1

08b Impuls

2

Zusammenfassung

Der Massenschwerpunkt eines ausgedehnten Objektes bewegt sich entlang einer geraden Linien, wenn keine Kräfte auf den Gesamtkörper wirken

ausgezeichneter Punkt eines Körpersalle Kräfte greifen an diesem Punkt an

Position des Massenschwerpunktscenter of mass (CM) N

NNcm mmm

xmxmxmx++++++

=......

21

2211

Newtonsche Bewegungsgleichung gilt auch für den Massenschwerpunkt

Bewegung eines ausgedehnten Körpers unter dem Einfluss äußerer Kräfte (hier Gravitation)

NmmmM +++= ...21

cmi

iii

ires MaamFF ∑∑ ===Gesamtmasse

Beschleunigung des Massenschwerpunkts

Kraft auf den Massenschwerpunkt

keine Berücksichtigung interner Kräfte (chemische Bindung, ...)

Gesamtmasse M des Systems ändert sich nicht (geschlossenes System)

keine Aussage über Beschleunigung der Einzelkomponenten

3

Überhang-was geht?

4

RaketenflugbahnSchwerpunktbewegung

Vor dem Start:Gesamtimpuls ist NullStart:Brennstoff wird gezündet und nach hinten ausgestoßenLift off:Gesamtimpuls (Rakete+Treibstoff) bleibt erhalten. Rückwärtsimpuls des ausgestoßenen Gases gleich sich mit dem Vorwärtsimpuls der Rakete aus.Konsequenz:Raketen können im leeren Raum beschleunigen.

5

Zweistufige Rakete

Parabelbahn des Schwerpunkt

d

höchster Punkt der Bahn

d d

3d

ausgebrannte Stufe wird abgestoßen

Damit können größere Flugweiten erreicht werden

6

Torwart

50 m/s

sm kg10

sm 2kg 5v

lMedizinbalImpuls

111 =⋅== mp

sm kg10

sm 50kg 0.2v

SchlagballImpuls

222 =⋅== mp

Impulsbetrachtung

Welchen der Bälle fängt man leichter?

Beide Bälle haben denselben Impuls

2 m/s

7

Energie und ImpulsWelchen der Bälle fängt man leichter?

Welcher Ball ist leichter zu fangen?

J 250sm 50kg 0.2

21v

21

Schlagball Energie Kinetische2

2222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅== mKE

J 10sm 2kg 5

21v

21

lMedizinbal Energie Kinetische2

2111 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅== mKE

Energiebetrachtung

Bei gleichem Impuls höhere kinetische Energie !

Gleicher Impuls ist notwendig um Ball zu stoppen

Zu leistende Arbeit ist allerdings fünfundzwanzigmal höher, wenn

man den kleinen Ball fängt, da da25xKE (Arbeit-Energie Theorem).

Die Kraft um die Bälle in derselben Zeitspanne zu stoppen, belastet die Armmuskulatur fünfundzwanzigmal so stark tFtFp MBallSBall Δ=Δ=Δ 25

Kinetische Energien deutlich unterschiedlich

8

Energie- und Impulserhaltung

Kräfte variieren während eines Stoßes (F(t)), Analyse (Newtonsche Bewegungsgleichung) aufwendig

in der Regel bekannt Anfangs- und Endbedingungen von Energie und Impuls, wenn keine Energieumwandlung inz.B. Wärme, dann ist kinetische Energie erhalten

Bemerkungvernachlässigt wird Umwandlung der kinetischen Energie kurzzeitig in elastische Energie

vollständige Rückführung in kinetische Energie (Energieerhaltung)

Elastische Stöße

22

21

22

21 f2,f1,i2,i1,

v21v

21v

21v

21 mmmm +=+

Erhaltung der Energie in elastischen Stößen

Atomare Stöße sind oft elastisch

menEnergiefor andere,2,1,2,1 ++=+ ffii KEKEKEKEInelastische Stöße

Energieverlust in dissipative KanäleWärme, Schall,...

