenlängederinAgezeigtenstehendenWelle?(34cm)

b)WiegroßsindFrequenzundWellenlängederstehendenWelle,dieunterBgezeigtist?(KreuzenSiedierichtigeAntwortan.)

A:1/2f;B:3/2f;C:2f;D:4f

E:L;F:1/2L;G:3L;H:4L

(CE)

3.DieSchwingungeinerGitarrensaiteseiwieuntenskizziertgegeben

a) Welche Schwingungsform (Grund- bzw. wievielte Oberschwingung) istdargestellt?

b) Wenn der Grundton die Frequenz f= 450 Hz besitzt, wie groß ist dieFrequenzderdargestelltenSchwingung?(1800Hz)

4.a)WienenntmanbeieinerstehendenWelledieStellen,dieimmerinRuhebleiben?(Knoten)

b)WiegroßistderPhasensprungeinerSeilwellebeiReflexionamfesten,miteinerWandverbundenenSeilende?(π)

4Versuch:SchallgeschwindigkeitinGasen4.1Grundlagen

CSAuchbeimSchallhandeltessichummechanischeWellen.BeiderAus ‐breitung von Schallwellen, zum Beispiel in Festkörpern, Flüssigkeitenoder Gasen, werden die Materieteilchen in Schwingungen versetzt. DieAusbreitung von Schallwellen kann also nur in einem Medium (Stoff,Materie)erfolgen,nichtaberimmateriefreienRaum(Vakuum).

Beispiel Ein laut rasselnderWecker befindet sich in einem Glasgefäß, dassnachundnachevakuiert(ausgepumpt)wird.NachdemAuspumpenderinderGlockebefindlichenLuftistkeinGeräuschdesWeckersmehrzuhören.

In Gasen und Flüssigkeiten können die Atome oder Moleküle nur Kom‐pression und Expansion weitergeben. Schallwellen können sich deswegendort nur als longitudinale Wellen ausbreiten. In festen Stoffen dagegenkönnensichSchallwellensowohlals longitudinalealsauchalstransversaleWellen fortpflanzen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit derLongitudinalwellenistdabeiimmergrößer,alsdiederTransversalwellenundhängtvomStoffab,indemsichderSchallfortbewegt.

SchallgeschwindigkeitfürverschiedeneStoffeinm/s(bei20°C)

SchallwellenentsprecheneinerelastischenDeformationdesMediums,indemsichdieSchallwellenausbreiten.DerSchallbreitetsichzumBeispielanLuftausgehend von einer Schallquelle (Lautsprecher, Stimmgabel) in Form vonDruck-bzw.DichteschwankungenderLuftaus.EininderVerdichtungsphaseerhöhter Druck wechselt periodisch mit einem verringerten Druck in derVerdünnungsphase ab. Die Druckänderungen der Luft bei derSchallausbreitung können daher durch eine Sinusschwingung dargestelltwerden.

Beispiel Eine Stimmgabel an Luft wird in Schwingung versetzt. DieDruckschwankungen der Luft bei der Schallausbreitung können alsperiodischeVerdichtungenderLuftimAbstandeinerWellenlängeoderals Sinusschwingung dargestellt werden. Die Amplitude derSinusschwingungentsprichtder(subjektiven)LautstärkedesSchalls:

CS

Formel

Schallgeschwindigkeitc

c=l⋅f=l⋅νEinheit:[c]=1m/s

f(oderv):Frequenz,l:Wellenlänge

Beispiel Die Schallgeschwindigkeit beträgt in Luft etwa 300 m/s und inWasser etwa 1500 m/s. Pflanzt sich eine ebene Schallwelle mit derFrequenz500HzinbeidenMedienfort,sogiltfürdieWellenlängeninWasserlWundinLuftlLdasVerhältnislW/lL=5,dadieWellenlängeninWasserbzw.LuftlW=1500ms–1/500s–1=3mundlL=300ms–1/500s–1=0,6mbetragen.

Ähnlich wie die Schwingung eines Federpendels durch die Trägheit derschwingendenMassemunddurchdieelastischenRückstelleigenschaftenderFeder (über die Federkonstante k) charakterisiert wird (vgl. VersuchResonanz), hängt auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer SchallwellevonMaterialkonstantenab.Formel

SchallgeschwindigkeitinGasen

k:Adiabatenkoeffizient(matenalabhängig)

p:Druck

ρ:Dichte

M:MolareMasse

R:Gaskonstante

DieSchallgeschwindigkeitsteigtalsomitabnehmender(molarer)MassedesGasesundgleichzeitignimmtdieFrequenz(Tonhöhe)zu.

Beispiel Ein Proband atmet kurz aus einerDruckflascheHelium.DerKlangseinerStimmeverwandelt sichbeimAusatmenzueinerMicky-Maus-Stimme, da Helium leichter als Luft ist, also eine geringere molareMassehat.DieFrequenzunddamitdieTonhöheist inHeliumgrößeralsinLuft.

Schallwellen können an festen Hindernissen reflektiert werden, und anKantenBeugung(vgl.Wellenoptik)erfahren.

BeispielEinEchoimGebirgeoderinHöhlenodergroßen,leerenRäumenistein Beispiel für die Reflexion des Schalls an Hindernissen. EinZuhörer,dernebenderTürvoreinemZimmersteht, indemsicheineSchallquelle befindet, hört den Schall, obwohl er keine direkteräumliche Verbindung zur Schallquelle hat. Der Schall wird an derTüröffnunggebeugt,sodassdieSchallwellenauchdenBereichaußer‐halbdesZimmerserreichen.DieAmplitudeunddamitdieLautstärkenimmt aber aufgrund der Beugung mit zunehmender seitlicherEntfernungvonderTüröffnungschnellab.

InterferenzvonSchallwellen

WerdenSchallwellenvonzweiverschiedenenQuellenausgesandt,überlagernsich die Wellen, sofern die Wellen die gleiche Frequenz und Amplitudebesitzen. Diese Überlagerung bezeichnet man als Interferenz (vgl. Kap.Wellenoptik).AnbestimmtenStellenderüberlagertenSchallwellekommteszurAuslöschungoderVerstärkungderursprünglichenSchallwellen.Beispiel Die beiden Lautsprecher einer herkömmlichen Stereoanlage (ohne

Surround-Effekt)werdenindieEckeneinesgrößerenRaumesgestellt.Auf beide Boxen wird der gleiche Ton mit konstanter Tonhöhe(Frequenz)gegeben.WennmansichlängsderVerbindungsliniebeiderLautsprecherbewegt,hörtmanjenachPositionundEntfernungzudenBoxendenTonlauteroderleiser.

Die Stellen im Raum, an denen Auslöschung (Schwächung) oder Addition(Verstärkung)derbeidenSchallwelleneintritt,istdurchdenWeg unterschiedderWellenvonderQuellezumHörerbestimmt.DieStellenderSchwächungoder gar Auslöschung des Schalls ergeben sich im Raum aus den KurvengleicherAbständezudenQuellen(Kegelschnitte).DerWegunterschiedoderGangunterschiedmusszurAuslöschungeinungeradzahligesVielfachesderhalben Wellenlänge betragen. Verstärkung des Schalls tritt auf, wenn derGangunterschiedeinVielfachesderWellenlängebeträgt.Bedingung

CS

Auslöschung des Schalls bei Überlagerung zweier SchallwellenmitgleicherFrequenzundAmplitude

Gangunterschied:Bedingung

Verstärkung des Schalls bei Überlagerung zweier SchallwellenmitgleicherFrequenzundAmplitude

Gangunterschied:n·lmitn=0,1,2,…

Schwebung

SinddieAmplitudenderSchallwellenzwargleich,dieFrequenzenabergeringfügig verschieden, überlagern sich die Schallwellen zur sog.Schwebung. Die Amplitude der resultierenden Schwebungs-Welle nimmtperiodischzuundab.DiemaximaleAmplitudederSchwebungistdoppeltsogroß wie die Amplitude der Einzelwellen. Die Frequenz der SchwebungentsprichtgeradederDifferenzderFrequenzenderEinzelwellen.

Beispiel Schwebungen treten beim Stimmen von verschiedenenMusikinstrumentenauf(zumBeispielvonStreichernimOrchester)undlassensichbesondersguthören,wenndieeinzelnenInstrumenteindergleichen Tonhöhe (Stimmlage) nur noch einen geringenFrequenzunterschiedaufweisen.

Werden mehr als zwei harmonische Schallwellen mit unterschiedlicherFrequenz, Amplitude und Phase überlagert, ergeben sich komplizierterezeitliche Verlaufsformen der überlagerten Schallwelle, die teilweise einenicht-harmonischeVerlaufsformbesitzenkönnen(Zick-Zack-Welle).

Jeder beliebiger periodisch ablaufender Verlauf kann also als KombinationvonharmonischenAnteilendargestelltwerden:

CS

Diese Beobachtung wird in der Fourieranalyse ausgenützt, indemnichtharmonische(aberperiodische)VorgängeindieeinzelnenharmonischenAnteile zerlegt werden. Im folgenden ist ein nicht-harmonischer Vorgang(Abb.rechts)invierharmonischeAnteile(Abb.links)zerlegt.

BeispielDieFourieranalysewirdtechnischdazueingesetzt,eingleichmäßigesakustisches oder elektronisches Störsignal in einem Ton oder einemelektromagnetischen Signal zu bestimmen und diese Komponentedurch eine Fourier-Filterung zu entfernen. Danach werden dieeinzelnen, harmo nischen Anteile des Signals wieder zumursprünglichen Signal überlagert, das jetzt jedoch rausch- oderstörungsfreiist.

StehendeSchallwellen

Ein wichtiger Fall der Überlagerung zweier Schwingungen ist das Zu‐sammentreffen zweier Wellen gleicher Frequenz, Amplitude und entge‐gengesetzter Ausbreitungsrichtung. Eine solche Situation ergibt sich zumBeispiel, wenn eineWelle an einerWand reflektiert wird.Man beobachtetdann eine Überlagerung (Interferenz) beider entgegenlaufender Wellen zueiner stehenden Welle (vgl. Versuch Saitenschwingungen). In dieserstehenden Welle ist die Anordnung der Bereiche mit maximalerSchwingungsamplitude (Schwingungs-Bäuche) und mit minimalerAmplitude(Schwingungs-Knoten) imRaumfestvorgegeben.WellenknotenundWellenbäuchewechselneinanderimgleichenAbstandperiodischab.

Der räumliche Abstand zwischen zwei Knoten bzw. zwei Bäuchen in derstehenden Welle beträgt eine halbe Wellenlänge, also l/2. Der AbstandzwischenKnotenundBäuchenbeträgtl/4.

AndenKnotenderstehendenWellehabeneinlaufendeundreflektierte(oderzurücklaufende)WelledieentgegengesetztePhase.AndiesenStellenkommtesdaherzurAuslöschungderWellen,sodassandenKnotendieAmplitude

derstehendenWelleimmernullist.AußerhalbderKnotenführtjederPunkteineharmonischeSchwingungmiteinervomOrtabhängigenAmplitudeaus.Die Bäuche der stehendenWelle entstehen dort, wo die ankommende undreflektierte Welle die gleiche Phase haben und sich maximal verstärken.DeshalbbesitzendieBäuchediegrößteAmplitude.

Jenachdem,obdiestehendeWelledurchReflexionaneinemHindernis(amfesten Ende) oder Überlagerung zweier entgegenlaufender Wellen (offenesod. freies Ende) zustande kommt, befindet sich am Rand der stehendenWelleneinWellenknotenod

Befindet sich eine Luftsäule in einem beidseitig verschlossenen Rohr derfesten Länge L, können (zum Beispiel durch einen Lautsprecher am einenEndedesRohres)stehendeSchallwellenangeregtwerden.DieverschiedenenSchwingungszustände der Luftsäule werden genau dann durch dieeingestrahlte Frequenz f angeregt, wenn die Rohrlänge ein gradzahligesVielfaches der halben Wellenlänge ist (Herleitung: VersuchSaitenschwingungen).Bedingung

Ausbildung einer stehenden Schallwelle erfolgt, wenn in einembeidseitiggeschlossenenRohr

erfüllt ist. Dabei ist L die Rohrlänge und l die Wellenlänge derSchallwelle

Beispiel In Orgelpfeifen bilden sich longitudinale Schwingungen derLuftsäule in der Pfeife aus. Die Anregung der Schallwellen erfolgtdurchdasAnblasenderseitlichamRohrangebrachtenPfeifenlippe.Jenachdem, ob beide Pfeifenenden geschlossen (gedackte Pfeife) oderein Ende offen ist (offene Pfeife) entstehen räumlich verschiedene

CS

Schwingungszustände der stehendenWelle in der Pfeife. Druck- undBewegungsamplitude verhalten sich dabei genau umgekehrt: In dereinseitig offenen Pfeife befindet sich am geschlossenen Ende einSchwingungsknoten. Jedoch ändert sich der Druck an dieser Stellemaximal,dadieLuftmoleküleständigaufdasEndezuundwiedervonihmweg schwingen.AmgeschlossenenEnde der Pfeife entsteht alsoeinDruckbauch,währendamoffenenEndeeinDruckaus gleichmitderUmgebung stattfinden kann, der Druck folglich immer gleich bleibt(Druckknoten). Die gedackte Pfeife weist an beiden (geschlossenen)EndeneinenSchwingungsknoten(Druckbauch)auf.

BeispielEineSchallwellemiteinerWellenlängevon0,4m trifft anLuftsenkrechtaufeineWandundwirdreflektiert.AnderWandentstehtalsoein(Druck-)Bauch.DernächsteDruckbauchderstehendenWelleistl/2=0,4m/2=20cmvonderWandentfernt.

Beispiel In einer einfachen Anordnung, dem Kundtschen3 Rohr, könnenSchallwellen an Luft sichtbar gemacht werden. In einem langen,horizontalen Glasrohr ist eine Luftsäule durch einen Korken auf dereinen Seite und einen beweglichen Stempel auf der andereneingeschlossen. An dem Stempel ist ein Stab befestigt, der festaußerhalb des Rohres eingeklemmt ist. Durch Reiben des Stabeswerden longitudinale Schwingungen angeregt, die der Stab auf dieLuftsäule im Rohr überträgt. Im Rohr bildet sich eine stehendenSchallwelle aus. Um die Knoten und Bäuche der stehenden Wellesichtbarzumachen,befindetsichamBodendesRohrsKorkstaub.Derleichte Korkstaub ordnet sich zu Kundtschen Staubfiguren an, ausdenendieSchallgeschwindigkeitimStabmaterialcStabberechnetwerdenkann.Für dieWellenlängeder longitudinalenSchwingungdesStabesgilt λStab = 2L, da sich an der Einspannstelle des Stabes einSchwingungsknoten befindet. Die Schallgeschwindigkeit im StabbeträgtcStab=cLuft·2L/λLuft,wennLdieLängedesStabesist.

Doppler-Effekt4

BislanghabenwirdenUrsprungsortdesSchallsalsfestimRaumbefindlicheSchallquelleangenommen.DervonderQuelleentferntstehendeBeobachterhört denSchall dannmit dergleichenFrequenz,mit derdieSchallwelle ander Quelle schwingt. Ist die Schallquelle dagegen in Bewegung, ist die

FrequenzbeimBetrachter(Zuhörer)höherodertiefer,jenachdeminwelcheRichtungsichdieQuellerelativzumZuhö rerbewegt.Die Veränderung der Frequenz von Wellen durch eine Relativbewegungzwischen der Quelle und dem Empfänger bezeichnet man als Doppler-Effekt.IstdieQuelleinRuhe,breitensichdieWellenmitderWellen längelQundderFrequenzfQgleichmäßiginalleRichtungenmitder

Geschwindigkeit c aus. Die Position des Empfängers spielt keine Rolle;FrequenzundWellenlängesindanjedemOrtgleich.BewegtsichdieQuellejedoch mit einer konstanten Geschwindigkeit v auf den Emp fänger zu, soerreichen ihn in der gleichen Zeiteinheit mehr Wellenzüge, als bei derruhendenQuelle.DieFrequenzistamOrtdesEmpfängersnunhöheralsander Quelle. Umgekehrt kommen beim Empfänger weniger Wellenzüge an,wenn sich die Quelle von ihm entfernt. Die Frequenz ist in diesem Fallniedriger,alsanderQuelle.

CS

Formel

Doppler-Effekt

ruhendeQuelle:QsendetWelleausmitWellenlängelQ,FrequenzfQ

Empfänger(inRuhe):E

empfängtWellemit

WellenlängelE=λQundFrequenzfE=fQ.

bewegteQuelle:Q

mitGeschwindigkeitv

sendetWelleausmitWellenlängelQ,FrequenzfQEmpfänger(inRuhe):

Beispiel Ein Feuerwehrwagen mit eingeschaltetem Martinshorn kommt aufeinerStraßedemZuhörerentgegenundpassiertdieStelle, anderderZuhörer steht mit großer Geschwin digkeit. Danach entfernt sich derWagen von diesem Punkt. Der Zuhörer empfindet den Ton beimEntgegenkommen höher, mit wachsendem Abstand des Fahrzeugstiefer. Die Frequenz des akustischen Signals ist also beim AnnähernhöheralsbeimEntfernendesFahrzeugs.

Beispiel Mit Hilfe des Doppler-Effektes kann die Blutgeschwin digkeitgemessen werden. Durch das Gewebe wird eine eng gebündelte

Ultraschallwelle inRichtungdesBlutgefäßes entsandt.DasdurchdasGefäßströmendeBlutreflek tiertdieWellen(Echo)undverursachteineDopplerverschiebung. Dagegen zeigen alle Schall-Reflexionen desumgebenden (ruhenden) Gewebes keine Änderung der Ur‐sprungsfrequenz. Mit dieser Methode können selbst geringeStrömungsgeschwindigkeitenvonweniger als1m/sbestimmtwerden(z.B.Arm-Arterie).

Beispiel ImWeltallführtderDoppler-Effektaufgrundder(Weg-)Bewegungder Sterne und Galaxien relativ zu der Erde zu einerFrequenzverschiebung des ausgesandten Lichts. Dieser Effekt heißtaufgrundderVerschiebungdessichtbaren(weißen)LichtszugrößerenWellenlängen„Rotverschiebung“.AusderRotverschiebungkanneineGeschwindigkeitderRelativbewegungderSternezurErdevonbiszu90%derLichtgeschwindigkeitfürsehrweitentfernteSternsystemeamRanddesWeltallsberechnetwerden.

Beispiel Bei der Radarkontrolle von Verkehrssündern wird dieRelativgeschwindigkeit zwischen dem Sender und dem FahrzeuganhandderFrequenzverschiebungdurchdenDoppler-Effektbestimmt.Der Sender verwendet elektromagnetischeWellen undwird daher als„Doppler-Radar“bezeichnet.

4.2Versuchsaufbau

Ziel des Versuches ist es, die Schallgeschwindigkeit in Luft und in Koh ‐lendioxid(CO2)zubestimmen.

DemVersuchliegtdasfolgendeeinfachePrinzipzugrunde:EinSchallimpuls,der eine Laufstrecke s zurücklegt, benötigt dazu die Laufzeit t.Misst manStreckeundZeit, soergibt ihrVerhältnisc=s/tdieSchallgeschwindigkeit.DienächsteAbbildungzeigtdasSchemadesVersuchsaufbaus.DieLaufstreckesderSchallwellebefindetsichineinemHolzkasten.AnderSchmalseitediesesKastensbefindetsicheinLautsprecherundeinMikrofon.DiegegenüberliegendeSeitebestehtauseinemverschiebbarenStempel.

Der Lautsprecher ist mit einem elektrischen Impulsgeber verbunden, dereinen elektrischen Impuls erzeugt.Dieser Impulswird anderMembrandes

CS

Lautsprechers in einen Schallimpuls umgewandelt. Der Schallimpuls läuftzumStempel,wirddortreflektiertundgelangtsozurückzumMikrofon.Diezurückgelegte Strecke s kann also durchVerschieben des Stempels variiertwerden.

Die Zeit t, die der Schallimpuls für die Strecke Lautsprecher–Stempel–Mikrofon benötigt, wird mit Hilfe eines Oszilloskops gemessen. DasOszilloskop wird dazu extern getriggert (vgl. Anleitung zum Oszilloskop).Als Triggerimpuls dient der Impuls des Impulsgebers, der auch denSchallimpulsimLautsprechererzeugt.Soerreichtman,dassgleichzeitigmitdem Schallimpuls die Horizontalablenkung des Elektronenstrahls imOszilloskopgestartetwird.

DieSpannungamMikrofonwirdandievertikalenAblenkplatten (CH.IVERT. INP.) desOszilloskops gelegt. Sobald der reflektierte Schallim‐puls im Mikrofon eintrifft, wird auf dem Schirm des Oszilloskops einevertikale Ablenkung des Elektronenstrahls sichtbar. Die Laufzeit t desSchallimpulseslässtsichdamitdirektaufdemSchirmablesen.

4.3DurchführungdesVersuchs

1. Machen Sie sich mit der Funktionsweise des Oszilloskops und derBedienungdesGerätsvertraut.

2.BetrachtenSiedenelektrischenImpulsdirekt,indemSiedenAus gangdesImpulsgebersmitdem(vertikalen)EingangdesOszilloskops(CH.IVERT.INP.)verbinden.BestimmenSieDauerundHöhe(Spannung)desImpulses.

3. Bauen Sie den Versuchsaufbau wie oben beschrieben vollständig auf.BetrachtenSiedasBildaufdemOszilloskopeinmalmitundeinmalohneeingesetzten Stempel. Welche Impulsgruppe stammt vom reflektiertenSchallimpuls? Die erste vertikale Ablenkung, die bei entferntem Stempelnichtmehr zu sehen ist, soll in den nachfolgendenMessungen verwendetwerden.WiegenauistderZeitnullpunktfestgelegt?

4.BestimmenSiebei5verschiedenenStempelpositionen

a) die Position des Stempels imKasten und daraus denWeg sdes Schalls(Stempeldickeberücksichtigen!)

b)dieLaufzeittdesSchalls.

5.WiederholenSiedieMessungzurBestimmungderSchallgeschwindigkeitin Kohlendioxid. Schieben Sie dazu zunächst den Stempel soweit wiemöglichindenKastenundziehenSiewährenddesEin-strömensdesGases

den Stempel langsam zurück. (Achtung:Druck flasche mit KohlendioxiddarfnurvomAssistentenbedientwerden!)

4.4Auswertung

TragenSiefürbeideMessungen(LuftundCO2)dieWegstreckesdesSchallsgegen die Laufzeit t auf. Legen Sie eine Ausgleichsgerade durch dieMesspunkte.AusderSteigungderGeradenkanndieSchallgeschwindigkeitinLuft(CO2)bestimmtwerden.

Diskutieren Sie, ob die Bestimmung der Wegdifferenzen Δs und derZeitdifferenzenΔt nicht zugenauerenErgebnissen führt.WieunterscheidensichdienachdenbeidenMöglichkeitenberechneteSchallgeschwindigkeiten?

5AkustikTöneundKlänge

Als Töne bezeichnet man Schallwellen, die reine Sinusschwingungen(harmonischeSchwingungen) darstellen.DerTon ist umsohöher, je größerdieFrequenzderSchwingung ist.DieLautstärkewirddurchdieAmplitudederSchwingungbestimmt.

Beispiel Der Kammerton a ist z.B. eine harmonische Schwingung derFrequenz 440 Hz. Eine Tonleiter erhält man, wenn man Töne nacheinem bestimmten Frequenzverhältnis anordnet. Wird die Frequenzeines Tones verdoppelt, so wird dies als Änderung der Tonhöhe umeineOktaveempfunden.

Die mit dem menschlichen Ohr wahrnehmbaren Frequenzen liegen imBereichzwischenetwa16Hzund20kHz.DieseGrenzen,insbesonderedieobere, hängen stark vomAlter ab. So liegt die obereHörgrenze beim 35-jährigenbei 15kHz, beim50–jährigenbei 12kHzund imGreisenalter nurnochbei5kHz.

DerFrequenzbereichunter16HzwirdalsInfraschall,derüber20kHzalsUltraschallbezeichnet.

Beispiel DerMensch kann zwar Frequenzen unter 16Hz nichtmehr hören,jedochkannerdieauftretendenDruckschwankungenspüren,z.B.beimAutofahren mit offenem Fenster. Einige Tiere, z.B. Hunde undFledermäuse, können auch Frequenzen im Ultraschallbereichwahrnehmen. Eine Hundepfeife z.B. erzeugt einen Ton, der für denMenschennichtmehrhörbarist.

Reine Töne können nur elektronisch erzeugt werden. Klassische Musik ‐instrumente erzeugen keine reinen Töne, sondern Klänge, die eineÜberlagerung mehrerer Sinustöne, eines Grundtons und einiger Obertöne,darstellen.Esentsteht insgesamteinperiodischer, imallgemeinenabernichtharmonischer Vorgang beliebiger Form. Jeder beliebige periodischablaufende Verlauf kann also als Kombination von harmonischen Anteilendargestellt werden (Fourieranalyse). Die für jedes MusikinstrumentcharakteristischeKlangfarbewirddurchdasVerhältnisderAmplitudenvonGrund-undObertönenbestimmt.

Geräusche entstehen durch Zusammensetzung von Schwingungen, die ineinem völlig regellosen, nicht harmonischen Frequenzverhältnis zueinanderstehen.

SchallempfindungDie Schallstärke wird beschrieben durch den Schalldruckpegel und dieSchallintensität. Der (Schall-)pegel ist allgemein das logarithmierte Ver‐hältniseiner(Schall-)feldgröße(z.B.Schalldruck)zueinerfestvorgegebenenBezugsgröße (z.B. Hörschwellendruck). Den durch eine Schallschwingunghervorgerufenen Wechseldruck bezeichnet man als Schalldruck. DerSchalldruckentsprichtderAmplitudederDruckschwankung.Definition

Schalldruckp

Einheit:[p]=1Pascal5=1Pa=1N/m2

AmplitudederDruckschwankungeinerSchallwelle

Der Schalldruckpegel bezieht den tatsächlichen Schalldruck (in etwa) aufden Hörschwellendruck. Der Hörschwellendruck (Schwellenschalldruck)entspricht der physiologischen Hörschwelle des Menschen, also demSchalldruck,dergeradenocheineHörempfindungauslöst.DieserWerthängtstarkvonderFrequenzundderPersonab.

Beispiel Der kleinste Schalldruck einer Frequenz von 1000 Hz, den eindurchschnittlicher25-jährigerMenschnochwahrnimmt,beträgt4dB.

Definition

SchalldruckpegelLpLp=20·log(p/p0)

Einheit:[Lp]=Dezibel=dB

p0=2·10–5Pa

Diese Definition ermöglicht die Darstellung des gesamten Hörbereichs inhandhabbarenZahlenwerte(0bis140).DagegenüberdecktdieÄnderungdesSchalldrucksvonderHörschwellebiszurSchmerzgrenzeeinenBereichvon7Zehnerpotenzen.DieDezibel-Skala stellt alsoeineAbstufungdar,diederphysiologischenHörempfindung angepasst ist.DerHörschwelle von 1 kHzentsprichtnachderSkalaeinSchalldruckpegelvon0dB.EineZunahmedesSchalldruckpegels um 1dB bedeutet eine Zunahme des Schalldrucks umungefähr 12%. Als Schmerzgrenze bezeichnet man einen Schalldruck vonum100Pa,derbereitseineSchmerzempfindungauslöst.

Beispiel Die Differenz der Schalldruckpegel zwischen Hör- undSchmerzschwelle ist bei 50 Hz geringer als bei 1000 Hz, da imGegensatzzu1000HzderSchalldruckpegelderHörschwellebei50Hzstark erhöht ist, während sich die Schmerzschwelle weit wenigerändert.

AlsSchallintensitätIwirddieEnergieeinerSchallwellebezeichnet,dieproZeiteinheitaufeinesenkrechteFlächeneinheitauftrifft.DieSchallintensitätistproportional zum Quadrat des Schalldrucks. Der Schall-IntensitätspegelbeziehtdietatsächlicheSchallintensitätaufdieBezugsintensitätI0.Definition

SchallintensitätspegelLILI=10·log(I/I0),[LI]=Dezibel=dB·log(p/p0)

SchallintensitätI=EnergiemengeproZeitundFlächeBezugsintensitätI0=10–16W/cm2=10–12W/m2=1pW/m2

BeispielefürverschiedeneSchallintensitätspegel

SchallintensitätspegelindB Beispiel

0 Hörschwelle

10 Blätterrauschen,Atmen

40 Sprechen(normaleUnterhaltung)

70 starkerVerkehrslärm,Staubsauger

100 SchwerlastzugaufAutobahn

130 StartendesFlugzeug,Sirene

Schmerzschwelle

160 Hörverlust,Hautschädigungmöglich

BeispielEinSchallintensitätspegelvonLI=30dBbedeutet,dassI/I0=103unddamitistdieSchallstärkeI=10–13W/cm2.

Zur Beschreibung der subjektiven Wahrnehmung des Schalls werden dieMaßeinheitenLautstärkeundLautheitverwendet.Definition

Lautstärke,Einheit:Phon

Die Lautstärke eines Tons ist von der Schallintensität abhängig undbeziehtsichimmeraufeinenalsgleichlautempfundenen1-kHz-Ton.Für einen 1-kHz-Ton ist sein Schallintensitätspegel gleich seinerLautstärkeinPhongemessen.

AlleTöne,diegleichlautklingenwieein1-kHz-Tonvon60dBhabeneineLautstärkevon60Phon.DieZahlenwertevonDezibelundPhonstimmennurdannüberein,wenndieSchallfrequenz1kHzbeträgt.

Beispiel Ein durchschnittlicher Mensch empfindet zwei Töne mit denSchallfrequenzen 100Hz und 500Hz als gleich laut,wenn die TönegleichePhon-Werteaufweisen.

Die subjektiv empfundene Stärke des Schalls wird gemessen als Laut‐stärkepegel.EsgiltdasWeber-FechnerscheGesetz,dasdenZusammenhangzwischenLautstärkepegelLNundderSchallstärkeIwiedergibt.Gesetz

Weber-Fechnersche6Gesetz

LN~logI[LN]=Phone

BeispielWächst derLautstärkepegel von 10Phon auf 20Phon, hat sich dieSchallstärkeverzehnfacht.SteigtderLautstärkepegelvon20Phonauf

70Phon,sonimmtdieSchallstärkeumfünfGrößenordnungenzu,alsodenFaktor105.

BeispielZweiPersonen, vondenen jeder allein eineLautstärkevon etwa70Phon erzeugt, unterhalten sich. Beide zusammen ergeben beimGesprächeineLautstärkevon73Phon(nichtetwa140).

Die Lautheit dient als subjektive Größe dem Vergleich gleichzeitigsendender Schallquellen. Zwei Quellen, die mit gleichem Lautstärkepe gelSchall aussenden, führen nicht zu einerVerdoppelung desLautstärkepegelsbeimEmpfänger.DerBegriffderLautheitbeseitigtdiesesProblemderPhon-Skalaund isteindirektesMaßfürdieStärkederHörempfindung.AusdemWeber-FechnerschenGesetz folgt, dass dieLautheit annäherndproportionaldemLogarithmusderSchallstärkeist.Definition

Lautheit

Einheit:Sone1Sone=40Phon(bei1kHz)

log(Lautheit)=0,03(LN–40)

Aus dem Zusammenhang zwischen Lautheit und Lautstärke erkennt man,dasskeinlinearerZusammenhangzwischenbeidenGrößenbesteht.BeileisenLautstärken nimmt das Lautheitsempfinden stärker zu, als bei höherenLautstärken. Einer Änderung des Lautstärkepegels um 10 Phon entsprichteineVerdoppelung(bzw.Halbierung)derLautheit.

BeispielEineSolisterzeugtmiteinemCelloeineLautstärkevon60Phon,was4Soneentspricht.UmdieLautheitzuverdop peln,mussdieLautstärkevon60auf70Phon, alsoum10Phon, erhöhtwerden.Dazubenötigtman 10 Instrumente mit einer Lautstärke von je 60 Phon. Um diedreifache Lautheit zu erzielen, müsste die Lautstärke von 60 auf 74Phonerhöhtwerden.Dafürsind25Cellistennotwendig,da10log25=14Phon.

Zur objektiven Prüfung der Hörfähigkeit dient ein Audiometer. In einerHörverlustdarstellung bezieht man den Hörverlust des Schwerhörigen beijederFrequenzaufdieHörschwelledesNormalhörendenbeidieserFrequenz.Ein Schwerhöriger mit einem Hörverlust von x dB benötigt zurWahrnehmungdesselbenTonesgegenübereinemgesundenMenscheneinenSchalldruckvony.

Beispiel Ein Patient mit einem Hörverlust von 80 dB benötigt zurWahrnehmung des Tones gegenüber einemMenschen mit gesundem

Gehörden10000-fachenSchalldruck.

Übungsaufgaben

1.a)WiegroßistdieWellenlängeeinerebenenSchallwellemitderFrequenz1250HzinWasser?

(Die Schallgeschwindigkeit inWasser beträgt etwa 1500m/s, in Luft etwa330m/sbei0°C)(1,2m)

b)Wiegroß ist dasVerhältnis derWellenlängenderSchallwelle inWasserundLuft,alsolW/lL?(4,55)

2.WiegroßistdieWellenlängeeinerebenenSchallwellemitderFrquenz500HzinWasser?(3m)

3.EineSchallwelle trifft senkrecht auf eineWandundwird reflektiert.DieWellenlänge beträgt 28 cm.Wie weit ist der nächste SchwingungsbauchvonderWandentfernt?(7cm)

4.GebenSiean,inwelchenderfolgendenMedienlongitudinale,transversaleoderbeideArtenvonmechanischenWellenexistierenkönnen.

longitudinal transversal

Luft □ □

Wasser □ □

Stahl □ □

(longitudinal:Luft,Wasser,Stahl;transversal:Stahl)

1BenanntnachdemPhysikerSirIsaacNewton(1643–1727).

2HeinrichRudolfHertz(1857–1894)

3BenanntnachAugustKundt(1839–1894)

4ChristianDoppier(1803–1853)

5BenanntnachBlaisePascal(1623–1662)

6BenanntnachErnstWeber(1795–1878)undGustavFechner(1801–1887).

3Wärmelehre

Temperatur:Einheiten,Skalen,MessungErsterundzweiterHauptsatzderWärmelehre,(Innere)EnergieWärmeleitungSpezifischeWärme,Wärmekapazität,MessungRealeundidealeGase,ZustandsgleichungGasgemische,Partialdruck

1AllgemeineGrundlagen1.1Temperatur

Temperaturskalen

Die Temperatur kennzeichnet den Zustand eines Körpers. Sie ist eineZustandsgröße, die unabhängig von der Masse und stofflichen Zusam‐mensetzungdesKörpersist.

DieEinheitderTemperatur istdasKelvin1 (SI-Basiseinheit).DasKelvin istdieEinheitderthermodynamischenTemperaturskala.Definition

FixpunktderthermodynamischenTemperaturskala

0K(Kelvin)=–273,15°C

istderabsoluteNullpunkt.

DerabsoluteNullpunktistdietheoretischtiefstmöglicheTemperatur,beiderdieMoleküle eine kinetische Energie und damit eine Geschwindigkeit vonnullhätten.

BeispielErreicht einKörperdie tiefstmöglicheTemperatur,den sogenanntenabsoluten Nullpunkt (–273,15 °C = 0 K), so sind die MolekülevollkommeninRuhe.

DieFixpunktederCelsius2-SkalasindderSchmelz-undSiedepunkt reinenWassersbei1013mbar.DieKelvin-unddieCelsius-Skalasindlediglichübereinen konstanten Wert gegeneinander verschoben. TemperaturdifferenzenhabeninbeidenSkalendenselbenZahlenwertwobeizurUmrechnunggilt:0°C=273,15K.

BeispielDieTemperaturdifferenzzweierKörperbeträgt inderCelsius-Skala253°C.DannbeträgtdieTemperaturdifferenzinderKelvin-Skala253

K.

Beispiel Die folgenden Umrechnungen zwischen der Kelvinskala und derCelsiusskalasindzutreffend(gerundetaufganzeZahlen):

–23°C=250K,0°C=273K,+250°C=523K,

–273°C=0K,+23°C=296K,300K=27°C.

InAmerikawirdhäufigdieFahrenheit3-Skala(keineSI-Einheit)verwendet.NullGradCelsiusentspricht32GradFahrenheit.Weitergiltdie

Umrechnungsformel

AufbauderMaterie,AggregatzuständeMaterie,dasheißtfeste,flüssigeodergasförmigeStoffeoderStoffgemische,sind aus Atomen und Molekülen aufgebaut. In festen Stoffen nehmen dieAtome oder Moleküle definierte Plätze ein, die über eine langreichweitigeOrdnungfestgelegtist(z.B.Kristallgitter).DieAtomebzw.Moleküleführenum ihre Gleichgewichtslage Schwingungen aus. Der Abstand zwischenAtomenoderMolekülen ineinemfestenKörper ist imGleichgewichtdurcheinen bestimmtemWert festgelegt. In einem Kristallgitter bestimmt diesenGleichgewichtsabstanddieGitterkonstante.BeispielWichtigeArtenvonKristallensind:Ionenkristalle(Bin dungzwischen

Ionen durch elektrostatische Kräfte: NaCl = Kochsalz, ZnS =Zinkblende),Molekülkristalle(sehrschwachevan-der-Waals-Bindung:H2,DNS-Doppelhelix),

Metallkristalle (dichte Packung von Atomen, deren Valenzelektronen imKristalleinbeweglichesElektronengasbilden).

In Flüssigkeiten besteht keine Fernordnung zwischen den Atomen oderMolekülen, sondern nur eine kurzreichweitige Bindung zum nächstenNachbarn (Nahordnung). Die Flüssigkeitsmoleküle bzw. -atome besitzendaher keinen festen Platz, sondern bewegen sich fortschreitend aufungeordneten Bahnen (Zick-Zack-Bahnen). Diese Art der regellosenBewegungheißtBrownscheBewegung.

Zwischen den Molekülen oder Atomen eines Gases existieren keinenennenswertenKräfte.DieGasteilchenkönnensichfreibewegen.

Die stofflicheForm, in derMaterie vorliegt, heißtAggregat4-Zustand.DieÄnderungen zwischen den Aggregatzuständen werden als Phasen‐umwandlungbezeichnet:

Zum Schmelzen einer Substanz muss Energie in Form von Wärme, derSchmelzwärme zugeführt werden. Beim Erstarren wird diese Energiewiederfreigesetzt.

Die Umwandlungswärme zum Verdampfen einer Flüssigkeit heißtVerdampfungswärme. Beim Kondensieren eines Gases wird die Ver‐dampfungswärme wieder frei. Die beim Kondensieren, Erstarren oderDesublimierenfreiwerdendeWärmebezeichnetmanalslatenteWärme.

Beispiel Beim Schwitzenwird dieHaut befeuchtet, so dassWasser von derHautoberfläche verdunsten kann. Pro Gramm verdampften WasserwerdenderHautfast2256Joule(etwa0,5kcal)entzogen

InwelchemAggregatzustand,fest,flüssigodergasförmig,einStoffvorliegt,hängt vonDruck undTemperatur des Stoffes ab.DieUmwandlungsformenzwischen zwei Aggregatzuständen (z.B. Verdampfen und Kondensieren)laufen gleichzeitig ab, wobei je nach (Dampf)-Druck und Temperatur dieeine Umwandlungsform, z. B. Kondensieren, dominiert: die Substanz wirdflüssig.BeieinembestimmtenDampfdruckverdampftdiegleicheAnzahlanFlüssigkeitsmolekülen,wieGasmolekülekondensieren.DerDampfdruck,beidem sich dieses dynamische Gleichgewicht einstellt, heißtSättigungsdampfdruck.

Der Sättigungsdampfdruck steigt mit zunehmender Temperatur. DerSiedepunktgibtan,woderSättigungsdampfdruckgleichdemäußerenDruckist(inderRegelderLuftdruck).

Beispiel JegeringerderumgebendeLuftdruck ist,destogeringer istdiezumSiedenvonWassererforderlicheTemperatur.WasserkochtimGebirgeschnelleralsaufMeeresniveau.

FüralledreiAggregatzuständelassensichdiePhasenumwandlungenineinemPhasendiagramm in Abhängigkeit des Druckes und der Temperatureinzeichnen.AmTripelpunkt liegenalledreiAggregatzuständedesStoffesimGleichgewichtvor.OberhalbdeskritischenPunkteslässtsichnichtmehrzwischenflüssigundgasförmigunterscheiden.

SättigungsdampfdruckvonWasserPhasendiagramm

BeispielDerTripelpunktvonWasserliegtbeiT=0,01°Cundp=612Pa.DerkritischePunktvonWasserliegtbeiTc=374,25°Cundpc=220,3bar.

AusdehnungfesterKörper

BeiErwärmungeinesfestenKörpersnimmtdieAmplitudederschwingendenAtomeoderMolekülezu,sodassdergegenseitigeAbstandimMittelgrößerwird.DerKörpererfülltdanneinengrößerenRaum,erdehntsichaus.FesteKörperdehnensichinalleRaumrichtungenaus.

BeiErwärmungeinesdünnenStabesauseinemfestenStoff(z.B.Metall)fälltdie Ausdehnung besonders in der Längsachse des Stabes auf. DieLängenausdehnung ist proportional zur Länge des Stabes und derTemperaturänderung.EsgiltdaherdieFormel

LängenänderungΔleinesfestenKörpersderLängel

mitα:Längenausdehnungskoeffizient.

DerLängenausdehnungskoeffizientαbezeichnetdasVerhältnisderrelativenLängenänderungΔl/lzurTemperaturdifferenzΔT.DieLängeeinesumΔTerwärmtenfestenKörperskannberechnetwerdenmitderFormel

Länge l1 eines festenKörpers, dessen ursprünglicheLänge l0betrug,nachErwärmungumΔT:

mitα:Längenausdehnungskoeffizient.

BeispielDieLängenänderungeinerStangeausEisenderLänge250cmbeträgt2,5mmbeieinerErwärmungvon0°Cauf100°C,alsoum100K.

Beispiel Bei Erwärmung von 10 °C auf 40 °C dehnt sich eine Stra‐ßenbahnschienevon30mLängeausum

Δl=30m·1·10–5K–1·30K=9mm.

Beispiel Das Diagramm zeigt die Ausdehnung eines Eisenstabs beiErwärmung.BeiT0=10°CbeträgtdieLängedesStabesl0=2m.Beider Temperatur vonT1 =170 °Cwird eine Länge von l1 =2,002mbestimmt.DerAusdehnungskoeffizient beträgt dann entsprechend derobigenFormel

Bei festen Metallen nehmen Länge und Volumen in der Umgebung derRaumtemperaturjeweilsnäherungsweiselinearmitderTemperaturzu.Die Volumenausdehnung ΔV eines (homogenen und isotropen) Kör ‐pers mit den Kantenlängen x, y, z und dem Volumen V bei einerTemperaturänderung ΔT entspricht einer Längenausdehnung in allendreiRaumrichtungen,also

Formel

VolumenänderungΔVeinesKörpersdesVolumensV

mitα:Längenausdehnungskoeffizientund

κ=3·α:Volumenausdehnungskoeffizient.

Beispiel Ein Quader der Kantenlängen 3 m, 2 m und 4 m wird um 50Kerwärmt.DerlineareAusdehnungskoeffizientdesMaterialsbeträgt1,2·10–5K–1DasVolumendesQuadersnimmtdabeizuum

ΔV=3m·2m·4m·3·1,2·10–5K–1·50K

=0,0432m3.

MitdemVolumenändertsichauchseineDichteρ.Sienimmtab,wenndieTemperaturunddamitdasVolumenzunehmen.Definition

DieDichte ist eine volumenbezogeneGrößeunddefiniert alsMasseproVolumen:

Temperaturmessung

Zur Messung von Temperaturen können alle Eigenschaft von Stoffenausgenützt werden, die sich mit der Temperatur ändern. Häufig wird dieVolumenausdehnung einer Flüssigkeit oder die Längenänderung vonMetallen ausgenützt. Weitere temperaturabhängige Größen sind Viskosität,elektrischerWiderstandvonMetallen,HalbleiternoderElektrolytenunddieDichte.

BeispielBeieinerErwärmungsteigenfolgendeGrößen:

Länge,Volumen,elektrischerWiderstandvonMetallen,ViskositätvonGasen.

BeieinerErwärmungsinkendagegen:

elektrischerWiderstandvonElektrolytlösungen,ViskositätvonFlüssigkeitenunddieDichte.

Jedes Thermometer muss (z.B. über eine Skala) kalibriert sein. DieKalibrierung ordnet der relativen Änderung der temperaturabhängigenMessgrößeeinenabsolutenTemperaturwertzu.

BeimFlüssigkeitsthermometerwird die zunehmendeVolumenaus dehnungeinerFlüssigkeit(Quecksilber,Ethanol,Toluol,Pentan)ineinerKapillaremitsteigenderTemperaturgemessen.DerAnstiegderFlüssigkeitindermiteinerSkalaversehenenKapillaresolltenäherungsweise linearmitderTemperatursein.DerMessbereichistdurchdenSiede-undGefrierpunktderFlüssigkeitbegrenzt (Nachteil). Die Empfindlichkeit des Flüssigkeitsthermometers istumso größer, je dün ner die Kapillare ist, je größer die Menge dereingeschlossenen Flüssigkeit ist und je größer der thermischeAusdehnungskoeffizientderFlüs sigkeitist.BeispielDasFieberthermometeristeinFlüssigkeitsthermometer,beidemdie

Kapillare mit Quecksilber gefüllt ist. Die Dichte von QuecksilbernimmtmitsteigenderTemperaturab,sodassdasvoneinerbestimmtenMenge Quecksilber eingenommene Volumen einer Temperatur(-änderung)entspricht.DasFieberthermometer ist einHöchstwertther‐mometer,daderinderKapillareangezeigtemaximaleTemperaturwertbei Abkühlung nicht wieder abfällt. Durch eine Verengung derKapillare kurz oberhalb des Quecksilber-Reservoirs reißt derQuecksilberfadenbeimAbkühlenanderEngstelleabundmussdurchSchüttelnindasGefäßzurückgebrachtwerden.

Zwei miteinander verbundeneMetallstreifen (z.B. Aluminium und Kupfer)bilden einBimetallthermometer.BeimErwärmen dehnen sich dieMetalleunterschiedlich aus, da sie verschiedene Längenausdehnungs koeffizientenbesitzen.DieErwärmung führt daher zu einerVerbiegung, alsoKrümmungdesStreifens,wobeidieVerbiegungzurSeitedesMetallsmitdemgeringerenthermischenAusdehnungskoeffizient erfolgt.DieGenauigkeit steigtmit derLänge des Bimetallstreifens, so dass oft lange Streifen zu einer Spiraleaufgebogen sind und die Krümmung über einen Zeiger auf einer Skalaabgelesenwird.

Das Prinzip der Widerstandsthermometer beruht auf der temperatur‐abhängigen Änderung des elektrischen Widerstands. Bei Metallen (z.B.Platindraht)nimmtmitsteigenderTemperaturderelektrischeWiderstanddesDrahteszu.BeiHalbleiternnimmtderWiderstandmitsteigenderTemperaturmeist stark ab, weshalb die Änderung besonders gut zu messen ist.Halbleiterwiderstände finden sich als Sensoren in den handelsüblichenelektronischenThermometern.

