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Prime spezielle Jordanringe mit Polynomidentitiit Von ERNST BSNECKE in Hamburg EinleitlLmg: Als spezielle Jordan-Ringe bezeichnet man die additiven Untergruppen eines assoziativen Rings A, die unter dem Produkt x o y = xy + yx abgeschlossen sind, versehen mit diesem Produkt. Dabei ist xy das Produkt in A. A selbst mit diesem Produkt (man sehreibt daffir A +) ist ein spezieller Jordan-Ring (wir behandeln ihn in w 2), ein weiteres Beispiel sind die symmetrisehen Elemente eines Rings mit Involution (siehe w 3). Sei J ein soleher Ring, der eine Polynomidentit~t erffillt und prim ist (Definitionen siehe w 1), dann kann man zeigen, dab J endliehdimensional fiber einem geeigneten KSrper ist, indem man auf S~tze yon E. C. POSNER [8] und W. S. MA~TINDALE [6] zurfickgeht. w 1. Allgemeines Im folgenden bezeichne A stets eine assoziative (wir schreiben: ass.) Algebra (nicht notwendig endliehdimensional) fiber einem kommutativen ass. Ring R. Wir setzen stets voraus: (V1) Aus 2a= O, a e A, folgt a = 0. (V2) A ist treuer R-Modul. Def. 1: J heiBt spezielle Jordanalgebra fiber R, wenn es eine ass. Algebra .4 fiber R gibt, so dab J ein R-Untermodul des R-ModuIs A ist, der unter der Komposition xoy:=xy+yx abgeschlossen ist, wobei xy das Produkt der Elemente x und y in A bezeichnet, x o y heiflt Jordanprodukt der Elemente x und y. J wird mit diesem Produkt versehen. Als spezielle Jordanringe bezeichnet man spezielle Jordanalgebren fiber dem Ring der ganzen Zahlen. Def. 2: B sei ass. R-Algebra, dann bezeichnen wir mit B + den R-Modul B, versehen mit dem Jordanprodukt. Def. 3: Sei FR" die freie assoziative Algebra fiber R mit den freien Erzeugenden xl, ..., x,. Dann definieren wir als [reie spezielle Jordan- algebra F JR" mit n Erzeugenden xl, ..., xn die von den xl ..... x, erzeugte Unteralgebra yon (FRn) +.

Prime spezielle Jordanringe mit Polynomidentität

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Prime spezielle Jordanringe mit Polynomidentitiit

Von ERNST BSNECKE in Hamburg

EinleitlLmg: Als spezielle Jordan-Ringe bezeichnet man die addit iven Untergruppen eines assoziativen Rings A, die unter dem Produk t x o y = x y + y x abgeschlossen sind, versehen mit diesem Produkt . Dabei ist x y das Produkt in A. A selbst mit diesem Produkt (man sehreibt daffir A +) ist ein spezieller Jordan-Ring (wir behandeln ihn in w 2), ein weiteres Beispiel sind die symmetrisehen Elemente eines Rings mit Involut ion (siehe w 3). Sei J ein soleher Ring, der eine Polynomidenti t~t erffillt und prim ist (Definitionen siehe w 1), dann kann man zeigen, dab J endliehdimensional fiber einem geeigneten KSrper ist, indem man auf S~tze yon E. C. POSNER [8] und W. S. MA~TINDALE [6] zurfickgeht.

w 1. Allgemeines

Im folgenden bezeichne A stets eine assoziative (wir schreiben: ass.) Algebra (nicht notwendig endliehdimensional) fiber einem kommuta t iven ass. Ring R. Wir setzen stets voraus:

(V1) Aus 2 a = O, a e A , folgt a = 0. (V2) A ist treuer R-Modul.

Def. 1: J heiBt spezielle Jordanalgebra fiber R, wenn es eine ass. Algebra .4 fiber R gibt, so dab J ein R-Untermodul des R-ModuIs A ist, der unter der Komposi t ion

x o y : = x y + y x

abgeschlossen ist, wobei x y das P roduk t der Elemente x und y in A bezeichnet, x o y heiflt Jordanprodukt der Elemente x und y. J wird mit diesem Produk t versehen. Als spezielle Jordanringe bezeichnet man spezielle Jordanalgebren fiber dem Ring der ganzen Zahlen.

Def. 2: B sei ass. R-Algebra, dann bezeichnen wir mit B + den R-Modul B, versehen mit dem Jordanprodukt .

