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Produktions-programm-entscheidungen
© Ewert/Wagenhofer 2014. Alle Rechte vorbehalten!
3.2
Ziele
Darstellung der Lösungsverfahren für die Planung des optimalen kurzfristigen Produktionsprogramms mit und ohne Kapazitätsrestriktionen
Analyse des Einflusses von Fixkosten auf die optimale Entscheidung
Verstehen des Inhalts und des Nutzens von verschiedenen Opportunitätskosten-Konzepten
3.3
Das Szenario
Kurzfristig wirksame Entscheidungssituation Gegebener Bestand an Potentialfaktoren Keine zeitlichen Interdependenzen im Erlös-, Kosten- und
Restriktionsbereich Nur monetäre Zielgrößen Ausschluss von Lagerhaltung Sichere Erwartungen
Fragestellung
Welche Produkte sollen in welchen Mengen mit welchen der vorhandenen Fertigungsverfahren hergestellt und abgesetzt werden?
3.4
Vollkosten oder Teilkosten?
aV : Aktion (Kombination variabler Aktionsparameter)
A aV F : Aktionsraum
max mit a
V F V V F
VG a a a a, A
maxa
V V F F F V V FV
G a a G a a a mit A
Zerlegung des Gesamtproblems nach der Fristigkeit
Verwendung nur variabler Komponenten ist hinreichend(nicht notwendig)Fehlerpotential dann, wenn als reine Stückrechnung durchgeführt
3.5
Grafische Verdeutlichung
K
x
K x
KF
K1
x1
K2
x2
KK
xx k x1
1
11 1 1
K k x k x2 2 2 1 2
3.6
Restriktionstypen
Inhaltliche Ausrichtung
Beschaffung
Produktion
Absatz (etc.) Gleichungen oder Ungleichungen Grundsätzlich auch in nichtlinearer Form möglich Wichtige Differenzierung nach der Wirksamkeit von
Einproduktrestriktionen
Mehrproduktrestriktionen
3.7
“Reine” Programmplanung auf Basis der einstufigen DB-Rechnung
maxx
J JF
j jj
JF
j
G x x D x x K x d K1 11
, , , ,
v x V i Iij j ij
J
1
1
, ,
0 1 x x j Jj j , ,
Gegebene Verfahren bei technisch unverbundenen Prozessen
Unter den Nebenbedingungen
3.8
Grafische Verdeutlichung- Zwei Produkte -
0x1
x2
x1
x2
v x v x V xV
v
v
vxi i i
i
i
i
i1 1 2 2 2
2
1
21
d x d x D
xDd
d
dx
1 1 2 2
22
1
21
x1
x2
3.9
Keine wirksame Mehrproduktrestriktion (Grafik)
0x1
x2
x1
x2
3.10
Keine wirksame Mehrproduktrestriktion (Procedere)
Identifizierung aller Produkte mit dj > 0 Die jeweiligen Mengen werden auf die zugehörigen
Absatzobergrenzen gesetzt Falls keine Mehrproduktrestriktion bindet, hat man das optimale
Programm gefunden
“Ausgangslösung”
Falls d j 0 ist x xj j , andernfalls ist x j
0
3.11
Beispiel - Ausgangszahlen
Produkt j = 1 j = 2 j = 3
Preis pj 200 480 1.100
variable Kosten kj 160 400 1.170
Deckungsbeitrag d j 40 80 -70
Obergrenze x j 300 200 600
Verbrauch v j1 2 8 5
Verbrauch v j2 9 4 1
KF 4 000.Aggregat i = 1 i = 2
Kapazität Vi 2.500 3.700
3.12
Eine wirksame Mehrproduktrestriktion(Grafik A)
0x1
x2
x1
x2
xV
v
v
vxi
i
i
i2
2
1
21
xDd
d
dx2
2
1
21
dd
vvi
i
1
2
1
2
d
vd
d
vd
ii
ii
1
11
2
22
3.13
Eine wirksame Mehrproduktrestriktion(Grafik B)
0x1
x2
x1
x2
xV
v
v
vxi
i
i
i2
2
1
21
xDd
d
dx2
2
1
21
dd
vvi
i
1
2
1
2
d
vd
d
vd
ii
ii
1
11
2
22
3.14
Eine wirksame Mehrproduktrestriktion (Grundsätzliches Procedere)
Ausgangspolitik: Bei ist , andernfalls ist d x x xj j j j 0 0
Dabei bindet genau eine Mehrproduktrestriktion i
Ordnung der Produkte gemäß spezifischer Deckungsbeiträge
, ,dd
vj Jij
j
ij 1
Zuordnung gemäß dieser Reihung unter Beachtung der Absatzobergrenzen
3.15
Eine wirksame Mehrproduktrestriktion - Beispiel -
Aggregat i = 1 i = 2
Kapazität Vi 1.000 3.700
80,40 21 dd
v v11 122 8 ,
, ,dd
vj Jij
j
ij 1
dd
v111
11
402
20 dd
v122
12
808
10
x x
x
1 2
3
300 200 1 000 300 2 8
200 50 50 0
; min ; .
