Planetare (geothermale) Wärmetransportprozesse und deren mathematische Beschreibung

Planetare (geothermale)Planetare (geothermale)WärmetransportprozesseWärmetransportprozesse

und deren mathematische Beschreibung

VO Planetologie06.12.2005

Autor: Leitner J. J.

J. J. Leitner

Planetare Wärmequellen – Allgemein:Planetare Wärmequellen – Allgemein:

ursprüngliche Wärme: Wärmemenge am Anfang der Planetengeschichte (durch Impakte von Protoplaneten und durch Bildung eines Kerns)

radioaktiver Zerfall von Elementen im Mantel: U235 Pb207 U238 Pb206

Th232 Pb208 K40 Ca40

andere Wärmequellen: -) Reibungswärme durch Konvektion

-) latente Wärme bei Phasenübergängen-) Gravitationswärme durch laufende Differenzierung-) Umwandlungswärme durch Kristallisation des inneren Kerns

Planetare Wärmequellen – Beispiel Erde:Planetare Wärmequellen – Beispiel Erde:

Oberflächenwärmeverlust: 4.43 x 1013 W ~ 87 mW m-2

(ozean. Kruste: 101 ± 2.2, kont. Kruste: 65 ± 1.6, ozean. Rücken ~ 400, Subduktionszonen ~35 mW m-2)

Wärmefluss Kern Mantel: 3.6 x 1012 W ~ 8 % Kühlen des Kerns: 2.6 x 1012 W Kristallisationswärme: 0.34 x 1012 W Gravitationswärme: 0.66 x 1012 W

Beitrag durch radioakt. Zerfall (Mantel): 2.4 x 1013 W ~ 55 %

~ 92 % der Wärme wird direkt im Mantel erzeugt

Übersicht Wärmetransportmechanismen:Übersicht Wärmetransportmechanismen:

MechanismusMechanismus BeschreibungBeschreibung KontinuumKontinuumWärmeleitung= Konduktion= Wärmediffusion

kinetische Energie wird zw. benachbarten Molekülen in Richtung des negativen Temp.- gradienten übertragen

Fluid,Festkörper

Wärmeströmung= Konvektion

transportiert eigentlich keine Wärme, sondern innere Energie

Fluid,hochplastischeFestkörper

Wärmestrahlung= Temp.strahlung

Energietransport mittels elm. Wellen, welche ein Körper in Abhängigkeit von seiner Temperatur emittiert (0.1 μm < λ < 1000 μm)

kein Kontinuum erforderlich

mat

erie

gebu

nden

nich

t m

ater

iege

bund

en

(1) Wärmestrahlung:(1) Wärmestrahlung:

Stefan-Boltzmann-Gesetz:Stefan-Boltzmann-Gesetz:

für schwarze Körper gilt: (ε = α = 1; Kirchhoffsches Strahlungsgesetz)

für graue Körper gilt: wegen ε(T) ist P nicht mehr streng proportional zu T4

für reale Körper müssen ε und α experimentell bestimmt werden ((ε ≠ α ≠ 1)

P … Strahlungsleistung [W m-2]A … FlächeT … Temperaturσ … Stefan-Boltzmann-Konstanteε … Emissionsgradα … Absorptionsgrad

4)( ATTP

4ATP


Wiensches Verschiebungsgesetz:Wiensches Verschiebungsgesetz:(Zusammenhang zw. Temperatur eines schwarzenKörpers und der Wellenlänge seiner Strahlung)

Plancksches Strahlungsgesetz:Plancksches Strahlungsgesetz:(für schwarze Körper, im Vakuum)

K μm 0051.07685.2897max T

112),( /2

3

kThec

hTL

112),( /5

3

kThce

hTL

L … spektrale Strahldichte [W m-3]h … plancksche Wirkungsquantumν … Frequenzλ … Wellenlängec … Lichtgeschwindigkeitk … Boltzmannkonstanten … Brechungsindex des Mediums

Medium:

n

ncc


Bedeutung für die Geothermik:Bedeutung für die Geothermik:

316 32 Tn

r

MineralMineral Brechungsindex nBrechungsindex n11

Olivin (Forsterit, Mg2SiO4)

Olivin (Fayalit, Fe2SiO4)

1.636 – 1.7721.731 – 1.875

Quarz (SiO) 1.54

Feldspatvertreter (= Foide) 1.52 – 1.58

37107.8 T

r

I … Intensität der Strahlungκ … Absorptionskoeffizientε … Emissionskoeffizientn … Brechungsindexα …Opazität (Abschwächung)

