Referendarin: Anni Herz

2. Schulpraktisches Seminar Friedrichshain-Kreuzberg

Unterrichtsentwurf im Fach

Mathematik

Schule: Andreas Oberschule

Lerngruppe: WP-Ma62 (10.Klasse)

Datum: 07.03.2014

Uhrzeit: 14.25 – 15.10 Uhr

Raum: H013

Hauptseminarleiter:

Fachseminarleiter Mathematik:

Schulleiter:

Fachbereichsleiter f. Mathematik:

1. THEMA DER STUNDE

Einen ersten Beweis anhand der Anzahl der Platonischen Körper gemeinsam erarbeiten.

2. DARSTELLUNG DER UNTERRICHTSSEQUENZ

THEMA DER UNTERRICHTSSEQUENZ: Platonische Körper

KOMPETENZSCHWERPUNKTE: Argumentieren & Darstellungen verwenden

STD. STUNDENTHEMA ZENTRALE SCHÜLERTÄTIGKEITEN KOMPETENZEN

1/2 Entdecken und Erkunden Platonische Körper

Begriffswiederholung: Polyeder, konvex

Gruppenpuzzle:o A1 + A2: erhalten Vorgaben der

regelmäßigen Polyeder -> diese selbst finden

o B1 + B2: erhalten platonische Körper -> Systematisierungen selbst erkennen

o Auswertung: Austausch über Prozess & Ergebnis

Argumentieren:- Erkunden die

platonischen Körper als mathematische Situation

- Stellen Vermutungen auf

3 Konstruktion von Abwicklungen

skizzieren und konstruieren Abwicklungen Platonischer Körper,

vergleichen unterschiedliche Abwicklungen auf ihre Brauchbarkeit zur Herstellung der entsprechenden Körper,

Darstellungen verwenden:- wählen je nach Situation

und Zweck geeignete Darstellungsformen aus

- erkennen Beziehungen zwischen Darstellungen

4 Einen ersten Beweis anhand der Anzahl der Platonischen Körper gemeinsam erarbeiten

begründen, dass es nur fünf Platonische Körper gibt

Argumentieren:- entwickeln schlüssige

Argumentationen zur Begründung math. Aussagen

- Mit symbolischen und formalen Elementen der Mathematik umgehen

5 Zusammenhang zwischen der Anzahl der Flächen f, der Kanten k und der Klebelaschen l / Ecken e zu überlegen (Eulerschen Polyedersatz ansatzweise besprechen)

Argumentieren:- Stellen Vermutungen

auf- Begründen Plausibilität

von Vermutungen oder widerlegen diese mit Bsp. o. Gegen-bsp.

6 stellen Platonische Körper auch als Schrägbilder oder mit Hilfe von Schlegeldiagrammen dar

Darstellungen verwenden:- wählen je nach Situation

und Zweck geeignete 1

Darstellungsformen aus7/8 Volumen von Platonischen Körpern

berechnenMit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen:- führen mathematische

Verfahren aus, reflektieren deren Anwendung und überprüfen

die Ergebnisse8-11Erarbeiten in

Gruppen selbstständig Informationen zu Platonischen Körpern

Poster + Vortrag vorbereiten Kommunizieren- dokumentieren

Überlegungen- erfassen und

reflektieren mathematische Informationen in mathematikhaltigen Darstellungen und in nicht aufbereiteten Texten

12/13 Präsentationen der Ergebnisse vorangegangener Erarbeitung

Vorträge halten - Gallery Walk beschreiben die besonderen

Eigenschaften ihren Platonischen Körpers

beschreiben die kulturhistorischen Bezüge

begründen den Eulerschen Polyedersatz für einen platonischen Körper

erläutern die Dualität Platonischer Körper am Modell und begründen sie für mindestens einen Körper

Präsentation mit Poster oder PPP

Kommunizierenbesonders: dokumentieren Überlegungen, stellen diese verständlich dar, präsentieren sie, auch unter Nutzung geeigneter Medien

14/15 begründen mit Hilfe der Symmetrieeigenschaften, dass es sich bei den Platonischen Körpern um Inkugelkörper handelt,

TK v. Argumentieren:- entwickeln schlüssige

Argumentationen zur Begründung math. Aussagen

16 grenzen Platonische Körper gegen Archimedische Körper ab,

entwickeln aus den Platonischen Körpern durch Veränderungen Archimedische Körper

17 skizzieren und konstruieren Abwicklungen

vergleichen unterschiedliche Abwicklungen auf ihre Brauchbarkeit zur Herstellung der

TK von Argumentieren:- Stellen Vermutungen

auf- Begründen Plausibilität

von Vermutungen oder 2

entsprechenden Körper (Abwicklungen mit Löchern, Flechtmodell)

widerlegen diese mit Bsp. o. Gegen-bsp.

