Platons Dialog Timaios: Mathematik als Grundlage unserer Welt28c0ffcf-3266-4a58... · 2019. 11. 21. · Platons Dialog Timaios: Mathematik als Grundlage unserer Welt (Seniorenuniversität,

Platons Dialog Timaios: Mathematik als Grundlage unserer Welt (Seniorenuniversität, 12.11.2019) 1

Platons Dialog Timaios: Mathematik als Grundlage unserer Welt

Biographisches 427 v.Chr. Geburt in einer aristokratischen Familie in Athen 404 v.Chr. Ende des peloponnesischen Kriegs 399 v.Chr. Hinrichtung von Sokrates 387 v.Chr. Gründung der Akademie 347 v.Chr. Tod

Vorgänger und intellektuelles Umfeld • Vorsokratiker (insbes. Pythagoras, Heraklit und Parmenides) • Hippokratische Medizin • Sophisten • Sokrates

Zweiweltenmodell Ideen (ἰδέα idéa) Original/Urbild ὄν on, ewig, unveränderlich, göttlich, nur mit

dem Verstand erfassbar (νοητόν noētón)

Abbildung

Unsere Welt Abbild (εἴδωλον eidōlon) γιγνόμενον gignómenon, entstanden, in perma-nenter Veränderung, menschlich, mit den Sin-nesorganen erfassbar (αἰσθητόν aisthētón)

Der Dialog Timaios • Personen: Sokrates, Kritias, Timaios, Hermokrates, N.N. (krank)

• Trilogie (?): Timaios (Kosmogonie, Anthropogonie) – Kritias (Politogenie; Geschichte von Atlantis; nur fragmentarisch erhalten) – Hermokrates (?)

• Aufbau der Rede (knapp 90% des ganzen Dialogs): Wirken des νοῦς nus („Vernunft“) Definition des κόσμος kosmos (29d–30b) – Weltkörper (30c–34b) – Weltseele (34c–37c) – Zeit (37c–39e) – Götter (39e–41d) – Mensch (41d–47e) Wirken der ἀνάγκη anánkē („Naturgesetz“) χώρα chōra (48e–53c) – Elemente: Feuer, Luft, Wasser, Erde (53c–61c) – Einwirkungen: allgemein (Wärme, Härte, Schwere, Rauhheit, Empfindungen) (61c–65b) – Einwirkungen: spezifisch (Riechsinn, Geschmack, Gehör, Sehsinn) (65b–68d) Wirken von νοῦς nus und ἀνάγκη anánkē Menschlicher Körper (sterbliche Seele, Organe, Blutkreislauf, …) (69a–80c) – Altern, Tod, Krankheiten des Körpers (80d–86a) – Krankheiten der Seele (86b–87b) – Therapie, ‚Prophylaxe‘ (87b–90d) – Frauen, Tiere (90e–92c)

• Grundgedanken: ὄν on – γιγνόμενον gignómenon – χώρα chōra möglichst gute und schöne Abbildung (ἄριστος aristos, κάλλιστος kallistos) Beschränktheit der Aussagemöglichkeiten (εἰκὼς λόγος eikós logos bzw. μῦθος mythos)


Elemente im Timaios (52d–57d)

Zu zwei Elementen (Feuer und Erde) entstanden „Mittelelemente“ (Luft und Wasser) durch Proportionen: Feuer : Luft = Wasser : Erde (nach dem Prinzip von a3 : a2 b = a b2 : b3)

Οὗτος μὲν οὖν δὴ παρὰ τῆς ἐμῆς ψήφου λο-γισθεὶς ἐν κεφαλαίῳ δεδόσθω λόγος, ὄν τε καὶ χώραν καὶ γένεσιν εἶναι, τρία τριχῇ, καὶ πρὶν οὐρανὸν γενέσθαι· τὴν δὲ δὴ γενέσεως τιθή-νην ὑγραινομένην καὶ πυρουμένην καὶ τὰς γῆς τε καὶ ἀέρος μορφὰς δεχομένην, καὶ ὅσα ἄλλα τούτοις πάθη συνέπεται πάσχουσαν, (e) παν-τοδαπὴν μὲν ἰδεῖν φαίνεσθαι, διὰ δὲ τὸ μήθ’ ὁμοίων δυνάμεων μήτε ἰσορρόπων ἐμπίμπλασ-θαι κατ’ οὐδὲν αὐτῆς ἰσορροπεῖν, ἀλλ’ ἀνωμά-λως πάντῃ ταλαντουμένην σείεσθαι μὲν ὑπ’ ἐκείνων αὐτήν, κινουμένην δ’ αὖ πάλιν ἐκεῖνα σείειν· τὰ δὲ κινούμενα ἄλλα ἄλλοσε ἀεὶ φέ-ρεσθαι διακρινόμενα, ὥσπερ τὰ ὑπὸ τῶν πλο-κάνων τε καὶ ὀργάνων τῶν περὶ τὴν τοῦ σίτου κάθαρσιν σειόμενα καὶ ἀνικμώμενα τὰ μὲν πυκνὰ καὶ βαρέα ἄλλῃ, (53a) τὰ δὲ μανὰ καὶ κοῦφα εἰς ἑτέραν ἵζει φερόμενα ἕδραν· τότε οὕτω τὰ τέτταρα γένη σειόμενα ὑπὸ τῆς δε-ξαμενῆς, κινουμένης αὐτῆς οἷον ὀργάνου σεισμὸν παρέχοντος, τὰ μὲν ἀνομοιότατα πλεῖστον αὐτὰ ἀφ’ αὑτῶν ὁρίζειν, τὰ δὲ ὁμοι-ότατα μάλιστα εἰς ταὐτὸν συνωθεῖν, διὸ δὴ καὶ χώραν ταῦτα ἄλλα ἄλλην ἴσχειν, πρὶν καὶ τὸ πᾶν ἐξ αὐτῶν διακοσμηθὲν γενέσθαι. καὶ τὸ μὲν δὴ πρὸ τούτου πάντα ταῦτ’ εἶχεν ἀλόγως καὶ ἀμέτρως· (b) ὅτε δ’ ἐπεχειρεῖτο κοσμεῖσθαι τὸ πᾶν, πῦρ πρῶτον καὶ ὕδωρ καὶ γῆν καὶ ἀέρα, ἴχνη μὲν ἔχοντα αὑτῶν ἄττα, παντάπασί γε μὴν διακείμενα ὥσπερ εἰκὸς ἔχειν ἅπαν ὅταν ἀπῇ τινος θεός, οὕτω δὴ τότε πεφυκότα ταῦτα πρῶτον διεσχηματίσατο εἴδεσί τε καὶ ἀριθμοῖς. τὸ δὲ ᾗ δυνατὸν ὡς κάλλιστα ἄριστά τε ἐξ οὐχ οὕτως ἐχόντων τὸν θεὸν αὐτὰ συνιστάναι, παρὰ πάντα ἡμῖν ὡς ἀεὶ τοῦτο λεγόμενον ὑπαρχέτω· νῦν δ’ οὖν τὴν διάταξιν αὐτῶν ἐπιχειρητέον ἑκάστων καὶ γένεσιν (c) ἀήθει λόγῳ πρὸς ὑμᾶς δηλοῦν, ἀλλὰ γὰρ ἐπεὶ μετέχετε τῶν κατὰ παίδευσιν ὁδῶν δι’ ὧν ἐνδείκνυσθαι τὰ λεγόμενα ἀνάγ-κη, συνέψεσθε. Πρῶτον μὲν δὴ πῦρ καὶ γῆ καὶ ὕδωρ καὶ ἀὴρ ὅτι σώματά ἐστι, δῆλόν που καὶ παντί· τὸ δὲ τοῦ σώματος εἶδος πᾶν καὶ βάθος ἔχει. τὸ δὲ

