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PhysikberichtSchwingkreis, Transformator und Fourierreihe
FABIAN DEUBER & MICHAEL EDELMANN & JONAS ZÜRCHER
16. Mai 2010
Betreuender Dozent: Olivier Merlo
Inhaltsverzeichnis
1 Schwingkreis 3
1.1 Aufstellen der DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 DGL mit Widerstand in Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Phänomen der Resonanz mittels Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Herleiten der Funktion durch Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Transformator 11
2.1 Theorie Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Aufbau Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Funktionsweise Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Experiment I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Experiment II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Experiment III & Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Versuchsablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.2 Rodaten der Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.3 Graphische Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Fourierreihe 21
3.1 Berechnung des Fourierkoeffizient I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Berechnung des Fourierkoeffizient II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Berechnung der Fourierkoeffizient III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 monochromatisches Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
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Physikbericht 31. Mai 2010
1 Schwingkreis
Der Spannungsabfall an einem Widerstand ist durch U = R ·I, derjenige an einer Kapazität durch
U = QC und derjenige einer Spule ist durch U = L · dI
dt .
1.1 Aufstellen der DGL
Stellen sie die Differentialgleichung für den zeitlichen Verlaufs des Stromes für einen Konden-
sator und eine Spule in Serie auf. Zeigen sie, dass die Lösung der homogenen DGL durch den
Ansatz yh = Acos(ωt)+Bsin(ωt) gegeben ist. Wie muss ω gewählt werden?
Bemerkung
Wird noch ein Widerstand mit berücksichtigt, so ist die Lösung der homogenen DGL gegeben
durch:
Für4L−CR2
4CL2 > 0
gilt
Q(t) = e(−R2L t)(
Acos
(√4L−CR2
4CL2 t
)+Bsin
(√4L−CR2
4CL2 t
))
Rechenweg:
Die Anordnung des Schwingkreis besteht aus einem Kondensators und einer Spule. Die Span-
nung ist also wie folgt gegeben.
=> U = L∗ dIdt + Q
C
I kann man auch anders ausdrücken =>I = dQdt dies kann man nun in der obigen Gleichung
einsetzten
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Physikbericht 31. Mai 2010
=> U = L∗ d2Qd2t + Q
C
Nach Kirchhoff ist die Gesammtpannung eines geschlossenen Systems 0.
0 = L∗ d2Qd2t + Q
C
Dies ist eine Differentialgleichung 2ter Ordnung.
Diese Form der DGL gleicht der Federschwingung: FT =−D ·x , mit FT = m · x,→m · x−D ·x =0
Bei der aufgestellten DGL handelt es sich um eine Schwingungsgleichung. Die dämpfende Wir-
kung ist nicht vorhanden, da der Widerstand R fehlt. Da sich die Schwingung periodisch in der
Zeit verhält, kann für die homogene Lösung der DGL mit Qh = Acos(ωt)+Bsin(ωt) gerechnet
werden. ωsteht für die Kennkreisfrequenz.
Um ω zu bestimmen setzt man die homogene Lösung in die aufgestellt Gleichung ein.
0 = L ∗ d2(Acos(ωt)+Bsin(ωt))d2t + Acos(ωt)+Bsin(ωt)
C ; Nun wird einmal nach der Zeit t abgeleitet bei
der Spule
0 = L ∗ d(−ωAsin(ωt)+wBcos(ωt))dt + Acos(ωt)+Bsin(ωt)
C ; Anschliessend wird ein zweites Mal bei der
Spule nach der Zeit t abgeleitet.
0 = L∗ (−ω2Acos(ωt)−w2Bsin(ωt))+ Acos(ωt)+Bsin(ωt)C ; nun wird vereinfacht
0 = L∗C∗(−ω2Acos(ωt)−w2Bsin(ωt))+Acos(ωt)+Bsin(ωt)c ; Nun wird Acos(ωt) und Bsin(ωt) ausgeklam-
mert
0 = Acos(ωt)∗(1−L∗C∗ω2)+Bsin(ωt))∗(1−L∗C∗ω2)c ; Nun wird nochmals vereinfacht
0 = (1−L∗C∗ω2)∗(Acos(ωt)+Bsin(ωt))c ; Damit eine wahre Aussage gegeben ist muss entweder 0 =
(1−L∗C ∗ω2)sein oder 0 = (Acos(ωt)+Bsin(ωt))
ωwird wie folgt berechnet
=> 0 = (1−L∗C ∗ω2) ; es wird L∗C ∗ω2)addiert
=>L∗C ∗ω2 = 1; nun wird durch C und L dividiert
=>ω2 = 1C∗L ; Nun wird die Wurzel auf beiden Seiten gezogen
=> ω =√
1C∗L
ωmuss wie folgt gewählt werden : ω =√
1C∗L
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Physikbericht 31. Mai 2010
ω = 1√CL
zeigt, dass der Selbstinduktive Effekt L und die Kapazität C über die Grösse der
Resonanz bestimmen. Ohne einen Widerstand R wird dieser Effekt ohne Bremsung fortgesetzt.
Die Kennkreisfrequenz fügt dabei dem Schwingsystem Energie zu.
Setzt man nun ω = 1√CL
in der am Anfang aufgstellten DGL ein ergibt sich folgende Gleichung
=> 0 = L∗ (−Acos( 1√CL
t)(
1√CL
2)−Bsin( 1√
CLt)(
1√CL
2))+
Acos( 1√CL
t)+Bsin( 1√CL
t)C
1.2 DGL mit Widerstand in Serie
Betrachten sie den Schwingkreis aus Aufgabe 1.1, nehmen sie aber noch einen Widerstand in
Serie dazu. Berechnen sie die partikuläre Lösung der DGL, falls man den Schwingkreis an eine
sinusförmige Spannungsquelle (U = U0 sin(ωAt)) anschliesst. Beschreiben sie das Phänomen
der Resonanz an diesem Beispiel.
