Praktikum Wissenschaftliches Rechnen · der „Half-performance length“ zusammengefasst. Für die Aus-führungszeit t(n) ergibt sich t(n) = T˝= (k+ (n 1) + s) ˝= (n+ n 1=2)˝

Ziel des Praktikums

Konzept des Praktikums

Parallelität - Ebenen

Klassifikation nach Flynn

Vektorrechner - Aufbau

Arithm. Operationen

Leistungsanalyse

Vektorisierte Programme

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Aktuelle Prozessoren

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PraktikumWissenschaftliches Rechnen

Praktikum Wissenschaftliches Rechnen

Performance-optimized Programming

Scientific Computing in Computer ScienceProf. Dr. H.-J. Bungartz

Dipl.-Geophys. Markus [email protected]. Ralf [email protected]. Ioan [email protected]

19. November 2007

mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]

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1. Ziel des Praktikums

HLRB II

Highend CPUs

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2. Konzept des Praktikums

• Einführung und grundlegende Fertigkeiten

– Laufzeitoptimierung (Pipeline, Cache)– Programmieren auf Shared-Memory Rechnern (OpenMP)– Programmieren auf Distributed-Memory Rechnern (MPI)– fünf Übungsblätter; teilweise theoretische Aufgaben; enge

Vorgaben

• Projekt orientierte Aufgabe(n)

– freie Aufgabenstellung; Vertiefung und Anwendung des Er-lernten; wenig Vorgaben; eigenverantwortliche Arbeiten

www http://www5.in.tum.de/lehre/praktika/wissprak/WS07/

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3. Ebenen der Parallelität

Parallele Programme lassen sich nach der Granularität ihre Paral-lelität klassifizieren und Rechnertypen gegenüberstellen, welchendurch ihre Hardware die entsprechende Ebene unterstützen.

• Suboperationsebene

– Vektorrechner(z. B. NEC-SX,Cray-SV)

– Feldrechner (z. B.MasPar-Rechner)

– Cell-Processor– SSE[1− 4]– . . .

• Anweisungsebene

– Superskalarrechner (z. B. Workstation/PC)– VLIW-Rechner (very long instruktion word) (z. B. Itanium)– . . .

ILP – Instruction Level Parallelism

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• Blockebene (Threads)

– Shared-Memory-Rechner (z. B. SUN-UltraSparc, SGI-Altix)– . . .

• Prozessebene

– Distributed-Memory-Rechner (Cray-T3E, IBM-SP)– . . .

• Programmebene

– Workstation-Cluster– Grid-Computer– . . .

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4. Klassifikation nach Flynn

• Betrachte: Befehlsstrom und Datenstrom

• Ein Rechner bearbeitet zu einem Zeitpunkt einen oder mehrereBefehle

• Ein Rechner bearbeitet zu einem Zeitpunkt einen oder mehrereDatenwert

SISD SIMDEinprozessorsystem Vektorrechner

Feldrechner

MISD MIMDleer Multiprozessorsysteme

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5. Aufbau eines Vektorrechner

5.1. Was ist ein Vektorrechner?

• Einen Rechner mit pipelineartig aufgebautem/n Rechenwerk/en,der Arrays von Gleitpunktzahlen verarbeitet.

• Vektor = Array (Feld) von Gleitpunktzahlen.

• Vektorbefehle werden auf ganze Vektoren angewendet, die inVektorregistern gespeichert sind.

• Ein Vektorrechner enthält neben der Vektoreinheit auch nocheine oder mehrere Skalareinheiten. Dort werden die skalarenBefehle parallel zu den Vektorbefehlen ausgeführt.

• Ein „klassischer“ Vektorrechner besitzt keinen Cache. Die Da-ten werden über Load- bzw. Store-Pipelines direkt in die Vektor-register geladen. Der dazu erforderliche schnelle Zugriff auf denHauptspeicher wird durch Speicherverschränkung (interleavedmemory) realisiert.Beispiel: CRAY T90 32 doppelt ausgelegten Prozessoren mitzwei Load-Pipelines, einer Store-Pipeline und einer i/o Einheitdie auf den Speicher zugreifen.

32(proc.) · 8(ref.) ∗ 4cycles(bbt.)⇒ 1024banks(SSRAM)

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5.2. Prinzipskizze eines Vektorprozessors

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5.3. Pipelining

• Instruktion Pipelining

Befehlsausführung ohne und mit Pipelining

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• Arithmetisches Pipelining Beispiel: Addition in vier Schritten

– Ein Paar Gleitpunktzahlen aus dem Vektorregister laden,– die Exponenten vergleichen und eine der Mantissen ver-

schieben,– die ausgerichtetem Mantissen addieren und– das Ergebnis normalisieren und in ein Register zurückschrei-

ben.

Zeitl. Verlauf einer Vektoroperation in einer Pipeline

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• Software Pipelining

Die einzelnen Schleifeniterationen werden überlappt ausgeführt.Jede Zeile entspricht einem VLIW.

