1

6b Dynamik

2

Zusammenfassung

Aristoteles: Kräfte verursachen BewegungGalilei: Kräfte verursachen Änderung des Bewegung

maF =

Superposition von Kräften

Rückstoßdüsen space shuttle

Kräfte können sowohl direkt aber auch auf Entfernung übertragen werden

3

Newton Schaukelzweite Annäherung an das Erste Newtonsche Axiom

Betrachtete physikalische Messgrößen

Geschwindigkeit und MasseZiel: Definition einer neuen physikalischen Größe

Betrachte Abhängigkeiten in einem Stoßprozess

4

Erstes Newtonsches AxiomGeschwindigkeitsübertragung bei einem Stoß

a b

2121

21

2121

wenn vvv ,00 ,vv ,v v,v

mm =′=

′→

′′→

Erste Vermutung über den physikalischen VorgangGeschwindigkeiten werden in dieser Wechselwirkung direkt übertragen.

In diesem physikalischen Prozess bleibt die Geschwindigkeit erhalten.

Stoß von Körpern gleicher Masse

vor dem Stoß nach dem Stoß

Ergebnis Experiments 1Bei gleicher Masse sind die auftretenden

Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß identisch.

Notwendiger weiterer Test: Wie sieht es bei ungleichen Massen aus?

5

Erstes Newtonsches AxiomMasseabhängigkeit beim einem Stoß

a b c

Ergebnis Experiment 2Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß ist bei der schweren Masse geringer

( )21

2111

2211

22112211

v2vv2v

v ,00 ,vv ,vv ,v

′=

′→

′→

′′→

mmmm

mmmm

12 2m=m

Stoß von Körpern unterschiedlicher Masse

vor dem Stoß nach dem Stoß

Zweite Vermutung über den physikalischen VorgangÜbertrag der Geschwindigkeit ist gewichtet mit der Masse des Körper

12 2m=m

constm =v

6

Erstes Newtonsches Axiom

Impuls vrr mp =

Wir definieren eine neue physikalische Größe, die dieses Ergebnis charakterisiert

Kraft auf einen Körperals Änderung des ImpulsesRichtung oder Betrag

pdtdF rr

=:1

2211

2121

vv:2 Experiment Ergebniswenn v v:1 Experiment Ergebnis

′===

mmmm

pr

Der Impuls ist ein VEKTORBetrag und Richtung

Zusammenfassung

[ ] [ ]smkgmp == v

gbetrachtunDimensions

7

Definition Masseüber Impuls und Vergleich mit Urkilogramm

Unbekannte Masse bestimmt über die Geschwindigkeit der Körper?

? vv

: UrkgUrKgmm =

UrKgm?m

UrKgm?m

UrKgv?v

Feder

Wie kann man die Masse eines Körpers bestimmen?

Vergleich mit einem Standard (Urkilogramm)

gespannte Feder setzt Massen in Bewegung

Messung der Geschwindigkeiten

Aus der Definition des Impulses lässt sich eine Definition der physikalischen Größe Masse herleiten

8

Erstes Newtonsches AxiomTrägheitsprinzip

Newtonschen 1Trägheits-Formulierung

Ohne Krafteinwirkung von außen (F=0) verharrt ein Massenpunkt

im Zustand der Ruhe (v=0) oder er bewegt sich gleichförmig (v=v0)

und wird nicht beschleunigt (a=0).

Trägheitsprinzip

Wo reißt der Faden?a) langsam ziehen, obenb) ruckartig ziehen, unten

9

Erstes Newtonsches AxiomTrägheitsprinzip

Ruhender Körper auf ebener, reibungsfreier FlächeTut man nichts, verharrt man im Zustand der Ruhe.

Wird man aus einer Richtung gestoßen, bewegt man sich genau in diese Richtung.

Körper in Bewegung auf ebener FlächeTut man nichts, bewegt man

sich geradeaus weiter.Wird man aus einer Richtung gestoßen,

verändert sich die Richtung der Bewegung

10

Inertialsysteme

Wichtiger Inhalt des Ersten Newtonschen Axioms ist die Existenz von so genannten Inertialsystemen

DefinitionEin Inertialsystem ist ein Bezugssystem,

in dem Newtons Gesetze gültig sind.

Für jeden Körper, der frei von externen Kräften ist, gibt es einBezugssystem, in dem er sich in Ruhe befindet. Dann existiert auch

ein Satz von Bezugssystemen in denen dieser Körper eine konstante Geschwindigkeit hat

oder Alle Körper auf die keine resultierenden Kräfte

einwirken, befinden sich in Ruhe oder bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit

11

Inertialsysteme

Beispiel Erde:Beschleunigter Beobachter würde eine Verletzung des ersten Newtonschen Gesetzes feststellen!