Die Anordnung des Schwingkreis besteht aus einem Kondensators, einem Widerstand und einer
Spule. Die Spannung ist also wie folgt gegeben.
=> U = L∗ dIdt + Q
C +R∗ I
I kann man auch anders ausdrücken =>I = dQdt dies kann man nun in der obigen Gleichung
einsetzten
=> U = L∗ d2Qd2t + Q
C +R∗ dQdt
Die Spannung U ist in dieser Aufgabe geben durch: U = U0 sin(ωAt)
=> U0 ∗ sin(ωAt) = L∗ d2Qd2t + Q
C +R∗ dQdt
Die homogene Lösung ist gegeben als
Q(t) = e(−R2L t)(
Acos
(√4L−CR2
4CL2 t
)+Bsin
(√4L−CR2
4CL2 t
))
Da U0 ∗sin(ωAt) gegeben ist muss das Störrglied wie folgt gewählt werden:Qp = A′ ·cos(ωAt)+B′ · sin(ωAt)
Vom Störrglied müssen die erste und zweite Ableitung berechnet werden.
Die erste Ableitung ist: Qp =−ωAA′sin(ωAt)+ωAB′cos(ωAt)
Die zweite Ableitung ist : Qp =−ω2AA′cos(ωAt)−ω2
AB′sin(ωAt)
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Nun wird alles in die DGL eingesetzt
U0∗sin(ωAt)= L∗−ω2AA′cos(ωAt)−ω2
AB′sin(ωAt)+ A′·cos(ωAt)+B′·sin(ωAt)C +R∗−ωAA′sin(ωAt)+
ωAB′cos(ωAt)
Nun wird die partikuläre Gleichung aufgelöst:
sin(ωAt):
=> −RωAA′+ B′C −LB′ω2
A = U0; vereinfachen
=>B′ ∗ ( 1C −Lω2
A)−U0 = RωAA′ ; nochmals vereinfachen
=>B′ ∗ ( 1C −Lω2
A)−U0 = RωAA′
=> B′RωA∗ ( 1
C −Lω2A)− U0
RωA= A′ ; man setzt ( 1
C −Lω2A) = λ
=> B′RωA∗λ − U0
RωA= A′
cos(ωAt):
=>0 = RωAB′+A′C −LA′ω2
A
=>A′ ∗ ( 1C−Lω2
A) =−RωAB′; vereinfachen und 1C −Lω2
A = λ einsetzen
=>A′ ∗λ=−RωAB′
=> A′∗λ−RωA
= B′
Nun kann der Term für B’ bei B′RωA∗λ − U0
RωA= A′eingesetzt werden
=> A′∗λ 2
−(RωA)2 − U0RωA
= A′ ; umformen und A′ausklammern
=>− U0RωA
= A′ ∗(
1− λ 2
−(RωA)2
)=> − U0
RωA∗(
1− λ2
−(RωA)2
) = A′ = − U0
RωA+ λ2RωA
Nun kann − U0
RωA∗(
1− λ2
−(RωA)2
) = A′ = − U0
RωA+ λ2RωA
bei A′∗λ−RωA
= B′ eingesetzt werden
Daraus folgt:
− U0∗λ
−(RωA)2∗(
1− λ2
−(RωA)2
) = B′ =− U0∗λ−(RωA)2−λ 2 = U0∗λ
(RωA)2+λ 2
B′ = U0∗λ(RωA)2+λ 2
A′ = − U0
RωA+ λ2RωA
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A′ und B′ könnten nun in die Partikulären Gleichung eingesetzt werden. Dies wird nun aber
nicht gemacht, weil es sonst zu unübersichtlich wird.
=>
QP(t) = L∗−ω2AA′cos(ωAt)−ω
2AB′sin(ωAt)+
A′ · cos(ωAt)+B′ · sin(ωAt)C
+R∗−ωAA′sin(ωAt)+ωAB′cos(ωAt)−U0 ∗ sin(ωAt)
Zusätzlich gilt:
B′ = U0∗λ(RωA)2+λ 2
A′=− U0
RωA+ λ2RωA
λ = 1C −Lω2
A
Die Resonanz wird durch Energiezufuhr in das schwingfähigen System erreicht. Die Energiezu-
fuhr findet durch die Kennkreisfrequenz erreicht. Durch ein Widerstand R wird die die Frequenz
erniedrigt und die Energiezufuhrt damit gebremst. geht der Widerstand gegen Unendlich sinkt
die Kennkreisfrequenz gegen 0 , daraus folgt eine tiefe Resonanz.
1.3 Phänomen der Resonanz mittels Experiment
Nehmen sie eine der Spulen, einen Widerstand R ≈ 10 und eine Kapazität von C = 100nF .
Benutzen sie diese in Serie und beschreiben sie anhand von diesem Experiment, mit einer
rechteckförmigen Wechselspannung das Phänomen der Resonanz. Das heisst messen sie den
Spannungsabfall über dem Widerstand in Abhängigkeit der Frequenz ωA und betrachten sie im
Oszillographen die Anregung. Erklären sie das Resultat des obigen Experiments mittels der
Aufgaben 1.1 und 1.2.
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���������������� �������������������������
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Figure 1.1: Spannungsabfall über dem Widerstand in Abhängigkeit der Frequenz ωA
Erklärung
Anhand des Diagrammes sieht man das Phänomen der Resonanz sehr gut. Die Resonanzfre-
quenz tritt nur in Systemen mit mindestens zwei verschiedenartigen Energiespeichern auf. In
unserem Beispiel sind dies die Spule und der Kondensator. Die Resonanzfrequenz muss ein Ma-
xima haben. Das Maxima bei unserer Messreihe liegt bei 4.104kHZ und 4.8V. Das Diagramm
zeigt, dass sie Frequenz der induzierten Wechselspannung dem Lade-/Entlade Rhytmus vom
Kondensator und der Spule entspricht. Die Frequenz beinhaltet die Variablen R, C und L (siehe
Aufgabe 1.3). C und L sind für die Energiezufuhr zuständig und R ist das Dämpfungsglied.
