5L Band g . HaXXAKA-XI: P rak t i s che B e r e c h n u n g des Potent ia ls e iner k re i s f6rmigen Doppe l sch ich t 247 Heft 4 1967

Praktische Berechnung des Potentials einer kreisf frmigen Doppelschicht

Vorl

L. HA?,'_',~AKA~L Berlin

l~bersicht : Die Bez i ehung fftr den R a u m w i n k e l eines Kreises, d e m das gesuchte Po ten t i a l propor t ional ist, wird u m g e f o r m t und anf zwei vol ls t~edige ell iptische Normal in teg ra le d r i t t e r G a t t u n g zurf lckgef~hrt . D a d u r c h wird eine p rak t i sche A u s w e r t u n g erm6gl ichL da in der ilRechnurlg nu r b e k a n n t e FuKkt ionen auf t re ten . Bei der Diskuss ion der Ergebnisse we rden einfache N ~ h e r u n g s b e z i e h u n g e n fClr den Ver lauf des R a u m w i n k e l s und der ~:~quipotential flS~chen angegebem

C o n t e n t s : The fo rmula for the solid angle of a circle which is propor t ional to the potent ia l of a circular double layer is t r a n s f o r m e d and expressed by two comple te ellipt~c in tegrals of th i rd kind. This inables us to eva lua te the developed formulas conta in ing only known m a t h e m a t i c a l funct ions. T h e resul ts are discussed, some usefuI1 app rox ima t ions to the ca lcula ted exac t va lues of the solid angle and to the equipotent iaI surfaces are derived.

Problemstellung

In der Ebene z -- o befinde sich gemal3 Bild 1 mit dem Mit te lpunkt im Ursprung o eine kreisf6rmige Doppelschicht vom Radius a mit einer homogenen, z-gerichteten Dipolmomenten- dichte m = e, . m. Das yon dieser Doppelschieht in einem beliebigen Raumpunk t P(r) = = P(r , ~,, 9)) herr/ihrende Potent ial V = V(r, ,)) ist proport ional dem Raumwinket s = D(r, ,9), unter dem die genannte Kreisfl/iehe vom Raumpunk t P aus gesehen wird. Die Aufgabe der vortiegenden Abhandlung besteht darin, den gefundenen Ausdruek far das Potent ia l V bzw. den Raumwinkel s so um- zuformen, dab er nur bekannte (tabellierte) Funk- t ionen enth~ilt und somit praktisch ausgewertet wer- den kann.

Aufstellung der Potentialbeziehung

Bezeichnet man m i t r ' den Ortsvektor eines belie- bigen Punktes Q(r') = Q(r', ~/2, 9)') der beschriebenen ladungsbesetzten Kreisfl~tche F ' , so ist deren Poten- tial V : V(r) im Anfpunkt P = P(r) eines homoge- nen Raumes der Dielektrizit~itskonstante e gegeben dutch die Beziehung

<vr> = ,,', f f _ _ . a,e~e' e~ [ r -~ ' [a d F ' = - - 4 ~ e " * ~ ( r ) . 0)

F'

? z

\ / I / / )< : / J

28 I // /

Bild 1. Festlegung der Bezeiehmmgen der betrachtcten Anordmmg.

Fiir die Ortsvektoren r und r ' gelten dabei folgende Komponentendarstel lungen, mit denen man nachstehenden Ausdruck ffir den Abstand R des Aufpunktes P vom Quellpnnkt Q erhfitt :

r = e x - r s i n ~ g c o s 9 ) - - ' e y - r s i n v asing) q- e , - r c o s ~ 9 , /

r ' = e ,- r ' cos 9)' @ ey �9 r ' sin 9)' ' / (2)

R ~ = [ r - - ~ : ' l ~ = r e ~ . r ' ~ - - 2 r r ' s i n O ' c o s g ) * mit ~v* 9 ) - - 9 ) ' .

