1

5 DynamikAnimation follows the laws of physics — unless it is funnier otherwise.

2

Zusammenfassung

Ein Körper, der sich auf einer Kreisbahn mit konstanter Bahngeschwindigkeit bewegt, erfährt eine Beschleunigung vom Betrag v²/r.

Die Zeit, die ein Teilchen für einen kompletten Umlauf benötigt heißt Periode T und beträgt T=2πr/v.

Definition Radian(Einrad 1 rad)

BAPBPA vvv +=

BAPBPA dtd

dtd

dtd vvv +=

PBPA aa =

Bewegte Bezugssysteme

Geschwindigkeiten addieren sichBeschleunigungen werden in allen Bezugssysteme gleich gemessen

°= 29.57rad 1

Drehbewegungen

BAr

y A

By

BAvr

x

PAr PBr

x

Die Richtung der Beschleunigungsvektors zeigt dabei stets in Richtung des Kreismittelpunkts. Man nennt diese Art der Beschleunigung Zentripedalbeschleunigung.

Zentripedalbeschleunigung des Mondes bei der Bewegung um die Erde ergibt sich auch aus dem Gravitationsgesetz

Zentripedalbeschleunigung des Elektrons bei der Bewegung um das Kern ergibt sich auch aus dem Coulombgesetz

3

Kraftbild in der Antike

Gegenstände kommen zur Ruhe, wenn keine äußeren Kräfte mehr wirken.

Entspricht unserer alltägliche ErfahrungAutos halten an, wenn man den Fuß vom Gashebel nimmt

Aristoteles

Bewegung ist ein ProzessKraft proportional Geschwindigkeit

0v0v=⇒=

Allerdings ist die tatsächliche Ursache die Reibung

Was ist Reibung?

≈F

F

4

Geistesblitz

5

Von Galilei zu NewtonEine Änderung der Fragestellung

Eine gradlinig gradförmige Bewegung einer Masse M mit konstanter Geschwindigkeit bedarf keiner Ursache, sondern geht aus sich heraus immer weiter

Trägheitsprinzip

Um die Geschwindigkeit einer Masse zu verändern, muss auf den Körper eine Kraft wirkenSchwerkraft, Federkraft, elektrische Kräfte, magnetische Kräfte, Muskelkraft

Fragestellung in der Dynamik

Was ist die Ursache der Beschleunigung?

:

Der Zustand der Ruhe ist ein Spezialfall der gradlinig gleichförmigen Bewegung.

Galileo Galilei1564-1642

Issac Newton1643-1724

Fragestellung in der KinematikWie bewegt sich ein Körper?Masse des Körpers spielt keine Rolle Beschleunigung vorgegeben

6

Von Galilei zu Newton

Der Kraftbegriff ist eines der fundamentalen Konzepte der Physik

Beobachtungz.B. Verformung einer Federwaage oder

Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers (Beschleunigung)

Alltägliche ErfahrungKörper widersetzen sich einer solchen Änderung (Trägheit, träge Masse)

z.B. Abbremsen eines Kreuzfahrtschiffes

7

Definition Masseaus dem Urkilogramm

Masse des unbekannten Körpers

?? v

v: Urkg

UrKgmm =

UrKgm?m

UrKgm?m

UrKgv?v

Feder

Wie kann man die Masse eines Körpers bestimmen?

Vergleich mit einem Standard (Urkilogramm)

Gespannte Feder setzt Massen in Bewegung

Messung der Geschwindigkeiten

8

Erstes Newtonsches Axiom

Fr

Eine Kraft F, die auf ein Standardkilogramm eine Beschleunigung

von 1 m/s² ausübt, definieren wir als 1 Newton (N=kg*m/s²)

Die Einheit der Kraft ist das Newton

Kraft ist ein VEKTOR

Definition der Krafteinheit:Trial and Error Verfahren

Eine Kraft auf einen Körper verursacht eine Änderung des Bewegungszustandes

(Beschleunigung)