3

3. EINSCHÄTZUNG DES DURCHSCHNITTLICHEN WISSENS- UND KOMPETENZNIVEAUS DER LERNGRUPPE

STANDARD DES RAHMENLEHRPLAN STAND DER KOMPETENZENTWICKLUNGKONKRETISIERUNG DES STANDARDS FÜR DIE

UNTERRICHTSTUNDE

PROZESSBEZOGENE KOMPETENZ

ArgumentierenDie Schüler und Schülerinnen:

• entwickeln schlüssige Argumentationen zur Begründung math. Aussagen (vgl. RLP S. 20)

Die meisten Schüler und Schülerinnen:• können schlüssige Argumentationen

zur Begründung math. Aussagen nachvollziehen

Nur wenige Schüler und Schülerinnen:• entwickeln schlüssige

Argumentationen zur Begründung math. Aussagen

Alle Schüler und Schülerinnen:• entwickeln Begründungeno wie groß die Summe der Winkel zwischen

den Kanten an einer Ecke sein darfo wie viele Polygone nötig sind, um eine Ecke

zu bildeno welche Polygone als Begrenzungsfläche

zulässig sind• können die Argumentationen zur Begründung,

warum es nur 5 Platonische Körper gibt, nachvollziehen

Die meisten Schüler und Schülerinnen:• entwickeln Begründungeno welche Ecken man mit Quadraten,

regelmäßigen Fünf- und Sechsecken bilden kann, damit Platonische Körper entstehen

INHALTSBEZOGENE KOMPETENZ

Raum und FormDie Schüler und Schülerinnen:

• beschreiben Eigenschaften von Figuren mit Hilfe von Symmetrie, einfachen Winkelsätzen oder der Kongruenz

• wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Begründungen an

• beweisen die grundlegenden Sätze der Geometrie (vgl. RLP S. 17)

Die meisten Schüler und Schülerinnen:• beschreiben Eigenschaften von Figuren

mit Hilfe von Symmetrie, einfachen Winkelsätzen oder der Kongruenz

Nur einige Schüler und Schülerinnen:• wenden Sätze der ebenen Geometrie

bei Begründungen an

4

4. EXEMPLARISCHE REFLEXION DER LERNGRUPPENHETEROGENITÄT

Meines Erachtens ist es noch nicht sinnvoll eine exemplarische Einschätzung von Schülern

und Schülerinnen zu geben, da ich in dieser Klasse erst einmal unterrichtet habe.

5. DER FACHLICH-INHALTLICHE SCHWERPUNKT

Die Schüler und Schülerinnen erkennen, dass man mindestens drei Polygone benötigt, um

eine räumliche Ecke bilden zu können. Sie legen fest, dass die Summe der Winkel zwischen

den Kanten, die eine Ecke bilden, kleiner als 360° sein muss, da sich sonst keine konvexe

Ecke ergeben würde. Außerdem sehen die Schüler und Schülerinnen ein, dass die einfachste

Begrenzungsfläche für einen Platonischen Körper das gleichseitige Dreieck mit einem

Innenwinkel von 60° ist. Sie schlussfolgern daraus, dass wenn drei dieser Dreiecke

zusammentreffen, sich eine Tetraeder-ecke, bei vier solchen Dreiecke sich eine Oktaeder-

ecke (4·60°=240°) und bei fünf eine Ikosaeder-ecke (5·60°=300°) ergibt. Weiterhin erkennen

sie, dass sechs und noch mehr solcher Vielecke eine Winkelsumme von mindestens 360°

ergeben und somit keine konvexe Ecke bilden.