Def. 3: Sei F R " die freie assoziative Algebra fiber R mit den freien Erzeugenden xl, . . . , x,. Dann definieren wir als [reie spezielle Jordan- algebra F J R " mit n Erzeugenden xl, . . . , xn die von den xl . . . . . x, erzeugte Unteralgebra yon (FRn) +.

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Diese Def in i t ion f indet m a n bei P. iV[. Com~ [1], d o r t a l lerdings n u r ftir den Fall , dal~ R K S r p e r ist, und mi t d em P r o d u k t 1/2. ( x y + y x )

anstel le unseres J o r d a n p r o d u k t s . Co~r h a t auch bewiesen, dal] im all- gemeinen F J R n # (F R" ) + ist.

Def. 4: J sei eine spezielle J o r d a n a l g e b r a fiber R. Wi r sagen, J er/al l t

eine P o l y n o m i d e n t i t d t (wir schreiben: P ] ) i~ber R , w e n n es ein n u n d ein yon 0 versch iedenes f (xi . . . . , xn) e F J R ~ gibt mi t

/ ( a l , . . . , an) = 0 ffir alle a 1 . . . . . a n ~ J .

F J R " ist ein R - U n t e r m o d u l y o n F R ~, als G r a d yon / (x~ . . . . . x~) ~ F J R "

kSnnen wi t d a h e r den Grad yon / (x i . . . . . xn) e F R ~ definieren.

L e m m a 1: J erffille eine P I v o m Grad m fiber R. J sei der R - U n t e r - modu l U e iner ass. R-Algebra A, ve r sehen mi t d e m J o r d a n p r o d u k t . D a n n erffil len die E l e m e n t e yon U C A eine assoziat ive P I v o m G r a d m fiber R.

B e w e i s : N a c h Def . 4 g ib t es ein n u n d ein v o n 0 ve rsch iedenes / (x 1 . . . . . x , ) e F J R n mi t

/ ( a l , . . . , a n ) = 0 f f i r a l l e al . . . . . a h e J ,

F J R '~ ist Te i lmenge der f re ien ass. Algebra F R n, u n d als Mengen s ind J u n d U gleich, also

/ @ i . . . . . xn) e F R " , / ( x l . . . . . xn) # 0, / ( a l , . . . , a , ) = 0 f f i r a l l e a 1 . . . . . a n e U .

Die E l e m e n t e v o n U erffil len also die P I /@1 . . . . . x,) e F R~. I s t ins- besondere U = A, so ist A ass. Algebra mi t P I (Defini t ion siehe e tw a [5]).

Bemerkung: Man k a n n dieses L e m m a auch umkehren , d .h . w e n n A eine ass. A lgebra m i t P I ist, ist A+ auch J o r d a n a l g e b r a mi t P I . Dies k a n n m a n ana log zu K. MCCRIM~O~ [7, P ropos i t ion 1] beweisen. W i r benSt igen diese U m k e h r u n g jedoch nieht .

L e m m a 2: W e n n U ein R - U n t e r m o d u l e iner ass. R-Algebra A ist u n d die E l e m e n t e y o n U eine P I fiber R erffillen, dann erffi l len die E l e m e n t e yon U auch eine P I f iber G, dem Zen t ro id y o n A.

B e w e i s : N a c h JACOBSON [4, Seite 107] k a n n m an a n n e h m e n :

R C G ,

da wir A Ms t r e u e n R-Modul vorausgese tz t ha t t en . E in P o l y n o m mi~ Koeff iz ien ten aus R ist dahe r aueh ein P o l y n o m mit Koeff iz ien ten aus G.

88 Ernst B6necke

Def. 5 (siehe TsxI [9]): Ein spezieller Jordanring J heil~t prim, wenn fiir Ringideale B, C yon J gilt:

Aus P(B)C=(O) folgt B = ( 0 ) oder C=(0) .

Dabei bedeutet P die quadratische Darstellung

P(x)y:=xyx ffir x, y e J .

Vereinbarung: Im folgenden werden wir unter ,,Idealen" stets zwei- seitige R-Algebra-Ideale verstehen, soweit nieht anders vermerkt.

w J = A +

In diesem Paragraphen sei A ass. R-Algebra und J = A + (siehe Def. 2).

Sehreibweise: Sei B ein ass. Ring, dann schreiben wir B, fiir den Ring der n x n-l~Iatrizen mit Koeffizienten aus B.