9

Nah- und Fernwirkung

Kraftwirkung wird durch Kontakt hervorgerufen

Kraftwirkung wird durch die Schwerkraft hervorgerufen

ohne Kontakt von Körper und Verursacher

wirkt auch im leeren Raumanziehende bzwabstoßende Magnete

Kraft ist ebenfalls eine Vektorgröße

gKraftwirkung wird durch magnetische Eigenschaften des Eisenstabes hervorgerufen

ODER AUCH

10

GrößenordnungenNavchtrag Kinematik: Beschleunigungen

11

GrößenordnungenKräfte

12

GrößenordnungenKräfte

13

Superposition von Kräften

Messinstrument um Betrag einer Kraft zu messen

Schub Zug

Darstellung der Kraft durch Vektor

Vektorpfeil gibt Richtung und Betrag an

Länge des Vektors gibt die Größenordnung der Kraft an

Je länger der Vektor desto größer die Kraft

Greifen zwei oder mehr Kräfte (F1, F2) an einen Köper an, so ist die Wirkung so, als

wenn eine Kraft R angreift, die der Vektorsumme von F1+F2 entspricht

SUPERPOSITIONSPRINZIP

21 FFRrrr

+=

14

Vektorkomponenten

Zerlegung einer Kraft in Komponentenentlang senkrecht zueinander stehender Achsen

Θ=

Θ=

sin

cos

FF

FF

y

x

FFF yx

rrr=+

∑ ∑∑

∑

= ==

=

===

=++++=

N

i

N

izzyy

N

ixx

N

iiN

iiiFRFRFR

FFFFFR

1 11

1321

, ,

...

rrrrrr

rrrrrrAllgemein

resultierende Kraft R ist Summe aller Einzelkräfte Fi

gilt auch für die Komponenten Rx, Ry, Rz

15

Eishockey Puck

Wirken auf einen Körper Kräfte, deren Vektorsumme NULL ist, verhält er sich so, als würden keine Kräfte wirken

Wirken auf einen ruhenden Körper ein einzelne Kraft, dann beschleunigt er in Richtung der angreifenden Kraft

16

MotoraufhängungKräftegleichgewicht ΣF=0

Θ

3T

1T2T

VereinfachungGewicht der Seile wird vernachlässigt

klein gegenüber Gewicht des Motors

1T

w

Θsin3T

°45cos3T

Θ

( )( ) 0sin0

0cos0

13

23

=−+Θ⇒=

=−+Θ⇒=

∑∑

TTF

TTF

y

xKräftegleichgewicht

wgmT Motor ==1

x

wT

wwTT

wTT

=

Θ=ΘΘ

=Θ=

Θ=

Θ=

1

32

13

cotsincoscos

sinsinZugkräfte

Kräftediagramme

w: Gewicht des Motors

17

Vektoraddition von Kräften

°43°37

N 351 =Fr

N 502 =Fr

x

y−

11,1

11,1

cos

sin

Θ=

Θ=

FF

FF

y

xr

r

22,2

22,2

cos

sin

Θ=

Θ=

FF

FF

y

xr

r

18

Vektoraddition von Kräften

°43°37

N 351 =Fr

N 351 =Fr

x

y−

11,1

11,1

cos

sin

Θ=

Θ=

FF

FF

y

xr

r

22,2

22,2

cos

sin

Θ=

Θ=

FF

FF

y

xr

r

xF ,2

yF ,2

2Θ

2Fr

xF ,1

yF ,1

1Θ

1Fr

( )( ) N 5.2547-sin N 35

N 23.947-cos N 35

,1

,1

−=°=

=°=

y

x

F

Fr

r

( )( ) N 9.39127- sin N 50

N 1.30127- cos N 50

,2

,2

−=°=

−=°=

y

x

F

Fr

r

19

Vektoraddition von Kräftenstatt vieler Einzelkräfte Reduzierung auf einen resultierenden Kraftvektor