1 Ahrens J., 1995

n ~ 1.7

I

dxdIStrahlungstransportgleichung:

(vereinfacht, 1D)

Strahlungsleitfähigkeit::


xeII 0in opakem Medium gilt:

Druck im Planeteninneren bewirkt eine Kompression der e- Bahnen benachbarte Orbitale überlagern sich es kommt zu intraorbitalen Ladungstransfers der Absorptionskoeffizient erhöht sich mit steigenden Druck erhöhte Opazität blockiert Transport durch Wärmestrahlung

für T ~ 103 K gilt:(unterer Mantel, Erde) 000087.0107.8

37

Tr


(2) Wärmeleitung:(2) Wärmeleitung:

Gesetz von Fourier (= Wärmeleitungsgleichung, 3D):Gesetz von Fourier (= Wärmeleitungsgleichung, 3D):

),(),(),( trTtrTCk

ttrT

P

k … Wärmeleitfähigkeitt … ZeitT … Temperaturρ … DichteCP … spezifische Wärme(kapazität)κ … thermische Leitfähigkeit, Temperaturleitfähigkeit, Temperaturleitzahlz

trTytrT

xtrTT 2

2

2

2

2

2 ),(),(),(

wobei:


Wärmeleitung in Festkörpern: 2 Prozesse:Wärmeleitung in Festkörpern: 2 Prozesse:

Gitterleitung (Phononen = Quasiteilchen zur Beschreibungvon quantisierten Gitterschwingungen, delokalisiert, zählen zu den Bosonen),tritt hauptsächlich in Nichtmetallen auf

elektronischer Beitrag (Elektronen) Transport durchFluss freier Elektronen,tritt hauptsächlich in Metallen auf

Bei Wärmetransport ausschließlich durch Konduktion,treten keine Wirbel auf.


PCk

1)( bTak

sowohl k als auch CP stark temperaturabhänigig

Betrachten: Wärmeleitfähigkeit Betrachten: Wärmeleitfähigkeit kk::

allgemein gilt:

für die meisten Mantelmineralien bei hohen Temp.: (elektrisch nicht leitend) (Lee D. W. et al., 1960)

es gilt: k(Λ) (Λ … mittlere freie Weglänge) tiefe Temp.: C dominiert Λ ~ const k ~ T3

hohen Temp.: C ~ const Λ ~ k ~ T-1

a, b … Materialkonstante unter Berücksichtigung von Phononenstreuungen durch Verunreinigungen und Phonon-Phonon WechselwirkungenpN, TN … Druck, Temp. bei Normalbeding. (1 bar, 293 K)λkT, λkp …Materialparameter

N

Nkp

N

NkT

N ppp

TTT

kk

1


RCV 3

2/

/2

1

3

kThv

kThvA

Ve

ekThvkN

C

Gesetz von Dulong-Petit: (nur bei hohen Temp. und einfacher Kristallstruktur; Maxwell-Boltzmann Statistik)

Einstein Modell: (bei hohen Temp. geht es in Dulong-Petit über; Einstein-Bose Statistik)

Debye Modell: (auch für niedrigere Temp. geeignet, Phononen-Modell)

334

512 T

TTkNCD

AV

khvT D

D

Betrachten: Spezifische Wärme Betrachten: Spezifische Wärme CC:: R … allgemeine GaskonstanteNA … Avogadro-Konstantev … Frequenz des harm. Osz.TD … Debye TemperaturvD … Debye Frequenz (Phonon)EF … Fermi Energie


Einstein-Debye Modell: (auch für Metalle, Phononen und Elektronen Beitrag)

33

422

512

2T

TkNT

EkNC

D

A

F

AV


Geospezifische Modelle für die spezifische Wärme:Geospezifische Modelle für die spezifische Wärme:

>1500 K: Fei-Saxena Modell (Amthauer G. et al., 1979):

298–1500 K: Maier-Kelley Modell (Daniels J. M., 1981):

22/1 DTCTBTACP

PP CBTATkTkTknRC 33

22

1113

Abb: CP von Mg2SiO4 (Forsterite) Rohlf J. W., 1994


Allgemeine Beziehungen:

VV

PP

dTEC

dTHC

2

TVCC VP

für Festkörper ist CP relativ unabhängig vom Druck p, aber stark abhängig von der Temperatur T

V … Molarvolumenα … thermischer Ausdehnungskoeffizient (= 1/V)β … Kompressibilität (= - 1/V)H … Enthalpie