9

Billardphysik

Stöße zwischen Elementarteilchen

Rutherfordsches Streuexperiment

Aufklärung der Struktur des Atoms

Stockschießen

10

Elastische Kernstöße Proton stößt mit Heliumatom

Proton

Helium

fprotonv

fheliumv

smiproton / 10v 5= smf

helium / 0v =

heliumproton mm41

ältnisMassenverh

=

11

( ) ( ) vvmvvm

vmvmvmvmi2

f22

f1

i11

f22

f11

i22

i11

−=−

+=+ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) 2i2

f2

i2

f22

f1

i1

f1

i111

22i

22f

222f

12i

111

2f22

2f11

2i22

2i11

vvvvvvvv

vvvv

v21v

21v

21v

21

KEmmΔKE

KEmmΔKE

mmmm

Δ=−+=−+=

Δ=−=−=

+=+

EnergieerhaltungImpulserhaltung

( )( )( )

( )( )( )

( ) ff2

i2

i2

i1

i

f1

f2

i2

i1

i2

f2

f1

i1

i2

f2

i2

f2

i2

f2

2

2f1

i1

f1

i1

f1

i1

1

1

vvvvvv

vvvv

vvvv

vvvvvv

mm

vvvvvv

mm

i Gleichungii GleichungAusdruck den bilde

Δ−=−−=−=Δ

−=−

+=+

−−+

=−

−+

Für elastische Stöße ist die relative Geschwindigkeit vor dem Stoß identisch zu der nach dem Stoß. Allerdings hat sich das Vorzeichen geändert

Elastische Kernstöße p-He

(i)

(ii)

12

Eishockeytorwart stoppt Puck

Puck170 g

Torwart80 kg

Geschwindigkeit des Pucks190 km/h ~ 50 m/s

AnnahmeBewegung des Pumcks ist reibungsfrei

für eine Eisfläche eine gute Näherung

( )iP

TP

PfTP

fTPTP

iPP

fT

fP

iT

fTT

fPP

iTT

iPP

mmm

mmm

mmmm

vv

vv

v v0,v

vvvv

+=

+=

==

+=+

+

+

sm

kgkgf

TP 11.0sm50

17.8017.0v ==+

Impulserhaltung

Das ist die Geschwindigkeit des Torwarts, der den Puck gehalten hat

13

Eishockeytorwart stoppt Puck

Puck170 g

Torwart80 kg

Geschwindigkeit des Pucks190 km/h ~ 50 m/s

sm11.0v =+

fTP

Energieerhaltung

( )

( ) J 0.49sm0.1180.17kg

21v

21

J 212.5sm500.17kg

21v

21

2

2

=⋅=

=⋅=

+fTPP

iPP

m

m

fi KEKE 438=

Stoß stark inelastisch: Energietransfer in Wärme und Schall

Wenn Energie- und Impulserhaltung erfüllt sich, dann sollten beide Werte dasselbe Ergebnis liefern!

An welcher Stelle haben wir Fehler in der Betrachtung gemacht?

Resultierende Geschwindigkeit von Puck und Torwart

Kinetische Energie des Pucks

Kinetische Energie von Pucks und Torwart

14

Golf Swing

Elastizität des BallsA) weicher Ball

zuviel Energie wird aufgewendet um den Ball plastisch zu verformen

B) harter Ball Kaum Verformung des Materials, d.h. kaum Speicherung kinetischer Energie in Formenergie.

Maximales Gewicht 45.93 gMinimaler Durchmesser 42,67 mm

USGA - United States Golf Association

Ballhärte wird an die Geschwindigkeit des Schlägers angepasst

15

Schlagweite

Aus der Betrachtung der Dynamik von Würfen wissen wirgrößte Weite für einen Abschlagwinkel von 45°.

16

Abschlagwinkel 45°?

Umwelteinflüsse wie

- Windkräfte (Luftwiderstand, Kap. Dynamik)- Temperatur (Auftrieb, Kap. Flüssigkeiten) - Atmosphäre (Luftdichte) und - Luftfeuchte (Stöße, Kap. Wärmelehre)

können aber bei einer realistischen Beschreibung der Dynamik nicht vernachlässigt werden.

