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Physikbericht Teil IV - molekuelwald.square7.chmolekuelwald.square7.ch/biblio/Physik Praktikum/Physik Praktikum 2/PP2_2013... · Physikbericht Schwingkreis, Transformator und Fourierreihe

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  • PhysikberichtSchwingkreis, Transformator und Fourierreihe

    FABIAN DEUBER & MICHAEL EDELMANN & JONAS ZÜRCHER

    16. Mai 2010

    Betreuender Dozent: Olivier Merlo

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Schwingkreis 3

    1.1 Aufstellen der DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2 DGL mit Widerstand in Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.3 Phänomen der Resonanz mittels Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.4 Herleiten der Funktion durch Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2 Transformator 11

    2.1 Theorie Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.1.1 Aufbau Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.1.2 Funktionsweise Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.2 Experiment I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.3 Experiment II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.4 Experiment III & Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.4.1 Versuchsablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.4.2 Rodaten der Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.4.3 Graphische Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3 Fourierreihe 21

    3.1 Berechnung des Fourierkoeffizient I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    3.2 Berechnung des Fourierkoeffizient II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3.3 Berechnung der Fourierkoeffizient III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3.4 monochromatisches Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2

  • Physikbericht 31. Mai 2010

    1 Schwingkreis

    Der Spannungsabfall an einem Widerstand ist durch U = R ·I, derjenige an einer Kapazität durchU = QC und derjenige einer Spule ist durch U = L ·

    dIdt .

    1.1 Aufstellen der DGL

    Stellen sie die Differentialgleichung für den zeitlichen Verlaufs des Stromes für einen Konden-

    sator und eine Spule in Serie auf. Zeigen sie, dass die Lösung der homogenen DGL durch den

    Ansatz yh = Acos(ωt)+Bsin(ωt) gegeben ist. Wie muss ω gewählt werden?

    Bemerkung

    Wird noch ein Widerstand mit berücksichtigt, so ist die Lösung der homogenen DGL gegeben

    durch:

    Für4L−CR2

    4CL2> 0

    gilt

    Q(t) = e(−R2L t)(

    Acos

    (√4L−CR2

    4CL2t

    )+Bsin

    (√4L−CR2

    4CL2t

    ))

    Rechenweg:

    Die Anordnung des Schwingkreis besteht aus einem Kondensators und einer Spule. Die Span-

    nung ist also wie folgt gegeben.

    => U = L∗ dIdt +QC

    I kann man auch anders ausdrücken =>I = dQdt dies kann man nun in der obigen Gleichungeinsetzten

    3

  • Physikbericht 31. Mai 2010

    => U = L∗ d2Q

    d2t +QC

    Nach Kirchhoff ist die Gesammtpannung eines geschlossenen Systems 0.

    0 = L∗ d2Q

    d2t +QC

    Dies ist eine Differentialgleichung 2ter Ordnung.

    Diese Form der DGL gleicht der Federschwingung: FT =−D ·x , mit FT = m · ẍ,→m · ẍ−D ·x =0

    Bei der aufgestellten DGL handelt es sich um eine Schwingungsgleichung. Die dämpfende Wir-

    kung ist nicht vorhanden, da der Widerstand R fehlt. Da sich die Schwingung periodisch in der

    Zeit verhält, kann für die homogene Lösung der DGL mit Qh = Acos(ωt)+Bsin(ωt) gerechnetwerden. ωsteht für die Kennkreisfrequenz.

    Um ω zu bestimmen setzt man die homogene Lösung in die aufgestellt Gleichung ein.

    0 = L ∗ d2(Acos(ωt)+Bsin(ωt))

    d2t +Acos(ωt)+Bsin(ωt)

    C ; Nun wird einmal nach der Zeit t abgeleitet bei

    der Spule

    0 = L ∗ d(−ωAsin(ωt)+wBcos(ωt))dt +Acos(ωt)+Bsin(ωt)

    C ; Anschliessend wird ein zweites Mal bei der

    Spule nach der Zeit t abgeleitet.

    0 = L∗ (−ω2Acos(ωt)−w2Bsin(ωt))+ Acos(ωt)+Bsin(ωt)C ; nun wird vereinfacht

    0 = L∗C∗(−ω2Acos(ωt)−w2Bsin(ωt))+Acos(ωt)+Bsin(ωt)

    c ; Nun wird Acos(ωt) und Bsin(ωt) ausgeklam-mert

    0 = Acos(ωt)∗(1−L∗C∗ω2)+Bsin(ωt))∗(1−L∗C∗ω2)

    c ; Nun wird nochmals vereinfacht

    0 = (1−L∗C∗ω2)∗(Acos(ωt)+Bsin(ωt))

    c ; Damit eine wahre Aussage gegeben ist muss entweder 0 =(1−L∗C ∗ω2)sein oder 0 = (Acos(ωt)+Bsin(ωt))

    ωwird wie folgt berechnet

    => 0 = (1−L∗C ∗ω2) ; es wird L∗C ∗ω2)addiert

    =>L∗C ∗ω2 = 1; nun wird durch C und L dividiert

    =>ω2 = 1C∗L ; Nun wird die Wurzel auf beiden Seiten gezogen

    => ω =√

    1C∗L

    ωmuss wie folgt gewählt werden : ω =√

    1C∗L

    4

  • Physikbericht 31. Mai 2010

    ω = 1√CL

    zeigt, dass der Selbstinduktive Effekt L und die Kapazität C über die Grösse der

    Resonanz bestimmen. Ohne einen Widerstand R wird dieser Effekt ohne Bremsung fortgesetzt.

    Die Kennkreisfrequenz fügt dabei dem Schwingsystem Energie zu.

    Setzt man nun ω = 1√CL

    in der am Anfang aufgstellten DGL ein ergibt sich folgende Gleichung

    => 0 = L∗ (−Acos( 1√CL

    t)(

    1√CL

    2)−Bsin( 1√

    CLt)(

    1√CL

    2))+

    Acos( 1√CL

    t)+Bsin( 1√CL

    t)C

    1.2 DGL mit Widerstand in Serie

    Betrachten sie den Schwingkreis aus Aufgabe 1.1, nehmen sie aber noch einen Widerstand in

    Serie dazu. Berechnen sie die partikuläre Lösung der DGL, falls man den Schwingkreis an eine

    sinusförmige Spannungsquelle (U = U0 sin(ωAt)) anschliesst. Beschreiben sie das Phänomender Resonanz an diesem Beispiel.