EinThermoelementbestehtauszweiandenEndenjeweilsfestverbundenen(gelötetenoderverschweißten)MetalldrähtenausunterschiedlichemMaterial.Besteht zwischen den verbundenen Enden ein Temperaturunterschied, bautsich eine Thermospannung auf, die über ein Voltmeter (V) gemessenwerden kann. Ein Vorteil dieser Anord nung liegt darin. dass der AbstandzwischenMessgerätundMessstelleimGegensatzzudenbishergeschildertenThermometern groß sein kann. Ein weiterer Vorteil ist die enorm großeTemperaturspanne,diebeigeeigneterWahlderMetallevonfast0Kbis3000Kreicht.

Beziehung

Seebeck-Effekt

Die Thermospannung Uth eines Thermoelements ist für bestimmteMaterialkombinationen und Temperaturbereiche näherungsweiselinear:

SAB:Seebeck-KoeffizientfürdieMetalleaundb.

DieThermospannungistumsohöher,jegrößerdieTemperaturdifferenzT2–T1zwischendenbeidenEndenist.HältmandieeineKontaktstellebeieinergenau bekannten Temperatur T1, kann die Temperatur T2 der an derMessstelle befindlichen anderen Kontaktstelle bestimmt werden. DieangezeigteThermospannungistfastproportionalzuT2–T1.

Die Vergleichsstelle eines Thermoelements muss also bei einer Tempe‐raturmessungbeieinerkonstanten,definiertenTemperaturgehaltenwerden.

Beispiel Man kann das eine Ende (T1) des Thermoelements in Eis wassertauchen,sodassgenauT1=0°CgiltunddieTher-mospannungsofortindieTemperaturderMessstelle(T2)umgerechnetwerdenkann(wennderSeebeck-Koeffizientbekanntist).

Beispiel Die Vergleichslötstelle eines Fe-Ni-(Eisen-Nickel)-Thermoelements(SFe-Ni = + 35 μV/K) befindet sich in Eiswas ser. Es wird eineThermospannung von 2,8 mV gemessen. Die Temperatur T2 an derMessstellebeträgtdann

T2=2,8mV/35μV=77°C

ThermoelementesindsehrkleinundhabeneinegeringeWärmekapazi tät.SiewerdendaherinderMedizinundTechnikhäufigeingesetzt.

1.2InnereEnergie

BeispielEinKlotz,deraufeinemhorizontalenBrettrutscht,kommtvonganzalleine zum Stillstand. Diese Tatsache scheint demEnergieerhaltungssatz zu widersprechen, der besagt, dass dieGesamtenergieeinesabgeschlossenenSystemsimmerkonstantbleibt.

ImvorliegendenBeispielzeigtsichfolgendeEnergiebilanz:

• Die potentielle Energie des Klotzes (das ist die Energie, die der KlotzaufgrundseinerHöheimSchwerefeldderErdebesitzt)ändertsichnicht,dadas Brett horizontal ausgerichtet ist. Würde der Klotz aufwärts rutschen,würde seine potentielle Energie zunehmen. Die Abnahme derGeschwindigkeit,unddamitderBewegungsenergiedesKlotzeswäredamiterklärbar. Würde es abwärts gehen, so könn te sich die Abnahme derpotentiellen Energie in einer Zunahme der Bewegungsenergie äußern.BeidesisthiernichtderFall.

•Die kinetische EnergiedesKlotzes (die Energie, die er aufgrund seinerBewegung besitzt) geht in obigem Beispiel vollständig verlo ren, da der

Klotz zumStillstandkommt.Aufden erstenBlick ist nicht ersichtlich, inwelcheandereEnergieformsiesichumgewandelthabensoll.

DieeinzigeMöglichkeit,das„Verschwinden“derEnergiezuerklären,istdieVorstellung,dieEnergieindenbeidenbeteiligtenObjekten,imBrettundimKlotz, habe zugenommen. Und man kann tatsächlich eine Veränderung anden beiden Objekten beobachten, die eine Zunahme ihrer sogenannteninnerenEnergieverursachthat:

Als Folge der Reibung werden beide Gegenstände wärmer. Infolge derReibungwirdalsodiekinetischeEnergieininnereEnergieumgewandelt,waseineErwärmungderbeteiligtenObjektebewirkt.

Nach diesem Beispiel kann man also Wärme als eine spezielle Art vonEnergie identifizieren, die anderen Arten von Energie gleichberechtigtgegenübersteht.DaWärmeundArbeiteinanderenergetischäquivalentsind,kann man den allgemeinen Satz von der Erhaltung der Energie auch infolgenderFormaussprechen:Gesetz

ErsterHauptsatzderWärmelehre

Die einem Körper zugeführte Wärmemenge Q muss sich in derZunahmeseiner innerenEnergieΔUund indervon ihmnachaußengeleistetenArbeitWwiederfinden:

Q=ΔU+W

DabeiistdieEinheitderWärmemengeQdieselbewiediederArbeitoderderEnergieganzallgemein,nämlich[Q]=1Joule=1J.

BeispielAlsEinheitwurdefrüherdieKaloriealsdieWärmemengedefiniert,durchdie lgWasservon14,5auf15,5°Cerwärmtwird. (WerdendieWerte der Verbrennungsenergie von Nahrungsmitteln in „Kalorien“angegeben,sosindKilokaloriengemeint.)FürdieUmrechnung inSI-Einheitengilt:1cal=4,1868J.

Auswas „besteht“ nun aber diese Energieform derWärme?Was verändertsichineinemKörperbeiErwärmung?

ZurBeantwortung dieser Fragemussman sich der kinetischen Theorie derMateriebedienen,diedieEigenschaftenvonMateriedurchdieBewegungderTeilchen,ausdersieaufgebautist(MoleküleundAtome),erklärt.DieinnereEnergieeinesKörpersistdanachnichtsanderesalsdieSummedergesamtenkinetischenundpotentiellenEnergieallerMoleküledesKörpers.

SteigtdiemittlereEnergiederMoleküle,bewegensiesichalsoz.B.imMittelschneller, so erhöht sich die Temperatur des Körpers. Dadurch wird auchanschaulich klar, warum sich ein Körper bei Erwärmung aus dehnt: DieMoleküle stoßen mit größerer Geschwindigkeit aufeinander und brauchendadurchmehrPlatz.

Auch dieWärmeleitungvon einemwarmenKörper auf einen kälterenwirddadurchverständlich:DieschnellenMoleküledeswärmerenKörpersstoßenauf die langsam bewegtenMoleküle des kälteren, die sich aufgrund dieserStöße allmählich schneller bewegen. Die schnellen Moleküle verlierendadurcheinenTeil ihrerEnergie.DerwarmeKörperkühltalsoab,währenddie Temperatur des kalten zunimmt, bis beide Körper dieselbe Temperaturaufweisen.

1.3Wärmeübertragung

WärmeenergiekannaufdreiArtenübertragenwerden.DurchWärmeleitung,KonvektionoderWärmestrahlung.

Bei der Wärmeleitung vollzieht sich, wie oben beschrieben, der Ener‐gietransport durch Wechselwirkung zwischen Atomen und Molekülen, dieaberselbstnichttransportiertwerden.Metalleleitenz.B.dieWärmesehrgut,weil die freien Elektronen in ihnen während ihrer Bewegung ständig mitAtomenzusammenstoßen,derenthermischeEnergieaufnehmen,dadurchihreeigene kinetische Energie erhöhen und sie dann durch Stöße mit anderenAtomenwiederabgeben.BeiderWärmeleitungströmtdieWärmeenergienurvonBereichen höhererTemperatur inBereiche niedrigerTemperatur, es istalsoeinTemperaturgefällenotwendig.DieKonvektion ist eineWärmeströmung, bei der dieWärmeübertragungmit einemStofftransport verbunden ist. Sie findet also nur in Flüs sigkeitenund in Gasen statt. Wird die Luft in einem Zimmer an einem Heizkörpererwärmt,sonimmtihrVolumenzuunddadurchihreDichteab.SiewirdalsoleichteralsdiekältereLuft,steigtaufundnimmtdieaufgenommeneWärmemit nach oben. Die Konvektion hängt ab von der Zähigkeit und derspezifischen Wärmekapazität des wärmeübertragenden Stoffes sowie denAbmessungendesRaumesüberdendieWärmetransportiertwird.

BeiderWärmestrahlungemittierenoderabsorbierendieKörperEnergieimForm von elektromagnetischen Wellen (infrarote Strahlung), die sich imRaummitLichtgeschwindigkeitausbreitet(siehe„Optik“).JederKörpermitT > 0 K emittiert und absorbiert Strahlung ohne dass ein Stofftransportstattfindet und unabhängig davon, ob der eineKörper heißer als der andere

ist.BefindetersichinthermischemGleichgewichtmitseinerUmgebung,sosind Emission (Wärmeabgabe) und Absorption (Wärmeaufnahme) imGleichgewicht. Hat er eine höhere Temperatur als seine Umgebung, soemittiertermehr,alserabsorbiert.DadurchkühltersichabunderwärmtdieUmgebung.

BeispielUmbeieinerFlüssigkeitWärmeverlustezuvermeiden,benutztmandoppelwandigeGefäße,derenZwischenraumevakuiert ist,sogenannteDewar5-Gefäße. Beispiele aus dem täglichen Leben sindThermosflaschen, deren Glas innen mit einem Silber- oderKupferspiegelversehenist.DurchdenVakuummantelsindKonvektionundWärmeleitungausgeschaltet,Wärmestrahlungwirddurchdiever‐spiegelten Innenflächen zurückgeworfen. Dadurch ist derWärmeaustauschmit derUmgebungminimiert, sodass sich in einemsolchen Gefäß kalte oder warme Flüssigkeiten lange aufbewahrenlassen.

Beispiel Gase sind schlechte Wärmeleiter. Deshalb verdampft einWassertropfen, der auf eine heiße Herdplatte gelangt, nicht sofort,sondern schwirrt längere Zeit über ihr hin und her. Die im erstenAugenblickderBerührungentstandeneDampfwolkezwischenTropfenund Platte schützt den Tropfen vor unmittelbarer Berührung mit derheißeUnterlageund lässt ihn solange schweben,bis sichderWasser‐dampfverflüchtigthat.

Ein vollständig nach außen abgeschlossener Hohlraum, aus dem nur durcheinekleineÖffnung(Wärme)-Strahlungaustretenkann,wirdalsSchwarzerKörper (Strahler)bezeichnet.DieausdemHohlraumaustretendeStrahlungheißtSchwarzeStrahlung.DieabgegebeneWärmemengesteigtimIdealfallmitderviertenPotenzderTemperatur (inKelvin),dieTemperaturstrahlungeinesSchwarzenKörpersistalsoproportionalzuT4.BeispielBei einerVerdopplungder (absoluten)Temperatur einesSchwarzen

StrahlerssteigtdieabgestrahlteWärmemengeumdenFaktor24=16.

Die Leistung der Temperaturstrahlung eines schwarzen Körpers istproportionalzurFlächedesstrahlendenKörpersAundderviertenPo tenzderTemperatur.EsgiltdasGesetz

Stefan6-Boltzmann7-Gesetz

mitσ:Stefan-Boltzmann-oderStrahlungskonstante

σ=5,670·10–8W/m2·K4

Berücksichtigt man dagegen einen realen strahlenden Körper, muss dasStefan-Boltzmann-Gesetz um den Emissionsgrad bzw. den Absorpti‐onsgradεdesKörpersergänztwerden:

P=σ·ε·A·T4.

Bei jedemKörper istbeigleicherTemperaturundgleicherWellenlängederStrahlung Emissionsgrad und Absorptionsgrad der Strahlungsleis tung Pgleichgroß(KirchhoffschesStrahlungsgesetz).

BeispielInderBiologieoderMedizinwirddiestarkeTemperaturabhängigkeitder Wärmestrahlung zur Lokaldiagnostik aus genutzt. Ein lokalerAnstiegderHaut-Temperaturum0,7°Cverursachtbeispielsweiseeinegut messbare Änderung des Wärmestroms um 1%. LokaleVeränderungen derHaut-Temperatur können daher zurDiagnose vonDurchblutungsstörungen,EntzündungenoderZellanomalienverwendetwerden.

1.4Wärmekapazität

Wenn einem sonst von der Umgebung thermisch isolierten Körper dieWärmemengeQzugeführtwird, so steigt seineTemperatur umΔT an.DasVerhältnisdieserGrößenheißtWärmekapazitätCdesKörpers:

Andererseits gibt also ein heißerKörper dieWärmemengeQ=C ·ΔT ab,wennersichumdenTemperaturunterschiedΔTabkühlt.Mansieht,dassbeiAbkühlung, also ΔT < 0, die Wärmemenge Q negativ (= abgeführteWärmemenge)ist.

Bei einem Körper aus einheitlichem Stoff steigt die Wärmekapazitätproportionalmit derMasse an, d.h. zur gleichenErwärmung der doppeltenStoffmenge wird die doppelte Wärmemenge benötigt. Aus diesem GrundmachtesSinn,dieWärmekapazitätzusätzlichauchnochaufdieMasseeinesKörpers zu beziehen. Das Verhältnis von benötigter WärmemengeQ zumdamiterreichtenTemperaturanstiegΔT einesKörpersderMassemwirdalsdiespezifischeWärmekapazitätcdesKörpersbezeichnet.Definition

SpezifischeWärmekapazität

Einheit:[c]=J/kg·K=J·kg–1·K–1

DiemolareWärmekapazitätistdieWärmemenge,dienotwendigist,umeinMoleinesStoffesum1Kzuerwärmen:Definition

molareWärmekapazität

Cm=c·Molmasse

Einheit:[Cm]=J/mol·K=J·mol–1·K–1

Beispiel Körper hoherWärmekapazität sind guteWärmflaschen, da sie proGradihrerAbkühlungvielWärmefreisetzen.

BeispielDie(inzwischenveraltete)EinheitderKalorieistdefiniertalsdieWärmemenge,die1GrammWasserum1°Cerwärmt.FürdiespezifischeWärmekapazitätvonWasserzu(ManbeachtedieEinheiten!):c=1cal/g·K=4,1868J/g·K=4,1868kJ/kg·K=4186,8J/kg·K.

DieelektrischeLeistungP,dienotwendigist,einegegebeneStoffmengeumeinebestimmteTemperaturinnerhalbeinerbestimmtenZeittzuerhöhen,istgleichderzugeführtenWärmemengeQproZeitt,also

BeispielMiteinemTauchsiederwerden100gWasserin1minum80°Cerwärmt.DieLeistungdesTauchsiedersbeträgtdaherP=4186,8J/kg·K·0,1kg·80K/60s=558W.

BeispielEinWasserbadwirdmiteinemTauchsiedereinerLeistungvon1000W in 10 s um 10 °C erwärmt. Daraus berechnetman dieMasse deserwärmtenWasserszum=P·t/(ΔT·c)=239g.

Mit einer Leistung von 2000 W beträgt nach 2 s die Tem‐peraturerhöhungΔT=2000W·2s/(239g·4186,8J/g·K)=4K=4°C.

Für die spezifische (molare) Wärmekapazität eines Stoffes bei konstantemDruck cp (Cmp) und bei konstantem Volumen cv (CmV) gelten folgendeBeziehungen:

BeiGasen ist stetscp> cv (Cmp >CmV), dasselbegilt fürFlüssigkeiten, diesichbeisteigenderTemperaturausdehnen.

BeiidealenGasengiltCmp=CmV+R,wennRdieallgemeineGaskonstantebezeichnet.Definition

SW

Gaskonstante(allgemeine)

R=8,314J/mol·K

1.5Wärmemischung

Werden zwei oder mehr Körper, unterschiedlicher Temperatur in Wär‐mekontakt zueinander gebracht, erfolgt ein Wärmeaustausch bis dieTemperaturdifferenzzwischendenKörperngleichnullist.DieWärmemengeQ1, die ein heißerer Körper abgibt, wird vom kälteren Körper alsWärmemenge Q2 aufgenommen, bis beide Körper die gleiche Temperaturaufweisen.Esgiltalso

DieMischungstemperaturTmimGleichgewichtberechnetsichnachderFormel

RichmannscheMischungsregel

T1 und T2: Temperaturen der Substanzen mit den spezifischenWärmekapazitätenc1undc2vordemMischen.

Beispiel 4 kgWassermit der Temperatur 298Kwirdmit 2 kgWasser derTemperatur 90 °C gemischt. Die Wärmekapazität des Gefäßes wirdvernachlässigt.DieTemperaturderMischung(6kgWasser)beträgt

Tm=(4kg·298K+2kg·363K)/6kg=320K.

BeispielIneinenthermischisoliertenMischbehälterspeisenzweiZuleitungenWassermit5l/sbei10°Cund2l/sbei20°Cein.DieMischtemperaturimGleichgewichtbeträgtdannTm=12,9°C.

2Versuch:SpezifischeWärmekapazitätvonWasserKenntmandieWärmemengeQ,diebenötigtwird,umWasserderMas semumdenTemperaturunterschiedΔTzuerwärmen,sokannmandiespezifischeWärmekapazitätvonWasserbestimmen.DiessollimPraktikumdurchgeführtwerden:

Eine Wasserprobe befindet sich zur thermischen Isolation in einemDewar-Gefaß. Mittels zweier in Reihe geschalteter Drahtwendeln(PrinzipdesTauchsieders)wirddieTemperaturdesWasserserhöht,wasaneinemThermometer abgelesenwerden kann.Die zugeführteWärmeener gieist durch die der Heizung zugeführten elektrischen Energie gegeben. Sie

berechnet sich folgendermaßen über die Elektrische EnergieW = P · Δt(dabei ist Δt die Zeit, in der die elektrische Leistung p= u Iwirkt,U dieangelegteSpannungundIderdurchdenWiderstandfließendeStrom).In der Heizung wird diese elektrische Energie vollständig in die Wär‐meenergieQumgewandelt:

Diese Energie wäre im Idealfall gleich der vom Wasser aufgenommenenWärmeenergieQ=m·c·ΔT,wobeimdieMassedesaufgeheiztenWassers,c die spezifische Wärmekapazität des Wassers und ΔT die Erhöhung derWassertemperaturbezeichnet.DerVersuchwirdallerdingsdadurchgestört,dassaußerderWasserprobeauchTeiledesGefäßesunddesThermometers,mit dem die Wassertemperatur gemessen wird, und schließlich auch dieHeizung selbst aufgeheizt werden. Die von diesen Komponentenaufgenommene Wärmeenergie steht natürlich nicht zur Erwärmung desWassers zur Verfügung. Sie beträgt QVerlust = K · ΔT, wobei K dieWärmekapazitätdesleerenVersuchsaufbausdarstellt,dieinunseremFall84J/Kbeträgt.

Die elektrisch erzeugte Wärmeenergie wird also einerseits dem Wasser,andererseits den anderen Komponenten des Versuchsaufbaus zugeführt. EsergibtsichfolgendeGleichung:

oder,aufgelöstnachc:

MitdieserGleichungkannnundie spezifischeWärmekapazitätvonWasserexperimentellbestimmtwerden.

2.1Messung

Da die thermische Isolation derWasserprobe imVersuch nicht perfekt ist,mussdiesinderAuswertungberücksichtigtwerden.DasProblemmachtsichdadurch bemerkbar, dass sich das eingefüllte Wasser, dessen Temperaturzunächst unter der Zimmertemperatur liegen wird, schon ehe elektrischgeheiztwird, durch einenZustromvonWärmeausderUmgebung langsamerwärmt. Umgekehrt fließt später, wenn die Was sertemperatur über derZimmertemperaturliegt,WärmeandieUmgebungab.ImVersuchistdieVeränderungderWassertemperaturalsFunktionderZeitin Abständen von einer halben Minute zu vermessen. Um denTemperaturausgleichmitderUmgebungbeiderAuswertungberücksichtigen

SW

zu können,misstman zuBeginn denTemperaturverlauf fünfMinuten langohne zu heizen, dann mit konstanter Heizleistung, bis eine Temperaturzwischen40°Cund50°Cerreichtist,unddanachnocheinmalfünfMinutenlang bei wieder abgeschalteter Heizung. Während der gesamten Messung,also in der Anfangsphase, der Heizphase und der anschließendenAbkühlungsphase muss die Wassertemperatur ohne Unterbrechung inAbständen von einer halbenMinute gemessenwerden.DurchRührenmussdafür gesorgt werden, dass die Temperatur im Wasser überall dieselbe ist(DurchKonvektionwirddieTemperaturanderWasseroberflächehöherseinals weiter unten!) und das Thermometer tatsächlich die mittlereWassertemperaturanzeigt.

Die an der Heizung angelegte Spannung U, sowie der Strom I sind soeinzustellen, dass sieWerte besitzen, die im günstigsten Ablesebereich derbeidenMessinstrumente liegen(U≈7V).Dabei istdaraufzuachten,dassdieeinmaleingestelltenStrom-undSpannungswertekonstantbleiben.Solltensie sich während der Messung um einen kleinen Betrag ändern, so mussnachgeregeltwerden.

BereitenSiedieSchaltungselbständigvor,aberlegenSiedieSpannungerstnachKontrolledurchdenAssistentenan!MessenSiedieWassermenge,etwa200bis250cm3,imMesszylinderab.VergessensiewährenddesHeizensdasUmrührennicht!

NotierenSiesichallezurBerechnungderspezifischenWärmekapazitätvonWassernachobenangegebenerFormelbenötigtenGrößen.

2.2Auswertung

ZurAuswertungträgtmandiegemessenenTemperaturwertealsFunkti‐onderZeitineinDiagramm(aufMillimeterpapier)ein.DurchfolgendesVorgehen bei der Ermittlung des Temperaturunterschieds ΔT aus demDiagramm wird die unvollkommene Isolierung des Wassers von derUmgebung berücksichtigt: Man legt durch die Messwerte der ersten fünfMinuten (Aufwärmphase), sowie durch die Messwerte der letzten fünfMinuten (Abkühlphase) jeweils eine Ausgleichgerade. Die idealeTemperaturerhöhung erhält man als einen Sprung zwischen diesen beidenGeraden. Man wählt die Sprungstelle so, dass die Fläche, die von derAufwärmgeraden, dem gemessenen Temperaturverlauf und der vertikalenSprunggeraden begrenzt wird, und die Fläche, die von der vertikalenSprunggeraden, der Abkühlgeraden und dem Temperaturverlauf begrenztwird,gleichgroßsind.InderAbbildungsinddiesebeidenFlächenausgefülltdargestellt.

Die gesuchte Temperaturerhöhung ΔT = T2–T1 (s. Skizze) entspricht demAbstand der Geradenschnittpunkte. Damit berechne man die spezifischeWärmekapazitätvonWasser.

Übungsaufgaben:

1.WelcheMischungstemperaturstelltsichein,wenn31Wasservon70°Cmit21Wasservon22°CinWärmekontaktgebrachtwerden?(50,8°C)

2.WelcheMischungstemperaturstelltsichein,wenn(ohneWärmeverlust)5kgQuecksilber von 98 °Cmit 1 kgWasser von 12 °C inWärmekontaktgebrachtwerden?EsistcHg=0,139kJ/kg·KundcH20=4,187kJ/kg·K.(24,24°C)

3. In einem thermisch isolierten Gefäß soll 240 g Wasser mit einemTauchsiedervon100WLeistungerwärmtwerden.DieWärmekapazitätdesTauchsiedersseivernachlässigbarklein.WiegroßistderTemperaturanstiegpros?(0,1K/s)

3GaseGasebestehenausMolekülenoderAtomen.EinidealesGasbesitztfolgendeEigenschaften:

DieGasteilchenwerdenalsMassenpunktebetrachtet,daihrVolu menimVerhältniszumgegenseitigenAbstandsehrkleinist.Beim Zusammenstoß zweier Gasteilchen bleiben die kinetischenEnergienundderGesamtimpulserhalten;dasheißtdieTeilchenführenelastischeStößeausDieGasmolekülewerden alswechselwirkungsfreieTeilchen betrach‐tet, sie üben also weder anziehende noch abstoßende Kräfte aufein‐anderaus.

GasefüllenjedenbeliebigenRaumgleichmäßigauf,daGestaltundVolumeneines Gases im Gegensatz zu einem festen Stoff oder einer Flüssigkeitunbestimmtsind.

Beispiel Bei Raumtemperatur nahezu ideale Gase sind Luft, Edelgase undWasserstoff. Dagegen kann man zum Beispiel beim Wasserdampfwegen seiner hohen Kondensierungstemperatur auf eine starkeAnziehungskraftzwischendenWas sermolekülenschließen.

Die Anzahl der Teilchen in einem Mol eines Gas (oder allgemein einesStoffeseinesbestimmtenElementsodereinerVerbindung)istgegebendurchdieAvogadro-Zahl:Definition

Avogadro-Konstante

IneinemGasbewegensichAtomeoderMolekülefreiaufregellosenBahnenim Raum. Es besteht keine Bindung zwischen den freien Teilchen und eswirken keine Kräfte. Die Teilchen bewegen sich mit unterschiedlicherGeschwindigkeit und Richtung durch den Raum. Bei Stö ßen untereinanderoder mit einer den Raum begrenzenden Wand ändert sich der Betrag derGeschwindigkeitunddieRichtung.

Die Häufigkeit aller in einem Gas von Atomen oder Molekülen vor‐kommenden Geschwindigkeiten kann angegeben werden über dieMaxwellsche Geschwindigkeitsverteilung f(v). Diese Geschwindig‐keitsverteilung ist temperaturabhängig und gibt an, wie viele Teilchen ineinem Gas sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit v bewegen. DiemittlereGeschwindigkeitvˉistdas(arithmetische)MittelderAbsolutwertederGeschwindigkeitallerTeilchen.DiehäufigsteGeschwindigkeitvˆ,alsoden Höchstwert der Häufigkeitsverteilung, gibt die wahrscheinlichsteGeschwindigkeit an, die ein Teilchen im Gas bei einer bestimmtenTemperaturTbesitzt.

Beispiel Die mittlere thermische Geschwindigkeit von Molekülen in Luftbeträgtetwa500m/soder1800km/h.

Die mittlere Bewegungsenergie W, also die mittlere thermische (oderkinetische) Energie von Molekülen in einem Gas ist proportional zur

TemperaturdesGases.EsgiltdieFormel

MittlerethermischeEnergieeinesGasteilchens

ineinemidealenGasderTemperaturT.Definition

Boltzmann-Konstante

kB=R/NA=1,3806·10–23J/K

mitR:AllgemeineGaskonstante,NA:Avogadro-Zahl

Beispiel Wird ein ideales Gas von 200 K auf 400 K erwärmt, also dieTemperatur verdoppelt, verdoppelt sich auch diemittlere thermischeEnergiederGasteilchen.DiemittlereGeschwindigkeiterhöhtsichum.

DerDruckpdesGasesistproportionalzurmittlerenkinetischenEnergiederGasteilchen (bei konstantem Volumen). Wenn ein Gasteilchen auf dieGefäßwandprallt,übtesimklassischenSinneeinenKraftstoßaufdieWandaus.Die Summe alleKraftstöße geteilt durch die verstrichene Zeit und dieFläche der Gefäßwand bestimmt den Druck des Gases. Der Druck p istdefiniertalsdieKraftF,dieaufeineFlächeAwirkt.Definition

Druck

8

Zur Messung des Drucks dient ein Manometer. In einem Flüssigkeits-ManometeristeineFlüssigkeit(QuecksilberoderWasser)ineinemU-förmiggebogenen Rohr eingefüllt, das an einem Ende offen ist. Das an dere Endewird mit dem Gasvolumen V verbunden, in dem der Gas-Druck bestimmtwerden soll. Der Höhenunterschied Δh zwischen den Flüssig keitssäulen in

beidenSchenkelndesRohres istproportionalzumDruckunterschiedΔpdes(gesuchten)Gasdrucksp imGefäß und demAußendruckp0, es gilt .Δh~Δp=p−p0Man bezeichnet diesen Druck auch als Schweredruck, weil er durch dieeigeneSchweredesStoffeserzeugtwird.Esgiltp=Δh·ρ·g,wo beiρdieDichtedesStoffsundgdieErdbeschleunigung ist.Erhängtalso linearvonder Höhendifferenz im U-Rohr beziehungsweise von der Eintauchtiefe ineinerFlüssigkeitab.

SchweredruckvonQuecksilberundWasser

Beispiel Auf der Skala eines Quecksilber-Manometers (s. Skizze) wird einHöhenunterschied zwischenbeidenFlüssigkeitssäulenvonΔh=+40mmabgelesen.WennderLuftdruck950mbarbeträgt,istderDruckdesGasesimMessgefäßp=40mm·(1,33mbar/mm)+950mbar=1003mbar.

Beispiel Auf der Skala eines mit Wasser gefüllten Manometers wird einHöhenunterschied von Δh = – 50 cm zwischen beidenFlüssigkeitssäulenabgelesen (d.h.die linkeFlüssigkeits säule stehtum50 cm höher als die rechte). Bei einem Luftdruck von 1013 mbarbeträgt derGasdruckp=–50cm · (0,098mbar/mm)+1013mbar=964mbar.

Beispiel Im Jahre 1896 erfand Scipione Riva-Rocci (1873–1937) das nachihm benannte Blutdruckmessgerät mit Manschette undQuecksilbermanometer. Seither wird der Blutdruck in MillimeterQuecksilbersäuleangegeben.

DurchAufpumpenderArmmanschettemitLuftwirdzunächstderBlutstromdurchdieArterievölligabgedrückt.DerDruckwirdnunverringert,biswieder Blut einströmen kann (systolischer Blutdruck). Bei weiteremVerringernwirdschließlichausdemstoßweiseFließenwiedereinkon‐tinuierlicherBlutstrom(diastolischerBlutdruck)

Eine weitere Möglichkeit der Druckmessung ist imMembranmanometerrealisiert.EineelastischeMembran(odereinStempel)wirdvondemDruckgegeneineFederkrafteingedrückt.JegrößerderDruck,destotieferwirddieMembran eingedrückt. Ein mit derMembran verbundener Zeiger und eineSkalaermöglichendasAblesendesDrucks.

UmgekehrtlässtsichdurchAufbringeneinerKraftFaufeinenStempel,derin ein geschlossenes Gefäß geht und die Fläche A hat, in dem Gefäß einDruck p=F/A erzeugen. Der sogenannte Stempeldruck ist anders als derSchweredrucküberall imGefäßgleichundaddiertsichimganzenVolumenzumSchweredruckhinzu.

Luftdruck

Der Luftdruck ist der Schweredruck der Luftsäule der Atmosphäre übereinemPunkt.MitzunehmenderHöhenimmtderLuftdruckab,dadiedarüberliegendeLuftsäuleeingeringeresGewichthat.DerZusammen hangzwischenLuftdruck p und der Höhe h ist gegeben durch die baro metrischeHöhenformel.Formel

BarometrischeHöhenformel

PNLuftdruckbeiNormalbedingungen

ρ0=1,29kg/m3,DichtederLuftbeiNormalbedingungen

g=ErdbeschleunigungDefinition

Normalbedingungen

Temperatur:TN=273,15K(=0°C)

Druck:pN=0,101325Mpa=101,325kPa

=760Torr=1013,25mbar

Der Luftdruck nimmt also mit zunehmender Höhe exponentiell ab. Ver‐einfachendkannmandieBarometrischeHöhenformeldarstellenals

dasheißt,derLuftdruckistinetwa8kmHöheaufdene-tenTeil(alsoaufdas0,37-fache)desNormaldrucksaufMeeresniveauabgefallen.

Gasgemische

VieleinderNaturvorkommendenGasesetzensichausverschiedenenGasenzusammen, sind also Gasgemische. Den Gasdruck der einzelnen GasebezeichnetmanalsPartialdruck (oderTeildruck). JedeseinzelneGas trägt

zumGesamtdruckdesGasgemisches bei, indem sich diePar tialdrücke zumGesamtdruckaddieren.EsgiltdasGesetz

vonDalton

Ein Gasgemisch aus nGasen mit den Partialdrücken pn besitzt denGesamtdruck

Der Anteil eines Gases an einem Gasgemisch wird in Teilen des Ge‐samtvolumens,alsoVolumenprozent(Vol%)angegeben.

Beispiel (Saubere)Luftstelltnäherungsweiseein idealesGasdarund isteinGasgemisch aus Stickstoff (N2, ca. 78 Vol%), Sauerstoff (O2, 21Vol%),Edelgasen(überwiegendArgon:Ar,1Vol%)undKohlendioxid(CO2zurZeitetwa0,03%).DieseAngabenbeziehensichjeweilsaufgetrocknete Luft. Der Wasserdampfgehalt variiert stark. An einemtrocknenSommertagsindesetwa1%,aneinemschwül-feuchtenetwa2%undaneinemklirrendkalten,trockenenWintertagetwa0,1%.

Beispiel Trockene Luft besitzt einen verschwindend geringen Anteil anWasserdampf.BeieinemGesamtdruckvon1barsindintrockenerLuftdiePartialdrückevonSauerstoff:p02=0,21bar,Stickstoff:pN2=0,78barundAr:pAr:10mbar.

Beispiel In einer Stahldruckflasche befinden sich Sauerstoff mit einemPartialdruckvon20barundStickstoffmit einemPartialdruckvon50bar.DerGesamtdruckdeseingeschlos senenGasgemischesistdannp=20 bar + 50 bar = 70 bar. Wird der Gesamtdruck in derStahldruckflasche nun auf p = 35 bar vermindert, ändern sich diePartialdrückederGase.DaderGesamtdruckhalbiertwurde,berechnetman

fürdiePartialdrückepN2=50bar/2=25barundp02=20bar/2=10bar.

Beispiel Stickstoff und Sauerstoff wurden in einem Verhältnis von 4:1gemischt.DerGesamtdruck desGasgemisches beträgt 900mbar.DiePartialdrückesinddann

pN2=900mbar·4/5=720mbarund

p02=900mbar·1/5=180mbar.

Allgemein werden bei Stoffgemischen die Anteile (oder Konzentratio nen)jeweils in Prozent (Promille usw.) angegeben. Wichtig ist dabei auf dieBezugsgröße zu achten. Dies kann die Gesamtmasse (Massenprozent,Massenkonzentration), das Gesamtvolumen (Volumenprozent) oder dieGesamtanzahlderTeilchen(Stoffmengenkonzentration,meist inMol,gleichderMolarität)sein.

Gasgesetz

Die Zustandsgrößen zur exakten thermodynamischen Beschreibung einesKörperssindTemperatur,DruckundVolumen.

DieZustandsgrößenDruckp,TemperaturTundVolumenVsindbeieinemidealenGas, das ausnMol besteht, verbunden über die ZustandsgleichungderidealenGase.Gesetz

ZustandsgleichungidealerGase

mit R der allgemeinen Gaskonstante (siehe Abschnitt 1.4 in diesemKapitel.)

DieZustandgleichungeinesidealenGasesbeschreibtdasthermody namischeVerhalteneinigerGasegut,stelltabernureineNäherungdar.

BeispielAusderZustandsgleichungkannmandenRaumberechnen,deneinMoleinesGasesbeiNormalbedingungenein nimmt(Normvolumen).DasVolumeneinesidealenGasesbei0°Cund101,3kPabeträgtV=1mol·8,314J/(mol·K)·273,15K/101,3kPa=0,0224m3=22,4Liter.

BeispielUnterNormalbedingungen istdieTeilchenanzahldichte fürbeliebigeidealeGase(bezogenaufeinLiter):

Anders als bei den bisher betrachteten idealen Gasen verhalten sich vieleGase in derNatur, also realeGase, anders als durch dieZustandsgleichungidealerGasebeschrieben.BeirealenGasenmüssendaherfolgendeEinflüsseberücksichtigtwerden:

dasEigenvolumenderGasmoleküleoder-atomedieAnziehungskräftezwischendenGasteilchen

Sokönnenz.B.realeGaseverflüssigtwerden,daAnziehungskräftezwischendenAtomenbzw.Molekülenwirkenund ihreTeilcheneineendlicheGrößehaben.Formel

Van-der-Waals-Gleichung

(ZustandsgleichungrealerGase)

an2/V2 : Binnendruck aufgrund der Anziehungskräfte (Kohäsion)zwischendenGasteilchen

bn:Kovolumen(EigenvolumenderGasteilchen)

In der Van-der-Waals-Gleichung vergrößert sich der Druck gegenüber derZustandsgleichung des idealen Gas durch den Binnendruck. Außerdemverkleinert sich das Volumen, also der dem Gas zur Verfügung stehendeRaum,durchdasEigenvolumen(Kovolumen)derGasmoleküleoder-atome.Zustandsänderungen

Wird in der Zustandsgleichung eines idealen oder realen Gases eine odermehrere Größen verändert, ändert sich der Wert der anderen über dieZustandsgleichung angegebenen thermodynamischen Größen. Wird zumBeispieleinGaserwärmt,dehntessichaus.Dasheißt,durchÄn-

derung der Temperatur des Gases wird eine Zustandsänderung des Drucksund/oderdesVolumensverursacht.

Da in der Zustandsgleichung immer drei Größen, Druck, Temperatur undVolumenalsvariableGrößenenthaltensind, isteszweckmäßig, immereineGröße unverändert, also konstant zu lassen, und sich die Zustandsänderungdes Gases über die beiden anderen Größen zu verdeutlichen. EineZustandsänderungheißt

isotherm,wenndieTemperaturkonstantgehaltenwird,

isobar,wennderDruckkonstantgehaltenwird,

isochor,wenndasVolumenkonstantbleibt,und

adiabatisch,wennkeinWärmeaustauschmitderUmgebungstattfindet.

IsobareZustandsänderung

Wenn der Druck konstant ist, sind Temperatur und Volumen zuein anderproportional. Es ergibt sich der nebenstehend gezeigte Verlauf im (V,T )-

Diagramm. Für höhere Drücke ist die Steigung der Kurve kleiner, als fürniedrigereDrücke.Daswurdeformuliertim

Gesetz

vonGay-Lussac9(1.Gesetz)

T:TemperaturänderungdesidealenGasesinKVo:VolumendesGasesbei0°C

Bei einer isobarenTemperaturerhöhungum1 °C (oder1K)dehnt sichdasGasum1/273desVolumensaus,dasesbei0°Ceinnimmt.LiniengleichenDrucksheißenIsobare.

BeispielEineoffeneStahlflaschevon201FassungsvermögenwirdmiteinemEdelgasgefüllt.WirddasGas(ohne,dasssichderDruckändert)von0°Cauf15°Cerwärmt,entweichen

V=(288K/273K–1)·201=1,11.

IsochoreZustandsänderung

WirddasVolumenkonstantgehalten,sindDruckundTemperaturzueinanderproportional. Es gilt mit V = const. Das nebenstehende (p, T)-DiagrammgibtdieDruck-Tem peratur-AbhängigkeiteinesidealenGasesbeikonstantem Volumen wieder. Die Linien gleichen Volumens heißenIsochore.

BeispielAneinemDruckcontainerimFreien,dermit200barWas serstoffbei20 °C gefülltwurde,wird ein Sicherheitsventil eingestellt, das gegendie Explosion des Gases bei Überhitzung schützen soll. Damit dasVentil bei einer Temperatur von 50 °C anspricht, muss das Ventileingestelltwerdenaufp=323K/293K·200bar=220bar.

IsothermeZustandsänderung

Bei konstanter Temperatur ist das Produkt aus dem Druck p und demVolumenVdeseingeschlossenenGaseskonstant.EsgiltdasGesetz

vonBoyle-Mariotte10

p·V=const

DieZustandsgleichungdesidealenGaseskannumgeformtwerdenzu

IstdieTemperaturkonstant, istdasVolumenVumgekehrtproportio nalzumDruck p. Somit verlaufen die Kurven im (p,V)-Diagramm auf Hyperbeln.DieseHyperbelnheißenIsotherme.

BeispielEinMoleinesGasesnimmtunterNormalbedingungeneinVolumenvon 22,4 Litern ein. Bei einer isothermen Kompression, alsoVerdichtung,desMolvolumensaufeinenLiterbeigleicherTemperaturnimmtderDruckauf22,4atm(1Atmosphäre=0,101325MPa),alsoauf,Normaldruck‘zu.

BeiisothermerExpansioneinesGasesumdasVolumenΔV=(V2–V1)mussamGas die (Ausdehnungs-)Arbeit –ΔW=p ·ΔVverrichtetwerden.Nachdem ersten Hauptsatz geschieht dies über Zufuhr der Wärmemenge ΔQ =ΔW.Anhanddes(p,V)-Diagrammssiehtman,dassbeiderAusdehnungbeikonstanterTemperatur entlang der Isotherme vonV1nachV2derDrucksinkt.

AdiabatischeZustandsänderung

WirdeineZustandsänderunganeinemGasvorgenommen,ohnedassdasGasWärme abgeben oder aufnehmen kann, heißt diese ZustandsänderungadiabatischundesistΔQ=0.EsfindetalsokeinWärmeaus tauschmitderUmgebungdesGasesstatt.BeieineradiabatischenZustandsänderungändernsichalledreiZustandsgrößen(Druck,TemperaturundVolumen)desGases.Bei einer adiabatischen Verdichtung erhöht sich die innere Energie des

Gases um die Kompressions-Arbeit, während Druck und Temperaturzunehmen. Bei einer adiabatischen Ausdehnung eines Gases nimmt dieinnereEnergieabundDruckundTemperatursinken.

UmwandlungvonWärmeinArbeit

HatmanzweiWärmereservoiremitverschienenTemperaturenT1undT2,solässtsichdarausmechanischeArbeitgewinnen.DiesnutztmanzumBeispielbeimVerbrennungsmotor.DiedurchdieVerbrennungstarkerhitztenGaseimZylinderwerdenadiabatischexpandiertund leistenamKolbenmechanischeArbeit.

DiedemwärmerenReservoirentnommeneEnergiekanndabeiprinzipiellnurzum Teil in mechanische Arbeit umgewandelt werden. Für einen solchenProzessgibteseinenmaximalenthermodynamischenWirkungsgradη.Esgilt

DertheoretischerreichbareWirkungsgradistalsoumsogrößer,jegrö ßerdieTemperaturdifferenz istundkannmaximaldenWerteinsannehmen.Habenbeide Reservoire die gleiche Temperatur, so lässt sich keine mechanischeArbeitgewinnen.DiesesPhänomenfindetseinenNiederschlagimGesetz

ZweiterHauptsatzderWärmelehre:

Es ist unmöglich aus einem Wärmereservoir durch Entnahme vonWärmeenergiemechanischeEnergiezugewinnen.

1LordKelvin(gen.W.Thomson1824–1907)

2EingeführtdurchAndersCelsius(1701–1744).

3EingeführtvondemErfinderdesQuecksilberthermometersDanielGabrielFahrenheit(1686–1736).

4vonlat.aggregare:zusammenballen

5BenanntnachseinemErfinderSirJamesDewar(1842–1923).

6JosefStefan(1835–1893)

7LudwigE.Boltzmann(1844–1906)

8BlaisePascal(1623–1662)

9JosephLouisGay-Lussac(1778–1850).

10RobertBoyle(1627–1691)undEdmeMariotte(~1620–1684).

4Elektrizitätslehre1AllgemeineGrundlagen

ElektrischerStrom,elektrischeSpannung,KirchhoffscheGesetzeMessungvonStromundSpannung,MessgeräteElektrischerWiderstand,OhmschesGesetz,SchaltungenElektrischeLadung,elektrischesFeld,Kondensator,KapazitätElektrischeLeistung,ElektrizitätsleitungMagnetischesFeld,Lorentzkraft,MagnetfeldeinerSpule,InduktionLadungsträger,BewegunggeladenerTeilcheninelektromagnetischenFeldern

Die Elektrostatik beschäftigt sich, ähnlich der Statik in der Mechanik, mitKräften. Es wirken Kräfte zwischen (ruhenden) elektrischen Ladungen, dieCoulomb-Kräfte1,diederGravitationskraftinderMechanikentsprechen.

1.1ElektrischeLadung

IndertäglichenAnwendungwirdderStrominmetallischenLeiternerzeugt,geführt und in andere Energieformen verwandelt. Viel einfacher ist dieLadungserzeugung mit Isolatoren: Werden ausgewählte MaterialienmiteinanderinKontaktgebrachtundwiedergetrennt,dannbleibenLadungenan ihrer Oberfläche zurück. Die Ladungen zeigen sich durch ihreKraftwirkung: Haare steigen beimKämmen auf, Papierschnipsel kleben aneinemgeriebenenFüller.AufdieseArtwurdenLadungenschonimAltertumvon Thaies von Milet2 bei Versuchen mit geriebenem Bernstein entdeckt:‚ελεκτρον‘(elektron)istdasgriechischeWortfürBernstein.

BeispielStäbeausPorzellanundHartgummiwerdenamKatzenfellgerieben.BeideziehendanachPapierschnipselan.ÄhnlichesbeobachtetmanmitFüllern, Kugelschreibern, Kämmen, die an Wollpullovern oderkunststoffhaltigen Stoffen gerieben worden sind. Diese Gegenständeüben im ,Normalzustand‘ keinen Einfluss auf Papierschnipsel aus,ziehendiesenachdemReibenaberan.

BeispielEinStab ausHartgummiwird in einerSchlaufe aufgehängt und amKatzenfell gerieben. Man nähert sich einem Ende mit vorhergeriebenenGegenständen:DerHartgummistabstößtab,Glasstabziehtan,dasTuchstößtab.

ManerkenntausdiesenBeispielen:

EsgibtelektrischeLadungen,dievoneinemKörperzumandernübergehenkönnen

ElektrischeLadungensindstetsaneinenstofflichenLadungsträger(Materie)gebunden

Es genügt die Annahme von zwei Ladungsarten: positive und negativeLadungen

ZwischendenLadungenwirkenKräfte

GleichnamigeLadungenstoßensichab,ungleichnamigeziehensichanDefinition

elektrischeLadungQ

Einheit:[Q]=1As=1Amperesekunde=1C(oulomb)

Imunbehandelten(ungeladenen)ZustandsinddieKörperelektrischneutral:Esgibt gleichviele positivewienegativeLadungen.Ladung ist anMateriegebunden: Es gibt elektrisch isolierende Stoffe (Isolatoren), und leitendeMaterialien (Leiter). In Isolatoren bleiben die Ladungen am Ort ihrerEntstehunglokalisiert,inLeiternbreitensiesichgleichmäßigüberdieganzeOberfläche aus. In Leitern sind die Ladungen frei verschiebbar. Guteelektrische Leiter sind Metalle, elektrische Isolatoren bestehen oft ausKunststoffenoderKeramiken.

AlsLadungstrennungbezeichnetman denVorgang, bei dem positive undnegativeelektrischeLadungsträgervoneinandergetrenntwerden.ElektrischeLadungsträger sind Elektronen oder Ionen. Eine Anwendung derLadungstrennung ist ein Bandgenerator. Durch die Berührung einerMetallbürstemiteinemständigumlaufendenGummibandwirddemBandbeiseiner Bewegung Ladung in Form von Elektronen entzogen. Die das BandumgebendeMetallhaube lädt sich positiv auf, die negative Ladungwird aneine Metallkugel abgeführt, die sich negativ auflädt, hier aber nichtgezeichnetist.

Der Übergang elektrischer Ladungsträger (Ionen, Elektronen) zwischenunterschiedlich elektrisch geladenen Objekten bis zum Ausgleich derLadungen heißt Ladungsausgleich. Ein Körper mit einem Überschuss annegativer Ladung gibt Elektronen an einen Körper mit Elektronenmangel(positiveLadung)ab,bisbeideKörperdiegleicheLadung,alsodiegleicheMengeanLadungsträgern,besitzen.

Beispiel Eine Metallkugel ist negativ aufgeladen. Durch Berührung dergeladenen Kugel mit einer zweiten, vorher ungeladenen Metallkugelgeht einTeil derLadung auf die zweiteKugel über.DieLadung derKugeln nach der Berührung ist genau die Hälfte der ursprünglichenLadung.