Def. 6 [3, Seite 170]: Ein ass. Ring B heif~t linlce (rechte) Ordnung in einem ass. l~ing C, wenn C ein linker (rechter) Quotientenring von B ist.

Satz 1: Sei J eine Jordanalgebra fiber R, J = A +, J primer Jordanring, J erftille eine PI fiber R. Dann l~f~t sich J einbetten in D +, wobei D eine fiber ihrem Zentrum Z endIichdimensionale ass. Divisionsalgebra ist. A ist linke und rechte Ordnung in D,.

B e w e i s : A + ist primer Jordanring, also ist A nach [2], Theorem 8, primer ass. Ring. Nach Lemma l, 2 und aus dem Satz yon POSNER [8] folgt dann die Behauptung.

Bemerkung: Das Zentrum Z der Divisionsalgebra D ist ein K6rper. Daraus, daf~ J eine P I fiber R erftillt, kann man also nicht folgern, daf~ J eine endliche Dimension fiber R hat - es kann sein, daf3 man gar keinc Dimension definieren kann - aber es gibt einen KSrper Z, so dal3 J Unterring yon D +, einer endlichdimensionalen Algebra tiber Z, ist.

w J = H + ( A )

Im folgenden sei A ass. R-Algebra mit Involut ion (wir schreiben: Inv.) ~. Wir verstehen darunter einen ass. Ring mit Inv., der zusi~tzlich

(rx)*=rx* fiir r ~ R , x ~ A

erffillt. J sei der R-Untermodul yon A, der aus den Elementen yon S,

S:= {x~A Ix*=x},

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den symmetrischen Elementen, besteht. Mit dem Jo rdanp roduk t x o y (siehe Def. 1) wird J eine spezielle Jordanalgebra fiber R, die wir mit H + (A) bezeichnen.

Satz 2: Sei d eine Jordanalgebra tiber R, J = H+(A), A eine ass. R-Algebra mit Inv. , A primer Ring, J erffille eine P I yore Grad m tiber R. Dann erffillt A eine Standardident i ts vom Grad _< 4m. J li~Bt sich ein- bet ten in H + (Q), wobei Q ein einfacher ass. I~ing mi t Inv. ist, der h6ch- stens 4m2-dimensional fiber seinem Zentrum Z ist. A ist linke und rechte Ordnung in Q.

B e w e i s: Anwendung von Lemma 1, 2 und Theorem 5 yon MARTINDALE [6] liefert die Behauptung.

Wir wollen nun untersuchen, was wir ftir den Fall aussagen kSnnen, daft nicht A prim ist, sondern gilt:

(V3) J=H+(A) ist pr imer Jordanring.

Um dann das Theorem 7 von MARTIbIDALE [6] anwenden zu kSlmen, miissen wir voraussetzen:

(V4) d ist spezielle Jordanalgebra fiber R = F , F ein KSrper.

Diese Voraussetzungen seien in diesem Paragraphen stets erffillt. Sei

K : - - { y e A ly*-=-y}

die Menge der antisymmetrischen Elemente von A, so ist A wegen Voraus- setzung (V1) die direkte Summe der F-Untervektorr/~ume S und K:

A = S O K .

Man kann nun i.a. aus der St ruktur von S nichts tiber die S t ruk tu r yon K folgern. Deshalb folgt daraus, daft H+(A) eine P I erftillt, noch nicht, daft A eine P ! erffillt. Ffir die Untersuehung der Frage, ob sich J in eine endlichdimensionale Jordanalgebra einbet ten 1/~l]t, gentigt es aber, zu zeigen, dab

J = H+(A'),

wobei A' eine F-Algebra ist, die eine PI erffillt.

Lemma 3: A sei ass. F-Algebra mit Inv. *, I ein Ideal von A mit I C K. Dann l~.Bt sich A/I dureh

y '* :=y*+I ffir y ' : = y + l e A / I

zu einer ass. F-Algebra mit Inv. machen und es ist

H+(A) ~_ H+(A/I).

90 Ernst B6necke

B e w e i s : A / I ist eine ass. F-Algebra . Die Abb i ldung

: g : A / I ~ A / I , y ' * : = y * + I

is t wegen I C K wohldefiniert . Sie ist e ine In v o lu t i o n . Sei nun go die Abbi ldung

go : H+(A) ~ H+ (A/I) , q~ (x) : = x'.

go ist wohldef inier t , da mi t x = x* aueh x' = x '* gilt. go ist ein Ep imorph i s - mus der Jo rdana lgebren . go ist ein Monomorph i smus , denn sei x ' = y', dann ist

x - y e I n S c K n S = ( O ) , also x = y .

go ist also ein I somorph ismus der J o r d a n a l g e b r e n .