17

Eigenschaften des Balls

Ebenfalls vernachlässigt wurde die Oberflächenstruktur (dimples) und die Eigendrehung (spin) des Balls.

In der Realität spielen diese Effekte aber eine wichtige RolleZum Teil hängen die einzelnen Beiträge von einander ab.

(mehr davon zu einem späteren Zeitpunkt)

Eigendrehung des Balls verändert die Flugbahn

Beschaffung der Oberfläche hat

erheblichen Einfluss auf die Flugbahn

Nebenbemerkung aus der Atomphysik:auch Elektronen haben einen Spin

18

Big Bertha Fusion FT-i Inertia Monster

Die Golf Driver FT-i und FT-i Tour stellen einen Quantensprung in Sachen Driver Bauweise und damit verbundene Leistung dar. Wir haben auf Grundlage unserer patentierten Fusion-Technologie das effektive Gewicht in revolutionär geometrischer Anordnung in die äußersten Ecken des Schlägerkopfes positioniert. Damit haben wir einen Driver geschaffen, der das höchste Trägheitsmoment von ALLEN bis heute auf dem Markt erhältlichen Drivern hat. Diese phänomenale Eigenschaft beugt vernichtenden Resultaten durch schlechte Schlägevor und bietet Golfern zusammen mit dem OptiFitSystem- der Voreinstellung für Draw, Neutral oder Fade -hohe Ballgeschwindigkeiten und mächtige Flugkurven.

Die Dicke Berta war eine Kanone zum Beschuss

von Festungsanlagen (z.BFestung Verdun) im

Ersten Weltkrieg

DriverGewicht des

Schlägerkopfes 200 g

Zitat aus der Werbebrochüre des Herstellers

19

Impulsübertrag beim Golf Swing

iD

fD

fB

vvvCoR −

=

Coefficient of RestitutionStoßzahl (0<CoR<1)

fD

iDf

B

definiere

vvv

2.1CoR

1

+=⇒

==→

α

α

Tiger Woods AbschlagGeschwindigkeit des Schlägers

~80 m/sWeite des Abschlags

~274 m

23.020045

===

=

gg

mm

mm

D

B

DB

β

β

Stoss demnach Schläger

Stoss demvor Schläger

Stoss demnach Ball

v v-v

CoR =

durch Golfverbandfestgelegt

CoR maximal 0.83

definiere Massenverhältnis

(A)

Geschwindigkeit des Balls nach dem Stoß

20

Abschlagsgeschwindigkeit

ββ

βfD

iDf

B

fB

fD

iD

fB

D

BfD

iD

fBB

fDD

iDD

mmmmm

vvv

vvv

vvv

vvv

−=

+=

+=

+=Impulserhaltungf

BfD

iD vvv

=+α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=+

−=+

αββ

αββ

αββ

ββα

1111

vv

11v11v

vvvv

vvvv

iDf

D

iD

fD

iD

iD

fDf

D

fD

iDf

D

iD

ordnen nach Geschwindigkeiten

nur noch bekannte Größen auf der rechten Seite

sm80v

23.02.1

=

==

iD

βα

(A)

Geschwindigkeit des Balls nach dem Stoß

D

B

mm

=β

21

Abschlagsgeschwindigkeit

( ) ( ) ( )

fi

222

222

KEJ 596J 277J 319J 640KEsm 52.6 kg 0.2

21

sm 119 kg 504.0

21

sm 80 kg 0.2

21

v21v

21v

21

==+==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+= fDD

fBB

iDD mmm

( )km/h 428 sm119

sm52.6

sm80

1.21vf

B =+=

Kinetische Energie

( )km/h 189 sm52.6

sm80

2.11

23.01

23.011v

1fD =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=αβ

β

1111

vviDf

D

Geschwindigkeit des Balls nach dem Stoß

Stoß ist nahezu elastisch

Geschwindigkeit des Schlägers nach dem Stoß

ββ

fD

iDf

Bvvv −=

22

Heronsball(100 n.Chr)