°43°37

N 351 =Fr

N 502 =Fr

x

y−

11,1

11,1

cos

sin

Θ=

Θ=

FF

FF

y

xr

r

22,2

22,2

cos

sin

Θ=

Θ=

FF

FF

y

xr

r

N 5.25

N 23.9

,1

,1

−=

=

y

x

F

Fr

r

N 9.39

N 1.30

,2

,2

−=

−=

y

x

F

Fr

r

xF ,1

yF ,1

1Fr

yF ,2

2Fr

°−==Θ

=+=

−=−−=

−=−=

− 4.95tan

N 7.65

N 65.4N 39.9N 5.25N 2.6 N 1.30N9.23

,

,1res

2,

2,

,

,

resx

resy

resyresxres

resy

resx

FF

FFF

FF

resΘ

resxF ,

resyF ,

resFr

neuer resultierender

Kraftvektor, der die Bewegung

eindeutig beschreibt

20

Newton Schaukel

Testmessung

Betrachtete physikalische Größen

Geschwindigkeit und Masse

Abhängigkeit des Stoßprozesses von diesen beiden Größen

21

Erstes Newtonsches AxiomGeschwindigkeit

a b

21

2211

22112211

vvvv

vvvv

′=

′=

′+′=+mm

mmmmAnsatz

Vermutung 1Geschwindigkeiten werden übertragen

22

Erstes Newtonsches AxiomMasse

a b c

Impuls

vrr mp =Einheit [kg m/s]

Vermutung 2Übertrag ist proportional zur Masse

Wir definieren eine neue Größe

Definition Kraft auf einen Körper

pdtdF rr

=:1

21

2111

22112211

v2vv2v

vvvv

′=

′=

′+′=+mm

mmmm

12 2mAnnahme

=m

23

Erstes Newtonsches AxiomTrägheitsprinzip

Erstes Newtonschen GesetzTrägheits-Formulierung

Ohne Krafteinwirkung von außen (F=0) verharrt ein Massenpunkt

im Zustand der Ruhe (v=0) oder der gleichförmige Bewegung (v=v0) und

wird nicht beschleunigt (a=0).

Trägheitsprinzip

24

Erstes Newtonsches AxiomTrägheitsprinzip

Ruhender Körper auf ebener FlächeTut man nichts verharrt man im Zustand der Ruhe

Wird man aus einer Richtung gestoßen, bewegt man sich in diese Richtung

Körper in Bewegung auf ebener FlächeTut man nichts, bewegt man sich geradeaus

weiterWird man aus einer Richtung gestoßen,

verändert sich die Richtung der Bewegung

25

Inertialsystem

Wichtiger Inhalt des Ersten Newtonschen Axioms ist die Existenz von Inertialsystemen

Beispiel Erde:Beschleunigter Beobachter würde eine Verletzung des ersten Newtonschen Gesetzes feststellen!

DefinitionEin Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem die

Newtons Gesetze gültig sind.

Für jeden Körper, der frei von externen Kräften ist, gibt es ein Bezugssystem, in dem er sich in Ruhe befindet. Dann

existiert auch ein Satz von Bezugssystemen in denen dieser Körper eine konstante Geschwindigkeit hat

oder Alle Körper auf die keine resultierenden Kräfte einwirken, befinden sich in Ruhe oder bewegen sich mit konstanter

Geschwindigkeit

Hinweis: Benzenberg Experiment am Hamburger Michel

26

Zugfahrt eines Skaters

Ist der Skater in Ruhe, behält er seine Position ein, wenn der Zug beschleunigt

Zug und Skater zu Beginn in RuheZug und Skater bewegen sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit

Skater bewegt sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit weiter, wenn der Zug abbremst

27

Zugfahrt eines Skaters

Der Skater behält seine Geschwindigkeit und auch seine Richtung bei, wenn der Zug in eine Kurve fährt

Geschwindigkeit des Zuges ändert sich nicht, aber die Richtung, d.h. hier liegt

eine Beschleunigung vor!siehe auch Kapitel über Drehbewegungen

28

Anwendung von Newton 1

Motorrad so leicht wie möglich!Minimierung der Masse

Antrieb so stark wie möglichMaximierung der Vorwärtsbeschleunigung

Die Suzuki GSX-R 1000 ist stärker und schneller als die Konkurrenz, hat eine brillante Rennstrecken-Performance und keine Schwächen im Alltag. Jedes Detail der GSX-R 1000 demonstriert Leistung pur. Sie ist das stärkste, leichteste und kompakteste Motorrad der

1000cm³ Klasse, das je von Suzuki Motorrad auf die Straße losgelassen wurde.

amF rr=

29

Zweites Newtonsches AxiomAktionsprinzip

dtPdFr

r=

Äußere Kräfte auf einen Körper, die den Impuls P des Körpers ändern, nennen wir die resultierende