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for(i=0;i

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6. Arithm. Operationen und Speicherzugriffe

Bei einem Vektorrechner können die arithmetischen Pipelines ver-kettet werden, diese wiederum können mit den Load- bzw. Store-Pipelines verkettet werden. Somit ist ein kontinuierlicher Datenstromvom Speicher zum Prozessor und zurück realisierbar.Können die Daten in der beschriebenen Weise geladen, verarbeitetund gespeichert werden, so erreicht der Rechner seine maximaleLeistung. Ob diese erreicht wird hängt von der Speicherbandbreite,also von der Anzahl der vorhandenen L/S-Pipelines und von der Zahlder benötigten Speicherzugriffe ab.Für technische Anwendungen können folgende Operationen unter-schieden werden:

• Dyadische Operationen (MUL/ADD)

ai↓

= bi↑

+· ci↑

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• Triadische Operationen (MUL&ADD)

– „Vector Triad“

ai↓

= bi↑

+ ci↑· di↑

– „Linked Triad“

ai↓

= bi↑

+ s · di↑

– „Repeated Contracting Vector Triad“

ai = ai{

imRegister

gehalten

+ (ci↑· di↑

)j , j = 1, 2, . . .

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– „Repeated Contracting Linked Triad“

ai = ai{imRegister

gehalten

+ (s · di↑

)j , j = 1, 2, . . .

• Skalarprodukt

s = s+ ai↑· bi↑

• „Polyadische“ Operationen

ai = bi + ci · di + ei · fi + gi · hi

Diese Betrachtung gilt analog für Workstations/PCs. Auch hier ist dieSpeicherbandbreite in der Regel der entscheidende „Bottleneck“ fürrechenintensive Anwendungen.

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7. Leistungsanalyse - Maßzahlen eines Vektorrech-ners

• Der Durchsatz D einer Pipeline mit k Stufen und dem Taktzy-klus τ ergibt sich, bei der Verarbeitung von n Elementen überden Zeitraum t = T · τ , zu

D =n

T · τ. (1)

Mit

T = k + (n− 1) (2)

ergibt sich

D =n

(k + (n− 1)) · τ=

1

( kn

+ (1− 1n)) · τ

−→n→∞

1

τ. (3)

Damit ist der maximale Durchsatz einer Pipeline Dmax = 1τ .

• Die Hälfte des maximalen Durchsatzes wird bei der Vektorlängen := n1/2 erreicht. n1/2 wird als „Half-performance length“ bezeichnet.

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Mit

Dmax2

=1

2 · τ=

n1/2(k + (n1/2 − 1)) · τ

(4)

folgt

n1/2 = k − 1 . (5)

Neben der Einschwingzeit muss auch die Startzeit s betrachtetwerden. In der Startzeit werden Vektorbefehle decodiert, Adres-sen für das erste und letzte Feld der Vektoren berechnet, dieOperanden geladen usw. . Damit wird (2) zu

T = k + (n− 1) + s . (6)

In der Praxis wird die Startzeit und die Einschwingzeit unterder „Half-performance length“ zusammengefasst. Für die Aus-führungszeit t(n) ergibt sich

t(n) = T · τ = (k + (n− 1) + s) · τ = (n+ n1/2)τ (7)

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• Ein Blick auf Abschnitt 6 zeigt, dass nicht immer in jedem Zyklusalle benötigten Daten zu Verfügung stehen, bzw. in einem Zy-klus zwei Operationen ausgeführt werden (vgl. Chaining oderSuperskalar-Architektur). Deshalb ist es sinnvoll die effektiveZykluszeit τeff und die ideale Zykluszeit τideal einzuführen. Esgilt

τideal =

{τ , dyadischeOperationτ2, triadischeOperation.

Die effektive Zykluszeit τeff ist abhängig von der arithm. Opera-tion und der Systemarchitektur. Somit kann aus dem Verhältnisder beiden Werte auf die Effizienz der Architektur geschlossenwerden. Daher ergibt sich der Architekturwirkungsgrad ηa zu

ηa =τidealτeff

. (8)

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• Die Floatingpoint-Leistung (Performance)R eines (Vektor-)Rech-ners ist

R =Zahl der Floatingpoint-Operationen

Ausführungszeit. (9)

Wird die effektive Zykluszeit berücksichtigt, ergibt sich mit (7)

R(n) =n

(n+ n1/2)τeff=

1

τeff· 1

1 +n1/2n

. (10)

Im Grenzwert n→∞ gilt

R∞ =1

τeff. (11)

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Der Grenzwert R∞ wird als „Real Peak Performance“ bezeich-net. R∞ kann in der Praxis nicht gemessen werden daher ist essinnvoll die „Maximal Performance“ Rmax als maximal gemes-sene Leistung einzuführen. Dabei muss n� n1/2 gelten. Damitist τeff mit

τeff =1

R∞≈ 1Rmax

(12)

gegeben. Die Leistung wird normalerweise in FLOPS und dieZykluszeit in nsec angegeben.

• Amdahl’sches Gesetz für VektorisierungEin Programm mit insgesamt m Operationen wird auf einemVektorrechner ausgeführt. Für skalare Operationen ergibt sichdie mittlere Leistung Reff,scalar. Für Vektoroperationen mit dermittleren Vektorlänge n̄ ergibt sich die LeistungReff (n̄). Die Zeitdas vollständige Programm vektoriell bzw. skalar auszuführenist durch

t(n̄) =m

Reff (n̄)bzw. tscalar =

m

Reff,scalar(13)

gegeben.