Setzt man die Abmessungen (2) in den Potent ia lausdruck (1) ein und berticksichtigt dabei, dab die Integrat ion fiber 9)' durch eine Integrat ion tiber oF* ersetzt werden kann, so erhglt man

18"

~4~ L. ]-/ANNAKAM: Praktische Berechnung des Poeentials einer kreisfSrmigen Doppelschicht Archly ffir Elektrotechnik

ftir das gesuchte P o t e n t i a l V das D o p p e l i n t e g r a l

20~ g

V(r,.9) = m c o s 0 ; d c f * " " ' . d r ' = " O(r ,~0) . (3) 4 ~ e . , 4 ~ e

0 O

Die I n t e g r a t i o n t iber r ' i s t e ! emen ta r und f t ihr t nach E i n s e t z e n der Grenzen zu fo lgenden be iden In t eg ra l en fiber ~* ffir das gesuch te P o t e n t i a l bzw. den i b m p r o p o r t i o n a l e n R a u m w i n k e l :

2~ 2~

mit s 0) [ r - a sin 0 cos(/)* cos 0. d~* f cos e . dq)* = j i -2 sin~0cos~ v); " G(r i 2 si~---~-cos- = ~* (4)

o o

R~(~v*) = r u q-- a 2 - - 2 a r sin O cos ~v* .

Das zwei te In t eg ra l des R a u m w i n k e l a u s d r u c k e s (4) l iefer t unabh~ingig yore W i n k e l '0' den W e r t 2 ~, so dab m a n bet Ber t i cks ich t igung der S y m m e t r i e fo lgende Bez iehung fiir den gesuch ten R a u m w i n k e l erh~tlt :

ff2(r, .,}) = - - 2 , ~ . I - - ; ~ - s i n a a c o s ~ , /?a(q~,) j (5) o

Die nun v o r z u n e h m e u d e Zur t ickf i ih rung des In t eg ra l s (5) auf b e k a n n t e t a b e l l i e r t e F u n k t i o n e n s te t l t die K e r n a u f g a b e der vo r l i egenden A b h a n d h m g e n dar .

U m f o r m u n ~ d e s I n t e g r a l s

Den e r s ten Sch r i t t in de r a n g e k 0 n d i g t e n Zur t ickf t ihrung des In t eg ra l s (5) b i lde t die P a r t i a l - b ruchze r l egung

r - - a smgcosq~* z , + a r - - a 2 . . . . . . . . + . . . . . . . . . , (6)

1 -- sin-~ cos2 q) * 1 @ sinv~ cosg;* ~ -- sin v~ cos~v *

mi t der de r A u s d r u c k (5) f0r den R a u m w i n k e l .Q wie folgt gesch r i eben werden k a n n :

[ / i 1 1 " (r @ a) �9 cos 0 dq~* 1 (r -- a) - cos-8 d9)* ~O(r,O)=-e~. 1 - ~ l+~in~oosq~* & ~ ~-~i~O~~ G (7)

o o J Darau fh in wi rd die I n t e g r a t i o n s v a r i a b l e 9)* e n t sp r e c he nd der fo lgenden S u b s t i t u t i o n durch

~v e r se tz t , wodu rch s ich die n a c h s t e h e n d angegebene U m r e c h n u n g der I n t e g r a t i o n s g r e n z e n e rg ib t :

~* = x -k e W -->d~* e . d w , }

q a * = o - + v ~ - - ~ und ~ * = n - - > ~ , = o . (8) 2

Die im Nenner der I n t e g r a n d e n (7) s t e h e n d e n Ausdr f icke e rsche inen nach A n w e n d u n g der S u b s t i t u t i o n (8) als fo lgende F u n k t i o n e n der neuen I n t e g r a t i o n s v a r i a b l e n V0:

1 • s i n 0 c o s g * = (1 -T- s i n v ~) (1 + n l ,2 . sinew) mi t u, 2 = + 2 s i n 0 / , - - 1 ~ sin Va '