    Die Anordnung des Schwingkreis besteht aus einem Kondensators, einem Widerstand und einer

    Spule. Die Spannung ist also wie folgt gegeben.

    => U = L∗ dIdt +QC +R∗ I

    I kann man auch anders ausdrücken =>I = dQdt dies kann man nun in der obigen Gleichungeinsetzten

    => U = L∗ d2Q

    d2t +QC +R∗

    dQdt

    Die Spannung U ist in dieser Aufgabe geben durch: U = U0 sin(ωAt)

    => U0 ∗ sin(ωAt) = L∗ d2Q

    d2t +QC +R∗

    dQdt

    Die homogene Lösung ist gegeben als

    Q(t) = e(−R2L t)(

    Acos

    (√4L−CR2

    4CL2t

    )+Bsin

    (√4L−CR2

    4CL2t

    ))

    Da U0 ∗sin(ωAt) gegeben ist muss das Störrglied wie folgt gewählt werden:Qp = A′ ·cos(ωAt)+B′ · sin(ωAt)

    Vom Störrglied müssen die erste und zweite Ableitung berechnet werden.

    Die erste Ableitung ist: Q̇p =−ωAA′sin(ωAt)+ωAB′cos(ωAt)

    Die zweite Ableitung ist : Q̈p =−ω2AA′cos(ωAt)−ω2AB′sin(ωAt)

    5

  • Physikbericht May 31, 2010

    Nun wird alles in die DGL eingesetzt

    U0∗sin(ωAt)= L∗−ω2AA′cos(ωAt)−ω2AB′sin(ωAt)+A′·cos(ωAt)+B′·sin(ωAt)

    C +R∗−ωAA′sin(ωAt)+

    ωAB′cos(ωAt)

    Nun wird die partikuläre Gleichung aufgelöst:

    sin(ωAt):

    => −RωAA′+ B′

    C −LB′ω2A = U0; vereinfachen

    =>B′ ∗ ( 1C −Lω2A)−U0 = RωAA′ ; nochmals vereinfachen

    =>B′ ∗ ( 1C −Lω2A)−U0 = RωAA′

    => B′

    RωA ∗ (1C −Lω

    2A)−

    U0RωA = A

    ′ ; man setzt ( 1C −Lω2A) = λ

    => B′

    RωA ∗λ −U0

    RωA = A′

    cos(ωAt):

    =>0 = RωAB′+A′

    C −LA′ω2A

    =>A′ ∗ ( 1C−Lω2A) =−RωAB′; vereinfachen und 1C −Lω

    2A = λ einsetzen

    =>A′ ∗λ=−RωAB′

    => A′∗λ−RωA = B

    Nun kann der Term für B’ bei B′

    RωA ∗λ −U0

    RωA = A′eingesetzt werden

    => A′∗λ 2

    −(RωA)2− U0RωA = A

    ′ ; umformen und A′ausklammern

    =>− U0RωA = A′ ∗(

    1− λ 2−(RωA)2

    )=> − U0

    RωA∗(

    1− λ2−(RωA)

    2

    ) = A′ = − U0RωA+ λ

    2RωA

    Nun kann − U0RωA∗

    (1− λ2−(RωA)

    2

    ) = A′ = − U0RωA+ λ

    2RωA

    bei A′∗λ−RωA = B

    ′ eingesetzt werden

    Daraus folgt:

    − U0∗λ−(RωA)2∗

    (1− λ2−(RωA)

    2

    ) = B′ =− U0∗λ−(RωA)2−λ 2

    = U0∗λ(RωA)2+λ 2

    B′ = U0∗λ(RωA)2+λ 2

    A′ = − U0RωA+ λ

    2RωA

    6

  • Physikbericht May 31, 2010

    A′ und B′ könnten nun in die Partikulären Gleichung eingesetzt werden. Dies wird nun aber

    nicht gemacht, weil es sonst zu unübersichtlich wird.

    =>

    QP(t) = L∗−ω2AA′cos(ωAt)−ω2AB′sin(ωAt)+A′ · cos(ωAt)+B′ · sin(ωAt)

    C

    +R∗−ωAA′sin(ωAt)+ωAB′cos(ωAt)−U0 ∗ sin(ωAt)

    Zusätzlich gilt:

    B′ = U0∗λ(RωA)2+λ 2

    A′=− U0RωA+ λ

    2RωA

    λ = 1C −Lω2A

    Die Resonanz wird durch Energiezufuhr in das schwingfähigen System erreicht. Die Energiezu-

    fuhr findet durch die Kennkreisfrequenz erreicht. Durch ein Widerstand R wird die die Frequenz

    erniedrigt und die Energiezufuhrt damit gebremst. geht der Widerstand gegen Unendlich sinkt

    die Kennkreisfrequenz gegen 0 , daraus folgt eine tiefe Resonanz.

    1.3 Phänomen der Resonanz mittels Experiment

    Nehmen sie eine der Spulen, einen Widerstand R ≈ 10 und eine Kapazität von C = 100nF .Benutzen sie diese in Serie und beschreiben sie anhand von diesem Experiment, mit einer

    rechteckförmigen Wechselspannung das Phänomen der Resonanz. Das heisst messen sie den

    Spannungsabfall über dem Widerstand in Abhängigkeit der Frequenz ωA und betrachten sie imOszillographen die Anregung. Erklären sie das Resultat des obigen Experiments mittels der

    Aufgaben 1.1 und 1.2.