Das also soll in der Hauptsache der Satz sein, für den ich nach reiflicher Überlegung meine Stimme abgehen will: es gebe Seien-des und Raum und Werden, diese drei, auf dreifache Art, und zwar, bevor noch der Himmel entstanden ist. Und die Amme des Werdens, die sowohl zu Wasser als auch zu Feuer wird und auch die Gestalt der Erde und der Luft annimmt und sonst alle Eigen-schaften aufweist, die sich aus diesen ergeben, zeigt sich dem Auge in mannigfacher Erscheinungsform. Und weil sie von Kräf-ten erfüllt wird, die sich unähnlich sind und gegenseitig nicht im Gleichgewicht stehen, ist auch an ihr nichts im Gleichgewicht, sondern ungleichmäßig nach allen Richtungen schwankend, wird sie selber von jenen hin und her geschüttelt, und, indem sie sich bewegt, schüttelt sie wiederum jene. Die in Bewegung gesetzten Elemente aber werden die einen dahin, die anderen dorthin getra-gen und sondern sich dadurch voneinander ab, wie das, was in einem Sieb oder sonst in Geräten, die zur Reinigung des Getrei-des dienen, geschüttelt und gerüttelt wird: da fliegt das Dichte und Schwere dorthin, (53) das Lockere und Leichte aber in ande-rer Richtung, wo es sich dann niedersetzt. So ging es damals auch mit den vier Gattungen: sie wurden durcheinander geschüttelt von der Hegerin, die sie aufnahm und deren eigene Bewegung wie das Schütteln mit einem Werkzeug wirkte; dabei trennten sie selbst das Unähnlichste am weitesten auseinander, das Ähnlichste dage-gen drängten sie am meisten am selben Ort zusammen, weshalb dann jedes einen anderen Platz einnahm, noch bevor das All in seiner Ordnung aus ihnen entstand. Und es befand sich vordem noch alles ohne Vernunft und ohne Maß; als aber das All anfing, geordnet zu werden, da zeigten zunächst Feuer und Wasser und Erde und Luft Spuren ihres eigenen Wesens; doch befanden sie sich noch durchaus in dem Zustand, in dem sich naturgemäß jegliches befindet, solange Gott von ihm fern ist, und so, wie diese damals von Natur aus entstanden waren, gab er ihnen damals nach bestimmten Formen und Zahlenverhältnissen ihre Gestalt. Nachdem sie vorher nicht so gewesen waren, fügte er sie zusammen, so schön und so gut als irgend möglich – dieser Satz soll uns nun für immer bei allem zugrunde gelegt sein. Und jetzt muß ich also versuchen, euch die Zusammensetzung und die Enstehung jedes einzelnen von ihnen mit einer Erklärung deutlich zu machen, die freilich ungewöhnlich klingt; da euch aber die Wege der Unterweisung nicht fremd sind, die ich ein-schlagen muß, um euch zu zeigen, was ich meine, so werdet ihr mir schon folgen. Daß zunächst nun Feuer und Erde und Wasser und Luft Körper sind, das ist wohl jedem klar; zum Wesen jedes Körpers gehört es


βάθος αὖ πᾶσα ἀνάγκη τὴν ἐπίπεδον περιειλη-φέναι φύσιν· ἡ δὲ ὀρθὴ τῆς ἐπιπέδου βάσεως ἐκ τριγώνων συνέστηκεν. τὰ δὲ τρίγωνα πάντα ἐκ δυοῖν ἄρχεται τριγώνοιν, (d) μίαν μὲν ὀρθὴν ἔχοντος ἑκατέρου γωνίαν, τὰς δὲ ὀξείας· ὧν τὸ μὲν ἕτερον ἑκατέρωθεν ἔχει μέρος γωνίας ὀρθῆς πλευραῖς ἴσαις διῃρημέ-νης, τὸ δ’ ἕτερον ἀνίσοις ἄνισα μέρη νενεμη-μένης. ταύτην δὴ πυρὸς ἀρχὴν καὶ τῶν ἄλλων σωμάτων ὑποτιθέμεθα κατὰ τὸν μετ’ ἀνάγκης εἰκότα λόγον πορευόμενοι· τὰς δ’ ἔτι τούτων ἀρχὰς ἄνωθεν θεὸς οἶδεν καὶ ἀνδρῶν ὃς ἂν ἐκείνῳ φίλος ᾖ. δεῖ δὴ λέγειν ποῖα κάλλιστα σώματα γένοιτ’ ἂν τέτταρα, (e) ἀνόμοια μὲν ἑαυτοῖς, δυνατὰ δὲ ἐξ ἀλλή-λων αὐτῶν ἄττα διαλυόμενα γίγνεσθαι· τού-του γὰρ τυχόντες ἔχομεν τὴν ἀλήθειαν γενέ-σεως πέρι γῆς τε καὶ πυρὸς τῶν τε ἀνὰ λόγον ἐν μέσῳ. τόδε γὰρ οὐδενὶ συγχωρησόμεθα, καλλίω τούτων ὁρώμενα σώματα εἶναί που καθ’ ἓν γένος ἕκαστον ὄν. τοῦτ’ οὖν προ-θυμητέον, τὰ διαφέροντα κάλλει σωμάτων τέτταρα γένη συναρμόσασθαι καὶ φάναι τὴν τούτων ἡμᾶς φύσιν ἱκανῶς εἰληφέναι. (54a) τοῖν δὴ δυοῖν τριγώνοιν τὸ μὲν ἰσοσκελὲς μίαν εἴληχεν φύσιν, τὸ δὲ πρόμηκες ἀπεράντους· προαιρετέον οὖν αὖ τῶν ἀπείρων τὸ κάλ-λιστον, εἰ μέλλομεν ἄρξεσθαι κατὰ τρόπον. ἂν οὖν τις ἔχῃ κάλλιον ἐκλεξάμενος εἰπεῖν εἰς τὴν τούτων σύστασιν, ἐκεῖνος οὐκ ἐχθρὸς ὢν ἀλλὰ φίλος κρατεῖ· τιθέμεθα δ’ οὖν τῶν πολλῶν τριγώνων κάλλιστον ἕν, ὑπερβάντες τἆλλα, ἐξ οὗ τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον ἐκ τρίτου συνέστηκεν. (b) διότι δέ, λόγος πλείων· ἀλλὰ τῷ τοῦτο ἐλέγξαντι καὶ ἀνευρόντι δὴ οὕτως ἔχον κεῖται φίλια τὰ ἆθλα. προῃρήσθω δὴ δύο τρίγωνα ἐξ ὧν τό τε τοῦ πυρὸς καὶ τὰ τῶν ἄλλων σώματα μεμηχάνηται, τὸ μὲν ἰσοσκελές, τὸ δὲ τριπλῆν κατὰ δύναμιν ἔχον τῆς ἐλάττονος τὴν μείζω πλευρὰν ἀεί. τὸ δὴ πρόσθεν ἀσαφῶς ῥηθὲν νῦν μᾶλλον διοριστέον. τὰ γὰρ τέτταρα γένη δι’ ἀλλήλων εἰς ἄλληλα ἐφαίνετο πάντα γένεσιν ἔχειν, οὐκ ὀρθῶς φανταζόμενα· γίγνεται μὲν γὰρ ἐκ τῶν τριγώνων ὧν προῃρήμεθα γένη τέτταρα, (c) τρία μὲν ἐξ ἑνὸς τοῦ τὰς πλευρὰς ἀνίσους ἔχοντος, τὸ δὲ τέταρτον ἓν μόνον ἐκ τοῦ