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Der maximal erreichbare Speedup für ein vollständig vektori-siertes Programm ist damit

spmax(n̄) =tscalart(n̄)

=Reff (n̄)

Reff,scalar. (14)

Leider besitzt jedes Programm einen Anteil an skalaren Opera-tionen. Es sei

– v ·m der Anteil an vektorisierbaren Operationen und– (1− v) ·m der Anteil an skalaren Operationen.

Mit der Ausführungszeit

t(n̄, v) =mv

Reff (n̄)+m(1− v)Reff,scalar

(15)

und (14) ergibt sich

sp(n̄, v) =tscalart(n̄)

=1

vReff,scalarReff (n̄)

+ (1− v)−−−−−−−→Reff (n̄)→∞

1

1− v. (16)

Welche Aussage steckt hinter diesem Grenzwert?

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Links zum Thema Leistungsbewertung:

www http://home.austin.rr.com/mccalpin/papers/bandwidth/bandwidth.html

www http://www.netlib.org/benchweb/hpc.html

www http://www.scl.ameslab.gov/Publications/Gus/TwelveWays.html

www http://crd.lbl.gov/ dhbailey/dhbpapers/twelve-ways.pdf

http://home.austin.rr.com/mccalpin/papers/bandwidth/bandwidth.htmlhttp://www.netlib.org/benchweb/hpc.htmlhttp://www.scl.ameslab.gov/Publications/Gus/TwelveWays.htmlhttp://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/twelve-ways.pdf

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8. Erstellen vektorisierter Programme

8.1. Daumenregeln für Vektorisierung

Richlinien für Schleifen:

• Einfache Schleifen

• Felder und invariante Ausdrücke auf der Rechten Seite benut-zen

• Nur Zuweisungen benutzen

Vermeide folgende Schleifenkörper:

• Funktionsaufrufe

• Nicht vektorisierbare Operationen

• Vektorisierbare Ausdrücke mit verschiedenen Datentypen

• Datenabhängige Abbruchbedingungwhile(a[i]

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8.2. Abhängigkeitsanalyse und Vektorisierung

• Schleife Ifor(i=0;i

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• Schleife IIIfor(i=1;i1;i--){c[i]=c[i]*c[i-1];

}Keine Rekursion!

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• Schleife Vfor(i=n-1;i>0;i--){c[i]=c[i]*c[i+1];

}REKURSION! ci+1 ist beim Zugriff noch in der Pipeline⇒ keineVektorisierung!

• Schleife VIfor(i=L;i

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Vektorisierbar, wenn L ≥ vrl oder „sichere Vektorregisterlän-ge“ mit Compilerdirektive angeben.

• Berechnet der folgende Code den Mittelwert zweier benachbar-ter Elemente?for(i=1;i

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• Summations=a[0];for(i=1;i

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www http://docs.cray.comSuche nach „S-2312-36“.

http://docs.cray.com

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8.3. Vektorisierung rekursiver Probleme

• Summation ohne Hardwareunterstützung

��

��

��

Cascade-Method: Vektorisie-rung der Summation

– „divide and conquer“ Stra-tegie: Addiere die zweiteHälfte des Vektors zur Ers-ten.

– Setze dieses Prinzip jeweilsmit der ersten Hälfte fort,

– bis das erste Element dieSumme enthält.

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• Lineare Rekursion erster Ordnung

x1 = a1; xi = ai + bi · xi−1 , i = 2 . . . n (17)

– „recursive doubling“ (vorgestellt von H.S. Stone 1975) z. B.beschrieben in [1]⇒ Nicht effizient!

– „cyclic reduction“ (vorgestellt von R.W. Hockney) und z. B.in [2] beschrieben

xi = ai + bi · xi−1 ; xi−1 = ai−1 + bi−1 · xi−2xi = ai + bi · (ai−1 + bi−1 · xi−2)xi = (ai + bi · ai−1) + (bi · bi−1) · xi−2xi = (a

(1)i ) + (b

(1)i ) · xi−2

◦ Idee: Bilde Paare und setze die erste Gleichung in dieZweite ein und berechne die Koeffizienten.◦ Dies ergibt n/2 neuen Gleichung. Bilde wieder Paare

und verfahre wie im ersten Schritt.◦ Dies ergibt n/4 neuen Gleichung, bilde wieder Paare . . .

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◦ Nachteile: 1) ≈ 2.5-facher Aufwand; 2) Speicherzugriffmit Stride 2,4,8

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x1 = a1

x2 = a2 + b2 · x1x3 = a3 + b3 · (a2 + b2 · x1)x4 = a4 + b4 · x3x3 = a3 + b3 · (a4 + b4 · x3)

· · ·...

Schema der „cyclic reduction“ (Reduktion und Rücksubstitution)

– „partition method“ vorgestellt in [3] z. B. in [4] beschrieben⇒ Meist effizienteste Methode!