    7

  • Physikbericht May 31, 2010

    ���������������������������

    � ��� � ��� � ��� �

    ����

    ����

    ����

    �������������

    ������������

    �����������������������������

    ���������

    Figure 1.1: Spannungsabfall über dem Widerstand in Abhängigkeit der Frequenz ωA

    Erklärung

    Anhand des Diagrammes sieht man das Phänomen der Resonanz sehr gut. Die Resonanzfre-

    quenz tritt nur in Systemen mit mindestens zwei verschiedenartigen Energiespeichern auf. In

    unserem Beispiel sind dies die Spule und der Kondensator. Die Resonanzfrequenz muss ein Ma-

    xima haben. Das Maxima bei unserer Messreihe liegt bei 4.104kHZ und 4.8V. Das Diagramm

    zeigt, dass sie Frequenz der induzierten Wechselspannung dem Lade-/Entlade Rhytmus vom

    Kondensator und der Spule entspricht. Die Frequenz beinhaltet die Variablen R, C und L (siehe

    Aufgabe 1.3). C und L sind für die Energiezufuhr zuständig und R ist das Dämpfungsglied.

    1.4 Herleiten der Funktion durch Fourierreihe

    Beschreiben sie, wie sie mittels Aufgabe 1.1, 1.2 und der Aufgabe 3.1

    eine Funktion herleiten könnten die das Experiment aus Aufgabe 1.3 sehr gut beschreibt.

    8

  • Physikbericht May 31, 2010

    Im obenstehende Experiment wurde die Rechteckspannug verwendet. Diese

    Rechteckspannung kann mittels Fourierreihe approximiert werden. Im untenstehnen Beispiel

    wurde die Funktion aus Aufgabe 3.2 ( f (x) = 1+ sgn(x) verwendet. Sie ist in diesem Fall2π-periodisch. Dies Visualisiert sieht folgendermassen aus:

    Figure 1.2: Graphische Darstellung der Approximation der Rechteckspannung

    Ist die Funktion f nicht 2π-periodisch, sondern hat sie die Periode T = 2πω , können die Fourier-koeffizienten Ak und Bk folgendermassen geschrieben werden1:

    Ak =2T

    T2ˆ

    − T2

    f (x) · cos(kωx)dx

    Bk =2T

    T2ˆ

    − T2

    f (x) · sin(kωx)dx

    1Fourier-Reihen, Thomas Peters, 1. Dez. 2004

    9

  • Physikbericht May 31, 2010

    Dies ergibt folgende Fourierreihe:

    A02

    +∞

    ∑k=1

    (Ak cos(kt)+Bk sin(kt))

    bzw.

    A02

    +∞

    ∑k=1

    (Ak cos(kωx)+Bk sin(kωx))

    Da es bei der Funktion, wie schon oben erwähnt, sich um eine Rechteckspannung handelt wir

    folgende Funktion f (x) für ihre Annäherung gebraucht

    f (x) = sig(x)

    Das +1 wurde weggelassen, da es sich um eine Wechselspannung handelt. Durch das weglassendes +1 fällt auch der A0 Therm weg. Zudem wissen wir, das es sich bei der sig-Funktion umeine ungrade Funktion handelt, was zur folge hat, dass Ak bei der Fourierreihe gleich Null ist. In

    Aufgabe 1.1 wird folgende homogene Lösung der DGL erwähnt.

    yh = Acos(ωt)+Bsin(ωt)

    Die Spannung ist in Aufgabe 1.2 U = U0 sin(ωAt)

    Diese kann man nun in eine Fourierreihe umformen. A und B sind Ak und Bk, Ak fällt weg und

    die Lösung von Bk ist aus Aufgabe 3.2 bekannt.

    Bk =4

    kπ· 1+(−1)(−1)

    k

    2

    Somit ist die Fourierreihe (mit belibiger Periodendauer) gegeben durch:

    f (x)≈U0 ·∞

    ∑k=1

    4kπ· 1+(−1)(−1)

    k

    2· sin(kωAt)

    10

  • Physikbericht 31. Mai 2010

    2 Transformator

    2.1 Theorie Transformator

    Aufgabe: Erklären sie wie ein Transformator funktioniert.

    Um die Funktionsweise eines Transformators erklären zu können, wird im folgenden Abschnitt

    erst kurz erklärt wie ein Transformator aufgebaut ist.

    2.1.1 Aufbau Transformator

    Im Wesentlichen besteht ein Transformator meist aus zwei durch einen Eisenkern induktiv

    gekoppelten Spulen mit unterschiedlicher Windungszahl.

    Die folgende Abbildung besitzt die Quelle:

    http://www.bdew.de/bdew.nsf/id/DE_Schaubilder/$file/transformator%20prinzip.jpg

    Abbildung 2.1: Aufbau eines Transformators

    11

  • Physikbericht May 31, 2010

    Als Primärspule wird diejenige Spule bezeichnet, an der eine Wechselspannung U1mit der Strom-

    stärke I1 ausgehend von einer Spannungsquelle angelegt wird. Die zentrale Kennzahl der Primär-

    spule ist die Windungszahl N1. Für die Sekundärspule (Spule an der eine Spannung induziert

    wird) kann eine Wechselspannung U2mit der Stromstärke I2 gemessen werden. Die Grösse der

    Spannung und Stromstärke an der Sekundärspule steht in direktem Zusammenhang mit deren

    Windungszahl N2. Für die dabei geltenden Beziehungen siehe 2.1.2

    2.1.2 Funktionsweise Transformator

    Ein Transformator wird dazu benutzt, um Wechselspannungen zu Verändern. Man kann damit

    zum Beispiel den Strom aus einer Hochspannungsleitung (Hohe Spannung, vergleichsweise

    geringe Stromstärke) durch Induktion in einen Strom mit geringer Spannung und grösserer

    Stromstärke umwandeln. Dies geschiet nach den folgenden Beziehungen:

    Bei einem unbelasteten Transformator (ohne Leistungsabgabe) gilt

    U1U2

    = N1N2 = n

    Unter Vernachlässigung der bei einem guten Transformator (bis etwa 99.8%1) geringen Verluste

    kann ebenfalls gesagt werden, dass die Leistung auf Primär- und Sekundärspulenseite die Selbe

    ist. Die Leistung ist definiert als P = U · I. So gilt:

    U1U2

    = I2I1 = n

    Daraus ist zu sehen, dass bei kleiner werdender Spannung U2 an der Sekundärspule die Strom-

    stärke I2 zunehmen wird.