Anschließend setzen die Schüler und Schülerinnen diesen Gedanken für Quadrate

(Innenwinkel: 90°), regelmäßige Fünf- (Innenwinkel: 108°) und Sechsecke (Innenwinkel:

120°) fort. Sie stellen fest, dass drei Quadrate und drei regelmäßige Fünfecke eine konvexe

Ecke darstellen, nämlich die Würfelecke bzw. die Dodekaeder-ecke.

Sie erkennen weiterhin, dass vier Quadrate und drei regelmäßige Sechsecke (Innenwinkel

120°) genau 360° ergeben, so dass keine Ecke entsteht. Aus regelmäßigen Polygonen mit

mindestens sechs Ecken, d.h. aus Polygonen, die Innenwinkel von mindestens 120° besitzen,

kann schließlich kein Platonischer Körper mehr aufgebaut werden. Es gibt demzufolge nur

fünf Platonische Körper!

6. DIDAKTISCHE BEGRÜNDUNGEN

Aus der Behandlung des Moduls W6 Platonische Körper (vgl. RLP S. 71) resultiert die

Schwerpunktsetzung auf die Kompetenzen Argumentieren und Darstellungen verwenden. In

dieser Unterrichtsstunde bietet sich besonders der Fokus des Argumentierens an, da

innerhalb der Unterrichtssequenz ein erster Beweis erarbeitet werden kann. Sie führen an

dieser Stelle keinen gesamten Beweis, aber begründen einzelne Aspekte des Beweises.

5

Außerdem ist im Rahmenlehrplan ersichtlich, dass das Modul in Bezug zur Leitidee Raum und

Form steht.

7. DARSTELLUNG UND BEGRÜNDUNG DES GEWÄHLTEN LERN-/LEHRARRANGEMENTS

Ich habe mich bewusst dagegen entschieden, den Schülern und Schülerinnen selbstständig

den Beweis erarbeitet zu lassen, da ich die Lerngruppe noch nicht gut kennen und ich nicht

genau weiß, was ich ihnen zumuten kann. Außerdem ist es für die Schüler und Schülerinnen

schon eine Weile her, dass sie einen (derart komplexen) Beweis führen mussten, sodass ich

mich für eine gelenkte Erarbeitung im Plenum entschieden habe, die nur einzelne, kleine

Teilaufgaben den Schülern und Schülerinnen zur selbstständigen Bearbeitung anbietet.

8. ANTIZIPIERTE SCHWIERIGKEITEN UND ALTERNATIVEN

Ich befürchte, dass durch das Basteln in der vorangegangenen Stunde und durch den relativ

komplexen Beweis die Zeit möglicherweise nicht ausreicht, um die Begründung in dieser

Stunde zu beenden. Für diesen Fall, wird die Begründung in der darauf folgenden Stunde

beendet.

9. GEPLANTER UNTERRICHTSVERLAUF (TABELLARISCHE ÜBERSICHT)

PhaseDauerZeitangabe

Sozialform Medien

Geplante Lehrertätigkeit,zentrale Impulse

Antizipiertes Schülerverhalten

1b. Phase: Erarbeitung eines Ansatzesca. 12 min14.25 – 14.37 Uhr

PA/ GUG Smartboard

L. stellt Fragen vor, die die SuS beantworten sollen.Hier sind Fragen, die euch helfen können, einen Ansatz für eine Begründung zu finden. Damit können wir dann anschließend eine schlüssige Argumentation erarbeiten. Versucht zu zweit die ersten 3 Fragen zu beantworten. Wer schon früher fertig ist, kann sich auch der 4. Frage widmen.L. liest die Fragen vor.

AuswertungWie groß darf die Summe der Winkel zwischen den Kanten an einer Ecke sein?Warum?

Wie viele Polygone (Vielecke) sind nötig, um eine Ecke zu bilden?

S. beantworten die Fragen. Sie diskutieren diese mit ihrem Nachbarn.

S.: Die Summe der Winkel muss kleiner als 360° sein.

S.: Wenn die Summe der Winkel genau 360° beträgt, dann wäre es keine Ecke mehr, sondern eine Fläche. Bei über 360° wäre der Körper nicht mehr konvex.

S.: Es sind mindestens 3 Flächen nötig, um eine Ecke zu bilden.

6

Warum können es nicht nur 2 Flächen sein?

Welche Polygone (Vielecke) sind als Begrenzungsfläche zulässig und warum?