aber, daß er räumliche Ausdehnung besitzt. Und ferner muß die räumliche Ausdehnung unbedingt eine Oberfläche um sich herum haben; die rechtwinklige Grundfläche aber besteht aus Dreiecken. Alle Dreiecke jedoch gehen ursprünglich auf zwei zurück, von denen jedes einen rechten und zwei spitze Winkel hat. Von diesen zeigt das eine auf beiden Seiten die Hälfte eines rechten Winkels, der durch zwei gleiche Seiten auseinandergehalten ist; das andere hat ungleiche Teile eines rechten Winkels, zugeteilt an ungleiche Seiten. Diesen Ursprung nehmen wir also an für das Feuer und für die übrigen Körper, indem wir dem Gedankengang folgen, der sich aus der Wahrscheinlichkeit und der Notwendigkeit ergibt. Ihre Ursprünge aber, so weit sie noch weiter zurückliegen, kennt Gott allein und von den Menschen nur, wer ihm liebt ist. Wir müssen nun also erklären, dank welcher Beschaffenheit gerade vier Körper zu den schönsten werden, die sich zwar unähnlich sind, aber doch, indem sie sich auflösen, die Möglichkeit haben, der eine aus dem anderen zu entstehen; denn wenn wir so weit gelangt sind, besitzen wir auch schon die Wahrheit über die Ent-stehung von Erde und Feuer und von den Elementen, die sich in entsprechenden Abständen zwischen diesen befinden. Und wir werden niemandem einräumen, dass irgendwo schönere Körper als diese zu sehen sind, ein jeder seiner besonderen Gattung ge-mäss. Wir müssen uns also bemühen, diese vier Gattungen von Körpern, die sich durch ihre Schönheit auszeichnen, miteinander in Verbindung zu bringen und zu beweisen, dass wir ihre Natur hinlänglich begriffen haben. (54) Bei diesen beiden Dreiecken nun hat das gleichschenklige nur eine Beschaffenheit, das ungleichschenklige dagegen zahllose. So müssen wir denn unter diesen unendlich vielen das schönste aussuchen, wenn wir auf die richtige Weise beginnen wollen. Falls nun aber jemand zur Zu-sammensetzung dieser Körper etwas Besseres auswählen und nennen kann, so sehen wir in ihm, wenn er sich uns überlegen zeigt, nicht unseren Feind, sondern einen Freund. – Nun also, wir setzen von den vielen (ungleichschenkligen) Dreiecken eines als das schönste und lassen die anderen beiseite; es ist das, aus deren zwei das gleichseitige Dreieck als drittes entstanden ist. Warum das so ist, dafür brauchte es eine zu lange Erklärung; wer aber nachweist und herausfindet, daß sich das so verhält, dem gehört in aller Freundschaft der Kampfpreis. Es sollen also zwei Dreiecke ausgewählt werden, aus denen die Körper des Feuers und der übrigen Elemente gebildet sind; eines davon ist das gleichschenklige, das andere ist jenes, bei dem stets das Quadrat über der größeren Seite das Dreifache ist von dem Quadrat über der kleineren Seite. Was wir aber vorhin nur unge-fähr gesagt haben, das müssen wir jetzt genauer bestimmen. Es machte nämlich den Anschein, als würden die vier Gattungen alle eine aus der anderen entstehen; das war aber ein falscher Ein-druck. Denn es entstehen wohl die vier Gattungen (von Körpern)


ἰσοσκελοῦς τριγώνου συναρμοσθέν. οὔκουν δυνατὰ πάντα εἰς ἄλληλα διαλυόμενα ἐκ πολλῶν σμικρῶν ὀλίγα μεγάλα καὶ τοὐναντίον γίγνεσθαι, τὰ δὲ τρία οἷόν τε· ἐκ γὰρ ἑνὸς ἅπαντα πεφυκότα λυθέντων τε τῶν μειζόνων πολλὰ σμικρὰ ἐκ τῶν αὐτῶν συστήσεται, δεχόμενα τὰ προσήκοντα ἑαυτοῖς σχήματα, καὶ σμικρὰ ὅταν αὖ πολλὰ κατὰ τὰ τρίγωνα διασπαρῇ, (d) γενόμενος εἷς ἀριθμὸς ἑνὸς ὄγκου μέγα ἀποτελέσειεν ἂν ἄλλο εἶδος ἕν. ταῦτα μὲν οὖν λελέχθω περὶ τῆς εἰς ἄλληλα γενέσεως· οἷον δὲ ἕκαστον αὐτῶν γέγονεν εἶδος καὶ ἐξ ὅσων συμπεσόντων ἀριθμῶν, λέ-γειν ἂν ἑπόμενον εἴη. ἄρξει δὴ τό τε πρῶτον εἶδος καὶ σμικρότατον συνιστάμενον, στοι-χεῖον δ’ αὐτοῦ τὸ τὴν ὑποτείνουσαν τῆς ἐλάτ-τονος πλευρᾶς διπλασίαν ἔχον μήκει· σύνδυο δὲ τοιούτων κατὰ διάμετρον συντιθεμένων καὶ τρὶς τούτου γενομένου, (e) τὰς διαμέτρους καὶ τὰς βραχείας πλευρὰς εἰς ταὐτὸν ὡς κέντρον ἐρεισάντων, ἓν ἰσόπλευρον τρίγωνον ἐξ ἓξ τὸν ἀριθμὸν ὄντων γέγονεν. τρίγωνα δὲ ἰσόπλευρα συνιστάμενα τέτταρα κατὰ σύντρεις ἐπιπέδους γωνίας μίαν στερεὰν γωνίαν ποιεῖ, (55a) τῆς ἀμβλυτάτης τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἐφεξῆς γεγονυῖαν· τοιούτων δὲ ἀποτελεσθεισῶν τεττάρων πρῶτον εἶδος στερεόν, ὅλου περιφεροῦς διανεμητικὸν εἰς ἴσα μέρη καὶ ὅμοια, συνίσταται. δεύτερον δὲ ἐκ μὲν τῶν αὐτῶν τριγώνων, κατὰ δὲ ἰσόπλευρα τρίγωνα ὀκτὼ συστάντων, μίαν ἀπεργασαμένων στερεὰν γωνίαν ἐκ τεττάρων ἐπιπέδων· καὶ γενομένων ἓξ τοιούτων τὸ δεύτερον αὖ σῶμα οὕτως ἔσχεν τέλος. τὸ δὲ τρίτον ἐκ δὶς ἑξήκοντα τῶν στοιχείων συμπαγέντων, (b) στερεῶν δὲ γωνιῶν δώδεκα, ὑπὸ πέντε ἐπιπέδων τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχομένης ἑκάστης, εἴκοσι βάσεις ἔχον ἰσοπλεύρους τριγώνους γέγονεν. καὶ τὸ μὲν ἕτερον ἀπήλλακτο τῶν στοιχείων ταῦτα γεννῆσαν, τὸ δὲ ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἐγέννα τὴν τοῦ τετάρτου φύσιν, κατὰ τέττα-ρα συνιστάμενον, εἰς τὸ κέντρον τὰς ὀρθὰς γωνίας συνάγον, ἓν ἰσόπλευρον τετράγωνον ἀπεργασάμενον· ἓξ δὲ τοιαῦτα συμπαγέντα γωνίας ὀκτὼ στερεὰς ἀπετέλεσεν, (c) κατὰ