Hinweis: Benzenberg Experiment am Hamburger Michel

Beobachter auf dem Karussell beobachtet eine Verletzung der Newtonschen Gesetze

Dieser Beobachter stellt keine Verletzung der

Newtonschen Gesetze fest

Person auf Karussell wirft Ball in die Höhe. Erwartete Bahnkurve nach der Kinematik ist eine Parabel.

12

Zugfahrt eines Skaters

Ist der Skater in Ruhe, behält er seine Position ein, wenn der Zug beschleunigt

Zug und Skater zu Beginn in RuheZug und Skater bewegen sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit

Skater bewegt sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit weiter, wenn der Zug abbremst

Zug setzt sich in Bewegung

Zug bremst ab

Ohne Kraft keine Änderung der Geschwindigkeit

13

Zugfahrt eines Skaters

Der Skater behält seine Geschwindigkeit und auch seine Richtung bei, wenn der Zug in eine Kurve fährt

Geschwindigkeit des Zuges ändert sich nicht, aber die Richtung, d.h.

hier liegt eine Beschleunigung vor!siehe auch Kapitel über Drehbewegungen

Ohne Kraft keine Änderung der Richtung der Geschwindigkeit

Skater vollführt gleichförmig,gradlinige Bewegung

14

Zweites Newtonsches AxiomAktionsprinzip

dtPdFr

r=

Äußere Kräfte auf einen Körper, die den Impuls P des Körpers ändern, nennen wir die resultierende Kraft Fres.

Betrag und Richtung ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses

mdtd

dtdmm

dtdF vvv rrrr

+==

ammdtdF rrr

== v

Kraft ist Masse mal Beschleunigung

Die Masse ändert sich nicht

mit der Zeit

Produktregel

15

Anwendung von Newton 1

Motorrad so leicht wie möglich!Minimierung der Masse

Antrieb so stark wie möglichMaximierung der Vorwärtsbeschleunigung

Die Suzuki GSX-R 1000 ist stärker und schneller als die Konkurrenz, hat eine brillante Rennstrecken-Performance und keine Schwächen im Alltag. Jedes Detail der GSX-R 1000 demonstriert Leistung pur. Sie ist das stärkste, leichteste und kompakteste Motorrad der

1000cm³ Klasse, das je von Suzuki Motorrad auf die Straße losgelassen wurde.

amF rr=

16

You can have it in any color as long as it's black (Henry Ford)

1350 kg

Kraft pro Person FM= 300 Newton

²89.0

kg 1350s²

m kg30044

PKW sm

mFaPKW

M ===

17

Zweites Newtonsches AxiomAktionsprinzip

mdtd

dtdmF vv rrr

+=

Diese Gleichung gilt nur, wenn die Masse nicht von der Geschwindigkeit des Inertialsystems abhängt. Dies stimmt aber nur

wenn v sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist. Das genauere Ergebnis der Relativitätstheorie lautet

c²v²1

v)( 0

−=

mm

Die Masse ändert sich nicht mit der Zeit

18

Zweites Newtonsches AxiomIst das nicht dasselbe wie das Newton 1?

dtPdFr

r=

Eine äußere Kraft auf ein Objekt, die den Impuls P ändert, nennen wir Kraft F. Betrag und Richtung

ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses

Unterschied zur Definition der Kraft in Newton 1:Hier wird nicht eine EINZELNE Krafteinwirkung auf

einen Körper betrachtet, sondern RESULTIERENDE Kraft.

∑∑ ==i

iii

ires mdtdp

dtdF v: rrr

dahinter versteckt sich wieder das

Superpositionsprinzip

DeshalbDie resultierende Kraft ist die Summe aller

äußeren auf einen Körper wirkenden Kräfte

Wichtige neue Information im Vergleich zu Newton 1Addition von Massen und Vektoraddition von Kräften

19

Impuls-Formulierung des 2. Newtonschen AxiomsOhne Einwirkung von außen bleibt in einem abgeschlossenen

System von Massenpunkten der Gesamtimpuls, das ist die Summe aller Einzelimpulse, konstant

Das ist die Aussage des Impulserhaltungssatz

constmpPii

=== ∑∑ ii vrrr

Der Impulserhaltungssatz ist einer der wichtigsten Erhaltungssätze in der Physik.

Man kennt KEINEN physikalischen Vorgang, bei dem der Impulssatz verletzt wäre !!!

Newton 2

Das unterscheidet unter anderem

N1 von N2

20

Masse, Trägheit und Gewicht

Messung des Gewichts auf der Erde

Messung des Gewichts auf der Mond

Gewicht ist eine Eigenschaft, die durch die Schwerkraft hervorgerufen wird

... und Trägheit?