Hat schon jemand die 4. Frage beantwortet? Wie groß sind die Innenwinkel eines regelmäßigen Polygons?

S.: Dann wäre es nur eine Kante und keine Ecke.

S.: Es sind nur regelmäßige Vielecke (n-Ecke) zulässig, weil das die Voraussetzung für Platonische Körper ist.

S.: In einem gleichseitigen Dreieck beträgt jeder Innenwinkel 60°.S.: In einem Quadrat beträgt jeder Innenwinkel 90°.

2. Phase: Erarbeitung der Innenwinkel ineinem regelmäßigen n-Eck

ca. 10 min14.37 – 14.47 Uhr

GUG/EA AB,Smartboard

Dann brauchen wir jetzt noch eine allgemeine Formel, um auch für andere regelmäßige Polygone die Größe der Innenwinkel bestimmen zu können.Dazu habt ihr auf dem AB eine Tabelle, die wir jetzt gemeinsam ausfüllen.L. füllt zusammen mit den S. die Tabelle am Smartboard aus.

Vervollständigt jetzt den Infokasten, in dem die Formeln fehlen. Bitte setzt die richtigen Formeln in die vorgegebenen Felder ein!AuswertungWer möchte den Infokasten hier am Smartboard vervollständigen?

Die S. füllen gleichzeitig ihre Tabelle auf dem AB aus.

S. füllen eigenständig den Infokasten aus.

Ein S. schiebt die Formel an die richtige Stelle im Infokasten am Smartboard.

3. Phase: Begründung für 5 Platonische Körper

ca. 12 min14.47 – 15.00 Uhr

GUG/PA Smartboard

Jetzt können wir endlich zeigen, wie viele platonische Körper gibt es.Welches ist das kleinste regelmäßige Polygon, mit dem wir unsere Überlegungen beginnen können?Wie viele gleichseitige Dreiecke brauchen wir mindestens, um eine Ecke zu bilden?Bei 3 Dreiecken haben wir dann welche Winkelsumme an der Ecke?Dann können wir noch eine Ecke mit 4 Dreiecken bilden. Wie groß ist die Winkelsumme dann?Dann können wir noch eine Ecke mit 5 Dreiecken bilden. Wie groß ist die Winkelsumme dann?Können wir dann noch eine Ecke mit 6 gleichseitigen Dreiecken bilden?Warum nicht?

Dann sind also alle Ecken, die man mit gleichseitigen Dreiecken bilden kann. Das sind dann die Ecken welcher Platonischen Körper?

Nun könnt ihr den Gedanken fortsetzen. Formuliert in PA analoge Überlegungen zu Körpern, die aus anderen regelmäßigen n-Ecken (n > 3) zusammengesetzt sind. Als nächstes ist also das Quadrat dran …

S.: Das kleinste regelmäßig Polygon ist das gleichseitige Dreieck.S.: Wir brauchen mindestens 3.

S.: Die Summe der Winkel an der Ecke ist 180°.

S.: Die Summe der Winkel an der Ecke ist 240°.

S.: Die Summe der Winkel an der Ecke ist 300°.

S.: Nein.

S.: Dann wäre die Winkelsumme 360°. Unsere Voraussetzung lautet aber kleiner als 360°.

S.: Eine Ecke eines Tetraeders, eines Oktaeders und eines Ikosaeders.

4. Phase: Ergebnissicherungca. min15.00 – 15.10 Uhr

GUG Smartboard

L. stellt Fragen an die S. und macht kurze Notizen zu

7

den Antworten am Smartboard.Zu welchem Ergebnis seid ihr gekommen?

Das ist dann die Ecke welchen Platonischen Körpers?

Wie geht es dann weiter?

Und wie geht es danach weiter?

Aber wir müssen noch zeigen, dann es nicht mehr als diese 5 Platonischen Körper geben kann. Also müssen wir noch einen Schritt weitergehen und zeigen, dass das nicht geht. Wie können wir das zeigen?

S.: Man muss mit mindestens 3 Quadraten eine Ecke bilden. Die Winkelsumme an der Ecke beträgt dann 270°. Mit 4 Quadraten kann man keine Ecke bilden, weil dann die Winkelsumme an der Ecke 360° beträgt.

S.: Das ist dann die Ecke eines Hexaeders.