00 PCT :gilt es



22

PCk τ … charakteristische Zeitskala

ℓ … charakteristische Länge

Leitner J. J., 2005

tägliche Temp.schwank.: ℓ = 30 cmjährliche Temp.schwank.: ℓ = 5 meiszeitliche Schwank.: ℓ = 1 km

4 Gyr ℓ = 350 km

Wärmeleitung als Transport-mech.nur für Kruste und Lithosphäre von Bedeutung


Anwendung – Abschätzung Oberflächenwärmeverlust:Anwendung – Abschätzung Oberflächenwärmeverlust:

1. Modell: -) isotrope Verteilung radioakt. Elemente -) keine sekularen Kühlungsprozesse -) Basisfluss = 0

2. Modell: -) wie oben -) ozeanische Kruste CCCS yHq

tkTCq PCS

1

1 Turcotte D. L., 19952 Harrison C. G. A., 19823 Leitner J. J., Firneis M. G., 2005

qs … Oberflächenwärmeflussρc … mittlere KrustendichteHc … Wärmeproduktionsrate (Kruste)k … thermische Leitfähigkeitt … Krustenalter

2

tq

tq

S

S

28.7

3.11

:Venus

:Erde3


Leitner J. J., 2005


3. Modell:3. Modell: Wärmefluss in alter (kontinentaler) Kruste:

t

ak

akT

akTqS 2

2

exp2 a … Lithosphährendicke

Leitner J. J., 2005 Leitner J. J., 2005

(3) Konvektion:(3) Konvektion:

2 Subtypen:2 Subtypen:

freie Konvektion: Konvektion wird durch einen Temp.-gradienten bewirkt, welcher eineStrömung induziert

erzwungene Konvektion: durch eine von außen wirksame Kraft


Grundgleichungen:

Wärmeleitungsgleichung (ergibt sich aus Fourier-Glg. durch Adaption auf ein sich bewegendes Fluidteilchen):

Navier-Stokes-Gleichung (für ein Newtonsches Fluid = Viskosität konstant, inkompressibel):

TTvtT

dtdT

grad

gvvpvvtv

gradgrad

1

Temp.änderung Teilchen Temp.änderung am Referenzpunkt

Wärmetransport assoziert mit Strömung d. Teilchens Strömungsgeschwind. v

beschreibt Zusammenhang zw. Druckkräften und der Dichte


Modell: betrachten: 2 unendlich ausgedehnte vertikale Platten mit verschiedenen konst. Temperaturen T1 und T2

axTTxT 0)(

1221

0 2TTTTTT

und mit

stationäre Lösung derWärmeleitungsglg. ohneStrömung:

Temp. Verteilung mit horizontalen Gradienten


Annahme: inkompressibles Fluid (d.h. Dichte ρ des Fluids nur von Temp. T, nicht aber von Druck p abhängig

axTTxTxx 0000 )(1)()(

Isochoren (Flächen konstanter Dichte) sind vertikal

Isobare sind horizontal

ist das Fluid anfänglich in Ruhe (v = 0): gp 0 grad

ohne Beweis sei festgestellt: Isobare ≠ Isochore→ Wirbelbildung (Entstehung einer Rückströmung)


Allgemein gilt: es kann kein hydrostatisches Gleichgewichtfür ein Fluid in einem Schwerefeld geben, wenn ein Temp.-Gradient mit einer horizontalen Komponente vorhanden ist

Untersuchung der Fluidströmung:Annahme: stationärer Bereich der Navier-Stokes Glg. erreicht

unter Ausnutzung der Translationsinvarianz der Strömung iny- und z-Richtung parallel zu der Oberfläche der Platten (d.h.(Geschwind.feld v hängt nur von x ab, Inkompressibilitäts-bedingung div v = 0 reduziert sich auf ∂vx/∂x = 0, aus Rand-bedingung v → 0 an den Wänden folgt vx = 0), liefert eineProjektion der N-S-Glg. auf die vertikale Achse:

2

2

)(10

xv

vgyp

xy


gTpg 0

auf jedes Fluidteilchen wirkt also eine zusätzliche Gegenkraft:

weitere Annahmen: kein äußerer Druckgradient vertikaler Druckgradient ∂p/ ∂y reduziert sich auf hydrostatischen Druck bei fehlender Strömung (= grad p0=ρ0g)

mit Randbedingung

46

22 ax

vaTxgvy

02

axv y


Durch Anlegen eines Temperaturgradienten kann es zustabilen und instabilen Gleichgewichtszuständen kommen.