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8.4. Vektorisierung über die Zahl der Probleme

• Problemstellung 1: Algorithmus besitzt Rekursion

• Problemstellung 2: Daten mit kleiner Vektorlänge

• Soll eine große Anzahl dieser Aufgaben bearbeitet werden, sokönnen beide Problemstellungen durch umsortieren der Datengelöst werden.

54

32

12

34

n

5

98741 2 3

65

98741 2 3

65

98741 2 3

65

98741 2 3

65

98741 2 3

65

12

34

n

5

n+11 2n+1

Vektorisierung über die Zahl der Probleme

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Beispiel: Matrix-Matrix-Multiplikation

for(l=0;l

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8.5. Abhängigkeitsanalyse

Si: A = C - ASii: A = B + CSiii: B = A + C

• echet Abhängigkeit (true dependence)

• Gegenabhängigkeit (anti dependence)

• Ausgabeabhängigkeit (output dependence)

Siii bzgl. Sii für A

Siii bzgl. Sii für B

Sii bzgl. Si für A

• S2 zeigt eine true dependence bzgl. S1, S2 δ S2,wenn OUT(S1) ∩ IN(S2) 6= ∅;å S2 benutzt das Ergebniss von S1

• S2 zeigt eine anti dependence bzgl. S1, S2 δ−1 S2,wenn IN(S1) ∩ OUT(S2) 6= ∅;å werden S2 und S1 vertauscht, so wird S1 fälschlicher Weisedas Ergebniss von S2 benutzen

• S2 und S1 zeigen eine output dependence, S2 δO S2,wenn OUT(S1) ∩ OUT(S2) 6= ∅;å werden S2 und S1 vertauscht, so enthält die Zuweisungsva-riable bei Wiederverwendung den falschen Wert

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8.6. Abhängigkeiten in Schleifen

• Man unterscheidet loop-independet dependence und loop-carrieddependence.

– Ergibt sich eine Abhängigkeit zwischen zwei Anweisungenauserhalb einer Schleife, oder zeigt sich die Abhängigkeitinnerhalb einer Iteration der Schleife, so spricht man voneiner loop-independet dependence.

– Eine loop-carried dependence ergibt sich aus zwei Anwei-sungen (dabei kann es sich auch um dieselbe Codezeilehandeln), die in unterschiedlichen Iterationen der Schleifeausgeführt werden.

for(i=0;i

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• Distanzvektor und Richtungsvektor

Die Vektoren i = (i1, . . . , id) und j = (j1, . . . , jd), deren Elemen-te die Werte der Schleifenvariblen eines d-fach geschachteltenSchleifenblocks für zwei unteschiedliche Zustände beinhalten,werden als Iterationsvektoren (iteration vectors) bezeichent.

Aus der Differenz der Iterationsvektoren ergibt sich der Distanz-vektor ∆k = ik − jk, k = 1, . . . , d.

Der Richtungsvektor (direction vector) D(i, j) ist ein Vektor mitd Elementen, die die Werte annehmen können.Dabei ergibt sich das Element D(i, j)k zu

, wenn ∆s > 0 gilt.

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Die Anweisung S2 hat eine loop-carried dependence bzgl. derAnweisung S1 falls:

1. S1 auf die Speicherstellen M in der Iteration i und S2 diesel-be Spreicherstelle M in der Iteration j, und

2. D(i, j) zumindest ein Element sich von = unterscheidet,und daraus das erste den Wert < enthält.

Die Anweisung S2 hat eine loop-independet dependence bzgl.der Anweisung S1 falls:

1. S1 auf die Speicherstellen M in der Iteration i und S2 diesel-be Spreicherstelle M in der Iteration j, und

2. alle Einträge in D(i, j) sind identisch mit =, und3. die Auswertung von S2 erfolgt im Programmcode nach S1.

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for I1 := 1 to u1for I2 := 1 to u2...for Id := 1 to ud......A(a0+a1∗I1+· · ·+ad∗Id)...A(b0+b1∗I1+· · ·+bd∗Id)

endfor...

endforendfor

Betrachen wir nun einen Schleifenblock Lmit d geschachtelten Schlei-fen, der die Anweisungen S1(I) . . . SN(I) einhält, wobei I = (I1, . . . , Id)den Indexvektor der verschiedenen Schleifendurchläufe repräsen-tiert. Wir nehmen an, dass jede dieser Anweisungen Sr(I) eine Zu-weisung enthält. Somit bezieht sich die Anweisung Sr(i) auf die An-weisung Sr in der Iteration i = (i1, . . . , id). A ist ein ein-dimensionalesArray.

Wir benutzen zudem die folgende Notation: Für jede Ganze Zahl qgilt q+ = max(q, 0) q− = max(−q, 0)

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Theorem 1. Betrachtet werden die Anweisungen Sr und St imSchleifenblock L, dabei sei A(f(I)) eine Variable aus der Anwei-sung Sr und A(g(I)) eine Variable aus St, wobei zumindest auf eineder beiden Variablen schreibend zugegriffen wird.

f(I) = a0 +d∑

k=1

akIk (18)

g(I) = b0 +d∑

k=1

bkIk (19)

Gilt Sr δ St und geht die Abhängigkeit von A(f(I)) und A(g(I)) aus,so gelten die folgenden zwei Bedingungen:

Bed. 1. Der größte gemeinsame Teiler ggT (a1, . . . , ad, b1, . . . , bd)ist ein Teiler von b0 − a0; Ist b0 − a0 = 0 so ist diese Bedingungautomatisch erfüllt.