Beispiel Bei einem Gewitter findet auch ein Ladungsausgleich statt. DurchVerdunstung von Wasser werden dem Erdboden negative Ladungenentzogen, die sich in denWolken sammeln.DurchBlitzschlag findetdannderLadungsausgleichstatt.

Durch denÜbergangvon elektrischenLadungsträgern von einemelektrischgeladenen Körper auf einen oder mehrere andere Körper findet einLadungsübertragstatt.DievorhandeneelektrischeLadungwirdaufalleamLadungsübertrag beteiligten Körper aufgeteilt. Die Aufteilung vonelektrischerLadungkannnichtbeliebigkleinwerden, sondern istdurchdiekleinste,unteilbareelektrischeLadung,dieElementarladung,begrenzt.Definition

Elementarladunge,kleinstmögliche,unteilbare elektrischeLadungseinheit,entsprichtderelektrischenLadungeinesElektrons

DieBeträgedernegativenundpositivenElementarladungsindidentisch.DieMessungderElementarladunggelangerstmals1910durchMillikan3mittelsdes„Öltröpfchenversuchs“.

BeispielJedesElektronträgteinenegativeElementarladung.DieLadungdesElektronsbeträgtQe=–e.ImKerneinesAtomsmitderOrdnungszahlZ sind Z Protonen vorhanden und NNeutronen. Ein Proton hat dieLadungQp=+e,dieNeutronensindelektrischneutral.DieLadungdesKernsbeträgtdaherinsgesamtQKern=+Z·e.

Für die Ladung gilt der Erhaltungssatz, dass in einem abgeschlossenenSystem die Nettoladung (Menge aller positiven Ladungen abzüglich allernegativenLadungen)erhaltenbleibt.

DieelektrischeLadungkanndurchErdung,d.h.einerleitendenVerbindungzumLadungsreservoirderErde,ausgeglichenwerden.

1.2DasCoulomb-Gesetz

Elektrische Ladungen üben Kräfte aufeinander aus. Elektrisch gleichartiggeladeneKörper(alsogleichnamigeLadungen)stoßensichab,ungleichartigegeladene Körper (also ungleichnamige Ladungen) ziehen sich an. EinequantitativeAussageüberdieelektrostatischeKraftzwischenzweielektrischgeladenen Körpern macht das Coulomb-Gesetz. Es besagt, dass zweiLadungenQ1undQ2,diesichineinemAbstandrvoneinanderbefinden,miteiner Kraft proportional zum Produkt der beiden Ladungen und umgekehrtproportional zum Quadrat des Abstandes der Ladungen anziehen bzw.abstoßen. Die Ladungen werden dabei als punktförmig im Zentrum desgeladenenKörpersangenommen(Punktladungen).

DieCoulomb-KraftweistinRichtungderVerbindungsliniebeiderLadungen.DieRichtungderKrafthängtvondenVorzeichenderLadungenab.SinddieVorzeichenderLadungengleich(beidepositivoderbeidenegativ)kommteszur Abstoßung, bei unterschiedlichen Vorzeichen (eine Ladung positiv, dieanderenegativ)ziehensichdieLadungenan.Gesetz

Coulomb-Kraft

Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1 und Q2, die sich ineinemAbstand r voneinander befinden. Sie wirkt entlang derVerbindungslinie der Ladungen und heißt deshalb vektorielle(gerichtete)Größe.

Die Proportionalitätskonstante ε0 heißt elektrische Feldkonstante oderDielektrizitätskonstantedesVakuums.Definition

elektrischeFeldkonstante

Das Coulomb-Gesetz ähnelt formal dem Newtonschen Gesetz zurGravitationsanziehung zweier Körper, allerdings sind GravitationskräfteimmeranziehendeKräfte.

Beispiel Zwei gleichnamige LadungenQ1 undQ2 imAbstand r stoßen sichgegenseitigab.WennnunbeigleichbleibendemAbstanddieLadungQ2

verdoppeltwird,soverdoppelnsichauchdieAbstoßungskräfteF1undF2.

So wie man von einem Gravitationsfeld spricht, so lässt sich auch einelektrischesFelddefinieren:Definition

ElektrischesFeldE,[E]=Newton/Coulomb=N/C

wobeiqeineProbeladungistund elektr.(r)dieKraft,diesieamOrtrerfährt.

FürdenBetrageinesFeldesderPunktladungQergibtsichdamitunmittelbarausdemCoulombschenGesetz:

DieEnergieW,dieeineLadungQbeimBewegenvonderSteller1nachr2gewinnt (oder verliert), wird definiert über die Potentialdifferenz(Spannung)zwischendenbeidenPunkten:Formel

Zusammenhang zwischen Energie und elektrischer PotentialdifferenzU,[U]=Volt4=V

W=Q·U

DaselektrischePotential lässtsichanalogzumPotential imGravitationsfeldbeschreiben:

Für die potentielle Energie ist stets ein Bezug nötig, diePotentialdifferenz ist entscheidend, nicht die absolute Größe desPotentials.DerWeg, der zwischen zwei Punkten r1und r2 genommenwird, hatkein Einfluss auf die Potentialdifferenz (der Berg ist immer gleichhoch,egal,wiegeschicktderWegdaraufausgesuchtwurde).EsgibtWege, entlangderer sichdieEnergienicht ändert:Sie liegenauf denÄquipotentialflächen (Höhenlinien).Die Linien senkrecht zudenÄquipotentialflächennenntmanFeld-oderKraftlinien.

OG

BeiderelektrostatischenAnziehungzweierLadungenmit(ungleichnamigen)LadungenQ1undQ2wirktaufdenerstenLadungsträgerdieKraftF1undaufden zweiten die KraftF2.Diese Kräfte sind bis auf das Vorzeichen gleichgroß,auchwenndieLadungenQ1undQ2verschiedeneBeträgehaben.AuchfürdieelektrostatischeWechselwirkunggilt:actio=reactio.

Zwei elektrische Ladungen+Q und –Q (gleicher Betrag, unterschiedlichesVorzeichen) im Abstand r bilden einen elektrischen Dipol mit einemelektrischenDipolmomentvomBetragp.

Definition

ElektrischesDipolmoment

[p]=1Debye5=1D=3,34×10–34C·m

Esisteinevektorielle(gerichtete)Größe:Orientierungsvektor zeigtentlangder Dipolachse vom negativen zum positiven Pol. Der Betrag vonentsprichtdemAbstandder(Punkt-)Ladungenr.

Beispiel Werden die Ladungen eines elektrischen Dipols mit demDipolmomentp1verdoppeltundgleichzeitigderAbstandzwischendenLadungenhalbiert,soergibtsicheinDipolmomentp2undesistp1=p2.

ImfolgendenKapitelbetrachtenwirdieEigenschaftenbewegterLadungen.

2Versuch:SpannungsabfallundWheatstone-Brücke2.1ElektrischerStrom

Als elektrischen Strom bezeichnet man die Bewegung oder den Fluss vonelektrischen Ladungsträgern. Die Bewegung erfolgt in einer bevorzugtenRichtung innerhalb einer Zeiteinheit. Dabei muss an den LadungsträgernArbeitverrichtetwerden.

Beispiel Elektrischer Strom in Metallen bedeutet Transport vonElektronen pro Zeiteinheit. In einem Metalldraht sind beiZimmertemperatur ausschließlich Elektronen für den Stromverantwortlich. Ein Elektron ist negativ geladen und trägt genau eine(negative) Elementarladung. Die Elektronen bewegen sich bei

Raumtemperatur nurmit einerGeschwindigkeit von einigenZehntelnmmproSekundedurcheinenMetalldraht.

BeispielDerStromineinerSalzlösung(Elektrolyt)wirddurch„wandernde“Ionen (Ion, griechisch das Wandernde) ermöglicht. Die positivgeladenenIonenheißenKationen.negativgeladeneAnionen.

BeispielDerStrominHalbleiternwirddurchdieBewegungvonElektronenoder Elektronenlücken (Ladungs-,Löchern‘) ermöglicht. WichtigeHalbleitersindSiliziumoderGermanium.

Voraussetzungen fürdasZustandekommendeselektrischenStroms sindeinelektrisches Feld und bewegliche Ladungsträger im elektrischen Feld.Ursache für das Fließen eines elektrischen Stroms ist eine elektrischeSpannung(Potentialdifferenz).DamiteinelektrischerStromfließenkann,isteineSpannungsquellenotwendig,dieeinesolchePotentialdifferenzaufbaut.EineBatterie ist eineStromquellemit einemPluspol (Mangel annegativenLadungsträgern) und einem Minuspol (Überschuss an negativenLadungsträgern). Werden beide Pole leitend verbunden, bewegen sich dieElektronenvomMinuspol(–)zumPluspol(+):

SymbolefürSpannungsquellen

Beachte Beachte: Gemäß der (historischen) Konvention der technischenStromrichtungfließtderelektrischeStromaußerhalbderStromquellegenauentgegengesetztzurBewegungderElektronen,alsovomPluspol(+)zumMinuspol(–).

ManunterscheidetGleichstrom:derStrom fließtnur ineinerRichtungmitkonstanter Geschwindigkeit der Ladungsträger und Wechselstrom: derelektrische Strom wechselt laufend seine Richtung, d.h. seine Polarität(VorzeichenderelektrischenSpannung).

Beispiel Das technische Stromnetz („Strom aus der Steckdose“) besitzt eineFrequenz von 50 Hz, liefert also Wechselstrom. Jeder Pol derWechselstromquelle ist in der Sekunde 50 mal positiv und 50 malnegativ.

OG

Verbindetman zwei elektrisch ungleichnamig geladeneKörper durch einenelektrischenLeiterzueinemelektrischenStromkreis,findeteinStromflussstatt.DerStromfließtsolange,biseinvölligerLadungsausgleicherfolgtist.

Ein elektrischer Stromkreis enthält mindestens eine Spannungsquelle (z.B.Batterie) und Leitungen mit einem Widerstand. Durch die angelegteSpannungfließtderStromdurchdenStromkreis.

Die Elektronen fließen außerhalb der Spannungsquelle vom Minus- zumPluspol und innerhalb der Spannungsquelle vom Pluspol zum Minuspolzurück. JegrößerdieelektrischeSpannung,destogrößer istderStromfluss.Die Stärke des Ladungsträgeroder Stromflusses durch einen StromkreisbezeichnetmanalselektrischeStromstärke.Definition

ElektrischeStromstärkeI,[I]=1A=1Ampere6

DasAmpereisteineSI-Basis-Einheit,eineGrundeinheit.

Der Zusammenhang zwischen der elektrischen Stromstärke in einemLeiterunddertransportiertenelektrischenLadungistgegebendurchFormel

Stromstärke=transportierteLadungQinderZeitt

Wenn innerhalb einer Sekunde die Ladungsmenge 1 C durch einenLeiterquerschnitttransportiertwird,beträgtdieelektrischeStromstärke1A.

BeispielEineBatterieliefert10MinutenlangeineStromstärkevon1,5A.DieLadung,diederBatterieentnommenwurdebeträgt

Q=I·t=600s·1,5A=900As=900C.

ManchmalinteressiertnichtdieabsoluteGrößedesStroms,sondernwievielStromproFlächeneinheiteinesLeiterquerschnittsAfließt:Definition

Stromdichtej,[j]=A/m2

FließteinelektrischerStromdurcheinenLeiter,sosetztderLeiterdemStromeinen Widerstand entgegen. Durch den elektrischen Widerstand einesMaterialswirdwährenddesStromflusseseinTeilderelektrischenLeistunginWärmeumgewandelt.

Der elektrische Strom hat stets eine magnetische Wirkung, meistens eineWärme- und manchmal eine chemische Wirkung. Fließt ein elektrischerStromdurcheinenohmschenLeiter,soentstehtimmerWärme.

EineAusnahmestellenSupraleiterdar, indenenderStromwiderstandsfreifließt. (Supraleiter werden unter anderem zur Konstruktion von extremgenauen Magnetfeld-Sensoren, zum Beispiel für die Messung vonGehirnströmen oder zur Materialprüfung eingesetzt). Die Wärme entstehtdurchdieBewegungundgegenseitigeStößevonAtomenundMolekülenimstromdurchflossenen Material, welche durch den Fluss der elektrischenLadungsträger angeregt werden. DieUmwandlung der elektrischen EnergieerfolgtalsoinWärmeenergie.DieinWärmebewegungderMoleküleproZeitumgewandelteEnergieheißtJoulescheWärmeQ.Definition

JoulescheWärme

Q=P·t[Q]=Joule=J

Dabei ist P die elektrische Leistung, die zur Erzeugung der JouleschenWärme verbraucht wurde. Sie ist für Gleichstrom gleich dem Produkt ausStromstärkeIundSpannungU.Definition

ElektrischeLeistung

P=I·U[P]=J/s

GiltdasOhmscheGesetz,folgtdarausP=R·I2undP=U2/R.

Beispiel Wird die Spannung an einer Heizvorrichtung bei konstantemWiderstandverdoppelt,soistdieHeizleistungviermalsogroß.

Beispiel Joulesche Wärme wird in der Glühwendel von Glühbirnen, demHeizdraht einer Kochplatte, einem Tauchsieder technisch genutzt.Unerwünscht ist die Joulesche Wärme in elektrischen Kabeln

OG

(Brandgefahr!) oder Überlandleitungen, wo sie zu einem unnötigenEnergieverlustführt.

Für Metalle ist der elektrischeWiderstand R proportional zur Länge desLeiters und umgekehrt proportional zu seiner Querschnittsfläche. DieProportionalitätskonstanteistderspezifischeWiderstandρ(Resistivität).EristeineMaterialkonstanteundhängtabvonderArtdeselektrischenLeiters(Material)undderTemperatur.GuteelektrischeLeiter(z.B.Metalle:Kupfer,Silber,Gold,…)habeneinensehrkleinen,Nichtleiter(Isolatoren)einensehrhohenspezifischenWiderstand.Halbleiterkönnensowohl sehrniedrigealsauch sehr hohe spezifische Widerstände haben. Das liegt daran, dass sichLadungsträgerinHalbleiternzwarhervorragendleichtbewegenkönnen,sichin einem reinen Halbleiter jedoch praktisch keine freien Ladungsträgerbefinden. Erst z.B. durch die gezielte Verunreinigung mit Fremdatomen(Dotierung), durch Injektion von Ladungsträgern (beim Transistor) oderBestrahlungmit Licht (Photowiderstand) entstehen freie Ladungsträger undesverringertsichdieResistivität.Gesetz

elektrischerWiderstandR,[R]=1Ohm7=1Ω

ρ:spezifischerWiderstand

l:LängedesLeiters

A:Querschnittsfläche

Ein Material hat den elektrischen Widerstand von 1 Ω., wenn bei einerangelegtenelektrischenSpannungvon1Volt(1V)einStromvon1Ampere(1A)fließt.

BeispielWird derDurchmesser und dieLänge eines (zylindrischen)Drahtesum den Faktor zwei vergrößert, so halbiert sich der elektrischeWiderstanddesLeiters.

Der elektrischeWiderstand eines geraden, homogenenMetalldrahtes hängtalso von seinem Querschnitt A, seiner Länge l und dem spezifischenWiderstandρdesMaterialsab,ausdemderLeiterbesteht.GraphischkanndieserZusammenhangüberfolgendeKurvendargestelltwerden:

OG

BeispielDerspezifischeWiderstandvonKupfer(Cu)beträgt1,7×10–6Ω·cm.DerWiderstandeineszylindrischenKupferdrahtesmitdemQuerschnitt0,01cm2undderLänge103cmbeträgtdamit

R=1,7×10–6Ω·cm·103cm/(0,01cm2)=0,17Ω.

DenKehrwertdesWiderstandesnenntmanLeitwert.Definition

ElektrischerLeitwertL

8=1S

Legt man in einem Stromkreis an einen elektrischen Widerstand RverschiedeneSpannungenanundmisstdenresultierendenelektrischenStrom,so findet man in der Regel einen linearen Zusammenhang zwischenresultierender Stromstärke und angelegter Spannung. Diese BeobachtungwirdvomOhmschenGesetzbeschrieben.Gesetz

OhmschesGesetz

U~I

DamitbestehtfolgenderZusammenhangzwischenSpannungsabfallaneinemelektrischenWiderstandundStromstärke:

U=R·I

EsergebensichzweiInterpretationsmöglichkeiten:

1.LegtmananeinenWiderstandReineSpannungU,sofließtderStromI.

2.FließtdurcheinenWiderstandReinStromI, sokannmanandenEndendesWiderstandes die SpannungU abgreifen. Man sagt, „amWiderstandfälltdieSpannungUab“.

Beispiel Ein Strom durch einen elektrischenWiderstandwird durch dieamWiderstand angelegte Spannung verursacht. Verdoppelt mandie Spannung, so misst man den doppelten Betrag des Stromes, diehalbeSpannungbewirktdiehalbeStromstärke,usw.

Jede reale Spannungsquelle besitzt einen Innenwiderstand Ri. DieSpannung, die man an ihren Anschlussklemmen misst wird

Klemmenspannunggenannt.Wird eineSpannungsquelle nicht durch einenStrombelastet,somisstmananihrenAnschlüssendieLeerlaufspannungU0

der Spannungsquelle. Fließt jedoch ein Strom I, so fällt über demInnenwiderstand Ri die Spannung Ui=Ri·I ab. Die Klemmenspannungreduziertsichsomitauf

Daraus ergibt sich, dass eine Spannungsquelle maximal den sogenanntenKurzschlussstrom

liefern kann. Je geringer der Innenwiderstand ist, um so belastbarer ist dieSpannungsquelle

DiegraphischeDarstellungderStromstärkegegendieaneinemelektrischenWiderstandanliegendeSpannungheißtKennliniedesWiderstandes(Strom-Spannungs-Kennlinie). Je nachdem, ob die Kennlinie eines elektrischenWiderstandes dem Ohmschen Gesetz folgt oder nicht, bezeichnet man denWiderstandalsOhmschenWiderstand(oderOhmschenLeiter)odernicht-ohmschenLeiter.

KennlinienvonelektrischenWiderständen:1und2sindOhmscheLeiter(Widerstände),3 ist ein nicht-ohmscherLeiter (z.B.Solarzelle oderGleich-richterdiode)

FürOhmscheLeitergiltdasohmscheGesetz(alsoU/I=const),dasheißt,dieSpannung ist proportional zur Stromstärke und der Widerstand ist somitkonstant. Die Strom-Spannungs-Kennlinie verläuft daher linear (1 und 2).DieserFallgiltfürdiemeistenmetallischenLeiterundElektrolyte.

Fürnicht-ohmscheLeiterbestehteinnicht-linearerZusammenhangzwischenStromstärkeundangelegterSpannung,esgiltU/I≠const.EinBeispielfüreinennicht-ohmschenLeiteristeineGleichrichter-Diode(3).

Beispiel Das Diagramm zeigt die gemessene Kennlinie eines OhmschenWiderstandes. Aufgetragen ist die Abhängigkeit der am WiderstandabgegriffenenSpannungUvonderStromstärkeI,diedenWiderstanddurchfließt.

OG

Manliestab,derWiderstandbeträgtetwa

U/I≈3V/(10mA)=300Ω

Der (spezifische elektrische)Widerstand vonLeitern undNichtleitern ist inder Regel temperaturabhängig. Mit zunehmender Temperatur steigt derelektrischeWiderstandmetallischerLeiter(z.B.Kupfer),

sinktderWiderstandvonHalbleitern(z.B.Silizium,Germanium)undsinktderWiderstandvonElektrolyten(z.B.wässrigeSalzlösung).

EinenurgeringeTemperaturabhängigkeitweisendieLegierungenKonstantan(57%Cu,41%Ni,1%Fe,1%Mn)undManganin(86%Cu,2%Ni,12%Mn)aufundwerdendaherfürPräzisions-undNormalwiderständeverwendet.FürdieAbhängigkeitdes elektrischenWiderstandesmetallischerLeitervonderTemperaturgiltnäherungsweisedieFormel

ΔT=T–T0R0:ElektrischerWiderstandbeiT0=0°C=273K

α:TemperaturkoeffizientdesMetalls,definiertalsDefinition

Temperaturkoeffizientα,[α]=l/K

Der Temperaturkoeffizient bezeichnet das Verhältnis der relativenÄnderung des elektrischen Widerstandes zur TemperaturänderungeinesmetallischenLeiters.

Das Prinzip des Widerstandsthermometer beruht auf der linearenAbhängigkeit des elektrischen Widerstandes von der Temperatur. Aus derMessungdesWiderstandeskanndamitdieTemperaturberechnetwerden.

BeispielBei 20 °Cbeträgt der spezifischeWiderstandvonKupfer 1,7 · 10–6Ω·cm, der Temperaturkoeffizient α = 0,0040 K–1. Der spezifischeWiderstandbei120°Cistdaher

ρ(120°C)=1,7×10–6Ω·cm·(1+0,0040K–1·100K)=

=2,4×10–6Ω·cm.

BeispielDerTemperaturkoeffizientvonKupfer (Cu)beträgtα=0,0040K–1.BeiErwärmungeinesKupferdrahtesvon0°Cauf30°CerhöhtsichderelektrischeWiderstandvonursprünglich6Ωbei0°Cum0,72Ωauf6,72Ωbei30°C.

In den meisten technischen Geräten werden elektrische Schaltungenverwendet, die aus einer Kombination von elektrischen Elementen, zumBeispiel Widerständen, bestehen. Eine Kombination von elektrischenWiderständen kann beschrieben werden durch Parallelschaltung oderReihenschaltungderWiderstände.

Bei einer Reihenschaltung von elektrischen Widerständen sind dieWiderstände hintereinander geschaltet. Durch alle Widerstände fließt dergleiche Strom. Die Gesamtspannung ist die Summe der einzelnenSpannungsabfälle an den Widerständen. Nach dem Ohmschen Gesetz istdaher der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung die Summe derEinzelwiderstände.Definition

Reihenschaltung von n elektrischen Widerständen R1 … , Rn (=Serienschaltung=Hintereinanderschaltung)

Durch alle Widerstände fließt der gleiche Strom I. Dabei ist dieGesamtspannung die Summe der Spannungsabfälle an den einzelnenWiderständen.

DerGesamtwiderstandistdieSummederEinzelwiderstände:

Rges=R1+R2+…+Rn

Werden mehrere elektrische Widerstände parallel geschaltet, liegt an allenWiderständen in der Parallelschaltung die gleiche Spannung U an. DerStrom durch den einzelnenWiderstandRi teilt sich auf zu Ii =U/R.DamitlässtsichdergesamteStromberechnenzu

DerKehrwertdesGesamtwiderstandderParallelschaltungistdaher

OG

alsodieSummederKehrwertederEinzelwiderstände.Definition

ParallelschaltungvonnelektrischenWiderständenR1…,RnAnallenWiderständenliegtdiegleicheSpannungUan.

Der Kehrwert des Gesamtwiderstands ist die Summe der KehrwertederEinzelwiderstände:

Es addieren sich bei einer Parallelschaltung die Leitwerte Li=1/Ri zumGesamtleitwertLges=L1+L2+…+Ln.BeieinerParallelschaltungistdamitder Gesamtwiderstand mehrerer Widerstände kleiner als der kleinste dereinzelnenWiderstände.

Beispiel Der Kehrwert des Gesamtwiderstandes in nebenstehendenelektrischen Parallelschaltung zweier Widerstände von 1Ω und 2Ωbeträgt

Der Gesamtwiderstand ist mit R = 0,667 Ω kleiner als der kleinste derEinzelwiderstände.

BeispielDerGesamtwiderstandinderuntengezeigterSchaltungAbeträgt1,5Ω,dervonSchaltungBist3Ω.

Die Grundlage zur Errechnung der Stromstärken in verzweigtenLeitersystemenundderAnalysekomplexererelektrischerSchaltungenbildendieKirchhoffschen9Regeln.SiegeltenfürOhmscheLeiter.Gesetz

1.KirchhoffscheRegel(=Knotenregel)

OG

An einem Verzweigungspunkt (Knoten) ist die Summe derzufließenden gleich der Summe der abfließenden Ströme. Zu- undabfließendeStrömetragendabeieinunterschiedlichesVorzeichen.DieSummederzu-undabfließendenStrömeistdahernull.

I1+I2+I3=I4ÞI1+I2+I3–I4=0

AusdemerstenKirchhoffschenGesetzfolgt,dassineinerStromverzweigung(paralleleZweige)sichdieZweigströmeumgekehrtwiedie

Widerständeverhalten.Esgiltalso AnbeidenWiderständen

liegtdieselbeSpannungan,daI1·R1=U=I2·R2.Gesetz

2.KirchhoffscheRegel(=Maschenregel)

In jedem geschlossenen Stromkreis oder geschlossenen Teil einesStromkreises (Masche) ist die Summe aller Spannungsabfälle an deneinzelnenWiderständen(und

BeispielAnfolgendenSchaltkreiswirdzwischendenAnschlussstellenaundbeine Spannung vonU= 200V angelegt. Da dieWiderstände gleichgroßsind,ist

Die Ströme durch die Widerstände R1 und R2 sind also gleichgroß.

DerGesamtwiderstandderParallelschaltungbeträgtdabei

DerGesamtstrom,derdurchdieSchaltungfließtbeträgtsomit

Jeder der Einzelwiderstände wird also von einem Strom von 20 Adurchflossen.

WirkungdesStromsaufdenmenschlichenKörper

FließtStromdurchdenmenschlichenKörper,sogibtesmehrereEffekte.DieNervenbahnenleitenimKörperambesten,sodasssieamstärkstenbetroffensind.

Zunächst bewirkt Strom eine Erregung der Nerven, es kribbelt, Muskelnfangen an zu zucken, es kann zuKrämpfen kommen, im schlimmsten FallzumHerzstillstand.

Der Körper ist ein elektrolytischer Leiter, d.h. der Strom wird von Ionengetragen. An den Zellwänden kommt es zur Elektrolyse wobei Zellgifteentstehen.DurchdenelektrischenWiderstandkommteszueinerErwärmung,dieimExtremfallzuVerbrennungenführenkann.

Als noch ungefährlich, wenn auch schmerzhaft, gelten 80mAGleichstromund25mAWechselstrom.NebeneinerhinreichendenIsolierung(diez.B.beiNassräumendieelektrischenKontakteauchvorSpritzwasserschützenmuss)gibt es zwei weitere übliche Schutzmaßnahmen in gefährdeten Bereichen(Labore, Nassräume…). BeimTrenntrafo lässt man die Stromversorgungüber einen Trafomit demÜbersetzungsverhältnis 1:1 laufen. Damit ist dieSpannungvomErdpotentialentkoppeltunddieBerührungnureinerderPolebleibtungefährlich.BeimFehlerstromschutzschalterwirddieDifferenzderStröme gemessen, die aus der Steckdose hinaus- und in die Steckdosehineinlaufen.NimmtderStrom(teilweise)einenanderenWeg,(z.B.überdenmenschlichen Körper zur geerdetenWasserleitung), so wird eine DifferenzgrößernullgemessenundderSchutzschaltertrenntdieSteckdosevomNetz.

2.2Strom-undSpannungsmessung

OG

Zur Strommessung dienen Amperemeter. Beim Hitzdraht-Amperemetererwärmt und verlängert sich ein stromdurchflossener Messdraht. DieVerlängerung des Messdrahtes ist ein Maß für die Stromstärke. DasHitzdraht-AmperemeteristfürGleich-undWechselstromverwendbar,daderAusschlagdesHitzdraht-MessersunabhängigvonderStromrichtungerfolgt.Beim Drehspul-Amperemeter befindet sich eine drehbare Spule im Feldeines Permanentmagneten. Fließt der zu messende Strom durch die Spule,entsteht durch die Überlagerung der Magnetfelder (Magnetfeld derstromdurchflossenen Spule und des Permanentmagneten) ein Drehmoment.Das auftretende Drehmoment ist ein Maß für die Stromstärke. ÜblicheDrehspul-Amperemeter sind nur zur Messung von Gleichströmenverwendbar, da derAusschlag desGerätes von der Stromrichtung abhängt.Zur Messung von Wechselströmen bedient man sich einesMesswiderstandes RM· Die darüber abfallende Spannung wird mit einemGleichrichter in eine Gleichspannung Ugl umgewandelt, die mit einemSpannungsmessgerät gemessen wird. Der Strom ist dann I = Ugl / RM·Beieinem Galvanometer10 verwendet man anstelle der Drehspule eine Saite,bestehend aus einem versilberten Quarzfaden. Der Faden ist durch einhomogenes Magnetfeld, zum Beispiel das Feld eines Permanentmagneten,gespannt. Fließt ein elektrischer Strom durch den Faden, wird diesersenkrechtzudenmagnetischenFeldlinienabgelenkt.DieseAblenkungkanninFormeinerVerbiegungdesFadensmiteinerLupebeobachtetwerden.DasGalvanometerbesitzteineäußersthoheEmpfindlichkeit.WegendergeringenTrägheit des Quarzfadens ist es sehr gut geeignet zur Messung schwacherStrömeoderkurzerStrompulse.

Zur Strommessung (links) schaltet man das Amperemeter direkt in denStromkreis,indemdieStromstärkegemessenwerdensoll(=Hauptschluss).

JedesStrommessgerätbesitztselbsteinenWiderstand,denInnenwiderstandRi. Ein Amperemeter (Strommesser) sollte einen möglichst geringenInnenwiderstand aufweisen, weil der Spannungsabfall am Amperemeter sokleinwiemöglichseinsoll,damitderStromkreiskaumbeeinträchtigtwird.

Der Messbereich eines Amperemeters lässt sich auf höhere Stromstärkenausweiten indem man parallel einen (Mess-)Widerstand (Shunt)hinzuschaltet. Steigern lässt sich die Empfindlichkeit eines Messgerätes

dadurchjedochnicht.SeizumBeispielderInnenwiderstanddesMessgerätes1Ω,sokannderMessbereichumdenFaktor10erhöhtwerden,

wenn einWiderstand von Ω=111mΩhinzugeschaltetwird.DieStrömeteilensichdannzwischenMesswiderstandundMessgerätaufwie9:1.DurchdasMessgerätfließtnurnocheinZehnteldesgesamtenStromes.

Zur Spannungsmessung (rechts) verwendet man Voltmeter. Bei derSpannungsmessung wird das Voltmeter immer parallel zum Widerstandgeschaltet,andemdieSpannungabfällt(dasnenntmandannNebenschluss).SpannungsmessersolleneinenmöglichstgroßenInnenwiderstandaufweisen,damit das Gerät nur wenig Strom abzweigt und der Stromkreis möglichstwenigbeeinflusstwird.

Nach der zweiten Kirchhoffschen Regel fließt durch das Voltmeter umsoweniger Strom, je größer der Innenwiderstand ist. Spannungsmesser sinddaher immerhochohmig,das heißt sie haben einen hohenEigenwiderstand.Den Messbereich eines Voltmeters kann man durch das Einschalten vonWiderständen(Vorschaltwiderstand)aufgrößereSpannungenerweitern.

DieMessung von unbekannten elektrischenWiderständen kann allge meindurchMessungdesStromsIundderamWiderstandabfallendenSpannungUerfolgen. Nach dem Ohmschen Gesetz wird daraus der unbekannteWiderstandRx.

EinesehrvielgenauereMethodezurBestimmungvonWiderständen istdieMessung mit der Wheatstoneschen11 Brücke (rechts). Der unbekannte

OG

WiderstandistinderSchaltungmitRxbezeichnet.

DerAbgriffamSchiebewiderstand(Potentiometer)wirdsoeingestellt,dassdieMessbrückemit demMessgerät stromloswird, die Spannung zwischenden Punkten C und D also gleich null wird. Für das Verhältnis derWiderständegiltnachAbgleichenderWheatstoneschenBrückeim

stromlosenFall,alsofür undfürdenunbekannten

Widerstand ,wenndie(variablen)TeilwiderständeR1undR2durchdieabgegriffenen Längen l1 und l2 ersetzt werden. Das ist möglich, wenn derSchiebewiderstand aus einem homogenen Draht besteht, der überall dengleichen Querschnitt aufweist. Der feste Vergleichswiderstand RN in derSchaltung einer Wheatstoneschen Brücke ist in der Regel einPräzisionswiderstand und wird oft alsNormalwiderstand bezeichnet. DerVorteil dieser Schaltung zur Messung von elektrischen Widerständen liegtdarin,dassdieGrößederanderMessbrückeanliegendenSpannungnichtindasMessergebniseingehen.

Beispiel Eine Wheatstonesche Brücke, die im unteren Zweig einenhomogenen Leiter der Länge 64 cm besitzt, sei (stromlos)abgeglichen.DerverschiebbareAbgriffaufdemhomogenenLeitersei16 cm vom linken Ende des Leiters entfernt. Der NormalwiderstandbeträgtRN=60Ω.ManberechnetdengesuchtenWiderstandzu

Anstelle eines variablen Schiebewiderstands kann eine WheatstonescheBrückenschaltung auch mit zwei Festwiderständen (rechts) aufgebautwerden.

Beispiel Das Messgerät der Wheatstonesche Brücke in nebenstehenderSchaltungsei fürgeschlossenenSchalterSstromlos.DieWiderständesindR1=10Ω,R2=20ΩundR3=30Ω.DergesuchteWiderstand

beträgtRX=15Ω.SindimstromlosenFalldieWiderständeR1=4Ω,R2=16ΩundR3=12Ω,beträgtdergesuchteWiderstandRX=3Ω.

2.3Versuchsdurchführung

Aufgabe1:Strom-Spannungs-KennlinieeinesMessdrahtes

Die Strom-Spannungs-Kennlinie eines dünnen Messdrahtes(Widerstandsdraht aus Kanthal) soll bestimmt werden. Anhand dergemessenen Kennlinie soll die Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes bestätigtundderWiderstanddesMessdrahtesbestimmtwerden.

BestimmenSiedieKennliniebeiSpannungenzwischenU=0und2,4V in Schritten von 0,2 V und stellen Sie die Messwerte in einemDiagrammdar.Zeichnen Sie durch die Messpunkte eine Ausgleichsgerade und ermitteln Sie aus dem Anstieg der Ausgleichsgeraden denWiderstanddesMessdrahtes.BerechnenSiedenDurchmesserdesMessdrahtes.

DerspezifischeWiderstandvonKanthalbeträgtρ=1,45·10–6Ωm,dieLängedesDrahtesistl=1,0m.

Aufgabe2:AufbauvonzweifestenSpannungsteilern

AlsSpannungsteilerdienteineAnordnungvonelektrischenWiderständeninReihenschaltung. Dimensionieren Sie anhand zweier frei zu wählenderFestwiderstände einen Spannungsteiler, der die Eingangsspannung U0 derSpannungsquelle halbiert bzw. drittelt. Bauen Sie die entsprechendenSchaltungen auf und überprüfen Sie die Ausgangsspannung U mit demVoltmeter. Zeichnen Sie die Schaltungen und notieren Sie verwendeteWiderständesowieangelegteundgemesseneSpannungen.

Aufgabe3:Potentiometerschaltung

Häufig verwendetman als Spannungsteiler Schiebewiderstände, sogenanntePotentiometer. Besteht der Schiebewiderstand aus einem homogenen Drahtmit konstantem Querschnitt über die Drahtlänge l, kann mittels eines

OG

Schleifkontaktes, der entlang des Drahtes verschoben wird, ein beliebigerSpannungsabfall(Teilspannung)eingestelltwerden.

DieamVoltmetergemesseneSpannungUergibtsichdannzu ,wennlodie gesamte Länge des Messdrahts und l das durch den SchleifkontaktabgegriffeneTeilstückist.

Messen Sie bei einer variablen Spannungsteilerschaltung mit einerfesten Spannung von U0 = 2,0 V den Spannungsabfall längs desMessdrahtes.Tragen Sie die gemessene Spannung als Funktion der abgegriffenenLänge l in Schritten von 5 cm auf und zeichnen Sie eineAusgleichsgerade.

Aufgabe4:WiderstandsmessungmitWheatstone-Brücke

BauenSieeineWheatstonescheBrückenschaltungauf.

Der Aufbau erfolgt mit einem Schiebewiderstand (Messdrahtleiste mitMessdraht und Schleifkontakt). Als Normalwiderstand RN soll ein Stöpsel-Rheostat verwendet werden. Ein Stöpsel-Rheostat enthält vier in Reihegeschaltete (Normal-)Widerstände von 10Ω,20Ω,30Ωund 40Ω. Jedereinzelne Widerstand kann durch einen kegelförmigen Bolzen, einen„Kurzschluss-Stöpsel“, überbrückt werden Mittels der vier Widerständelassen sich in Schritten von 10 Ω alle Werte zwischen 10 Ω und 100 Ωverwirklichen.AlsweitereGerätesteheneinVoltmeter(Messbereich2,5V)undeinAmperemeter(Messbereich250mA)zurVerfügung.

StellenSiedieSpannungderMessbrückeaufU0=2,0Vein.VerschiebenSieden Abgriff am Messdraht, bis das Nullinstrument (Messgerät zumNullabgleich der Messbrücke) keinen Ausschlag mehr zeigt. Dann ist dieBrückeabgeglichen(AstC-Dstromlos).

MessenSiedieWiderstandswertevonzweiunbekanntenWiderständenfürjeweilsfünfverschiedeneNormalwiderstände.BerechnenSiedieMittelwertederunbekanntenWiderstände.Berechnen Sie den Gesamtwiderstand, den man bei Reihen- undParallelschaltungderbeidenuntersuchtenWiderständemessenwürde.

Übungsaufgaben

KS

1. Ein Stück Kupferdraht mit einem Radius von 5 mm besitzt einenWiderstandvon21Ω.

Welchen Widerstand hat ein Draht der gleichen Länge mit einerQuerschnittsflächevon1,210–4m2?(Rneu=13,75Ω)

2. DieWiderstände R1 = 3 Ω, R2 = 5Ω und R3 = 8 Ω sind in Reihe geschaltet. Welcher Strom fließt insgesamt, wenn an den Enden eineSpannungvonU=4Vangelegtist?(I=0,25A)

3Versuch:KondensatorundSpule3.1DerKondensator

KondensatoralsLadungs-bzw.Energiespeicher

AlsKondensatorbezeichnetmaneinenSpeicherelektrischerLadung.

BeispielBeieinemBlitzgeräteinesFotoapparatesmussinkürzesterZeiteinehohe elektrische Leistung verfügbar sein. Man löst dieses Problemdadurch, dass man einen Energiespeicher füllt und ihn dann zugegebenerZeitwieder schnell entlädt.Ein solcherEnergiespeicher istderKondensator.

Die einfachste Ausführung eines Kondensators, die manPlattenkondensator nennt, besteht aus zwei voneinander isoliertaufgestellten Metallplatten, auf die eine entgegengesetzte Ladung gebrachtwird.

Zwischen den entgegengesetzt geladenen Platten baut sich ein elektrischesFeldauf,dasvondenpositivenLadungenzudennegativenLadungenweist.DieshatzurFolge,dasszwischendenPlatteneineSpannungUCabgegriffenwerdenkann,dieproportionalzuraufgebrachtenLadungQist:UC~Q.

ErhöhtmanumgekehrtdieSpannungUaneinemKondensator,sofließtmehrLadungQaufdenKondensator.

Die Proportionalitätskonstante zwischen Ladung und Spannung einesKondensatorsnenntmanKapazität:Definition

Kapazität

Einheit:

12(F)

Die Kapazität (= Fassungsvermögen) gibt an, wie viel Ladung derKondensatorbeieinerbestimmtenSpannungfasst.

GängigeKondensatorenhabenKapazitätenderGrößenordnungPikofaradpF(=10–12F)bisMillifaradmF(=10–3F).

BeispielEinKondensatorderKapazitätC=100μFwirdaufeineSpannungvonUC=10Vaufgeladen.ErträgtdanneineLadungvon

DieKapazitäteinesPlattenkondensatorshängtnurabvonderPlattenflächeAund dem Abstand d der beiden Platten. Je größer der Abstand d bzw. jekleiner die Fläche A der Platten, desto kleiner ist die Kapazität desPlattenkondensators.Formel

KapazitäteinesPlattenkondensators

ε0elektrischeFeldkonstante

εrDielektrizitätszahl(MaterialkonstantedesNichtleiters)APlattenfläche,dPlattenabstand

BringtmanzwischendiePlatteneinesPlattenkondensatorseinnichtleitendesMaterial, so erhöht sich die Kapazität verglichen zur Kapazität desPlattenkondensators im Vakuum. Das elektrische Feld greift durch denNichtleiterhindurch,weshalbmandiesesMaterialauchDielektrikumnennt(Di=durch).FolgendeTabellegibteineÜbersichtüberdieGrößenordnungderDielektrizitätszahlεrfürverschiedeneMaterialien:

Dielektrizitätszahlenεr

Glas 5–10

Hartgummi 2,5–3,5

KS

Wasser 81,1

Petroleum 2,1

Luft 1,0006

Vakuum 1

ImDielektrikum sind die elektrischen Ladungen anders als im Leiter nichtfreibeweglich.Siekönnensichaberminimalgegeneinanderverschieben,sodass sich die Oberflächen leicht aufladen (Verschiebungspolarisation).Diese Verschiebbarkeit der Ladung bewirkt die Erhöhung der Kapazität ineinemKondensator.

DieWassermoleküle sind bereits kleine Dipole, die aber ohne elektrischesFeldregellosverteiltsind.ImFeldrichtensiesicheinStückweitinRichtungdes Feldes aus (Orientierungspolarisation). Wie stark in der Tat diePolarisierungvonWasserist,lässtsichmiteinemeinfachenVersuchzeigen.

Laden Sie einen Gummistab durch Reiben an einem Fell elektrisch auf.Halten Sie ihn neben den Strahl eines Wasserhahns. Der Strahl wirdoffensichtlich vom Stab angezogen und aus seiner senkrechten Falllinieabgelenkt.

BringtmaneinenLeiterineinelektrischesFeld,soverschiebensichdieLadungenimLeitersoweit,bisimInnerendesLeiterssichäußeresundinneres Feld gerade aufheben, es also feldfrei ist.DiesenEffekt nenntmanInfluenz. Er bewirkt z.B. dass man in einem geschlossenen Me-tallkäfig(FaradayscherKäfig) selbst vor sehr großen elektrischen SpannungenwiesiebeispielsweisebeimBlitzschlagauftreten,geschütztist.

Beispiel Um bei Verdoppelung der SpannungUC zwischen den Platten dieLadung konstant zu halten, muss man entweder die PlattenflächehalbierenoderdenAbstandderPlattenverdoppeln

Beispiel Auch zwei Kugelschalen mit gleichem Mittelpunkt (d.h.konzentrischeKugelschalen)wirkenalsKondensator,dessenKapazitätnurvondenRadienderbeidenSchalenabhängt.

WillmannundieKapazitätderErdkugelbestimmen,nimmtmanan,dassdieErdoberflächedieinnereKugelschalesei,undderRadiusder

äußeren Kugelschale beliebig groß („unendlich“). Dann beträgt dieKapazitätderErdkugeletwa700μF.

UmdenEnergieinhalteinesKondensatorsderKapazitätCzubestimmen,macht man folgendes Gedankenexperiment: Ein leerer Kondensator wirdschrittweise dadurch aufgeladen, dass man Ladungsportionen ΔQ von dereinenPlattezuranderentransportiert(Abb.links):

BefindensichLadungenbereitsaufderanderenPlatte, soversuchensiedieweitereLadungsportionΔQabzustoßen,weshalbmannunArbeitaufwendenmuss, um diese Abstoßung zu überwinden. Um gegen diese Abstoßunganzukämpfen,mussdieArbeitΔW=UC·ΔQaufgewendetwerden,diedannalsEnergieinhalt imKondensator steckt.DieserEnergieentspricht imU-Q-DiagrammeinRechteckderBreiteΔQundderLängeUC,alsoderSpannung,diesichbereitszwischendenPlattenaufgebauthat.

HatmannundieLadungQgesamtvondereinenzuranderenPlattegebracht,solässtsichzwischendenPlatteneineSpannungUmaxmessen.EsstecktdamiteineEnergieimKondensator,diederFlächeunterhalbderGeradenimobigenrechtenTeilbildentspricht.DieEnergiebeträgtsomitFormel

EnergieinhalteinesKondensators:

EinsetzenvonQ=C·UCliefert

LädtmanalsoeinenKondensatorderKapazitätCaufeineSpannungUCauf,

sobeträgtseinEnergieinhalt

BeispielEinFoto-Blitz-KondensatorderKapazitätC=200μFwirdaufeineSpannungvonUC=300Vaufgeladen.

DamitspeichertderKondensatoreineEnergievon

KS

InderBlitzlampewirddannwährendderBlitzdauervont=1mseineLeistung

umgesetzt!

DiegespeicherteEnergie imKondensator ist sehrgering, siebeträgt imBeispielnur2,5·10–6kWh.BeisehrschnellerEntladungkönnenjedochinkurzerZeithoheLeistungenauftreten.

Auf-undEntladungeinesKondensators

MöchtemaneinenKondensatormitLadungfüllen(„aufladen“),soverbindetman ihnübereinenohmschenWiderstandRmiteinerSpannungsquelle,dieeine Ausgangsspannung U0 liefert. (Ohne Vorwiderstand könnte dieSpannungsquelleüberlastetwerden.)HierliegtkeingeschlossenerStromkreisvor,daderKondensator aufgrunddesNichtleiters zwischendenPlattendieStromleitungunterbricht.

DennochfließtzuBeginnderAufladungeinStromI0gemäßdemOhmschenGesetz, der allein von der Spannungsquelle U0 und dem ohmschenWiderstandRbestimmtwird.

DanunLadungen auf diePlatten fließen, entsteht zwischendenPlatten einelektrisches Feld und damit eine Spannung UC, die von der äußerenSpannungsquelle überwunden werden muss, um weitere Ladungen auf diePlattenzupressen.DieLadungenaufdenPlattenbehindernalsodenweiterenStromfluss, was dazu führt, dass während der gleichen Zeit wenigerLadungen auf die Platten fließen. Das bedeutet aber gleichzeitig, dass dieSpannung zwischen den Platten langsamer ansteigt. Hat die SpannungzwischendenKondensatorplattendenmaximalenWertU0erreicht,kanndieäußere Spannungsquelle keine weiteren Ladungen mehr auf die Plattenpressen,undderStromflusskommtzumErliegen.

Der Aufladevorgang eines Kondensators kann in einem Diagramm alszeitlicherVerlauf der Spannung und des Stroms dargestelltwerden (in denAbbildungenjeweilsdielinkeHälfte):

Man erkennt aus den Diagrammen: Ist der Kondensator vollständigaufgeladen, fließt kein Strommehr. ZumEntladen des Kondensators wirdnun die Spannungsquelle (Schaltbild siehe oben) abgetrennt und derStromkreisandieserStelle(kurz-)geschlossen.DiejeweilsrechteHälftederAbbildungen zeigt den zeitliche Spannungs- und Stromverlauf desEntladevorgangsamKondensator.

Ist der Kondensator voll aufgeladen, d.h. befindet sich zwischen seinenPlatteneineSpannungU0,sofließtzuBeginnwiederdervolleStrom I0,dajetzt der Kondensator als Spannungsquelle wirkt. Durch den StromflussnehmendieLadungenaufdenPlattenabunddamitauchdieSpannungUC,was einen niedrigeren Strom zur Folge hat. Befinden sich keine LadungenmehraufdenPlatten,soherrschtzwischendenPlattenkeineSpannungmehr,undderStromistebenfallsnull.Gesetz

Aufladevorgang

Spannungsverlauf

Stromverlauf

mit

Entladevorgang

Spannungsverlauf

Stromverlauf

mitDefinition

KSZeitkonstanteτCdesKondensators

tCistdiejenigeZeit,nachdereinKondensator36,8%(entsprichtdemBruchteil 1/e) seiner maximal möglichen Ladung aufgenommen hat,bzw. beim Entladevorgang noch 36,8 % seiner Ausgangsladung aufdenPlattenträgt.