Geht man langsam über Schwelle, an der Instabilität auftritt, hinaus, so beginnt das System chaotisch zu werden.

Hydrodynamische Instabilitäten:Hydrodynamische Instabilitäten:

Instabilität (Beispiele)Instabilität (Beispiele) KontrollparameterKontrollparameter

Rayleigh-Bénardsche Gradient der Temperatur

Taylor-Couettesche Gradient der Zentrifugalkraft

Bénard-Marangonische Gradient der Oberflächenspannung

(3) Konvektion - (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:Rayleigh-Bénardsche Instabilität:

Betrachten: von unten erwärmtes Fluid, Teilchen geringererDichte befinden sich unter denjenigen größerer Dichte Fluidbewegung (Auftrieb) setzt ein, wenn ΔT einen Grenzwert (Instabilitätsschwelle) überschreitet (ΔT = ΔTc) es bilden sich Konvektionszellen ΔT >> ΔTc → chaotisches Verhalten


Voraussetzung für Instabilität:Voraussetzung für Instabilität:

eitLeitfähigk rthermischet Viskositäherkinematisc lPrandtlzah

Pr

qualitative Analysen fordern: Pr >> 1

Kriterium für die Instabilität:Kriterium für die Instabilität:

Betrachten: kugelförmiges Teilchen mit Radius R mitGeschwind. v (nach oben gerichtet)


aTRvAT

vyaTRAv

yTyT

RA

2

00

2

2

A … geometrische KonstanteδT … Temp.differenz, die das Teilchen im Verhältnis zu seiner Umgebung gewinntτ … charakteristische Zeitskala für δT δρ … Dichtedifferenz zum umgebenden Fluidδy … Länge, die sich Teilchen während τ verschiebt

es gilt:


auf Kugel wirkt also eine auftreibende Kraft Fa:

aTRgvAgRFa

5

03

34

34

RFvisk 6

Geschwind. v nimmt zu, wenn: Fa > Fvisk

Fvisk = viskose Abbremsung nach Stoke‘schen Formel

RvaTRgvA

6

34 5

0

ή … Viskosität


Stabilitätsbedingung:Stabilitätsbedingung:Je größer die räumliche Ausdehnung der Störung ist,desto stärker ist die Instabilität.

Annahme: maximale Ausdehnung R = a/2

CRaZahl-RayleighRa

AvTga 723

Stabilitätsanalysen für ein Fluid zwischen 2 festen Plattenhaben gezeigt: Ra = 1708

v … kinematische Viskosität

Vgl.: Erdmantel: Ra ~ 2 x 109 >> 1708


2D Lösung der R-B Instabilität:2D Lösung der R-B Instabilität:

Annahme: unendlich ausgedehnte Fluidschicht

Ansatz: a

kkxtvtxv yy

mit cos)(),( 0

kreisförmigerQuerschnitt mit Durchmesser a

nur eine Näherung, welche nicht den Randbeding. bei y = ± a/2 genügt

für vertikalen Geschwind.- und Wärmetransport gilt:

TyTv

yT

gypvv

yv

vtv

y

yy

yy

1


Lösungen für obige Gleichungen:

aTv

t

gvvtv

gyp

y

yy

02

0

Formulierung der R-B Instabilität fürkleine Störungen

BOUSSINESQSCHE Approximation Temp.abhängigkeit aller beteiligten Stoffwerte vernachlässigt, insbesondere auch Temp.abhängigkeit der Dichte, ausserhalb des Auftriebterms (wird durch linearen Term approximiert

unter Ausnützungder

Beispiel für Konvektion von unten geheizt:Beispiel für Konvektion von unten geheizt:

Boden zunächst kalt wird plötzlich auf konstant heißeTemperatur gebracht Störung wirft die Strömung an es bildet sich ein heißer Plume aufsteigenden Materials weitere Plumes entstehen kalte Plumes bilden sich an Oberfläche und sinken nach unten


Beispiel für Konvektion von innen geheizt:Beispiel für Konvektion von innen geheizt:

Es bildet sich eine kalte Grenzschicht an Oberfläche kalte Plumes bilden sich aus und sinken in das Innereab keine heißen Plumes am Boden Aufströmungin weiten Bereichen zwischen den abströmenden Tropfen


Beispiel für Konvektion von unten (schwächer) und innenBeispiel für Konvektion von unten (schwächer) und innengeheizt:geheizt:

Sinkende Plumes dominieren, aber auch schwächereaufsteigende Plumes kann man beobachtenWAHRSCHEINLICHSTES MODELL FÜR ERDMANTEL



Die große Streitfrage:Die große Streitfrage:

whole-mantle convectionversus

layered convection

Peltier W. R. et al., 1982


es gilt:

Die große Streitfrage:Die große Streitfrage:

)( p

früher: keine Konvektion im unteren Mantel, wegenZunahme der Viskosität mit dem Druck

heute: Viskosität (Ra-Zahl) ist superkritisch

Konvektionsmodell für ganzen Mantel gesichertKontroverse über whole- oder layered Konvektion(mit einer thermischen Übergangszone)

(3) Konvektion – Taylor-Couette I(3) Konvektion – Taylor-Couette Instabilität:nstabilität:

Modell:

ein kleiner Zylinder wird in einengrößeren fluidhaltigen Zylinder gedreht Fluid wird in Bewegung versetzt

v0 nimmt nach außen hin ab Fz auf Teilchen von außen nach innen zu

rmvFZ

20

Entstehung einer instabilen Schichtung

wenn f ≥ fkrit → Fz > innere Reibung des Fluids kleine Störungen (Zylinderrand) verursachen Wirbelbildung

Ω … Winkelgeschwind.f … Drehzahl

(3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität(3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität::

auch als Marangoni Effekt bezeichnet

tritt auf wenn die untere Seite eines Fluids erwärmt wird(das obere Ende bleibt frei)

Ursache: Kräfte an der freien Oberfläche, die durchGradienten der Oberflächenspannung γ induziert werden

oberhalb von ΔTc erscheinen hexagonale Strömungszellen zw. dem Boden der Fluidschicht und der freien Oberfläche

Mechanismus: an Punkt der Oberfläche ist die Temp. auf einen Wert T + Θ erhöht

erhöhte Temp. verursacht Änderung von γ Fluid wird radial aus wärmeren Bereich nach außen getrieben Massenerhaltung (wärmeres Fluid von unten steigt auf) eruptiver Marangoni-Effekt


Jäger C., 1996


eruptiver Marangoni-Effekt:eruptiver Marangoni-Effekt:

Jäger C., 1996

(3) Zusammenfassung: hydrodynamische Instabilitäten:(3) Zusammenfassung: hydrodynamische Instabilitäten:

2

32

vRa

Ta

Instabilität Rayleigh-Bénardsche

Taylor-Couettesche

Bénard-Marangonische

Kontrollparameter Auftrieb Zentrifugalkraft Oberflächenspannung

charakteristischer Parameter

kritischer Wert 1708 1712 80

vTga3

Ra

TadTd

Ma

2ga

MaRa

beschreibt Bedeutung des Auftriebs und diedurch Temp.schwankungen induzierte Ober-Flächenspannung (dünne Schichte: γ, dicke Schichten: T)

Literatur:Literatur:Ahrens J., 1995, AGU Referene Shell 2 – Mineral Physics and CristallographyAmthauer G. et al., 1979, J. Chem. Phys., Vol. 70, Nr. 11, p. 4837 – 4842Daniels J. M., 1981, Can. J. Phys., Vol. 59, p. 182 – 184Jäger C., 1996, Untersuchungen einer kohärenten Marangoni-Bénard-Konv.zelle,

Diplomarbeit, Inst. Experimentalphysik, Univ. AachenLee D. W., Kingery W. D., 1960, J. Amer. Ceram. Soc., Vol. 43Leitner J. J., 2005, Heat Transport Mechanisms through the Venusian

Lithosphere, Diplomarbeit, Inst. f. Astronomie, Univ. WienLeitner J. J., Firneis M. G., 2005, Geophysical Research Abstracts, Vol. 7Peltier W. R. et al., 1982, Phys. Earth Plan. Int., Vol. 29, p. 281 - 304Rohlf J. W., 1994, Modern Physics from A to Z, Wiley Verlag

weitere Literaturtips:Ibach, Lüth: Festkörperphysik, Springer VerlagGuyon, Hulin, Petet: Hydrodynamik, Vieweg VerlagHerwig: Wärmeübertragung A – Z, Springer VerlagTurner: Buoyancy effects in fluids, Cambridge University PressLandau, Lifschitz: Lehrbuch der theoret. Physik VI – Hydrodynamik, Akademie VerlagTurcotte, Schubert: Geodynamics, Cambridge University Press

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