Expansion von stark erhitztem Wasser Impulserhaltung bei einer Dampfturbine

Heron von Alexandria

23

RaketenantriebSysteme mit variierender Masse

Mv

dMM +

vv d+

t

dtt +

dM−

fi PP =

Impulserhaltung fordert für diesen ProzessGesamtimpuls ist erhalten

v die Geschwindigkeit in Bezug auf ein gewähltes Bezugssystem(z.B. wir als Beobachter am Boden)

gasu

freie Wahl des Vorzeichens

dM ist negativ

zu Beginn der Zeitrechnung

kurze Zeit später

iP

fP

( )( )vvv ddMMudMM +++⋅−=Gas Rakete

Nutze folgende Beziehungrelative Geschwindigkeit des Gases in

Bezug auf die Geschwindigkeit der Rakete

relvvvrelvvv −+=↔+=+ ud du

24

RaketenantriebSysteme mit variierender Masse

dMM +

vv d+dM−

Ausstoßrate der Rakete R=-dM/dt

( )( )( ) ( )( )

( ) ( )

dtdM

dtdM

MddMMddMMdMddMdMddMM

ddMMddMMddMMudMM

rel

relrel

rel

rel

vv

vvvv0vvvvvvvv

vvv-vvvvvv

=−

=−⇒+=++++++−=

++++⋅−=+++⋅−=

relgas du v-vv +=

Zweites Newtonsches Gesetz dv/dt ist die Beschleunigung a

MaR rel =vErste Raketengleichung

Rvrel wird als Schub bezeichnet

R: Treibstoff-Massenverlust der Raketevrel: Geschwindigkeit des Gases relativ zur Geschwindigkeit der Rakete

25

RaketenantriebVorteil mehrstufiger Raketen

GM MM +

f

irelif

M

Mrel

rel

rel

MMMdMd

MdMd

dMMd

f

i

f

i

lnvvvv

vv

vv

vv

v

v

=−=Δ

−=

−=

−=

∫ ∫

Sind mehrstufige Raketen vorteilhaft?

Zweite Raketengleichung

abab

xdx

lnlnlnln

b

a=−=∫

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+=Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+=

+++

=Δ

+++++

=Δ

M

Grel

fM

iGMrel

M

Grel

fM

iGMrel

fMM

iGMMrel

fGMM

iGMGMrel

mm

mmm

mm

mmm

mMmmM

mmMmmMM

1lnvlnvv(IIb)

21lnv

22

lnvlnvv(IIa)

lnvv(I)

GM mm +

Einstufige Rakete

Zweistufige Rakete

GM MM ,

GM mm ,

Reise wird fortgesetzt, ohne dass die abgebrannte Stufe getrennt wird

!

Erste Raketengleichung

26

Zusammenfassung

Der Massenmittelpunkt eines Systems von Teilchen bewegt sich wie ein einzelnes Teilchen in dm die gesamte Masse des Systems vereint ist. An diesem Punkt greift die externe Kraft an.

Der Impuls ist das Produkt aus der Masse des Teilchens und seiner Geschwindigkeit. Eine Kraft ergibt sich als Änderung des Impulses des Systems.

Die kinetische Energie lässt sich als aus dem Impuls des System ableiten

Bei elastischen Stöße ändert sich die kinetische Energie vor und nach dem Stoß nicht. Ändert sich die kinetische Energie ist der Stoß ineleastisch. Bei einem vollständig ineleastischen Stoß

bewegen sich die beiden Teilchen mit der Geschwindigkeit des Massenmittelpunkt weiter.

Ein Kraftstoß ist definiert als Integral der Kraft über das Zeitintervall. Dies entspricht der Änderung des Impulses

Eine Rakete erhält ihren Schub durch den Ausstoß von Gasen. Die Kraft, die das ausströmende Gas auf die Rakete ausübt, treibt die Rakete an.

mpKE2

²=

dtpdFrr

=

pFdtJt

tΔ== ∫

2

1