Präferenzen - rolandzimmer.de · OrdnungsrelationeninR N Präferenzordnungen Nutzenfunktionen StetigkeitvonRelationen Präferenzen KlausSchindler ML athematik ehrs 0 tab Universität

Ordnungsrelationen in RN

PräferenzordnungenNutzenfunktionen

Stetigkeit von Relationen

Präferenzen

Klaus Schindler

MLathematik

ehrstab0 Universität des SaarlandesFakultät 1

http://www.mathe.wiwi.uni-sb.de

Advanced Quantitative Methods for EconomistsWS 2014/2015

Klaus Schindler Kapitel 2




OrdnungLexikographische Ordnung

Ordnung

Definition:Für Vektoren x=(x1, . . . , xN) und y=(y1, . . . , yN) des RN definiere

y > x ⇐⇒ ∀k : yk > xk

y � x ⇐⇒ ∀k : yk > xk

Bemerkung:(y>x) ∧ (y 6=x) ⇐⇒

(∀k : yk>xk

)∧

(∃` : y>x`

)





OrdnungLexikographische Ordnung

Lexikographische Ordnung

Definition:Für Vektoren x und y des RN definiere y < x, falls gilt(x=y) oder die erste von Null verschiedene Komponente von y−xist positiv.

Bemerkung:„<“ ist eine Totalordnung in RN , die als lexikographische Ordnungbezeichnet wird.





Rationale PräferenzenMonotone und streng monotone PräferenzenLokal nicht gesättigte PräferenzenKonvexe PräferenzenHomothetische Präferenzen

Rationale PräferenzenIm Folgenden bezeichne X ⊂ RN

+ die Menge sämtlicherGüterbündel („Alternativen“).

Eine Relation „<“ in X heißt rationale Präferenzrelation, wenn sievollständig und transitiv ist.Man definiert daraus die Relationen der Indifferenz ∼ und derstrikten Präferenz � durch

y ∼ x ⇐⇒ (y<x) ∧ (x<y)y � x ⇐⇒ (y<x) ∧ (x�y)

Für jedes x∈X definiert man die Indifferenzmenge und die oberebzw. untere Konturmenge (Besser- bzw. Schlechtermenge) durch{

y∈X | y∼x} {

y∈X | y<x} {

y∈X | y4x}






Manchmal ist es plausibel, dass größere Güterbündel kleinerenGüterbündeln vorgezogen werden.






Monotone Präferenzen

Eine Relation „<“ in X heißt

monoton, wenn für alle x∈X gilt

y � x =⇒ y<x

streng monoton, wenn für alle x∈X gilt

(y>x) ∧ (y 6=x) =⇒ y<x

Bemerkung: Strenge Monotonie impliziert Monotonie!In der Literatur sind teilweise leicht unterschiedliche Definitionender Monotonie zu finden!






Wenn es „Goods“ gibt, die „Bads“ sind, kann keine monotonePräferenz vorliegen. In diesem Fall bietet sich statt der Monotonieein schwächerer Begriff an.






Lokal nicht gesättigte Präferenzen

Eine Relation „<“ in X heißt lokal nicht gesättigt, wenn gilt

∀x∈X ∀ε>0 ∃y∈Uε(x) : y � x

Bemerkung:Jede monotone Relation ist lokal nicht gesättigt!„Dicke“ Indifferenzmengen, deren Inneres (!) nicht leer ist,sind nicht verträglich mit lokaler Nichtsättigung!






Bei der Konvexität von Präferenzen beschäftigt man sich mit derFrage nach trade-offs zwischen verschiedenen Gütern(Alternativen).






Konvexe Präferenzen

Eine Relation „<“ in X heißt konvex, wenn für jedes x∈X dieobere Konturmenge von x konvex ist, d.h.

(y<x) ∧ (z<x) =⇒ ∀α∈[0, 1] : α·y + (1−α)·z < x

Eine Relation „<“ in X heißt streng konvex, wenn für jedesx∈X gilt

(y<x)∧ (z<x)∧ (y 6=z) =⇒ ∀α∈]0, 1[: α·y + (1−α)·z � x






In Anwendungen (vor allem in der Ökonometrie) konzentriert mansich häufig auf Präferenzen, bei denen es möglich ist, die gesamtePräferenzrelation aus einer einzigen Indifferenzmenge abzuleiten.






Homothetische Präferenzen

Eine Relation „<“ in X heißt homothetisch, wenn sich alleIndifferenzmengen durch proportionale Entwicklung in Richtungvon Ursprungsgeraden ergeben, d.h.

(y ∼ x) =⇒ ∀α∈R+ : α·y ∼ α·x





Aus Gründen der Optimierung ist es optimal, Präferenzordnungenmittels einer Nutzenfunktion u darzustellen. Ist diese sogardifferenzierbar stehen dann sogar alle Optimierungsmethoden derDifferentialrechnung zur Verfügung.