R~ = (r 2 + a 2 q- 2 a r sin v a) (1 - - 1r 2 sin 2 ~0) mi t h 2 ~_ 4 c~ ,, sin 0 } (9) r2 q- a 2 4- 2av sinv q"

E r i n n e r t man sich nun we i t e rh in an die Def in i t i on des vollst~tndigen e l l ip t i schen In t eg ra l s d r i t t e r G a t t u n g mi t dem Modul /e und dem P a r a m e t e r n in der N o r m a l f o r m

f d,,, H(n , k) ~ (* + nsin2v,).A(V,,/~) mi t J(~0, k) = V1 - k 2. sin2~o, (lo) o

so kann der A u s d r u c k (7) ftir den R a u m w i n k e l ,Q bet Ve rwendung der l e t z t e n drei Bez iehungen wie folgt durch b e k a n n t e F u n k t i o n e n a u s g e d r 0 c k t und numer i sch ausgewer t e t werden :

{ 1 cosLg. [ ~-- a ~) : r a '[[(1~2, /?,)] }, ( i 1 ) Q(7", ,~) --- - - 227. 1 - - g " i ~ 2 ~ @ 2 a " s in e)z[ 2' / > ~ n n ? } ]-~-(Tbl' T 1 7 S i 1 ~ 0

51. Band L. HANNAKAM: P r a k t i s c h e B e r e c h n u n g des Po t en t i a l s c iner k r e i s f6 rmig en D o p p e l s c h i c h t 24:9 Heft 4 - 1967

N u m e r i s c h e A u s w e r t u n g

Die Berechnung des Raumwinkels .Q = Y)(r, .0) wurde mit Hilfe einer elektronischen Re- chenlnaschine unter Verwendung der abgeleiteten Beziehung (11) vorgenommen. Die darin auftretenden vollst/indigen elliptischen Normalintegrale//(n, k) dritter Gattung werden mittels folgender Beziehungen dutch elliptische Normalintegrale erster und zweiter Gattung ausge- driickt :

Bere ichI m i t o < n < o o und sin~/7-- +~' " n + k 2

/ / ( ' ~ ' / /~ )~ /~2 f~[ I [ 'iS ]1[2 +~ ~ k~ T ( , + +~) (,, + k~) �9 EE . F ( f l , k ' ) + S~ . E ( f l , i~') - - S ; . f ( f l , k')] (12)

B e r e i c h I I m i t ~1. ( n ( - - k 2 und sin 2 f i - ~ + +~"

ss(~,, k) = K + (1 + , ,1 ~ + k2) " T - E . St(~7, i~') - K . E(fl , Z~') + K . F(fl , k') , ( la )

Bere ichI I I mit --k 2 < n < o und s i n / 7 = ! l / - - ~ n ' k

--n ]yo. FK. E(f l , k) - - E F(f i , k)? (14) H ( n , i~) - K + (1 + ~,) O~ + k~) j ~-

BereichIV mit --1 > n > - - o o und s i n / 7 = ] / - - _ 1 . V /r

I - " E(/7, k)l. (15) H ( ~ , k) = - - (1 -1- ~?,) (~g @ #2)"

Fiir die in den Beziehungen (12) bis (15) auftretenden elliptischen Normalintegrale erster und zweiter Gattung wurden die tiblichen Beziechnungen

Fro, it) -- r / d A(v,, k) ~ n d E(fi , k) = ~(,n, it) �9 d r , , o o ~ ( ~ 6 )

I

[

I

. . . . . ]g . . . . . . . 117 -

/ 5~ JO~ 70~ -Tg _ / ~ , /

~ r ~

!