    2.2 Experiment I

    Nehmen sie eine Spule und schliessen sie die Spule an den Funktionsgenerator an. Anschliessend

    nehmt eine zweite Spule, welche nur an einen Widerstand angeschlossen ist. Messen sie nun mit

    Hilfe des Oszillographen die Abhängigkeit der in der 2. Spule induzierten Spannung von der

    Frequenz der an der ersten Spule angelegten Spannung. Was ergibt sich?

    1http://www.energie.ch/at/trafo/index.htm

    12

  • Physikbericht May 31, 2010

    Messanordnung:

    Es sind zwei voneinander unabhängige Stromkreise nach den Angaben der Aufgabenstellung

    erstellt worden.

    Figure 2.2: Messanordnung

    Die Spule 1 hatte 200 und die Spule 2 300 Windungen. Die Frequenz der Spule 1 wurde schrit-

    tweise verändert und die Messresultate aufgeschrieben.

    13

  • Physikbericht 31. Mai 2010

    Rohdaten:

    Uss Hz Faktor kHz USpule1 USpule220 100 100 10.3 196 1.7620 90 100 9.4 196 1.8820 80 100 8.8 196 2.0620 70 100 7.13 192 2.3220 60 100 6.3 190 2.6420 50 100 5.2 186 2.9620 40 100 4.3 178 3.3220 30 100 2.9 158 4.120 20 100 1.93 124 4.220 10 100 1.1 70 4.4

    Tabelle 2.1: Rohdaten Experiment I

    Auswertung:

    Rohdaten im Excel aufgetragen ( x-Achse kHz; y-Achse (Primär) USpule1,y-Achse (Sekundär)

    USpule2):

    Abbildung 2.3: Grafische Darstellung der Versuchsrohdaten

    14

  • Physikbericht May 31, 2010

    Es ist hier zu sehen, dass die induzierte Spannung bei konstanter angelegten Spannung an der

    Spule 1 linear mit sinkender Frequenz zunimmt. Dies gilt für den bereich bis etwa 8 kHz. An-

    schliessend nimmt die angelegte Spannung mit Änderung der Frequenz ab. Desshalb ist die

    Angelegte Spannung durch die Induzierte Spannung geteilt und gegen die Frequenz aufgetragen

    worden. Dabei ist der folgende, lineare Graph entstanden.

    Abbildung 2.4: Grafische Darstellung der Versuchsrohdaten

    Der Sachverhalt in 2.1.2 konnte somit mittels diesem Experiment nachgewiesen werden.

    2.3 Experiment II

    Nehmen sie nun die 2. Spule und bewegen diese um die andere Spule herum. Wie ändert sich

    die induzierte Spannung? Erklären sie möglichst genau was man beobachtet und erklären sie

    warum dies so ist.

    15

  • Physikbericht 31. Mai 2010

    Messanordnung und Rohdaten:

    Im zweiten Experiment haben wir die folgenden Messanordnungen ausgewählt:

    (a) Anordnung 1 (b) Anordnung 2

    (c) Anordnung 3 (d) Anordnung 4

    (e) Anordnung 5

    Abbildung 2.5: Messanordnungen 1 bis 5

    Durch Messen der Spannung, bei einer Frequenz von 10.3 kHz, an beiden Spulen sind die fol-

    genden Daten erhalten worden:

    16

  • Physikbericht May 31, 2010

    Messanordnung Spule 1 Spule 2Nr° U1[V] U2 [V]1 196 1.72 196 0.25-0.43 196 0.78-0.84 196 0.95 196 0.3-0.45

    Tabelle 2.2: Rohdaten Experiment II

    Interpretation der Resultate:

    Der magnetische Fluss ist gegeben durch φ =´A

    (~B,d−→A)

    . Wie wir im Physikunterricht gesehen

    haben, wird dadurch in einer Leiterschlaufe (Spule) eine Spannung induziert. Ebenfalls haben

    wir gesehen, dass sich der magnetische Fluss auf 3 Arten ändern kann:

    1. Änderung der Leiterschlaufe (Form, Grösse oder Lage zum B-Feld)

    2. Änderung des B-Feldes

    3. Änderung der Zwischenwinkels zwischen−→B und

    −→A .

    In unserem Experiment ändert sich in Messanordnung 1, 2, 3, 4 und 5 die Lage zum B-Feld

    sowie zusätzlich in Messanordnung 4 und 5 der Zwischenwinkel.

    Aus diesem Grund ändern sich die induzierten Spannungen.

    2.4 Experiment III & Regression

    Stellen sie die 2. Spule in einem Abstand von ca. 5-10 cm von der 1. Spule auf. Messen sie nun

    die induzierte Spannung in Abhängigkeit des Rotationswinkels der 2. Spule. Werten sie diesen

    Versuch mittels einer Regression aus.

    Die Regression wurde wie im Physikbericht 6 ausgerechnet, nur mit dem unterschied, dass es

    sich diesmal nicht um eine lineare Regression handelt. Die induzierte Spannung ist gegeben als

    Uinduziert =−dφdt

    = Ḃ ·A · cos(ϕ)

    Daher ist die Grundfunktion der cos(ϕ). Somit wurde die zu minimirende Funktion aufgestellt:

    f (x) =n

    ∑i=1

    (Ai−A · cos(ϕi))2

    17

  • Physikbericht May 31, 2010

    Wobei Ai die gemessenen Werte und A der zu berechnende Amplitudenfaktor ist. cos(ϕi) ist derKosinus des Winkels in Rad. Diese Funktion wurde abgeleitet und Null gesetzt

    d fdA

    =n

    ∑i=1

    2(Ai−A · cos(ϕi))(−cos(ϕi)) = 0

    A =

    n∑

    i=1Ai · cos(ϕi)

    n∑

    i=1cos2(ϕi)

    (2.1)

    2.4.1 Versuchsablauf

    Es wurde ein Vorversuch gemacht, um herauszufinden in welchem Abstand gemessen werden

    sollte. Man erhielt folgende Daten:

    Abstand der Spulen Spannung Frequenz CH II (Volt) CH I (Volt)/cm /V /kHz /V /V10 20 10.3 194 0.25 bis .455 20 10.3 194 .48 bis .63 20 10.3 194 .75 bis .85

    Table 2.3: Vorversuch von Experiment 2.4

    Aufgrund der evaluierten Daten wurde ein Abstand von 3cm gewählt, weil dort die kleinsten

    Schwankungen aufgetreten sind. Anschliessend wurde die zweite Spule (CH I) um den eige-nen Mittel Punkt gedreht. Aus diesem Prozess wurden die Rohdaten aus Tabelle 2.4 erhalten.