BeispielWirdeinKondensatorderKapazitätC=1μFübereinenohmschenWiderstandvonR=10kΩaufgeladen,sowirdderBruchteil1/e≈36,8%seinermaximalmöglichenSpannungU0erreichtnach

ParallelschaltungvonKondensatoren

WieohmscheWiderständelassensichauchKapazitäten(alsoKondensatoren)parallelaneineäußereSpannungsquelleanschließen.

Parallelschaltung„Ersatz“-Kondensator

DasZustandekommendes„Ersatzkondensators“kannmansichsovorstellen,dass man die jeweils gleich geladenen Platten der Kondensatorenzusammenschiebt.EsentstehteinKondensatormiteinerPlattenfläche,diederSummedereinzelnenFlächenentspricht.

Da die Kapazität proportional zur Plattenfläche ist, ergibt sich alsGesamtkapazitätdieSummederEinzelkapazitäten.EsgiltalsodasGesetz

ParallelschaltungvonKondensatoren

WerdenKondensatorenmitdenKapazitätenC1,C2,….,CnparallelaneineSpannungsquelle angeschlossen, so könnendiese ersetztwerdendurcheinenKondensatormitderKapazität

BeispielZweiKondensatorenmitdenKapazitätenC1=20μFundC2=30μF,dieparallelaneineSpannungsquelleangeschlossenwerden,habeneineGesamtkapazitätvon

KS

ReihenschaltungvonKondensatoren

Hier kann man sich das Zustandekommen des „Ersatzkondensators“ sovorstellen,dasssichdieLadungendermittlerenbeidenPlattenauslöschen,dadiePlattenleitendverbundensind.

Reihenschaltung„Ersatz“-Kondensator

Beim Ersatzkondensator ist der Abstand der Platten also größer, als diePlattenabstände der einzelnen Kondensatoren. Da die Kapazität umgekehrtproportional zum Plattenabstand ist, ist die Gesamtkapazität kleiner als dieEinzelkapazitäten.EineRechnungergibtdasGesetz

Reihen-(bzw.Serien-)schaltungvonKondensatoren

Werden Kondensatoren mit den Kapazitäten C1, C2, …., Cn seriell(bzw. in Reihe) an eine Spannungsquelle angeschlossen, so könnendieseersetztwerdendurcheinenKondensatormitderKapazität

DabeiistdieGesamtkapazitätkleineralsdiekleinsteEinzelkapazität.

BeispielZweiKondensatorenmitdenKapazitätenC1=20μFundC2=30μF,dieparallelaneineSpannungsquelleangeschlossenwerden,habeneineGesamtkapazitätvon

AlsobeträgtdieGesamtkapazität12μF.

BeispielRechtsstehendeSchaltungderdreiKapazitätenC1=16μF,C2=4μFundC3=12μFhateineErsatzkapazitätvon8μF,da

KS

DieErsatzkapazitätderParallelschaltungausC2undC3beträgt

3.2Magnetismus

Magnetostatik

Beispiel Stellt man zwei Magnete einander gegenüber, so können sie sichabstoßenoderanziehen.

BeispielTeiltmaneinmagnetisiertenEisenstab immerweiter, so findetmanandenTeilenimmerwiederAnziehungundAbstoßung.

AusdieseneinführendenBeispielen lassen sicheinigeSchlüsse ziehenüberdenMagnetismus:

EsgibtzweiverschiedeneArtenvon„magnetischenLadungen“.Mannenntsie„NordpolN“und„SüdpolS“.

Wie in der Elektrostatik ziehen sich ungleichnamige Pole an undgleichnamigestoßensichab

ImGegensatzzurElektrostatikkönnenNordpolundSüdpolniemalsgetrenntvorkommen, sondern nur als Kombination. Man sagt: „Es gibt keinemagnetischenMonopole“.

BeispielEineKompassnadel,dienichtsweiteristalseinmagnetisiertesStückEisen, orientiert sich an einem festen Ort immer in die gleicheRichtung.

Der Nordpol der Kompassnadel zeigt immer (annähernd) zumgeographischenNordpol,dasbedeutet,dasssichdortdermagnetischeSüdpolderErdebefindenmussundumgekehrt.

BeispielMachtmanmitEisenfeilspänendiemagnetischenFeldliniensichtbar,so zeigt sich, dass die Feldlinien geschlossen sind. Man legt dieRichtungdesFeldesnunsofest,dassimAußenraumdesMagnetendasFeldvonNordnachSüdweisensoll.

MagnetfeldvonStrömen

BeispielWickeltmanDrahtaufeinenEisenkernundschicktStromdurchdenDraht, so können damit 10-Cent-Münzen angehobenwerden.DeraufdenEisenkerngewickelteDrahtwirktalsElektromagnet.

Das Beispiel zeigt, dass stromdurchflossene Leiter von einem Magnetfeldumgeben sind.DieseFeldlinien sind geschlossenund liegen in einerEbenesenkrecht zumStromfluss.Umdie „Richtung“ dermagnetischen Feldlinienanzugeben,bedientmansichder„Rechte-Hand-Regel“:derDaumenzeigtindie(konventionelle)Stromrichtung,dierestlichengekrümmtenFingergebenden Umlaufsinn des Magnetfeldes an. Stellt man zwei stromdurchflosseneLeiter nebeneinander auf, so sind diese jeweils von einem Magnetfeldumgeben.DiesebeidenFelderwechselwirkennunmiteinander,waszurFolgehat,dasssichdiebeidenLeiteranziehenoderabstoßen.

Ausgehend von dieser Kraftwirkung, die durch die Magnetfelder zustandekommt, die durch den Stromfluss hervorgerufen werden, kann man dieEinheitdeselektrischenStromes,dasAmpere,auchwiefolgtdefinierenDefinition

ZweiunendlichlangeimAbstandvoneinemMeteraufgestellteLeiterwerdengleichsinnigvoneinemStrommiteinerStärkevon jeweils1A(mpere)durchflossen,wennsichdieLeitermiteinerKraftvon2·10–7NproMeterLeiterlängeanziehen.

BiegtmannuneinenstromdurchflossenenLeiterzueinemRingzusammen,erzeugt man also einen sogenanntenKreisstrom, so erhält man wiederumnachderRechte-Hand-RegeleinMagnetfeld,dasdenRing„durchflutet“.

Wickeltman denDraht zu einer langen schlankenSpuleund schickt einenStrom durch diese, so erhält man im Inneren der Spule ein homogenes

KS

Magnetfeld. Das ist ein Feld mit parallelen Feldlinien und gleichmäßigerFeldverteilung.Dieskannmansichleichtvorstellen,wennmandieSpulealsHintereinanderschaltungvonvielenKreisströmenannimmt.

Analog zum elektrischen Feld lässt sich für das Magnetfeld eine (Feld-)Größedefinieren:Definition

DiemagnetischeFlussdichteBmitderEinheit[B]=T=Tesla13 istproportional zur Kraftwirkung des Magnetfeldes auf bewegteLadungen.

Ein magnetischer Dipol erfährt im Magnetfeld ein Drehmoment, dasversuchtdenMagnetantiparallelzudenFeldlinienauszurichten.

MagnetischeInduktion

BeispielDurcheineZugbeeinflussungmittels Induktionssicherung (INDUSI)kann imZugeineNotbremsungausgelöstwerden, fallsderLokführerz.B. ein Haltesignal überfahren sollte. Dazu befindet sich eineSendespule am Triebfahrzeug und eine Empfangsspule an denSchienen.DieSendespulewirdmiteinemWechselstrombetrieben,sodass ihr Magnetfeld ständig wechselt. Ist das Signal geschlossen, sowirddieEmpfangsspulekurzgeschlossen.Damit kanndieSendespulein der Empfangsspule einen Strom induzieren,was sichwiederum ineiner höheren Sendeleistung bemerkbar macht. Die Elektronik imTriebfahrzeugregistriertdiesundleitetdieBremsungein.

Beispiel In einerGleichstromlichtmaschine imAuto dreht sich in einemkonstanten Magnetfeld ein sogenannter Anker, auf demKupferdraht (zueinerArtLeiterschlaufe)gewickelt ist.DrehtsichdieLichtmaschine,dannwirdeineSpannungimKupferdrahtinduziertunddieBatteriegeladen.

Die beiden Beispiele zeigen zwei verschiedene Arten, wie man eineSpannung bzw. einen Strom erzeugen kann, indem man sich magnetischeErscheinungenundWirkungenzueigenmacht.

DiebeidenVorgänge

1. Erzeugung einer Spannung durch Änderung einesMagnetfeldes in einerSpuleund

2. Erzeugung einer Spannung durch Bewegung eines Leiters (z.B.Ankerwicklung)ineinenkonstantenMagnetfeld

fasst man unter dem Begriff „magnetische Induktion“ zusammen. DieSpannung, die bei der magnetischen Induktion entsteht, nennt manfolgerichtig„Induktionsspannung“UindoderkurzUi.

EineEigenartdermagnetischenInduktionistes,dassdieInduktionsspannungnur aufgrund der Änderung des Magnetfeldes, bzw. der vom MagnetfelddurchsetztenFlächeentsteht.

Beispiel Lässt man einen Magneten reibungsfrei auf einer (nichtmagnetisierbaren) Aluminiumbahn gleiten, so wird er dennochgebremst.(PrinzipderWirbelstrombremse)

Durch Bewegung des Magneten auf einer unmagnetischen metallischenUnterlage wird in der Unterlage eine Spannung und damit ein Strominduziert. Dieser Strom ist von einem Magnetfeld umgeben, das nun sogerichtetist,dassesdemäußerenMagnetfeldentgegenwirkt.DennwäredasinduzierteMagnetfeldsozumäußerenMagnetfeldgerichtet,dassgleichartigePole aufeinander treffen, würde sich der Magnet beschleunigen und damiteinegrößereSpannunginduzieren,waswiederumeinhöheresMagnetfeldimInneren derUnterlage zur Folge hätte.Also einmal angestoßen,würde sichder Magnet von selbst immer mehr beschleunigen, was dem Energiesatzwiderspricht.Manhätteein„PerpetuumMobile“erschaffen.

Das Prinzip, dass die induzierte Spannung so gerichtet ist, dass sie ihrerUrsache entgegenwirkt, nennt man Lenzsche Regel14. Das heißt also, derInduktionsstrom ist stets sogerichtet, dass seinMagnetfeldderUrsachederInduktion (hier: dem bewegtenMagneten auf derUnterlage) entgegenwirkt(alsodieBewegungbremst).

Beispiel Schaltetman einRadiogerät aus, so spielt es nochkurzeZeit nach,obwohlesbereitsvonderSpannungsquellegetrenntist.

In dem Radiogerät befinden sich Spulen, die zusammen mitKondensatoren dafür sorgen, dass dasGerät die elektromagnetischenWellenempfangenkannundso„rundfunktauglich“ist.

ManbetrachtenuneineSpule,dieübereinenWiderstand(imspezielleneineGlühbirne) an eine Spannungsquelle angeschlossenwird. Schließtman denSchalter,derdafürsorgt,dassderStromkreisgeschlossenwird,soerreichtdieLampenichtsofortihremaximaleHelligkeit.Darauslässtsichschließen,dassnicht sofort dervolleStrom fließt, der sich ausdemohmschenGesetzüberSpannungsquelle und ohmschen Widerstand der Lampe und der Spuleergebenwürde.

KS

Wird der Stromkreis geschlossen, so beginnt der Strom zu fließen. DieÄnderung in der Stromstärke bewirkt aber, dass sich in der Spule dasMagnetfeld ändert und somit eine Spannung Uind induziert wird, die deräußeren Spannungsquelle entgegengesetzt ist (Lenzsche Regel). DiesenVorgangnenntmanSelbstinduktion.BestündederStromkreisnurauseineridealen Spule und einer idealen Spannungsquelle, so würde der StrommiteinerkonstantenRatestetiganwachsen.IneinemrealenStromkreisfälltabermitzunehmendemStromeinimmergrößererTeilderanliegendenSpannungam ohmschen Widerstand ab, bis der Maximalstrom erreicht ist und diegesamteSpannungüberdemWiderstandabfällt.

Gesetz

Einschaltvorgang

Spannungsverlauf

Stromverlauf

mit

Ausschaltvorgang

Spannungsverlauf

Stromverlauf

mit

In obigem Gesetz ist L der sogenannte Selbstinduktionskoeffizient, derangibt,wiegroßdieInduktionsspannungUindbeigegebenerStromänderung

ist.LnenntmanauchInduktionskoeffizientoderkurzInduktivität.Gesetz

Induktionsgesetz

Das negative Vorzeichen der Induktionsspannung gegenüber derStromänderung berücksichtigt die Lenzsche Regel (Wirkung ist derUrsacheentgegengesetzt).

EineSpulederLängelundderQuerschnittsflächeA,dieausnWicklungenDrahtbesteht,hateine(Selbst-)InduktivitätLvonFormel

SelbstinduktivitäteinerSpule

Einheit: (1Henry15)

Dabeiist

μ0:magnetischeFeldkonstante

μr:Permeabilitätszahl(Materialkonstantedes

„Füllmaterials“einerSpule)

n:AnzahlderWindungen

A:QuerschnittsflächederSpule

l:LängederSpule

GängigeGrößenordnungenfürInduktivitätensindμH…mH.Stoffediesichleicht magnetisieren lassen, wie Eisen, Kobalt und Nickel, erhöhen beimEinbringen in eine Spule die Selbstinduktivität umFaktorenμrvon 100 bis105.

ImGegensatz zudenDielektrizitätszahlen εr beiKondensatorenkönnendiePermeabilitätszahlen μr auch kleiner eins sein und damit die Induktivitätabschwächen.

Transformator

KS

Ein Transformator besteht aus zwei Spulen, die magnetisch miteinandergekoppelt sind.Legtmannun eineWechselspannungU1andie ersteSpulemitn1Windungenan, so fließt in ihr einWechselstromund inder anderenSpule mit n2 Windungen wird eine Spannung U2 induziert. Für dieseSpannunggilt:Formel

ÜbersetzungsverhältniseinesTransformators

n1undn2sinddieWindungszahlenderbeidenSpulen.

EslassensichalsoWechselspannungen(fast)beliebiginihrerSpannungtransformieren, indem ein Transformator mit entsprechendemWindungsverhältnisausgewähltwird.Definition

ZeitkonstantetLderSpule

tListdiejenigeZeit,nachderineinerSpule36,8%(dasentsprichtdemBruchteil1/e)ihresmaximalmöglichenStromesfließt.

Beispiel Wird eine Spule der Induktivität L = 1 mH über einen ohmschenWiderstandvonR=100Ωaufgeladen,sowirdderBruchteil1/e≈36,8%desmaximalmöglichenStromesI0erreichtnach

EnergieimMagnetfeld

ManbetrachtenocheinmaldieEnergie,dieimelektrischenFeldsteckt:

Über eine Plausibilitätsbetrachtung soll nun die Energie des magnetischenFeldeseinerSpulebestimmtwerden.DaselektrischeFeld,indemdieEnergiesteckt, entsteht beim Kondensator der Kapazität C dadurch, dass sichzwischen den Platten die SpannungUC aufbaut. Das Magnetfeld hingegenentstehtdurchdenStromflussIinderSpulemitderInduktivitätL.

InderTatistdieEnergiedesmagnetischenFeldesineinerSpule

KS

Beispiel Eine mit Baustahl (μr = 100) gefüllte, l = 1,0 m lange Spule derQuerschnittsflächeA=79,6 cm2mitn=1000Windungenwird voneinem Strom mit der Stärke I = 2A durchflossen. Ihre Induktivitätbeträgt

DamitsteckteineEnergievon

imMagnetfelddieserSpule

Beispiel Damit beim Ausschalten von Spulen keine Funken zwischen denSchaltkontakten entstehen, werden Kondensatoren parallel zumSchalter angebracht, die die magnetische Feldenergie zur„Funkenlöschung“alselektrischeFeldenergiezwischenspeichern.

Bei einem Funkenlöschkondensator von C = 4 μF und einem Strom derStärke I = 2A, der durch eine 1-H-Spule fließt, liegt kurzzeitig eineSpannungvonU=1000Van!Diesergibtsichaus ,wennmannachderSpannungumformt.

SchaltungvonInduktivitäten

Die Schaltung von Induktivitäten stellt sich analog zur Schaltung vonohmschenWiderständenimStromkreisdar:Gesetz

Reihen- (bzw. Serien-)schaltung von Induktivitäten Schaltetman Spulen mit den Induktivitäten L1, L2, … , Ln in Reihe, soaddierensichdieEinzelinduktivitätenzurGesamtinduktivitätLges

Gesetz

ParallelschaltungvonInduktivitäten

Schaltet man Spulen mit den Induktivitäten L1, L2, … , Ln parallel an eineSpannungsquelle, so addieren sich die Kehrwerte der EinzelinduktivitätenzumKehrwertderGesamtinduktivität

ÜbersichtKondensatorundSpule

Kondensator Spule

Kenngröße KapazitätC InduktivitätL

Definitionsgleichung Q=C·UC

Abhängigkeiten

Energie

Schwingkreis

Es gibt in der Elektrizitätslehre ein Analogon zum Federpendel: denSchwingkreis.ErbestehtauseinerSpule (LvergleichbarmitderMassedesPendels)undeinemKondensator(1/CentsprichtderFederkonstantek).

SeiamAnfangderKondensatormitU0aufgeladen,sowirdallmählichdurchdie Spule ein Strom fließen. Der Strom und damit das Magnetfeld in derSpule werden solange zunehmen, bis die Spannung über demKondensatornullist.NunbautsichdasMagnetfeldinderSpuleallmählichwiederabundschiebt so lange Strom in denKondensator, bis er entgegengesetztmit–U0

aufgeladenist.DannwechseltdieStromrichtungundderKondensatorentlädtsichwieder.SchließlichwirdderKondensatordurchdieSpulewiederaufdieursprüngliche SpannungU0 aufgeladen und der Prozess beginnt von vorne.DieKreisfrequenzdesSchwingkreisesist

Die Eigenschaften des Schwingkreises sind ganz analog zu denen desPendels. Ein ohmscher Widerstand führt z.B. zu einer gedämpftenSchwingungmitentsprechendenFormeln.

3.3Versuchsdurchführung

Aufgabe1

KS

StellenSiedenSpannungsverlaufbeiAuf-undEntladungeinesKondensatorsüber einenWiderstand von2000Ωdar.DazubenötigenSie einSteckbrett,dasfolgendeGestalthat:

Links befindet sich der Anschluss für den Rechteckgenerator, der eineSpannung veränderlicher Amplitude, Periode und Dauer liefert. Rechts amBoardbefindetsichderSignalausgang,denmanmitKanalIdesOszilloskopsverbindet. (Sind Sie noch nicht mit der Bedienung eines Oszilloskopsvertraut,lesenSiebittedieAnleitungdazuimAnhang.)Zusätzlichmussnochder zweite Ausgang des Rechteckgenerators mit dem Triggereingang desOszilloskopsverbundenwerden.

DerKondensatormussnunaufdemSteckbrettsoangebrachtwerden,dassanihmdieSpannung abgegriffenwerden kann.Man sieht, dass dies zwischendenPunkten5und7geschehenmuss.

Den Auf-/Entladewiderstand von 2000 Ω erreicht man durchHintereinanderschaltung der beiden 1000 Ω-Widerstände zwischen denPunkten2-9und4-10.

Wählt man nun beispielsweise bei einer Generatoreinstellung vonAmplitude10V,Dauer1msundPeriode2msdenZeitablenkfaktoramOszilloskopzu0,2ms,sostelltsichaufdessenBildschirmdiegesamteAuf-undEntladekurvealsSpannungsverlaufamKondensatordar.

ZurpunktweisenAufnahmederKurven,wähltmandenZeitablenkfaktoramOszilloskop so, dass nur der Aufladeanteil der Kurve sichtbar ist. DannschaltetmanKanal IImitdenSchalterDUALhinzu.DiewaagrechteLinie,diesichdabeizusätzlicheinstellt,dientdazu,denSpannungswertabzulesen,dainderMittedesBildschirmseinefeinunterteilteVertikalevorhandenist.

Aufgabe2

NehmenSiedenSpannungsverlaufamKondensatorbeiAuf-undEntladungüber einen 2000-Ω-Widerstand punktweise auf und stellen Sie denVerlaufgraphischdar.

Am geeignetsten sind die Punkte, in denen der Spannungsverlauf dieVertikalenaufdemBildschirmschneidet.

MitderWaagrechten,dieKanal II liefert, fährtmandieseKreuzungspunktean, und liest so an der Vertikalen in der Mitte des Bildschirms denSpannungswertab.

Der Spannungswertmuss natürlich auf dieGrundlinie bezogenwerden, diemanbeimSpannungsverlauf amKondensator ambesten 1 cmvomunterenBildrandmitGNDundy-POSfestlegt.

Möchte man den Entladeanteil der Kurve zeigen, so stellt man amRechteckgeneratordieVerzögerungaufdengleichenWertwiedieDauerdesSignals.

Aufgabe3

Verfahren Sie ebenso mit dem Stromverlauf bei Auf- und Entladung desKondensators über 2000Ω.DazumussmandieSchaltung etwas umbauen.Der Strom wird nicht direkt gemessen, sondern, da das Oszilloskop nurSpannungen messen kann, über den Spannungsabfall am Widerstand. Dasheißt, um nachher Stromwerte zu erhalten, muss man SpannungswerteaufnehmenunddiesedurchdenWiderstand2000Ωteilen.

Das Steckbrett wird so umgestaltet, dass der Kondensator zwischen denPunkten1-3liegtunddieHintereinanderschaltungderWiderständezwischendenPunkten6-11und8-12.

Aufgabe4

StellenSiewieindenAufgabenzuvordenSpannungs-undStromverlaufalsFolgedesEinschalt-undAusschaltvorgangesbei einerSpuledar,wennderWiderstand 2000 Ω beträgt und nehmen Sie die Kurven punktweise auf.ZeichnenSieeinDiagramm.

Aufgabe5

BestimmenSiejeweilsdieZeitkonstantentC=R·CdesKondensatorsundtL=L/RderSpule.

Bilden Sie dazu beim Spannungsverlauf der Entladekurve amKondensatorfür jeden Spannungswert den Term ln(U/U0). U0 ist der maximaleSpannungswert.ZeichnenSie in einemDiagrammdieZeitabhängigkeit vonln(U/U0) auf und bestimmen Sie über die Steigung (=1/τC) derGeraden dieKapazitätdesKondensators.

Verwenden Sie bei der Induktivitätsbestimmung der Spule denSpannungsverlaufdesEinschaltvorgangesundverfahrenSieimWeiterenwieoben.

KM

4Versuch:SpezifischeLadungdesElektrons4.1FreieundgebundeneElektronen

Vorbetrachtungen

Um die spezifische Ladung, d.h. das Verhältnis zwischen Ladung e undMassemderElektronenzubestimmen,mussmansichzuerstfreie,alsonichtinAtomengebundeneElektronen„besorgen“.

Um zu verstehen, wie imVersuch diese freien Elektronen erzeugt werden,nimmtmanameinfachstenfolgendesModellzuHilfe,dasfüralleMetalleinguterNäherunggilt:

ElektronensindelementareBausteinederAtome.DieElektroneneinesAtomskönnensichnichtalleaneinemOrtaufhalten,sondernverteilensich um den Kern, was bedeutet, dass die Elektronen unterschiedlicheEnergienbesitzen.

Betrachtet man das System bei Temperatur null (das entspricht einerTemperaturvon–273,15°C),sofindetdortkeineBewegungmehrstattunddie Elektronen ruhen alle.„Ordnet“ man nun die Elektronen gemäß ihrerEnergie in einem„Topf“ an, so ergibt sich sehr vereinfacht nebenstehendesBild.

HatmannureinebegrenzteZahlanElektronenzurVerfügung,soergibtsichnach„Einfüllen“derElektroneneineGrenzenergie,diedieElektronenenergienichtüberschreitet,diesogenannteFermi16-EnergieEF.

UmnunElektronenausdemAtomverbandherauszulösen,mussmindestensdieDifferenzzwischenFermi-EnergieundEnergienullüberwundenwerden(Skizze),wasdieElektronenbeiTemperaturnullabernichtalleinschaffen.

Das bedeutet: Um Elektronen herauszulösen und freie Elektronen zuerhalten,mussmannunvonaußendieseDifferenz,diemanAustrittsarbeitoderAblösearbeitnennt,zuführen.

Diese Austrittsarbeit ist bei Temperatur null aber zu groß, um auf diesemWeg freie Elektronen zu erhalten.Nun führtman diesenVersuch nicht beiTemperatur null aus, sondern bei einigen hundert Kelvin durch.Wärme istnichtsanderesalsungeordneteBewegung.Dasbedeutet,dassdiekinetische

Energie der Elektronen ungleichmäßig verteilt ist, dass es also Elektronengibt,derenEnergiedeutlichüberderFermi-Energieliegt.

SehrhoheundsehrniedrigeGeschwindigkeitensindeherunwahrscheinlich.Dennoch ist dieWahrscheinlichkeit für hoheGeschwindigkeiten und damithoheEnergiennichtnull.

UnddieseTatsachemachtman sich zunutze.DenndiesenElektronenmussman nun nur noch eine geringe Energie zuführen, um sie aus dem Atomherauszulösen.Die„Fermi-Kante“weichtmitzunehmenderTemperaturauf:

MöglichkeitenzurErzeugungfreierElektronen

Vom Prinzip her ist es nun klar, dass man den Atomen Energie zuführenmuss,umfreieElektronenzuerhalten.

Dies kann auf mehrere Arten erfolgen. Die zwei wichtigsten sollen jetztvorgestelltwerden:

GlühelektrischerEffekt

Heizt man einen Draht (bzw. eine Kathode) durch Stromfluss auf, sobeginnen je nach Austrittsarbeit des verwendetenMetalls bei etwa 600 °CElektronendasMetall zu verlassen.DieGlühkathode setztElektronennachdemobenbeschriebenenEffektfrei.

Photoeffekt

Eine zweite Möglichkeit, freie Elektronen zu erzeugen, besteht darin, dieKathodemithinreichendkurzwelligemLichtzubestrahlen.Dabei

wird die Energie des Lichtes mit Wellenlänge λ (h: Planck-schesWirkungsquantum,v:Frequenz,c:Lichtgeschwindigkeit)inAblösearbeitundkinetischeEnergiederElektronenumgesetzt.

Beispiel Stellt man eine negativ geladene Zinkplatte auf, deren Ladung voneinemElektrometerüberwachtwirdundbestrahltdiesemithinreichendkurzwelligem Licht, so geht der Ausschlag am Elektrometer zurück.Offensichtlich können nun die negativen Ladungen die Zinkplatteverlassen.

Eine anschauliche Erklärung besagt, dass die „Lichtteilchen“ aus derZinkplatteElektronenherausgeschlagenhaben.

KM4.2ElektroneninFeldern

ElektronenimelektrischenLängsfeld

Hat man ein Elektron aus einem Atom herausgelöst und bringt es in einelektrisches Feld, das durch eine Spannung U erzeugt wird, die an zweiElektroden (Kathode und Anode) anliegt, so wirkt eine Kraft auf dieseLadung.DieseKraftistabhängigvonderStärkedeselektrischenFeldesundvonderLadungselbst.

DadieLadungeineMasseträgt,wirdsienachdemNewtonschenKraftgesetzbeschleunigt und erhält somit eine kinetischeEnergie, die vomelektrischenFeldherrührt.

Durchläuft das Elektron das elektrische Feld, das durch die Spannung Uhervorgerufenwird,soerhältesdieelektrischeEnergieWelektr=e·UinFormvonBewegungsenergie.

Das bedeutet, am Ende der Beschleunigungsstrecke erhält man aus derEnergiebilanzWelektr = Wkin die Geschwindigkeit v des Elektrons, die sichfolgendermaßenergibt:

WillmannundiespezifischeLadunge/mdesElektronsbestimmen,sokönntemaneinruhendesElektronineinelektrischesFeldbringenundamEndederBeschleunigungsstreckedessenGeschwindigkeitmessen.

Es ist jedoch nicht einfach die Geschwindigkeit des Elektrons direkt zumessen.ImnächstenAbschnittwirddiesesProblemaberaufeleganteWeisegelöst.

Beispiel Ein ruhendes Elektron wird in ein elektrisches Feld gebracht, dasdurch eine Spannung von 220 mV erzeugt wird. Nach Durchlaufen

diesesFeldeshatdasElektroneineGeschwindigkeitvon .SetztmanZahlenwerteeinergibtsich:

KM

waseinemAnteilvonrund1‰derLichtgeschwindigkeitentspricht.

ElektronenimMagnetfeld

Bewegt sich ein Elektron mit der Ladung q = – e im gleichmäßigen(homogenen)Magnetfeld mit der Geschwindigkeit nahezu senkrecht zuden Magnetfeldlinien, so wirkt ebenfalls eine Kraft auf diese Ladung, diesogenannteLorentz-Kraft.Definition

Lorentz-Kraft1717 ist dieKraft, die auf einmitqgeladenesTeilchenwirkt, das sich mit der Geschwindigkeit durch ein (homogenes)Magnetfeld bewegt:

BetrachtetmannurdenAnteilderGeschwindigkeit,dersenkrechtzumMagnetfeld ist, so erhält man die praktischere Gleichung für dieBeträgedervektoriellenGrößen , und :

Die Lorentz-Kraft steht sowohl senkrecht auf der BewegungsrichtungderLadungalsauchsenkrechtaufdenMagnetfeldlinien.DieRichtungder Kraft ergibt sich aus derRechte-Hand-Regel: Zeigt der ausgestreckteDaumen in die Bewegungsrichtung der (positiven) Ladung und derZeigefinger inMagnetfeldrichtung, dann gibt der gebeugteMittelfinger dieKraftrichtung der Lorentzkraft an. Ist die Ladung, wie in diesem Beispielnegativ,zeigtdieaufdieseWeiseermittelteRichtungderKraftgenauindieentgegengesetzteRichtung.

WirddasElektronmitderGeschwindigkeit nichtsenkrechtzumMagnetfeldeingeschossen, sondernunter einemWinkelα , sogehtnichtdergesamteBetragderGeschwindigkeitindieLorentzkraftein(Skizze).

ManmussdieGeschwindigkeitskomponentezurBerechnungderLorentzkraftheranziehen, die senkrecht zumMagnetfeld steht. Es ist dies der Anteil .DamitbeträgtdieLorentzkraft

Wie in den vorherigen Abschnitten ergibt sich auch im Magnetfeld einebeschleunigte Bewegung, da ja eine Kraft auf eine Masse wirkt. Derwesentliche Unterschied ist aber, dass diese Kraft senkrecht auf derBewegungsrichtung steht, den Betrag der Bahngeschwindigkeit also nichtändern kann, sondern nur die Richtung. Eine solche Art BeschleunigungnenntmanZentripetalbeschleunigung.

Schießtman das Elektron emit derGeschwindigkeit v senkrecht zu einemMagnetfeld der Stärke B ein (das B-Feld zeigt in der Zeichnung aus derPapierebeneheraus), sowirktdieLorentzkraftaufdieMassedesElektrons,was eine Beschleunigung senkrecht zur ursprünglichen Bewegungsrichtung(in der Zeichnung mit gekennzeichnet) zur Folge hat. Damit ergibt sichwieder eine resultierende Bewegung, die in der Skizze als ausgezeichneterPfeildargestelltist.SetztmandieseKonstruktionsofort,soerhältmaneineKreisbahn,aufdersichdasElektronbewegt.

Allgemeingilt:InhomogenenMagnetfelderbewegensichgeladeneTeilchenaufKreisbahnen.DiebestimmendeGrößedieserKreisbahn ist ihrRadiusr,dersichausfolgenderBedingungergibt:

Die Kreisbahn wird durch die Lorentzkraft Lorentz FLorentz= e ⋅ v ⋅ Bhervorgerufen.DiesewirktalsZentripetalkraft ,diedieLadungaufderKreisbahnhält.

Aus der Gleichgewichtsbedingung FLorentz = FZentripetal erhält man für den

RadiusderKreisbahn

HierausergibtsicheineweitereMöglichkeitdasVerhältnis zubestimmen.

ManschießtdasElektronederMassemmitderGeschwindigkeitvsenkrechtineinMagnetfeldderStärkeBeinundmisstdenRadiusdersichergebendenKreisbahn.

KMWiederum ist hier die Geschwindigkeitsmessung das Problem. Aberbringtmannunein ruhendesElektron ineinelektrischesLängsfeld, sohatesamEndederBeschleunigungsstreckeeineGeschwindigkeit

AndaselektrischeFeldräumlichanschließendbringtmannunsenkrechtdazueinMagnetfeldderStärkeBan.

Damit sind die Voraussetzungen für obige Überlegungen gegeben und dieLadungbeschreibteineKreisbahnmitdemRadius

Setztmannunfürv0obigenAusdruckeinundlöstnach auf,ergibtsichdieFormelfürdiespezifischeLadung

4.3ErzeugungdesMagnetfeldes

Das homogene Magnetfeld wird in unserem Fall über ein sogenanntesHelmholtz18-Spulenpaar erzeugt, das die Eigenschaft besitzt, zwischen denSpuleneinsehrhomogenesMagnetfeldzuerzeugen.

Dabei sind zwei identische Spulen im Abstand des halbenSpulendurchmessers parallel zueinander angeordnet. Das durch StromflussentstehendeMagnetfeldBistproportionalzuderStromstärkeI,alsoB=A·I,wobeiAeineKonstanteist,diedieSpuleneigenschaftenzusammenfasst:Definition

ApparatekonstanteAeinesHelmholtz-Spulenpaares

μ0:magnetischeFeldkonstante

R:RadiusderSpulen

d:AbstandderSpulen

n:AnzahlderWindungen

KM

Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung der spezifischen Ladung vonElektronenanhandderFormel

SpezifischeLadungdesElektrons

U:Beschleunigungsspannung

I:Spulenstrom

A:ApparatekonstantedesHelmholtz-Spulenpaares

r:RadiusderKreisbahn

4.4Versuchsdurchführung

DerVersuchsaufbau,derhierbenutztwird,siehtschematischfolgendermaßenaus: FreieElektronenwerden durch den glühelektrischenEffekt erzeugt. IneinemelektrischenLängsfeld zwischenKathodeundRinganodewerdendieElektronen beschleunigt und gelangen dann in das homogene, von einemHelmholtzspulenpaar erzeugte Magnetfeld, in dem sie einen Kreisbeschreiben.

DiesegesamteAnordnungbefindetsichineinerevakuiertenGlaskugel,indieetwasNeon-Gasgebrachtwurde.DurchStößemitdenElektronenwerden die Edelgas-Atome zum Leuchten angeregt, wodurch dieElektronenbahnsichtbarwerden.InderMittederGlaskugelistein„Maßstab“angebracht, auf dem man den Kreisbahndurchmesser in 2 cm-Schrittenablesenkann.SosindKreisbahneneinstellbarvon0bis10cmDurchmesser.

Aufgabe1

Berechnen Sie die Apparatekonstante A des Helmholtz-Spulenpaares mitfolgendenAngaben:

RadiusderSpulenR=14,75cm

AbstandderSpulend=7,50cm

AnzahlderWindungenaufeinerSpulen=124

MagnetischeFeldkonstanteµ0=

Aufgabe2

Bestimmen Sie die spezifische Ladung des Elektrons. Der Ablauf desVersuchesstelltsichnunfolgendermaßendar:

EswirdeineBeschleunigungsspannungeingestellt.DadurcherhältdasElektroneinebestimmteGeschwindigkeit,mitderessenkrechtzudenMagnetfeldlinieninsMagnetfeldeingeschossenwird.Nun variiert man den Spulenstrom so lange, bis die ElektronenKreisbahnenderDurchmesser6,8und10cmbeschreiben.DiesesSpannungs-Strom-PaarwirdalsMesswertaufgenommen.

DiesführtmanfürSpannungenvon250Vbis400VinSchrittenvon25Vdurch.

ZurAuswertung trägtmandieseWertepaare ineinDiagrammein, indemnachrechtsderSpulenstromzumQuadrat I2aufgetragen istundnachobendieBeschleunigungsspannungU.

Nunstelltman fest, dassdie zueinemKreisdurchmessergehörendenWertepaare auf einer Geraden liegen. Folglich erhält man dreiGeraden.

DasssichhierGeradenergeben,zeigtauchderrechnerischeWeg:Formtmandie Beziehung für die spezifische Ladung gemäß den Gegebenheiten desDiagrammsum,stelltalsodenZusammenhangzwischenUundI2her,ergibtsich:

Es besteht tatsächlich ein linearer Zusammenhang zwischenU und I2.DieSteigungderGeraden ist durchdenProportionalitätsfaktorgegeben, indemdiespezifischeLadungsteckt.

KM

Bei drei Kreisdurchmessern erhält man also drei Geraden mit dreiSteigungenunddamitdreiWertefürdiespezifischeLadung .

MittelwertbildungliefertdasEndergebnis.

Aufgabe3

Bestimmen Sie die Masse des Elektrons aus Ihrer experimentell bestimmtenspezifischenLadungundderElementarladung.(e=1,6022·10–19C)

VergleichenSiejeweilsmitdenLiteraturwerten

Aufgabe4

Welche Geschwindigkeit hat das Elektron am Ende des elektrischenLängsfeldes,wennzwischenKathodeundAnodeeineSpannungvon400Vanliegt?

VergleichenSiediesemitderLichtgeschwindigkeit.

Übungsaufgaben

1.EinElektronbewegtsichmiteinerGeschwindigkeitvon senkrecht ineinemMagnetfeldvonB=0,2T.WiegroßistderRadiusderKreisbahn,diedasElektronbeschreibt?(r=0,284mm)

2. Ein Teilchen der LadungQbewegt sichmit einerGeschwindigkeit ineinemMagnetfeld .

a)WelcheKraft wirktaufdasTeilchen(Formel)undwienennmandiese?(=Q· × ,Zentripetalkraft)

b)Wiegroß istdieKraft aufdasgeladeneTeilchen,wennes sichgenau inRichtungdesMagnetfeldes bewegt?WiegroßistderRadius?

(DieKraftistgleichnull,derRadiusunendlich.)

4.5Elektronenmikroskop

In Elektronenmikroskopen werden schnelle Elektronen aus einerKathodenstrahlung zur Abbildung kleinster Objekte verwendet. DieElektronen durchlaufen dabei einen ähnlichen Strahlengang wie beimLichtmikroskop(sieheSeite265ff.).DieElektronenmitderGeschwindigkeitvverhaltensichwieWellenmitderde-Broglie-Wellenlängeλ=h/(m·v),

wobeihdasPlanckscheWirkungsquantumistundmdieMassedesElektrons.Die Geschwindigkeit v der Elektronen errechnet sich aus derBeschleunigungsspannungUdesElektronen-Mikroskops:

In heute eingesetzten Elektronen-Mikroskopen wird eineBeschleunigungsspannung von U = 105 V = 100 kV verwendet. DieWellenlänge der Elektronen beträgt dann λ = 39 pm. Das theoretischeAuflösungsvermögen ist daher deutlich höher als beim Lichtmikroskop (1μm)und liegt jenachBauartzwischen1und50nm.StattdurchGlaslinsenwiebeimLichtmikroskopwirdderElektronenstrahldurchElektronenlinsen,alsoelektrischeundmagnetischestatische(zeitlichkonstante)Feldergeleitetund fokussiert. Das Auflösungsvermögen wird durch (elektrische)Linsenfehler begrenzt.DasBild ist reell, aufrecht und vergrößert und kannaufeinemfluoreszierendenSchirm(Leuchtschirm)sichtbargemachtwerden.

1CharlesAugustinCoulomb(1736–1827)2ThalesvonMilet(~625–547v.Chr.)3RobertAndrewsMillikan(1868–1953),Nobelpreis19234BenanntnachAlessandroVolta(1745–1827).5PeterDebye(1884–1966),Nobelpreis1936(Chemie)6BenanntnachAndreMarieAmpere(1775–1836).

7BenanntnachGeorgSimonOhm(1789–1854).8BenanntnachWernervonSiemens(1816–1882).9GustavRobertKirchhoff(1824–1887)10 Benannt nach dem Italiener Luigi Galvani (1737–1798), der auch den „Froschschenkelversuch“durchführte.11SirCharlesWheatstone(1802–1875)12 „Farad“ ist die Abkürzung für Faraday und ist benannt nach dem englischen Physiker MichaelFaraday(1791–1867).13NicolaTesla(1856–1943)14HeinrichFriedrichEmilLenz(1804–1865)15JosephHenry(1797–1878)16EnricoFermi(1901–1954),Nobelpreis193817HendrikAntoonLorentz(1853–1928),Nobelpreis1902

18HermannvonHelmholtz(1821–1894).

5Optik

PhotonenundelektromagnetischeWellen,SpektrumdesLichtesReflexion,Brechung,DispersionLinsen,Spiegel,Linsensysteme,menschlichesAugeAbbildungsgesetz,AbbildungsfehlerHuygensschesPrinzip,Interferenz,BeugungPolarisation,optischaktiveSubstanzen

1AllgemeineGrundlagen1.1DieNaturdesLichtes

DieFragenachderNaturdesLichtesstelltelangeeinfundamentalesProblemder Physik dar. Der einflussreichste Verfechter einer Teilchentheorie desLichtswarEndedes17.JahrhundertsIsaacNewton.ErstelltesichLichtalseinen Strom winziger Teilchen vor. Im Gegensatz dazu vertrat ChristianHuygens, ein Zeitgenosse Newtons, die Theorie, Licht sei eineWellenerscheinung.

BeidekonntenmitihrenTheoriendieoptischenErscheinungenderBrechungundderReflexionvonLichtananderenMedienwieWasseroderGlas(sieheAbschnitt „geometrische Optik“) erklären. Newton musste dazu allerdingsvon der Annahme ausgehen, dass sich Licht in solchen Medien schnellerausbreitetals inLuft,währendHuygensvoraussetzenmusste,dassLicht imMedium langsamer ist. In diesem Punkt sollte Huygens rechtbehalten,allerdings wurde aufgrund des großen Ansehens Newtons dessenTeilchentheorie lange Zeit als richtig akzeptiert. Erst Anfang des 19.JahrhundertserhieltdieWellentheoriedurchdieArbeitenvonThomasYoungneuen Auftrieb. Youngs Beobachtungen von Lichtinterferenzen (sieheAbschnitt„Wellenoptik“)wareneineindeutigerHinweisaufdieWellennaturdesLichts.

Nach der Veröffentlichung von James Clerk Maxwells Theorie desElektromagnetismus konntenLichtwellen schließlich als elektromagnetischeWellen identifiziert werden, die sich im Vakuum mit einerLichtgeschwindigkeit von c0 = 299 792 458 m/s, also fast 300 000 km/sausbreiten, ohne dass dafür wie z.B. bei Schall ein materielles Mediumerforderlich ist (schließlich gelangt glücklicherweise das Licht der Sonnedurchden(fast)leerenWeltraumbiszuunsaufdieErde).

WährendmanmitErscheinungenwieder Interferenz,derBeugungundderPolarisation von Licht seine Wellennatur beweisen kann (siehe Abschnitt„Wellenoptik“), gibt es bei der Wechselwirkung von Licht mit MateriePhänomenewiez.B.denPhotoeffekt,diesichnurerklärenlassen,wennmanLichtalsTeilchen,sogenanntePhotonen,annimmt.Formel

NachEinsteinhängtdieEnergieEeinesPhotonsmitderFrequenzv(oder häufig: f)derLichtwelle über dieBeziehungE=h · v=h · fzusammen; dabei ist h eine Konstante, das sogenannte PlanckscheWirkungsquantum.

EinsolchesLichtteilchen istnichtweiterunterteilbar.SeineTeilchenenergie(Quantenenergie) ist (wie man an der Formel sieht) proportional zu seinerFrequenz.LichthatalsosowohlWellen-alsauchTeilcheneigenschaften.

NureinsehrkleinerAusschnittdesgesamtenSpektrumselektromagnetischerStrahlungwirdvommenschlichenAugealssichtbaresLichterkannt.AndereArten elektromagnetischer Strahlung, wie z.B. Radiowellen, Mikrowellen,Röntgenstrahlung oder Gammastrahlung unterliegen denselbenGesetzmäßigkeitenundunterscheidensichnurinihrerFrequenzvbzw.ihrerWellenlänge λ voneinander, die über die Beziehung c = λ · vzusammenhängen. Folgende Abbildung gibt einen Überblick über daselektromagnetischeSpektrum.

SpektroskopieEin Spektrum ist eine Anordnung der elektromagnetischen Strahlen nachFrequenz oderWellenlänge. Zur Aufnahme und Auswertung von Spektrenvon Atomen, Molekülen und Ionen verwendet man die Spektroskopie. Jenachdem, ob das Spektrum als durchgehendes Band oder nur als einzelneLinienzubeobachtenist,sprichtmanvoneinemkontinuierlichemSpektrumbzw.einemLinien-oderdiskretenSpektrum.

Beispiel Das Sonnenlicht, der Lichtbogen einer Bogenlampe und derGlühdraht einer Glühlampe liefern kontinuierliche Spektren. AtomeliefernausschließlichLinienspektren.

BeispielSpektrenmitdiskretenLinien(Linienspektren)werdenzumBeispielvon leuchtenden Gases (Natrium) emittiert, ermöglichen qualitativeAnalysen mit geringsten Stoffmengen, findet man in derRöntgenstrahlung und sind charakteristisch für das emittierendeElement(Spektralanalyse).

Sendet das Element selbst eine Strahlung aus, kann man einEmissionsspektrumbeobachten.DieFrequenzenderausgesandtenStrahlungkann bei einem Linienspektrum beim Durchlaufen der Frequenzen anhandleuchtender Linien (Spektrallinien) auf ansonsten dunklem Untergrundbeobachtetwerden.

BeispielEmissions-SpektrensinddasFunkenspektrum,Bogen-spektrum,FluoreszenzspektrumunddasFlammenspektrum.

DurchstrahltmanzumBeispiel eineverdünnteFlüssigkeit oder einGasmitLicht, erhältmaneinSpektrum, indemeinigeSpektrallinien fehlen.DiesesSpektrum, das von schwarzen Linien durchsetzt ist, nennt manAbsorptionsspektrum.

Zur Erzeugung eines Spektrums und der Spektralanalyse dient einSpektrograph,der imeinfachstenFallauseinemPrismabesteht.DasLichteiner thermischen Lichtquelle (Wolfram-Lampe für sichtbares Licht,Quecksilberdampf-Lampe für ultraviolettes Licht) wird durch einenMonochromatorgesandt.DerMonochromator, inderRegeleinGitteroderein Prisma, selektiert bestimmte Wellenlänge aus. Nach Durchlaufen desProbengefäßes mit der zu analysierenden Substanz wird die Lichtintensitätauf einerFotozellegemessen.DieLichtintensitätwirdnun fürverschiedeneWellenlängengemessenundineinemDiagrammaufgetragen.DasDiagrammmitLichtintensität gegendieWellenlänge ist dasSpektrumder analysiertenSubstanz. (Farb-)Filter sondern aus Licht bestimmte Wellenlängen (Farbe)oder Wellenlängenbereiche aus, indem sie das Licht der restlichenWellenlängenabsorbieren.