min ; ;
Deckungsbeitrag D = 16.000 und Gewinn G = 12.000.
3.16
Eine wirksame Mehrproduktrestriktion (Grafik C)
0x1
x2
x1
x2
22211211ˆˆ und ˆˆ dddd
3.17
Eine wirksame Mehrproduktrestriktion - Spezialfälle -
Grundsätzliche Regel kann beibehalten werden, wenn
wenigstens zwei Mehrproduktrestriktionen bei Ausgangspolitik binden und
die Rangfolge der Produkte gemäß spezifischer Deckungsbeiträge für all diese Restriktionen gleich ist
es eine für alle Produkte gleichmäßig strengste Mehrproduktrestriktion gibt
3.18
Stückweise lineare Deckungsbeiträge- degressiv -
Produkt j = 1a j = 1b j = 2
Preis pj 200 170 480
variable Kosten kj 160 160 400
Deckungsbeitrag dj 40 10 80
Obergrenze x j 200 100 200
Verbrauch v j1 2 2 8
Verbrauch v j2 9 9 4
V1 1000 .
V2 3 700 .
; ; d d da b11 11 12402
20102
5808
10
x x xa b1 1 2200 0 75 ; ;
Programm kann aus mehreren Produktarten bestehen, die nicht in ihren Höchstmengen gefertigt werden
3.19
Stückweise lineare Deckungsbeiträge- progressiv (1) -
Produkt j = 1a j = 1b j = 2
Preis pj 200 200 480
variable Kosten kj 190 160 400
Deckungsbeitrag dj
10 40 80
Obergrenze x j 100 200 200
Verbrauch v j1 2 2 8
Verbrauch v j2 9 9 4
V1 1000 .
V2 3 700 .
; ; d d da b11 11 12102
5402
20808
10
dx v d V x v d
Vd d d
x vV
VV
a a a bb b a
a11
1 11 11 1 1 11 11
111 11 11
1 11
1
1120 15
200200 600
für
3.20
Stückweise lineare Deckungsbeiträge- progressiv (2) -
Je mehr Kapazität vorhanden, desto günstiger wird im Durchschnitt Produktart 1
“Kritischer” Mittelvorrat
12 11
3.000 3.000ˆ20 10 30010
d VV
0 300
300 600
600
1
1
1
V
V
V
:
:
:
nur Produktart 2
nur Produktart 1
Produktart 1 voll, Produktart 2 je nach Kapazitätshöhe
3.21
Mehrere wirksame Mehrproduktrestriktionen
0x1
x2
x1
x2
v x v x V xV
v
v
vxi i i
i
i
i
i1 1 2 2 2
2
1
21
d x d x D
xDd
d
dx
1 1 2 2
22
1
21
x1
x2
3.22
Mehrere wirksame Mehrproduktrestr.- Beispiel -
Produkt j = 1 j = 2 j = 3
Preis pj 200 480 1.100
variable Kosten kj 160 400 1.170
Deckungsbeitrag d j 40 80 -70
Obergrenze x j 300 200 600
Verbrauch v j1 2 8 5
Verbrauch v j2 9 4 1
Aggregat i = 1 i = 2
Kapazität Vi 1.000 1.620
3.23
Gleichungssystem
Einführung nichtnegativer Schlupfvariablen w
2 8 1 0 0 0 10001 2 1 2 3 4 x x w w w w .
9 4 0 1 0 0 16201 2 1 2 3 4 x x w w w w .
