Preiswettbewerb

Homogenitatsannahme (Guter gleich)

keine Kapazitatsbeschrankungen

→ nur niedrigster Preis kann sich als Marktpreis behaupten

andere Nash-Gleichgewichte moglich bei

I Wechselkosten (siehe PW)

I Niedrigstpreisgarantien (siehe unten)

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Simultaner Preiswettbewerb

Grundstruktur:

Modell: Duopol, lineare Nachfrage, Grenzkosten konstant

X (p) = d − ep, Ci (Xi ) = ciXi , i ∈ 1, 2

Zusatzliche Annahme: bei gleichen Preisen, Halbierung derNachfrage

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Preis-Absatz-Funktion, GewinnfunktionPreis-Absatz-Funktion fur U1:

x1(p1, p2) =

d − ep1 wenn p1 < p2d−ep1

2 wenn p1 = p2

0 wenn p1 > p2

Gewinnfunktion fur U1:

Π1(p1, p2) = (p1 − c1)x1(p1, p2)

Symmetrisch fur U23 / 30

Bertrand-Nash-Gleichgewicht (BNG)

Zusatzliche Annahme: c1 = c2 = c < d/e

Preis kann beliebig kontinuierlich gewahlt werden

I p1 < c : Verluste

I p1 > c : U2 kann p2 = p1 − ε setzen und bedient den ganzenMarkt mit Gewinn

I die vorherige Situation ist aber kein NG, da U1 ebenfalls U2um ε unterbieten kann und Π1 von Null auf einen positivenWert erhoht

I usw.

I erst (p1, p2) = (c, c) ist ein NG

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Strategiekombination des Bertrand-Nash-Gleichgewichts

BNG:

(pB1 , pB2 ) = (c , c)

Daraus ergibt sich:

xB1 = xB2 =1

2X (p = c) =

d − ec

2

Die Gewinne sind Null:

ΠB1 = ΠB

2 = (pB − c)︸ ︷︷ ︸0

xB = 0

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Diskussion der Alternativen

1. (p1, p2) = (c + δ, c + δ), δ > 0, c + δ < d/e; unterbieten fuhrtzu Verringerung des Stuckgewinns, aber Verdoppelung desAbsatzes; kein NG

2. (p1, p2) = (c + δ, c + γ), γ > δ > 0, c + δ < d/e; dann giltΠ2(p1, p2) = 0, und U2 kann durch c < p2 ≤ c + δ einen positivenProfit erzielen; kein NG

3. (p1, p2) = (c + δ, c), δ > 0; U2 bedient den ganzen Markt, hataber Π2(p1, p2) = 0; U2 kann wieder einen positiven Profiterreichen, und zwar durch c < p2 ≤ c + δ; kein NG

nur (c , c) bleibt als NG

Anmerkung: wenn pi > pM , dann ist die beste AntwortpRj (pi ) = pM = d+ce

2e anstatt das bloße unterbieten um ε

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Bertrand-Nash-Gleichgewicht bei Kapazitatsbeschrankung

Annahme:

1

2X (c) < Kap2 < X (c),

in Worten: U2 kann aufgrund einer Kap.-beschr. nicht die ganzeNachfrage bei p2 = c bedienen;

Konsequenz: U1 kann den Preis bei (c , c) erhohen, weil nicht alleKunden bei p2 = c bedient werden konnen; auf U1 entfallt dieMenge:

x1 = X (c + δ)− Kap2

(c , c) ist kein BNG mehr

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BNG bei Kapazitatsbeschrankung, Anmerkungen

der Vorschlag der Kapazitatsbeschrankungen geht auf Edgeworth(1897) zuruck; er hielt das fur realistischer

in obigem Bsp. ist aber nicht nur (c , c) kein BNG, sondern es gibtgar keines; die Abweichung von U1 auf p1 = c + δ ist zwargewinnbringend moglich, fuhrt aber nur zu einem neuerlichenUnterbieten bis (c, c), was aber ebenfalls unstabil ist; vielleichtkonnen Preisfluktuationen beobachtet werden (