aus den Dreiecken, die wir ausgewählt haben, drei davon aus dem einen, das ungleiche Seiten hat, aber nur die vierte allein ist aus dem gleichschenkligen Dreieck zusammengefügt. Es ist also nicht möglich, daß alle sich gegenseitig ineinander auflösen und daß aus vielen kleinen ein paar wenige große entstehen und umge-kehrt, sondern das ist nur bei den ersten drei möglich; denn da diese alle aus einer Art Dreieck entstanden sind, werden durch Auflösung der größeren viele kleine aus ihnen entstehen und die Formen annehmen, die ihnen zukommen. Und umgekehrt, wenn zahlreiche kleine Körper in Dreiecke zerlegt sind, so wird daraus eine einzige Zahl entstehen, die einer Masse entspricht, und diese würde schließlich wieder eine andere große Gestalt ausmachen. So viel soll also gesagt sein über ihre Entstehung aus einander; wie aber jede ihrer Arten und aus dem Zusammentreffen wie vie-ler Zahlen sie entstanden sind, das wäre nun anschließend zu er-klären. Den Anfang wird denn also die erste Art machen, dieje-nige, die aus den kleinsten Teilen zusammengesetzt ist; ihr Bau-element ist das Dreieck, dessen Hypotenuse doppelt so lang ist wie die kleinere Kathete. Wenn nun je zwei dieser Art [zu einem Drachenviereck] mit der Hypotenuse als Diagonale zusammenge-legt werden und wenn das dreimal in der Weise gemacht wird, daß die drei Diagonalen und die drei kurzen Katheten alle in einem Punkt wie in einem und demselben Zentrum zusammen-stoßen, so hat sich damit aus den sechs Dreiecken ein einziges, gleichseitiges ergeben. Vier solche gleichseitige Dreiecke aber, mit je drei Flächenwinkeln zusammengefügt, bilden zusammen einen stereometrischen Winkel, (55) der (nach seiner Größe) un-mittelbar auf den stumpfsten der flächenhaften Winkel [d.h. 180° = 3 · 60°] folgt. Sind nun aber vier solche Winkel gebildet, so ergibt sich daraus die erste Art eines stereometrischen Gebildes, das die Eigenschaft hat, die gesamte Oberfläche einer (umschrie-benen) Kugel in gleiche und ähnliche Stücke zu teilen. Die zweite Raumfigur ergibt sich aus den selben Dreiecken, wobei sich aber je acht zu einem gleichseitigen Dreieck vereinigt [übliche Textbasis: „wobei sie sich aber zu je acht gleichseitigen Dreiecken vereinigt“] und zusammen einen einzigen stereometri-schen Winkel aus vier flächenhaften gebildet haben; hat man dann sechs dieser Art entstehen lassen, so wurde damit der zweite Körper vollendet. Der dritte aber ergab sich aus der Zusammen-fügung von zweimal sechzig Grunddreiecken und zwölf stereo-metrischen [Rufener: geometrischen] Winkeln, wobei jeder von fünf Flächen aus gleichseitigen Dreiecken umfaßt wird; er bekam so zwanzig gleichseitige Dreiecke als Grundflächen. Nachdem nun das eine der beiden Grunddreiecke diese (drei Kör-per) hervorgebracht hatte, war es seiner Aufgabe ledig. Dagegen brachte nun das gleichschenklige Dreieck die Natur des vierten Körpers hervor: je vier solche traten zusammen; ihre rechten


τρεῖς ἐπιπέδους ὀρθὰς συναρμοσθείσης ἑκάσ-της· τὸ δὲ σχῆμα τοῦ συστάντος σώματος γέγονεν κυβικόν, ἓξ ἐπιπέδους τετραγώνους ἰσοπλεύρους βάσεις ἔχον. ἔτι δὲ οὔσης συστάσεως μιᾶς πέμπτης, ἐπὶ τὸ πᾶν ὁ θεὸς αὐτῇ κατεχρήσατο ἐκεῖνο δια-ζωγραφῶν. Ἃ δή τις εἰ πάντα λογιζόμενος ἐμμελῶς ἀπο-ροῖ πότερον ἀπείρους χρὴ κόσμους εἶναι λέγειν ἢ πέρας ἔχοντας, τὸ μὲν (d) ἀπείρους ἡγήσαιτ’ ἂν ὄντως ἀπείρου τινὸς εἶναι δόγμα ὧν ἔμπειρον χρεὼν εἶναι, πότερον δὲ ἕνα ἢ πέντε αὐτοὺς ἀληθείᾳ πεφυκότας λέγειν ποτὲ προσήκει, μᾶλλον ἂν ταύτῃ στὰς εἰκότως διαπορήσαι. τὸ μὲν οὖν δὴ παρ’ ἡμῶν ἕνα αὐτὸν κατὰ τὸν εἰκότα λόγον πεφυκότα μηνύει θεόν, ἄλλος δὲ εἰς ἄλλα πῃ βλέψας ἕτερα δοξάσει. καὶ τοῦτον μὲν μεθετέον, τὰ δὲ γεγονότα νῦν τῷ λόγῳ γένη διανείμωμεν εἰς πῦρ καὶ γῆν καὶ ὕδωρ καὶ ἀέρα. γῇ μὲν δὴ τὸ κυβικὸν εἶδος δῶμεν· (e) ἀκινητοτάτη γὰρ τῶν τεττάρων γενῶν γῆ καὶ τῶν σωμάτων πλαστικωτάτη, μάλιστα δὲ ἀνάγκη γεγονέναι τοιοῦτον τὸ τὰς βάσεις ἀσφαλεστάτας ἔχον· βάσις δὲ ἥ τε τῶν κατ’ ἀρχὰς τριγώνων ὑποτεθέντων ἀσφαλεστέρα κατὰ φύσιν ἡ τῶν ἴσων πλευρῶν τῆς τῶν ἀνίσων, τό τε ἐξ ἑκατέρου συντεθὲν ἐπίπεδον ἰσόπλευρον ἰσοπλεύρου τετράγωνον τριγώνου κατά τε μέρη καὶ καθ’ ὅλον στασιμωτέρως ἐξ ἀνάγκης βέβηκεν. (56a) διὸ γῇ μὲν τοῦτο ἀπονέμοντες τὸν εἰκότα λόγον διασῴζομεν, ὕδατι δ’ αὖ τῶν λοιπῶν τὸ δυσκινητότατον εἶδος, τὸ δ’ εὐκινητότατον πυρί, τὸ δὲ μέσον ἀέρι· καὶ τὸ μὲν σμικ-ρότατον σῶμα πυρί, τὸ δ’ αὖ μέγιστον ὕδατι, τὸ δὲ μέσον ἀέρι· καὶ τὸ μὲν ὀξύτατον αὖ πυρί, τὸ δὲ δεύτερον ἀέρι, τὸ δὲ τρίτον ὕδατι. ταῦτ’ οὖν δὴ πάντα, τὸ μὲν ἔχον ὀλι-γίστας βάσεις εὐκινητότατον ἀνάγκη πεφυ-κέναι, τμητικώτατόν τε καὶ ὀξύτατον ὂν πάν-τῃ πάντων, (b) ἔτι τε ἐλαφρότατον, ἐξ ὀλιγίσ-των συνεστὸς τῶν αὐτῶν μερῶν· τὸ δὲ δεύτε-ρον δευτέρως τὰ αὐτὰ ταῦτ’ ἔχειν, τρίτως δὲ τὸ τρίτον. ἔστω δὴ κατὰ τὸν ὀρθὸν λόγον καὶ κατὰ τὸν εἰκότα τὸ μὲν τῆς πυραμίδος στερε-ὸν γεγονὸς εἶδος πυρὸς στοιχεῖον καὶ σπέρμα·