1 0 0 0 1 0 3001 2 1 2 3 4 x x w w w w
0 1 0 0 0 1 2001 2 1 2 3 4 x x w w w w
x x w w w w1 2 1 2 3 40 0, ; , , ,
Zielfunktion:
D x x w w w w 4 0 8 0 0 0 0 01 2 1 2 3 4
3.24
Ausgangstableau
BV x1 x2 w1 w2 w3 w4 D RS w1 2 8 1 0 0 0 0 1.000 w2 9 4 0 1 0 0 0 1.620 w3 1 0 0 0 1 0 0 300 w4 0 1 0 0 0 1 0 200
-40 -80 0 0 0 0 1 0
1 4 0 8 0 01 2 D x x
3.25
Tableau nach 1. Iteration
BV x1 x2 w1 w2 w3 w4 D RS
x2 1/4 1 1/8 0 0 0 0 125 w2 8 0 -1/2 1 0 0 0 1.120 w3 1 0 0 0 1 0 0 300 w4 -1/4 0 -1/8 0 0 1 0 75
-20 0 10 0 0 0 1 10.000
x1 1 x2 0 25 , w2 9 4 0 25 8 ,
w1 1 x2 0125 , w2 0125 4 0 5 , ,
D x w 1 0 0 0 0 2 0 1 01 1.
3.26
Tableau nach der 2. Iteration (Endtableau)
BV x1 x2 w1 w2 w3 w4 D RS
x2 0 1 9/64 -1/32 0 0 0 90 x1 1 0 -1/16 1/8 0 0 0 140 w3 0 0 1/16 -1/8 1 0 0 160 w4 0 0 -9/64 1/32 0 1 0 110
0 0 8,75 2,5 0 0 1 12.800
D w w 1 2 8 0 0 8 7 5 2 51 2. , ,
8 759
6480
116
40, 2 51
3280
18
40,
3.27
Sensitivität und Endtableau- Ceteris Paribus -
x w w1 1 21401
1618
x w w2 1 2909
641
32
w w w3 1 21601
1618
w w w4 1 21109
641
32
w w1 2 0 w190 64
9160 16
1640
min ;
w w2 1 0 w 28 140
132 110
11120
min ; .
w w1 2 0 w 1140 16
1110 64
9782 2
max ; ,
w w2 1 0 w 28 160
132 90
11 280
max ; .
3.28
VerfahrensplanungÜbersicht
i 1 i 2
m 1
m 2
M i 1 2
m 1
m 2
m 3
M i 2 3
11,
1 2,
1 3,
2 1,
2 2,
2 3,
N 6
3.29
Alternativkalkulation
i 1 i 2
m 1
m 2
M i 1 2
m 1
m 2
m 3
M i 2 3
11,
12,
13,
21,
2 2,
2 3,
N 6
Kombinationsmöglichkeiten:
N M ii
I
1
maxx
nj njn
N
j
J
nj
d x
11
u.d.N.:
1 ,
1, , ; 1, ,J
imj nj imj n m i
v x V i I m M i
N
x x j Jnj jn
N
11, ,
x j J n Nnj 0 1 1, , ; , ,
3.30
Alternativkalkulation versus Arbeitsgangverfahren
VorteileAdaption des
StandardverfahrensDaher standardmäßig
lösbar
NachteileViele Kombinationen
(multiplikativ)Viele KalkulationenDaher relativ teuer
Vorteile“Direkte” Planung der
VerfahrenRelativ wenig Variablen
(additiv)Daher relativ günstiger
NachteileNeue RestriktionstypenDaher nicht mehr
standardmäßig lösbar
Alternativkalkulation Arbeitsgangverfahren
3.31
Arten von Opportunitätskosten
Inputbezogen
Optim alkosten Alternativkosten
Outputbezogen
Opportunitätskosten
InputbezogenBei optimalem Einsatz des
Faktors erzielbarer Grenzerfolg/Faktoreinheit
Outputbezogen/OptimalRessourcenbewertung mit
inputbezogenem Grenzerfolg
Outputbezogen/AlternativRessourcenbewertung mit
Erfolg der besten, nicht mehr genutzten Verwendung
Opportunitätskosten
3.32
Intention der Verwendung von Opportunitätskosten
Ressourcen können knapp sein Einbeziehung der Knappheit in den Wertansatz von Ressourcen Neue Kostenbewertung von Ressourcenverwendungen, wie
bspw. Produkte, etc. Dadurch modifzierte Rangfolge der Vorteilhaftigkeit von