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Bed. 2. Es existiert ein Parameter λ mit 1 ≤ λ ≤ d für r ≥ t und1 ≤ λ ≤ d+ 1 für r < t wobei gilt

−bλ −λ−1∑k=1

(ak − bk)−uk − (a−λ + bλ)+(uλ − 1)−

d∑k=λ+1

(a−k + b+k )uk

≤ b0 − a0 ≤

−bλ +λ−1∑k=1

(ak − bk)+uk + (a+λ − bλ)+(uλ − 1) +

d∑k=λ+1

(a+k + b−k )uk

mit ud+1 = ad+1 = bd+1 = 0.

• Theorem 1. gilt für die echte Abhängigkeit als auch für die Anti-abhängigkeit und die Ausgabeabhängigkeit.

• Die zwei Bedingungen aus Theorem 1. sind notwendig abernicht hinreichend für Nachweis der Abhängigkeit Sr δ St

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Beispiel: 1

for(ii=0;ii

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Theorem 2. Bed. 1. und Bed. 2 aus Theorem 1. sind notwendigund hinreichend, falls für eine positive ganze Zahl q existiert für die

ak = qαk , bk = qβk mit αk, βk ∈ {−1, 0, 1} für alle k = 1, . . . , d

gilt.

Beispiel: 2

for(i1=0;i1

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for(i1=0;i1

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for(i1=0;i1

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8.7. Schleifen Optimierung

• „loop splitting“for(i=0;i

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• „loop collapsing“for(i=0;i

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• „inlining“float celsius(float fahr){return ((fahr -32.)*5./9.);

}float orginal(int n){

...for(i=0;i

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8.8. Vektorbefehle mit Fortran90 und Octave

Die Programmiersprache Fortran90 und die vektoroptimierte Skript-sprache Oktave enthalten Befehle zum erstellen von vektorisiertenProgrammen.

• Allgemein: Vektor Notation

Fortran90: a[start:stop:inkr] = ...Octave: a[start:inkr:stop] = ...

• Problem: Bedingung in einer Schleifefor(i=1;i alpha){x[i] = a[i]+1.;

}else{x[i] = 0.;

}}

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• Lösung 1: Maskierte Operationen

Fortran90:m = a .gt. alphaap = pack(a,mask=m)a = unpack(ap,mask=m,field=b)

Octave: Kein Befehl um Masken zu erzeugen!

Fortran90-Befehl: PACK

Fortran90-Befehl: UNPACK

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• Lösung 2: gather/scatter

gather: b = a[Index]scatter: a[index] = b

Fortran90: Kein Befehl um einen Indexvektor zu erzeugen!Octave: Index=find(Bedingung)

Indirekte Adressierung: GATHER

Indirekte Adressierung: SCATTER

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9. C99 Standard

• restrict Qualifier ⇒ nur über den entsprechend qualifiziertenPointer kann auf ein Objekt zugegriffen werden.

• Variable-length Arrays

• inline Keyword

• _Complex und _Boolean Datentyp

• Macros mit variabler Zahl an Parametern

• . . .

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10. Top500 Liste

www http://www.top500.org

Nicht aktuell!

Rang Maschine Anz.Konten

R∞/GFLOPS

Rmax/GFLOPS

1 IBM Blue Gene (DOE) 131072 367000 2806002 IBM Blue Gene (IBM) 40960 114688 912903 IBM ASC Purple(DOE) 12208 92781 757604 SGI Altix (NASA) 10160 60960 518705 Itanium2 Cluster (CEA) 8704 55705 429008 IBM Blue Gene (FZJ) 16348 45875 3733010 Earth-Simulator NEC 5120 40960 35860

http://www.top500.org

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11. Beispiele Vektorrechner

11.1. Beispiel für einen Vektorrechner NEC-SX

• Die Supercomputer von NEC sind aus „klassischen“ Vektor-Pro-zessorelementen aufgebaut.

• Jeder Prozessor ist achtfach Ausgelegt, d. h. jeder Prozessorliefert in einem Zyklus acht Ergebnisse („pipeline tracking“ ). DieAusführungszeit einer Pipeline ist nach (7) durch

t(n) = (n+ n1/2)τeff

gegeben. Dies ist eine Geradengleichung mit der Steigung τeffund dem „y-Achsen-Abschnitt“ τeff · n1/2. Für eine doppelt aus-geführte Pipeline gilt

t(n) = (n

2+ n1/2)τeff

t(n) = (n+ 2 · n1/2)τeff

2.

n1/2

1/2n°2

τeff

n

2 pipes

1 pipet(n)

1/2n°

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• NEC ist es gelungen das Problem großer n1/2 bei Pipeline-Ver-vielfachung durch einen „gepipelineten“ Startup zu umgehen.

