1

3a KinematikBewegungen in einer Dimension

2

Illusion einer Bewegung

http://www.ritsumei.ac.jp/~akitaoka/index-e.html

3

IllusionenIst Mond am Horizont größer als im Zenit?

Alles also nur eine große Täuschung !

4

Eindimensionale Bewegung

Einschränkungen

Wir betrachten zunächst nur Bewegungen entlang einer geraden Linie. Diese Linie kann horizontal (Auto auf Strasse )

vertikal (Fall eines Steines) oder auch schräg (Auto am Berg) sein.

Die Bewegung eines Objektes wird durch Kräfte verursacht. Diese Ursache für die Bewegung als auch die für die Änderung wird zunächst vernachlässigt.

Wir betrachten die Bewegung von Teilchen (z.B. Elektron) die punktförmig sind (Massenpunkte) oder von ausgedehnten Objekten, die sich bewegen

als wären sie Massenpunkte.

Einteilung der MechanikA) Kinematik: Beschreibung, wie sich Körper bewegenB) Dynamik: Welchen Einfluss haben Kräfte auf die Bewegung

5

Verschiebung und Abstand

Zur Beschreibung der Bewegung eines Objektes ist es notwendig seine Position in

Relation zu einem Referenzsystem oder Referenzpunkt zu kennen. In der Regel ist dies die Erde. Man kann aber auch

andere Referenzsysteme wählen(z.B. Flugzeug).

Man definiert Translation (Verschiebung) als die Änderung der Position eines

Objektes.

SI Einheit der Translation ist das Meter (m)

Symbolisch:

wobei x1: Anfangsposition x2: Endposition Δ: Allgemein Änderung einer Größe (hier des Ortes)

Die Translation ist ein Vektor.

12 xxx −=Δ

Translation: Δx=-10m

Abstand die die Größenordnung oder die Größe des Abstandes.

Mit Größenordnung ist gemeint eine Zahl mit einer Einheit.

Der Abstand hat keine Richtung und somit auch kein Vorzeichen. Der Abstand kann sehr viel größer als die Verschiebung

dr

6

Mittlere Geschwindigkeit

tx

ttxx

avg ΔΔ

=−−

=12

12v

Zeit / s

1 2 3 5

Mittlere Geschwindigkeit vavg ist die Steigung der roten

Linie, d.h. 0.5 m/s

x(t)Mittlere Geschwindigkeit

und Ortsverschiebung haben stets das gleiche Vorzeichen,

da t positiv ist.

4 6 7

1

2

3

Posi

tion

/ m

Einheit der Geschwindigkeit[v]=[m/s]

Schwimmer mit der höchsten Durchschnittsgeschwindigkeit gewinnt !

Definitionmittlere Geschwindigkeit

7

ThrustSSC 1997British duo sets first supersonic land-speed record

1 Meile

m 1609=Δx

s 740.4=Δ hint

s 695.4=Δ zurückt

sm 5.339

s 740.4m 1609v +==hin

sm 7.342

s 695.4m 1609v −==zurück

hkm 1228v

sm 1.341

2sm 7.342

sm 5.339

v

=

=+

=+

WR

zurückhin

8

Momentane Geschwindigkeit

dtdx

tx

t=

ΔΔ

=→Δ 0

limv

Zeit / s

1 2 3 5

Die Geschwindigkeit vist die Steigung der roten Linie zu einer bestimmten Zeit t

x(t)

4 6 7

1

2

3

Posi

tion

/ m

t1 t2

Die Geschwindigkeit ist eine Vektorgröße,

d.h. Betrag und Richtung

( )2z

2y

2x

zyx

vvvv

v,v,vv

++=

=r

rvr

Betrag des Vektors

Vektor

9

Mittlere Beschleunigung

tttavg ΔΔ

=−−

=vvva

12

12

Zeit / s

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

Gesc

hw

ind

igk

eit

/ m

/s

Mittlere Beschleunigung aavg ist die Steigung der roten

Linie, d.h. 0.42 m/s²

v(t)

Einheit [m/s²]

10

Momentane Beschleunigung

2

2

0

xxvvlimadtd

dtd

dtd

dtd

tt=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

ΔΔ

=→Δ

Zeit / s

1 2 3 5

Die Beschleunigung aist die Steigung der roten Linie zu einer bestimmten Zeit t

v(t)

4 6 7

1

2

3

Gesc

hw

ind

igk

eit

/ m

/s

t1 t2

Die Beschleunigung ist ebenfalls eine

Vektorgröße

( )222zyx

zyx

aaaa

,a,aaa

++=

=r

rar

11

Spezialfall: Konstante Beschleunigung

t

x

t

v

t

a

x(t)

v(t)

Steigung ändert sich

dx/dt

Steigung konstant

dv/dt= konst.

a(t)

x0

v0

keine Steigung da/dt= 0

In diesem Fall kann man die Bewegung eines Teilchens wie folgt beschreiben:

Der Einfachheit halber beginnt das Experiment bei t=0

0v-v 0

t-aa avg ==

at+= 0vv

a=vdtd

0vv0 =⇒=t

0vv 0

t-x-x

avg ==

txx vavg0 +=

avgxdtd v=

12

Spezialfall: Konstante Beschleunigung

atxdtd

+= 0v

at+= 0v v:I Gleichung

00 xxt =⇒=

txx avg0 v+=

00 v2vvv)(v21v −=⇒+= avgavg

einsetzen in

at+=− 00avg vv2v

at21vv 0avg +=

für v einsetzen in

200

200

21vxx

21vxx

:IIGleichung

att

att

+=−

++=

Check it out

In den beiden Gleichungen werden 5 Variablen verwendet:

t, x-x0, v, v0, ajeweils 4 in jeder Gleichung

13

Spezialfall: Konstante BeschleunigungZeitinformation t nicht vorhanden

t, x, v, a, x0, v0

at+= 0v v(I)