1.4 Herleiten der Funktion durch Fourierreihe
Beschreiben sie, wie sie mittels Aufgabe 1.1, 1.2 und der Aufgabe 3.1
eine Funktion herleiten könnten die das Experiment aus Aufgabe 1.3 sehr gut beschreibt.
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Im obenstehende Experiment wurde die Rechteckspannug verwendet. Diese
Rechteckspannung kann mittels Fourierreihe approximiert werden. Im untenstehnen Beispiel
wurde die Funktion aus Aufgabe 3.2 ( f (x) = 1+ sgn(x) verwendet. Sie ist in diesem Fall
2π-periodisch. Dies Visualisiert sieht folgendermassen aus:
Figure 1.2: Graphische Darstellung der Approximation der Rechteckspannung
Ist die Funktion f nicht 2π-periodisch, sondern hat sie die Periode T = 2π
ω, können die Fourier-
koeffizienten Ak und Bk folgendermassen geschrieben werden1:
Ak =2T
T2ˆ
− T2
f (x) · cos(kωx)dx
Bk =2T
T2ˆ
− T2
f (x) · sin(kωx)dx
1Fourier-Reihen, Thomas Peters, 1. Dez. 2004
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Dies ergibt folgende Fourierreihe:
A0
2+
∞
∑k=1
(Ak cos(kt)+Bk sin(kt))
bzw.
A0
2+
∞
∑k=1
(Ak cos(kωx)+Bk sin(kωx))
Da es bei der Funktion, wie schon oben erwähnt, sich um eine Rechteckspannung handelt wir
folgende Funktion f (x) für ihre Annäherung gebraucht
f (x) = sig(x)
Das +1 wurde weggelassen, da es sich um eine Wechselspannung handelt. Durch das weglassen
des +1 fällt auch der A0 Therm weg. Zudem wissen wir, das es sich bei der sig-Funktion um
eine ungrade Funktion handelt, was zur folge hat, dass Ak bei der Fourierreihe gleich Null ist. In
Aufgabe 1.1 wird folgende homogene Lösung der DGL erwähnt.
yh = Acos(ωt)+Bsin(ωt)
Die Spannung ist in Aufgabe 1.2 U = U0 sin(ωAt)
Diese kann man nun in eine Fourierreihe umformen. A und B sind Ak und Bk, Ak fällt weg und
die Lösung von Bk ist aus Aufgabe 3.2 bekannt.
Bk =4
kπ· 1+(−1)(−1)k
2
Somit ist die Fourierreihe (mit belibiger Periodendauer) gegeben durch:
f (x)≈U0 ·∞
∑k=1
4kπ· 1+(−1)(−1)k
2· sin(kωAt)
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2 Transformator
2.1 Theorie Transformator
Aufgabe: Erklären sie wie ein Transformator funktioniert.
Um die Funktionsweise eines Transformators erklären zu können, wird im folgenden Abschnitt
erst kurz erklärt wie ein Transformator aufgebaut ist.
2.1.1 Aufbau Transformator
Im Wesentlichen besteht ein Transformator meist aus zwei durch einen Eisenkern induktiv
gekoppelten Spulen mit unterschiedlicher Windungszahl.
Die folgende Abbildung besitzt die Quelle:
http://www.bdew.de/bdew.nsf/id/DE_Schaubilder/$file/transformator%20prinzip.jpg
Abbildung 2.1: Aufbau eines Transformators
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Als Primärspule wird diejenige Spule bezeichnet, an der eine Wechselspannung U1mit der Strom-
stärke I1 ausgehend von einer Spannungsquelle angelegt wird. Die zentrale Kennzahl der Primär-
spule ist die Windungszahl N1. Für die Sekundärspule (Spule an der eine Spannung induziert
wird) kann eine Wechselspannung U2mit der Stromstärke I2 gemessen werden. Die Grösse der
Spannung und Stromstärke an der Sekundärspule steht in direktem Zusammenhang mit deren
Windungszahl N2. Für die dabei geltenden Beziehungen siehe 2.1.2
2.1.2 Funktionsweise Transformator
Ein Transformator wird dazu benutzt, um Wechselspannungen zu Verändern. Man kann damit
zum Beispiel den Strom aus einer Hochspannungsleitung (Hohe Spannung, vergleichsweise
geringe Stromstärke) durch Induktion in einen Strom mit geringer Spannung und grösserer
Stromstärke umwandeln. Dies geschiet nach den folgenden Beziehungen:
Bei einem unbelasteten Transformator (ohne Leistungsabgabe) gilt
U1U2
= N1N2
= n
Unter Vernachlässigung der bei einem guten Transformator (bis etwa 99.8%1) geringen Verluste
kann ebenfalls gesagt werden, dass die Leistung auf Primär- und Sekundärspulenseite die Selbe
ist. Die Leistung ist definiert als P = U · I. So gilt:
U1U2
= I2I1
= n
Daraus ist zu sehen, dass bei kleiner werdender Spannung U2 an der Sekundärspule die Strom-
stärke I2 zunehmen wird.
2.2 Experiment I
Nehmen sie eine Spule und schliessen sie die Spule an den Funktionsgenerator an. Anschliessend
nehmt eine zweite Spule, welche nur an einen Widerstand angeschlossen ist. Messen sie nun mit
Hilfe des Oszillographen die Abhängigkeit der in der 2. Spule induzierten Spannung von der
Frequenz der an der ersten Spule angelegten Spannung. Was ergibt sich?