i

) O~ 60~

Bild 2. Verlauf des vollst~indigen elliptischen Normalintegrals dritter Gattui~g

250 1.. HANNAKA-~I: Praktische Berechnung des Potentia]s einer kreisf6rmigen Doppelschicht Archiv for Elektrotechnik

verwendet und unter k' ist der komplement~tre Modul entsprechend der Definition k '2 = 1 -- k ~ zu verstehen. Der Verlauf des vollstgmdigen elliptischen Integrals H(n, k) drit ter Gattung ist in Bild 2 veranschaulicht, in dem auch die einzelnen Giiltigkeitsbereiche der Beziehungen (12) bis (15) gekennzeichnet sind. Erg~inzend sei noch erwfihnt, dab fiir den ~{odul k = o das ellip- tische Integral (lO) wie folgt durch einfache Funktionen ausgedriickt werden kann:

H ( n , o ) = ~ . ( 1 n) ~,'2 f~r - - 1 % n % o o , / 2 i (17)

! = o f i ir - - 1 > n .

Ebenso existiert im Bereich kleiner Modnlwerte k ~ 1 eine gute N~iherung, die nur e]ementare Funktionen enthalt :

//(*~, k) ~ 1 . . . . / / ( ,~ , o) + "~ k-" 2 T T ' ;,7'

Tabelle 1

N e g a t i v e \ V e r t e des R a u m w i n k e l s Q = Q ( ~ , 0)

t

o,o ] 0 , 2

0,4 0,6 0,8 1,O

1 ,2

1,4 1,6 1,8 2,0

0 ~ lOO

6,2832 6,2832 5,O510 5,0679 3,9741 3,9741 3,O5O5 3,O725 2,3581 2,3733 1,84o 3 1,8488 1,4563 1,4597 1,17o3 1,17o5 o,9551 o,9532 0,7907 0,7877 0,6633 o,6599

O~O

0 , 2

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 o,9 o,95 1~O

1,O 5

1,1

1 ,2

1,3 1,4 1,5 1,6 1,8 2,0

20 ~ 3 ~

6,2832 6,2832 5,1188 5,2o32 4,0484 4,1761 3J4o5 3,26o8 2,4205 2,5o47 1,8748 1,9198 1,4697 1,4852 1,17o2 1,167o 0,9468 0,9333 0,7782 0,7594 0,6488 0,6279

40 o

6,2832 5,32o2 4,3625 3,4457 2,6358 1,9866 1,5o32 1 , 1 5 5 8

o,9o71 0,7268 o,5935

5 ~

6,2832 5,4681 4,6143 3,7154 2,8337 2 , 0 8 0 1

1,5169 1,1257 0,8582 o,6723 o,5396

75 ~ 80 ~ 85 ~ 89 ~

6,2832 6,17o3 6,o337 5,9435 5,8234 5,6452 5,3353 4,64o8 3,9147 2,8343 1 , 8 2 2 1

1 , 2 0 1 7

0,6454 0 , 4 1 8 2

0,3004 0 , 2 2 9 8

o,1833 o, 1266 0,0939

6,2832 5,9490 5,5541 5,3o47 4,993 ~ 4,5844 4,0323 3,31o5 2,9059 2,5028 2,1284 1 , 8 0 1 1

i , 3 0 2 6

o,9733 0,7541 o,6o3o o,4947 0,3531 o,2667

6,2832 6,0585 5,7892 5,6144 5,3876 5,0687 4,5778 3,7766 3,2338 2,6467 2,1OO 4

1,6553 1,o713 0,7488 0,5577 0,4352 o,3513 o,246o o,1838

6,2832 6,26Ol 6,2326 6,2144 6,1899 6,1529 6,0850 5,8984 5,5581 3,o519 o,6158 O , 3 O l l

o,1398 0,0873 o,o619 o,o47o o,o374 0,0257 O,O191

6o ~

6,2832 5,6438 4,9373 4,1o17 3,1386 2,2085 1,5o78 1,o543 0,7688 0,5836 0,4580

7 ~176

6,2832 5,8428 5,3322 4,6476 3,6426 2,3865 1,4215 0,8938 o,61o 4 o,4451 o,34o3

Auf Grund der vorgenommenen Ausftihrungen sind alle Angaben bekannt, die zur Auf- stellung des Formelplanes eines digitalen Rechenprogrammes zur Berechnung des gesuchten Raumwinkels eines Kreises erforderlich sind. Die in den Beziehungen (12) bis (15) auftretenden elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung werden nach dem yon GauB angegebenen Verfahren des arithmetisch-geometrischen Mittels i terat iv bereehnet. Die so gefundenen Werte