21

Gewichtsprobleme

Buzz Aldrin, Men from Earth (1969)Our protable life-support backpacks looked simple but they were hard to put on and trickey to operate. On earth the portable life support system and space suit combination weighted 190 pounds, but on the moon itwas ony 30. Combined with my own body weight, that brought me to a total lunar-gravity weight of around60 pounds. One of my tests was to jog away from the lunar module to see how maneuverable an astronaut was on thesurface. I remembered what Issac Newton had taught us two centuries before: Mass and weight are not thesame. I weighted only 60 pounds, but my mass was the same as it was on earth. Inertia was a problem. I hadto plan ahead several steps to bring myself to a stop or to turn without falling.

Wichtige UnterscheidungMasse ist nicht gleich dem

Gewicht eines Körpers!

22

gmF LgLrr

= gmF RgRrr

=

Vergleich zu Referenz

Balkenwaage

w

gF

g

g

yynet

Fw

mFw

maF

=

⋅=−

=

0,

Allgemein Kräftegleichgewicht

Masse m eines KörpersMaß für den Impuls eines Objektes

Gewicht w eines KörpersGröße der Gravitationskraft Fg auf den Körper

Federwaage

Erdeg gmFErde

rr=

Skala

y

Mondg gmFMond

rr=

Masse, Trägheit und Gewicht

unterscheidbar, ob man sich auf der Erde oder dem Mond befindet

ununterscheidbar, ob man sich auf der Erde oder dem Mond befindet

Vergleichsexperiment

23

Atwoodsche Fallmaschine

Am

BmgmA

gmB

T

T

Beschleunigte Bewegung in diese Richtung

BA mmAdBo

<....

Beispiel Fahrstuhl

24

Atwoodsche Fallmaschine

Am

BmgmA

gmB

T

T

Beschleunigungin diese Richtung

TgmamF BBresB −==,

( ) ( )

gmmmma

gmmgmgmammamamFF

BA

AB

ABABBABA

resBresA

+−

=

−=−=+=+

+ ,,

BA mm <

( )

gmmmmT

gmm

mmmgmT

gmTgmmmmmamF

BA

BA

BA

ABAA

ABA

ABAAresA

+=

+−

+=

−=+−

==

2

,

Bestimmung der Zugkraft

gmgm

mmF

mm

BB

BBresB

BA

11.0 8.18.02

54:Beispiel

2

, =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅−=

=

Bilde den Ausdruck

auflösen

Vorteil: Masse B wird mit nur noch 0.1 g beschleunigt

gmTamF AAresA −==,

25

Pas de DeuxSchritt zu Zweit

Normalkraft(Boden)

Reibung

Reibung

Gravitation

Schwerpunkt X

Gravitation

Normalkraft (Boden)

Reibung (Hände,Boden)

Kräfte, die an die Ballerina angreifen…. die wir aber nach kennen lernen und charakterisieren müssen

Auch ja, ohne ihren Partner würde die Tänzerin umfallen!oder anders gefragt: In wieweit muss man die Umgebung berücksichtigen?

26

Neue Begriffe

Normalkraft

Die Richtung der Normalkraft ist stets senkrecht zur Auflagefläche

Kräftediagramm beim Skifahren

27

Neue Begriffe

Reibung

Wo Münte recht hat

"Reibung erzeugt Hitze"Franz Müntefering 18.10.2008

Erwünschte und unerwünschte Reibungseffekte beim AutoLuftreibung verlangsamt

den freien Fall

Reibung wirkt immer der angreifenden Kraft entgegen!

28

Aquaplaning

Abdruck eines Autoreifens bei nasser FahrbahnDie Kanäle in den Reifen sammeln das Wasser und leiten es weg von den Regionen,

an denen der Reifen Kontakt mit der Strasse hat. Dadurch wird der statische Reibungskontakt zwischen Autoreifen und Straßenbelag aufrechterhalten.

29

Devil‘s TowerWyoming

Ausnutzung statischer Reibung zwischen Händen und Füßen und dem vertikalen verlaufendem Felskanal um das eigene Gewicht nach oben zu bewegen.Hände und Füße werden horizontal gegen den Fels gedrückt, um eine ausreichend große Normalkraft zu erzeugen, die ausreicht, um das Körpergewicht zu halten.