1http://www.energie.ch/at/trafo/index.htm
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Physikbericht May 31, 2010
Messanordnung:
Es sind zwei voneinander unabhängige Stromkreise nach den Angaben der Aufgabenstellung
erstellt worden.
Figure 2.2: Messanordnung
Die Spule 1 hatte 200 und die Spule 2 300 Windungen. Die Frequenz der Spule 1 wurde schrit-
tweise verändert und die Messresultate aufgeschrieben.
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Physikbericht 31. Mai 2010
Rohdaten:
Uss Hz Faktor kHz USpule1 USpule2
20 100 100 10.3 196 1.7620 90 100 9.4 196 1.8820 80 100 8.8 196 2.0620 70 100 7.13 192 2.3220 60 100 6.3 190 2.6420 50 100 5.2 186 2.9620 40 100 4.3 178 3.3220 30 100 2.9 158 4.120 20 100 1.93 124 4.220 10 100 1.1 70 4.4
Tabelle 2.1: Rohdaten Experiment I
Auswertung:
Rohdaten im Excel aufgetragen ( x-Achse kHz; y-Achse (Primär) USpule1,y-Achse (Sekundär)
USpule2):
Abbildung 2.3: Grafische Darstellung der Versuchsrohdaten
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Physikbericht May 31, 2010
Es ist hier zu sehen, dass die induzierte Spannung bei konstanter angelegten Spannung an der
Spule 1 linear mit sinkender Frequenz zunimmt. Dies gilt für den bereich bis etwa 8 kHz. An-
schliessend nimmt die angelegte Spannung mit Änderung der Frequenz ab. Desshalb ist die
Angelegte Spannung durch die Induzierte Spannung geteilt und gegen die Frequenz aufgetragen
worden. Dabei ist der folgende, lineare Graph entstanden.
Abbildung 2.4: Grafische Darstellung der Versuchsrohdaten
Der Sachverhalt in 2.1.2 konnte somit mittels diesem Experiment nachgewiesen werden.
2.3 Experiment II
Nehmen sie nun die 2. Spule und bewegen diese um die andere Spule herum. Wie ändert sich
die induzierte Spannung? Erklären sie möglichst genau was man beobachtet und erklären sie
warum dies so ist.
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Physikbericht 31. Mai 2010
Messanordnung und Rohdaten:
Im zweiten Experiment haben wir die folgenden Messanordnungen ausgewählt:
(a) Anordnung 1 (b) Anordnung 2
(c) Anordnung 3 (d) Anordnung 4
(e) Anordnung 5
Abbildung 2.5: Messanordnungen 1 bis 5
Durch Messen der Spannung, bei einer Frequenz von 10.3 kHz, an beiden Spulen sind die fol-
genden Daten erhalten worden:
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Physikbericht May 31, 2010
Messanordnung Spule 1 Spule 2Nr° U1[V] U2 [V]1 196 1.72 196 0.25-0.43 196 0.78-0.84 196 0.95 196 0.3-0.45
Tabelle 2.2: Rohdaten Experiment II
Interpretation der Resultate:
Der magnetische Fluss ist gegeben durch φ =´A
(~B,d−→A)
. Wie wir im Physikunterricht gesehen
haben, wird dadurch in einer Leiterschlaufe (Spule) eine Spannung induziert. Ebenfalls haben
wir gesehen, dass sich der magnetische Fluss auf 3 Arten ändern kann:
1. Änderung der Leiterschlaufe (Form, Grösse oder Lage zum B-Feld)
2. Änderung des B-Feldes
3. Änderung der Zwischenwinkels zwischen−→B und
−→A .
In unserem Experiment ändert sich in Messanordnung 1, 2, 3, 4 und 5 die Lage zum B-Feld
sowie zusätzlich in Messanordnung 4 und 5 der Zwischenwinkel.
Aus diesem Grund ändern sich die induzierten Spannungen.
2.4 Experiment III & Regression
Stellen sie die 2. Spule in einem Abstand von ca. 5-10 cm von der 1. Spule auf. Messen sie nun
die induzierte Spannung in Abhängigkeit des Rotationswinkels der 2. Spule. Werten sie diesen
Versuch mittels einer Regression aus.
Die Regression wurde wie im Physikbericht 6 ausgerechnet, nur mit dem unterschied, dass es
sich diesmal nicht um eine lineare Regression handelt. Die induzierte Spannung ist gegeben als
Uinduziert =−dφ
dt= B ·A · cos(ϕ)
Daher ist die Grundfunktion der cos(ϕ). Somit wurde die zu minimirende Funktion aufgestellt:
f (x) =n
∑i=1
(Ai−A · cos(ϕi))2
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Physikbericht May 31, 2010
Wobei Ai die gemessenen Werte und A der zu berechnende Amplitudenfaktor ist. cos(ϕi) ist der
Kosinus des Winkels in Rad. Diese Funktion wurde abgeleitet und Null gesetzt
d fdA
=n
∑i=1
2(Ai−A · cos(ϕi))(−cos(ϕi)) = 0
A =
n∑
i=1Ai · cos(ϕi)
n∑
i=1cos2(ϕi)
(2.1)
2.4.1 Versuchsablauf
Es wurde ein Vorversuch gemacht, um herauszufinden in welchem Abstand gemessen werden
sollte. Man erhielt folgende Daten:
Abstand der Spulen Spannung Frequenz CH II (Volt) CH I (Volt)/cm /V /kHz /V /V10 20 10.3 194 0.25 bis .455 20 10.3 194 .48 bis .63 20 10.3 194 .75 bis .85
Table 2.3: Vorversuch von Experiment 2.4
Aufgrund der evaluierten Daten wurde ein Abstand von 3cm gewählt, weil dort die kleinsten
Schwankungen aufgetreten sind. Anschliessend wurde die zweite Spule (CH I) um den eige-
nen Mittel Punkt gedreht. Aus diesem Prozess wurden die Rohdaten aus Tabelle 2.4 erhalten.
