Physik I und Physik II

Musso: Physik I Teil 12 Gleichgewicht Elast. Seite 1

Tipler-Mosca12. Statisches Gleichgewicht und Elastizität (Static equilibrium and elasticity)12.1 Glechgewichtsbedingungen (Conditions for equilibrium)12.2 Der Schwerpunkt (The center of gravity)12.3 Einige Beispiele für statisches Gleichgewicht (Some examples of static equilibrium)12.4 Kräftepaare (Couples)12.5 Statisches Gleichgewicht in beschleunigten Bezugssystemen (Static equilibrium in an accelerated frame)12.6 Stabilität des Gleichgewichts (Stability of rotational equilibrium)12.7 Unbestimmbare Probleme (Indeterminate problems)12.8 Spannung und Dehnung (Stress and strain)

Universität Salzburg Seite 1 28.11.2006




12.1 Glechgewichtsbedingungen (Conditions for equilibrium)

Kräfte, die die Kabel und Stäbe in einer Konstruktion ausüben, werden elastische Kräfte genannt.Sie sind das Ergebnis leichter Deformationen (Dehnung oder Kompression von massiven Körpern unter mechanischer Spannung, die eine Last tragen).

Gleichgewichtsbedingungen



12.2 Der Schwerpunkt (The center of gravity)

,

beliebiger fester Punkt für i-tes Teilchen

Drehmoment bezüglich :

resultierendes Drehmoment i i g i i i

i i ii i

O

O r F r m g

r m g

τ

τ τ

⇒

= × = × ⇒

= = ×∑ ∑

( ),

cg ,

,

cg Schwerpunkt:

die gesamte Gewichtskraft greift in cg dergestalt an,

daß

Falls Gravitationsfeld homogen über den gesamten Körper ist

g ii

g i g ii

g g i ii i

F

r F r F

g

F F m g mg

τ

τ

= × = ×

⇒

= = = ⇒ =

∑

∑

∑ ∑ ( ) ( )

( )

,

CM CM

CM cg

Annahme dabei: gültig in einem homogenen Gravitationsfeld

i g i i ii i

i i gi

r F r m g

m r g mr g r F

r r

τ

× = × ⇒

= × = × = ×

=

∑ ∑

∑



12.3 Einige Beispiele für statisches Gleichgewicht (Some examples of static equilibrium)

Beispiel 12.1: Balanciert auf der Bohle

, L R

Bohle 3 m, 35 kg, Waagen 0.5 m, Studentin 45 kgTeil a) gesucht Anzeige der Waagen wenn Studentin sich am linken Ende stellt:

aus Gl. 12.1 0 0 0

aus Gl. 12.

i i yi i

L M d m

F F mg F Mg F

= = = =

= ⇒ = ⇒ − + − + =∑ ∑

( )

( ) ( )

( )

, R

R L R L

L

R

22 0 0 bezogen auf Achse 2 0 02

1 1 eingesetzt in 2 2 2 2

1 1 723.5 N2 2

12

i i zi i

L dL d F Mg dmg

dmg dmgF Mg F mg Mg F F mg Mg MgL d L d

dF Mg mgL d

dmgF Mg

τ τ −= ⇒ = ⇒ ⇒ − − + + =

⇒ = − ⇒ = + − ⇒ = + − +− −

⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

= −

∑ ∑

( )

⇒

( )( )

R

61.3 N2

21Teil b) wenn Student am linken Ende 0 0 70 kg2 2 2

L d

L ddmgF Mg m ML d d

=−

−⇒ = ⇒ − = ⇒ = =

−



Besipiel 12.2: Kraft auf den Ellbogen

mögliches Prüfungsbeispiel



Beispiel 12.3: Das Ladentisch

,

Ladenschild mit 20 kg, Ausleger mit 2 m und 4 kg, Draht 1 m über dem Auflagepunkt des Stabes an der Wand befestigt.Gesucht Kraft im Draht, Kraft auf die Wand:

aus Gl. (12.1) 0 0i i xi i

M L m

F F

= = =

= ⇒ =∑ ∑ ,

,

und 0 cos 0 und sin 0

aus Gl. (12.2) 0 0 sin 0 0 2

1 1 1 m mit tan 26.56° 483 Nsin 2 2 m

cos 432

i y x yi

i i zi i

x

F F T F T mg M

LLMg mg LT

T M m g T

F T

θ θ

τ τ θ

θ θθ

θ

g= ⇒ − = + − − =

= ⇒ = ⇒ − − + + = ⇒

⎛ ⎞= + ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

∑

∑ ∑

( ) ( )A,W

N1 1sin 19.6 N2 2

Kraft auf die Wand: 432 N 19.6 N

y

x y

F mg Mg T mg Mg M m g mg

F e e

θ ⎛ ⎞= + − = + − + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

= − −



Beispiel 12.4: Mit dem Rad über eine Kante

mögliches Prüfungsbeispiel



Beispiel 12.5: Eine angelehnte Leiter

Leiter Länge 5 m, Gewicht 60 N,unteres Ende 3 m von der Wand,gesucht Haftreibungskoeffizient Boden-Leiter