”Edgeworth

Zyklen“)

die Beschrankung 12X (c) < Kap2 < X (c) ist nur ein Beispiel; auch

fur viele andere und symmetrische Kapazitatsbeschrankungen gilt,dass es kein BNG gibt

es gibt aber einen Bereich fur die Mengenbeschrankungen, der einBNG: (pB1 , p

B2 ) > (c , c) zulaßt; dazu benotigen wir aber noch das

Cournot-Modell aus Kapitel F

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Kostenfuhrerschaft im Bertrand-Duopol

Kostenfuhrer U1 ⇔ c1 < c2

Lineare Nachfrage: X (p) = d − ep ⇒ Prohibitivpreis d/e3 Falle ergeben sich

Fall 1: d/e ≤ c1 < c2, Eintritt fur beide blockiert

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Fallunterscheidungfortgesetzt

Fall 2a: c1 < d/e ≤ c2, blockierter Eintritt (fur U2)

Fall 2b: c1 < pM1 < c2 < d/e, blockierter Eintritt (fur U2)

in beiden Fallen ist Eintritt blockiert, d.h. U2 kann nicht eintreten,und U1 muss keine Gewinneinbußen hinnehmen;

NG: (pM1 , p2) mit p2 ∈ (pM1 ,∞) (unendlich viele NG)10 / 30

Fallunterscheidungfortgesetzt

Fall 3: c1 < c2 ≤ pM , abgeschreckter Eintritt (fur U2)

U1 kann U2 durch Limitpreis, pL1 , aus dem Markt halten, abernicht den Monopolpreis setzen;

pL1 (c2) = c2 − ε

NG: (c2 − ε, c2)

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Gewinnfunktion bei Kostenfuhrerschaft (Kostenfuhrer, U1)Blockierter Eintritt:

Abgeschreckter Eintritt:

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Gewinnfunktion bei Kostenfuhrerschaft (Kostenfolger, U2)

Gewinn fur U2 bei blockiertem Eintritt:

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Graphische Zusammenfassung

Monopolpreis:

pMi =d

2e− ci

2Blockade:

pMi < cj ⇔ cj >d

2e− ci

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Preiskartell im Bertrand-Duopol

wenn cj < pMi , d.h. Unternehmen i kann nicht den Monopolpreissetzen, dann ist es profitabel fur beide, gemeinsam denMonopolpreis durch Absprache festzulegen und die Gewinne zuteilen

relevante Falle: c2 ∈ [c1, pM1 ], c1 < d/e

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Kartellmoglichkeiten Graphisch

Anreiz: wenn Monopolpreis im NG nicht gesetzt werden kann; z.B.c2 liegt knapp unter pM1 , dann erreicht U1

”fast” ΠM

1 ; die”kleine”

Differenz zwischen ΠM1 und Π1(p1 = c2 − ε, c2) kann auf beide

aufgeteilt werden, und beide erhalten eine kleine Erhohunggegenuber den Vorkartellgewinnen; der Kartellgewinn ist absolutaber bei U1 viel großer; d.h. wenn Kosten unterschiedlich, dannkann das Unternehmen mit den niedrigeren Kosten zumindest denVorkartellgewinn einfordern, und das Kartell ist fur das andereUnternehmen immer noch attraktiv 16 / 30

Diskussion der Kartellmoglichkeiten

Problem: Kartell profitabel, aber kein NG, denn Abweichung aufp = pM − ε ist aus Sicht jeder einzelnen Firma eine Verbesserung;

Problem praktisch: Kartellabsprachen sind verboten, und dahersind einklagbare Vereinbarungen unmoglich; andererseits, wennKartellabsprache moglich (legal) ist, wie bei der OPEC (Kartell),dann weil es keine internationale verbindliche Rechtssprechunggibt, und dann fehlt wieder die rechtliche Moglichkeit derSanktionierung; Beobachtung: bei der OPEC kommt es immerwieder zu Abweichungen von den Absprachen

Anmerkung: PW schreiben in Kap. F, S. 182, dass potentiellerMarkteintritt wegen hoher Profite die Stabilitat unterminiert;allerdings ist diese Problem geringer, wenn esMarkteintrittsbarrieren gibt, idealerweise naturliche wie

”geographische Verteilung und Große von Rohstoffvorkommen”;

toll (fur die OPEC), denn das trifft auf sie zu

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Niedrigstpreisgarantie (NPG)

2-stufige Situation:

Losung durch Ruckwartsinduktion

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4 Falle der NPG

1: beide Firmen geben keine NPG → Bertrand-Modell

2: U1 gibt eine NPG, U2 gibt keine NPG

3: U2 gibt eine NPG, U1 gibt keine NPG

4: beide Firmen geben eine NPG

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Preis-Absatz-Funktion bei NPG

Unterscheidung zwischen: Listenpreis pi , und Effektivpreis peffi

peff1 =

{p1 ohne NPG1

min(p1, p2) mit NPG1

x1(p1, p2) =

X (peff

1 ) wenn peff1 < peff

212X (peff

1 ) wenn peff1 = peff

2

0 wenn peff1 > peff

2

Annahme: MC1 = MC2 = c , keine Fixkosten

Π1(p1, p2) =(peff

1 − c)x1(p1, p2)

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Einseitige NPG (NPG1)

peff1 = min(p1, p2), und peff

2 = p2

U2 kann unterboten werden, U1 aber nicht; daraus folgt fur dieGewinnfunktionen:

Π1(p1, p2) =

{(p1 − c)(d − ep1), p1 < p212 (p2 − c)(d − ep2), p1 ≥ p2

aber fur U2:

Π2(p1, p2) =

{12 (p2 − c)(d − ep2), p1 ≥ p2

0, p1 < p2

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Gewinnfunktionen Graphisch

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Beste Antworten fur U1 bei NPG1

pR1 (p2) =

pM wenn p2 > pM

p2 − ε wenn c < p2 ≤ pM

[p2,∞) wenn p2 = c

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Beste Antworten fur U2 bei NPG1

pR2 (p1) =

pM wenn p1 > pM

p1 wenn c < p1 ≤ pM

[p1,∞) wenn p1 = c

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Nash-Gleichgewicht

Fur U1 ist auch bei NPG1 unterbieten immer noch Teil derbesten-Antwort-Funktion; nur fur U2 hat sich etwas geandert:Gleichziehen ist zu Teil der b.A. geworden; das andert nichts amEndresultat

(c , c) ist wiederum einziges NG

Anmerkung: c ist eine von pM schwach dominierte Strategie, dennProfit bei c ist immer 0, aber bei pM großer 0 fur alle p2 > c

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Zweiseitige NPG (1NPG2)

Es gilt dann:

peff1 = min(p1, p2) = peff

2 = peff

Beim einzigen moglichen Preis peff im Markt ist dieGesamtnachfrage

X = d − epeff

Das fuhrt zu den Gewinnen

Π1 = Π2 =1

2

(peff − c

)(d − epeff

)Gewinnmaximum ist klarerweise bei

peff = pM =d + 2e

2e

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Dominante Strategie bei 1NPG2

p1 = pM ist eine dominante Strategie fur U1:

I p2 < pM ⇒ Π1 = 12 Π1(p2, p2)

I p2 = pM ⇒ Π1 = 12 ΠM

I p2 > pM ⇒ Π1 = 12 ΠM

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Was passiert bei p1 < pM in 1NPG2?

jedes andere p1 < pM fuhrt bei p2 ≤ p1 zum gleichen GewinnΠ1 = 1

2 Π1(p2, p2) und zu einem kleineren Gewinn bei p2 > p1 (undganz ahnlich fur ein anderes p1 > pM)

das gleiche gilt wegen der Symmetrie fur U2; GGW in dominantenStrategien ist ein NG; Resultat entspricht der Kartelllosung

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Erste Stufe bei Gleichen Kosten

Entscheidung uber NPGi in der ersten Stufe kann in Normalformdargestellt werden, weil die Entscheidungen auf Stufe 1 simultangetroffen werden:

U 1

U 2keine NPG NPG

keine NPG 0,0 0,0

NPG 0,0 ΠM

2 , ΠM

2

2 Gleichgewichte, (NPG1,NPG2) ist schwach dominant

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Zusammenfassung

Kostenfuhrer ist”Sieger” im Preissetzungsspiel; wenn der

Kostenunterschied”klein” ist, dann wird er von potentiellem

Eintritt beschrankt; je großer der Kostenunterschied, desto großerder Gewinn

Niedrigpreisgarantien: Umsetzung und Schutz von Kartellen;Konkurrenten erfahren schnell von Preisanderungen, wenn sichKunden darauf berufen

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