Winkel vereinigten sich im Mittelpunkt und bildeten so ein einzi-ges gleichseitiges Viereck. Wenn man aber sechs dieser Art zu-sammenfügte, ergaben sich acht stereometrische Winkel, deren jeder aus drei rechtwinkligen Flächen zusammengefügt war. Die Form aber des Körpers, der so entstand, war ein Kubus, dessen Grundflächen sechs gleichseitige Vierecke sind. Es gab dann noch eine fünfte Zusammensetzung; doch diese verwendete der Gott für das All, um es mit [Stern]Bildern auszu-schmücken. Wenn man dies alles nun wohlweislich überlegt, so ist man im Ungewissen, ob man sagen soll, die Zahl der Welten sei unbe-grenzt oder sie hätte eine Grenze. Einerseits wird man der Ansicht sein, sie für unbegrenzt zu halten, sei die Meinung eines wirklich beschränkten Geistes in einer Sache, wo man gerade nicht be-schränkt sein darf. Ob man dagegen sagen kann, es gebe nur eine Welt oder es seien in Wahrheit ihrer fünf entstanden, darüber ließe sich wohl, wenn man auf diesem Standpunkt steht, schon eher im Zweifel sein. Wir meinen, Gott zeige uns, daß aller Wahrscheinlichkeit nach nur eine Welt entstanden ist; ein ande-rer wird sich wieder nach anderen Gesichtspunkten richten und das anders beurteilen. Doch lassen wir diesen beiseite und verteilen wir nun die vier Gattungen, wie sie sich jetzt durch unsere Untersuchung ergeben haben, auf Feuer und Erde und Wasser und Luft. Der Erde wol-len wir also die kubische Form zuweisen; denn sie ist die unbe-weglichste von den vier Gattungen und der bildsamste [= am bes-ten in Formen zu bringen] von allen Körpern; mit aller Notwen-digkeit kann aber nur der so beschaffen sein, der auch die festes-ten Grundlagen hat, und von den Dreiecken, die wir zu Beginn angenommen haben, ist dasjenige mit zwei gleichen Seiten von Natur aus eine sicherere Grundlage als jenes mit ungleichen Seiten, und auch die gleichseitige Fläche, die aus diesen beiden zusammengesetzt ist, hat als Viereck sowohl in ihren Teilen als im Ganzen notwendig einen festeren Stand, als wenn die Oberfläche ein gleichseitiges Dreieck ist. (56) Wenn wir daher diese Form der Erde zuweisen, bleiben wir damit bei der Aussage, die die Wahrscheinlichkeit für sich hat. Dem Wasser dagegen geben wir die Gestalt, die von den (drei noch) übrigen die schwer-beweglichste ist; die am leichtesten bewegliche geben wir dem Feuer und die mittlere der Luft. Und den kleinsten Körper geben wir dem Feuer, den größten dem Wasser und den mittleren der Luft; ferner den spitzigsten dem Feuer, den zweitspitzigsten der Luft und den dritten dem Wasser. Bei diesen allen muß also dasjenige, was von Natur die kleinsten Grundflächen hat, das beweglichste sein; es ist auch das in jeder Hinsicht am besten teilbare und spitzigste von allen, zudem auch das leichteste, weil es aus den wenigsten gleichen Teilen besteht; das zweite aber


τὸ δὲ δεύτερον κατὰ γένεσιν εἴπωμεν ἀέρος, τὸ δὲ τρίτον ὕδατος. πάντα οὖν δὴ ταῦτα δεῖ διανοεῖσθαι σμικρὰ οὕτως, ὡς καθ’ (c) ἓν ἕκαστον μὲν τοῦ γένους ἑκάστου διὰ σμικρό-τητα οὐδὲν ὁρώμενον ὑφ’ ἡμῶν, συν-αθροισθέντων δὲ πολλῶν τοὺς ὄγκους αὐτῶν ὁρᾶσθαι· καὶ δὴ καὶ τὸ τῶν ἀναλογιῶν περί τε τὰ πλήθη καὶ τὰς κινήσεις καὶ τὰς ἄλλας δυνάμεις πανταχῇ τὸν θεόν, ὅπῃπερ ἡ τῆς ἀνάγκης ἑκοῦσα πεισθεῖσά τε φύσις ὑπεῖκεν, ταύτῃ πάντῃ δι’ ἀκριβείας ἀποτελεσθεισῶν ὑπ’ αὐτοῦ συνηρμόσθαι ταῦτα ἀνὰ λόγον. Ἐκ δὴ πάντων ὧνπερ τὰ γένη προειρήκαμεν ὧδ’ ἂν κατὰ τὸ εἰκὸς μάλιστ’ ἂν ἔχοι. (d) γῆ μὲν συντυγχάνουσα πυρὶ διαλυθεῖσά τε ὑπὸ τῆς ὀξύτητος αὐτοῦ φέροιτ’ ἄν, εἴτ’ ἐν αὐτῷ πυρὶ λυθεῖσα εἴτ’ ἐν ἀέρος εἴτ’ ἐν ὕδατος ὄγκῳ τύχοι, μέχριπερ ἂν αὐτῆς πῃ συντυχόντα τὰ μέρη, πάλιν συναρμοσθέντα αὐτὰ αὑτοῖς, γῆ γένοιτο – οὐ γὰρ εἰς ἄλλο γε εἶδος ἔλθοι ποτ’ ἄν – ὕδωρ δὲ ὑπὸ πυρὸς μερισθέν, εἴτε καὶ ὑπ’ ἀέρος, ἐγχωρεῖ γίγνεσθαι συστάντα ἓν μὲν πυρὸς σῶμα, δύο δὲ ἀέρος· (e) τὰ δὲ ἀέρος τμήματα ἐξ ἑνὸς μέρους διαλυθέντος δύ’ ἂν γενοίσθην σώματα πυρός. καὶ πάλιν, ὅταν ἀέρι πῦρ ὕδασίν τε ἤ τινι γῇ περιλαμβανόμενον ἐν πολλοῖς ὀλίγον, κινούμενον ἐν φερομένοις, μαχόμενον καὶ νικηθὲν καταθραυσθῇ, δύο πυρὸς σώματα εἰς ἓν συνίστασθον εἶδος ἀέρος· καὶ κρατηθέντος ἀέρος κερματισθέντος τε ἐκ δυοῖν ὅλοιν καὶ ἡμίσεος ὕδατος εἶδος ἓν ὅλον ἔσται συμπαγές. ὧδε γὰρ δὴ λογισώμεθα αὐτὰ πάλιν, ὡς ὅταν ἐν πυρὶ λαμβανόμενον τῶν (57a) ἄλλων ὑπ’ αὐτοῦ τι γένος τῇ τῶν γωνιῶν καὶ κατὰ τὰς πλευρὰς ὀξύτητι τέμνηται, συστὰν μὲν εἰς τὴν ἐκείνου φύσιν πέπαυται τεμνόμενον – τὸ γὰρ ὅμοιον καὶ ταὐτὸν αὑτῷ γένος ἕκαστον οὔτε τινὰ μετα-βολὴν ἐμποιῆσαι δυνατὸν οὔτε τι παθεῖν ὑπὸ τοῦ κατὰ ταὐτὰ ὁμοίως τε ἔχοντος – ἕως δ’ ἂν εἰς ἄλλο τι γιγνόμενον ἧττον ὂν κρείττονι μάχηται, λυόμενον οὐ παύεται. τά τε αὖ σμικρότερα ὅταν ἐν τοῖς μείζοσιν πολλοῖς περιλαμβανόμενα ὀλίγα διαθραυόμενα κατασβεννύηται, (b) συνίστασθαι μὲν ἐθέλοντα εἰς τὴν τοῦ κρατοῦντος ἰδέαν πέπαυται κατασβεννύμενα γίγνεταί τε ἐκ πυρὸς ἀήρ, ἐξ ἀέρος ὕδωρ· ἐὰν δ’ εἰς ταὐτὰ ἴῃ