gF= =

, ,

, 1 s 1 s n 1 s n

, n n 1 s

,

,

aus Kräftediagramm und Gl. (12.1): 0 bzw. 0 und 0

0

0

aus Gl. (12.2) 0 0

i i xi i i

i xi

i yi

i i zi i

i

F F

F F f F F F F

F F mg F mg F mg

μ μ

μ

τ τ

τ

i yF= = =

⇒ = − = − = ⇒ =

⇒ = − = ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

⇒

∑ ∑ ∑

∑

∑

∑ ∑

( ) ( )1 1

11 s s

1.5 m4.0 m 1.5 m 0 22.5 N4.0 m

22.5 N aus 0.375 60 N

zi

F mg F mg

FF mgmg

μ μ

= ⋅ − ⋅ = ⇒ = =

⇒ = ⇒ = = =

∑



12.4 Kräftepaare (Couples)Zwei gleich große, aber entgegengesetzte Kräfte von dem Betrag

bilden ein Kräftepaar. Das Drehmoment, das von den Kräftepaar erzeugt wird, besitzt bezüglich jedes Punkts im Raum den gleichen Wert

F

D F

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

1 1 2 2 2 1 1 1 2 1

1 2 1 1 2 1 1 2 1

1 2

:

mit

sin sin 90°

da sin 90° sin90°cos cos90°sin cos

mit cos

r F r F F F r F r F

r r F r r F r r F

r r D

τ τ

τ τ β

φ φ φ φ

φ τ

= × + × ⇒ = − ⇒ = × + × − ⇒

φ= − × = ⇒ = − = − −

− = − = ⇒

− = ⇒ =

⇒

1D F

Zwei betragsmäßig ungleiche, antiparallele Kräfte können durch eine einzelne Kraft ersetzt werden, die gleich der resultierenden, am Schwerpunkt angreifenden Kraft ist, plus einem Kräftepaar, das dasselbe Drehmoment bezüglich des Schwerpunkts verursacht wie die ursprüngliche Kräfte.

Da die resultierende Kraft eines Kräftepaars null ist, lässt sich ein Kräftepaar nur von einem zweiten Kräftepaar ausgleichen, das ein gleich großes, aber entgegengesetztesDrehmoment bewirkt.



12.5 Statisches Gleichgewicht in beschleunigten Bezugssystemen (Static equilibrium in an accelerated frame)

Beispiel 12.6: Sichere Ladung

CM CM

CM,

Gleichgewichtsbedingungen für das statische Gleichgewicht in einem beschleunigten Bezugssystem:

wobei Beschleunigung des Massenmittelpunkts = Beschleunigung des Bezugssystemsii

i

F ma a

τ

=∑0 d.h. die Summe aller Drehmomente bezüglich des Massenmittelpunkts muss null sein

siehe auch Teil 9.6i

=∑

Gleichförmige Kiste im Laderaum eines Lieferwagens:Kiste mit Masse , Höhe , quadratische Grundfläche mit Kantenlänge , gesucht maximale Beschleunigung bevor Kiste umfällt (kein Rutschen bevor):

aus

M hL

CM

, n n

, s CM

CM, CM, , n s

Kräftediagramm und Gleichgewichtsbedingung

-Komponente: 0 0

-Komponente: 0

aus 0 0 0 2

maximal auszugl

ii

i yi

i xi

i i zi i

F ma

y F Mg F F Mg

x F f Ma

hd F fτ τ

= ⇒

= ⇒ − + = ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ − = ⇒

∑

∑

∑

∑ ∑

n

n s CM CM

eichende Drehmoment von wenn 2

2 2

LF d

L h LF f LMg hMa a gh

= ⇒

= ⇒ = ⇒ =



12.6 Stabilität des Gleichgewichts (Stability of rotational equilibrium)

stabiles labiles indifferentes Gleichgewicht Die Stabilität einer Gleichgewichtslage ist eine relative Größe

Die Stabilität eines Systems läßt sich erhöhen, indem man entwederden Schwerpunkt tiefer legt oder die Grundfläche vergrößert.