30

NormalkraftDefinition

mgFF Nres −=

mgFN =⇒

( )HandNres FmgFF +−=

N 200kg 4.20 ==⇒= mgFm N

N 502N 50 =⇒= resHand FF

( ) mgFFF HandNres −+=

N 150N 50 =⇒−= resHand FF

0=resF

Normalkraft wirkt senkrecht zur Oberfläche auf der der Körper aufliegt

Kräftegleichgewicht

Hand auflegen

Kiste hochziehen

31

NormalkraftGewichtskraft auf schiefer Ebene

gmFgrr

=

NFr

Normalkraft wirkt stets nur senkrecht zur Oberfläche

mgF

mamgF

maFF

maF

N

yN

ygN

yyres

=

+=

=−

=,

y

ay z.B. Fahrstuhl setzt sich nach oben in Bewegung

ay ohne zusätzliche Beschleunigung

( )gN FFrr

<hier Normalkraft wirkt der y-Komponente der Gravitationskraft entgegen

Ebene geneigt

32

Lt. Col. John Strapp

Reibung des Raketenwagens auf den Schienen 600 Newton

FRFT

N1012.9s²

m kg600s²m9.81*46.2 2000kg

5⋅=

+⋅=

+=−=

=

T

T

RRWagenRWagenT

RTres

RWagen

resRWagen

F

F

FamFFFF

mFa

33

Reibung schematisch

Statische Reibung

Dynamische Reibung

F

FR

FR=μFN

keine Bewegung Gleitbewegung

Statische Reibung übersteigt Gleitreibung

34

Westernketchup

Anfangsgeschwindigkeit 3 m/s

Masse 500g

Strecke bis zum Stillstand 1m

( )

( ) ( ) 2

22

0

20

2

020

2

sm4.5

m 0.0m 1.0 2sm3.0

sm0.0

2vv

2vv

−=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=−−

=

−+=

xxa

xxaBeschleunigung durch Reibung

( ) N 2.25s

mkg2.25sm4.5-kg 0.5 22 −=

⋅−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

==∑

R

Rx

F

maFF

Reibungskraft

RF

w

η

35

ReibungWie groß ist der kritische Winkel?

0=++ gNs FFfrrr

Θ=

=Θ−+

−

sin

0sin0

Achsex

mgf

mgf

s

sr

r

Nss Ff μ=max,

aftReibungskr

Θ==Θ−+

−

cos0cos0

Achsey

mgFmgF

N

N

Θ=ΘΘ

== tancossin

mgmg

Ff

N

ssμ

Stellt man (in etwa) diesem Winkel ein, fängt das Geldstück an zu rutschen

oder: Über den kritischen Winkel kann man den Koeffizienten der statischen Reibung bestimmen

Kräftediagramm

KräftezerlegungKoordinatensystem geeignet wählen

Vermutung: Reibungskraft ist Bruchteil der Normalkraft

μS ist ein empirischer Faktor, die den Effekt der statischen

Reibung charakterisiert

GleichgewichtMünze bleibt liegen

36

Arten der ReibungUnterscheidung statisch und dynamisch

Man unterscheidet zwischen statischer Haftrebung und dynamischer Gleitreibung

Nf HH μ≤ μH ist der statischer Reibungskoeffizient

Nf GG μ≤ μG ist der dynamische Reibungskoeffizient

μH, μG können auch kleinere Werte annehmenIm Allgemeinen ist der Haftreibungskoeffizient größer als der Gleitreibungskoeffizient

System μH μG

Holz auf Holz 0.5 0.3Gewachstes Holz auf nassem Schnee 0.14 0.10Metall auf Holz 10.5 0.3

Stahl auf Stahl (trocken) 0,6 0,3Stahl auf Stahl (geölt) 0,05 0,03

Schuhe auf Holz 0.9 0.7Schuhe auf Eis 0.1 0,05Eis auf Eis 0.1 0.03

Reifen auf trockener Strasse 0.7-0.9Reifen auf nasser Strasse 0.1-0.8Reifen auf vereister Strasse 0.1-0.4

Haftreibungszahl

Haft- und Gleichreibungszahl sind stets kleiner als EINS und dimensionslos

Gleitreibungszahl

37

Luftreibung

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

≈⇒=

=

m skg

ms

m1

sm kg

v

v 6

vv 6

v

2rF

rF

FrF

DF

lL

lL

lL

lL

ll

L

η

πη

ηπ rrrr

rr

Viskosität

Stokes-Reibung

Viskosität ist eine Eigenschaft der Flüssigkeit

Laminare Strömung

38

Luftreibung

[ ] [ ]

ächeAngriffsfl :AMediums des Dichte:

vv21v

21

m kgms

skgm

v²

²v

2222

2

2

2

ρ

πρρ tt

Ltwtwt

L

tL

t

tt

L

FrcAcF

FD

DF

≈⇒==

⇓

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

rr

rr

Turbulente Strömung

39

Luftreibung

mmerReynoldsnu:)dr Durchmessemit Kugelfür gilt (

v

e

e

R

dRη

ρ=

Reynoldszahl unterscheidet zwischen laminarer und turbulenter Strömung

Strömung laminare1≈eR

1000)(typisch Strömung turbulente

1

>

>>

e

e

R

R

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

sm

kgs mm

m³kg v

ηρ dRe dimensionslos