• Die NEC-SX5 besitzt eine Load-Pipeline und eine Load/Store-Pipeline. Allerdings kann Load und Store nicht parallel ausge-führt werden.

load

load

load

load load

load

storestore

Beispiel: Vektor-Triade

Damit ergibt sich für die maximal zu erwartende Leistung beider Vektortriade

RV triad = 4000MFLOPS2

5= 1600MFLOPS .

Für die Addition ergibt sich

Radd = 2000MFLOPS1

2= 1000MFLOPS

Warum?

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Aufbau der NEC-Vektorrechner

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• Earth Simulator

Größe Wert BemerkungR∞ 40.96 TFLOPS 1 GFLOPS · 8 tracks · 8

procs. · 640 nodesFrequenz 500MHz τ = 2nsecAnz. Prozesso-ren

5120 640 8P.-Knoten

Netzwerk Crossbar640x640

Leistungsbedarf 1.2 MW = 640 ·20 kW

Uni Stuttgart: 18 MW 1

1http://www.uni-stuttgart.de/hkw/standort/tecdat.html

http://www.uni-stuttgart.de/hkw/standort/tecdat.html

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Aufbau des Earth Simulator

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12. SGI Altix (LRZ)

Größe Wert BemerkungR∞ 26.2 TFLOPS 3.2 GFLOPS · 2 pipes · 256

procs. · 16 nodesFrequenz 1.6GHzAnz. Prozesso-ren

4096

Netzwerk NUMAlink2D-Torus (16 no-des)

node intern: (thin out) fattree

Leistungsbedarf 1.0 MW

www http://www.lrz-muenchen.de/services/compute/hlrb/hardware/hardware.html

http://www.lrz-muenchen.de/services/compute/hlrb/hardware/hardware.htmlhttp://www.lrz-muenchen.de/services/compute/hlrb/hardware/hardware.html

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13. Informationen aktuellen Prozessoren

13.1. Intel Pentium 4

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• MullAdd = 2 FPInst/Zyklus

• L1: 1 load & 1 store

Dokumentation:

www http://www3.intel.com/cd/ids/developer/asmo-na/eng/dc/pentium4/index.htm

www http://www.intel.com/design/archives/processors/

http://www3.intel.com/cd/ids/developer/asmo-na/eng/dc/pentium4/index.htmhttp://www.intel.com/design/archives/processors/

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Informationen zu SSE2, Vektorisierung„google“ nach:

• IA-32 Intel Architecture Optimization

• Intel C++ Compiler User’s Guide

Streaming SIMD Extensions data types

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Intel Compiler Pragmas für IA-32 Vektorisierung:

• #pragma vector always ⇒ Vektorisierung unabhängig von derEffizienzeinschätzung des Compilers.

• #pragma ivdep ⇒ Vektorisierung unabhängig von der Abhän-gigkeitsanalyse den Compilers#pragma vector always#pragma ivdepfor(i=1;i

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Format der SSE2 Intrinsic Functions:

• __m128i; __m128d; //16-byte-aligned

• __m128d _mm_instr_pd(__m128d a, __m128d b)

• suffixes:

– ps,pd→ packed single- und double-precision floating pointFunktionen

– ss,sd → scalar single- und double-precision floating pointFunktionen

– pi,pu, si,su, epi,epu→ entsprechende signed und unsigned(extended precision) integer Funktionen

• alle Funktionen findet man in der „Intel C++ Intrinsics Refe-rence“ im „Intel C++ Compiler User’s Guide“

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Beispiel Code mit SSE2 Intrinsic Functions:

#define AllignData(data) (void ∗)(((int)data + 15)&∼ 0x0F)

int main() {int dim = 2;double ∗ a, ∗ b, ∗ c, ∗ tptr;

tptr = (double ∗) malloc((dim+2)∗sizeof(double));a = AllignData(tptr);...sse_add(a,b,c);

return(0);}

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#include

int sse_add(double ∗ a, double ∗ b, double ∗ c) {__m128d t0,t1;

t0 = _mm_load_pd(a);t1 = _mm_load_pd(b);t0 = _mm_add_pd(t0,t1);_mm_store_pd(c,t0);

return(0);}

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13.2. AMD Opteron

• 1 Mull-FPInst/Zyklus; 1 Add-FPInst/Zyklus (SSE emuliert)

• L1: 2 load oder 2 store pro Zyklus

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Memory Controller in der Northbridge z.B. Intel P4 und I2

Memory Controller in der CPU integriert→ AMD K8

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Intel P4 Dual-Processor-Board

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AMD K8 Dual-Processor-Board

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AMD K8 Dual-core Opteron

• Compiler: PGI, GCC-4

www AMD Core Math Library (ACML)

http://developer.amd.com/acml.aspx

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13.3. Intel Itamium2

Dokumentation:

www http://www.intel.com/design/archives/processors/itanium/index.htm

http://www.intel.com/design/archives/processors/itanium/index.htm

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Instruction Bundle:

• Bundles: eine Gruppe von Befehlen bildet das Befehlswort (VLIW)

• drei Befehle und das Template bilden ein 128-bit Bundle

• Das Template gibt den Typ des jeweiligen Befehls an

(M) Memory(I) Complex Integer

(A) Simple Integer(F) Floating Point(B) Branch

– . . .