    Anschliessend wurden die Daten mittels Regression ausgewertet (sieh 2.4.3)

    2.4.2 Rodaten der Messung

    Die Rohdaten des Experimentes 2.4 wurden in einer Exceltabelle abgelegt.

    18

  • Physikbericht May 31, 2010

    Abstand Winkel Winkel Spannung Frequenz CH II (Volt) CH I (Volt)/cm Radiant /V /kHz /V /V

    3 0 0 20 10.3 194 0.83 10 0.175 20 10.3 194 0.83 20 0.349 20 10.3 194 0.83 30 0.524 20 10.3 194 0.83 40 0.698 20 10.3 194 0.753 50 0.873 20 10.3 194 0.73 60 1.047 20 10.3 194 0.73 70 1.222 20 10.3 194 0.63 80 1.396 20 10.3 194 0.63 90 1.571 20 10.3 194 0.4

    Table 2.4: Rohdaten des Haubtexperimentes

    2.4.3 Graphische Auswertung

    Für A ergab dies nach Formel 2.1 0.864. Die Funktion die lautet somit f (x) = 0.864 · cos(x).Beim plotten der Messdaten konnte festgestellt werden, dass diese Funktion nicht optimal angepasst

    wurde. So wurde empirisch einen Faktor für die Periodendauer zu verlängern herausgefunden.

    Dieser Faktor beträgt 0.6. Somit ist die Funktion welche “manuel” weiter Angepasst worden ist:

    fa(x) = 0.864 · cos(0.6x)

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

    Indu

    zier

    teSp

    annu

    ng

    Winkel (Radiant)

    Regression Aufgabe 2

    Messwerte best Fit

    (a) Fit, welcher rein rechnerisch Bestimmt wurde. ImVergleich zu der nebenstehenden Abbildung 2.6b istersichtlich, dass nicht obtimal gefittet wurde.

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

    Indu

    zier

    teSp

    annu

    ng

    Winkel (Radiant)

    Regression Aufgabe 2

    Messwerte best Fit

    (b) Angepasster Fit. Bei dieser Fit fa(x) = 0.864 ·cos(0.6x) sind alle Punkte relativ nahe der berech-neten Funktion. Die Residuen bestätigen diesen ver-dacht.

    Figure 2.6: Vergleich der beiden Fits

    19

  • Physikbericht May 31, 2010

    Wurden die Residuen Aufgetragen wurde der obenstehende Vergleich deutlicher.

    -0.1

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

    Res

    idue

    n

    Winkel (Radiant)

    Residuen A2

    Residuen

    (a) Es ist ersichtlich das der Abstand mit zunehmendemWinkel zunimmt.

    -0.1

    -0.08

    -0.06

    -0.04

    -0.02

    0

    0.02

    0.04

    0.06

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

    Res

    idue

    n

    Winkel (Radiant)

    Residuen A2

    Residuen/Angepasst

    (b) Angepasster Fit. Hier ist kein Trent auszumachen,zudem sind die Abstände um einiges Kleiner als beider Abbildung 2.7a.

    Figure 2.7: Vergleich der beiden Fits

    Bei der Abbildung 2.7a kann ein Zunehmen des Abstandes mit zunemenden Winkel ausgemacht

    werden, dies spricht füen nicht optimalen Fit. Anderer Seits ist der empirisch Bestimmte Faktor,

    rel. wilkührlich gewählt worden und ist Somit nicht perfekt. Schlussendlich muss gesagt sein,

    dass die Messung nicht optimal verlaufen ist, da der Fit nicht der bestmögliche ist. Zudem währe

    es besser gewessen, wenn von jedem Winkel mehrmass die induzierte Spannung zu messen.

    Auch währen mehr als 10 Messwerte vorteilhaft gewessen.

    20

  • Physikbericht 31. Mai 2010

    3 Fourierreihe

    Jede periodische Funktion f (x) kann mittels einer Summe von Sinus und Cosinusfunktionensehr gut angenähert werden. Zur Vereinfachung nehmen wir nun eine Funktion die 2π periodischist. Betrachten wir diese Funktion im Intervall [−π,π]. Die Funktion f (x) kann dann durch dieSumme

    A02

    +∞

    ∑k=1

    (Ak cos(kx)+Bk sin(kx))

    geschrieben werden, mit Ai und Bi konstante reelle Zahlen. Eine solche Summe wird Fourier-

    reihe genannt.

    Erklärt warum eine gerade Funktion f (x) eine Summe von Cosinusfunktionen sein muss, alsodass alle Bk gleich 0 sein müssen.

    Eine Funktion ist gerade, wenn f (x) = f (−x) ist und ungerade wenn f (−x) =− f (x) gild. DieCosisnusfunktion ist gerade, die Sinusfunktion hingegen ist eine ungerade Funktion. Will man

    nun die gerade Funktion f1(x) mittels Fourierreihe annächern ist es nötig, dass es sich um gerade“Annäherungsfunktionen” handelt. Wenn man nun aber eine gerade Funktion mit einer geraden

    Funktion multipliziert erhält man wiederum eine gerade Funktion. Wird eine gerade mit einer

    ungeraden Funktion multipliziert erhält man eine ungerade Funktion. Die Multiplikation von

    zwei ungeraden Funktionen ergibt eine gerade Funktion.

    Dies wurde graphisch dargestellt.