GrenzendergeometrischenOptik

Die Optik wird in zwei Teilgebiete untergliedert: In der geometrischenOptik behandelt man die Vorgänge, die sich mit der Vorstellung einergeradlinigen Ausbreitung des Lichts darstellen lassen. Ein Lichtstrahl kanndabei also „geometrisch“ als gerade Linie beschrieben werden. DieWellennatur desLichtes birgt allerdings Phänomenewie z.B. dieBeugung,bei der diese Anschauung scheitert. Genau wie bei der Beugung vonWasserwellen,diesichnachdemDurchgangdurcheineengeÖffnungnicht

nur geradlinig ausbreiten, sondern den ganzen Raum hinter der Öffnungausfüllen,kannLichtsozusagen„umdieEcke“gehen.Diesistallerdingsnurder Fall, wenn die Abmessungen der begrenzenden Öffnungen undHindernissenichtmehrgroßsindgegenüberderWellenlängedesLichts.MitVorgängen, bei denen solche durch die Wellennatur des Lichteshervorgerufene Erscheinungen nicht mehr vernachlässigt werden können,beschäftigtsichdieWellenoptik.

EinheitendesLichtes

Es gibt verschiedene Definitionen der „Stärke“ des Lichtes, die je nachAnwendungsfallihreBerechtigunghaben.Definition

Intensität I, [I] = W/m2, des Lichtes ist die Energie pro Zeit- undQuerschnittsfläche,dieeinLichtstrahltransportiert.

DieseDefinition gilt für jede (räumliche)Welle und ist uns bereits aus derAkustikbekannt.Definition

Lichtstrom Φ, [Φ] = 1m = Lumen, ist die nach der spektralenEmpfindlichkeitdesmenschlichenAugesbewerteteStrahlungsabgabeeiner Lichtquelle. (Seine Angabe findet sich z.B. auf denEnergiesparlampen.)

Definition

Lichtstärke Iv, [IV] = cd = Candela, ist der von einer Lichtquelleabgegebene Lichtstrom pro Raumwinkel. Ihre Einheit Candela(lateinischKerze)isteineSI-Einheitunddefiniertwiefolgt:

Ein Candela ist die Helligkeit, wie sie eine Lichtquelle hat, die einLicht von 555 nmWellenlängemit einerLeistung von 1/683WproSteradiant(Raumwinkel)abgibt.

Definition

Beleuchtungsstärke E, [E] = 1x = Lux (lateinisch Licht), ist dereinfallendeLichtstromsproFläche:

1lx=1lm/m2

1.2GeometrischeOptik

Wie bereits erwähnt geht man in der geometrischen Optik von einergeradlinigenAusbreitungdesLichtesaus.ImFolgendenkönnenwirdeshalb

guten Gewissens den Begriff des Lichtstrahles verwenden. Von einerpunktförmigen Lichtquelle gehen z.B. die Lichtstrahlen gleichmäßig in alleRichtungen. Deren Intensität ist umgekehrt proportional zur Fläche, die siedurchsetzenundistdamitproportionalzumKehrwertdesAbstandquadratesI~1/x2.

Die ungestörte, geradlinige Ausbreitung beobachtet man allerdings nur ineinem homogenen, d.h. überall gleich beschaffenen Stoff (optischesMedium). Trifft ein Lichtstrahl auf die glatte, ebene Grenzfläche zweierMedienIundII,soerfahrter imAllgemeinendieTeilunginzweiStrahlen.Der eine tritt in das Medium II ein und läuft dort mit veränderterAusbreitungsrichtung und -geschwindigkeitweiter. Er kann auch absorbiertwerden,wennMedium II für ihn „undurchsichtig“ ist.Der andere bleibt inMedium I, er wird reflektiert. Für eine solche Reflexion gilt dasReflexionsgesetz:Formel

Reflexionsgesetz

DereinfallendeundderreflektierteStrahlbildenmitdemEinfallslot,das im Auftreffpunkt auf der Grenzfläche errichtet wird, gleicheWinkela.

FernerliegtderreflektierteStrahlinderdurcheinfallendenStrahlundEinfallslot gegebenen Ebene. Kurz: Einfallswinkel gleichAusfallswinkel

Der Teilstrahl, der von einem durchsichtigen Medium in ein anderesübergeht, erfährt eine Richtungsänderung, d.h. eine Brechung, für die dasBrechungsgesetznachSnellius1gilt:Gesetz

Brechungsgesetz

BildendereinfallendeunddergebrocheneStrahlmitdemEinfallslotdenEinfallswinkelabzw.ß,sogilt

FernerliegendereinfallendeStrahl,dasEinfallslotunddergebrocheneStrahlineinerEbene.

Die Größen n1 und n2 sind Stoffkonstanten der beiden optischenMedien Ibzw.IIundwerdenalsBrechzahlenoderBrechungsindizesbezeichnet.

Definition

DerBrechungsindex (Brechzahl)neinesMediums, in dem sich dasLicht mit der Geschwindigkeit cM ausbreitet ist definiert alsdimensionsloseGröße:

Dabeibedeutetc0dieLichtgeschwindigkeitimVakuum.Sieistgrößer,alsdieLichtgeschwindigkeitcMinirgendeinemanderenMedium.

Die Ursache für die Brechung einer Welle ist also die Änderung ihrerAusbreitungsgeschwindigkeit.

WirdderLichtstrahl,wieinderAbbildungbeimÜbergangvonLuftinGlasoderWasser, zumEinfallslothingebrochen, sobezeichnetmanStoff IIalsdasoptischdichtere,StoffIalsdasoptischdünnereMedium.DasoptischdichtereMediumhatstetsdiegrößereBrechzahln.

BeispielDieBrechzahleinesGlasesbetragefürNatrium-Lichtn=1,5.Nachder Formel breitet sich der Lichtstrahl in diesem Glas mitveränderterGeschwindigkeitaus.Esgilt:

Das Licht breitet sich im Glas also nur mit 2/3 der Vakuumlichtgeschwindigkeitaus.

DieBrechzahlhängtnichtnurvonderBeschaffenheitdesStoffesab,sondernauch von der Frequenz des ankommenden Lichtstrahls, d.h. Lichtverschiedener Frequenz, also verschiedener Farbe, „sieht“ verschiedeneBrechzahlenn.DasistauchderGrund,warummanz.B.dasLichtderSonne,dasalleFarbenenthält,durcheinGlasprismainseineSpektralfarbenzerlegenkann (dies ist auch das Phänomen, das der Entstehung eines Regenbogenszugrunde liegt). Darauf wird in einem späteren Abschnitt noch genauereingegangen.

Die Brechzahlen einiger Substanzen, bezogen auf das gelbe Licht einerNatriumlampe(l=589nm),sindinfolgenderTabellezusammengestellt.

BrechungsindizesverschiedenerStoffe

Substanz Brechzahln

Vakuum 1

Luft(Normalbedingungen) 1,000276

Festkörper

Diamant 2,417

Eis 1,309

Kochsalz 1,544

Gläser

Kronglas 1,5–1,6

Flintglas 1,6–1,75

Quarzglas 1,458

Flüssigkeitenbei20°C

Wasser 1,333

Benzol 1,501

Ethanol 1,36

Leinöl 1,486

Zedernholzöl 1,505

Das Reflexionsgesetz und das Brechungsgesetz können durch einfachegeometrischeÜberlegungenhergeleitetwerden,wennmandasWellenbildzuHilfe nimmt. (Dem interessiertenLeser sei zurVertiefung zumBeispielG.Staudt,ExperimentalphysikIIempfohlen.)

WasändertsichfüreinenLichtstrahlbeimÜbergangineinanderesMedium?Da die Frequenz des Lichtes erhalten bleibt (dieAtome im neuenMediumwerden von der ankommenden Lichtwelle sozusagen zu erzwungenenSchwingungen angeregt und strahlen deshalb auch wieder Licht gleicherFrequenz ab), die Ausbreitungsgeschwindigkeit sich aber ändert,muss sichnachderFormelc=l·vauchdieWellenlängedesLichtsbeimÜbergangineinanderesMediumändern.

TriffteinLichtstrahlvoneinemoptischdichterenaufeinenoptischdünnerenStoff (n1 > n2), so wird er vom Einfallslot weg gebrochen, wobei natürlichwiederdieBeziehung gilt.LässtmanihnunterimmergrößerenWinkelnaaufdieGrenzflächefallen,sowirdauchderWinkelßentsprechendgrößer,

biserschließlichdengrößtmöglichenWertvon90°erreicht. IndiesemFallhatdasBrechungsgesetzfolgendeGestalt:

aGistdersogenannteGrenzwinkel.BeinochgrößerenEinfallswinkelna>aGkanndasLichtnichtmehr indenoptischdünnerenStoffeintretenundwirddaher vollständig reflektiert. Diese Erscheinung wird als Totalreflexionbezeichnet.

BeispielDieTatsache, dass Schnee undurchsichtig ist, obwohl die einzelnenPartikelchenLichtnichtabsorbieren,beruhtaufderTotalreflexion.Daseindringende Licht wird an den Grenzflächen zwischen gefrorenenWasserpartikelchen (optisch dichteres Medium) und Luft (optischdünneresMedium) ständig totalreflektiert, so dass es nicht geradlinighindurchtretenkann.ErstwennmandieLuft indenZwischenräumenderEispartikeldurcheinMediumvonnahezugleicherBrechzahl,alsoz.B.Wasser,ersetzt,wirdderSchneedurchsichtig.

Beispiel Die erhitzte Luftschicht unmittelbar über einer von der Sonnebestrahlten Straße ist optisch dünner als die höher darüber liegendeLuft.UnterganzflacherBetrachtung,d.h.untergroßemEinfallswinkel,tritt Totalreflexion auf und man beobachtet eine Spiegelung desHimmelsoderandererDingewieaneinerWasseroberfläche.

BeispielLässtmanLichtdurchdieStirnflächeineinenGlasstabeintreten,sotrittselbstbeigebogenemStabkeinLichtseitlichheraus.SokannmandurchTotalreflexioneinLichtbündelbeliebiglenken(Lichtleiter).EinBündel von Glasfasern kann so zum Übertragen von Abbildungenverwendetwerden.Dieswirdz.B.indermedizinischenDiagnostikbeider Untersuchung innerer Organe, der sogenannten Endoskopie,verwendet. In der Kommunikationstechnik dienen Glasfasern zumÜbertragen von Daten. In einer Glasfaser, die nicht dicker als einMenschenhaar ist,kanneine Informationsfülleübertragenwerden,die25000simultanenTelefongesprächenentspricht.

Lässt man Sonnenlicht durch einen engen Spalt in einen dunklen Raumeintreten, so erhältman derÖffnung gegenüber einenweißenLichtfleck inForm des Spaltes. Platziert man nun ein Prisma im Strahlengang, sobeobachtet man nicht nur eine Ablenkung des Strahlenbündels nach unten,was nach demBrechungsgesetz zu erwartenwar, sondern es ergibt sich anStelledesabgelenktenweißenFleckseinFarbenband,dasobenrotunduntenviolettist.DasweißeSonnenlichtenthältalsoLichtartenverschiedenerFarbe,die verschieden stark gebrochen werden. Dieses Farbenband mit denHauptfarben Rot, Orange, Gelb, Grün, Blau und Violett (in dieserReihenfolgevonobennachunten)bezeichnetmanalsSpektrum.

Da also die Brechung eines Stoffes für die einzelnen Farben des Lichtesverschiedenist,mussimmerdieFarbe(alsodie(Vakuum-)Wellenlänge)desLichtes angegeben werden, auf die sich die Brechzahl bezieht. DieLichtwellen der einzelnen Spektralfarben unterscheiden sich, wie bereitserwähnt,durchihreFrequenz.ViolettesLichthatdiehöchste,rotesLichtdieniedrigste Frequenz des sichtbarenBereiches.DerGrund für die Zerlegungdes Sonnenlichts in die Spektralfarben liegt nun in der Abhängigkeit derAusbreitungsgeschwindigkeit derWellen imMedium (in unseremFall demGlasdesPrismas)vonihrerFrequenz.Andersausgedrückt:Gesetz

DieBrechzahlneinesStoffeshängtvonderFrequenzdesverwendetenLichtsab.

DieseTatsachebezeichnetmanalsDispersion.

JederStoffzeigteineganzeigeneAbhängigkeitseinesBrechungsindexesvonderFrequenzdesLichtes.Frequenzbereiche,indenendie

Brechzahl mit steigender Frequenz anwächst, heißen Gebiete normalerDispersion.Wird die Brechzahlmit steigender Frequenz kleiner, so sprichtmanvonGebietenanomalerDispersion.

Die meisten Stoffe zeigen im Bereich des sichtbaren Lichtes normaleDispersion. Eine Ausnahme bildet Fuchsin. Abschließend noch einigeanschaulicheBeispieleausderNatur.

BeispielEinBeispielderchromatischenDispersionistderRegenbogen.FälltSonnenlicht auf einenRegentropfen, der sich auf demWeg zur Erdebefindet,sowirdeinTeildesLichtsindenTropfenhineingebrochen,anderInnenflächedesTropfensreflektiertundwiederausdemTropfenherausgebrochen.WiebeieinemPrismaspaltetdieersteBrechungdasweißeLicht in die Farbanteile auf und die zweiteBrechung verstärktdiese Aufspaltung. Der sichtbare Regenbogen entsteht durch dieBrechung an vielen Wassertropfen: Der rote Anteil stammt vonTropfen, die sich etwas höher in derAtmosphäre befinden, der blaueAnteilvonTropfen,diesichweiteruntenbefinden,unddierestlichenFarben entstehen dazwischen. Alle Tropfen, an denen Sie dieBrechungseffekte beobachten können, befinden sich unter einemWinkel von etwa 42° bezüglich eines Punkts, der aus Ihrer Sicht derSonne genau gegenüberliegt. Fällt starker Regen und wird dieRegenwand hell beleuchtet, dann könnenSie einenKreisbogen sehen(der roteAnteil liegt außen, der blaue innen). Jeder Beobachter siehtseinen eigenen Regenbogen; andere Beobachter registrieren das ananderenTropfengebrocheneLicht.

Der farbige Kreisbogen wird durch die Brechung des Sonnenlichts in dieWassertropfenhineinundwiederherauserzeugt.BeidiesemSchemastehtdieSonneamHorizont(dieSonnenstrahlenverlaufenwaagerecht).EingezeichnetsinddieVerläufederroten(hiergestrichelt)undblauenTeilstrahlenbeiderBrechung an zwei Tropfen. Weiteres Licht roter, blauer und dazwischenliegenderWellenlängenwirdvonvielenanderenTropfenbeigesteuert.

BeispielDieFarbtrennung imRegenbogen rührt von derTatsache her, dassdieBrechzahldesWassersvonderFrequenzdesLichtesabhängt,denndamitändertsichauchderBeobachtungswinkel,unterdemmandas

Lichtsehenkann.LichtverschiedenerFrequenzen,d.h.verschiedenerFarbe,hatalsoeinenunterschiedlichenWinkel,unterdemesinhoherIntensitätdenTropfenverlässt.

QA

Durch zweimalige Reflexion von Lichtstrahlen innerhalb einesWassertropfens entsteht der sogenannte sekundäre Regenbogen.ErhateinenBeobachtungswinkelvon51°,undseineFarbreihenfolge istumgekehrt gegenüber der des primären Regenbogens. Da an derWasser/Luft-Grenzfläche nur ein kleiner Teil des Lichts zweimalreflektiertwird,istdersekundäreRegenbogensehrvielschwächeralsder primäre. Er wird daher nur in seltenen Fällen und unter sehrgünstigenLichtkontrastverhältnissenbeobachtet.

2Versuch:OptischeAbbildungenmitLinsen2.1Grundlagen

Wie bereits erwähnt, ist die Annahme der geometrischen Optik – diegeradlinige Ausbreitung eines Lichtstrahls innerhalb eines homogenenMediums–dannguterfüllt,wenndieWellenlängedesLichtskleingegendieDurchmesser und Abstände der betrachteten optischen Instrumente ist. ZurBeschreibung der Abbildungseigenschaften von Spiegeln, Linsen undLinsensystemenwerdendahernurdiebisherbeschriebenenGesetzebenötigt.

ZunächstsollennursogenanntedünneLinsenbetrachtetwerden,beidenenman sich die zweimalige Brechung von Lichtstrahlen an der vorderen undhinteren Linsenbegrenzung in guter Näherung durch eine einmaligeAblenkunginderLinsenmitteersetztdenkenkann.

Sammellinsen

Je nachdem, ob ein durch die Linse fallendes Lichtbündel nach der Linsekonvergiert (gesammelt wird) oder divergiert (zerstreut wird) unterscheidetman Sammel- und Zerstreuungslinsen. Hier soll nun zunächst derStrahlenverlaufaneinerSammellinsebetrachtetwerden.AlsoptischeAchsebezeichnet man die gedachte Linie, die die Linse senkrecht durch ihrenMittelpunktdurchläuft.

BetrachtetmannuneinLichtbündelparallelerStrahlen,dasdieLinseparallelzur optischen Achse durchsetzt (Abbildung a), so erkennt man, dass alleStrahlen hinter der Linse durch einen einzigen Punkt verlaufen, demsogenanntenBrennpunktF.Siewerdeninihmgesammelt.

Die Entfernung des Brennpunktes von der Linse bezeichnet man alsBrennweite f.Wenn, wovon hier ausgegangen werden soll, an die Linsebeidseitig derselbe Stoff grenzt, dann liegen die Brennpunkte auf beidenSeitengleichweitvonderLinseentfernt;beideBrennweitensindgleich.

Nun soll derVerlauf eines divergentenLichtbündels betrachtetwerden, dasvoneinemPunktPaufderoptischenAchsederSammellinseausgeht.RücktmandiesenPunktimmernäherandieLinseheran(Abbildungenbbisd),sotritt jedesMal einkonvergentesLichtbündel aus, dessenVereinigungspunktP‘aberimmerweitervonderLinsewegwandert.

Man bezeichnet P‘ als (reelles) Bild von P. Liegt P im Brennpunkt, soerzeugt die Linse ein Bündel paralleler Strahlen; der Bildpunkt ist inunendlicheFernegerückt.

Liegt P innerhalb der einfachen Brennweite, so bleibt das austretendeLichtbündel divergent (Abbildung e), hat aber einen kleinerenÖffnungswinkel als das einfallende. Ein Beobachter, der den Strahlengangvon rechts kommendbetrachtet, sieht denvirtuellenBildpunkt P‘, der sichergibt,wennmandie von derLinse kommendenStrahlen zurück durch dieLinsehindurchgeradlinigverlängert.DasvirtuelleBildbefindetsichalsoaufder gleichen Seite der Linse wie der Gegenstand. Dies ist das Prinzip derLupe:Manerzeugtdasvirtuelle,vergrößerteBildeinesGegenstandes,indemmanihnnäheralsdieeinfacheBrennweitedurcheineSammellinsehindurchbetrachtet.

EinvirtuellesBildkann, imGegensatzzueinemreellenBild,nichtaufeineLeinwand oder eine Photoplatte projiziert werden, sondern wird erst durcheineweitereOptik –wie diemenschlicheAugenlinse oder einObjektiv aneinerKamera–sichtbar.

Bildkonstruktion

QA

Aus dem Verhalten der Lichtbündel ergeben sich folgende Gesetze zurgeometrischenKonstruktionvonLichtstrahlen(sieheAbbildung):

1.DerMittelpunktstrahltrittunabgelenktdurchdieLinse.

2. Jeder achsenparalleleStrahlgehtdurchdenBrennpunkt aufder anderenLinsenseite. Solche durch den Brennpunkt verlaufende Strah len werdenBrennstrahlengenannt.

3.JederBrennstrahlverlässtdieLinseparallelzuroptischenAchse.DasBildentsteht dort, wo sich die Strahlen schneiden. Schneiden sie sich nicht,verlängertmandieStrahlengeradlinigundkonstruierteinvirtuellesBild.

DiedreihiergenanntenStrahlendienennuralsHilfsmittelzurKonstruktioneinesBildes!DaswirklicheBildwird stets von einemLichtbündel erzeugt,dasdieLinsedurchsetztund indemdieseStrahlengarnichtvorzukommenbrauchen,etwaweildieLinsezukleinistoderihreMitteabgedecktwird.AnGrößeundLagedesBildesändertdasüberhauptnichts.

Abbildungsgesetze

Die Abbildungsgesetze der Linse lassen sich nun unmittelbar aus derAbbildungentnehmen:

Den Abstand der Gegenstandsebene von der Linse bezeichnet man alsGegenstandsweiteg,den derBildebene alsBildweiteb; außerdem sindGundBdieGegenstands-undBildgröße,d.h.einanderentsprechendeLängenin Gegenstand und Bild. Dann folgt aus der Ähnlichkeit der beidenblauumrandeten Dreiecke (Strahlensatz) das 1. Abbildungsgesetz, das dieVergrößerungßangibt:Gesetz

1.Abbildungsgesetze

mit

g:Gegenstandsweite

b:Bildweite

G:Gegenstandsgröße

B:Bildgröße

Das 2. Abbildungsgesetz liefert eine Beziehung zwischen den Lagen vonGegenstands-undBildebene.Gesetz

2.Abbildungsgesetze

mit

f:Brennweite

g:Gegenstandsweite

b:Bildweite

Ableitungdes2.Abbildungsgesetzes

DiegraugefülltenDreieckesindebenfallsähnlich,worausfolgt:B/G=(b–f)/f.Zusammenmitder1.Abbildungsgleichungergibt

dasb/g= (b/f)–1.Dividiertman durchbund ordnet um, so kommtmanunmittelbaraufdie2.Abbildungsgleichung.

Zerstreuungslinsen

Nebenstehende Abbildung zeigt eineZerstreuungslinse. IhreKrümmung istnichtkonvex,wiedieeinerSammellinse,sondernkonkav.EinBündelparalleleinfallender Lichtstrahlen verlässt die Linse deshalb nicht konvergent,sonderndivergent,wobeidierückwärtigenVerlängerungenderStrahlensichin einem Punkt schneiden, den man als einen der beiden virtuellenBrennpunktederZerstreuungslinsebezeichnet.

Man schreibt einer Zerstreuungslinse deshalb einenegativeBrennweite zu.Die 2. Abbildungsgleichung, die auch für dieseArt von Linsen gilt, liefertdamit stets eine negative Bildweite, was bedeutet, dass es beiZerstreuungslinsen ausschließlich virtuelle Bilder geben kann. Negative

QA

BildweitenverleihennämlichderTatsacheAusdruck,dasssichdasBildaufderselbenLinsenseitewiederGegenstandbefindet.

Bekanntester Anwendungsfall für die Zerstreuungslinse wird wohl dieBrille für Kurzsichtige sein. Die zu kleine Brennweite der Augenlinsewird durch „Vorschalten“ einer Zerstreuungslinse auf den richtigen Wertangehoben. (Bei Weitsichtigkeit wird entsprechend eine SammellinsepassenderBrechkraftausgewählt.)

Wie immer in der geometrischen Optik kann die Ausbreitungsrichtung derLichtstrahlen auch hier umgekehrt betrachtetwerden, d.h.man kann an derAbbildung erkennen, das ein konvergentes Lichtbündel, das auf denBrennpunktderanderenLinsenseitezuläuft,diesealsparallelesLichtbündelverlässt.

EineLinsebrichtStrahlenumso stärker, jekürzer ihreBrennweite ist.Manmisst daher die Brechkraft einer Linse durch den reziproken Wert ihrerBrennweite,alsoD=1/f,wobeifinMeterngemessenwird.Definition

BrechkraftD

Einheit:[D]=Dioptrie(dpt)=m–1

BeispielEineLinsevon25cmBrennweitehateineBrechkraftvon4dpt.

SphärischeSpiegel

Ein sphärischer Spiegel unterliegt sehr ähnlichen geometrischenGesetzmäßigkeitenwieeine sphärische,dünneLinse,weshalbhiernurkurzaufSpiegeleingegangenwerdensoll.

EinHohlspiegelmitdemRadiusRhateinenBrennpunktbeif=R/2vordemSpiegel. Brennpunktstrahlen werden wie bei Linsen zu parallelen Strahlen(und umgedreht). Strahlen, die durch den Mittelpunkt der Kreislinie desSpiegels verlaufen, werden in sich zurückgespiegelt, entsprechen also denMittelpunktstrahlen bei Linsen. Mithilfe dieser ausgezeichneten Strahlenlassen sich geometrisch die Abbildungen konstruieren und das 1. und 2.Abbildungsgesetz auch für Spiegel herleiten. Konvexe Spiegel habenEigenschaften wie Zerstreuungslinsen, insbesondere auch einen virtuellenBrennpunkt,derzurKonstruktionderAbbildungverwendetwerdenkann.

QA

Spiegel haben gegenüber Linsen einen großen Vorteil: Beim Bau vonTeleskopenkönnen riesigeSpiegelmitDurchmessernvonmehrerenMeterngebaut werden, wodurch die Teleskope einerseits lichtstark werden undandererseits noch weit entfernte Objekte im All auflösen können. ÄhnlichgroßeSystemeausLinsensindpraktischnichtrealisierbar.

DickeLinsen

Für dicke Linsen kann nicht mehr angenommen werden, dass dieLichtstrahlen in einer einzigen Ebene gebrochen werden, sondern manbenötigt zur Konstruktion des Bildes zwei Hilfsebenen, die sogenanntenHauptebenen H und H‘. Den Schnittpunkt der Hauptebenen mit deroptischenAchse nenntmanHauptpunkt. Ebenfalls ist derMittelpunktstrahlkeineGerademehr.Das Stück vor derLinse und das hinter derLinse sindgegeneinanderparallelverschoben.

DieStelle,wodieVerlängerungderStrahlendieMittelachsetrifft,bezeichnetmanalsKnoten(N1undN2).Brennpunkte,HauptpunkteundKnotensinddiesechs Kardinalpunkte einer Linse beziehungsweise eines Linsensystems.Die Abbildungsgleichungen bleiben unter Verwendung der KardinalpunkteauchfürdickeLinsengültig.

Linsensysteme

Fürdas einfachste zusammengesetzteLinsensystem,zweidünneLinsenmitderBrennweitef1bzw.f2,dieimAbstanddvoneinanderangeordnetsind,ergibtsichfürdieGesamt-BrennweiteinguterNäherung,wenndkleingegenf1undf2ist:

Beispiel Aus obiger Formel folgt, dass die Brechkraft (=Kehrwert derBrennweite) dicht zusammengesetzter Linsen (Abstand d= 0) gleichderSummederEinzelbrechkräfteist.

BeispielZweidünneLinsen,vondenenjedeeineBrechkraftD=2dptbesitzt,stehendichthintereinander.DieBrennweitedesSystemsistf=25cm.

Abbildungsfehler

BeiderArbeitmitoptischenLinsentreteneineReihevonAbbildungsfehlernauf, die von der endlichenDicke derLinsen, ihrer sphärischenBegrenzungundderspektralenZerlegungdesLichtesinseineFarbenherrühren.

SphärischeAberration(Öffnungsfehler)

DieAussage,dasssichparalleleStrahlenhintereinerSammellinse ineinemeinzigenPunkt,demBrennpunktF,kreuzen,giltnurfürsolcheStrahlen,dieeinennichtzugroßenAbstandvonderoptischenAchsehaben.AchsenferneStrahlen(1)habeneinekleinereBrennweitealsachsennahe(2)StrahlenundwerdeninunterschiedlicheBrennpunkte(F1undF2)aufderoptischenAchsegebrochen:

DieserFehlerkanndurchKombinationvonverschiedenenLinsenvermiedenwerden. Das Ausblenden der äußeren Zonen durch eine Iris dagegen führtzwar zu scharfen, aber viel zu dunklen Bildern, ist also keine technischvertretbareMethode,denÖffnungsfehlerzubeseitigen.

ChromatischeAberration(Farbfehler)

Da aufgrund der Dispersion die Brechzahl des Glases für violettes Lichtgrößeristalsfürrotes,wirdweißesLichtbeimDurchlaufenderLinsezerlegt,wobeiderBrennpunktfürViolettFvnäheranderLinseliegtalsderfürRotFr. Daher besitzt jedes von einer einfachen Linse entworfene Bild farbigeRänder.

Astigmatismus

TriffteinparallelesLichtbündeluntereinemgrößerenWinkelaufdieLinse,soschneidensichdieStrahlenhinterderLinsenichtineinemPunkt,sondernineinemStrich.

DieswirdalsAstigmatismusschieferBündelbezeichnet.DerGrundfürdieseErscheinungliegtdarin,dasssichdieLinsefürdasankommende

LichtdurchdenschrägenEinfalloptischsoverhält,alsobeineZylinderlinse(sieheAbbildung)davorgeschaltetwäre.

QA

BeieinerZylinderlinsewirdeinsenkrechtauftreffendesParallelbündelnichtin einem Punkt, sondern in einer Strecke, der sogenannten Brennlinie F,vereinigt.

Für die Objektive von Fotoapparaten werden nicht einzelne Linsenverwendet, sondern ganze Linsensysteme aus vielenhintereinandergeschalteten Linsen. Durch geschickte Wahl und Anordnungder Linsen ist es möglich, die Abbildungsfehler z.T. vollständig zueliminierenoderwenigstensstarkzureduzieren.

2.2MethodenzurBestimmungvonBrennweiten

Die einfachste Methode, einen groben Wert für die Brennweite einerSammellinse zu erhalten, ist die Abbildung eines weit entferntenGegenstandes (z. B. die Glühwendel der Deckenbeleuchtung) auf einenSchirm.Da in diesemFall die Strahlen, die vomGegenstand auf dieLinsefallen, nahezuparallel sind,mussdasBild inderNähederBrennebenederLinse liegen, d.h. dieBrennweite entspricht in etwademAbstand zwischenSchirmundLinse.

Autokollimationsverfahren

DieMethode derAutokollimation (sieheAbbildung) entspricht im PrinzipderobenerwähntenMethode,liefertaberwesentlichgenauereErgebnisse.

EineLochblendewirdindenBrennpunktderLinsegebracht.HinterderLinsewird ein Spiegel aufgestellt, der das Bild der Lochblende auf eineMattscheibeinderBrennebenezurückwirft.DamitdasBildnichtgenauindieLochblende zurückfällt, wo man es nicht sehen könnte, muss der Spiegeletwasgedrehtwerden.

Befindet sich nun die Lochblende genau in der Brennebene, so sind dieStrahlen hinter derLinse parallel und eineVerschiebung desSpiegels kanndasBildnichtändern.

QA

GemessenwirdbeidieserMethodederAbstands1derReitermarkevonderLochblende. (Am sogenannten Reiter, der Halterung auf dem die Linsemontiertist,befindetsicheineMarkierung,anderdiegenauePositiondiesesReitersaufderoptischenBankabgelesenwerdenkann.)Danichtunbedingtgewährleistet ist, dass sich die Mittelachse der Linse genau über derReitermarkierung befindet, ist es sinnvoll, Reiter und Linse um 180° zudrehen,sodassman,wieinderAbbildunggezeigt,einenzweitenMesswerts2erhält.DieSummederbeidenMesswerteerlaubtnunüberdieBeziehung

eineBestimmungderBrennweitefderLinse.DaimVersuchnurmitdünnenLinsengearbeitetwird,beidenendieBrechunganeinereinzigenEbene,dersogenannten Hauptebene der Linse, angenommen werden kann, ist obigeGleichungindieserFormgültig.BetrachtetmandickeLinsen,beidenenzweiHauptebenen existieren (dieserFall ist auch in derAbbildung realisiert), sonimmtdieGleichungdieGestalt

an, wobei h den Abstand zwischen den beiden Hauptebenen darstellt. BeidünnenLinsengilth=0.

Besselverfahren

EineweitereMöglichkeitderBrennweitenbestimmungliefertdassogenannteBesselverfahren.Bei diesemVerfahrenwähltman einen festenAbstand dzwischenGegenstands-undBildebene:

Wird dieser Abstand ausreichend groß gewählt, so sind zweiLinsenstellungenmöglich, die beide zu einem scharfenBild führen. Inder Abbildung stellen die durchgezogenen Linien die Verhältnisse bei dereinenscharfenEinstellungdar,diegestricheltenLinienentsprechenddiederzweiten scharfen Einstellung. Der Abstand zwischen den beidenLinseneinstellungenseiimFolgendenmitzbezeichnet.

DiebeidenEinstellungensindsymmetrisch,d.h.esgilt

d.h.man kann eine derGrößen jeweils durch eine andere ersetzen,was imFolgendenausgenutztwerdenwird.

AusderAbbildungkönnenzweiBeziehungenabgelesenwerden:

Addiertbzw.subtrahiertmandiebeidenGleichungen,soergibtsich:

Diese Gleichungen kann man nach a1' bzw. nach a1 auflösen, um dieseGrößendannindaszweiteAbbildungsgesetzeinzusetzen:

Eine Gleichung zur Berechnung der Brennweite ergibt sich durchKehrwertbildung:

Misst man bei vorgegebenem Abstand d also die Differenz z der beidenStellungenderLinse, die ein scharfesBild ergeben, so kannmanmitHilfedieserFormeldieBrennweitefbestimmen.

2.3Aufgaben

StellensiedieExperimentierleuchtesoweitlinkswiemöglichauf,damitsiefür die folgenden Versuche ausreichend Platz haben. Der Abstand von derReitermarkierungderLeuchtezumObjektsoll15,5cmbetragen.DiePositiondesObjektesbenötigensiezurspäterenAuswertung.

BevorsieweitereElementeaufderoptischenBankpositionieren,bildensiedie Glühwendel der Experimentierleuchte auf einen möglichst entferntliegendenGegenstand ab. Dadurchwird erreicht, dass die von der LeuchtekommendenStrahlendiesemöglichstparallelverlassen.Die

Entfernung der Glühwendel vom Kondensorobjektiv, das die Strahlenbündelt,kannanderLeuchtemiteinemSchiebereglereingestelltwerden.

Aufgabe1(zurVorbereitung)

QA

Konstruieren Sie aus zwei Linsen ein (galileisches) Fernrohr, das einenGegenstandaufrechtabbildet.WelcheLinsenbenötigenSie?BerechnenSieBrennweiten und Abstand der Linsen, wenn Sie ein Objekt mit einerbestimmtenVergrößerung(Abbildungsmaßstab?)abbilden

Aufgabe2

Wenden Sie für beide zur Verfügung stehenden Sammellinsen separat dasBesselscheVerfahrenan.ProLinsesind2Einstellungenmitd=60cmund80cmfürdiekleineLinseundentsprechendd=125cmund130cmfürdiegroßeLinsevorzunehmen.

Bestimmen Sie die Brennweiten f1 und f2, der Linsen aus denMittelwertenderbeidenproLinsevorgenommenenMessungen.

Aufgabe3

Wenden Sie für beide Sammellinsen separat dasAutokollimationsverfahrenan.DasObjekt liegt dann in derBrennebene,wenn eineVerschiebung desSpiegelskeineÄnderungdesBildeshervorruft.Manmuss,wiebeschrieben,jeweilsdieLinseum180°drehen,dadieReitermarkierungnichtnotwendigmitderHauptebenederLinseübereinstimmt.

Aufgabe4

RealisierenSiefolgendeAbbildungenfürbeideSammellinsen:

ProLinse sind dabei jeweils drei verschiedeneEinstellungen vorzunehmen.BestimmenSiefürjedeEinstellungdieBeträgevong,b,ßundfmitHilfederAbbildungsgesetze.Ausdendarausfolgenden6WertenfürdieBrennweitenf1 und f2 der beiden Linsen bilde man den Mittelwert und vergleiche dasErgebnismitdenWertenausAufgabe1und2.

Aufgabe5(fürInteressierte)

Bestimmen Sie für ein beliebiges optisches Instrument, das Sie selbstmitbringen(Brille,Fotoobjektiv,…),dieBrennweiteundvergleichenSiedasErgebnismitderHerstellerangabe.

Übungsaufgaben

1.EinTeleobjektiv besteht aus einerZerstreuungs- und einerSammel linsederBrennweitenf=–108mmundf=72mm,dieimAbstandvon7,2mmvoneinander angebracht sind. Wie groß ist die Brenn weite desTeleobjektivs?(180mm)

IF

2.EinTageslichtprojektoreinesHörsaalshateinObjektivderBrennweite50cmundeinequadratische,beleuchteteNutzflächederKantenlänge20cm.In welcher Entfernung muss der Projektor von der quadratischenProjektionswandaufgestelltwerden,damitderenHöhevon4mdurchdasBildvollausgenutztwird?(10,5m)

3.EinLichtstrahltrifftunterWasserineinemWinkelvon7°zumEinfallslotauf eine dünne Platte aus Kronglas mit Brechungsindex 1,52. DerBrechungsindex vonWasser beträgt 1,33. Wie groß ist der Win kel desLichtstrahlszumEinfallslotnachEintrittindieGlasplatte?(6,1°)

3Versuch:InterferenzamGitter,BeugungamSpalt3.1Wellenoptik

Wie bereits in derEinleitung erwähnt, beschäftigt sich dieWellenoptikmitErscheinungen,diedurchdieWellennaturdesLichteshervorgerufenwerden.

ModellderLichterzeugung

ElektromagnetischeWellenwiedasLichtberuhenaufdemZusammenwirkenvon elektrischem undmagnetischem Feld.Das siehtman,wennman fragt,wie eine elektromagnetischeWelle entsteht.Angenommen,manbewegt einElektron, oder eine andere Ladung, im Raum hin und her. Durch dieBewegung bewegt sich einerseits auch das elektrische Feld des Elektrons,andererseits stellt dieBewegung der Ladung auch einen Strom dar, der einMagnetfeld erzeugt (siehe dazu auch denVersuch „SpezifischeLadung desElektrons“). Durch eine schwingende Ladung wird also sowohl einveränderliches elektrisches Feld als auch ein veränderliches Magnetfelderzeugt. Diese Felder bilden zusammen eine elektromagnetischeWelle, diesichmitLichtgeschwindigkeitvonderLadungwegbewegt.

Die schwingende Ladung, die eine solche elektromagnetische Welleerzeugt, kann aus den Elektronen bestehen, die sich in einerRundfunksender-Antennehinundherbewegen,sodassRadiowellenemittiertwerden.Es kann sich auchumein einzigesElektronhandeln, das in einemAtom von einem Energieniveau in ein anderes übergeht und dabei Lichtaussendet.OdereskanneinElektronsein,dasbeimAuftreffenaufdasMetallineinerRöntgenröhreabgebremstwirdundsoRöntgenstrahlenerzeugt.

InterferenzvonWellen

Die Überlagerung (Superposition) von Wellen wird als Interferenzbezeichnet.TreffenmehrereWellenzusammen,soüberlagernsiesich,wobeisich ihre jeweiligen Auslenkungen addieren: Treffen zwei Wellenberge

aufeinander,sobildetsichalsresultierendeWelleeinWellenbergaus,deralsHöhe die Summe der beiden ursprünglichen Wellenberge aufweist(konstruktive Interferenz).Trifft einWellenberg auf einWellental gleicherAmplitude (Auslenkung), so löschen sie sich gegenseitig aus (destruktiveInterferenz).

Zwei interferierendeWellenpassennurdannoptimal aufeinander,wenn siedie gleiche Wellenlänge haben (monochromatisch sind). Außerdem mussgewährleistet sein, dass die interferierenden Wellen über einen längerenZeitraum eine feste Phasenbeziehung aufweisen. Das bedeu tet, dass dieWellen immer gleich aufeinander liegen, d.h. z.B. immer Wellenberg aufWellenberg. Im Sonnenlicht oder im Licht einer Glüh lampe ist dieseBedingungnichterfüllt,daeineinzelnesAtomnurübereinenZeitraumvonetwa10–8sLichtaussendet,sichdaskonstanthelleLicht,daswirsehen,alsoaus dem kurzen Aufleuchten sehr vieler Ato me zusammensetzt. DerZeitpunktderLichtaussendungeinesAtomsistabervollkommenzufällig,sodass dasLicht verschiedenerAtome in unglaublich schnellemWechselmalkonstruktiv, mal destruktiv interfe riert, je nachdem, wann sich die Atomeentschließen,einenLichtimpulsauszusenden.

DestruktiveInterferenz

DiebeideneinzelnenWellen(aundb)befindensichinGegenphase,d.h.einWellenberg der einen trifft immer auf einWellental der anderenWelle. IhrGangunterschied beträgt also eine halbe Wellenlänge, oder einungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge. Die beiden Wellenlöschensichaus.

KonstruktiveInterferenz

Die beiden einzelnenWellen (in der Zeichnung a und b) befinden sich inPhase, d.h. Wellenberge befinden sich jeweils an der gleichen Stelle oderanders:SiehabenkeinenGangunterschied,oderihrGangunterschiedbeträgtein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge, so dass eben wiederWellenberg aufWellenberg fällt (siehe hierzu auch das folgende Beispiel).Als resultierendeWelle (unten gezeichnet) ergibt sich eineWelle doppelterAmplitude.

IF

Erst die Erfindung des Lasers hat es möglich gemacht, alle Atome zuzwingen„imTakt“zuschwingen,d.h. immergleichzeitigmitallenanderenz.B.einenWellenbergauszusenden.SolchesinterferenzfähigesLichtwirdalskohärentes Licht bezeichnet. Die Länge, über die eine festePhasenbeziehungbestehtheißtKohärenzlänge.

Sobald es nun gelingt, beim Licht Interferenz nachzuweisen, also etwa zuzeigen, dass durch Überlagerung von Lichtstrahlen auf einer beleuchtetenFläche helle (bei konstruktiver Interferenz) und dunkle (bei destruktiverInterferenz)Stellenentstehen,istderunmittelbareBeweisfürdieWellennaturdesLichtserbracht.

BeispielDünneSchichten,wieÖlaufWasseroderSeifenblasen, zeigen,mitweißemLichtbeleuchtet,bunteFarberscheinungen,dieaufInterferenzberuhen. Da es hier um Distanzen in der Größenordnung derWellenlängengeht,reichtdiesehrkurzeKohärenzlängevonnormalemLichtfürdenbeschriebenenEffektaus.

Fällt auf solch ein dünnes Häutchen, etwa eine Seifenlamelle,monochromatischesLichtvonobennahezusenkrechtein,sowirddereinfallendeStrahl 1 zumTeil anderOberfläche reflektiert, zumTeilgebrochen. Jedes Mal, wenn der Lichtstrahl eine Grenzfläche trifft,wiederholtsichdieAufspaltungingebrochenen,durchgelassenenundreflektierten Strahl.Wir betrachten zuerst die beiden durchgehendenStrahlen 4 und 5. Strahl 5 hat gegenüber 4 einen zusätzlichenWegzurückgelegt, der bei senkrechtem Einfall gleich der doppeltenSchichtdickedist.DaherbeträgtderGangunterschiedbeiderStrahlenΔs = 2d . Ist das gerade ein ungeradzahliges Vielfaches der halbenWellenlängeinderSeifenlösung,solöschensichdieStrahlen4und5durchInterferenzaus.EstrittalsoindiesemFallkeinLichtdurchdieLamellehindurch.FürandereWellenlängen, fürdieΔs= l,2l,…ist,erhaltenwirbeiderselbenLamelleHelligkeit.BeiweißemLichtkann,solange die Schicht sehr dünn ist, nur für eine Wellenlänge völligeAuslöschungstattfinden.Licht andererWellenlängenwirdmehroder

weniger geschwächt durchgelassen: Man erhält Mischfarben. DerFarbeindruck auf derOberfläche derLamelle ändert sich vonOrt zuOrt, weil sie nicht überall gleich dick ist. Entsprechende FarbenbeobachtetmanimreflektiertenLicht,wennz.B.dieStrahlen2und3interferieren.

DasHuygensschePrinzip

Um die Ausbreitung vonWellen bei Hindernissen beschreiben zu können,benötigenwirdassogenannteHuygensschePrinzip:Satz

HuygensschePrinzip:

JedervoneinerWellegetroffenePunktwirdAusgangspunkt füreineneueElementarwelle.

Mit dem Wort Elementarwelle ist eine sich in alle RaumrichtungenausbreitendeWelle gemeint. Im zweidimensionalen Fall einerWasserwellewürde dem eine Welle entsprechen, die an einem Punkt an derWasseroberflächeerzeugtwird (etwadurchdasHineinwerfeneinesSteines)und sich dann kreisförmig in alle Richtungen ausbreitet. Am Beispiel derWasserwellelässtsichdiesesPrinzipaucheinfachveranschaulichen:EinvoneinerWellegetroffenesTeilchen führteineSchwingungausundbeeinflusstdaher,genauwiedasallerersteangeregteTeilchen(dieStelleanderderSteindasWasserinSchwingungenversetzthat)seineganzeUmgebungperiodisch.

3.2BeugungamSpalt

Mit demHuygensschen Prinzip lässt sich nun das Phänomen derBeugungvonLichterklären:

LässtmanLichtdurcheinesehrkleineÖffnungfallen,soerhältmanhinterderÖffnungaufeinemaufgestelltenSchirmkeinscharfesBildderÖffnung.DasLichterreichtauchBereichehinterderÖffnung,dieesbeigeradlinigerAusbreitunggarnichterreichendürfte:DieinderÖffnungliegendenPunktewerdenzuAusgangspunktenneuerelementarerKugelwellen,diesichhinterderÖffnunginalleRichtungenausbreiten,alsoauchdieStellenerreichen,andenenmanSchattenerwartenwürde.

ImExperimentwirdsichherausstellen,dassmanaufdemSchirmhinterdemSpaltnebeneinemzentralenBereichhoherIntensitätnocheineVielzahlvonhellen und dunklen Streifen beobachtet. Es kommt also nicht nur zu einerAbweichungvondergeometrischenProjektiondesLichtstrahls,sondernauchzu einer Überlagerung einzelner Elementarwellen, die je nach

IF

Gangunterschied konstruktiv (Intensitätsmaxima) oder destruktiv (Minima)interferieren.

BeugungamSpalt(minimaleIntensität).DieoffenenKreisesymbolisierenverschiedeneErregerzentrenderKugelwellen.

Betrachten wir einen Punkt P auf einem der dunklen Beugungsstreifen ingroßem Abstand vom Spalt. Er werde von den Lichtstrahlen erreicht, dieunter demWinkel θ vom Spalt ausgehen (Teilbild a der Abbildung). AlleTeilbündel erreichen diesen Punkt nahezu parallel (da er sichweit entferntbefindensoll,laufenalleStrahlennahezuindiegleicheRichtung),jedochhatder Strahl, der von A ausgeht, eine um l/2 größereWeglänge als der vomPunkt C in der Spaltmitte (l bezeichnet die Wellenlänge des verwendetenLichtes).

DieseTeilstrahlenlöschensichalsobeiderÜberlagerunginPaus.MankannnunzujedemErregerzentrumeinenPartnerfinden,sodassdieInterferenzderentsprechenden Wellen zu Dunkelheit führt. Es löschen sich also in derRichtung alle vom Spalt kommendenWellen aus, in der die vom Punkt AausgehendenWelleneinenumdenGangunterschiedΔ= l längerenWegzurücklegenalsdievonBausgehendenStrahlen (sieheAbbildung). Daraus ergibt sich als Bedingung für Dunkelheit auf demSchirm:

HierbeistelltddieBreitedesSpaltesdar.

In Teilabbildung b ist die Situation für einen größeren Beugungswinkelgezeigt. Der Gangunterschied zwischen von B bzw. A herkommendenStrahlen beträgt hier Δ = 2l. Wieder kann zu jedem Erregerzentrum einanderes gefunden werden, so dass der Gangunterschied Δ der in Pauftreffenden Wellen l / 2 beträgt. Man kann also folgende allgemeineBedingungfürMinimaformulieren:Bedingung

MinimaderIntensitätbeiBeugungamSpalt

IF

n:natürlicheZahlgrößerodergleicheinsist.

MaximaleHelligkeiterwartetmanimZentrumunterdemWinkelθ=0°,dadann alle Wege gleich sind. Weitere Maxima der Intensität erwartet manunter Beugungswinkeln, bei denen möglichst wenige Teilstrahlen einenGangunterschiedvonl/2zueinanderhaben.