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Cache Hierarchie:

• 2 Bundles pro Takt

• 2 loads und 2 stores pro Takt (load 2 Takte Latenz)

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Software Pipelining und Loop Unrolling:

L1:Ld4 r4=[r5],4;; cycle 0 load postinc 4Add r7=r4, r9;; cycle 2St4 [r6]=r7,4 cycle 3 store postinc 4Br.cloop L1;; cylce 3

Zweifaches Loop UnrollingL1:

ld4 r4=[r5],4;; cycle 0ld4 r14=[r5],4;; cycle 1add r7=r4,r9;; cycle 2add r17=r14,r9 cycle 3st4 [r6]=r7,4;; cycle 3st4 [r16]=r17,4 cycle 4br.cloop L1;; cycle 4

Weiter: Zwei loads im ersten Takt⇒ Takt 1 ist wieder leer⇒ 4-fachunrollingWas ist das Problem?

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Modulo Schedule Loop (Software Pipelining)

Stage A: ld4 r4=[r5],4Stage B: -- //empty stageStage C: add r7=r4,r9Stage D: st4 [r6]=r7,4

Jede Stufe der Pipeline ist II (Initiation Interval) Takte lang.

AA

AA

BB

B

CC

CC

DD

DD

B

II

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Rotating Register:V irtualRegister = PhysicalRegister−RegisterRotationBase(RRB)

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

r2r1r0

numberregistervirtual

Anmerkung: Die leere Stufe wurde vernachläßigt.

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13.4. IBM Power 4

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• 2× MullAdd = 4 FPInst/Zyklus

• L1: 2 loads & 1 store für 2 Pipelines = 1.5 Zugriffe/Zyklus

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13.5. IBM Power 5 und Blue Gene

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• PowerPC 440 (700MHz) dual-core

• 2.8GFLOPS × 2× 16× 32× 64 ≈ 183.5TFLOPS

• Warum „nur“ 700MHz CPU?

• Jeder Core verbraucht nur ca. ein Watt. Das spart Strom, Küh-lung und Platz. 64 Racks verbrauchen 1.8 MW.

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13.6. Sun Ultra Sparc III

• MullAdd = 2 FPInst/Zyklus

• Speicherzugriffe ??

www HPC-Kursmaterialien / Course Material

Sun Compilerflags:

-xOn, -xarch, -xchip, -cache-xprefetch, -fsimple, -xinline, -xcrossfile, -xipo-xprofile, -xlibmil, -xlibmopt-ftrap, -fns-dalign, -xmemalign, -xsafe=mem-xdepend, -xvector, -fsingle, -xsfpconst, -xbuiltin

compiler option -g

collect -h cycles,0,insts,0 collect -h cycles,0,ecstall,0 collect -h ecref,0,ecm collect -h dcr,0,dcrm,0

er_print test.1.er test.2.er ...

http://www.rz.rwth-aachen.de/computing/events/material.php

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# er_print help me(er_print) help

# show list of experiments(er_print) metric_list

# show results of experiments(er_print) fsingle

# write source and compiler infos to file(er_print) scc [[all][pi][...]](er_print) outfile (er_print) source

--------------------------------------------------------------------------OPTIONS (collect)--------------------------+------------------------------------------------p on | off | hi | lo + Clock profiling--------------------------+------------------------------------------------H on | off + Heap tracing--------------------------+------------------------------------------------m on | off + MPI tracing--------------------------+------------------------------------------------h counter0,0,counter1,0 + Hardware Counters--------------------------+------------------------------------------------j on | off + Java profiling--------------------------+------------------------------------------------S on | off | seconds + Periodic sampling (default interval: 1 sec)--------------------------+-----------------------------------------------

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-o experimentfile + Output file

--------------------------+------------------------------------------------d directory + Output directory--------------------------+------------------------------------------------g experimentgroup + Output file group--------------------------+------------------------------------------------L size + Output file size limit [MB]--------------------------+------------------------------------------------F on | off + Follow descendant processes--------------------------+-----------------------------------------------

HW COUNTERS---------------------------------------------------------------------------h cycles,0,insts,0 + Cycle count, instruction count

+ The quotient is the CPI rate+ (clocks per instruction)+ The optimum would be 0.25.+ The Mhz rate of the CPU multiplied with+ the instruction count divided by the+ cycle count gives the MIPS rate.