    21

  • Physikbericht May 31, 2010

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -6 -4 -2 0 2 4 6

    y

    x

    Fourierreihe

    cos(x)

    (a) gerade Cosinusfunktion

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -6 -4 -2 0 2 4 6

    y

    x

    Fourierreihe

    cos(x)*sin(x)

    (b) ungerade Funktion

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -6 -4 -2 0 2 4 6

    y

    x

    Fourierreihe

    cos(x)* sin(x)*sin(x)

    (c) gerade Funktion

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -6 -4 -2 0 2 4 6

    y

    x

    Fourierreihe

    cos(x)*sin(x)*cos(x)

    (d) ungerade Funktion

    Abbildung 3.1: gerade und ungerade Funktionen

    Dies bedeute für die Fourierreihe, dass wenn eine gerade Funktion in Bk eingesetzt wird, die

    Fläche unter dem Integral Null ist. Ungerade Funktionen integriert ergeben immer Null. Dies ist

    auch ersichtlich wenn z.B f (x) = x für Ak integriert wird, wie in Aufgabe 3.2. Wenn nun abereine ungerade Funktion f2(x) in Bk eingesetzt wird, ergibt sich eine gerade Funktion, welchebeim integrieren nicht Null ergibt. Bei Ak ist natürlich das Gegenteil der Fall.

    Die Konstanten Ak und Bk können berechnet werden. Es gilt:

    A0 =1π

    π̂

    −π

    f (x)dx

    Ak =1π

    π̂

    −π

    f (x)cos(kx)dx

    22

  • Physikbericht 31. Mai 2010

    Bk =1π

    π̂

    −π

    f (x)sin(kx)dx

    • Zeigt, dass für die trivialen Funktionen f1(x) = −1 und f2(x) = sin(x), die Funktionenexakt wiedergegeben werden.

    Für die Funktion f (x) =−1 wird keine Bk’s benötigt, da es sich um eingerade Funktion handelt.Ak wurden zur Bestätigung denoch berechnet. Für A0 kann folgendermassenvorgegangen werde:

    A0 = −1ππ́

    −π1dx = 1π

    π−π

    =−2

    für Ak kann genau gleich berechnet:

    Ak = −1ππ́

    −πcos(kx)dx = − 1πk sin(kx)

    π−π

    =− 1kπ (sin(kπ)+ sin(kπ)) = 0

    Somit wurde gezeigt, dass Ak immer null ist. Denn sin(kπ) ist immer Null!. Nun wird Bk analogberechnet.

    Bk = −1ππ́

    −πsin(kx)dx = 1πk cos(kx)

    π−π

    = 1kπ (cos(kπ)− cos(kπ)) = 0

    Hier ist es so, dass auch Bk gleich Nul ist, somit ist nur A0 für die Approximation verantwotlich.

    Das heisst, die Fourierreihe sieht folgendermassen aus:

    A02

    +∞

    ∑k=1

    0 =−1

    Daher ist die Funktion f (x) =−1 exakt approximiert worden.

    Die Funktion f (x) = sin(x) wird folgendermassen approximiert:

    Zuerst wird der A0 Koeffiziernt berechnet.

    A0 = −1ππ́

    −πsin(x)dx = cos(x)π

    π−π

    = 0

    Anschliessend kann Bk berechnet werden, Ak muss hier nicht ausgerechenet werden, da es sich

    bei f (x) = sin(x) um eine ungerade Funktion handelt.

    23

  • Physikbericht May 31, 2010

    Bk = 1ππ́

    −πsin(x) · sin(kx)dx = 1π

    π́

    −π

    (cos(x+kx)−2 −

    cos(x−kx)−2

    )·dx

    diese Umformung von sin(x) · sin(kx) kommt durch das Theorem −2sin(α) · sin(β ) = cos(α +β )− cos(α−β ), wobei α x und β kx ist. Im Anschluss darauf wird k = 1 gewählt, so kann dasIntegral folgendermassen geschrieben werden:

    1−2π

    π̂

    −π

    (cos(2x)− cos(0)) ·dx = 1−2π

    π̂

    −π

    (cos(2x)−1) ·dx

    1−2π

    (sin(2x)

    2 − x) π−π→ 1−2π (0−π)−

    1−2π (0+π) =

    12π ·π +

    12π ·π = 1

    Die gesammte Approximation sieht folgedessen

    f (x) ≈A02

    +∞

    ∑k=1

    Bk sin(kx) =∞

    ∑k=1

    1 · sin(kx)

    Somit wurde die Funktion f (x) = sin(x) exakt angenähert.

    3.1 Berechnung des Fourierkoe�zient I

    Berechnet die Fourierkoeffizienten der Funktion 1 + sgn(x) für den Definitionsbereich D f =[−π,π[ (für alle k’s). Erstellt einen Graphen, welcher zeigt, dass die Fourierreihe die Funktionmit wachsender Anzahl cos und sin Funktionen immer besser approximiert. Was fällt dabei auf?

    Bei der Funktion f (x) = 1 + sgn(x) handelt es sich um eine ungerade Funktion, somit fällt Akweg, da diess null ergibt. Desweitern geht man wie oben vor. Zuerst wird A0 berechnet. Dies

    wird nach folgender Formel berechnet:

    A0 =1π

    π̂

    −π

    f (x)dx

    Das Integral kann auseinadergenommen werden, nähmlich zum einen in den schnell ersichtlich

    +1 Teil und zum ander der Signum-Teil der Funktion. Der Signum-Teil kann wiederum Zweigeteilt

    werden. Von x =−∞ bis x = 0 kann man die Funktion als f (x) =−1 schreiben. Wenn x≥ 1 istdan kann die Funktionals f (x) = 1 geschrieben werden. Somit ergibt sich folgendes Integral:

    24

  • Physikbericht May 31, 2010

    A0 =1π

    π̂

    −π

    dx+−1π

    −π

    dx+1π

    π̂

    0

    dx

    π−π− 1π

    0

    −π+ 1π

    π0

    = 2

    Wie schon oben erwähnt wurde ist die Signum Funktion eine Ungeradefunkktion, und daher

    muss kein Ak berechnet werden. Die Berechnung von Bk wird wie folgt gemacht. Die Integrale

    weren wieder auseinadergennomen, so dass:

    Bk =1π

    π̂

    −π

    sin(kx)dx+−1π

    −π

    sin(kx)dx+1π

    π̂

    0

    sin(kx)dx

    −cos(kx)kπ

    π−π

    + cos(kx)kπ0

    −π− cos(kx)kπ

    π0

    =

    −cos(kπ)kπ

    − -cos(kπ)kπ

    +cos(0)

    kπ− cos(kπ)

    kπ−(

    cos(kπ)kπ

    − cos(0)kπ

    )=

    2cos(0)kπ

    − 2cos(kπ)kπ

    =2

    kπ− 2cos(kπ)

    {wenn k gerade dann = 0

    wenn k ungerade dann = 4kπ

    }

    Die gesammte Approximation sieht folgedessen

    f (x) ≈A02

    +∞

    ∑k=1

    Bk sin(kx) = 1+∞

    ∑k=1

    (2

    kπ− 2cos(kπ)

    )sin(kx)

    Dies kann auch vereinfacht geschrieben werden:

    f (x) ≈ 1+∞

    ∑k=1

    4kπ· 1+(−1)(−1)

    k

    2· sin(kx)

    25

  • Physikbericht 31. Mai 2010

    Bei der graphischen Darstellung sieht man, dass mit zunehmender k’s die Näherung besser.

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    (a) Graphische Darstellung derFunktion f (x) = 1+ sgn(x)

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    (b) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = 1 +sgn(x) für k bis 1

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    (c) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = 1 +sgn(x) für k bis 3

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    (d) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = 1 +sgn(x) für k bis 5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    (e) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = 1 +sgn(x) für k bis 9

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    (f) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = 1 +sgn(x) für k bis 15

    Abbildung 3.2: Approxiamtionen von f (x) = 1+ sgn(x) für k bis 1,3,5,9,15

    26

  • Physikbericht May 31, 2010

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    Berechnug der Fourierreihe 1

    k bis 1k bis 3

    k bis 5k bis 9

    k bis 151+sgn(x)

    Abbildung 3.3: Zusammenfassung der graphische Darstellung der Approxiamtionen von f (x) =1+ sgn(x)

    Es fällt auf, dass mit wachsenden k’s die “flachen” Teile der Funktion immerbesser Angenähert

    werden, bei den “sprüngen” kann eine perfekte Annähereung nur bei einer Unendlichen Anzahl

    an k’s gemacht werden. Dieses Verhalten heißt Gibbs’sches Phänomen und tritt auf, weil die

    Koeffizienten nicht schnell genug gegen Null gehen.

    3.2 Berechnung des Fourierkoe�zient II

    Berechnet die Fourierkoeffizienten für die Funktion f (x) = x, wiederum mit der Annahme, dassdie Funktion 2π periodisch sei.

    Angaben:´

    xcos(ax)dx = cos(ax)a2 +xsin(ax)

    a und´

    xsin(ax)dx = sin(ax)a2 −xcos(ax)

    a

    Bei der Funktion f (x) = x ist wie bei Aufgabe 3.1 eine ungerade und somit fällt Ak wieder weg.Die Berechnung von A0 und Bk erfollgt analog zu den obrigen Berechnungen.

    27

  • Physikbericht May 31, 2010

    A0 = 1ππ́

    −πxdx= x

    2

    ππ−π

    = 0

    Das A0 wegfällt, war zu erwarten, da die Funktion f (x) = x durch den Koordinatenursprunkgeht.

    Bk = 1ππ́

    −πxsin(kx)dx = 1π

    (sin(kx)

    k2 −xcos(kx)

    k

    ) π−π→

    (sin(kπ)

    k2π− π cos(kπ)

    )−(−sin(kπ)

    k2π+

    π cos(kπ)kπ

    )=−2cos(kπ)

    k

    {wenn k gerade dann = −2kwenn k ungerade dann = 2k

    }

    Der Sinusteil der Gleichung fällt weg, da dieser bei allen k’s Null ist. Somit kann die Fourierreihe

    geschrieben werden:

    f (x) ≈A02

    +∞

    ∑k=1

    Bk sin(kx) =∞

    ∑k=1

    −2cos(kπ)k

    sin(kx)

    Auch dies kann vereinfacht geschrieben werden.

    f (x) ≈∞

    ∑k=1

    (−1)k+1 · 2k

    sin(kx)

    28

  • Physikbericht 31. Mai 2010

    Auch hier ist die graphische Darstellung der Approximation aussagekräftig. Auch hier ist das

    Gibbs’sches Phänomen zu beobachten.

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    (a) Graphische Darstellung derFunktion f (x) = x

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    yx

    (b) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = x für kbis 1

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    (c) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = x für kbis 2

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    (d) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = x für kbis 3

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    (e) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = x für kbis 5

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    -3 -2 -1 0 1 2 3y

    x

    (f) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = x für kbis 9

    Abbildung 3.4: Approxiamtionen von f (x) = X für k bis 1,2,3,5,9

    29

  • Physikbericht May 31, 2010

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    Berechnug der Fourierreihe 2

    k bis 1k bis 2

    k bis 3k bis 5

    k bis 9x

    Abbildung 3.5: Zusammenfassung der graphische Darstellung der Approxiamtionen von f (x) =x

    3.3 Berechnung der Fourierkoe�zient III

    Könnt ihr mittels dem Resultat aus Aufgabe 3.1 und dem Resultate aus Aufgabe 3.2 direkt die

    Fourierreihe der Funktion f (x) = sgn(x)− x angeben?

    Wie in Aufgabe 3.1 festgestellt wurde handelt es sich bei der Signumfunktion um eine unger-

    ade Funktion. Auch f (x) = x ist eine ungerade Funktion. Dies bedeutet, dass bei beiden Ap-proximationen der Ak Teil wegfällt. Dess weiterem konnte fest gestellt werden, dass wenn die

    Funktion durch den Koordinatenursprung geht A0 Null ist (A0verschiebt die Funktion “nur” auf

    der y-Achse). In Aufgabe 3.1 wurde die Funktion zerlegt. Auch hier kann diese Technik be-

    nutzt werden, man kan die verschedenen Teile der Funktion einfach addieren. Dies Bedeutet die

    Lösung der Funktion f (x) = sgn(x) Minus die Lösung der Funktion f (x) = x. So ergibt sich:

    f (x) ≈∞

    ∑k=1

    4kπ· 1+(−1)(−1)

    k

    2· sin(kx)− (−1)k+1 · 2

    ksin(kx)

    30

  • Physikbericht May 31, 2010

    Daraus resultieren folgende Graphiken. Die Koeffizienten konvergieren nicht schnell genug

    gegen Null, daher ist das Gibb’sche Phänomen wieder ersichtlich.