)(2vvIII Gleichung

020

2 xxa −+=

200 2

1v(II) attx x ++=

at )v-v( 0=a

aaxx ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= 2

200

00)v-(v

21v-vv

aaxx

20

220

000

v2vv-v21v-vv +

++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++= 2

022

00 00v

21vv-v

21v-vv1

axx

axx

2vv 22

00

−+=

Zeit t

auflösen nach t

ordnen

14

Spezialfall: Konstante BeschleunigungWert der Beschleunigung a nicht vorhanden

t, x, v, a, x0, v0

at+= 0vv200 2

1v attxx ++=

ta )v-v( 0=t

ttxx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++= 0

00v-v

21v

Zeit t ( ) ttxttxx 000000 v-vt21vv-v

21v ++=++=

( )txx 00 v-v21

IV Gleichung

+=

auflösen nach a

15

Spezialfall: Konstante BeschleunigungAnfangsgeschwindigkeit v0 unbekannt

t, x, v, a, x0, v0

at+= 0vv200 2

1v attxx ++=

at-vv0 =2

0 21)-v( attatxx ++=

Zeit t 22

0 21-v atattxx ++=

20 2

1v

V Gleichung

att-xx +=

auflösen nach v0

16

Spezialfall: Konstante BeschleunigungZusammenfassung

Insgesamt ergeben sich fünf Gleichungen, die man im Fall einer konstanten Beschleunigung verwenden kann

at+= 0vv

200 2

1v attxx ++=

Zeit t

20 2

1-v attxx +=

)(2vv 020

2 xxa −+=

( )txx 00 v-v21

+=

)( 0xx −

v

t

a

0v

Nicht benötigte VariableGleichung

Gleichungen gelten nur bei konstanter Beschleunigung!

17

Schiefe EbeneWie viel Zeit vergeht beim Abrollen eines Balles, wenn man gleiche Abstände wählt?

at+= 0vv

200 2

1vxx att ++=

( )

xat

tx

at

atx

xxx

Δ=Δ

≈Δ⇓

+=

++=

⇓ ===

²

0v2100

1

21

)(0v,0

1

00

xat

tx

taatatxx

at

attxx

Δ=Δ

≈Δ⇓

=+=−

↓=

++=

32

²

² 23²

21²

v

21v

12

1

2112

Position 1 nach 2Position 1Anfangsbedingung

18

Schiefe Ebene

( )

xat

tx

atatatatatatxx

atatatt

attatatxxx

attxx

xx

Δ≈Δ

≈Δ⇓

=++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=−

==⇒+=

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=−

++=

⇓ =

52

²

²25

21²²

21²

21

²21 xund vvv

21v²

21²

21v

2223

1112

22123

2223

3

Wie viel Zeit vergeht beim Abrollen eines Balles, wenn man gleiche Abstände wählt?

at+= 0vv

200 2

1vxx att ++=Position 2 nach 3

Zeitintervalle werden kürzerKugel beschleunigt

19

Schiefe EbeneWo muss man Marken anbringen, wenn man gleiche Zeiten wählt?

...

Einheiten 9293

21x

Einheiten 42221x

Einheiten 1211

21x

0v0xingungAnfangsbed

23s

22s

21s

0

0

≈==

≈==

≈==

==

aa

aa

aa

Beispielsweise jede Sekunde

200 2

1vxx att ++=

20

Baseball pitcher

Fans, researchers, historians and even the players argue all the time about who was the fastest pitcher of all-time. The most widely quotedresponse is Nolan Ryan, whose fastball was "officially" clocked by theGuinness Book of World Records at 100.9 miles per hour in a gameplayed on August 20, 1974 versus the Chicago White Sox. A record

that's still included in the book.

)(2vv 020

2 xxa −+=

21

Baseball pitcher

Fans, researchers, historians and even the players argue all the time about who was the fastest pitcher of all-time. The most widely quotedresponse is Nolan Ryan, whose fastball was "officially" clocked by theGuinness Book of World Records at 100.9 miles per hour in a gameplayed on August 20, 1974 versus the Chicago White Sox. A record

that's still included in the book.

sm1.45

3600sh

milem 1609.34

hmiles9.100

hmiles9.100vBB ===

ga

xva

BB

BB

30

s²m290

m 3.52sm1.45

2v

2

20

2BB

=

=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−

=

)(2vv 020

2 xxa −+=

22

23

Airbag

Autounfall auf einer Landstrasse, d.h. bei einer Geschwindigkeit von 100 km/s.Bei Frontalkollision erfolgt die Abbremsung innerhalb eines Meters (Knautschzone)

Wie schnell muß der Airbag aufgeblasen sein?

sm 28

s 3600m 10100 100

hkm 100v

3

C =⋅

==

Geschwindigkeit des Autos

)(2vv 020

2 xxa −+=

24

Airbag

Autounfall auf einer Landstrasse, d.h. bei einer Geschwindigkeit von 100 km/s.Bei Frontalkollision erfolgt die Abbremsung innerhalb eines Meters (Knautschzone)

Wie schnell muß der Airbag aufgeblasen sein?

sm 28

s 3600m 1000 100

hkm 100vC ===

Geschwindigkeit des Autos

( )

ga

xx

xxa

xxa

S

S

S

S

40s²m392

2msm28

m1

)(2v

0v)(2vv

2

2C

2C

2S

−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

=−⇓

−−=

⇓

=−+=

stark negative Beschleunigung 0.072s

s²m390

sm280v-v

0vvv

CS

cS

=−

−==

⇓

=+=

at

at

S

minimale Aufblaszeit des Airbags

at+= 0vv

typische Werte 50 ms