Anschliessend wurden die Daten mittels Regression ausgewertet (sieh 2.4.3)
2.4.2 Rodaten der Messung
Die Rohdaten des Experimentes 2.4 wurden in einer Exceltabelle abgelegt.
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Physikbericht May 31, 2010
Abstand Winkel Winkel Spannung Frequenz CH II (Volt) CH I (Volt)/cm Radiant /V /kHz /V /V
3 0 0 20 10.3 194 0.83 10 0.175 20 10.3 194 0.83 20 0.349 20 10.3 194 0.83 30 0.524 20 10.3 194 0.83 40 0.698 20 10.3 194 0.753 50 0.873 20 10.3 194 0.73 60 1.047 20 10.3 194 0.73 70 1.222 20 10.3 194 0.63 80 1.396 20 10.3 194 0.63 90 1.571 20 10.3 194 0.4
Table 2.4: Rohdaten des Haubtexperimentes
2.4.3 Graphische Auswertung
Für A ergab dies nach Formel 2.1 0.864. Die Funktion die lautet somit f (x) = 0.864 · cos(x).Beim plotten der Messdaten konnte festgestellt werden, dass diese Funktion nicht optimal angepasst
wurde. So wurde empirisch einen Faktor für die Periodendauer zu verlängern herausgefunden.
Dieser Faktor beträgt 0.6. Somit ist die Funktion welche “manuel” weiter Angepasst worden ist:
fa(x) = 0.864 · cos(0.6x)
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Indu
zier
teSp
annu
ng
Winkel (Radiant)
Regression Aufgabe 2
Messwerte best Fit
(a) Fit, welcher rein rechnerisch Bestimmt wurde. ImVergleich zu der nebenstehenden Abbildung 2.6b istersichtlich, dass nicht obtimal gefittet wurde.
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Indu
zier
teSp
annu
ng
Winkel (Radiant)
Regression Aufgabe 2
Messwerte best Fit
(b) Angepasster Fit. Bei dieser Fit fa(x) = 0.864 ·cos(0.6x) sind alle Punkte relativ nahe der berech-neten Funktion. Die Residuen bestätigen diesen ver-dacht.
Figure 2.6: Vergleich der beiden Fits
19
Physikbericht May 31, 2010
Wurden die Residuen Aufgetragen wurde der obenstehende Vergleich deutlicher.
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
Res
idue
n
Winkel (Radiant)
Residuen A2
Residuen
(a) Es ist ersichtlich das der Abstand mit zunehmendemWinkel zunimmt.
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
Res
idue
n
Winkel (Radiant)
Residuen A2
Residuen/Angepasst
(b) Angepasster Fit. Hier ist kein Trent auszumachen,zudem sind die Abstände um einiges Kleiner als beider Abbildung 2.7a.
Figure 2.7: Vergleich der beiden Fits
Bei der Abbildung 2.7a kann ein Zunehmen des Abstandes mit zunemenden Winkel ausgemacht
werden, dies spricht füen nicht optimalen Fit. Anderer Seits ist der empirisch Bestimmte Faktor,
rel. wilkührlich gewählt worden und ist Somit nicht perfekt. Schlussendlich muss gesagt sein,
dass die Messung nicht optimal verlaufen ist, da der Fit nicht der bestmögliche ist. Zudem währe
es besser gewessen, wenn von jedem Winkel mehrmass die induzierte Spannung zu messen.
Auch währen mehr als 10 Messwerte vorteilhaft gewessen.
20
Physikbericht 31. Mai 2010
3 Fourierreihe
Jede periodische Funktion f (x) kann mittels einer Summe von Sinus und Cosinusfunktionen
sehr gut angenähert werden. Zur Vereinfachung nehmen wir nun eine Funktion die 2π periodisch
ist. Betrachten wir diese Funktion im Intervall [−π,π]. Die Funktion f (x) kann dann durch die
SummeA0
2+
∞
∑k=1
(Ak cos(kx)+Bk sin(kx))
geschrieben werden, mit Ai und Bi konstante reelle Zahlen. Eine solche Summe wird Fourier-
reihe genannt.
Erklärt warum eine gerade Funktion f (x) eine Summe von Cosinusfunktionen sein muss, also
dass alle Bk gleich 0 sein müssen.
Eine Funktion ist gerade, wenn f (x) = f (−x) ist und ungerade wenn f (−x) =− f (x) gild. Die
Cosisnusfunktion ist gerade, die Sinusfunktion hingegen ist eine ungerade Funktion. Will man
nun die gerade Funktion f1(x) mittels Fourierreihe annächern ist es nötig, dass es sich um gerade
“Annäherungsfunktionen” handelt. Wenn man nun aber eine gerade Funktion mit einer geraden
Funktion multipliziert erhält man wiederum eine gerade Funktion. Wird eine gerade mit einer
ungeraden Funktion multipliziert erhält man eine ungerade Funktion. Die Multiplikation von
zwei ungeraden Funktionen ergibt eine gerade Funktion.
Dies wurde graphisch dargestellt.