S.: Mit 3 regelmäßigen Fünfecken kann man eine Ecke des Dodekaeders bilden. Die Summe der Winkel beträgt 324°. Mit 4 regelmäßigen Fünfecken kann man keine Ecke bilden, da die Winkelsumme dann größer als 360° ist.

S.: Wieso soll es noch weitergehen? Wir haben doch alle Platonischen Körper gefunden.

S.: Mit 3 regelmäßigen Sechsecken kann man keine Ecke bilden, weil die Summe der Winkel an der Ecke genau 360° ist. Somit kann man keine weiteren Platonischen Körper bilden.

8

10. SMARTBOARD- BILDER (ANTIZIPIERTES TAFELBILD)

9

10

11

11. ANLAGEN

A. VORANGEGANGENE STUNDE

PhaseDauerZeitangabe

Sozialform Medien

Geplante Lehrertätigkeit,zentrale Impulse

Antizipiertes Schülerverhalten

1. Phase: Wiederholungca. 10 min13.40 – 13.50 Uhr

GUG Smartboard

L. fragt, ob es noch Ergänzungen zu den Fragen aus der letzten Stunde gibt. Falls nicht, ergänzt L selbst die Frage: „Wie kann man Platonische Körper bauen?“

S. ergänzen eventuell Fragen.

An welche platonischen Körper könnt ihr euch noch erinnern? Bitte nennt den Namen, die Anzahl und Art der Flächen.L. weist auf Mitschriften hin. Notfalls ergänzt L.

S. nennen die Namen, Anzahl und Art der Flächen der fünf Platonischen Körper.

Eventuell haben sie einige vergessen.An welche Eigenschaften von platonischen Körpern könnt ihr euch noch erinnern?L. weist auf Mitschriften hin. Notfalls ergänzt L.

S. nennen die vier Eigenschaften.

Eventuell haben sie einige vergessen.Übung zu EigenschaftenFolgende Körper sind keine Platonischen Körper. Welche Eigenschaft fehlt?

S. nennen jeweils die fehlende Eigenschaft.

2. Phase: Abwicklungenca. 25 min13.50 – 14.15 Uhr

PA Smartboard, Papier, Schere, Klebstoff

L. stellt die Aufgabe vor.VorgehensweiseBevor ihr anfangt, die Abwicklungen zu konstruieren, sollten wir kurz besprechen, wie ihr am besten vorgehen könnt, um euch die Arbeit ein wenig zu erleichtern. Gibt es Ideen?

S. stellen Ideen vor.- mit Schablonen arbeiten- abpausen- Klebefalzen erst überall planen und dann wegschneiden

L. geht alle Platonischen Körper durch und fragt, welche Gruppe die Abwicklung für den Körper anfertigen will und teilt Schablonen der regelmäßigen Polygone aus. Falls sich zu viele für einen Körper melden, muss L. umverteilen.

S. melden sich, um anzuzeigen, welche Abwicklung sie konstruieren.

3. Phase: Überleitung/ Einführungca. 5 min14.15 – 14.20 Uhr

GUG Smartboard,Modelle

L. macht ein Foto von jedem Modell eines Platonischen Körpers und zeigt diese am Smartboard.Warum habt ihr eigentlich nur diese 5 Platonischen Körper gebaut. Gibt es Ideen dazu?

S. äußern Vermutungen.- es gibt vielleicht nur 5- damit es übersichtlich bleibt

12

- die anderen wären zu schwer

1a. Phase: Erarbeitung einer Vorgehensweiseca. 5 min14.20 – 14.25 Uhr

GUG Smartboard

Welche Hypothesen wollen wir also aufstellen?

Von welchen Voraussetzungen müssen wir ausgehen?

Gibt es schon Ideen, wie wir vorgehen könnten, um zu begründen, dass es nur 5 Platonische Körper gibt?

S.: Es gibt nur 5 Platonische Körper.

S. nennen die 4 Eigenschaften von Platonischen Körpern:- konvexe Körper- regelmäßige & zu einander kongruente Vielecke als Begrenzungsflächen- an jeder Ecke stoßen gleich viele Kanten zusammen

S. äußern Ideen für eine mögliche Vorgehensweise.- über die Begrenzungsflächen, die in Frage kommen- …

B. ARBEITSBLATT

13