Repräsentierende Nutzenfunktion

Eine Funktion U : X → R heißt repräsentierende Nutzenfunktionder Präferenzordnung „<“, falls

∀x,y∈X : x<y ⇐⇒ U(x)>U(y)

Bemerkung:Insbesondere folgt:

(x∼y) ⇐⇒ U(x)=U(y)(x�y) ⇐⇒ U(x)>U(y)





Lexikographische Ordnung und NutzenfunktionDie lexikographische Ordnung im RN besitzt keinerepräsentierende Nutzenfunktion U!Beweis: Indirekt, wobei o.E. N=2 und X=RNgelte.Nach Definition der lexikographischen Ordnung müsste für Ugelten

∀x∈R : U(x , 2) > U(x , 1)

Wähle für jedes x∈R eine rationale Zahl r(x)∈Q mit

U(x , 2) > r(x) > U(x , 1)

r : R→ Q ist streng mowa, denn für y > x gilt

U(y , 2) > r(y) > U(y , 1) > U(x , 2) > r(x) > U(x , 1)

Also ist r injektiv im Widerspruch zur Überabzählbarkeit von R.Klaus Schindler Kapitel 2




Konturmengen und NutzenfunktionenHomothetische und monotone NutzenfunktionenQuasikonkave Nutzenfunktionen

Stetigkeit von RelationenEine Relation „<“ in X heißt stetig, wenn sie „verträglich“ bzgl.Grenzwertbildung ist, d.h. ist (xn,yn) eine Folge in X mit

1) ∀n∈N : xn < yn 2) limn→∞

(xn,yn) = (x,y)

so gilt auch x < y

Bemerkung:1 Beachte Analogie zu Grenzwerten in RN , d.h.

xn > yn =⇒ limn→∞

xn > limn→∞

yn

2 Die lexikographische Ordnung ist unstetig, denn es gilt

( 1n , 0) � (1, 0), aber lim

n→∞( 1

n , 0) = (0, 0) ≺ (1, 0)






Stetigkeit und Konturmengen

Satz:„<“ ist genau dann stetig, wenn alle oberen und unterenKonturmengen topologisch abgeschlossen sind.

Beweis:„ =⇒ “: Gilt yn < x bzw. yn 4 x, so folgt aus der Stetigkeit

limn→∞

yn < x bzw. limn→∞

yn 4 x






Anforderungen an die Präferenzordnung wirken sich auf dierepräsentierende Nutzenfunktion aus!






Eigenschaften von Nutzenfunktionen

Zu jeder stetigen Präferenzordnung „<“ existiert eine stetigerepräsentierende Nutzenfunktion.Eine stetige Präferenzordnung „<“ ist genau dannhomothetisch, wenn eine repräsentierende Nutzenfunktionexistiert, die homogen vom Grad 1 ist.Ist die Präferenzordnung „<“ monoton, so ist jederepräsentierende Nutzenfunktion U monoton, d.h.

x > y =⇒ U(x) > U(y)






Quasikonkave/konvexe Funktionen

Sei f : X → R eine Funktion auf einer konvexen Menge X .

f heißt quasikonkav, wenn alle oberen Konturmengen konvexsind, d.h. wenn gilt

∀t∈R :{x∈X | f(x)>t

}ist konvex

f heißt quasikonvex, wenn alle unteren Konturmengen konvexsind, d.h. wenn gilt

∀t∈R :{x∈X | f(x)6t

}ist konvex

Satz: „<“ ist genau dann konvex, wenn jede repräsentierendeNutzenfunktion quasikonkav ist.






Quasikonkave/Quasikonvexe Funktionen

Satz:Sei f : X → R eine Funktion auf einer konvexen Menge X .

f ist genau dann quasikonkav, wenn gilt

∀x,y∈X ∀α∈[0, 1] : f(αx + (1−α)y

)> min

{f(x),f(y)

}f ist genau dann quasikonvex, wenn gilt

∀x,y∈X ∀α∈[0, 1] : f(αx + (1−α)y

)6 max

{f(x),f(y)

}






Eigenschaften

Satz:f : X → R quasikonkav ⇐⇒ −f quasikonvex

Jede konkave Funktion ist quasikonkav und jede konvexeFunktion ist quasikonvex.

Jede monotone Funktion in einer Variablen ist quasikonkavund quasikonvex.






Aufgaben

1 Erläutere die Unterschiede zwischen quasikonvex und konvexbzw. quasikonkav und konkav.

2 Untersuchen Sie, ob folgende Funktionen fi : R→ R konvex,quasikonvex, konkav oder quasikonkav sind.

i) f1(x)=x4 ii) f2(x)=x5 iii) f3(x)=−x6 iv) f4(x)= e(−x2)

3 Untersuchen Sie, ob f : R2 → R mit f(x1, x2) := e−(x21 +x2

2 )

konvex, quasikonvex, konkav oder quasikonkav ist.


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