21
Physikbericht May 31, 2010
-1
-0.5
0
0.5
1
-6 -4 -2 0 2 4 6
y
x
Fourierreihe
cos(x)
(a) gerade Cosinusfunktion
-1
-0.5
0
0.5
1
-6 -4 -2 0 2 4 6
y
x
Fourierreihe
cos(x)*sin(x)
(b) ungerade Funktion
-1
-0.5
0
0.5
1
-6 -4 -2 0 2 4 6
y
x
Fourierreihe
cos(x)* sin(x)*sin(x)
(c) gerade Funktion
-1
-0.5
0
0.5
1
-6 -4 -2 0 2 4 6
y
x
Fourierreihe
cos(x)*sin(x)*cos(x)
(d) ungerade Funktion
Abbildung 3.1: gerade und ungerade Funktionen
Dies bedeute für die Fourierreihe, dass wenn eine gerade Funktion in Bk eingesetzt wird, die
Fläche unter dem Integral Null ist. Ungerade Funktionen integriert ergeben immer Null. Dies ist
auch ersichtlich wenn z.B f (x) = x für Ak integriert wird, wie in Aufgabe 3.2. Wenn nun aber
eine ungerade Funktion f2(x) in Bk eingesetzt wird, ergibt sich eine gerade Funktion, welche
beim integrieren nicht Null ergibt. Bei Ak ist natürlich das Gegenteil der Fall.
Die Konstanten Ak und Bk können berechnet werden. Es gilt:
A0 =1π
π
−π
f (x)dx
Ak =1π
π
−π
f (x)cos(kx)dx
22
Physikbericht 31. Mai 2010
Bk =1π
π
−π
f (x)sin(kx)dx
• Zeigt, dass für die trivialen Funktionen f1(x) = −1 und f2(x) = sin(x), die Funktionen
exakt wiedergegeben werden.
Für die Funktion f (x) =−1 wird keine Bk’s benötigt, da es sich um eingerade Funktion handelt.
Ak wurden zur Bestätigung denoch berechnet. Für A0 kann folgendermassenvorgegangen werde:
A0 = −1π
π
−π
1dx = 1π
π
−π=−2
für Ak kann genau gleich berechnet:
Ak = −1π
π
−π
cos(kx)dx = − 1πk sin(kx)
π
−π=− 1
kπ(sin(kπ)+ sin(kπ)) = 0
Somit wurde gezeigt, dass Ak immer null ist. Denn sin(kπ) ist immer Null!. Nun wird Bk analog
berechnet.
Bk = −1π
π
−π
sin(kx)dx = 1πk cos(kx)
π
−π= 1
kπ(cos(kπ)− cos(kπ)) = 0
Hier ist es so, dass auch Bk gleich Nul ist, somit ist nur A0 für die Approximation verantwotlich.
Das heisst, die Fourierreihe sieht folgendermassen aus:
A0
2+
∞
∑k=1
0 =−1
Daher ist die Funktion f (x) =−1 exakt approximiert worden.
Die Funktion f (x) = sin(x) wird folgendermassen approximiert:
Zuerst wird der A0 Koeffiziernt berechnet.
A0 = −1π
π
−π
sin(x)dx = cos(x)π
π
−π= 0
Anschliessend kann Bk berechnet werden, Ak muss hier nicht ausgerechenet werden, da es sich
bei f (x) = sin(x) um eine ungerade Funktion handelt.
23
Physikbericht May 31, 2010
Bk = 1π
π
−π
sin(x) · sin(kx)dx = 1π
π
−π
(cos(x+kx)−2 − cos(x−kx)
−2
)·dx
diese Umformung von sin(x) · sin(kx) kommt durch das Theorem −2sin(α) · sin(β ) = cos(α +β )− cos(α−β ), wobei α x und β kx ist. Im Anschluss darauf wird k = 1 gewählt, so kann das
Integral folgendermassen geschrieben werden:
1−2π
π
−π
(cos(2x)− cos(0)) ·dx =1−2π
π
−π
(cos(2x)−1) ·dx
1−2π
(sin(2x)
2 − x)
π
−π→ 1−2π
(0−π)− 1−2π
(0+π) = 12π·π + 1
2π·π = 1
Die gesammte Approximation sieht folgedessen
f (x) ≈A0
2+
∞
∑k=1
Bk sin(kx) =∞
∑k=1
1 · sin(kx)
Somit wurde die Funktion f (x) = sin(x) exakt angenähert.
3.1 Berechnung des Fourierkoe�zient I
Berechnet die Fourierkoeffizienten der Funktion 1 + sgn(x) für den Definitionsbereich D f =[−π,π[ (für alle k’s). Erstellt einen Graphen, welcher zeigt, dass die Fourierreihe die Funktion
mit wachsender Anzahl cos und sin Funktionen immer besser approximiert. Was fällt dabei auf?
Bei der Funktion f (x) = 1 + sgn(x) handelt es sich um eine ungerade Funktion, somit fällt Ak
weg, da diess null ergibt. Desweitern geht man wie oben vor. Zuerst wird A0 berechnet. Dies
wird nach folgender Formel berechnet:
A0 =1π
π
−π
f (x)dx
Das Integral kann auseinadergenommen werden, nähmlich zum einen in den schnell ersichtlich
+1 Teil und zum ander der Signum-Teil der Funktion. Der Signum-Teil kann wiederum Zweigeteilt
werden. Von x =−∞ bis x = 0 kann man die Funktion als f (x) =−1 schreiben. Wenn x≥ 1 ist
dan kann die Funktionals f (x) = 1 geschrieben werden. Somit ergibt sich folgendes Integral:
24
Physikbericht May 31, 2010
A0 =1π
π
−π
dx+−1π
0ˆ
−π
dx+1π
π
0
dx
1π
π
−π− 1
π
0
−π+ 1
π
π
0= 2
Wie schon oben erwähnt wurde ist die Signum Funktion eine Ungeradefunkktion, und daher
muss kein Ak berechnet werden. Die Berechnung von Bk wird wie folgt gemacht. Die Integrale
weren wieder auseinadergennomen, so dass:
Bk =1π
π
−π
sin(kx)dx+−1π
0ˆ
−π
sin(kx)dx+1π
π
0
sin(kx)dx
−cos(kx)kπ
π
−π+ cos(kx)
kπ
0
−π− cos(kx)
kπ
π
0=
−cos(kπ)kπ
− -cos(kπ)kπ
+cos(0)
kπ− cos(kπ)
kπ−(
cos(kπ)kπ
− cos(0)kπ
)=
2cos(0)kπ
− 2cos(kπ)kπ
=2
kπ− 2cos(kπ)
kπ
{wenn k gerade dann = 0
wenn k ungerade dann = 4kπ
}
Die gesammte Approximation sieht folgedessen
f (x) ≈A0
2+
∞
∑k=1
Bk sin(kx) = 1+∞
∑k=1
(2
kπ− 2cos(kπ)
kπ
)sin(kx)
Dies kann auch vereinfacht geschrieben werden:
f (x) ≈ 1+∞
∑k=1
4kπ· 1+(−1)(−1)k
2· sin(kx)
25
Physikbericht 31. Mai 2010
Bei der graphischen Darstellung sieht man, dass mit zunehmender k’s die Näherung besser.