Liegt der Schwerpunkt unterhalb des Drehpunkts, dann ist das Gleichgewicht stabil

Laufen lernen



12.7 Unbestimmbare Probleme (Indeterminate problems)

12.8 Spannung und Dehnung (Stress and strain)

Bislang Gleichgewichtsbetrachtungen für starre Körper,aber reale Körper lassen sich verformen mehr Informationen notwendig für Gleichgewichtsberechnungen

⇒

Spannungs-Dehnungs-Diagramm eines typischen Metallstabs

Metallstab mit Zugkraft an dessenbeiden Enden.relative Längenänderung oder Dehnung (Strain):

Spannung (stress): die auf die Einheitsflächebezogene Kraft:

F

LL

FA

ε

σ

Δ=

=

Nimmt der Körper seine ursprüngliche Form wieder an, nachdem die Kräfte nicht mehr wirken, dann nennt man den Körper elastich.



BizepsmuskelA / cm2 12F / N 300σ / N m-1 250000

Hooke'sches Gesetz: linearer Zusammenhang zwischen derSpannung und der Dehnung.Das Verhältnis von Spannung zu Dehnung im Proportionalitätsbereich

ist eine materialabhängige Konstante genannt

Dehnun

E σε

=

gsmodul, Elastizitätsmodul, -Modul, im Englischen Young's modulus

Hooke'sches Gesetz:

EY

Eσ ε⇒ =

Druck Zug

Stab komprimiert statt gedehnt wirkende Spannung = Druckspannung

Bei vielen Materialien

Wert der Spannung (Zug, Druck) bei Zerstörung des Materials: Zugfestigkeit bzw. Druckfestigkeit

E E

⇒

=



Eine Zugspannung bewirkt nicht nur eine Längenzunahme in Richtung der wirkenden Kraft,

und gleichzeitig eine Querkontraktion der Dicke des Stabes senkrecht zur Richtung der wirkenden Kraft.

Nach dem

ddΔ

Hooke'schen Gesetz ist proportional zu Proportionalitätskonstante Poisson'sche Zahl

Stab mit quadratischem Querschnitt und Kantenlänge unter Zug- oder Druckbelastung Volumsän

d Ld L

d

μΔ Δ Δ⇒ =

Δ

⇒

( ) ( ) ( )( )

d dL L

−

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

22

2

derung

2 ( ) 2 ( ) 2 ( )

2 2 2 1 2

V

V d d L L d L d d d d L L d L d L dL d d L d L d d L d L d L

V dL d d L d L LV dL d d LV d L d L L

μ

Δ

⇒ Δ = + Δ + Δ − = + Δ + Δ + Δ − = + Δ + Δ + Δ + Δ Δ + Δ Δ −

Δ Δ + Δ Δ Δ Δ⇒ Δ ≈ Δ + Δ ⇒ = = + = −

s

S S

Die Scherspannung bewirkt eine Verformung mit dem Scherwinkel

Scherung tan

Für kleine Scherwinkel ist eine Materialkonstante:

Schubmodul oder Torsionsmodul tan

FA

xL

F A F AGx L

τ θ

γ θ

τθγ

τγ θ

= ⇒

Δ= =

= = =Δ

⇒ Hooke'sches Gesetz für Torsionsspannung Für kleine Winkel ist tan (siehe Teil 11.2)

GG

τ γθ θ θ τ θ

=≈ ⇒ =

SScherkraft F



Beispiel 12.7: Sicherheit eines Fahrstuhls

-2

Fahrstuhl, hängt an einem Seil mit Durchmesser 2 3 cm , Seillänge 300 m, Masse Seil + Kabine 1000 kg, Dehnung des Seils um 3 cm unbedenklich,maximale Beschleunigung 1.5 m sGesucht: ist der Fa

r L m

a

= = =

=

( )( )

n n n

n n

-2 -2n,max

9 -2

hrstuhl sicher?

aus Gl. (12.9)

aus zweites Newton'sches Axiom ( )

1000 kg 1.5 m s 9.81 m s 11310 N

mit 200 10 N m und

y y y

F A F A F LE LL L E L AE

F mg ma F ma mg m a g

F

E A rπ

= ⇒ Δ = =Δ

− = ⇒ = + = + ⇒

= + =

= × =( )( )

( ) ( )2 n

22 9 -2

11310 N 300 m 2.4 cm

1.5 10 m 200 10 N m

F LLAE π −

⇒ Δ = = =× ×


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