BeugungamSpaltMaximumderIntensität

Vergrößert man den Beugungswinkel über das erste Minimum hinaus, soerkenntman, dass zu einemTeil derBündel kein Partner gefundenwerdenkann,mitdemAuslöschungmöglichist.Dasgleicheerkenntman,wennmanvomzweitenMinimumausgehenddenWinkelverringert.ManerwartetalsoeinMaximumder IntensitätnäherungsweisebeieinemGangunterschiedderRandstrahlen,dergenauzwischendenenfürdaserstebzw.zweiteMinimumliegt, d.h. bei Δ = l / 2 oder bei anderen ungeradzahligen Vielfachen derhalbenWellenlänge(sieheAbbildung).NäherungsweisegiltfürdieLagederMaxima:Bedingung

MaximaderIntensitätbeiBeugungamSpalt

AuchohnedetaillierteRechnungerwartetman,dassdieIntensitätdeserstenNebenmaximums wesentlich geringer sein wird als die des zentralenMaximums,dajanurimzentralenBereich(0=0°)alleStrahlenkonstruktivinterferieren.WeitererkenntmaninderAbbildung,dassbeiMaximahöhererOrdnung die Intensität abnehmen wird, da der Bereich, der überhaupt zurIntensität beiträgt, immer kleinerwird. (ImBeispiel derAbbildung löschensichzweiDrittelderStrahlenaus.ZurIntensitätträgtalsonureinDrittelbei.)

Eine wichtige Beobachtung ist, dass der innere helle Streifen sich immermehrverbreitert,jeschmalerderSpaltwird.DiesesParadoxonistgeradedasCharakteristikum der Beugung: Im Extremfall eines unendlich schmalenSpaltes, bei dem nach dem Huygensschen Prinzip nur eine einzigeElementarwelle in alle Richtungen ausgesendet wird, existieren keineweiteren Strahlen,mit denen destruktive Interferenz stattfinden könnte.Derhelle Streifen erfüllt folglich die ganze Schirmbreite. Bei breiteren Spaltenmuss man mehrere Elementarwellen betrachten, die sich unter großenBeugungswinkelngegenseitigweitgehendauslöschen.

3.3BeugungamGitter

Ein Gitter ist eine Anordnung vieler Spalte der Breite bmit einem festenAbstand g (Gitterkonstante), wie in der Abbildung unten dargestellt. IndiesemFallhatmannichtnurdieErscheinungderBeugunganjedem

einzelnenSpalt,sondernauchdieInterferenzenderTeilstrahlenverschiedenerSpaltezuberücksichtigen.

Ist die Breite der Einzelspalte b klein gegen den Abstand g, so ist dasBeugungsbildderEinzelspaltesehrweitausgedehnt,d.h.mankannzunächstnurdieInterferenzenderTeilstrahlenverschiedenerSpaltebetrachten.InderAbbildung erkennt man, dass sich alle Teilstrahlen immer dann maximalverstärken, wenn der Gangunterschied benachbarter Spalte gerade einVielfachesderWellenlängebeträgt.Darausergibtsich:Bedingung

Maxima der Intensität bei Beugung am Gitter: Gangunterschied ΔbenachbarterSpalte:

ZwischendiesenHauptmaximawerdenjedochnochNebenmaxima liegen,diedadurchzustandekommen,dassTeilbündeleinzelner,nichtbenachbarterSpaltekonstruktivmiteinanderinterferierenkönnen.

DadieBeugungamGitterlinearmitderWellenlängezusammenhängt,eignetsie sich auch gut zur spektralen Zerlegung eines Lichtstrahls. Dazu nimmt

IF

manSpiegelmiteinersägezahnähnlichenOberflächen,diealsBeugungsgitterfunktioniert.

3.4Messungen

ZurBeobachtung derBeugung am Spalt und amGitterwird im PraktikumLaserlichtverwendet,damitdemLasereineLichtquellezurVerfügungsteht,diekohärentes, also interferenzfähigesLicht aussendet.Laserlicht hat durchseine Kohärenz und durch die Begrenzung auf ein sehr feines Lichtbündeleine hohe Intensität.Wesentlich für die Gefährlichkeit des Laserlichtes fürunser Auge ist aber die Eigenschaft unserer Augenlinse, paralleleLichtstrahlen auf einen winzigen Punkt auf der Netzhaut zu fokussieren(sofern die Linse „auf unendlich“ eingestellt ist, also vollständig entspanntist). In diesem Punkt kann es durch die starke Bündelung dann zuVerbrennungenkommen.

Achtung: Niemals in den Laserstrahl und in seine direkten Reflexeschauen!DerLaserdarfvondenPraktikantennichtausderHalterungaufderoptischenBankgenommenwerden!

Aufgabe1:BeugungamSpalt

Zur Beobachtung der Beugung am Spalt bringen Sie einen Spalt in denStrahlengang des Lasers (mit Aufweitungsoptik). Beobachten Sie zunächstqualitativ das Beugungsbild auf einem Schirm in einemAbstand von etwaeinemMeter hinter demSpalt. Stellen Sie eine Spaltbreite ein, so dass derAbstand vom zentralenMaximum zum ersten Nebenmaximum etwa 5mmbeträgt.

Ersetzen Sie den Schirm durch einen Photowiderstand, der sich hintereinem schmalen Spalt befindet. Der Spalt mit dem Photowiderstand istmittels einer Mikrometerschraube senkrecht zur optischen Achseverschiebbar. Überprüfen Sie zunächst die Ausrichtung der einzelnenKomponenten. Laser, Strahlaufweiter, verstellbarer Spalt undPhotowiderstand sind richtig justiert, wenn die Intensität des erstenNebenmaximums auf der linken Seite etwa gleich der des erstenNebenmaximumsaufderrechtenSeiteist(diegemessenenWiderstandswertesollensichumhöchstens10%unterscheiden).

DerAbstandBeugungsspalt–Photowiderstand ist zuvermessen (dieserWertwirdfürdiespätereAuswertungbenötigt).

InderAuswertungsolldieIntensitätsverteilungdesHauptmaximumsundderbeiden1.Nebenmaximagraphischdargestelltwerden.Dazusindmindestens20 Messpunkte erforderlich. Es empfiehlt sich also zwischen den beiden

erstenNebenmaxima (amBesten noch ein kleinesStück darüber hinaus) ingleichenAbständen etwa20Messpunkte zu nehmen.Bei jedemMesspunktsoll der vom Ohmmeter angezeigte Widerstandswert notiert werden. DerZusammenhang dieses Wertes mit der auf den Photowiderstand fallendenLichtintensität ist im Diagramm unten dargestellt, so dass jedemWiderstandwerteineLichtintensitätzugeordnetwerdenkann.

Hinweis:DieIntensitätderRaumbeleuchtungdarfsichwährendderMessungnichtändern.

DieTabellederMesswertesolltealsoinetwawiefolgtaussehen:

x/mm Widerstand/kΩ

Intensität(willkürlicheEinheiten)

I/I0

MitI0istdiemaximaleIntensitätinder0.Ordnunggemeint.

Auswertung

DieDatenderIntensitätI/I0sindinAbhängigkeitdesAbstandesvonderMittedeszentralenMaximumsgraphischdarzustellen.Zielistes,dieSpaltbreitezuberechnen: Aus der Intensitätsgraphik lässt sich der Abstand x0 des erstenMinimumsvomHauptmaximumbestimmen.

AbhängigkeitdesPhotowiderstandsvonderLichtintensität

Mit diesem Wert und dem Abstand L zwischen Beugungsspalt undPhotowiderstand lässt sich der Winkel bestimmen, unter dem das ersteMinimumvomSpaltauserscheint(manbildeeinrechtwinkligesDreieckmitL und x0 als An- bzw. Gegenkathete. x0 / L ist somit der Tangens desgesuchtenWinkels).MitderFormelfürdieMinimabeimSpaltlässtsichmitKenntnis der Wellenlänge des He-Ne Lasers (λ= 632,8 nm) nun dieSpaltbreiteberechnen.

IF

Aufgabe2:BeugungamGitter

Anstelle des Beugungsspaltes wird ein Strichgitter in den Strahlenganggebracht.VermessenSieaufdemSchirmdenAbstandvonmindestens fünfjeweils benachbarten Hauptmaxima, sowie den Abstand Schirm– Gitter.Notieren Sie sich die auf dem Gitter angegebene Gitterkonstante (BeimanchenGittern ist auch die Strichzahl pro Zentimeter angegeben, woraussichdieGitterkonstanteebenfallsermittelnlässt).

Auswertung

Bilden Sie den Mittelwert der Abstände zwischen den Hauptmaxima.Berechnen Sie mit der Formel für die Maxima beim Gitter dieGitterkonstante (den dazu benötigtenWinkel erhältmanwie inAufgabe 1)undvergleichenSiesiemitdemtatsächlichenWert.

Aufgabe3(schriftlichzurVorbereitung)

WorinbestehtderUnterschiedzwischenGlühlichtundLaserlicht?

Übungsaufgabe

1.EinStrichgittermit400StrichenprommwirdmitLichteinesLaserstrahlsbestrahlt. Das Hauptmaximum der dritten Ordnung erscheint unter einemWinkelvon21,9°.WiegroßistdieWellenlängedesLichts?(310,8nm)

2.AufeinBeugungsgitterfälltparallelesLichtmitderWellenlänge540nm.Man beobachtet in der zweiten Ordnung abgebeugtes Licht unter einemWinkelvon8°.

a)WiegroßistdieGitterkonstantedesBeugungsgitters?(7,76μm)

b) Unter welchem Winkel (in °) beobachtet man das Maximum ersterOrdnung?(4°)

4Versuch:Saccharimetrie4.1Polarisation

LinearpolarisiertesLicht

Die Beugungs- und Interferenzexperimente mit Licht beweisen seinenWellencharakter.AlselektromagnetischeWellestelltLicht(imGegensatzzuz.B. Schallwellen) eine sogenannte transversale Welle dar, d.h. dieSchwingungen erfolgen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. AußerdemstehenauchdieSchwingungsrichtungenvonelektrischemundmagnetischemFeldsenkrechtaufeinander.SprichtmanbeielektromagnetischenWellenvon

SC

einer bestimmten Schwingungsrichtung, so ist damit stets die Richtung desVektorsderelektrischenFeldstärke( -Vektor)gemeint.

Schwingt die Welle immer in einer festen Richtung senkrecht zurAusbreitungsrichtunginderEbene,sonenntmansielinearpolarisiert.

Licht geht von beschleunigten Ladungen aus (siehe Kapitel überWellenoptik).WenneineLadung längseinerGeradenschwingt,wiez.B. ineinerDipolantenne,soistdieIntensitätdesabgestrahltenLichtesamgrößtenin den Richtungen senkrecht auf der Schwingungsrichtung. In derSchwingungsrichtung (in Richtung der Dipolachse) ist die Intensität desabgestrahltenLichtesnull (für Interessierte: nähereshierzu findet sichunterdem Stichwort: Strahlungscharakteristik eines Hertzschen Dipols inLehrbüchernderPhysik).NurwenndieElektronenderLicht aussendendenAtome oderMoleküle alle parallel zueinander schwingen, ist ihr Licht alsolinearpolarisiert.Dasgewöhnliche,vonglühendenKörpernausgehendeLichtist unpolarisiert, denn es stammt von Atomen, die völlig ungeordnet allemöglichenRichtungenimRaumeinnehmen.

Beispiel Eine linear polarisierte mechanischeWelle kann man durch ein aneinem Ende befestigtes Seil erzeugen, indem man es durchHandbewegungen, die nur in einer Richtung verlaufen, inSchwingungenversetzt(sieheAbbildung).

BeispielEinemechanischdurchHandbewegungenerzeugteSeilwellekanninjeder beliebigen Richtung zu Schwingungen angeregt werden. MankanndieHandhoch-runter, links-rechts oder in jede andereRichtungbewegen.DiedurchungeordneteHandbewegungenentstehendeWelleistnichtlinearpolarisiert.VerläuftdasSeildurcheinenLattenzaun,sokann sich nur die Auf- und Abbewegung durch den Lattenzaunfortpflanzen. In allen anderen Richtungen wird die Schwingung desSeilsgebremst.DerZaunwirktalsPolarisator.

ErzeugungvonlinearpolarisiertemLichtdurchPolarisationsfilter

SC

Unpolarisiertes Licht kann mit Hilfe eines Polarisationsfilters linearpolarisiertwerden (der Filter dient damit als sogenannterPolarisator).DieeinfachstenPolarisationsfilterbasierenaufeinergerecktenPolymerfolie.DasPolymer ist aus langen Ketten von Kohlenwasserstoffmolekülen aufgebaut.Durch das Recken der Folie werden die Ketten ausgerichtet. An dieKohlenwasserstoffmoleküle wird Jod angelagert. Dieses Jod liefertLeitungselektronen, die sich längs der Ketten, jedoch nicht senkrecht zudiesen bewegen können. Dadurch entstehen sozusagen leitende „Drähte“längs derMolekülketten. Trifft nun Licht auf die Folie, so absorbieren dieDrähte den Anteil, dessen -Vektor parallel zu den Drähten schwingt,während die Komponente, deren -Vektor senkrecht dazu schwingt,ungehindert passieren kann. Dies ist die „Umkehrung“ eines HertzschenDipols;dasLichtregtdieElektronenim„Draht“zumSchwingenan.DiesenVorgangnenntmanDichroismus.

NachweisvonlinearpolarisiertemLicht

Unser Auge kann linear polarisiertes von unpolarisiertem Licht nichtunterscheiden.ZumNachweisvonlinearpolarisiertemLichtbenötigtmanalssogenanntenAnalysator eine zweite Polarisationsfolie, die das Licht nachdem Durchgang durch einen Polarisator durchläuft. Stellt man dieDurchlassrichtung des Analysators der des Polarisators parallel, so tritt daslinearpolarisierteLichtungehinderthindurch.

VerdrehtmandenAnalysatorumeinenWinkeljgegenüberdemPolarisator,so muss man den Schwingungsvektor a0 der auftreffenden Welle (derRichtungundAmplitude derSchwingungbeinhaltet) in zweiKomponentenaD = a0 · cos j und aS = a0 · sin j zerlegen (siehe Abbildung). aS wirdabsorbiert.DieAmplitudedesdurchkommendenLichtsistdemnachaD.

Die durchgelassenen Lichtleistung ID ist, wie bei jeder Schwingung,proportionalzumAmplitudenquadrataD2.Esgiltalso:

ID=I0cos2j,wobeiI0dieeinfallendeLichtleistungist.HinterdemAnalysatorbleibtdasLichtalsolinearpolarisiert,schwingtabernuninRichtungD.

Beispiel Fällt unpolarisiertes Licht auf einen Polarisator, so lässt diePolarisationsfolie von jeder Welle die entsprechende Komponentedurch.Darausergibt sich,dass imMitteldiehalbeLeistung (alsodiehalbeIntensität)deseinfallendenLichtesdurchgelassenwird.

ErzeugungvonlinearpolarisiertemLichtdurchReflexion

WirdunpolarisiertesLichtanderGrenzflächezwischenzweidurchsichtigenMedienreflektiert,soistdasreflektierteLichtteilweisepolarisiert.

Das Ausmaß der Polarisation hängt ab vom Einfallswinkel und von denBrechzahlenderbeidenMedien.HatderEinfallswinkelgeradeeinensolchenWert, dass der reflektierte undder gebrocheneStrahl aufeinander senkrechtstehen, so ist der reflektierte Strahl vollständig polarisiert. DieseGesetzmäßigkeit entdeckte, auf experimentellemWege,David Brewster imJahre1812.DerEinfallswinkel,beidemdasderFallist,wirdBrewsterwinkeloderPolarisationswinkelαpgenannt.AusderAbbildungergibtsichindiesemFall:

FürdenFall,dassderÜbergangvonLuft(BrechzahlnL≈1)ineinMediummit der Brechzahl n stattfindet, hat das Brechungsgesetz folgende Gestalt(sieheKapitel„geometrischeOptik“):

Setztmannunß=90°–apein,soergibtsich:

FüreinenunterdemWinkelapeinfallenderLichtstrahlgiltdasGesetz

vonBrewster

SC

DerStrahlistnachderReflexionaneinemMediummitderBrechzahlnvollständiglinearpolarisiert.

ErklärungderPolarisation

Die reflektierteWelle wird von den durch die ankommende Lichtwelle zuSchwingungen angeregten elektrischen Ladungen der Oberflächenatome imzweitenMediumabgestrahlt.DiesebildenStrahlungsdipole,diesenkrechtzurAusbreitungsrichtung der Welle im Glas (wir haben es ja mitTransversalwellen zu tun) und jeweils in Richtung des sie erregendenelektrischen Feldes schwingen. Sie können in ihrer Schwingungsrichtungkeine Welle abstrahlen. Stehen nun reflektierter und gebrochener Strahlsenkrecht aufeinander, so können die in Richtung des reflektierten Strahlsschwingenden Atome des Mediums, zu dem Strahl nichts beitragen. Derreflektierte Strahl wird also nur von schwingenden Ladungen erzeugt, diesowohl senkrecht zum gebrochenen, als auch senkrecht zum reflektiertenStrahl schwingen (inderAbbildung findetdieseSchwingungalsosenkrechtzurZeichenebenestatt).

Beispiel Wegen der Polarisation von reflektiertem Licht schützenSonnenbrillenmitGläsernauspolarisierendemMaterialbesondersgutvor zu grellem Licht. Licht, das von einer horizontalen Flächereflektiert wird, etwa einerWasseroberfläche oder einem Schneefeld,ist zu großen Teilen linear polarisiert. PolarisierendeSonnenbrillengläser absorbieren daher bei geeigneter AusrichtungeinengroßenTeildesreflektiertenLichtes.

ObeineSonnenbrillepolarisiert, lässt sich leicht feststellen.Manbeobachtet durch sie einen reflektierten Lichtstrahl und dreht siedannum90°.WirdnunwesentlichmehrLichtdurchgelassen,wirktsiepolarisierend.

Beispiel Beobachtet man durch eine Polarisationsfolie unter geeignetemWinkeleineFensterscheibe,indersichdieUmgebungspiegelt,unddiedeshalb den Blick in den dahinterliegenden Raum verwehrt, soverschwindetdieSpiegelung.DieScheibe istdurchsichtig.DrehtmandiePolarisationsfolieum90°,istdieSpiegelungwiedersichtbar.

PolarisationdurchStreuung

DringtLichtdurcheinMedium,sokannesandenPartikeln(z.B.Moleküle)imMediumgestreutwerden.SowirdzumBeispieldasSonnenlichtvonden

MolekülenderLuftgestreut (deswegen istderHimmelblau).DaLichteinetransversale Welle ist, können die Luftmoleküle nur senkrecht zu denSonnenstrahlen in Schwingung versetzt werden. Licht, das auf der Erdegesehen wird, muss aber von Molekülen gestreut werden, die dazu nochparallel zur Erdoberfläche schwingen. Das Licht, das senkrecht zu denSonnenstrahlengestreutwird,istdamitlinearpolarisiert.

„Blick“aufeinangeregtes,schwingendesSauerstoffmolekül,das inRichtungdesBetrachtersblaues,polarisiertesLichtaussendet.

ZirkularpolarisiertesLicht

BeispielRegtmaneineSeilschwingungdadurchan,dassmandieHandnichtnur auf und ab, sondern imKreis bewegt, so läuft auf demSeil eineWelle, die die Form eines Korkenziehers hat. Die Welle läuftschraubenlinienförmig von der Hand weg, während ein einzelnerMassepunkt des Seils sich (wie die Hand) auf einer Kreisbahn(zirkular)bewegt.EinesolcheWelleheißtzirkularpolarisiert.

DeruntereTeilderAbbildungzeigtmehrereMomentaufnahmenderLagedes-VektorseinerzirkularpolarisiertenelektromagnetischenWelle.

ImgezeigtenFallhandeltessichuntenumeinerechts-unddarüberumeinelinkszirkularpolarisierteWelle.

DaelektromagnetischeFelderbeliebigüberlagertwerdenkönnen,kanneinelinearpolarisierteWellealsÜberlagerungeinerlinks-undeinerrechtszirkularpolarisiertenWelledargestelltwerden.

SC

DiesistinderAbbildungobengezeigt.DieVektorsummederE-VektorenderbeidenzirkularpolarisiertenWellenergibt einenVektor,der ineinerEbenehin- und herschwingt. Diese Überlegung spielt beim Verständnis derSaccharimetrieeinewesentlicheRolle.

Das funktioniert auch genau umgekehrt: Überlagert man zwei kohärentelinear polarisierte Wellen gleicher Amplitude mit zueinander senkrechtenPolarisationsrichtungen,soerhältmaneinezirkularpolarisierteWelle,wennsichdiePhasenderbeidenWellenum±Π/2unterscheiden.SiehatdieselbeAmplitudewiejedederbeidenlinearpolarisiertenWellen.

HabendiebeidenzurÜberlagerungbeitragendenlinearpolarisiertenWellenunterschiedlicheAmplituden,soerhältmanelliptischpolarisiertesLicht.

OptischeAktivität

Einige Kristalle und viele Flüssigkeiten haben einen unterschiedlichenBrechungsindex für linkszirkular und rechtszirkular polarisierteWellen.Mannenntsieoptischaktiv.QuarzisteinBeispielfüreinenoptischaktivenKristall,ZuckerlösungensindBeispielefüroptischaktiveFlüssigkeiten.

Obwohl eine detaillierte Behandlung des Problems nur mit Hilfe derQuantenmechanik möglich ist, kann der Effekt zumindest anschaulichgemachtwerden:

LässtmanlinearpolarisiertesLicht,dasmansich,wieobenbeschrieben,alsÜberlagerung einer links- und einer rechtszirkular polarisierten Wellevorstellt, auf einMedium fallen in dem sichMoleküle befinden, die selbsteinenSchraubensinnaufweisen,soistesplausibel,dassjenachdemwelcherSchraubensinn vorherrscht, links- und rechtszirkular polarisierte WellenunterschiedlichePhasengeschwindigkeitenhabenwerden.NachwievorwirddieÜberlagerung der beiden Teilstrahlen linear polarisiertes Licht ergeben,aber jenachdemwiegroßdierelativePhasenänderungzwischendenbeidenStrahlenist(d.h.wieweitdereineStrahldemanderenschonvorausgeeiltist),wird sich die Polarisationsebene um einen bestimmten Winkel geänderthaben,wenndasLichtdieoptischaktiveSubstanzwiederverlässt.

In obiger Abbildung hat die rechtsdrehende Welle (r) eine größereAusbreitungsgeschwindigkeit als die linksdrehende (1). Folglich bildet sichzwischen den beiden zirkularen Wellen eine Phasendifferenz aus. Die ausbeiden Wellen zusammengesetzte linear polarisierte Welle L liegt dann ineiner Ebene, die um einen Winkel j aus der ursprünglichen Richtungherausgedrehtist.Gesetz

FürdenDrehwinkeljeinerlinearpolarisiertenWelle,dieeineoptischaktiveLösung derKonzentration kund derLänge l durchlaufen hat,gilt:

Dabeiistj0dasspezifischeDrehvermögenderverwendetenSubstanz.

Sowie der Brechungsindex hängt auch das spezifische Drehvermögen vonder Lichtfrequenz ab. Licht unterschiedlicher Farbe erfährt also in optischaktiven Substanzen eine unterschiedlich starke Drehung derPolarisationsebene.DieseErscheinungheißtRotationsdispersion.

4.2Messungen

BeibekannterLichtweglänge lkannmanauseinemgemessenenWertvonjbei bekanntem spezifischem Drehvermögen j0 auf die unbkannteKonzentrationkschließen.DavonwirdbeiderSaccharimetrie,derMessungvonZuckerkonzentrationen,Gebrauchgemacht.WiekannmandieDrehungderPolarisationsrichtungmessen?

Zunächst muss man sich mittels einer gewöhnlichen Lichtquelle, einesPolarisators und eines Farbfilters (um nicht durch die Rotationsdispersiongestörtzuwerden)monochromatischeslinearpolarisiertesLichtverschaffen.In einigem Abstand von der Lichtquelle stellt man einen Analysator auf,dessenDrehwinkel aneinerWinkelskala abgelesenwerdenkann.Nunwärefolgendes Vorgehen denkbar: Man stellt den Analysator auf minimaleIntensitäteinundnotiertdiezugehörigeWinkelposition.DanachbringtmaneineKüvettebekannterLängezwischenPolarisatorundAnalysator.WenndieSubstanz in der Küvette die Polarisationsrichtung dreht, wird sich dasGesichtsfeld des Analysators aufhellen. Man verdreht den Analysator, biswiederDunkelheitherrscht.DerVerdrehungswinkel,dieDifferenzzwischenalterundneuerWinkelpositiondesAnalysators,istdergesuchteDrehwinkelϕ. Leider lässt sich die Lage eines Helligkeitsminimums nicht sehr genaufeststellen. Das menschliche Auge ist wesentlich empfindlicher, wenn esdarum geht Helligkeitsunterschiede festzustellen, als absolute

SC

Helligkeitswertezu registrieren.Deshalbwird indiesemVersuch (undauchin kommerziellen Saccharimetern) ein modifiziertes Verfahren, dassogenannteHalbschattenverfahren,angewendet.

Beim Halbschattenverfahren ist der Analysator in zwei Hälften geteilt,deren Polarisationsrichtungen sich um einen kleinen, festen Winkelunterscheiden.StattaufminimaleIntensitätstelltmandenAnalysatornunaufgleicheHelligkeit(bzw.Dunkelheit)derbeidenGesichtsfeldhälftenein.Dasermöglicht wesentlich genauere Resultate. Untenstehende Abbildung zeigtdenAufbaueinesHalbschatten-Saccharimeters.

DasLichteinerGlühlampewirdmiteinemInterferenzfiltermonochromatischgemacht (λ=589nm)undmit einemPolarisator linear polarisiert.Danachdurchläuft es die Küvette mit der zu untersuchenden Lösung. DerHalbschattenanalysator ist drehbar angeordnet. Der Drehwinkel kann aufeinerSkalamitNoniusauf1/10Gradgenauabgelesenwerden.AbgeglichenwirdaufgleicheHelligkeit inderNähedesjeweiligenHelligkeitsminimumsindenbeidenGesichtshälften.

Messungen

BestimmungdesNullpunktsdesSaccharimeters.Messung des Drehwinkels für je mindestens vier verschiedeneKonzentrationen der in Praktikum vorhandenen Fruktose- undGlukoselösungen.BestimmungdesDrehwinkelsvonvierunbekanntenProben.BestimmungdesDrehwinkelsaneinerProbemithoherKonzentrationbei drei verschiedenen Wellenlängen, d.h. mit drei verschiedenenFarbfiltern. (Für diesen Versuchsteil stehen im Praktikum Sacchari-meter ohne fest eingebauten Farbfilter zu Verfügung, in dieverschiedeneFiltereingesetztwerdenkönnen.)

Auswertung

ErstellenSiefürdieProbenbekannterKonzentrationeinDiagramm,indem Sie den Drehwinkel als Funktion der Konzentration auftragen.ErmittelnSieausderSteigungderAusgleichsgeradendasspezifische

MI

Drehvermögenj0fürGlukoseundFruktose.(DieLängederKüvetten,indenensichdieverschiedenenLösungenbefinden,beträgt20cm.)Mit diesen spezifischen Drehvermögen können nun Zuckerart undKonzentrationderunbekanntenProbenbestimmtwerden.Untersuchen Sie anhand der gemessenen Drehwinkel beiverschiedenen Wellenlängen, ob es sich bei der hier vorliegendenRotationsdispersion um normale oder anomale Dispersion handelt(d.h.,obderDrehwinkelmit steigenderFrequenzgrößeroderkleinerwird).

Übungsaufgabe

UmwievielGradändertsichdiePolarisationsachseeinesLaserstrahlsbeimDurchgang durch einer 8 cm langenGlasküvettemit einer 3%igen Lösungeiner optisch aktiven Zuckerlösung, D-Fruktose, mit einem spezifischenDrehvermögenvon–0,885°/mmproProzent?(212°)

5Versuch:Mikroskop5.1Grundlagen

Motivation

Im Versuch zu den Linsengesetzen wurden die wesentlichen Gesetze dergeometrischenOptikbehandeltundwiemandurchentsprechendgeschliffeneLinsen Bilder von Gegenständen entwerfen kann. Im Versuch über dieBeugung des Lichtes wurden die wesentlichen Charakteristika derWellenausbreitung des Lichts demonstriert und die daraus resultierendenBeschränkungen für die Abbildung durch Linsen.Mit demMikroskop sollnun ein optisches Instrument als Beispiel für die Anwendung dergeometrischenOptikvorgeführtwerden.

ZuerstwieswahrscheinlichG.Fracostoro(1538)daraufhin,dassmandurchzwei Linsen alles vergrößert sieht. Allerdings erwähnt erst R. Hooke 1665MikroskopeinderheuteüblichenForm.SeitdemgehörenMikroskopezudenunentbehrlichenGerätenderNaturwissenschaft,dasiezumeinendenBereichdermenschlichenSinnewesentlicherweitern,zumanderenabersehreinfachzu bedienen sind, da das entstehende Bild ein vergrößertes Abbild dermikroskopischen Struktur ist und selten besonders interpretiert zu werdenbraucht.

AuflösungsvermögendesmenschlichenAuges

WesentlicheBestandteile desmenschlichenAuges sind eineLinsevariablerBrennweiteunddieNetzhaut.DieLinseprojizierteinBildaufdieNetzhaut.InderNetzhautsitzenlichtempfindlicheZellen,dieZapfenunddieStäbchen,derenSignale zuerst vondenNervenzellenderNetzhaut verarbeitetwerdenunddannüberdenSehnervansSehzentrumimGehirnweitergeleitetwerden.

Das Auflösungsvermögen des menschlichen Auges ist begrenzt. ZweiObjektdetails, die dem Auge unter einemWinkel von kleiner als l‘ (einerBogenminute = 1/60 Grad) erscheinen, können nicht mehr als getrenntePunkte wahrgenommen werden. Die Erklärung dafür ist einfach. Amdichtesten stehen die Zapfen, die für das Scharfsehen verantwortlichenlichtempfindlichen Zellen, in der Netzhautgrube, der Stelle größterBildschärfe. Dort beträgt ihr wechselseitiger Abstand etwa 4 μm. WerdenzweiStrahlenbündelvonderAugenlinseaufPunktederNetzhautfokussiert,derenAbstandwenigeralsdiese4μmbeträgt,sotreffenbeideStrahlenbündeldieselben Sinneszellen auf der Netzhaut und können also vom Auge nichtmehr unterschieden werden. Dies ist dann der Fall, wenn der Winkelzwischen beiden Strahlenbündeln kleiner als eine Bogenminute ist (sieheAbbildung).

DetailswelcherKleinheitwir noch an einemGegenstand erkennenkönnen,hängtalsovonderGrößedesaufderNetzhautentworfenenBildesab,bzw.davonwelcheDetails uns gerade noch unter einemWinkel von etwa einerBogenminuteerscheinen.

Zwei ins Auge fallende Strahlenbündel, die unter einem Winkel von kleiner als einer Bogenminutegegeneinandergeneigtsind,werdenaufzweiPunkteaufderNetzhautabgebildet,diewenigerals4μm,demdurchschnittlichenAbstandder lichtempfindlichenZellen,voneinanderentfernt sind.SieerregendeshalbdiegleichenSinneszellenunddiePunkte,vondenensieausgehen,könnennichtvoneinanderunterschiedenwerden.

WirdderGegenstandnäheransAugegerückt,erscheinenkleinereDetailsalszuvor unter einemWinkel von einer Bogenminute (siehe untereAbbildungauf nächster Seite) und wir erkennen die Struktur des Gegenstandesdeutlicher.

Sieht das Auge in die Ferne, so sind die Ziliarmuskeln, die die Linseringförmigumschließen,entspannt,dieLinseistrelativschwachgewölbtundhat die größtmögliche Brennweite. Je näher sich ein Gegenstand befindet,desto stärkermüssen sich dieZiliarmuskeln zusammenziehen, desto stärker

MI

muss die Linse unter demDruck derMuskeln gewölbtwerden, um die füreine scharfe Abbildung nötige kürzere Brennweite zu erzielen (obereAbbildung auf nächster Seite). Die Fähigkeit des Auges, sich aufunterschiedlicheSehweiteneinzustellen,nenntmanAkkomodation.

DieseFähigkeitgehtnurbiszueinerminimalenEntfernung,demNahpunkt.Näherliegendes kann dasAuge nichtmehr scharf sehen.Als Standard setztman für den Nahpunkt eine Distanz von 25 cm und nimmt dies alsBezugssehweite. Der Nahpunkt ist allerdings personen- und insbesonderestarkaltersabhängig:EinKleinkindkannnochbisca.7cm,einSenior(ohneBrille)bisetwa100cmscharfsehen.

WirkungsweiseoptischerInstrumente

SollennähereGegenständefokussiertwerden,sopasstdasAugedieLinsenbrennweitean.DasistandersalsbeieinerKamera,inderderAbstandderLinsezumFilmverändertwird!

JemehrmaneinenGegenstanddemAugenähert,destogrößerwirddasNetzhautbild,unddestofeinereDetailskönnendeshalbaufgelöstwerden.

Die Wirkungsweise optischer Instrumente beruht darauf, dass sieletztendlich ein größeres Bild eines Gegenstandes auf der Netzhauterzeugen,alsderGegenstandselbsterzeugenkann.DiesgeschiehtdurchdenEntwurf eines vergrößerten virtuellen Bildes, das sich weiter als dieBezugssehweite vom Auge entfernt befindet und deshalb scharf gesehenwerdenkann(siehediebeidennächstenAbbildungen).

UmdenZugewinnanErkennbarkeitfeinerDetailszubeurteilen,müssenwirdie typische Sehsituation ohne das optische Instrument vergleichenmit derSehsituationmitdemoptischenInstrument.DieDetailvergrößerung,d.h.dasVerhältnis der Größen der gerade noch erkennbaren Details in beidenSituationen, ist gleich dem Verhältnis der Größen der Netzhautbilder desGegenstandes in beiden Situationen. Da die Größe des Netzhautbildes imwesentlichen bestimmt wird (siehe untere Abbildung auf nächster Seite)durch den Tangens des Winkels unter dem der Gegenstand bzw. seinvirtuelles Bild erscheinen, definieren wir die Detailvergrößerung MDetail

einesoptischenInstrumentswiefolgt:

EinGegenstand, der demAuge unter einemWinkel j erscheint,wird in einNetzhautbildderGröße abgebildet.

Man sollte dabei beachten, dass es von der Art des optischen Instrumentsabhängt, um welche Situation es sich bei der typischen Sehsituation ohneInstrument handelt. Zum Beispiel dient das Teleskop dazu, entfernteGegenstände,denenmansichnichtweiternähernkannunddiesichsehrweitentferntbefinden,zuvergrößern.DienormaleSehsituationistalsodieeinessehr weit entfernten Gegenstandes. Dagegen dient eine Lupe oder einMikroskop dazu, einen Gegenstand, dem wir uns im Prinzip beliebig weitnähern können, zu vergrößern. Die typische Sehsituation mit der wirvergleichenmüssen,istalsodie,inderwirunsbereitsmitbloßemAugedemGegenstand so weit genähert haben, dass wir möglichst feine Detailserkennen, mindestens also auf die Bezugssehweite. Wir werden dies amBeispielderLupevorführen.

OptischeInstrumenteentwerfenvirtuelleBildervonGegenständen,diedemAugeuntereinemgrößerenSehwinkelerscheinen,alsderGegenstandineinertypischenSehsituationohnedasoptischeInstrument.EsergibtsichdeshalbeinentsprechendgrößeresNetzhautbild,undzwarist

.

DetailvergrößerungderLupe

MI

WillmaneinenGegenstandmitderLupebetrachten,sowirddiesedichtvordasAuge gebracht und demGegenstand soweit genähert, dass sich dieserzwischen Brennpunkt und der Lupe befindet. Auf diese Weise wird derGegenstandineinvirtuellesBildabgebildet,dasderBetrachternunansehenkann(nächsteAbbildung).

EineLupebildeteinennahenGegenstand,dersichzwischenderLupeundihremBrennpunktbefindet,ineinweiterentferntesvirtuellesBildab.

OhneLupehättemandenGegenstand,umihnmöglichstgenauzuerkennen,aufBezugssehweitesandasAugeherangebracht.DerTangensdesWinkelj,unterdemderGegenstandohneInstrumenterscheint,wäredann:

Der Tangens des Winkels, unter dem mit der Lupe das virtuelle Bilderscheint,istdagegen(sieheobigeAbbildung)

DabeihängensowohldieBildgrößeB,alsauchdieBildentfernungbvonderGegenstandsentfernunggabundzwarmittelsderAbbildungsgleichungenfürLinsen:

mitfLinsenbrennweite,gGegenstandsentfernung,bBildentfernungund

mit G Gegenstandsgröße, B Bildgröße, M Abbildungsmaßstab,Lateralvergrößerung.

(Wir wollen dabei die GegenstandsgrößeG und die Brennweite f als festgegebenbetrachten–daseinzige,wasderBenutzerderLupedannnochfreivariierenkannistdieGegenstandsentfernungg.)FürdieDetailvergrößerungderLupeerhaltenwir:

MI

Es sieht nun auf den ersten Blick so aus, als könne man dieDetailvergrößerung beliebig groß machen, indemman nur den Gegenstandnahe genug an die Lupe bringt. Wäre dem so, bräuchten wir keineMikroskopeundkönntendenVersuch,umdeneshiergeht,vergessen.Manmuss aber bedenken, dass auch das Bild wandert, wenn der Gegenstandverschobenwird.AusdenAbbildungsgleichungenerhältman:

DerAbstanddesBildeszurLupe(derBetragderBildentfernungb)wirdalsoimmerkleiner,jekleinerdieGegenstandsentfernunggwird.Jenäherwiralsoversuchen, denGegenstand an die Lupe heranzubringen, um immer feinereDetailszuerkennen,destomehrnähertsichdasvirtuelleBilddemAuge.Wieschon oben erwähnt, können wir das Bild nicht fokussieren, wenn wir esnäher als die Bezugssehweite s an das Auge heranbringen. Wir haben dieobereGrenze fürdieDetailvergrößerungerreicht,wenndasBildgeradedieBezugssehweite vom Auge entfernt ist. Feinere Details können aus reinphysiologischenGründennichtmehrerkanntwerden.UmdieVergrößerungfür diesen Grenzfall zu ermitteln, drücken wir die DetailvergrößerungabhängigvonderBildweite,stattinAbhängigkeitvonderGegenstandsweiteaus.

Aus den Abbildungsgleichungen erhalten wir die Gegenstandsentfernung galsFunktionderBildentfernungb:

Einsetzen in die Gleichung für die Detailvergrößerung ergibt dieDetailvergrößerungMDetailabhängigvonderBildentfernungb:

DiemaximaleDetailvergrößerungindembesprochenenGrenzfall,wenndasBildgenaudieBezugssehweitevomAugeentferntist,d.h.b=–sist,istalso

Am Rande möchten wir noch auf folgendes interessantes Phänomenaufmerksammachen.WennsichdasBild imUnendlichenbefindet(d.h.derGegenstand im Brennpunkt so weit entfernt ist, dass gerade noch einvirtuelles Bild entsteht) wird die Detailvergrößerung minimal. Sie ist abertrotzdemnochimmer

DiemiteinerLupeerzielbareVergrößerungkannalsonurum1schwanken,egal wie wir diese Lupe halten. Für Lupen großer Brechkraft genügt alsNäherungsformel:

Zum Schluss sei auch noch einmal darauf hingewiesen, dass dasAuflösungsvermögen des menschlichen Auges ohne Lupe, bzw. dieVergrößerung von Gegenständen mit der Lupe keineswegs ausphysikalischen, sondern aus physiologischen Gründen begrenzt ist –deswegen,weildas

Auge nicht auf beliebig nahe Gegenstände mühelos fokussieren kann. DieAugenlinse kann ihre Brennweite nicht so stark verändern, dass auchGegenständescharferscheinen,diesichnäheralsderNahpunkt(~25cm)amAugebefinden.IndiesemSinnemussdieLupealseineArtFokussierhilfefürdas Auge betrachtet werden. Die Detailvergrößerung entspricht genau demVerhältnis,umdasderGegenstandnunnäherandasmitderLupebewaffneteAugegebrachtwerdenkann.AugenlinseunddieLupezusammenbildeneinoptischesSystemdessenBrennweitekleineristalsdiedesAuges.AufdieseWeisekönnenGegenständemühelosfokussiertwerden,dievielnäheralsdieBezugssehweite an das Auge herangebracht wurden (siehe untenstehendeAbbildung). So ist im obigen Fall, wenn die Bildweite genau dieBezugssehweiteist,dieGegenstandsweitenurnoch

Weiterhinbemerkenwir,dass,wenndieBrennweitederLupenurkleingenugist,dieVergrößerungenderLupedurchausbeachtlichseinkönnen.Dieersten„Mikroskope“ van Leeuwenhoeks (1632–1723), mit denen er schonPantoffeltierchensehenkonnte,warennichtsweiteralsbesondersstarkeundsorgfältig geschliffene Lupen in speziellen Halterungen (der Handhabungwegen).LupengeringerBrennweitesindabersehrschwierigzuschleifenundzu handhaben und deshalb sind, falls größere Vergrößerungen gewünschtsind,Mikroskopezweckmäßiger.

MI

DieLupeisteineArtFokussierhilfefürdasAuge.AugenlinseundLupebildenzusammeneinoptischesSystemmiteinerkleinerenBrennweitealsderdesAuges.SokönnenauchGegenstände,diedemAugenähersindalsderBezugssehweitesentspricht,mühelosfokussiertwerden.

EinMikroskopbesteht imwesentlichenauszweiLinsen–demObjektivunddemOkular–welche ineinemfestenAbstandineinemRohr,demTubus,montiertsind.

EinMikroskopbestehtimwesentlichenauszweiLinsen–demObjektiv,derdem Gegenstand (dem Objekt) zugewandten Linse, und demOkular, derdembetrachtendenAuge(lat.oculus)zugewandtenLinse–welcheineinemfesten Abstand in einem Rohr, dem Tubus, montiert sind (siehe obigeAbbildung). Das Objektiv bildet das Objekt, welches sich vor demBrennpunktdesObjektivsbefindet, ineinvergrößertes reellesZwischenbildab, welches durch das Okular, wie durch eine Lupe, unter nochmaligerDetailvergrößerungbetrachtetwird(siehefolgendeAbbildung).

Im Prinzip ist sofort klar, dass die mit dem Mikroskop erzielbareDetailvergrößerung das Produkt aus dem Abbildungsmaßstab desObjektivsunddermitdemOkularerzieltenDetailvergrößerungist:

Zu beachten ist, dass der Abbildungsmaßstab des Objektivs bei festvorgegebener Tubuslänge Δ nicht beliebig variieren kann, da ja das reelle

ZwischenbildzwischendemOkularunddemOkularbrennpunktliegenmuss,denn man sieht sich ja gewissermaßen das um ein Vielfaches vergrößerteZwischenbild durch die Okularlupe an. Details sind im vergrößertenZwischenbild entsprechend größer, und durch die Okularlupe könnenentsprechend noch feinereDetails an diesemZwischenbild erkanntwerden,alsdiesbeiBetrachtungdesZwischenbildsmitbloßemAugederFallwäre.

Die Detailvergrößerung des Okulars MDetail, Okuiar und derAbbildungsmaßstab des ObjektivsMAbbildung, Objektiv hängen beide von derPosition des Gegenstandes bzw. der des Zwischenbildes bzw. der desvirtuellen Bildes ab. Die exakte Berechnung beider Größen, und damit dieexakte Berechnung der Detailvergrößerung des Mikroskops, ist nicht ganzeinfach.Wir wollen uns hier um der flüssigeren Argumentation willen dieAbleitungersparenundgebennurdasErgebnisan.

Der exakte Ausdruck für die Mikroskopvergrößerung abhängig von derBildentfernungblautet

MeistgenügtjedochfolgendeNäherung:

Das Objektiv bildet das Objekt, welches sich vor dem Brennpunkt des Objektivs befindet, in einvergrößertesreellesZwischenbildab,welchesdurchdasOkularwiedurcheineLupebetrachtetwird.

MaximaleAuflösungdesMikroskops

Betrachtet man obige Gleichung für dieMikroskopvergrößerung so könnteman meinen, um jede beliebige Vergrößerung zu erzielen müsste nur dieTubuslänge Δ groß genug gemacht werden. Die Gleichung wurde aberhergeleitet,indemwirdieGesetzedergeometrischenOptikanwandten.Diesebeschreibt dieAusbreitung des Lichts, das ja einWellenphänomen ist, wiewirwissen,nichtvollständigrichtig.Licht,dasvoneinemPunktdesObjektsausgeht,wirdhinterderLinsenichtwiederexaktineinemPunktgesammelt,wie es die geometrische Optik annimmt, sondern in Wahrheit an der

MI

Objektivöffhung gebeugt, so dass sich in der Bildebene kein Bildpunkt alsBild des Objektpunktes ergibt, sondern ein kleines Scheibchen, welchesBeugungsscheibchen genannt wird. Liegen zwei Bildpunkte nahebeieinander, so verschmelzen dieBeugungsscheibchenmiteinander, so dassbeideBildpunktenichtmehrvoneinandergetrenntwerdenkönnen.

Es hat keinen Sinn, die Vergrößerung desMikroskops durchVerlängerungdesTubusübereinMaßhinauszutreiben,dassmitdemAugenochPunktedesZwischenbildes voneinander getrennt werden könnten (weil sie durch dasOkular gesehen unter einem entsprechend großen Winkel erscheinen), dieaberwegendieserBeugungserscheinung schonvomObjektivnichtmehr ingetrenntePunkteabgebildetwerden.DiemaximaleVergrößerung,diegeradenochsinnvollist,wennalsodiegeradevomAugenochauflösbarenDetailssogroß sind, wie die kleinsten Details, die vom Mikroskop noch korrektabgebildet werden, heißt die förderliche Vergrößerung.Wir können auchdie förderliche Vergrößerung recht einfach berechnen. Sei etwa Δx dieminimaleEntfernungzweierPunkte,dievomObjektivgeradenochgetrenntabgebildetwerden,dannhabendiesePunkteimZwischenbilddieEntfernungΔxzwischen:

FürdenTangensdesWinkels,unterdemdiesePunktedemdurchdasOkularblickendenAugeerscheinen,erhaltenwir:

Daraus ergibt sich dieVergrößerung desMikroskops inAbhängigkeit vomWinkelj,unterdemdiebeidenPunktedemAugeerscheinen:

Die beiden Bildpunkte können vom Auge gerade noch getrenntwahrgenommenwerden,wennjetwa1’ist.

DieförderlicheVergrößerungistalso:

IndergeometrischenOptikwirdvorausgesetzt,dasssichallevomObjektpunktausgehendenLichtstrahlenwiederineinemPunkt–demBildpunkt–hinterderLinsetreffen.

InWahrheitistLichteinWellenphänomen.DieWellewirdanderObjektivöffnunggebeugtundläuftnichtmehrexaktineinemPunktzusammen,sondernbildeteinBeugungsscheibcheninderBildebene.

Ernst Abbe (1840–1905) erkannte, dass die Begrenzung desAuflösungsvermögens durch Beugungseffekte von zwei Größen abhängt.Zum einen von der numerischen Apertur dem maximalenWinkel eines Lichtstrahls, der noch das Objektiv passieren kann, und zumanderenvonderFrequenzvdesLichtes.Esgilt

TechnischeRealisierungenvonMikroskopen

Wir haben uns bis hierher stark vereinfachend ein Mikroskop als einMetallrohr mit zwei Linsen vorgestellt. Dies war ausreichend, um dieprinzipielle Funktionsweise eines Mikroskops zu verstehen und AusdrückefürdieBerechnungderVergrößerungherzuleiten,aberinWirklichkeitgehörtnoch einiges mehr zu einem wirklich handhabbaren Mikroskop (sieheAbbildung).