Lemma 4: I s t J = H+(A) prim, A ass. F - A l g e b r a m i t Inv . �9 u n d un- t e r e m l~ilradikal L, so ist auch A l L eine ass. F - A l g e b r a mi t Inv . u n d es ist J ~- H+ (ALL).

B e w e i s : D a J pr im ist, ist (0) ein P r im id ea l y o n H + (A) (siehe TsAI [9]), u n d n a c h [2], Theo rem 3 folgt

L • S = (0).

L ist der Durchschn i t t aller Pr imidea le v o n A (siehe e twa [4, Seite 196, T h e o r e m 1]). Sei P ein Pr imideal , d a n n ist au ch

P * : = {x e A ] x* e P }

ein Pr imidea l , und wir kSnnen schre iben:

L = n ( P n P * ) ,

wobei der Durehschn i t t t iber alle P r im id ea l e P y o n A zu bi lden ist. Sei x e L, d a n n ist

x ~ P • P* fiir alle P r im id ea l e P y o n A,

und d a m i t auch x* e L,

x + x * e L n S = ( 0 ) , x * = - x f t i r a l l e x e L ,

also L C K , und nach L e m m a 3 folgt die B e h a u p t u n g .

Def. 7 [6, Seite 189 und 193]: A sei ass. R in g m i t Inv . ~.

a) E in Ringidea l I v o n A he i s t ~-Ideal, w e n n I * = I ist.

b) A heil~t n-primer Ring, wenn ft i r ~ - Idea l e B, C y o n A gilt:

Aus B C = ( O ) folgt B = ( O ) o d e r C=(O).

Prime spezielle Jordanringe mit Polynomidentit/~ 91

Lemma 5: A sei ass. F-Algebra mit Inv. )g. A enthalte keine ni lpotenten F-Algebra-Ideale ~ (0). J = H + ( A ) sei primer Jordartring. ]:)ann ist A �9 Ring.

]3 e w e i s : 1) Angenommen, A enth~lt ein nilpo~entes Ringideal I ~ (0). Dann ist

B : = F I = ( ~ r x l r e F , x e I }

ein F-Algebra-Ideal . (Dabei bedeute t ~ rx eine endliche Summe von Elementen rx , r e F , x e I . ) Es ist B r (0), da 1 e F , und B ist nilpotent. Dies widerspricht der Voraussetzung, also enth~lt A auch keine nil- potenten Ringideale r (0).

2) Seien B, C ~-Ideale yon A mit B C = (0). Wir betrachten:

H ( B ) : = B • S , H ( C ) : = C • S

mit dem Jordanprodukt . H ( B ) und H ( C ) sind dann Ideale des Jordan- rings H+(A) . Es gilt

P ( H ( B ) ) H ( C ) = ( ~ bcb ] b e H ( B ) , c e l l ( C ) } C B C = (0).

Da H + (A) prim ist, folgt H (B) = (0) oder H (C) = (0). Sei e twa H (B) = (0). B ist ~-Ideal, mit b e B ist also auch b* e B,

b - t - b * e B ( ~ S = ( O ) , b * = - b ff iral le b e B ,

also ist B C K. Seien x, y e B, so ist

y x = y ' x * = (xy)* = - xy.

B ist also ant ikommutat iver , assoziativer Ring: Ffir x, y, z e B gilt

x y z = ( x y ) z = - z ( x y ) = - z x y

x y z = x ( y z ) = - x ( z y ) = - ( x z ) y = z x y ,

und wegen Voraussetzung (V1) ist B 3 = (0). B ist also nilpotentes Ring- ideal von A, und naeh 1) ist B = (0). A ist also ~-primer Ring.

Wir kSnnen nun beweisen:

Satz 3: A sei ass. Algebra fiber einem KSrper F mit Inv. ~<, J = H + (A) sei primer Jordanr ing und erftille eine P I vom Grad m fiber F . L sei das untere Nilradikal von A, A ' : = A[L. Dann gilt:

(1) J ~ - H + ( A ' ) , A ' ist ass. F-Algebra mit Inv. (2) A' erfiillt eine Standardident i t~t vom Grad _< 4m. (3) J l i ~ t sich einbet ten in B +, wobei B eine endlichdimensionale ass.