0
0.5
1
1.5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
(a) Graphische Darstellung derFunktion f (x) = 1+ sgn(x)
0
0.5
1
1.5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
(b) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = 1 +sgn(x) für k bis 1
0
0.5
1
1.5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
(c) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = 1 +sgn(x) für k bis 3
0
0.5
1
1.5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
(d) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = 1 +sgn(x) für k bis 5
0
0.5
1
1.5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
(e) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = 1 +sgn(x) für k bis 9
0
0.5
1
1.5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
(f) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = 1 +sgn(x) für k bis 15
Abbildung 3.2: Approxiamtionen von f (x) = 1+ sgn(x) für k bis 1,3,5,9,15
26
Physikbericht May 31, 2010
0
0.5
1
1.5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
Berechnug der Fourierreihe 1
k bis 1k bis 3
k bis 5k bis 9
k bis 151+sgn(x)
Abbildung 3.3: Zusammenfassung der graphische Darstellung der Approxiamtionen von f (x) =1+ sgn(x)
Es fällt auf, dass mit wachsenden k’s die “flachen” Teile der Funktion immerbesser Angenähert
werden, bei den “sprüngen” kann eine perfekte Annähereung nur bei einer Unendlichen Anzahl
an k’s gemacht werden. Dieses Verhalten heißt Gibbs’sches Phänomen und tritt auf, weil die
Koeffizienten nicht schnell genug gegen Null gehen.
3.2 Berechnung des Fourierkoe�zient II
Berechnet die Fourierkoeffizienten für die Funktion f (x) = x, wiederum mit der Annahme, dass
die Funktion 2π periodisch sei.
Angaben:´
xcos(ax)dx = cos(ax)a2 + xsin(ax)
a und´
xsin(ax)dx = sin(ax)a2 − xcos(ax)
a
Bei der Funktion f (x) = x ist wie bei Aufgabe 3.1 eine ungerade und somit fällt Ak wieder weg.
Die Berechnung von A0 und Bk erfollgt analog zu den obrigen Berechnungen.
27
Physikbericht May 31, 2010
A0 = 1π
π
−π
xdx= x2
π
π
−π= 0
Das A0 wegfällt, war zu erwarten, da die Funktion f (x) = x durch den Koordinatenursprunk
geht.
Bk = 1π
π
−π
xsin(kx)dx = 1π
(sin(kx)
k2 − xcos(kx)k
)π
−π→
(sin(kπ)
k2π− π cos(kπ)
kπ
)−(−sin(kπ)
k2π+
π cos(kπ)kπ
)=−2cos(kπ)
k
{wenn k gerade dann = −2
k
wenn k ungerade dann = 2k
}
Der Sinusteil der Gleichung fällt weg, da dieser bei allen k’s Null ist. Somit kann die Fourierreihe
geschrieben werden:
f (x) ≈A0
2+
∞
∑k=1
Bk sin(kx) =∞
∑k=1
−2cos(kπ)k
sin(kx)
Auch dies kann vereinfacht geschrieben werden.
f (x) ≈∞
∑k=1
(−1)k+1 · 2k
sin(kx)
28
Physikbericht 31. Mai 2010
Auch hier ist die graphische Darstellung der Approximation aussagekräftig. Auch hier ist das
Gibbs’sches Phänomen zu beobachten.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
(a) Graphische Darstellung derFunktion f (x) = x
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
yx
(b) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = x für kbis 1
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
(c) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = x für kbis 2
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
(d) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = x für kbis 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
(e) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = x für kbis 5
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3y
x
(f) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = x für kbis 9
Abbildung 3.4: Approxiamtionen von f (x) = X für k bis 1,2,3,5,9
29
Physikbericht May 31, 2010
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
Berechnug der Fourierreihe 2
k bis 1k bis 2
k bis 3k bis 5
k bis 9x
Abbildung 3.5: Zusammenfassung der graphische Darstellung der Approxiamtionen von f (x) =x
3.3 Berechnung der Fourierkoe�zient III
Könnt ihr mittels dem Resultat aus Aufgabe 3.1 und dem Resultate aus Aufgabe 3.2 direkt die
Fourierreihe der Funktion f (x) = sgn(x)− x angeben?