5L Band L. ]-tA>-NAK~XS[: Praktische Berechnung des Potentials ether kreisf6rmigen Doppelschicht 251 Heft 4 -- 1967

d e s R a u n q _ w i n k e l s ~ ~ ~ ( ~ ) ~ 2 ~) s i l - ld i n " i~abe l le ~ z u s a m l n e n g e s t e l l t . D e r g e r l a u f d e n R a u l n -

w i n k e l s / 2 = / 2 ( r ) m i t # = P a r a m e t e r w u r d e i n B i l d 3 d a r g e s t e l l t , w ~ i h r e n d B i l d 4 d i e D a r -

s t e l l u n g /2 --~ D(#) m i t ~]- = P a r a m e t e r w i e d e r g i b t .

o l "b=70 ']5 ~ 80 ~ 8.5 ~ -~ 7 / ' ' /

�9 89 o

0 90~

~,0 rT~

Bi]d 3. Abha~lgigkeit des Raumwinke]s .(2 yon der bezogelmn Entfemung r/~ mit dem Winkel O als Parameter.

r/O,~0 2.7

.-7" 0,6 ,.,7.

10

ta 1,4

~0 o 20 ~ 3D ~ qO ~ 50 ~ ~0 ~ %~ 80 ~ 9G ~ ,~

Bild 4. AbhSngigkeit des Raumwinkels D yore Winkel O mit der bezogenen Entfernung r/a ats Parameter.

Diskuss ion des Ergebnisses

F i i r d e n S o n d e r f a l l v ~ : o, be t d e m s ich de r A u f p u n k t I ) in de r H 6 h e z = r t ibe r de r 5 l i t t e de r Kre i s f l t i che v o m R a d i u s a b e f i n d e t , n e h m e n d ie d u r c h d ie B e z i e h u n g e n (9) d e f i n i e r t e n K o n s t a n t e n d ie W e r t e It 1 = ~ t 2 = 0 u n d k = o an , w o d u r c h d a s e l l i p t i s c h e I n t e g r a l ( lo) in

n ( o , o ) = ~ t i b e r g e h t u n d d e r R a u m w i n k e l a u s d r u c k (12) f o l g e n d e e i n f a c h e F o r m a n n i m m t : 2

Y2(r, o) - - - - 2 ~ . 1 (r2 +-a2)~l~ = - - 4 z~. s in 2 Z2 (19)

252 L. H~aNXAKASI: Praktische Berechnung des Potentials einer kreisf6rmigen Doppelschicht Archiv fi~r E l e k t r o t e c h n i k

Der Winkel 7 s te l l t dabei denjenigen Winkel dar, un te r dem der Rad ius a v o m A u f p u n k t P ( r , o)

aus gesehen wird. Die F u n k t i o n (19) fiir 0 = o s te l l t die eine ~tugere K u r v e der in Bild 3 darges te l l t en Schar

/2 = f2 (d~) mi t 0 = P a r a m e t e r dar. Die andere ~tul3ere K u r v e wird du tch die dem P a r a m e t e r \ " 1 vg.=_ ~ - - zugeordne te Sprungfunk t ion

2

gebildet . Ih re E n t s t e h u n g ist e infach zu erkl~tren" Bef inde t sich der Aufpunk t P in der Ebene z = o augerha lb (r > a) der I adungsbese tz t en Kreisfl~iche, so verschwinde t der Raumwinke l , w~ihrend er fiir r % a, d. h. fiir einen auf der Kreisfl~iche bef indl ichen Aufpunk t , den b e k a n n t e n W e f t ( - -2 x) anni lnmt .