Algebra fiber einem KSrper Z ist.

B e w e i s : (1) folgt aus Lemma 4.

(2) a) Sei A' primer Ring. Aussage (2) folgt dann aus Satz 2.

92 E r n s t Bbnecke

(3)

b) Sei A' nicht prim. A' enth//lt keine nilpotenten F-Algebra-Ideale # (0), da A ' = AlL. Nach Lemma 5 ist A' *-primer t~ing. Wir

k6nnen daher Lemma 1 auf U = S und yon ]~/[ARTINDALE [6] das Theorem 7 anwenden, danach erffillt A" eine Standardidenti t / t t vom Grad _< 4m.

A' ist naeh Lemma 5 *-primer Ring. Nach [6, Theorem 6] gibt es ein Primideal P yon A' mit

(0) = P c~ P*, P Ringideal von A'.

Im Fall P = (0) ist A' prim und die Aussage (3) folgt aus Satz 2. Wir kSnnen also P # (0) annehmen. Seien

A I : = A ' / P , A 2 : = A ' / P * , und ~o i : A ' ---, Ai, i = 1, 2

die kanonischen Restklassenepimorphismen. Ffir die Kerne gilt:

Ker rpl c~ Ker 92 = P n P* = (0),

also ist A' subdirekte Summe der A i; die Abbildung

go: A' -* A1 @ As, go(a') := (~ol(a'), ~02(a'))

ffir a' e A' ist ein Monomorphismus yon A' in die direkte Summe der Ai. Durch

~b:A1 ~ A 2 , ~ ( a + P ) : = a * + P *

wird ein Anti-Isomorphismus der Ringe A 1 und A 2 definiert. Da die ~i Epimorphismen sind, erftillen A 1 und As dieselbe Standard- identi t~t wie A'. P und P* sind Primideale, also ist As ein primer Ring, der eine PI erftillt, also ist A s nach dem Satz von POS~R [8] linke und rechte Ordnung in einem Ring B 2, der endlichdimensional fiber einem KSrper Z ist. Es gibt also einen Ringmonomorphismus

z2 : As -~ Be.

Sei B1 ein zu Be anti-isomorpher Ring,

0: Be -~ B1

dieser Anti-Isomorphismus, so sind auch B 1 und B : = B 1 @ B e endlichdimensionale Algebren fiber Z und die Hintereinander- ausffihrung der Abbildungen

A' ~ A1 (9 As 0• A~ G As ~• Be 0 B,, o• B1 @ B~= B

(wobei Id die identisehe Abbildung bedeutet) liefert einen Mono~ morphismus yon d in B +.

Prime spezielle Jordanringe mit Polynomidenti t / i t 93

w 4. Zusammenfassung und Beispiel

Aus Satz 1 und Satz 3 folgt sofort unser

Hauptsatz: J sei Jordanalgebra fiber cinem KSrper F, char F ~ 2, als Jordanr ing sei J prim. J sei spezielle Jordanalgebra, und zwar

a) J = A +, A ass. Algebra tiber F, oder b) J = H+(A), A ass. Algebra fiber F m i t Involution.

J erffille eine P I vom Grad m tiber F. Dann 1/iBt sich J e inbet ten in B +, wobei B cine fiber einem KSrper Z endlichdimensionale ass. Algebra ist.

Beispiel fo r eine Jordanalgebra mit P I : Jordanalgebren J (mit P roduk t x o y) sind i.a. nicht assoziativ, d.h. der Assoziator

( x l , x2 , x3 )~ : = ( X l O x2) o x3 - x ~ o (x~ o x ~ )

ist i.a. ungleich Null. Es kann jedoch sein, dab etwa der n-te Assoziator, den man fiir n > 3 rekursiv durch

n - - i

(Xl , X2 . . . . . Xn)n : = ~ , ( - - 1 ) i + l ( x 1 . . . . . Xi~ Xi+ 1 . . . . . Xn)n- 1 i=1

definieren kann, auf ganz J vcrschwindet. Dann erffillt J eine P I yore Grade n, und wenn J die Voraussetzungen des Hauptsa tzes erffillt, so folgt, dal3 man J in eine fiber einem geeigneten K6rpe r endlichdimen- sionale Algebra e inbe t tcn kann.

Literatur

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Eingegangen am 6. 6. 1972