Wie in Aufgabe 3.1 festgestellt wurde handelt es sich bei der Signumfunktion um eine unger-
ade Funktion. Auch f (x) = x ist eine ungerade Funktion. Dies bedeutet, dass bei beiden Ap-
proximationen der Ak Teil wegfällt. Dess weiterem konnte fest gestellt werden, dass wenn die
Funktion durch den Koordinatenursprung geht A0 Null ist (A0verschiebt die Funktion “nur” auf
der y-Achse). In Aufgabe 3.1 wurde die Funktion zerlegt. Auch hier kann diese Technik be-
nutzt werden, man kan die verschedenen Teile der Funktion einfach addieren. Dies Bedeutet die
Lösung der Funktion f (x) = sgn(x) Minus die Lösung der Funktion f (x) = x. So ergibt sich:
f (x) ≈∞
∑k=1
4kπ· 1+(−1)(−1)k
2· sin(kx)− (−1)k+1 · 2
ksin(kx)
30
Physikbericht May 31, 2010
Daraus resultieren folgende Graphiken. Die Koeffizienten konvergieren nicht schnell genug
gegen Null, daher ist das Gibb’sche Phänomen wieder ersichtlich.
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
(a) Graphische Darstellung derFunktion f (x) = sgn(x)− x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
yx
(b) Graphische Darstellungder Approxiamtion vonf (x) = sgn(x)− x für k bis 1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
(c) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = sgn(x)−x für k bis 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
(d) Graphische Darstellungder Approxiamtion vonf (x) = sgn(x)− x für k bis 3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
(e) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = sgn(x)−x für k bis 5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3y
x
(f) Graphische Darstellung der Ap-proxiamtion von f (x) = sgn(x)−x für k bis 9
Abbildung 3.6: Approxiamtionen von f (x) = sgn(x)− x für k bis 1,2,3,5,9
31
Physikbericht May 31, 2010
Auch hier wurden die einzelnen Graphiken übereinandergelegt, um eine Übericht zu erlangen.
-2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
Berechnug der Fourierreihe 2
k bis 1k bis 2
k bis 3k bis 5
k bis 9sgn(x)-x
Abbildung 3.7: Zusammenfassung der graphische Darstellung der Approxiamtionen von f (x) =sgn(x)− x
3.4 monochromatisches Licht
Wie ihr euch vielleicht noch erinnert ist Licht eine Welle. Mittels dem Resultat aus Aufgabe 3.1
und dem Resultate aus Aufgabe 3.2 kann gezeigt werden, dass es nicht möglich ist monochro-
matisches Licht (d.h. Licht mit einer genau bestimmten Wellenlänge) zu erzeugen. Versuchen
sie diesen Sachverhalt zu erklären. (Tipp: Betrachte ein Foto einer echten Lichtwelle im Raum).
Monochromatisches Licht ist licht mit der gleichen Wellenlänge und da die Wellenlänge direkt
von der Lichtgeschwindikeit c und der Frequenz f abhägt
λ =cf
besitzt monochrome Lichtwellen die gleiche Frequenzen. Die Wellen können aber phasenver-
schoben sein und verschiedene Amplituden bestizen. Dies wurde in der Abblidung 3.8 verdeut-
32
Physikbericht May 31, 2010
licht. Alle diese Wellen besitzen die gleiche Wellenlänge bzw. Frequenz.
Figure 3.8: monochromatische Lichtwellen
Für die Fourierreihe bedeutet das, dass die Reihe nur aus gleich frequenten Wellen bestehen darf.
Ak und Bk verändern die Amplitude und nicht die Frequenz. Jedoch wird bei verschiedenen k1
auch verschiedene Frequenzen generiert. Das heisst, die Fourierreihe würde nur aus gleichen
k bestehen. Schaut man sich nun eine Welle von vorne an, erhält man einen unendlich dünnen
rechteckigen Kasten. Im untenstehenden Beispiel wurde der einfachkeitshalber nur der positive
Teil der Wellen angeschaut. Siehe Abbildung 3.9.
Abbildung 3.9: Monochromatisches Licht.Lichtwelle von “vorne”.
Dieses “Rechteck” lässt sich nicht mit einer
Fourierreihe, welche nur aus einem k besteht
annähern. Die Funktion währe ähnlich einer
sgn -Funktion (siehe Aufgabe 2.3). Selbst ein
unendlich dünner Kasten könnte nicht nur mit
einer Frequenz angenähert werden.
Monochromatisches Licht kann mittels Filter
oder mittels Prismen hergestellt werden. Wie
oben beschrieben existiert kein monochroma-
tisches Licht, man kann aber sich diesem
Ideal annähern. Diese Annäherung nennt man
Koherenz.
1bei sin(kx) & cos(kx)
33
List of Figures
1.1 Spannungsabfall über dem Widerstand in Abhängigkeit der Frequenz ωA . . . . 8
1.2 Graphische Darstellung der Approximation der Rechteckspannung . . . . . . . 9
2.1 Aufbau eines Transformators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Messanordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Grafische Darstellung der Versuchsrohdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Grafische Darstellung der Versuchsrohdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Messanordnungen 1 bis 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Vergleich der beiden Fits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Vergleich der beiden Fits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1 gerade und ungerade Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Approxiamtionen von f (x) = 1+ sgn(x) für k bis 1,3,5,9,15 . . . . . . . . . . 26
3.3 Zusammenfassung der graphische Darstellung der Approxiamtionen von f (x) =1+ sgn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Approxiamtionen von f (x) = X für k bis 1,2,3,5,9 . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Zusammenfassung der graphische Darstellung der Approxiamtionen von f (x) = x 30
3.6 Approxiamtionen von f (x) = sgn(x)− x für k bis 1,2,3,5,9 . . . . . . . . . . 31
3.7 Zusammenfassung der graphische Darstellung der Approxiamtionen von f (x) =sgn(x)− x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.8 monochromatische Lichtwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.9 Monochromatisches Licht. Lichtwelle von “vorne”. . . . . . . . . . . . . . . . 33
34
List of Tables
2.1 Rohdaten Experiment I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Rohdaten Experiment II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Vorversuch von Experiment 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Rohdaten des Haubtexperimentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35