MI

AufbaueinesDurchlichtmikroskops

ObjekttischundHöhenverstellungsindselbstverständlichundaufAnhiebverständlich.Verschiedene Objektive befinden sich in einer drehbaren Halterung,dem Objektivrevolver, mit Hilfe dessen sie wahlweise in denLichtweg gedreht werden können – so können Objektive undVergrößerungsstufenschnellundbequemgewechseltwerden.Je nach Art des Mikroskops gibt es Beleuchtungseinrichtungen derverschiedensten Arten. Der Kondensor dient inDurchlichtmikroskopen zur elektrischen Beleuchtung des Objektsvon unten. Andere Mikroskoparten beleuchten das Objekt von oben(Auflichtmikroskop)odermitUV-Licht(Fluoreszenzmikroskop).Bei den meisten modernen Mikroskopen befindet sich zwischenObjektiv und Okular ein Umlenkprisma. Dadurch kann der Objekt-tischwaagrechtbleiben,derTubusabereineergonomischereNeigung–geradefürdieBedienungimSitzen–erhalten.Zudem sind Objektiv und Okular zumeist keine einzelnen Linsen,sondern ganze Linsensysteme. Beim Objektiv werden verschiedeneLinsenkombiniert,umFarbfehlerzukompensieren,undeinegrößereVergrößerung zu erreichen, als mit einer einzelnen Linse möglichwäre. Beim Okular wird in den Brennpunkt der eigentlichenOkularlinse (oder, genauer, an die Position desZwischenbildes) eineweitereLinse,Kollektorlinsegenannt, eingefügt.DieseLinse ändertnichtsameigentlichenZwischenbild,sondernknicktnurdieausdemZwischenbild heraustretenden Strahlenbündel (siehe folgendeAbbildung)zurAchsehinum.DerEffektistletztendlichder,dassdasganze sichtbare Bildfeld, das vorher deutlich am Rand abgeschattet(vignettiert)war,ausgeleuchtetwird.ZumeististdieKollektorlinsemitdereigentlichenOkularlinseineinemGehäusezusammengefasst.

MI

DieKollektorlinseknicktdieausdemZwischenbildheraustretendenStrahlenbündelzurAchsehinum.DadurchwirddasganzesichtbareBildfeld,dasvorherdeutlichvignettiertwar,ausgeleuchtet.

5.2Aufgaben

Vorbereitungen

KonstruierenSie,umIhrVerständniszuüberprüfen,denStrahlengangeinesMikroskopsaufMillimeterpapier.NehmenSiealsGegenstandsentfernungdieeineinhalbfache Objektivbrennweite. Die Wahl einergeeignetenObjektivbrennweite, Okularbrennweite, Tubuslänge und Gegenstandsgrößeist Ihnen freigestellt. Die Zeichnung sollte etwa die Größe einer DIN-A4-SeiteimQuerformathaben.VielleichtsolltenSiedeshalbvorheranhandeinerSkizze mit der Abbildungsgleichung abschätzen, welche Brennweiten,LinsenabständeundGegenstandsgrößeSiegünstigerweisewählen.

MessungenundAuswertung

Warnung: Senken Sie den Tubus nie ab, solange Sie durch das Okularblicken,sondernnurbeigleichzeitigerseitlicherBeobachtungdesAbstandesvon Objektiv zu Objekt, ansonsten zerbrechen Sie leicht den ObjektträgeroderdasObjekt.

Scharfstellen sollten Sie also, indem Sie den Tubus unter den genanntenVorsichtsmaßregelnganznachuntendrehen(ohnedasObjektzuzerstören!)unddann,währendSieindasOkularblicken,nurnachobenbewegen.

FunktionderKollektorlinse

Im Versuchsmaterial befindet sich ein Okular (für alle Gruppenzusammen) mit herausnehmbarer Kollektorlinse. Lassen Sie sich vomAssistentenanhanddiesesOkularsdemonstrieren,wiesichdieAusleuchtungdes Bildfeldes bei herausgenommener Kollektorlinse ändert, dass dersichtbareTeildesBildesjedochunverändertbleibt.

MessungderObjektiv-undderGesamtvergrößerung

FürdiebeidenvorhandenenObjektivesolldieVergrößerungdesMikroskopsabgeschätzt werden. Das ist naturgemäß ein heikles und ungenaues

Unterfangen, dawir bei derDefinition derMikroskopvergrößerungmit derBezugssehweite operiert haben. Eine Festlegung auf 25 cm für diese istäußerst willkürlich, da sie in Wahrheit von Mensch zu Mensch subjektivschwankt.AbgesehenvondiesenVorbehaltengehteshierwiederdarum,dieSehsituation ohne Instrument und die mit Instrument zu vergleichen. UnsinteressiertdieFrage,umeinenwievielfachgrößerenWinkel(bzw.Tangensdesselben)unseinMikroobjektmitMikroskoperscheint.

Legen Sie zu diesem Zweck einen Objektmikrometer mit Teilstrichabstand0,05mm auf denObjekttisch. Blicken Sie nun, nachdem Sie scharfgestellthaben,mitdemeinenAuge insOkular.NebendasMikroskophaltenSie inBezugssehweite (das sind 25 cm Abstand) einen Maßstab mitMillimeterteilung.Diesen sehenSiemit dem anderenAuge an, so dass SiegleichzeitigbeideSkalensehen.StellenSienunfest,wievieleIntervalledesMaßstabsunterdemMikroskopIhnensogroßerscheinen,wieeinebestimmteAnzahl vonMillimetern, indemSie dasMillimetermaß so halten (ohne denAbstand zu verändern), dass die Bilder beider Skalen übereinander liegen.Nehmen wir an, es fielen b Teilstriche des Objektmikrometers auf aMillimeter. Dann können wir nun die Vergrößerung des Mikroskopsberechnen.

DieLängeb·0,05mmistunsereGegenstandsgrößeundwirerhaltenfürdenSehwinkelohneInstrument:

MitdemMikroskoperscheintunsdieseLängeaberunterdemselbenWinkelwieammineinemAbstandvon25cm.WirerhaltenalsofürdenSehwinkelmitMikroskop:

SoergibtsichfürdieGesamtvergrößerungdesMikroskops:

Weiterhin soll die Vergrößerung der einzelnen Objektive direkt gemessenwerden. Zu diesem Zweck existiert unter dem Experimentiermaterial einTubuseinsatz, der an der Stelle des Zwischenbildes eine Mattscheibe miteingezeichnetem Maßstab hat und eine Lupe, um die Mattscheibe zubetrachten.SetzenSiediesenEinsatzanstelledesOkularsein,undmessendieGrößedesZwischenbildesaus,wobeiSiealsObjektwiedereineAnzahlvonTeilstrichendesObjektmikrometersnehmen.DieVergrößerungderObjektiveergibtsichalsderAbbildungsmaßstab

MI

mit:Z=GrößedesZwischenbildes

G=GrößedesgewähltenMikrometerintervalls

FührenSiealsobittefolgendeMessungendurch:

Messen Sie die Gesamtvergrößerung nach ersterer Methode für dasOkularx10unddasObjektiv1.Messen Sie die Gesamtvergrößerung nach ersterer Methode für dasOkularx10unddasObjektiv2.MessenSienachletztererMethodedieVergrößerungvonObjektiv1.MessenSienachletztererMethodedieVergrößerungvonObjektiv2.

Anwendung:DickenmessungvonvierDrähten

EssollnunalsBeispieleinermessendenAnwendungdesMikroskopsdieDicke von vier Drähten gemessen werden. Zu diesem Zweck befindetsich in den Okularen an der Stelle des Zwischenbildes eine Skala. DieseerscheintalsozugleichmitdemObjektscharf.VorderAnwendungmusssiegeeichtwerden,d.h.Siemüssenfeststellen,wievieleSkalenteiledieserSkalawelcherEntfernungaufdemObjektträgerentsprechen.DazulegenSiewiederdas Objektmikrometer auf und vergleichen beide Skalen. Mit dieserInformationkönnenSiejetztmitderOkularskalavorgenommeneMessungenaus Skalenteilen in Millimeter umrechnen. Führen Sie also bitte folgendeMessungendurch:

EichenSiedasOkularmikrometer fürdaswenigerstarkvergrößerndeObjektivnachobigerMethode.GebenSiean,wievieleMillimeteraufdemObjektträgereinSkalenteilsind.Messen Sie dieDicken der vier auf einemObjektträger befindlichenDrähte. Sie können auch alternativ eines der anderen unter demVersuchsmaterial befindlichen Präparate vermessen (dann aber mitSkizzevondem,wasSiesehenundeingetragenenMaßen).GebenSiebitteIhreMessungeninSkalenteilenundinMillimeteran.

Auswertung

NachderAbbildungsgleichungistdieBrennweiteeinerLinse

BeidenverwendetenMikroskopenbefindensichdieZwischenbilderin18cmEntfernung vom Objektiv. Mit dieser Information können Sie aus dengemessenenVergrößerungendieObjektivbrennweitenberechnen.

BerechnenSiedieBrennweitenbeiderObjektive.BerechnenSiedieGesamtvergrößerungdesMikroskops.DabeiistdieOkularvergrößerung zu 10fach vorgegeben (Aufdruck amOkularrand!). Vergleichen Sie die so erhaltenen Werte mit Ihrerdirekten Messung der Gesamtvergrößerung. Versuchen Sie dieAbweichungenzurechtfertigen.

11EigentlichWillebrordSnelvanRojen(1580–1626).

FH

6Atom-undKernphysik

Atommodell,QuantisierungderEnergie,Franck-Hertz-VersuchRöntgenstrahlung,Lambert-BeerschesGesetzIonisierendeStrahlungundihrephysiologischeWirkungAufbauderAtomkerneRadioaktivität,Zerfallsreihen

1Franck-Hertz-Versuch1.1Atommodelle

Die Atomhypothese wurde erstmals im fünften Jahrhundert vor derchristlichen Zeitrechnung von einigen Naturphilosophen des antikenGriechenlands(z.B.Demokrit1)formuliert.

Doch erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts setzte sich dieAuffassung allgemein durch, dass die chemischen und physikalischenEigenschaftenvonStoffendurchdieunterschiedlichenEigenschaftenunddieVielfaltderAtomehervorgebrachtwerden.

AntikeAtomistik

Die Atomistik hat sich aus folgender Überlegung Demokrits entwickelt:Durch fortlaufende Teilung eines Apfels erhält man zwei Hälften, vierViertel,usw.GibteseineGrenzederTeilbarkeit,sodassdiekleinstenTeilenichtmehrdieEigenschaft„Apfel“tragen?

DieseTeile benannteDemokrit als ,Atome‘ und schrieb ihnen einfachegeometrische Gestalt und Unveränderlichkeit zu. Von ihnen sollte esunendlichvieleSortengeben.

Im Mittelalter setzten sich in Europa unter dem Einfluss der katholischenKirchedieLehrenvonAristoteles2undPlaton3durch, diebeideAnhängerder Vierelementelehre waren, welche besagt, dass Feuer,Wasser, Luft undErdedievierUrelementesind,ausdenenalleszusammengesetztist.

DenvierUrelementen fügteAristoteles noch einFünftes hinzu, denÄther.DieÄthertheoriekonnteerst1905durchdievonEinstein4imZusammenhangmitderspeziellenRelativitätstheoriegegebeneInterpretationdesMichelson5-Morley6-Experimentswiderlegtwerden.

EntwicklungdesmodernenAtommodells

Als das Experiment Einzug in die Naturwissenschaften hielt, konntenAussagen qualitativ und quantitativ überprüft werden. Das gab denNaturwissenschaftlerneinWerkzeugandieHand,dieNaturzuerkunden.ImVerlauf der Zeit entdeckten die Wissenschaftler das Gesetz derMassenerhaltung, die Gasgesetze (um 1660), das Gesetz der kinetischenWärmetheorie (um 1842) u.v.m., die sich schwerlich mit derVierelementelehredeutenließen.

EinModell,dasjedochalldieseGesetzmäßigkeitenerklärenkonnte,wardasDalton7-Atommodell,dasvon1807–1904Bestandhatte.Esbesagt,dassdasAtom eine kleine, gleichmäßig mit Masse erfüllte, vollkommen elastischeKugelist.

Man besann sich dabei nicht etwa auf die antikeAtomvorstellung, sondernman entwickelte diese unabhängig davon neu. Die antike Vorstellung wardamalsschnellinVergessenheitgeraten.

WasdasDalton-Modelljedochnichterklärenkonnte,warendieelektrischenEigenschaften bestimmter Stoffe. Dies verlangte eine Modifizierung derAtomvorstellung,dieunterdemNamenThomson8-Atommodellvon1904–1911galt.

DasAtomwirdnunalsKugelauselastischerpositiverMasseangesehen, indienegativeElektroneneingelagertsindunddiedurchelektrostatischeKräfteanbestimmteRuhelagengebundensind.

Damit konnte nun der Leitungsmechanismus erklärt werden, sowie dieReibungselektrizität,derglühelektrischerEffektundderPhotoeffekt.

Aber1911alsLenard9undRutherford10ihreStreuexperimentemachten,indenen sie Metallfolien mit Elektronen bzw. α-Teilchen beschossen unduntersuchtenwiedie„Geschosse“gestreutwerden,stelltensiefest,dassdasAtom praktisch leer seinmüsse, da diemeisten Elektronen und α-TeilchenungehindertdurchdasAtomhindurchgelangten,abereinkleinerProzentsatzmassiv abgelenkt wurde. Das Atom konnte also nicht homogenmitMasseerfülltsein.

Dasführte1911zumRutherford-Atommodell,dasfastdieganzeMasseindenpositivgeladenenKernunddienegativen,leichtbeweglichenLadungenindieHülleverlegte,diedortdurchelektrostatischeKräftegehaltenwerden.DabeibeträgtderKerndurchmesserca.10–15mundderHüllendurchmesser,alsoderDurchmesserdesAtoms,ca.10–10m.DasgroßeProblembeidiesemAtommodellwares,dasslautdenGesetzenderklassischenPhysikdasAtomnicht mehr stabil ist, denn bewegen sich Ladungen beschleunigt (wie z.B.

FH

Elektronen aufKreisbahnen), so strahlen diese Energie ab,was dazu führt,dasssielangsamerwerdenundderBahndurchmesserabnimmt,wasimAtomunweigerlichdazuführenwürde,dassdieElektronenaufdenKernstürzten.

Dem half Niels Bohr11 1913 ab. Er schrieb intuitiv den ElektronenstrahlungslosefesteKreisbahnenvorundgabauchdenRadiusihrerBahnenan.JederBahnentspracheinebestimmteEnergie.BeimWechselderBahnenmussalsoEnergiezugeführtwerdenodereswirdEnergiefrei.DieswurdeindenbeidenBohrschenPostulatenfestgehalten,dieauchheutenochgelten.

1. Der Drehimpuls der Elektronen auf ihren Bahnen ist ein ganzzahligesVielfachesdes„Elementardrehimpuls“ħ(gesprochen:„hquer“):

m·n·r=n·ħ

DamitistderRadiusrderBahnenfestgelegt.

2. ΔW = W+ – W– , dabei ist W+/– die Energie der Elektronen auf derhöheren/niederen Bahn Beim Übergang von der höheren auf die niedereBahn wird die Energie ΔW in Form elektromagnetischer Strahlung derFrequenzn(oderf)frei,fürdiegilt:

Definition

histdabeidiePlanckscheKonstante12,diedenWerth=6,6262·10–34Js=4,1357·l0–15eV·strägt.

Mansetztaußerdemnoch

Dadurchwar,wennauchohnezwingendeErklärung,dieStabilitätderAtomeerklärt, außerdem konnten die einfachen Linienspektren als Übergängezwischen Bahnen gedeutet und die ungefähren Atomenergien berechnetwerden.Sokonntenz.B.dieEnergieniveausdesWasserstoffatoms,dasauseinemProtonimKernundeinemElektroninderHüllebesteht,bereitsdurchdas Bohrsche Atommodell recht genau berechnet werden. DieUntersuchungsergebnisse genauerer spektroskopischer UntersuchungenkonntenabererstdurchdieQuantenmechanikexaktbeschriebenwerden.

Quantenmechanik

Die 1920er Jahrewaren eineBlütezeit der Physik. Innerhalbweniger Jahrefügten sich experimentelle und theoretische Erkenntnisse zu einemgroßartigen Puzzle zusammen und ergaben eine völlig neue Physik, dieQuantenphysik. Sie erlaubt es mit der Genauigkeit, mit der man bis datoPlanetenbahnenberechnet hatte, nunAufenthaltswahrscheinlichkeitenvon

FH

mikroskopischenTeilchen,z.B.ElektronenindenAtomhüllen,zubestimmenundihrediskretenEnergieniveausvorherzusagen.

Es zeigte sich, dass sich dieElektronen imAtom inSchalenumdenKerngruppieren. Mit zunehmender Kernladungszahl werden die Schalensukzessive von den innersten beginnend besetzt. Ist eine Schale komplettgefüllt, so ergibt sich eine besonders stabile Elektronenkonfiguration.EdelgasehabeneinesolcheKonfigurationundzeigendiesdurchihrchemischinertesVerhalten.

Ist die äußere Schale nur mit wenigen oder gar nur mit einem Elektronbesetzt, so sprichtman vonValenzelektronen.Sie können relativ leicht inhöhereSchalenangehobenodersogarganzvomAtomgetrenntwerden.

1.2ExperimentelleBestätigungdes2.BohrschenPostulats

Durch das von Franck undHertz 1913 erstmalig durchgeführte Experiment(1925 mit dem Physik-Nobelpreis ausgezeichnet), wurde das ZweiteBohrschePostulatimVersuchbestätigt.

IhreÜberlegungwarfolgende:StelltmanAtomeneinganzeskontinuierlichesEnergiespektrum zur Verfügung, so „greifen“ sie sich nur ganz bestimmteEnergien heraus, nämlich solche, die gerade dem energetischen AbstandzweierBahnenentsprechen.

WieFranckundHertzdiesrealisierten,sollnunSchrittfürSchrittdargestelltwerden.

Die Grundidee ist, Elektronen fester bekannter Energie mit Atomen (inunserem Fall Quecksilber) stoßen zu lassen. Ist die Elektronenenergiegenügend hoch, geben sie einen Teil ihrer Energie an das Quecksilber ab.Werden die Elektronen nach dem Stoß abgesaugt und deren Restenergiebestimmt, sokannderEnergieverlustbestimmtwerden,derdannzusätzlichalsAnregungsenergieimQuecksilberatomsteckt.

Zentrales Bauteil dieses Versuches ist ein evakuierter Glasbehälter, in demetwas Quecksilber ist. Quecksilber ist bei Raumtemperatur flüssig, deshalbwirdderGlasbehältergeheizt,bisdasQuecksilberzumTeilverdampft.DahernenntmandieseApparaturauch„Franck-Hertz-Ofen“.

Durch Heizen einer Kathode werden aus dem Metall der KathodeElektronenherausgelöst(glühelektrischerEffekt).UmdiesenElektroneneinebestimmteEnergiezugeben,werdensieineinemelektrischenFeldzwischenKathodeundAnodebeschleunigt.DaselektrischeFeldwirddadurcherzeugt,dassmanzwischenKathodeundAnode(gestrichelt)eineSpannunganlegt.

Nach der Beschleunigungsphase stoßen die Elektronen mit denQuecksilberatomenundgebenunterUmständeneinenTeilihrerEnergieab.

Um nun festzustellen, welche Energie die Elektronen nach dem Stoß nochbesitzen,bedientmansicheinesTricks:

Man lässtdieElektronengegeneinelektrischesBremsfeldanlaufen,d.h. esistsogepolt,dassdieElektronenbeimDurchganggebremstwerden.IstihreEnergie noch genügend groß, können sie den gesamten Bremsraumdurchlaufen und werden am Ende abgesaugt und ergeben dann einenStromstoß. Ist ihre Energie zu gering, können sie nicht gegen das gesamteFeld anlaufen und werden somit auch nicht detektiert. Nimmt man denStromverlauf inAbhängigkeitvonderBeschleunigungsspannungUbeschl. auf,so erhält man nebenstehendes Diagramm. Für niedereBeschleunigungsspannungen ist die Energie der Elektronen noch zu gering,alsdasssieeinenTeilihrerEnergieaneinQuecksilberatomabgebenkönnten,aberauchnochzugering,umgegendasBremsfeldanzulaufen.Dasheißt,derStrommesserdetektiertnureinenkleinenStrom.

BiszueinerBeschleunigungsspannungvonrund4,9VnimmtderStromstarkzu, was bedeutet, dass viele Elektronen am Strommesser ankommen. DieEnergiewar alsonoch zugering, umQuecksilber anzuregen.Erst ab4,9Verleidet der Strom einen starken Einbruch. Jetzt hat ein großer Teil derElektronen so mit Quecksilberatomen gestoßen, dass die Elektronen einen

FH

TeilihrerEnergieabgegebenhaben,umimQuecksilberatomElektronenaufeinehöhereBahnzuheben.

Nun beginnt das ganze wieder von vorn. Mit wachsender Energie könnenwiederElektronenmitQuecksilber stoßen, haben aberdannnochgenügendEnergie um gegen das Bremsfeld anzulaufen. Ist die Elektronenenergie sogroß,dassdieElektronenzweiQuecksilberatomeanregenkönnen,nimmtderStromwiedereinMinimuman.

Aus dem Abstand der Stromminima kann man ablesen, welcherEnergiedifferenzderAbstandzweierBohrscherBahnenimQuecksilberatomentspricht.

Dieser Versuch zeigt also, dass Quecksilberatome immer nur eine festeEnergieaufnehmenkönnen.Dieseentsprichtrund4,9eV.(1eVistdiejenigeEnergie,dieeinElektronerhält,wenneseineSpannungvon1Vdurchläuft.Umgerechnetergibtdies1,6022·10–19J).Dasbedeutet,einanfangsruhendesElektron muss zuerst eine Spannung von 4,9 V durchlaufen, damit esgenügendEnergieerhält,umbeieinemStoßmiteinemQuecksilberatomeinQuecksilber-ElektronindienächsthöhereBahnanzuheben.

1.3Versuchsdurchführung

DerVersuchsaufbausiehtfolgendermaßenaus:

Wie oben beschrieben, stellen sich hier die drei Stromkreise Heizkreis,Beschleunigungskreis und Detektierkreis dar. Gesteuert wird der Franck-Hertz-OfenvoneinemGerät,dessenFrontplattefolgendeElementeenthält:

GanzlinksuntenbefindetsichderNetzschalter,derdieganzeApparaturmitStrom versorgt. Mit den drei EIN/AUS-Kippschaltern lässt sich von linksnach rechts die Heizung, die Glühkathode und die Sägezahnspannung zu-bzw.abschalten.MitdemKippschalter„Anzeige“inderMittederFrontplatte

lässt sich die linke Siebensegmentanzeige umschalten zwischenTemperaturoderBeschleunigungsspannung.StehtdieserKippschalterauf„U/I“zeigtdielinke Anzeige die Beschleunigungsspannung an, die Rechte denAuffängerstrom, der ja ein Maß dafür ist, wie viele Elektronen detektiertwurdenbeieinerbestimmtenGegenspannung.AmrechtenKippschalterkanndieGegenspannungvariiertwerdenzwischen1V,1,5Vund2V.

StelltmandenmittlerenKippschalterauf„TEMP“,sozeigtdielinkeAnzeigedieSolltemperaturan,dieRechtedieIsttemperatur.DieSolltemperaturlässtsichebensowiedieBeschleunigungsspannungandenKnöpfen,diemit—,-,+, ++ gekennzeichnet sind, einstellen. Die beiden oberen BNC-Buchsen„Sägezahnausgang“und„Stromausgang“werdenspätermitdemOszilloskopverbunden.

Wichtig:Bevor die Aufgaben durchgeführt werden können, muss sich dieTemperatur des Franck-Hertz-Ofens stabilisiert haben. Da dies ca. 30Minutendauert, empfiehlt es sich, denOfenbereits zuBeginndesTestateseinzuschaltenundaufeineTemperaturvon170°Ceinzustellen.(Kippschalter„Heizung“aufEIN,Kippschalter„Anzeige“aufTEMP,170°CeinstellenmitdenvierKnöpfen)

Aufgabe1

StellenSiedieFranck-Hertz-KurveaufdemOszilloskopdarundschätzenSiedieAnregungsenergiegrobab.

StellenSiedazudenKippschalter„Glühkathode“aufEIN,genausowiedenKippschalter„Sägezahn“.

Dann wird nämlich die Beschleunigungsspannung innerhalb 16 msperiodisch von 0 bis 40 V geändert, alsomit einer Geschwindigkeitvon2,5V/ms.

WennSiemitderBedienungdesOszilloskopsnochnichtvertrautsind,solesenSiebittedieAnleitungzumOszilloskopimAnhangdurch.

VerbindenSiedanndasSteuergerätdesFranck-Hertz-OfensmitdemOszilloskop,indemSiedenTriggereingangdesOszilloskopsmitdem„Sägezahnausgang“ verbinden und den y-Eingang des Oszilloskopsmitdem„Stromausgang“.

Wird die Zeitablenkung amOszilloskop auf 2ms/Div eingestellt, sosiehtman an denmittleren acht Rastereinheiten auf demBildschirm

FH

die Franck-Hertz-Kurve. (Die Darstellung der Franck-Hertz-Kurvedauert16ms.)

Dabei entspricht dann auf der horizontalen Achse eine Einheit einerÄnderungderBeschleunigungsspannungum5V(2mslang,miteinerGeschwindigkeitvon2,5V/ms).

Aufgabe2

NehmenSiedieFranck-Hertz-KurvepunktweiseaufundbestimmenSiedieAnregungsenergiedesQuecksilbers

DazuwirddasOszilloskopnichtmehrbenötigt.TrennenSiediesesvomSteuergerätundstellenSiedenKippschalter„Sägezahn“wiederaufAUS.DesweiterenmüssenSiedie„Anzeige“aufU/Iumstellen.Dann zeigt die linke Anzeige wie oben bereits dargestellt die BeschleunigungsspannunganunddierechteAnzeigedenAuffängerstrom.VerändernSienundieBeschleunigungsspannungvonrund10Vbis40Vin0,25V-SchrittenundnotierenSiesichdazujeweilsdenAuffängerstrom.

Sie erhalten also rund 120 Spannungs-Strom-Paare, die Sie in einDiagramm eintragen sollen, auf dem nach rechts dieBeschleunigungsspannung und nach oben der Auffängerstromabgetragenist.

LegenSiedurchdiePunkteanschließendeineAusgleichskurve,erhaltenSiedieFranck-Hertz-Kurve,diesoähnlichaussehensollte,wiefolgendeOriginalmessung:

Aus dem Diagramm sollen Sie nun die Anregungsenergie desQuecksilbers bestimmen. Bestimmen Sie dazu diejenigenSpannungswerte U1, U2,…, U5 bei denen der Auffängerstrom denMittelwertzwischeneinemStrommaximumunddemdarauffolgenden

Stromminimumannimmt.DerMittelwertderDifferenzenU5–U4,U4–U3, …, U2–U1 liefert die Anregungsenergie in der Einheit eV(Abkürzung für „Elektronvolt“, was diejenige Energie ist, die einElektronbeimDurchlaufeneinerSpannungvoneinemVolterhält).

RechnenSiedieseEnergieuminJoule(1eV=1,602210–19J).

Aufgabe3

DasQuecksilberatom gebe seine Anregungsenergie, die Sie oben bestimmthaben, in Form eines Lichtquants wieder ab. Welche Wellenlänge besitztdiesesdann?

Aufgabe4

InwelchemWellenlängenbereichliegtsichtbaresLicht?

WelchemEnergiebereichentsprichtdiesineV,welcheminJoule?

Aufgabe5(fürInteressierte)

WarumliegtdasersteStromminimumnichtbei4,9V,sondernumeinigeshöher?WarumgehtderAuffangerstromnichtaufNullzurück,wenndieElektronendieAnregungsenergiebesitzen?WarumhabendieStrommaximaeinebestimmteBreite?WarumregendieElektronennurdenerstenangeregtenZustandbei4,9eVanundnichtauchdenZweitenbei6,7eV?

(Stichworte zur Beantwortung der Fragen: Kontaktspannung,Geschwindigkeitsverteilung,Auflösung.)

Übungsaufgaben

IneinemAlkali-AtomwirddurchEinstrahlungvonLichtderWellenlängeλ=780,2nmdasValenzelektronvomGrundzustandumdenEnergiebetragΔE= E2 – E1 in den ersten angeregten Zustand angeregt. Wie groß ist dieAnregungsenergie ΔE? (Plancksche Konstante h = 6,626 · 10–34 Js,Lichtgeschwindigkeitc≈3·108m/s)(ΔE=1,59eV=2,55·10–19J)

2IonisierendeStrahlungAls ionisierende Strahlung bezeichnet man die Strahlung, deren Energieausreicht, Elektronen (eines oder mehrere) aus der Atomhülle auszulösen,also das Atom zu ionisieren. Beispiele für solche hochenergetische,ionisierende Strahlung sind Röntgen- und Gamma-Strahlung, Alpha- undBeta-Strahlen.

2.1Röntgenstrahlung

Röntgenstrahlen entstehen, wenn ein Elektron mit großer kinetischerEnergie(=großerGeschwindigkeit)aufeineMetalloberflächeauftrifft.Dortwird die kinetische Energie in Strahlungsenergie umgewandelt. ZurErzeugungvonRöntgenstrahlungverwendetmaneineRöntgenröhre.IneinerRöntgenröhre sind zwei Elektroden in einem Glaskolben unter Vakuumeingeschlossen.DieKathodebestehtauseinerWolfram-Glühwendel,beiderdurch elektrische Widerstandsheizung Elektronen freigesetzt werden(Glühemission). Der Emissionsstrom gibt quantitativ den Fluss derElektronen aus der Glühwendel an. Die Anode ist ein Wolfram-Keil amanderen Ende des Kolbens. Zwischen Anode und Kathode liegt eineHochspannungan,die erforderlich ist, umdieElektronenaufdieAnodezubeschleunigen. Für diemedizinischeDiagnostik beträgt sie etwa 0,1MV=100kV=100000V.

Der Wirkungsgrad der Röntgenröhre ist gering: Mehr als 99 % derBewegungsenergie der Elektronen wird inWärme umgewandelt, nur 0,1%wird (für das Nutzstrahlenbündel) als Röntgenstrahlen freigesetzt, weshalbeineWasser-oderÖl-KühlungderAnodeerforderlichist.DerWirkungsgradsteigtmitderBeschleunigungsspannung.

Das Spektrum der Röntgenstrahlung besteht aus zwei Teilen: derBremsstrahlungundderAnoden-Eigenstrahlung.BeideStrahlungsteilesindelektromagnetische Strahlung. Das Spektrum der Bremsstrahlung istkontinuierlich und völlig unabhängig vom Anodenmaterial, während dieEigenstrahlung der Anode ein Linienspektrum und charakteristisch für dasverwendete Element ist. Die Energie, die ein einzelnes Elektron in derRöntgenröhre maximal in Strahlungsenergie umsetzen kann, hängt von derAnodenspannungUab.DasElektronkannhöchstensseineBewegungsenergie(kinetischeEnergie)Wkinumwandeln:Wkin=Wel=e·U.

Als Härte der Röntgenstrahlung bezeichnet man die Maximalenergie derRöntgenstrahlung,dievonderAnodenspannungUderRöntgenröhreabhängt.

DieGrenzwellenlängeλGrderBremsstrahlungwirddurchdieEnergiederaufdie Anode auftreffenden Elektronen, also durch die Anodenspannungbestimmt.Esgilt:

λGr=k/U(mitk=12,3·10–10kV·m).JehöherdieRöhrenspannung,destokürzer ist die Grenzwellenlänge und umso härter ist die Strahlung. In derSkizze ist die spektrale Strahlungsleistung P der Bremsstrahlung einerRöntgenröhre für zwei verschiedene Beschleunigungs-Spannungenwiedergegeben.

Die Strahlungsleistung einer Röntgenröhre wird vermindert durch dasErniedrigenderAnodenspannungunddasHerabsetzendesEmissionsstroms.

DerZusammenhangzwischenStrahlungsenergieWsundderFrequenzfeinerelektromagnetischen Welle ist Ws = h ·f, wenn h das PlanckscheWirkungsquantumist.WsistdieEnergiederPhotonen,dieFormel

EnergiederRöntgenstrahlung

Ws=h·f

mith:PlanckschesWirkungsquantum

Die maximale Energie der Photonen, die im Spektrum einer Röntgenröhrevorkommenkann,wächstmit steigenderAnodenspannung,weilbeihöhererAnodenspannung die Elektronen mit höherer Energie auf die Anodeauftreffen.

BeispielDie in einer Röntgenröhre mit 100 kV Anodenspannung erzeugtenPhotonen unterscheiden sich von denen in einer Röhre mit 50 kVerzeugten Photonen durch die Maximalenergie (maximale Frequenz,minimaleWellenlänge).

DasSpektrumderRöntgen-BremsstrahlungbesitzteinekurzwelligeGrenze.OberhalbbestimmterBeschleunigungsspannungenwirddiecharakteristischeStrahlung des Anoden-Materials angeregt. Das Linienspektrum dercharakteristischenAnodeneigenstrahlung entsteht durch die Emission vonElektronen aus den inneren Schalen der Atome des Anodenmaterials, die

durch Elektronen aus äußeren Schalen ersetzt werden. Die frei werdendeStrahlung ist diskret, hat also Linienstruktur. Diese Linienspektrum istabhängig vomAnodenmaterial und lässt sich zur analytischenBestimmungvonElementenverwenden.

Während die Röntgenstrahlung als Folge einer Wechselwirkung mit derElektronenhülle auftritt, entsteht Gammastrahlung bei Kernreaktionen.Beide Strahlungsarten sind elektromagnetische Strahlungen, jedoch hatGammastrahlung(inderRegel)einevielhöhereEnergie.

AbsorptionvonStrahlungTrifft eine elektromagnetische Strahlung auf Materie, könnenunterschiedliche Arten der Wechselwirkung auftreten. Die Strahlung wirddabeibeimDurchgangdurch einenKörpergeschwächtoder absorbiert.DieSchwächung der Strahlenintensität I durch Absorption beschreibt dasAbsorptionsgesetz.Gesetz

Absorptionsgesetz

I0:Ausgangs-IntensitätderStrahlungvorEintrittindieMaterie

d:inMateriezurückgelegteWegstrecke

k:(oderμ)Extinktions-oderAbsorptionskoeffizient

DieGrößeI/I0gibtdieTransmissionderStrahlung,alsodieDurchläs-sigkeitdes Körpers für die Strahlung wieder. Umgekehrt beschreibt I0/I denAbsorptionsgrad. ImBereichdersichtbarenelektromagnetischenStrahlung(= Licht) wird das Absorptionsgesetz als Lambert-Beersches Gesetzbezeichnet.

AlsHalbwertsdickeeinesMaterialsbezeichnetmangenaudieWegstrecked,beiderdieAusgangs-IntensitätderStrahlungbeimDurchgangdurchMaterieaufdieHälftederAusgangsstrahlungabgeschwächtwurde.

BeispielDieHalbwertsdickeliegtfürAlpha-StrahlunginfestenundflüssigenStoffen bei weniger als einem Millimeter. Für Beta-Strahlen ist dieHalbwertsdickesehrvielgeringeralsfürGamma-Strahlen.

Beispiel Lässt eine Bleiplatte, die zur Abschirmung ionisierender Strahlungverwendetwird,1/10derStrahlungdurch,sotransmittierteinedoppeltsodickePlattenurnoch1/100derStrahlung.

DieSchwächungvonionisierenderStrahlungbeiderAbsorptionwirddurchdreivoneinanderunabhängigeEffekteverursacht:

1.Photoeffekt:diegesamteEnergiederStrahlungwirdaufeinValenz(oderHüllen-)Elektronübertragen.DerPhotoeffektüberwiegtbeiEnergienunter500kV.

2.Compton-Effekt:dieStrahlunggibtEnergieab(=Frequenzverringerung,Wellenlängenerhöhung)undwirdabgelenkt(gestreut).DieRichtungderStrahlungwirdalsogeändert.

3.Paarbildung:ErzeugungeinesPositrons(positivgeladenesElektron)undeinesElektrons,alsodieUmwandlungvonStrahlungsenergieinMaterie.DasPhotonderStrahlungmussdabeimindestensderRuhemassedesTeilchenpaaresentsprechen,also2·0,51MeVaufweisen.DieüberschüssigeEnergiewirdalsBewegungsenergiedesTeilchenpaaresfreigesetzt.

Elemente hoher Ordnungszahlen (zum Beispiel Blei) absorbieren harteStrahlung vor allem durch den Photoeffekt, während Elemente niedrigerOrdnungszahldieStrahlungstreuen(Compton-Effekt).

2.2Dosimetrie

Die Strahlenmessung (Dosimetrie) ist ein Mittel zur Bestimmung desGrades der Wechselwirkung zwischen Strahlung und Gewebe. Bei derMessung wird nur die absorbierte Strahlung, nicht aber der transmittierteAnteilerfasst.DieIonendosisbeschreibt(nur)dieWirkungderStrahlungineinerIonisationskammer,wosieinderRegelanLuftIonenerzeugt,dievonElektrodenaufgefangenwerden.DiezurElektrodegeleiteteLadungistdaherproportionalzurprimärdurchdieIonisationerzeugteLadung.DieIonendosisJ ist das Verhältnis der durch Ionisation erzeugten Ladung ΔQ jeMasseneinheitLuftΔm.Definition

IonendosisJ,[J]=C/kg

BeispielDie Schwächung eines monochromatischen RöntgenstrahlshintereinemAbsorberderDickedwirddurchdasAbsorptionsgesetzbeschriebenalsI=I0·e–μ·d.

Beigegebener IonendosishängtdieEnergiedosisvombestrahltenStoffundder Energie der ionisierenden Strahlung ab. Deshalb führt die glei-che

Ionendosis zu verschiedenen Werten für die Energiedosis, wenn sich dieEnergiederionisierendenStrahlungändert.

Anhand der Energiedosis ist die Messung der Strahlenmenge unabhängigvomBezugsstoff.EsgiltDefinition

EnergiedosisE,[E]=J/kg=Gy=Gray13

Die Energiedosis E ist die Strahlungsenergie W, die von 1 kgdurchstrahlter Materie absorbiert wurde, also das Verhältnis derabsorbiertenEnergiezurabsorbierendenMasse.

Die von einemKörper durch eine punktförmige Strahlungsquelle erhalteneEnergiedosis (pro Zeiteinheit) nimmtabmit demQuadrat desAbstandesdvon der Strahlungsquelle. Dieser Sachverhalt spielt für den StrahlenschutzeinewichtigeRolle.EsgiltdasGesetz

Abstandsgesetz

E:Energiedosis

d:AbstandzurStrahlenquelle

Die gleiche Energiedosis führt nicht notwendigerweise zu den gleichenStrahlenschäden in biologischem Gewebe, das unterschiedlich auf dieverschiedenenArtenvonStrahlungreagiert.DieEnergiedosisberücksichtigtnämlich nicht die Auswirkung der Strahlung auf den menschlichenOrganismus, die von Zellschäden bis hin zu Gendefekten undKrebserkrankungenreichen.

Deshalb führt man für jede Strahlungsart einen sogenanntenBewertungsfaktorqein,derfürγ-,β-undRöntgenstrahlungeinsistundfürAlpha-Strahlung15beträgt.DieneueGrößeE·qnenntmanÄquivalentdosis.Definition

ÄquivalentdosisD,[D]=J/kg=1Sv(Sievert14)

D=E·q

q:Bewertungsfaktor

BeispielDieDosisleistungeinermonochromatischenGamma-strahlungbeträgtimAbstandvon2mvonderQuelle2mGy/s.DamitdieDosisleistung

aufwenigerals2μGy/s reduziertwerdenkann,müssenzwischenderQuelleunddemBeobachtungsortfünfBleiplattenvonmindestens1cmStärkeaufgestelltwerden(dieHalbwertsdickevonBleibeträgt5mm).

Beispiel Im Abstand von 1 m von einem (als punktförmig angenommenen)radioaktivenGamma-Strahler beträgt dieDosisleistung anLuft 8μJ /(kg ·h).DieSchwächungdurchdieetwa1bis2mdickeLuftschichtsei sehr klein. Die aufgenommene Dosis bei 2 m Abstand undfünfstündigemAufenthaltbeträgtdannetwa:D=Dt·Δt=5·Dt=10μJ/kg.

AlshöchstezulässigeStrahlenbelastungbeiBestrahlungdesganzenKörpers(Ganzkörper-Exposition) innerhalb eines Jahreswerden 0,05 Sv angesehen.Die natürliche Strahlenbelastung einesMenschen beträgt 0,002 Sv im Jahr,wobei die Höhenstrahlung etwa 30 % und die freigesetzte Strahlung desradioaktivenEdelgasesRadonungefähr 40%ausmachen.DerAnteil durchKernenergie-Anlagen liegt bei unter 1%. (alleWerte sind über die Flächegemittelt,inderNähevonnatürlichenoderkünstlichenradioaktivenQuellenkönnendeutlichhöhereExpositionenauftreten.)

BeispielStrahlungsschädenbewirkendieAbnahmederweißenBlutkörperchenbei einerExposition von 0,25 bis 0,5Sv,Übelkeit bei 0,1 bis 0,2SvundTodeseintrittinnerhalbvon30Tagenbeimehrals0,5Sv.

Der Nachweis von ionisierender Strahlung erfolgt überStrahlungsdetektoren, zum Beispiel Geiger-Müller-Zählrohre,Szintillationszähler und Fotoplatten. ImGeiger-Müller-Zählrohr, das auseinemgasgefülltenRohrbesteht, indessenInnereneinMetalldrahtgespanntist, werden Gasatome durch die eintretende Strahlung ionisiert. Eineelektrische Spannung zwischen Draht und der Rohrwand beschleunigt diedurchdieIonisationerzeugtenElektronen,sodassweitereGasatomeionisiertwerden.Eskommtzueiner regelrechtenLawinevonLadungsträger,dieam(Zähl-)RohrzueinemkurzenStromstoßführen,derdurcheinenWiderstandineinenSpannungsimpulsumgewandeltwird.

Szintillationszähler dienen dem Nachweis von Röntgen- undGammastrahlung. Die Wirkungsweise beruht auf der Fluoreszenz, dieGammastrahlungineinemKristall(zumBeispielNatriumjodid)oderineinerFlüssigkeiterzeugen.DiedurchFluoreszenzentstehendenLichtblitzewerdenineinerFotozelleinelektrischeStromstößeumgewandelt.

HW

In einem Halbleiterdetektor erzeugt die ionisierende Strahlung freieLadungsträger,diedenWiderstanddesHalbleiterssenken.

Ionisationskammern bestehen ausmit einemGas gefüllten Behältern. Dieionisierende Strahlung erzeugt aus den Gasatomen Ionenpaare. Die Ionenwandern durch ein angelegtes elektrisches Feld zu den entsprechendgeladenenElektroden.DersoerzeugteelektrischeStromistproportionalzureinfallendenStrahlungsmenge.

Auf Fotoplatten, die mit einer speziellen Beschichtung, derKernspuremulsion versehen sind, hinterlässt ionisierende StrahlungSchwärzungsspuren.

3Versuch:HalbwertszeitundradioaktiverZerfall3.1Radioaktivität

AufbauderMaterie

Als Atome bezeichnet man die kleinsten Teilchens eines chemischenElements, diemit chemischenVerfahrennichtweiter zu zerlegen sind.DasAtom besteht aus einem positiv geladenen (Atom)-Kern und einer negativgeladenen(Atom)-Hülle.

DieAtomhüllebestehtausElektronen,die imnicht-ionisiertemZustanddesAtomsdiepositiveKernladunggenaukompensieren:DasAtomistelektrischneutral. Diese Elektronenhülle ist für die chemischen Eigenschaften einesElementsverantwortlich.

DerAtomkernhateinenDurchmesservonca.10–15m,indemProtonen(dieTräger der positiven (Elementar)-Ladung: q = + 1 e) und Neutronen(elektrischneutral)vorhandensind.DieMassenvonProtonzuNeutronsindnahezugleichgroß:mProton=mNeutron=1,67·10–27kg.DasElektronistetwa2000-malleichter:mElektron=9,11·10–31kg.

Die Zahl der Protonen bestimmt das Element, also ob es sich z.B. umWasserstoff handelt oderumUran. Innerhalb einesElementesbestimmtdieNeutronenzahl, um was für ein Isotop es sich handelt. Neutronen undProtonen ziehen sich stark an, so dass die starken elektrostatischenAbstoßungskräftezwischendenProtonenkompensiertwerden.

BeispielDer inderNatur amhäufigstenvorkommendeKohlenstoffbesitzt6Protonenund6Neutronen.Esgibtaberauchwelchenmit8Neutronen,derradioaktiv,alsoinstabilist.

Um die Elemente zu kennzeichnen und zu zeigen, wie viele Protonen undNeutronenimKernsind,benutztmanfolgendeNomenklatur:

XistdabeiderElementname(z.B.HfürWasserstoff,CfürKohlen-stoff,Pbfür Blei, …). Z zählt die Protonen und heißt Kernladungszahl oderOrdnungszahl,dennnurdieProtonensinddieTrägerderLadungimKern.DieKernladungszahl ist in einemneutralemAtomgenaugleichderAnzahlder Elektronen. Im Periodensystem findet man alle Elemente sortiert mitzunehmenderOrdnungszahlvor.

A gibt an wie vieleNukleonen (d.h. Kernbausteine) insgesamt vorhandensind. (A ist also die Summe der Protonen und Neutronen). A heißt auchMassenzahl.AusAundZlässtsichnunleichtaufdieZahlderNeutronenimKernschließen:N=A–Z

Beispiel126CistKohlenstoffmit6Protonenund6Neutronen,hingegenist146CeinKohlenstoffisotopmit8Neutronen.

DadasAtomnachaußenneutralist,mussesgenausovieleElektroneninderAtomhülle (Durchmesser ca. 10–10 m) haben wie Protonen im Kern, dennProtonenundElektronenhabenentgegengesetztgleichgroßeLadung+ebzw.–e. Dabei ist e = 1,6022 ·10–19 C die Elementarladung, also die kleinsteLadung,dieesgibt.

BeispielDieGröße einesAtoms verhält sich zurGröße einesApfelswie derApfelzurErde.

DieMasse einesAtomswird relativ zu einemZwölftel derMasse des -Atoms angegeben (relative Atommasse). Im Periodensystem sind dieMassenüblicherweiseMittelwerteausdenverschiedenenIsotopen,GewichtetnachihrernatürlichenHäufigkeit.

RadioaktivitätUnter Radioaktivität versteht man den plötzlichen (spontanen) Zerfallinstabiler Atomkerne. Die Geschichte der Radioaktivität beginnt im Jahre1895 als Röntgen15 die „X-Strahlung“ entdeckte, die ihm zu Ehren späterRöntgenstrahlung genannt wurde, kurioserweise hat aber dieRöntgenstrahlungmitderRadioaktivitätgarnichtszutun.