--------------------------+------------------------------------------------h fpadd,0,fpmul,0 + Floating point additions and multiplications

+ The sum divided by the runtime in Âs gives+ the Mflop/s rate

--------------------------+------------------------------------------------h cycles,0,dtlbm,0 + Cycle count, data translation look-aside

+ buffer (DTLB) misses+ A high rate of DTLB misses indicates an+ unpleasant memory access pattern of the+ program. Large pages might help (Solaris 9)

--------------------------+------------------------------------------------h cycles,0,ecstall,0 + L2 cache stall cycles.--------------------------+-----------------------------------------------

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-h cycles,0,dcstall,0 + L1 plus L2 cache stall cycles--------------------------+------------------------------------------------h ecref,0,ecm + L2 cache references and misses--------------------------+------------------------------------------------h dcr,0,dcrm,0 + L1 cache read references and read misses--------------------------+------------------------------------------------h dcw,0,dcwm,0 + L1 cache write references and write misses--------------------------+-----------------------------------------------

scc class_listb[asic] -- show basic messages from all classesv[ersion] -- show version messagesw[arn] -- show warning messagespa[rallel] -- show parallelization messagesq[uery] -- show questions from the compilerl[oop] -- show loop transformation messagespi[pe] -- show pipelining messagesi[nline] -- show inlining messagesm[emops] -- show messages about memory operationsf[e] -- show front-end messagesc[g] -- show code generator messagesall -- show all messagesnone -- do not show messages

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14. Vier Wege zu mehr Leistung

• Reduktion der Zykluszeit⇒ Technologie abhängig

• Pipelining⇒ Instruktionen und Arithmetische Operationen

• Parallele Einheiten im Prozessor⇒ MULL&ADD, multi tracked units

• Externer Parallelismus⇒ Shared Memory Computer und Distributed Memory Compu-ter

to be continued . . .

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Literatur

[1] SCHÖNAUER, W.: Scientific Computing on Vector Computers.Amsterdam : North-Holland, 1987

[2] HOCKNEY, R.W. ; JESSHOPE, C.R.: Parrallel Computers 2. AdamHilger, 1988. – Bem: Ein Klassiker!

[3] VAN DER VORST, H.A. ; DEKKER, K.: Vectorization of linesr re-currence relations. In: SIAM J. Sci. Stat. Comput. 10 (1989), Nr.1, S. 27–35

[4] SCHÖNAUER, W.: Scientific Supercomputing. Karlsruhe : Schö-nauer, 2000. – Bem: Anwendungs bezogenes Vorlesungsskript,das lange Zeit handschriftlich (?!) im Web zufinden war. Sehrempfehlenswert! . – ISBN 3–00–005484–7

[5] DOWD, Kevin ; SEVERANCE, Charles: High Performance Compu-ting. O’Reilly, 1998. – Bem: Ein Buch für Praktiker! OptimierterSpeicherzugriff, Schleifen-Optimierung und Benchmarking sindnur einige Themen aus dem breiten Vorrat, den dieses Buch be-reit hällt. – ISBN 3–931216–76–4

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[6] UNGERER, Th.: Parallelrechner und parallele Programmierung.Berlin : Spektrum, 1997. – Bem: Das Buch gibt einen weitreich-nenden Überblick. Es schliest die Lücke zwischen theoretischenKonzepten einerseits und einer Handware bezogenen Betrach-tung andererseits hin zur praktischen Anwendung. Es handeltsich um ein klassisches Lehrbuch. – ISBN 3–8274–0231–X

[7] MÄRTIN, Ch.: Rechnerachitekturen. Leibzig : Fachbuchverlag,2001. – Bem: Wer über die Inhalte des Praktikums hinaus anRechnerarchitektur interresiert ist, findet hier ein Lehrbuch, dassich auch sehr gut als Nachschlagewerk eignet. – ISBN 3–446–21475–5

[8] LEISS, E. L.: Parallel and Vector Computing. New York : McGraw-Hill, 1995. – Bem: Gute Bücher zur Parallelen Programierungsind schwer zu finden. Dies ist ein gutes Buch und wurde vor-allem wegen der Beiträge zum Vector Computing in diese Listeaufgenommen. – ISBN 0–07–037692–1

[9] SANDERS, P. ; WORSCH, Th.: Parallele Programmierung mit MPI.Berlin : Logos, 1997. – Bem: Das Buch wurde als Begleitheftzu einem Praktikum konzipiert. Es beitet eine praxisbezogeneEinführung in das Message Passing Interface MPI. – ISBN 3–931216–76–4

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[10] BUNGARTZ, H-J.: Numerische Simulation als interdisziplinäreHerausforderung. Springer, 2002. – Bem: Dieses einmaligeWerk richtet sich vornehmlich an das gewählte Fachpublikum.Der geneigte Leser findet in diesem Band vorzügliche Beiträgeaus dem Gebiet der numerischen Simulation. Das Buch kann inder Abteilung SgS eingesehen werden, da es leider nicht denWeg in den Buchhandel fand

Ziel des PraktikumsKonzept des PraktikumsParallelität - EbenenKlassifikation nach FlynnVektorrechner - AufbauWas ist ein Vektorrechner?Prinzipskizze eines VektorprozessorsPipelining

Arithm. OperationenLeistungsanalyseVektorisierte ProgrammeDaumenregeln für VektorisierungAbhängigkeitsanalyse und VektorisierungVektorisierung rekursiver ProblemeVektorisierung über die Zahl der ProblemeAbhängigkeitsanalyseAbhängigkeiten in SchleifenSchleifen OptimierungVektorbefehle mit Fortran90 und Octave

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Praktikum Wissenschaftliches Rechnen · der „Half-performance length“ zusammengefasst. Für die Aus-führungszeit t(n) ergibt sich t(n) = T˝= (k+ (n 1) + s) ˝= (n+ n 1=2)˝