Der graphischen Dars te l lung des Bildes 3 kann wei terhin e n t n o m m e n werden, dab die K u r v e n f2 = ~Q(r) fiir O = eonst , bei dem W e r t ( - -2 ~) fiir r = o beg innen und dann zun~ichst l inear mi t der E n t f e r n u n g r abnehmen . U m die en t sprechende Anfangsn~iherung des Verlaufes

~O = ~O (~ - ) f i i r r ~ a aufzufinden, se tz t m a n in die Raumwinke lbez i ehung (5) den A b s t a n d

R~(~*) ~ a - - r - sin 0 ' . cos ~* (21)

ein und f indet nach Durchf t ihrung der I n t e g r a t i o n den Ausdruck

9(r,O') ~ - 2 ~ * . . . . c o s 0 . (22) c~

Um weiterhin eine N~therungsbeziehung fttr groBe E n t f e r n u n g e n r >~ a aufzufinden, wird in der Beziehung (3) nun R ~ r gese tz t , wodurch man folgende Endn~iherung des Verlaufes f2 = ~'2(r) fiir O = eonst erh/ilt:

2 ~ tt

o(r,o) -- f f 7, ~ cos 0 ' . dr ' = - - ~ . cos O ' . (23) o o

In grogen En t f e rnungen r >~ a ver laufen also die K u r v e n Q = ,Q(r) mi t 0 = eonst wie qua- dra t ische Hyperbe ln .

Verlauf tier ;~quipotentialfliichen

Das Po ten t i a l V = V ( r , 0) in e inem bel iebigen R a u m p u n k t P(r , 0.) ist gegeben durch die Beziehung (3), in die m a n fiir den Raumwinke l ~Q(r, 0) das Ergebnis (11) e insetz t . Als Bezugs- po t en t i a l V 0 w~ihlt m a n das Po ten t i a l auf der Doppelsch ich t (o < r < a), das den Wer t

m ~g r, (24) V o = V r, 4 ~ e ze

aufweist . Mithin ist das bezogene Po ten t i a l in folgender F o r m dem R a u m w i n k e l D(r, 0') nach (~ 1) p ropor t iona l :

v ( 2 ~) . . . . . L_..q(r, a). (25) V 0 2

Die Xquipotent ia l f l~chen V const sind Rotat ionsf l f ichen, deren Schni t te mi t den Ebenen = eonst in Bild 5 darges te l l t sind. Sie wurden du tch Abgreifen der den R a u m w i n k e l w e r t e n

D = eonst zugeordne ten W e r t e p a a r e n ( ~ , 0) aus den K u r v e n des Bildes 3 e rmi t te l t .

Alle )~quipotentialfl~tchen schneiden sich in der R a n d k u r v e der l adungsbese tz t en Kreis- fl~tche v o m Radius a, die sornit einen Wirbe l faden bi ldet . Die Nquipotentialf l~ichen V = const

schliegen dabe i mi t der Ebene 0 . - - ~ einen Winkel a (s. Bild 5) ein, ffir den auf Grund des 2

51. Band L . HA_NNAKAM : P r a k t i s c h e B e r e c h n u n g d e s P o t e n t i a l s e i n e r k r e i s f O r m i g e n D o p p e l s c h i c h t 2 5 3 Heft 4 -- 1967

homogenen Charakters des besagten kreisf6rmigen Wirbelfadens folgende Beziehung gilt:

t ga a.dv~ tg(zr. ~) V - - - + ~ = ; ~ �9 - - . ( 2 6 )

d r V o

Im Bereich grol3er Entfernungen r >~ a gehorchen die A.quipotentialfl~ichen V = const infolge der Endn~iherung (23) ftir den Raumwinkel approximativ der Gesetzm~tl3igkeit