Verwendungen Optimum könnte sich ggf alleine daraus schon bestimmen lassen Dann benötigte man kein umfassendes Modell unter expliziter
Einbeziehung sämtlicher Restriktionen
3.33
Inputbezogene Opportunitätkosten- Formale Zusammenhänge (1) -
LG x d v x V x xj jj
J
i ij jj
J
i j j jj
J
i
I
1 1 11
xLGx
d vjj
j ij ii
I
j
0 0 01
und
:
xLGx
d vjj
j ij ii
I
j
0 0 01
und
:
i ij jj
J
iv x V
0
1 und
i ij jj
J
iv x V
0
1 und
j j jx x 0 und j j jx x 0 und
3.34
Inputbezogene Opportunitätskosten- Formale Zusammenhänge (2) -
LGVi
i
LG
x jj
BV x1 x2 w1 w2 w3 w4 D RS
x2 0 1 9/64 -1/32 0 0 0 90x1 1 0 -1/16 1/8 0 0 0 140w3 0 0 1/16 -1/8 1 0 0 160
w4 0 0 -9/64 1/32 0 1 0 110
0 0 8,75 2,5 0 0 1 12.800
d x v x xj j i iji
I
j j j
1
d x v x xj jj
J
i ij jj
J
j jj
J
i
I
1 1 11
I J
i i j ji 1 j 1
D λ V μ x
3.35
Outputbezogene Optimalkosten
Modifizierter Deckungsbeitrag j :
j j i iji
I
jd v
1
j x j j m it folgt:0 0
j x j j mit folgt:0 0
Man weiß nur, welche Produktarten das Programm enthält
Explizites Modell zur Ermittlung der Mengen erforderlich
3.36
Outputbezogene AlternativkostenKonzept
Produkt j = 1j = 2j = 3
Deckungsbeitrag dj 408010
Obergrenze xj + + +
Verbrauch vj 2 8 5
Spezifischer DB dj 2010 2
V 1000.
d djm
j j
x x x D1 2 3500 0 20 000 ; ; .
1 1 2 12 10 20 40 20 20 v d d m ;
2 2 1 28 20 160 80 160 80 v d d m ;
3 3 1 35 20 100 10 100 90 v d d m ;
3.37
Outbezogene AlternativkostenProbleme
Produkt j = 1j = 2j = 3
Deckungsbeitrag dj 40 80 10
Obergrenze xj 10080200
Verbrauch vj 2 8 5
Spezifischer DB dj 20 10 2
V 1000.
x x x D1 2 3100 80 32 10 720 ; ; ; .
1 1 2 12 10 20 40 20 20 v d d m ; Nein!
1 1 3 12 2 4 40 4 36 v d d m ;
2 2 1 28 20 160 80 160 80 v d d m ; Nein!
2 2 3 28 2 16 80 16 64 v d d m ;
3 3 2 35 10 50 10 50 40 v d d m ; Nein!
3 0
3.38
Opportunitätskosten Beurteilung
Es gibt Größen mit der Eigenschaft, dass Knappheit in den Wertansatz integriert ist
Eine richtige Ermittlung setzt aber die Kenntnis der Lösung voraus (auch bei Alternativkosten)
Im linearen Fall könnte auch dann nicht auf ein explizites und umfassendes Modell verzichtet werden
Angedachte Vorteile so nicht existent
Verwendungsmöglichkeiten im Rahmen von postoptimalen Analysen
Beispiel dafür: Preisuntergrenzen von Zusatzaufträgen, etc.
3.39
Nichtlineare AnsätzeBesonderheiten
Optimum muss keine Randlösung sein Eine wirksame Mehrproduktrestriktion
Rangfolge gemäß spezifischer GrenzdeckungsbeiträgeDiese SGD sind aber variabelZuordnung daher unter Berücksichtigung sowohl der
Absatzobergrenzen, als auch der SGD nachfolgender Produkte
Ggf. werden mehrere Produkte parallel zugerodnet Undifferenzierte Anwendung der Lagrange-Methode führt nicht
immer zur korrekten Lösung