Kraft Fres. Betrag und Richtung ist gleich der zeitlichen

Änderung des Impulses

mdtd

dtdmm

dtdF vvv rrrr

+==

ammdtdF rrr

== v

Kraft ist Masse mal BeschleunigungDiese Gleichung gilt nur, wenn

die Masse nicht von der Geschwindigkeit des

Inertialsystems abhängt. Dies stimmt aber nur wenn v<<c. Das

genauere Ergebnis der Relativitätstheorie lautet c²

v²1v)( 0

−=

mm

Die Masse ändert sich nicht

mit der Zeit

Produktregel

30

Zweites Newtonsches AxiomIst das nicht dasselbe wie das 1. Newtonsche Axiom?

dtPdFr

r=

Eine äußere Kraft auf ein Objekt, die den Impuls P ändert, nennen wir Kraft F. Betrag und Richtung

ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses

Unterschied zur Definition der Kraft nach dem Ersten Newtonschen Axiom:

Hier wird nicht eine einzelne Krafteinwirkung auf einen Körper betrachte, sondern eine

resultierende Kraft !

∑∑ ==i

iii

ires mdtdp

dtdF v: rrr

Superpositionsprinzip

DeshalbDie resultierende Kraft ist die Summe aller

äußeren auf einen Körper wirkenden Kräfte

Wichtige neue Information im Vergleich zum Ersten Newtonschen Axiom

Addition von Massen und Vektoraddition von Kräften

31

Impuls-Formulierung des 2. Newtonschen AxiomsOhne Einwirkung von außen bleibt in einem abgeschlossenen

System von Massenpunkten der Gesamtimpuls, das ist die Summe aller Einzelimpulse, konstant

Das ist die Aussage des Impulserhaltungssatz

constmpPii

=== ∑∑ ii vrrr

Der Impulserhaltungssatz ist einer der wichtigsten Erhaltungssätze in der Physik .

Man kennt keinen physikalischen Vorgang, bei dem der Impulssatz verletzt wäre!!!

Zweites Newtonsches Axiom

Das unterscheidet unter anderem

N1 von N2

32

GewichtsproblemeUrkilogramm auf Erde und Mond

Buzz Aldrin, Men from Earth (1969)Our protable life-support backpacks looked simple but they were hard to put on and trickey to operate. On earth the portable life support system and space suit combination weighted 190 pounds, but on the moon itwas ony 30. Combined with my own body weight, that brought me to a total lunar-gravity weight of around60 pounds. One of my tests was to jog away from the lunar module to see how maneuverable an astronaut was on thesurface. I remembered what Issac Newton had taught us two centuries before: Mass and weight are not thesame. I weighted only 60 pounds, but my mass was the same as it was on earth. Inertia was a problem. I hadto plan ahead several steps to bring myself to a stop or to turn without falling

Wichtige UnterscheidungMasse ist nicht gleich dem

Gewicht eines Körpers!

33

Masse vs Gewicht

gmF LgLrr

= gmF RgRrr

=

Vergleich zu Referenz

Balkenwaage

Referenzsystem ist der Boden auf

dem man stehtw

gF

g

g

yynet

Fw

mFw

maF

=

⋅=−

=

0,

Allgemein Kräftegleichgewicht

Masse m eines KörpersMaß für den Impuls eines Objektes

Gewicht w eines KörpersGröße der Gravitationskraft Fg auf den Körper

Federwaage

Eg gmFE

rr=

Skala

y

Bei gleicher Masse ist das Gewicht auf der Erde im Vergleich zum Mond unterschiedlich

Mg gmFM

rr=

34

You can have it in any color as long as it's black (Henry Ford)

1350 kg

Kraft pro Person 300 Newton

²89.0

kg 1350s²

m kg30044aPKW s

mm

F

PKW

M ===

35

Atwoodsche Fallmaschine

1m

2mgm1

gm2

T

T

Beschleunigte Bewegung in diese Richtung

21 mm <

Bestimmung der Zugkraft

36

Atwoodsche Fallmaschine

1m

2mgm1

gm2

T

T

Beschleunigte Bewegung in diese Richtung

TgmamFgmTamF

res

res

−==

−==

22,2

11,1

gmmmma

gmgmamam

12

12

1221

+−

=

−=+

21 mm <

( )

gmmmmT

gmmmmmgmT

gmTgmmmmmam

21

21

12

1211

112

1211

2+

=

+−

+=

−=+−

=

Fahrstuhl

Bestimmung der Zugkraft

gmgm

mmF

mm

res 11.0 8.18.02

54:Beispiel

22

22

2,2

21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅−=

=