/ _ ~ ( + G )~/~. (27) �9 - - �9 COS 0 a V

Fiir den Bereich kleiner Entfernungen r ~ a folgt aus der Anfangsn/iherung (22), dab die Aquipotentialfl~ichen durch Ebenen angen~thert werden k6nnen, die zur Ebene z : 0 parallel verlaufen und durch folgende Gleichung beschrieben werden:

z r V o - - V V - - = c o s ' O - - ] - - - . (28) a a V o V o

~d

<f) 0 , ~ W/,coo ~ - < o h J b - d

Bild 5..~quipotentialfl&chen einer kreJsf6rmigen Doppelschicht.

3. Befindet sich im Punkte P(r , O) eines homogenen leitenden Raumes eine punktf6rmig zu denkende Elektrode, vonder ein Gesamtstrom I o ausgeht, dann fliei3t durch die Kreisfl~che des Bildes ~ in positiver z-Richtung ein Strom I der Gr6Be

.r(r, ~) = ~o. sg(r, ~.). (32) 4~z

Z u s a m m e n f a s s u n g

Die vorliegende Abhandlung umfaBt die praktische Berechnung des Raumwinkels eines Kreises, dem das Potential einer kreisf6rm~gen Doppelschicht proportionalist. Das als Resultat auftretende elliptisehe Integral wird durch einen Kunstgriff auf zwei vollst~indige elliptische Normalintegrale dritter Gattung zurtickgefiihrt, wodurch die praktische Berechnung des Raumwinkels erm6glieht wird. Die Rechenergebnisse, die in Tabellen- und Kurvenform an- gegeben sind, werden diskutiert, wobei auch einfache N~herungsbeziehungen entwickelt wet- den. Die Betrachtung schlie/3t mit der Wiedergabe und Diskussion der ~quipotentialfl~tchen der vorliegenden kreisf6rmigen Doppelschicht.

W e i t e r e A n w e n d u n ~ s g e b i e t e

Die gewonnenen Erkenntnisse k6nnen auf alle Probleme der Elektrotechnik iibertragen werden, bei denen als L6sung der Raumwinkel auftritt. Als Beispiele seien folgende Probleme genannt"

264e r }:[ANN.a_Ir Praktische Berechnung des Potentials einer kreisf6rmigen Doppelschicht Archiv fdr ~ ' E l e k t r o t e c t m i k

1. Stelit der Kreis des Bildes 1 eine vom Strom I im Sinne einer z-gerichteten Rechts- schraube durchflossene Stromschleife dar, dann ist das magnetische Skalarpotential V,,~ = V,,(r, 0), dessen negativer Gradient die magnetische Feldst~rke ergibt, in einem beliebigen Raumpunk t P(r, v a) gegeben durch die Beziehung

v,n(r, o) = - ~ . ~2(~, o) . (29) 4~

2. Befindet sich im Punkte P(r, #) eine Punkt ladung O, so weist der durch die Kreisfl~che des Bildes 1 in posit iver z-Richtung hindurchtretende dielektrische VerschiebungsfluB g*~ den Weft

%(r , O) = 0 . f2(r, O) (30) 4n

auf. Eine analoge Beziehung gilt fiir den Lichts t rom #, der, yon einer im Aufpunkt P(r, O) befindlichen punktf6rmigen Lichtquelle des Gesamtl ichtstromes ~b o ausgehend, die besagte Kreisfl/iche des Bildes 1 in posit iver z-Richtung durchsetzt"

~(r, ~) = ~0. t2(r, O). (3') 4,n

Ein.gega~,ge,~ am l o . Jm~i I966

Anschrift des Verfassers: Prof. Dr.-Ing. LUDWIG HANNAKAS~, Lehrstuhl fiir Theoretische Elektrotechnik

der Tedmischen Universit~t Berlin.