RöntgensEntdeckungwurdeaufderganzenWeltvorgestellt,unteranderemin Paris, wo Henri Becquerel bei einem solchen Vortrag zugegen war.Becquerel16 beschäftigte sich bereits lange Zeitmit Lumineszenz, also demNachleuchten von Stoffen, die z.B. dem Sonnenlicht ausgesetzt waren. Es

HW

wurde vermutet, dass die Emission von Röntgenstrahlung und dieLumineszenz des Teils der Glaswand, aus dem die Röntgenstrahlenhervorgegangensind,miteinanderverbundeneErscheinungensind.

BecquerelbeganninderFolgezeitnachlumineszierendenStoffenzusuchen,die auch Röntgenstrahlung aussenden. Im Februar 1896 untersuchte erUranylsulfat und stellte dabei fest, dass dieses Salz auch ohne vorherigeAnregung durch Sonnenlicht eine Photoplatte schwärzt, also Strahlungaussendet. Auch während eines Jahres hatte die Intensität dieser Strahlungnicht nachgelassen.DamitwardieRadioaktivität, die spontaneAussendungvonStrahlungausdemAtomkern,entdeckt.

Eineweitere Forscherin, die sich auf demneuenGebiet hervorgetan hat istMarieCurie17,diezusammenmitihremMannPierre18dieElementePoloniumundRadiumentdeckthat.

EbenfallsaufdemGebietderRadioaktivitättätigwarenMariesTochterIreneJoliot-Curie undderenMannFrederic Joliot, die 1935 einenNobelpreis fürdieEntdeckungderkünstlichenRadioaktivitäterhielten.

Später hat sich herausgestellt, dass es drei verschiedene Arten vonradioaktiver Strahlung gibt, die man mit den drei ersten Buchstaben desgriechischenAlphabetsdurchzählt:α-,β-undγ-Strahlung.

Das Wesen dieser Strahlungsarten wird nun kurz mithilfe der obeneingeführten Nomenklatur dargestellt. Vorneweg: Grund für alleUmwandlungen im Kern ist, dass der Kern dadurch einen energetischgünstigerenZustanderreichenkannunddamitstabilerwird.

α-Strahlung

EnthälteinAtomkernsehrvieleProtonenundNeutronen,soistdieserinstabilund beseitigt den Nukleonenüberschuss durch Aussendung von α-Teilchen,alsodoppeltpositivgeladenenHeliumkernen,dieauszweiProtonenundzweiNeutronenbestehen.Darstellungdesα-Zerfalls:

In Worten heißt dies, dass sich ein Kern X mit ANukleonen und ZProtonen durch α-Zerfall umwandelt in einen Kern Y, der nur noch Z – 2ProtonenundA–4Nukleonenbesitzt.DabeiwirdeinHeliumkernHe2+(dasistdasα-Teilchen)frei.

Beispiel

β-Strahlung

Kerne,dieaufgrundihrerhohenNeutronenzahlinstabilsind,beseitigenihrenÜberschuss nicht durch Neutronenaussendung, sondern wandeln es in einProtonum.DadieLadungserhaltunggilt,mussdabeiauchnocheinenegativeElementarladungentstehen–dasElektron,dasalsβ-StrahlungausdemKernfliegt.AusweiterenErhaltungsätzenfolgt,dassauchnocheinAnti-Neutrino(italienischfür„kleinesNeutron“) ebzw.einNeutrinoveentstehenmuss,daskeineLadungträgtundscheinbarmasselosist.Prinzipiellsiehtderβ-Zerfallfolgendermaßenaus:

Wichtig:dasbedeutetnunnicht,dassdasNeutronsichauseinemProtonundeinem Elektron zusammensetzt. Weder das eine noch das andere sindBausteinedesNeutrons.EsfindeteineUmwandlungstatt.

Beispiel

NungibtesauchnochdendazusymmetrischenFall,dasseinKernzuvieleProtonenbesitzt, um stabil zu sein.DiesesProtonwirdumgewandelt in einNeutron und dem „Spiegelteilchen“ zum Elektron, dem Positron e+. DasPositronisteinpositivgeladenesElektron.

UmdiebeidenFällezuunterscheiden,nenntmandieNeutronenumwandlungauch β–-Zerfall, da negative (Elektronen-)Strahlung entsteht und dieProtonenumwandlungβ+-Zerfall,derfolgendeGestalthat:

HierbeiwirddiepositivePositronenstrahlungfreigesetzt.

γ-Strahlung

Die γ-Strahlung nimmt eine Sonderstellung ein. Sie ist keineTeilchenstrahlung,sondernwieLichteineelektromagnetischeStrahlung,nurmit viel höherer Energie. Dabei findet keine Umwandlung im Kern statt.Beispielsweisekannnacheinemα-oderβ-ZerfalleinKernnochenergetischangeregt sein. Die γ-Strahlungwird dann ausgesandt, wenn derKern seineAnregungabbaut,seineGesamtenergiealsoabnimmt.

Alle drei genannten Strahlungsarten gehören zu den ionisierendenStrahlungen. Bei gleicher Energie ist die Eindringtiefe in Materie bei γ-Strahlungamgrößten,beiα-Strahlungdagegenamkleinsten.

Eine Unterscheidung zwischen den Strahlungsarten erfolgt durch einMagnetfeld oder elektrisches Feld. Alpha- und Beta-Teilchen werdenaufgrund ihrer elektrischen Ladung in verschiedene Richtungen abgelenkt.

HW

Gamma-Strahlen bleiben dagegen in elektrischen odermagnetischen Felderunbeeinflusst.

Zerfallsgesetz

Der Zerfall eines einzelnen Kerns lässt sich nicht vorhersagen, weil dieRadioaktivitätvomZufallbestimmtwird.JedochlässtsichüberdieAbnahmeeinergroßenMengevonKerneneineAussagetreffen.DerZerfallfindetnichtlinear statt (zu gleichen Zeiten zerfällt immer die gleicheAnzahl), sondernexponentiell(zugleichenZeitenzerfälltimmerdergleicheAnteil),dasheißtdasVerhältnisderAnzahlderzerfallenenKerneΔNineinerbestimmtenZeitΔtistproportionalzurAnzahldernochvorhandenenKerneN(t).Gesetz

Zerfallsgesetz

ΔN:AnzahlderinderZeitΔtzerfallenenKerne

N(t):ZahldervorhandenenKernezumZeitpunkttDefinition

Zerfallskonstantel,[l]=s–1

ProportionalitätskonstantebeimradioaktivenZerfall.

Gesucht ist nun die zeitliche Entwicklung von N, also der Anzahl nochvorhandenerKerne.DerQuotientΔN/Δtstellt für sehrkleineZeitintervalleΔtdieAbleitungderFunktionNnachderZeitdar.DiezeitlicheEntwicklungder noch vorhandenen Kerne N(t) ist also eine Funktion, die bis auf eineKonstante mit ihrer Ableitung übereinstimmt: eine Exponentialfunktion ex.DiegenaueFormistdasGesetz

ExponentialgesetzdesradioaktivenZerfalls

N0:dieAnzahlderzuBeginnvorhandenenKerne

EineeingängigeGrößeinfolgendergraphischerDarstellungdieserBeziehungist dieHalbwertszeitT½,die angibt, nachwelcherZeit nochdieHälfte derKerne½N0vorhandenist.

Nach zwei Halbwertszeiten ist somit noch ein Viertel der Ausgangsanzahlübrig. Nach dem Exponentialgesetz des radioaktiven Zerfalls hängt dieHalbwertszeitT½wiefolgtmitderZerfallskonstantelzusammen:

also

(DernatürlicheLogarithmusln(x)istdieUmkehrfunktionvonex)Definition

MittlereLebensdauer

Zeit, nach der noch der Ausgangsmenge radioaktiverKernevorhandenist.

DiemittlereLebensdauerτistgenauderKehrwertderZerfallskonstantel,da

unddaher

Damit erhältmandieBeziehung zwischendermittlerenLebensdauer τ undderHalbwertszeitT½:Definition

Halbwertszeit

Beispiel146ChateineHalbwertszeitvon5568Jahren.SeineZerfallskonstantebeträgtalso

Interessant istdieFrage,wievieleZerfällebei einemElementproSekundestattfinden.DieseGröße nenntmanAktivitätundmisst sie in Zerfälle pro

HW

Sekunde. Abkürzend schreibt man für einen Zerfall pro Sekunde auch 1Becquerel(1Bq).Definition

AktivitätA,[A]=Bq=Becquerel

Damitwirdklar,dassdieAktivitäteinezeitabhängigeGröße ist.SienimmtbeieinemfestenEnsemblevonAtomenmitderZeitab.

BeispielImmenschlichenKörperfindenjedeSekundeca.6000Zerfällestatt,dasichvieleradioaktiveElementewieKalium-40undKohlenstoff-14im Körper befinden. Die Aktivität des menschlichen Körpers beträgtalso6kBq.

KünstlicheRadioaktivität

Bei Bestrahlung von Materie mit Neutronen wird ein Neutron mit einergewissenWahrscheinlichkeitvoneinemAtomkern,andemesvorbeikommt,„eingefangen“.EskommtalsozueinerErhöhungderNeutronenzahl indenKernen der bestrahlten Atome und damit zur Entstehung instabiler,radioaktiverKerne.

3.2Messungen

Das „Mutterelement“ bei diesemVersuch ist ein sehr schwach radioaktives232Th-(Thorium)-Präparat. Der uns interessierende Teil der Zerfallsreihe istfolgender:

ImVersuchwirddieHalbwertszeitdesα-Strahlers22086Rnbestimmtwerden.DerVersuchsaufbauisthierschematischdargestellt:

Durch Drücken des Stempels wird das bei dem radioaktiven Zerfall vonThorium freiwerdende (ebenfalls radioaktive)Radongas in die Zählkammergepumpt,indereinHalbleiterzählerdieAnzahlderZerfälledesRadongasesregistriert und an das Anzeigegerät ausgibt, dessen Frontplatte folgendeBedienelementeenthält:

HW

DasZählgerätbesitztzweiAnzeigen:dielinkeAnzeigegibtdieNummerderaktuellenMessung an,Anzeige zwei gibt dieZählrate aus, also dieAnzahlderZerfällewährendderletztenMessung.

Mit dem Druckknopf „Betriebsart“ lässt sich die Periodendauer und dieMessdauer einstellen. Es leuchtet dann die entsprechende Leuchtdiode auf.Mit denDruckknöpfen—, -, +,++ lässt sich sowohl diePeriodendauer alsauchdieMessdauerändern.

Drückt man dann ein drittes Mal auf „Betriebsart“ leuchtet die Diode„Periodischmessen“auf,dasGerät istbereitMessreihendurchzuführen,diemit„Start“begonnenundmit„Stop“beendetwerden.

Aufgabe1

Nehmen Sie fünf Messreihen für den radioaktiven Zerfall vonThoriumemanation(=Radongas)auf.DazustellenSiediePeriodendauerauf10s,dieMessdauerauf5,9s.StellenSiedieBetriebsart„Periodischmessen“ein.DrückenSieeinigeMale(ca.20mal)denStempel,sodassdasRadongasindieMesskammergepumptwird.DieAnfangszählratesollte200Ereignisseüberschreiten.StartenSiedieMessreiheundnotierenSiesichdieZählratenineiner Tabelle. Führen Sie dieMessreihe solange fort, bis sich die Zählratekaummehrändert.DannistnämlichdersogenannteUntergrunderreicht,eineAnzahl von Zerfällen, die stets vorhanden ist. Beispielsweise könnte IhreTabellesoaussehen:

Messreihe

1. 2. 3. 4. 5. Summe Summe–Untergrund

N/N0 ln(N/N0)

215 235 207 211 241 1109 1007=N0 1 0

198 211 185 200 219 1013 911=N1 0,9047 -0,10

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

65 53 55 45 52 270 168=Ni 0,1668 -1,79

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

21 20 13 25 23 102 0 0 –

=Untergrund

IndieSpalte„Summe“tragenSiedieSummederWerteeinerZeileein.Derletzte Wert in dieser Spalte ist der Untergrund, den Sie von jeder„Summenzählrate“abziehenmüssen.ZurweiterenAuswertungberechnenSiedie „relativeZählrate“N/N0, indemSie jedenWert in derSpalte „Summe–Untergrund“ durch den ersten Wert in dieser Spalte (= N0) teilen. In derletzten Spalte errechnen Sie noch den natürlichen Logarithmus ln dieserZahlen.

Aufgabe2

a)ZeichnenSieeinDiagrammN(t),indemSienachrechtsdieZeitabtragen(jedeMessungdauerteca.6 s)undnachobendieZählrate.BeachtenSie,dassnachjederMessungeinePausevonca.4sbiszumBeginndernächstenMessungliegt.

b)Umzuüberprüfen,obdieZählrateexponentiellabnimmt,zeichnenSieeinweiteresDiagramm, in demSie nach rechtswieder dieZeit abtragen undnachobendieZahlenln(N/N0).

c) Legen Sie durch die Punkte im Diagramm eine Ausgleichsgerade.Bestimmen Sie aus der Steigung der Ausgleichsgeraden dieZerfallskonstanteλvonRadongas.EsistN(t)=N0·e–λ·t.Damitwirddannln(N(t)/N0)=–λ·t.DieSteigungderAusgleichsgeradenistalso–λ.

d) Errechnen Sie daraus die Halbwertszeit von Thoriumemanation undvergleichenSiemitdemLiteraturwertTH=55,6s

Aufgabe3

Vervollständigen Sie die Zerfallsreihe von Thorium, das heißt, geben SiejeweilsdieMassen-undKernladungszahlderElementean.

BeiWismut (Bi) spaltet sich dieZerfallsreihe.BeideZweige sindmöglich.Bleiistdannstabil,dasheißtdieZerfallsreihebrichtab.

Übungsaufgaben

1.WasgeschiehtmitderMasseAundderLadungZeinesAtomkerns,dereinα-Teilchenaufnimmt?(Animmtum4,Zum2zu)

2. Zur archäologischen Altersbestimmungwird die Aktivität eines Iso topsmit der Halbwertszeit 4800 Jahre bestimmt. Wie groß ist dieZerfallskonstante?(l=4,58·10–12s–1)

3.Ein radioaktivesPräparat hat einemittlereLebensdauer von850 s.NachwelcherZeitsindzweiDrittelderradioaktivenKernezerfallen?(T=933,8s)

1Demokrit(rund460v.Chr.bis370v.Chr.),griechischerNaturphilosoph2AristotelesvonStagira(384v.Chr.bis322v.Chr.)3Platon(427v.Chr.bis347v.Chr.)4AlbertEinstein(1879–1955),Nobelpreis19215AlbertAbrahamMichelson(1852–1931),Nobelpreis19076EdwardWilliamMorley(1938-1923)7JohnDalton(1766–1844)8SirJosephJohnThomson(1856–1940),Nobelpreis19069PhilipLenard(1862–1947),Nobelpreis190510SirErnestRutherford(1871–1937)11NielsBohr(1885–1962),Nobelpreis192212MaxPlanck(1858-1947),Nobelpreis191813BenanntnachLouisHaroldGray(1905–1965).14BenanntnachRolfMaximilianSievert(1896–1966).15WilhelmKonradRöntgen(1845–1923),ersterNobelpreisfürPhysik1901.16HenriAntoineBecquerel(1852–1908),Nobelpreis1903.17MarieCurie(1867–1934),Nobelpreis1903und1911.18PierreCurie(1859–1906),Nobelpreis1903.

AAnhang1BedienungsanleitungfürdasOszilloskopPrinzip

DasElektronenstrahloszilloskop ist vor allem zurDarstellung undMessungzeitlich veränderlicher Spannungen nützlich. Das hier benutzteAnalogoszilloskop basiert auf einer Braunschen Elektronenstrahlröhre.DasPrinzipderRöhrezeigtdiefolgendeAbbildung.

Der Elektronenstrahl einer Glühkathode wird gebündelt und zur Anodebeschleunigt. Das zu untersuchende Signal (Uy) wird an die horizontalenAblenkplattenangelegt.DadurcherhältderElektronenstrahleinezusätzlicheGeschwindigkeitskomponente invertikalerRichtung, diedirekt proportionalzuUy ist.UmdenzeitlichenVerlaufdesSignalsUyzumessen, legtmanandie vertikalen Ablenkplatten eine Sägezahnspannung Ux bekannterAnstiegsgeschwindigkeit. Diese Spannung wird im Oszilloskop selbsterzeugt.

EinschaltenundScharfstellenDie Bedienungselemente zum Einschalten und Scharfstellen befinden sichrechts neben dem Bildschirm (siehe nachfolgende Abbildung). DasOszilloskop wird mit dem Schalter POWER eingeschaltet. Nach ungefähreinerMinuteistdieGlühkathodederBraunschenRöhregenügendaufgeheiztund das Gerät betriebsbereit. AmDrehknopf INTENS. kann die Helligkeitund am Drehknopf FOCUS die Schärfe des Elektronenstrahls eingestelltwerden. Mit steigender Strahlstromstärke nimmt der Strahldurchmesser zu.Deshalb sollten Sie den Strahl nur so stark einstellen, dass er eben nochdeutlichzusehenist,unddanachdieScharfstellungüberprüfen.

VorderansichtdesOszilloskopes

VerstärkungundVertikalablenkung

DasOszilloskopkann zweiSignale gleichzeitig darstellen.Für jedesSignalgibt es eine Eingangsbuchse, einen Eingangsabschwächer und einenVerstärker.DieBedienungselementefürdiebeidenVertikalablenkungskanälesind im unteren rechten Segment der Frontplatte zusammengefasst. Die fürden Kanal I befinden sich in der linken Hälfte des Segments, die für denKanalIIinderrechten.WirbesprechenzunächstdieBedienungselementefürdenKanalI.

DasdarzustellendeSignalwirddemOszilloskopüberdieBNC-BuchseCH.IVERT. INP. zugeführt. Sie befindet sich in der linken unteren Ecke desunteren rechten Segments der Frontplatte. Mit einem Schiebeschalterunmittelbar rechts neben der Eingangsbuchse kann man bei Bedarf, indemman ihn auf AC schaltet, einen Hochpass mit ziemlich niedrigerGrenzfrequenzindenSignalwegschalten.DadurchkannmandasSignalvoneiner überlagerten Gleichspannung befreien. In der dritten SchalterstellungwirddienachfolgendeElektronikvomEinganggetrenntundanMassegelegt.So kann man die vertikale Nullposition des Oszillogramms erkennen.VerändernkannmandievertikaleNullpositionmitdemDrehknopfY-POS.I.DieseristüberderEingangsbuchseangeordnet.ZwischendemDrehknopffürdieVertikalpositionundderEingangsbuchsebefindetsichnocheinSchalter,mitdemmandasVertikalsignalinvertieren(d.h.mit–1multiplizieren)kann.

ZurMessung kleiner Spannungenmuss den horizontalenAblenkplatten einVerstärker vorgeschaltet werden. Um auch große Spannungen messen zukönnen, liegtzwischenEingangsbuchseundVerstärkersowohleinin1-2-5-Schritten umschaltbarer als auch ein stetig veränderlicher Spannungsteiler.Diese beiden Spannungsteiler können über einen mit VOLTS/DIV.bezeichneten Doppeldrehknopf bedient werden. Der äußere, größere derbeiden Drehknöpfe bedient den Stufenabschwächer. Mit dem inneren,kleinerenDrehknopf kannman das Eingangssignal stetig abschwächen. DadieamStufenabschwächerangeschriebenenVertikalablenkfaktorennurgültigsind, wenn der Drehknopf für den stetig veränderlichen Abschwächer amLinksanschlag steht, muss für quantitative Messungen diese Einstellunggewählt werden. Der Vertikalablenkfaktor gibt an, wie groß dieEingangsspannungist,diezueinerVertikalablenkungumeineRastereinheit(„Division“,≈1cm)führt.

InderrechtenHälftedesrechtenunterenFrontplattensegmentsbefindensichin spiegelbildlicherAnordnung die entsprechendenBedienungselemente für

denzweitenVertikalablenkungskanal.

X-Y-Betrieb,ZeitablenkungundTriggerung

DaderElektronenstrahlsowohlinvertikaleralsauchinhorizontalerRichtungabgelenkt werden kann und die beiden Ablenkungen von einanderunabhängig sind, eignet sich das Elektronenstrahloszilloskop sehr gut zurDarstellung funktionaler Abhängigkeiten. Beispielsweise kann man so dieKennlinienelektronischerBauelementeaufdemBildschirmsichtbarmachen.In dieser Betriebsart, der X-Y-Betriebsart, werden dem Oszilloskop beideAblenksignalevon außen zugeführt, dasY-Ablenk-signal über denKanal I,dasX-AblenksignalüberdenKanalII.DurchDrückendesUmschaltersX-Y,dersichrechtsobennebendemNetzschalterbefindet,wirddieseBetriebsarteingeschaltet. Bei Benutzung der X-Y-Betriebsart muss sorgfältig daraufgeachtet werden, dass zu jedem Zeitpunkt mindestens eine der beidenAblenkspannungengenügendgroß oder dieStrahlintensität auf null gedrehtist,damitdieLeuchtstoffschichtderBraunschenRöhrenichtlokalüberlastetwird.

In den meisten Fällen werden Oszilloskope jedoch dazu benutzt, denzeitlichen Verlauf eines (oder zweier) Signale darzustellen. Dazu wird derElektronenstrahl in horizontaler Richtung durch die in das Oszil loskopeingebaute Zeitablenkschaltung mit konstanter Geschwindigkeit abgelenkt.Die Bedienungselemente für die Zeitablenkung befinden sich im oberenrechten Segment der Frontplatte, neben den Bedienungselementen für dieStrahlintensität und die Strahlbündelung. Wenn von der ZeitablenkungGebrauchgemachtwerdensoll,darfderSchalterX-Ynichtgedrücktsein.

DieZeitablenkschaltungerzeugteinesägezahnförmigverlaufendeSpannung(sieheobigeAbbildung),dieandenvertikalenAblenkplattenanliegtunddenStrahlhorizontalablenkt.DieGeschwindigkeitderHorizontalablenkungkannman mit dem Doppeldrehknopf TIME/DIV. verändern. Ähnlich wie dieVertikalablenkfaktoren kann auch der Zeitablenkfaktor mit einemStufenschalter,derdurchdenäußeren,größerenDrehknopfbedientwird, in1-2-5-Schrittenunddurchden inneren,kleinerenDrehknopfstetigverändertwerden. Da die am Stufenschalter angeschriebenen Zeitablenkfaktoren nurgültig sind, wenn der Drehknopf für die stetige Veränderung am

Linksanschlag steht, muss für quantitative Messungen diese Einstellunggewähltwerden.DerZeitablenkfaktorgibtan,wiegroßdieZeitist,dieeinerHorizontalablenkungumeineRastereinheit(„Division“,≈1cm)entspricht.

UmeinstehendesBildeinesrepetitivenSignalszubekommen,mussmandieAuslösung eines Horizontalablenkimpulses zeitlich an das darzustellendeSignalbinden.BeiderinternenTriggerungderHorizontalablenkungwirdeinHorizontalablenkimpuls ausgelöst, wenn das darzustellende Signal einebestimmteSpannungsschwelleüberoderunterschreitet.DieTriggerschwellekann mit dem Drehknopf LEVEL eingestellt werden, das Vorzeichen derSchwellenüberschreitungmit der Taste +/–.Mit demSchiebeschalter TRIGkann man zwischen den Ausgang des Vertikalverstärkers und denTriggereingang desZeitablenkgenerators ein Filter schalten. In der StellungAC ist einHochpassfiltermit niedrigerGrenzfrequenz eingeschaltet, in derStellungHFeinHochpassfiltermithoherGrenzfrequenz.InderStellungLFist ein Tiefpassfilter eingeschaltet. In der Stellung ~ wird mit derNetzspannung getriggert. Mit dem Schiebeschalter TV SEP. kann manspezielleFilter zurTriggerungdurchdieHorizontalsynchronisationsimpulse(TV:H) oder zur Triggerung durch die Vertikalsynchronisationsimpulse(TV:V)einesFernseh-Videosignalseinschalten. ImNormalbetriebsolltederSchalterTVSEP.aufOFFstehen.

Die externe Triggerung funktioniert ähnlich, nur muss das triggernde (dieZeitablenkung auslösende) Signal an der Buchse TRIG. INP. zugeführtwerden. Zur Umschaltung auf externe Triggerung muss der Schalter EXTgedrücktwerden.NacheinerHorizontalablenkungvergehteinegewisseZeit,bisdasGerätfürdienächsteTriggerungbereit ist.DieseZeitkannmitdemDrehknopf HOLD OFF verlängert werden. Im Normalbetrieb sollte dieserDrehknopfaufLinksanschlaggedrehtsein.

Bei beiden Triggerarten vergeht zwischen dem Erfüllen derTriggerbedingung, also zwischen dem Zeitpunkt, zu dem das triggerndeSignal die Triggerschwelle überschreitet, und dem Beginn derHorizontalablenkung des Elektronenstrahls eine gewisse Zeit, dieTriggerverzögerungszeit.

Zweikanal-Betrieb

WennnureinVertikalablenkkanalbenutztwerdensoll,kannmandiesenmitdem Schalter CHI/II auswählen. Dieser Schalter befindet sich unten imunterenrechtenSegmentderFrontplatteunterhalbdesEingangsabschwächersvon Kanal I. Dieser Schalter entscheidet bei Zweikanalbetrieb mit internerTriggerung,welcherKanal dasTriggersignal liefern soll.Mit demnächsten

SchalterDUALkannzwischenEinkanal-undZweikanalbetriebumgeschaltetwerden. Der letzte noch nicht besprochene Schalter ADD erlaubt es, dieSumme der beiden Vertikalablenksignale darzustellen. Der Schalter DUALdarfdazunichtgedrückt sein. Isteresdoch, soarbeitetdasOszilloskop imZweikanalbetrieb. Während sonst der Zweikanalbetrieb aber dadurchverwirklicht wird, dass bei aufeinanderfolgenden Horizontalablenkzyklenabwechslungsweise das Signal von Kanal I und das Signal von Kanal IIdargestelltwerden,wirdnun,alsowenndieSchalterDUALundADDbeidegedrückt sind, ständig, auch innerhalb eines Horizontalablenkzyklus,periodischzwischendenbeidenKanälenumgeschaltet.

EmpfohleneGrundeinstellungdesOszilloskops

SchalterPOWER Sollgedrücktsein(Leuchtdiodeleuchtet)

DrehknopfINTENS

Strahlstärke.Niestärkeralsnotwendigeinstellen!JeschwächerderStrahlstrom,destobesserkannderStrahlgebündeltwerden.

DrehknopfFOCUS Strahlbündelung.

TasteX-Y Sollnichtgedrücktsein.

DrehknopfX-POS Horizontalposition.OszillogrammanfangzuBeginneinerMessreiheinBildmitteschieben.

DrehknopfHOLDOFF

TotzeitnachHorizontalablenkung.SollaufLinksanschlagstehen.

SchalterTVSEP SollaufOFFstehen.

SchalterTRIG SollaufACstehen.

DrehschalterTIME/DIV

WahldesZeitablenkfaktors.(ZumBeispiel0.1ms/div)

DrehknopffürvariableZeitbasiseinstellung

SollaufLinksanschlagstehen.

Taste+/– Triggervorzeichen.Sollnichtgedrücktsein

TasteEXT. Sollgedrücktsein(ExterneTriggerung).

TasteAT/NORM Sollgedrücktsein.

DrehknopfLEVEL Triggerschwelle,sollaufRechtsanschlagstehen.

TasteINVERT(CHI)

Sollnichtgedrücktsein.

SchalterDC-AC-GND

SollenaufDCstehen.

TasteCHI/II Sollnichtgedrücktsein.

TasteADD Sollnichtgedrücktsein.

DrehschalterVOLTS/DIV

Sollenauf2V/divstehen.

DrehknopfVAR.GAIN

SollaufLinksanschlagstehen.

2WichtigeZahlenundGrößenReineZahlenwerte

π≈3,14

e≈2,7

≈l,4

sin30°=0,5

cos60°=0,5

tan45°=1

PhysikalischeGrößen

Fallbeschleunigung(Gravitationsbeschleunigung)

9,81ms–2(≈10ms–2)

DichtevonWasser 1gcm–3

LichtgeschwindigkeitimVakuum 3·108ms–1

SchallgeschwindigkeitinLuft 330ms–1

inWasser 1500ms–1

absoluterNullpunktderTemperatur –273,15°C(≈–273°C)

Avogadro-KonstanteNA 6·1023mol–1

MolaresVolumen(Normbedingungen) 22,41lmol–1

AllgemeineGaskonstante 8,31Jmol–1K–1

Brechzahl vonLuft1

vonWasser1,33

WellenlängenbereichdessichtbarenSpektrums 400nm(viol.)bis800nm(rot)

hörbarerFrequenzbereich 20Hzbis20kHz

atomareMasseneinheitmu 1,66·10–27kg

Elementarladunge 1,60·10–19C

PlanckscheKonstanteh 6,63·10–34Js

Diese Zahlenwerte sollteman unbedingt auswendigwissen. EineÜbersichtüberdieexaktenZahlenwertederhundertwichtigstenphysikalischenGrößenund Formeln in der derzeit gültigen Fassung findet man übersichtlich undhandlichzusammengestellt aufderTaschenkartePhysikalischeKonstantenundGrößenvomgleichenAutor.

Index

A

Abbildungsfehler233

Abbildungsgesetze229

Abbildungsmaßstab270

Aberration234

abgeleiteteGrößen3

Ablesefehler10

Ablösearbeit204

Absolutfehler15

Absorptionsgesetz298

Absorptionsgrad127,299

Absorptionskoeffizient299

Absorptionsspektrum217

Abstandsgesetz301

Achse,optische227

AdditionvonVektoren5

Adhäsionskraft43

Adsorptionskraft43

Aggregatzustände115

Akkomodation266

Aktivität,optische261

Alpha-Strahlung299,306

Ampere158

Definition189

Amperemeter171

Amplitude55

analogeMessung10

AnalysatorfürpolarisiertesLicht256

Anionen157

Anodeneigenstrahlung298

Anregungsenergie289

aperiodischerGrenzfall69

Apertur,numerische277

Argon140

Aristoteles285

arithmetischesMittel11

Astigmatismus235

Äther286

Atomkern304

Atommasse,relative305

Atommodelle285

Aufenthaltswahrscheinlichkeit288

Auflichtmikroskop278

Auflösungsvermögen213

desAuges265

desMikroskops277

Auftriebskraft26

Ausbreitungsgeschwindigkeit59

einerSeilwelle86

Ausbreitungsmedium58

AusdehnungfesterKörper117

Ausfallswinkel220

Ausgleichsgerade18

Auslenkung55

Austrittsarbeit203

Autokollimation236

Autolichtmaschine191

Avogadro-Konstante135

B

Bandgenerator151

BarometrischeHöhenformel139

Basiseinheiten2

Basisgrößen2

Becquerel305,311

Beleuchtungsstärke219

BernoullischesGesetz48

Bernstein149

Beschleunigung25

Besselverfahren237

BetragdesVektors5

Beugung

amGitter249

amSpalt246

Beugungsscheibchen275

Bezugssehweite267

Bild

reelles228

virtuelles228

Bildgröße229

Bildkonstruktion228

Bildweite229

Bimetallthermometer120

Blitzgerät178

Blitzschlag151

Blutdruckmessgerät138

Blutgeschwindigkeit,Messung102

Bogenmaß6

BohrschesPostulat287

Boltzmann-Konstante137

Boyle-Mariotte,Gesetzvon145

BraunscheElektronenstrahlröhre317

Brechkraft231

Brechungsgesetz220

Brechungsindex221

Brechzahlen220

Bremsstrahlung296

Brennlinie235

Brennpunkt228

virtueller231

Brennweite228

Brewsterwinkel257

Brille231

BrownscheBewegung115

Bruch41

C,D

Celsius114

Centi3

ChromatischeAberration234

Compton-Effekt299

Coulomb149

Coulomb-Gesetz152

Curie,Marie306

Dalton,Gesetzvon140

Dalton-Atommodell286

Dampfdruck116

Dämpfung68,70

de-Broglie-WellenlängevonElektronen213

Dehnung39

Deka3

Demokrit285

Desublimieren115

Detailvergrößerung267

derLupe269

Dewar-Gefäß125

Dezi3

Dezibel107

Dichte119

Dielektrikum180

Dielektrizitätskonstante153

Dielektrizitätszahlen180

Differentialgleichung65

digitaleMessung10

Dimension3

Dipol,elektrischer155

Dipolmoment155

Dispersion225

Doppler-Effekt101

Dosimetrie300

Drehbewegung30

Drehimpuls39

Drehmoment34

Drehspul-Amperemeter171

Drehvermögen,spezifisches262

Drehwinkel31

Drehzahl31

Dreieck,ebenes7

Dreieck,Fläche5

Dreieck,rechtwinkliges7

Druck137

statischerunddynamischer48

Druckspannung40

Durchflussgesetz49

Durchlichtmikroskop278

E

Edelgaskonfiguration289

Eigenfrequenz66

Eigenkreisfrequenz71

EigenschwingungenderSaite84

Einfallswinkel220

Eingangsgröße15

Einheit1

EinschaltvorgangbeieinerInduktivität193

Einschwingvorgang70

Einzelmessungen11

Eisenfeilspäne188

Elastizität41

Elastizitätsmodul41

elektrischeFeldkonstante153

elektrischeLadung149

elektrischeStromstärke158

elektrischerDipol155

elektrischerStrom,physiologischeWirkung170

elektrischerWiderstand161

Elektrolyte,Stromin157

Elektron152

Elektronen

inFeldern205

freie203

Elektronenkonfiguration289

Elektronenmikroskop213

Elektronenschalen289

Elektronenstrahloszilloskop317

Elementarladung151,323

Elementarwelle245

elliptischpolarisiert260

Elongation55

Emissionsgrad126

Emissionsspektrum217

Emissionsstrom296

Energie

einesPhotons216

imMagnetfeld196

kinetische29,55

potentielle29,55

Energiedosis301

Energieerhaltungssatz30

EnergieinhaltdesKondensators182

Erdbeschleunigung27

Erdung152

Erhaltungssatz

elektrischeLadung152

Energie-30

Erregerfrequenz71

Erstarren115

Erwartungswert12

ExponentialgesetzdesradioaktivenZerfalls309

Extinktionskoeffizient299

F

Fadenpendel66

Fahrenheit114

Fallgeschwindigkeit27

Farad179

FaradayscherKäfig180

Farbfehler234

Farbfilter218

Federkonstante63

Fehler,systematische9

Fehlerabschätzung9

Fehlerfortpflanzung16

Fehlerstreifen119

Fehlerstromschutzschalter170

Feld

elektrisches154

magnetisches189

Fermi-Energie205

festeStoffe91,114

festesEnde80

Fieberthermometer120

Filter,optische218

Polarisations-255

Flächen5

Fliehkraft33

Fließbereich42

Fluoreszenzmikroskop278

Flussdichte,magnetische190

Flüssigkeit45,115

Newtonsche47

Flüssigkeitsthermometer120

FormkonstanteeinerKugel52

Fourieranalyse96

Frank-Hertz-Versuch289

Frequenz56,59

Funkenlöschung197

G

GalileoGalilei27

Galvanometer171

Gammastrahlung216,298

Gangunterschied94,243

Gase135

ideale141

reale142

Gasgemische140

Gasgesetz141

Gaskonstante129

Gaußverteilung12

Gay-Lussac,Gesetzvon144

gedacktePfeife99

Gegenphase243

Gegenstandsgröße229

Gegenstandsweite229

Geiger-Müller-Zählrohr302

Geräusche106

Geschwindigkeit2,21

mittlerevonMolekülen136

Giga3

Gitterkonstante249

Gleichgewicht35

Gleichstrom158

Gleitreibung26

Glockenkurve12

GlühelektrischerEffekt203

Glühkathode317

Gradmaß6

Grenzfall,aperiodischer69

GrenzwellenlängederRöntgenstrahlung297

Grenzwinkel223

Größenordnungen3

Größtfehler14

Grundschwingung85

Güte69

H

Haftreibung26

Hagen-Poiseuille‘scheGesetz53

Halbleiter161

Stromin157

Halbleiterdetektor303

Halbschattenverfahren263

Halbwertsdicke299

Halbwertszeit304,309

Harmonische84

HärtederRöntgenstrahlung297

Hauptebenen232

Hauptmaxima250

HauptsatzderWärmelehre

erster123

zweiter147

Hauptschluss177

Hebel37

Hekto3

Heliumkern306

Helmholtz-Spulenpaar208

Henry194

Hertz56

Himmelblau259

Hitzdraht-Amperemeter171

Höchstwertthermometer120

HookeschesGesetz41

Hörgrenze105

Hörschwelle107

HuygensschesPrinzip245

Hydrodynamik45

I,J

Impuls29

Impulserhaltung29

indifferentesGleichgewicht36

Induktion,magnetische190

Induktionsgesetz194

Induktionsspannung191

Induktivität194

Induktivitäten,Schaltungvon197

INDUSI190

Influenz180

Infraschall105

Innenwiderstand163

innereEnergie122

IntensitätdesLichtes218

Interferenz

beidünnenSchichten244

vonWellen94,242

konstruktiveunddestruktive243

Ionendosis300

Ionisationskammern303

ionisierendeStrahlung296

Isobare144

Isochore145

Isolator150

Isotherme145

Joliot,Frederic306

Joliot-Curie,Irène306

JoulescheWärme160

K

Kalibrierung120

Kammertona105

Kapazität

derErdkugel181

elektrische178

Wärme-127

Kapillare44

Kardinalpunkte232

Kationen157

Kelvin2,113

KennlinieeinesWiderstandes164

Kern152

Kernladungszahl304

Kilo2

kinetischeEnergie29

KirchhoffscheGesetze54

KirchhoffscheRegeln168

KirchhoffschesStrahlungsgesetz127

Klänge105

Klangfarbe106

Klemmenspannung163

Knoten233

Knotenregel168

Kohärenzlänge244

Kohäsionskraft43

Kollektorlinse279

Kompassnadel188

KomponentenzerlegungvonVektoren5

Kompressibilität43

Kompressionsmodul43

Kondensator178

Auf-undEntladung183

Kondensieren115

Kondensor278

Kontinuitätsbedingung49

Konvektion125

Kraft26

Kreis,Fläche6

Kreisfrequenz65

Kreisstrom190

Kriechfall69

kritischerPunkt124

Kugel,Volumen6

KundtschesRohr99

Kupfer,spez.Widerstand162

Kurzschlussstrom163

Kurzsichtigkeit231

L

labilesGleichgewicht36

Ladung,spezifischedesElektrons202,209

Ladungsausgleich151

Ladungstrennung151

Ladungsübertrag151

Lambert-BeerschesGesetz299

Längenausdehnungskoeffizient117

Längswellen60

Laser244

latenteWärme115

Lateralvergrößerung270

Lautheit109

Lautstärke108

Lebensdauer,mittlere310

Leerlaufspannung163

Leistung30

elektrische128,160

Leiter149

Leitwert,elektrischer162

Lenard287

LenzscheRegel192

Licht217

kohärentes244

Lichterzeugung242

Lichtgeschwindigkeit2,221

Lichtleiter223

Lichtstärke219

Lichtstrom219

linearpolarisiertesLicht254

LinienspektrumeinerRöntgenquelle296

Linsen

dicke232

dünne227

Linsensysteme233

Longitudinalwellen60,91

Lorentz-Kraft206

losesEnde80

Luft140

Luftdruck139

Luftkissengleiter73

Lupe228,268

M

Magnetfeld

vonStrömen189

Erzeugung208

magnetischeFeldkonstante194

magnetischeFlussdichte190

magnetischeInduktion190

Magnetismus188

Magnetostatik188

Manometer137

Maschenregel169

Maßeinheit1

Massenkonzentration141

Massenprozent141

Massenzahl305

Maßzahl1

Maxwellsche

Geschwindigkeitsverteilung136

mechanischeSpannung40

Medium

dichteresunddünneres80

optisches219

Mega3

Membranmanometer139

Messbereich10

MessbereichserweiterungdesAmperemeters172

Messfehler9

absoluterundrelativer10

Messfehler,zufällige11

Messung10

direkteundindirekte14

Messunsicherheit10,14

Metalle,Stromin161

Mikro3

Mikroskop265

Aufbaudes278

Mikrowellen216

Milli3

Millikan152

MinuspoleinerStromquelle157

Mittel,arithmetisches11

Mittelpunktstrahl232

Molarität141

Momentangeschwindigkeit22

Momentanwert55

Monochromator218

N

Nahpunkt266

Nano3

Nebenmaxima250

Nebenschluss172

Neutronen304

NewtonscheAxiome26

Nordpol,magnetischer188

Normalbedingungen139

Normalverteilung12

Normalwiderstand173

Nukleonen305

numerischeApertur277

O

Oberflächenspannung43

Oberschwingung84

ObjektivdesMikroskopes278

Objektivrevolver278

Objekttisch278

offenePfeife99

Öffnungsfehler234

ohmscherWiderstand164

OhmschesGesetz162

Oktave105

OkulardesMikroskops273

Öltröpfchenversuch152

Optik,geometrische219

optimaleGerade19

optischeAchse227

optischeAktivität261

Ordnungszahl304

Orgelpfeifen98

Orientierungspolarisation180

Oszillation54

Oszilloskop317

P,Q

Paarbildung299

Parallaxenfehler10

Parallelschaltung166

vonInduktivitäten197

vonKondensatoren186

Periodensystem305

periodischeVorgänge54

PeriodizitätderWelle61

Permeabilitätszahl194

Phase55

Phasenbeziehung243

Phasendiagramm116

Phasendifferenz55

Phasengeschwindigkeit59

Phasensprung79

Phasenumwandlung115

Photoeffekt204,299

physikalischeGröße1

Pico3

PlanckscheKonstante216,288

Platon285

Plattenkondensator178

Pluspol,einerStromquelle157

Polarisation254

durchStreuung259

Polarisationsfilter255

Polarisationswinkel257

Polarität158

Potentialdifferenz154

potentielleEnergie29

Potentiometer173

Potentiometerschaltung175

Prisma224

Protonen304

Punktladungen153

Pyramide,Volumen6

Pythagoras,Satzdes8

Quader,Volumen6

Querwellen60

R

Radarkontrolle102

Radialbeschleunigung32

Radialkraft32

Radiant6

Radioaktivität304,305

künstliche311

Radiowellen216

Raumwinkel8

Rechteck,Fläche5

Rechte-Hand-Regel189

Reflexion

amfestenEnde80

amoffenenEnde80

vonWellen79

Reflexionsgesetz220

Regenbogen225

sekundäre226

Reihenschaltung166

vonInduktivitäten197

vonKondensatoren186

relativeAtommasse305

Relativfehler15

Resistivität160

Resonanz71

Resonanzkurven71

Resonator71

RichmannscheMischungsregel130

Riva-Rocci138

Röntgenröhre296

Röntgenstrahlen242,296

Rotationsbewegungen30

Rotationsdispersion262

Rotverschiebung102

Rückstellkraft63

Rundungsfehler11

Rutherford-Atommodell287

S

Saccharimetrie254,262

Sägezahnspannung317

Saitenschwingung79

Sammellinsen227

Sättigungsdampfdruck116

Sauerstoff140

Schalen,imAtommodell289

Schalldruckpegel106

Schallgeschwindigkeit92

inGasen91

Schallintensitätspegel108

Schallstärke106

Schallwellen91

Scherkraft42

Scherung43

Schiebewiderstand175

Schmelzen115

Schmelzwärme115

Schmerzgrenze107

Schubmodul42

Schubspannung42

schwarzerStrahler126

Schwebung95

Schweredruck138

Schwerpunkt36

Schwingfall69

Schwingkreis198

Schwingung54

erzwungene70

gedämpfte68

harmonische56

ungedämpfte63

Schwingungsdauer56

desFederpendels66

Schwingungsknotenund-bäuche82

Seebeck-Effekt121

Sehwinkelvergrößerung268

Seilwelle86,255

Selbstinduktion193

Selbstinduktionskoeffizient194

Siedepunkt116

Siemens162

SI-System2

Skalar4

Snellius220

Spannung157,160

Spannungsmessung171

Spannungsquelle157,163

Spektralanalyse217

Spektrallinien217

Spektrograph217

Spektroskopie217

Spektrum217

derRöntgenstrahlung296

elektromagnetisches216

spezifischerWiderstand162

Spiegel232

stabilesGleichgewicht36

Standardabweichung13

empirische26

stationärerZustand70

Stauchung39

Stefan-Boltzmann-Gesetz126

stehendeWellen80

Steigungsdreieck19

Stempeldruck139

Steradiant8

Stickstoff140

Stokes‘schesGesetz52

Stöpsel-Rheostat176

StrahlengangdesMikroskops275

Strahlenmessung300

Strahlungsmessung300

Strahlung,ionisierende296

Strahlungsdetektoren302

Strahlungskonstante126

Strom,elektrischer157

Stromdichte159

Stromkreis158

Stromlinien46

Strommessung171

Stromrichtung,technische158

Stromschläge,Schutzvor170

Stromstärke46

elektrische158

Strömung46

laminare50

turbulente52

Strömungswiderstand47

Sublimieren115

SubtraktionvonVektoren4

Südpol,magnetischer188

SuperpositionvonWellen80,242

Supraleiter159

SystèmeInternational2

Szintillationszähler302

T

Tauchsieder129

Temperatur113

TemperaturabhängigkeitdesohmschenWiderstandes165

Temperaturmessung119

Tera3

ThalesvonMilet149

thermodynamischeTemperaturskala113

Thermoelement121

Thermospannung121

Thomson-Atommodell286

Töne105

Torsionsmodul42

Totalreflexion223

Trägheitsmoment38

Transformator195

Translation21

Transmission299

Transversalwellen60,258

Trenntrafo170

Triggerung319

Tripelpunkt116

Tubus,desMikroskops273

U,V

Ultraschall105

Valenzelektronen289

Van-der-Waals-Kräfte43

Van-der-Waals-Gleichung143

Vektor,ZerlegunginKomponenten5

Vektoraddition5

Vektoren4

Vektorsubtraktion4

Verdampfen115

Verdampfungswärme115

Verformung39

Vergrößerung,Detail-269

Vergrößerung,förderliche276

Verschiebungspolarisation180

Vertrauensbereich13

Verzögerung25

Viskoelastizität41

Viskosität50

Vollkreis6

Voltmeter172

Volumenausdehnungskoeffizient119

Volumenbeständigkeit45

Volumenprozent140

Volumenstrom46

Volumina6

Vorsilben3

W

Wärmekapazität127

vonWasser131

Wärmelehre113

Wärmeleitung124

Wärmemenge123

Wärmestrahlung125

Wärmeströmung125

Wärmeübertragung124

Wasserdampfgehalt140

Wasserstoffatom288

Weber-FechnerschesGesetz109

Wechselstrom158

Wechselströme,Messungvon171

Weitsichtigkeit231

Welle58

Wellenlänge59

Wellenoptik218,242

Wellenzahl61

WheatstonescheBrücke174

Widerstand,elektrischer161

Widerstandsthermometer121

Winkel6

Winkelbeschleunigung31

Winkelgeschwindigkeit31

Wirbelstrombremse73,191

Wirbelströmung52

Z

Zahlenwert1

Zeitablenkung319

Zeitkonstante

desKondensators185

vonSpuleundWiderstand195

Zentrifugalkraft33

Zentripetalkraft32

Zerfallsgesetz308

Zerfallskonstante309

Zerreißpunkt41

Zerstreuungslinsen227

Ziliarmuskel266

zirkularpolarisiert259

Zugspannung41

zusammengesetzteGrößen2

Zustand,stationärer70

Zustandsänderung

adiabatische146

isobare144

isochore144

isotherme145

ZustandsgleichungidealerGase142

Zustandsgrößen141

Zwangskraft70

Zylinder,Volumen6