muß das alles in geringerem Maße zeigen und das dritte noch weniger. Wenn wir das richtig überlegen und dabei die Wahr-scheinlichkeit berücksichtigen, so muß also die körperhafte Form der Pyramide Baustein und Same des Feuers sein; diejenige Ge-stalt, die sich uns anschließend als die zweite ergab, bezeichnen wir als Baustein der Luft, und die dritte sei der des Wassers. Diese alle müssen wir uns nun aber so klein denken, daß jedes einzelne von jeder Gattung wegen seiner Kleinheit für uns nicht sichtbar ist, daß wir aber wohl, wenn sie in großer Zahl versam-melt sind, ihre Massen wahrnehmen können. Und was im beson-deren die Verhältnisse hinsichtlich ihrer Menge und ihrer Bewe-gungen und ihrer übrigen Eigenschaften betrifft, so hat Gott diese Teile überall, soweit es die Natur der Notwendigkeit, freiwillig oder von ihm überredet, zuließ, ganz genau ausgeführt und sie in richtiger Proportion harmonisch zusammengefügt. Nach alledem dürfte es sich mit den Gattungen, die wir vorhin be-schrieben haben, wahrscheinlich wie folgt verhalten: Wenn Erde beim Zusammentreffen mit Feuer durch dessen Spitzigkeit auf-gelöst wurde – mag das nun im Feuer selbst geschehen sein oder in einer Masse von Luft oder Wasser – so wird sie wohl so lange umhergetrieben, bis ihre Teile wieder irgendwo zusammentreffen und sich miteinander verbinden und so wieder zu Erde werden – denn in eine andere Erscheinungsform könnten sie nie überge-hen. Wasser aber, das von Feuer oder auch von Luft in Stücke geteilt wird, läßt es zu, daß, wenn die Teile wieder zusammen-treten, ein Körper von Feuer und zwei von Luft entstehen; wenn aber Luft aufgelöst wurde, so dürften die Teile von einem Stück wohl zwei Körperchen Feuer ergehen. Und umgekehrt, wenn ein kleines Stück Feuer von einer Masse Luft oder Wasser oder irgend von Erde umschlossen wird und von deren Bewegung mitgerissen und im Kampfe überwältigt und in Stücke geschlagen wird, so verdichten sich zwei Körperchen Feuer zu einem Gebilde von Luft. Und wenn die Luft überwältigt und zerstückelt wird, so wird sich aus zwei ganzen und einem halben Teil davon ein ganzes Gebilde Wasser zusammengesetzt haben. Wir wollen uns das nämlich auch folgendermaßen überlegen: (57) wenn im Feuer irgendeine der anderen Gattungen von diesem ergriffen wird und daran ist, durch die Schärfe von dessen Ecken und Kanten zer-schnitten zu werden, so wird sie, wenn sie die Natur des Feuers annimmt, nicht länger zerschnitten; denn keine Gattung, die sich ähnlich oder mit sich selbst identisch ist, kann eine Veränderung bei etwas bewirken oder etwas erleiden, durch das, was ebenfalls mit sich identisch und sich ähnlich ist. So lange es aber in irgendein anderes gerät und als schwächeres gegen ein stärkeres kämpfen muß, wird es immer wieder zersetzt. Umgekehrt die kleineren Elemente: wenn eine geringe Zahl von diesen von zahl-reichen größeren umschlossen ist, so wird sie zwar in Stücke zerschlagen und zersetzt; sind sie aber damit einverstanden, in die


καὶ τῶν ἄλλων τι συνιὸν γενῶν μάχηται, λυόμενα οὐ παύεται, πρὶν ἢ παντάπασιν ὠθούμενα καὶ διαλυθέντα ἐκφύγῃ πρὸς τὸ συγγενές, ἢ νικηθέντα, ἓν ἐκ πολλῶν ὅμοιον τῷ κρατήσαντι γενόμενον, αὐτοῦ σύνοικον μείνῃ. καὶ (c) δὴ καὶ κατὰ ταῦτα τὰ παθήματα διαμείβεται τὰς χώρας ἅπαντα· διέστηκεν μὲν γὰρ τοῦ γένους ἑκάστου τὰ πλήθη κατὰ τόπον ἴδιον διὰ τὴν τῆς δεχομένης κίνησιν, τὰ δὲ ἀνομοιούμενα ἑκάστοτε ἑαυτοῖς, ἄλλοις δὲ ὁμοιούμενα, φέρεται διὰ τὸν σεισμὸν πρὸς τὸν ἐκείνων οἷς ἂν ὁμοιωθῇ τόπον. Ὅσα μὲν οὖν ἄκρατα καὶ πρῶτα σώματα διὰ τοιούτων αἰτιῶν γέγονεν· τὸ δ’ ἐν τοῖς εἴδεσιν αὐτῶν ἕτερα ἐμπεφυκέναι γένη τὴν ἑκατέρου τῶν στοιχείων αἰτιατέον σύστασιν, (d) μὴ μόνον ἓν ἑκατέραν μέγεθος ἔχον τὸ τρίγωνον φυτεῦσαι κατ’ ἀρχάς, ἀλλ’ ἐλάττω τε καὶ μείζω, τὸν ἀριθμὸν δὲ ἔχοντα τοσοῦτον ὅσα-περ ἂν ᾖ τἀν τοῖς εἴδεσι γένη. διὸ δὴ συμμειγ-νύμενα αὐτά τε πρὸς αὑτὰ καὶ πρὸς ἄλληλα τὴν ποικιλίαν ἐστὶν ἄπειρα· ἧς δὴ δεῖ θεωροὺς γίγνεσθαι τοὺς μέλλοντας περὶ φύσε-ως εἰκότι λόγῳ χρήσεσθαι.

