Podcast-Text: WIFI Berufsreifeprüfung / Mathematik/

Modul 36 – Integralrechnung Volumen

Seite 1 von 1

© 2010, WIFI Österreich, Wolfgang Huber

Beim Modul Integral Allgemein haben wir uns überlegt, wie man Flächen von beliebigen Funktionen ermitteln könnte. Dazu haben wir die Flächen in Balken zerlegt und diese addiert. Wenn die Balken unendlich schmal sind, wird das Summenzeichen zum Integralzeichen. Integrieren würde dann bedeuten, man summiert unendlich viele unendlich schmale Balken auf, so als ob man Linienstriche addieren würde.

Modul 36 – Integralrechnung Volumen

Beim Berechnen eines Rotationsvolumens werden nicht mehr Balken aufsummiert, sondern unendlich schmale Zylinder. Noch schmaler als eine Wurstscheibe. Der Querschnitt ist ein Kreis. Das Volumen einer solchen Wurstscheibe wäre Grundfläche mal Höhe und somit r²⋅π mal der Dicke der Scheibe. Bei einer Rotation um die x-Achse wäre die Dicke dx, bei der Rotation um die y-Achse dy. Es hängt eben ab, ob die Scheiben entlang der x-Achse bzw. y-Achse aufsummiert werden. Bleiben wir vorab bei der Rotation um die x-Achse. Jede Scheibe hat nun ein Volumen von r²⋅π⋅dx. Da sich der Radius immer ändert, weil er eine Funktion von x ist, schreibt man statt r f(x). So ergibt sich f(x) zum Quadrat mal π mal dx, geschrieben: f²(x)⋅π⋅dx. Da π eine Konstante ist, kann man sie auch vor das Integral schreiben. Wird nun das Rotationsvolumen einer Funktion um die x-Achse berechnet, setzt man für f(x) den Funktionsterm ein, quadriert ihn und danach wird integriert. Bedenken Sie beim Quadrieren, dass eventuell eine Binomische Formel vorliegt. Entweder Sie verwenden die Kurzmethode bei den Binomischen Formeln oder Sie multiplizieren gliedweise aus: Jedes Glied mit Jedem. Beim Rotationsvolumen um die y-Achse benötigen Sie die Umkehrfunktion. Das heißt, Sie formen Ihre Funktion auf x um und taufen sie dann f(y). x heißt nun f(y). Diese Funktion wird eingesetzt, quadriert und anschließend integriert. Da ja um die y-Achse rotiert wird, liegen ihre Grenzen auf der y-Achse. Falls Sie für die Grenzen x-Werte haben, setzen Sie diese in Ihre Grundfunktion f(x) ein und ermitteln sich die dazugehörigen y Werte. Das sind nun unsere neuen Grenzen. Müssen Sie beim Ermitteln der Umkehrfunktion die Quadratwurzel ziehen, so schreibt man vor die Wurzel Plus/Minus. Es gibt zwei Lösungen. Somit ergeben sich auch zwei Funktionen. Ein linker Ast und ein rechter Ast. Da beim Integrieren sowieso wieder quadriert wird, sind die Vorzeichen nicht von Bedeutung. Die Mathematik hat immer wieder Überraschungen für uns parat. Sie entscheiden, wie tief Sie vordringen wollen. Viel Spaß beim Mathematisieren!