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    (a) Graphische Darstellung derFunktion f (x) = sgn(x)− x

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    yx

    (b) Graphische Darstellungder Approxiamtion vonf (x) = sgn(x)− x für k bis 1

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    (c) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = sgn(x)−x für k bis 2

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    (d) Graphische Darstellungder Approxiamtion vonf (x) = sgn(x)− x für k bis 3

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    (e) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = sgn(x)−x für k bis 5

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -3 -2 -1 0 1 2 3y

    x

    (f) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = sgn(x)−x für k bis 9

    Abbildung 3.6: Approxiamtionen von f (x) = sgn(x)− x für k bis 1,2,3,5,9

    31

  • Physikbericht May 31, 2010

    Auch hier wurden die einzelnen Graphiken übereinandergelegt, um eine Übericht zu erlangen.

    -2-1.5

    -1-0.5

    00.5

    11.5

    2

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    y

    x

    Berechnug der Fourierreihe 2

    k bis 1k bis 2

    k bis 3k bis 5

    k bis 9sgn(x)-x

    Abbildung 3.7: Zusammenfassung der graphische Darstellung der Approxiamtionen von f (x) =sgn(x)− x

    3.4 monochromatisches Licht

    Wie ihr euch vielleicht noch erinnert ist Licht eine Welle. Mittels dem Resultat aus Aufgabe 3.1

    und dem Resultate aus Aufgabe 3.2 kann gezeigt werden, dass es nicht möglich ist monochro-

    matisches Licht (d.h. Licht mit einer genau bestimmten Wellenlänge) zu erzeugen. Versuchen

    sie diesen Sachverhalt zu erklären. (Tipp: Betrachte ein Foto einer echten Lichtwelle im Raum).

    Monochromatisches Licht ist licht mit der gleichen Wellenlänge und da die Wellenlänge direkt

    von der Lichtgeschwindikeit c und der Frequenz f abhägt

    λ =cf

    besitzt monochrome Lichtwellen die gleiche Frequenzen. Die Wellen können aber phasenver-

    schoben sein und verschiedene Amplituden bestizen. Dies wurde in der Abblidung 3.8 verdeut-

    32

  • Physikbericht May 31, 2010

    licht. Alle diese Wellen besitzen die gleiche Wellenlänge bzw. Frequenz.

    Figure 3.8: monochromatische Lichtwellen

    Für die Fourierreihe bedeutet das, dass die Reihe nur aus gleich frequenten Wellen bestehen darf.

    Ak und Bk verändern die Amplitude und nicht die Frequenz. Jedoch wird bei verschiedenen k1

    auch verschiedene Frequenzen generiert. Das heisst, die Fourierreihe würde nur aus gleichen

    k bestehen. Schaut man sich nun eine Welle von vorne an, erhält man einen unendlich dünnen

    rechteckigen Kasten. Im untenstehenden Beispiel wurde der einfachkeitshalber nur der positive

    Teil der Wellen angeschaut. Siehe Abbildung 3.9.

    Abbildung 3.9: Monochromatisches Licht.Lichtwelle von “vorne”.

    Dieses “Rechteck” lässt sich nicht mit einer

    Fourierreihe, welche nur aus einem k besteht

    annähern. Die Funktion währe ähnlich einer

    sgn -Funktion (siehe Aufgabe 2.3). Selbst ein

    unendlich dünner Kasten könnte nicht nur mit

    einer Frequenz angenähert werden.

    Monochromatisches Licht kann mittels Filter

    oder mittels Prismen hergestellt werden. Wie

    oben beschrieben existiert kein monochroma-

    tisches Licht, man kann aber sich diesem

    Ideal annähern. Diese Annäherung nennt man

    Koherenz.

    1bei sin(kx) & cos(kx)

    33

  • List of Figures

    1.1 Spannungsabfall über dem Widerstand in Abhängigkeit der Frequenz ωA . . . . 81.2 Graphische Darstellung der Approximation der Rechteckspannung . . . . . . . 9

    2.1 Aufbau eines Transformators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.2 Messanordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.3 Grafische Darstellung der Versuchsrohdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.4 Grafische Darstellung der Versuchsrohdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.5 Messanordnungen 1 bis 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.6 Vergleich der beiden Fits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.7 Vergleich der beiden Fits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3.1 gerade und ungerade Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3.2 Approxiamtionen von f (x) = 1+ sgn(x) für k bis 1,3,5,9,15 . . . . . . . . . . 263.3 Zusammenfassung der graphische Darstellung der Approxiamtionen von f (x) =

    1+ sgn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Approxiamtionen von f (x) = X für k bis 1,2,3,5,9 . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 Zusammenfassung der graphische Darstellung der Approxiamtionen von f (x) = x 303.6 Approxiamtionen von f (x) = sgn(x)− x für k bis 1,2,3,5,9 . . . . . . . . . . 313.7 Zusammenfassung der graphische Darstellung der Approxiamtionen von f (x) =

    sgn(x)− x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.8 monochromatische Lichtwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.9 Monochromatisches Licht. Lichtwelle von “vorne”. . . . . . . . . . . . . . . . 33

    34

  • List of Tables

    2.1 Rohdaten Experiment I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.2 Rohdaten Experiment II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.3 Vorversuch von Experiment 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.4 Rohdaten des Haubtexperimentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    35

    SchwingkreisAufstellen der DGLDGL mit Widerstand in SeriePhänomen der Resonanz mittels ExperimentHerleiten der Funktion durch Fourierreihe

    TransformatorTheorie TransformatorAufbau TransformatorFunktionsweise Transformator

    Experiment IExperiment IIExperiment III & RegressionVersuchsablaufRodaten der MessungGraphische Auswertung

    FourierreiheBerechnung des Fourierkoeffizient IBerechnung des Fourierkoeffizient IIBerechnung der Fourierkoeffizient IIImonochromatisches Licht