Gestalt des überlegenen Elements einzugehen, so werden sie nicht länger ausgelöscht, und so wird dann aus Feuer Luft oder aus Luft Wasser. Wenn sich dagegen die beiden gleich sind und so ein Element an das andere gerät und mit ihm kämpft, so nimmt die Zersetzung kein Ende, bis entweder das eine, völlig ausgestoßen und aufgelöst, zu seiner verwandten Gattung Zuflucht nimmt oder bis es besiegt und aus einer Vielzahl zu einem Eins geworden ist, das dem obsiegenden Element ähnlich ist und dort nun dauernd mit diesem zusammenlebt. Und es wechseln denn auch im Zuge dieser Vorgänge alle Elemente ihren Platz. Denn die Mengen einer jeden Gattung stehen infolge der Bewegung der Substanz, die sie aufnimmt, getrennt, jede an ihrem eigenen Platz; diejenigen aber, die sich jedesmal selber unähnlich werden und sich einem anderen angleichen, treiben infolge der Erschütterung zum Standort jener anderen hin, denen sie ähnlich geworden sind. Alle die unvermischten und ursprünglichen Körper sind also durch solche Ursachen entstanden; für die Tatsache aber, daß sich innerhalb der vier Arten verschiedene Gattungen gebildet haben, ist die Zusammensetzung der beiden Grundbestandteile verant-wortlich zu machen; denn jede der beiden brachte anfangs nicht nur ein Dreieck von einer bestimmten Größe hervor, sondern auch kleinere und größere und so zahlreiche, wie es bei den (vier) Arten verschiedene Gattungen gibt. Wenn sich infolgedessen die-se Dreiecke entweder untereinander oder gegenseitig miteinander vermischen, so ergeben sie eine unbegrenzte Mannigfaltigkeit. Diese muß also in Betracht gezogen werden, wenn man sich über ihre Natur mit einer wahrscheinlichen Erklärung auslassen will.

Quelle: R. Rufener, Platon: Spätdialoge, Zürich/Stuttgart 1969

Anaximenes (Mitte 6. Jh.) 13 A 5 (Simpl. Phys. 24, 26) Ἀναξιμένης […]· διαφέρειν δὲ μανότητι καὶ πυκνότητι κατὰ τὰς οὐσίας. Καὶ ἀραιούμενον μὲν πῦρ γίνεσθαι, πυκνούμενον δὲ ἄνεμον, εἶτα νέφος, ἔτι δὲ μᾶλλον ὕδωρ, εἶτα γῆν, εἶτα λίθους, τὰ δὲ ἄλλα ἐκ τούτων.

Anaximenes ‹setzte die Luft als Grundstoff an›; diese aber unter-scheide sich durch Lockerheit und Dichte in ihren Wesenheiten. Und wenn sie zwar verdünnt werde, werde sie zu Feuer, wenn sie aber verdichtet werde, werde sie zu Wind, dann zu Wolke, ferner aber noch mehr zu Wasser, dann zu Erde, dann zu Steinen, alles andere aber entstehe daraus.

Leukipp (Mitte 5. Jh.) 67 A 14 (Simpl. de Caelo 242, 15) ταύτας δὲ τὰς ἀτόμους […] διαφερούσας σχήμασί τε καὶ μεγέθει καὶ θέσει καὶ τάξει

67 A 15 (Aristot., de Caelo Γ4, 303a4 […] μόνον τῷ πυρὶ τὴν σφαῖραν ἀπέδωκαν· ἀέρα δὲ καὶ ὕδωρ καὶ τἆλλα μεγέθει καὶ μικρότητι διεῖλον.

diese Atome aber unterscheiden sich in Form, Grösse, Anordnung und Geschwindigkeit

nur dem Feuer(atom) gaben sie die Form einer Kugel; aber Luft und Wasser und alles andere unterschieden sie durch Grösse und Kleinheit.


Die fünf platonischen Körper und ihre Eigenschaften

Grunddreiecke Körper

Tetraeder Hexaeder (Würfel) Oktaeder Ikosaeder Dodekaeder

4 gleichseitige Dreiecke

6 gleichseitige Vierecke (Quadrate)



12 gleichseitige Fünfecke

pro Ecke 3 Drei-ecke (3 · 60° = 180°)

pro Ecke 3 Vierecke (Quadrate) (3 · 90° = 270°)



pro Ecke 3 Fünf-ecke (3 · 108° = 324°)


Die Sphärenharmonie im Timaios (34c–36b)

A 1 – 2 – 3 – 4 – 9 – 8 – 27, zerlegbar in 1 – 2 – 4 – 8 und 1 – 3 – 9 – 27 (zudem: 1 + 2 + 3 + 4 + 9 + 8 = 27) 1 = Grundzahl — 2 = erste gerade Zahl — 3 = erste ungerade Zahl — dritte Potenz, da dreidimensional

B Erweiterung um die harmonischen (!#$#%$

) bzw. arithmetischen (#%$!

) Mittel: Potenzen von 2: 1–43–

32– 2–

83– 3– 4–

163 – 6– 8

Potenzen von 3: 1– 32– 2– 3– 92– 6– 9–

272 – 18– 27

C Ersatz der Quarten 43 durch 9

8 · 9

8 · 256

243 (Ganzton · Ganzton · „Leimma“) ergibt:

Potenzen von 2: 1–98–8164–

43–

32–

2716–

243128– 2–

94–

8132–

83– 3–

278 –

24364 – 4–

92–

8116–

163 – 6–

274 –

24332 – 8

Potenzen von 3: 1–32–2716–

243128– 2– 3–

92–

8116–

729128– 6– 9–

272 –

24316 –

2187128 – 18– 27

D Ersetzt man die Quinten '! jeweils durch (

' · )* und dies wiederum durch )

* · )* · !+,!('

· )* und lässt man den Term

-!).!*

weg, erhält man folgende kombinierte Tonreihe (T = Ganzton = )*; L = Leimma = !+,

!('):

2 T – L – 3 T – L – 2 T – L – 3 T – L – 2 T – L – 3 T – L – 3 T – L – 3 T – L – 2 T – L – T (total 24 T, 9 L) Quart – Quint – Quart – Quint – Quart – Quint – Quint – Quint – Quart – Ganzton Oktav – Oktav – Oktav – Quint – Quint – Quart – Ganzton

ὁ δὲ καὶ γενέσει καὶ ἀρετῇ προτέραν καὶ πρεσβυτέραν ψυχὴν σώματος ὡς δεσπότιν καὶ ἄρξουσαν ἀρξομένου συνεστήσατο ἐκ τῶνδέ τε καὶ τοιῷδε τρόπῳ. (35a) […] ἤρχετο δὲ διαι-ρεῖν ὧδε. Μίαν ἀφεῖλεν τὸ πρῶτον ἀπὸ παντὸς  μοῖραν, μετὰ δὲ ταύτην ἀφῄρει διπλασίαν ταύτης, τὴν δ’ αὖ τρίτην ἡμιολίαν μὲν τῆς δευτέρας, τριπλασίαν δὲ τῆς πρώτης, τετάρτην δὲ τῆς δευτέρας διπλῆν, πέμπτην δὲ τριπλῆν τῆς τρίτης, (c) τὴν δ’ ἕκτην τῆς πρώτης ὀκταπλασίαν, ἑβδόμην δ’ ἑπτακαιεικοσιπλα-σίαν τῆς πρώτης· μετὰ δὲ ταῦτα συνεπληροῦτο τά τε διπλάσια καὶ τριπλάσια διαστήματα, (36a) μοίρας ἔτι ἐκεῖθεν ἀποτέμνων καὶ τιθεὶς εἰς τὸ μεταξὺ τούτων, ὥστε ἐν ἑκάστῳ διαστήματι δύο εἶναι μεσότητας, τὴν μὲν ταὐ-τῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην, τὴν δὲ ἴσῳ μὲν κατ’ ἀριθμὸν ὑπερέχουσαν, ἴσῳ δὲ ὑπερεχομένην. ἡμιολίων δὲ διαστάσεων καὶ ἐπιτρίτων καὶ ἐπογδόων γενο μένων ἐκ τούτων τῶν δεσμῶν ἐν ταῖς πρόσθεν διαστάσεσιν, (b) τῷ τοῦ ἐπογδόου διαστήματι τὰ ἐπίτριτα πάντα συνεπληροῦτο, λείπων αὐτῶν ἑκάστου μόριον, τῆς τοῦ μορίου ταύτης δια στάσεως λειφθείσης ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ἐχούσης τοὺς ὅρους ἓξ καὶ πεν-τήκοντα καὶ διακοσίων πρὸς τρία καὶ τετταρά-κοντα καὶ διακόσια. Καὶ δὴ καὶ τὸ μειχθέν, ἐξ οὗ ταῦτα κατέτεμνεν, οὕτως ἤδη πᾶν κατανη-λώκει.

Er aber bildete die Seele so, daß sie dem Leib in ihrer Ent-stehung voranging und ihn in ihrer Vortrefflichkeit übertraf, als Gebieterin und Herrscherin über ihn, der gehorchen sollte, indem er sie aus solchen Teilen und auf solche Weise zusam-mensetzte: (35) […] Diese Teilung aber begann er auf folgende Weise: zuerst trennte er einen Teil von dem Ganzen ab; dann nahm er einen zweiten, der doppelt so groß war, darauf – als dritten Teil – das Anderthalbfache des zweiten oder das Drei-fache des ersten, als vierten darauf das Doppelte des zweiten, als fünften das Dreifache des dritten, als sechsten das Acht-fache des ersten und als siebenten das Siebenundzwanzigfache des ersten Teils (siehe A). (36) Darauf füllte er die zweifachen und dreifachen Abstände aus, indem er von dort (das heißt von der Grundmasse) noch weitere Stücke abschnitt und sie zwi-schen jene einsetzte, so daß zwischen jedem Abstand zwei Ar-ten von Mittelwerten waren: der eine von ihnen übertraf die eine der beiden äußeren Zahlen und wurde von der anderen übertroffen, und zwar beide Male um denselben Bruchteil, während der andere sie um dieselbe Zahl übertraf, beziehungs-weise übertroffen wurde (siehe B)‚ Da aber infolge dieser Verbindungsglieder innerhalb der früheren Abstände nun neue Abstände von anderthalb und vier Drittel und neun Achtel ent-standen waren, füllte er mit dem Abstand von neun Achteln alle jene von vier Dritteln aus, indem er von jedem von ihnen einen Teil übrigließ, so daß der noch übrige Abstand dieses Teils, in einem Zahlenverhältnis ausgedrückt, zweihundert-sechsundfünfzig zu zweihundertdreiundvierzig betrug (siehe C). Und damit hatte er das Gemisch, von dem er all diese Teile abschnitt, schon ganz aufgebraucht.

Quelle: R. Rufener, Platon: Spätdialoge, Zürich/Stuttgart 1969


Pythagoras

58 B 35 (Aristot. de caelo B9 290b) Δοκεῖ γάρ τισιν ἀναγκαῖον εἶναι τηλικούτων φερομένων σωμάτων γίγνεσθαι ψόφον, ἐπεὶ καὶ τῶν παρ’ ἡμῖν οὔτε τοὺς ὄγκους ἐχόντων ἴσους οὔτε τοιούτῳ τάχει φερομένων· ἡλίου δὲ καὶ σελήνης, ἔτι τε τοσούτων τὸ πλῆθος ἄστρων καὶ τὸ μέγεθος φερομένων τῷ τάχει τοιαύτην φορὰν ἀδύνατον μὴ γίγνεσθαι ψόφον ἀμή-χανόν τινα τὸ μέγεθος. Ὑποθέμενοι δὲ ταῦτα καὶ τὰς ταχυτῆτας ἐκ τῶν ἀποστάσεων ἔχειν τοὺς τῶν συμφωνιῶν λόγους, ἐναρμόνιον γίγνεσθαί φασι τὴν φωνὴν φερομένων κύκλῳ τῶν ἄστρων. Ἐπεὶ δ’ ἄλογον δοκεῖ τὸ μὴ συνακούειν ἡμᾶς τῆς φωνῆς ταύτης, αἴτιον τούτου φασὶν εἶναι τὸ γιγνομένων εὐθὺς ὑπάρ-χειν τὸν ψόφον, ὥστε μὴ διάδηλον εἶναι πρὸς τὴν ἐναντίαν σιγήν.

Denn es scheint einigen notwendig zu sein, dass so grosse Himmelskörper durch ihre Bewegung einen Ton verursachen, da ja auch die Körper bei uns, die weder gleich grosse Massen haben noch sich mit einer solchen Geschwindigkeit bewegen, einen Ton verursachen; aber wenn sich die Sonne und der Mond, zudem so viele und so grosse Sterne mit einer derarti-gen Geschwindigkeit bewegen, ist es unmöglich, dass nicht ein gewaltiger Ton entstünde. Indem sie aber dies annehmen und, dass die Geschwindigkeiten infolge der Abstände das Zahlen-verhältnis musikalischer Proportion haben, behaupten sie, der Ton der sich im Kreis bewegenden Sterne sei harmonisch. Da es aber unsinnig scheint, dass wir diesen Ton nicht hören, sa-gen sie, schuld daran sei die Tatsache, dass der Ton sogleich bei der Geburt vorhanden ist, so dass man ihn nicht von der entgegengesetzten Stille unterscheiden könne.

Dr. Lucius Hartmann, [email protected]

Bildquellen: - Platonbüste:

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Platons Dialog Timaios: Mathematik als Grundlage unserer Welt28c0ffcf-3266-4a58... · 2019. 11. 21. · Platons Dialog Timaios: Mathematik als Grundlage unserer Welt (Seniorenuniversität,