Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Quantitative Planungsmethoden Allgemeine BWL - Hauptstudium 1-std. Vorlesung = 6 2-std. Veranstaltungen 6 2-std. Übungen freiwillig

Prof. Dr. Dr. J. Hansohm

Quantitative Planungsmethoden

Quantitative Planungsmethoden

Allgemeine BWL - Hauptstudium

1-std. Vorlesung = 6 2-std. Veranstaltungen

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Allgemeine BWL - Hauptstudium

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GliederungGliederung EinführungEinführung

Planung, Zielsysteme, Präferenzen Inhalte quantitativer Methoden, Relevanz

Lineare OptimierungLineare Optimierung Fallstudie Berger, graphische Lösung

Simplex VerfahrenSimplex Verfahren Interpretation, Sensitivität, DualitätInterpretation, Sensitivität, Dualität Betriebswirtschaftl. AnwendungsbeispieleBetriebswirtschaftl. Anwendungsbeispiele

Transportproblem, Zuordnungsproblem Optimierung unter mehrfacher ZielsetzungOptimierung unter mehrfacher Zielsetzung

EinführungEinführung Planung, Zielsysteme, Präferenzen Inhalte quantitativer Methoden, Relevanz

Lineare OptimierungLineare Optimierung Fallstudie Berger, graphische Lösung

Simplex VerfahrenSimplex Verfahren Interpretation, Sensitivität, DualitätInterpretation, Sensitivität, Dualität Betriebswirtschaftl. AnwendungsbeispieleBetriebswirtschaftl. Anwendungsbeispiele

Transportproblem, Zuordnungsproblem Optimierung unter mehrfacher ZielsetzungOptimierung unter mehrfacher Zielsetzung


Definition PlanungDefinition Planung

Planung: gedanklich rationaleVorwegnahme zukünftigenHandelns und Geschehens

Planung: gedanklich rationaleVorwegnahme zukünftigenHandelns und Geschehens

auf die Zukunft gerichtet Treffen von Entscheidungen und nicht deren Durchsetzung


ausführende Tätigkeit

Elementarfaktoren Betriebsmittel

Werkstoffe

Produktionsfaktoren

Leitung/Führung

Planung

dispositive Faktoren Organisation

Kontrolle

ausführende Tätigkeit

Elementarfaktoren Betriebsmittel

Werkstoffe

Produktionsfaktoren

Leitung/Führung

Planung

dispositive Faktoren Organisation

Kontrolle

ProduktionsfaktorenProduktionsfaktoren


Dispositive FaktorenDispositive Faktoren Leitung/Führung:

Festlegen des betrieblichen Zielsystems Festlegen der globalen Unternehmenskonzeption Koordination der großen betrieblichen Funktionsbereiche

(enthält auch nicht rationale Elemente: Kreativität, Intuition, etc.)

Organisation: Realisierung der Planung Verteilung von Aufgaben Übertragung von Befugnissen, etc.

Kontrolle: Überprüfung der durch die Planung vorgegebenen und durch die

Organisation realisierten Größen

Leitung/Führung: Festlegen des betrieblichen Zielsystems Festlegen der globalen Unternehmenskonzeption Koordination der großen betrieblichen Funktionsbereiche

(enthält auch nicht rationale Elemente: Kreativität, Intuition, etc.)

Organisation: Realisierung der Planung Verteilung von Aufgaben Übertragung von Befugnissen, etc.

Kontrolle: Überprüfung der durch die Planung vorgegebenen und durch die

Organisation realisierten Größen


Neuere Ergebnisse empirischer ZielforschungNeuere Ergebnisse empirischer Zielforschung

Zielinhalte x sx 1. Sicherung des Unternehmensbestandes 4,84 0,43

x 2. Qualität des Angebots 4,65 0,55 3. Gewinn 4,65 0,75 4. Deckungsbeitrag 4,42 1,03

x 5. Soziale Verantwortung 4,28 0,88 6. Ansehen in der Öffentlichkeit 4,26 0,95 7. Umsatz 4,19 0,91 8. Wachstum des Unternehmens 3,98 0,89

x 9. Verbraucherversorgung 3,74 1,11 10. Marktanteil 3,67 1,24 11. Macht und Einfluß auf den Markt 3,60 1,22

x 12. Umweltfreundlichkeit/Schonung nat. Ressourcen 3,37 1,36

Zielinhalte x sx 1. Sicherung des Unternehmensbestandes 4,84 0,43

x 2. Qualität des Angebots 4,65 0,55 3. Gewinn 4,65 0,75 4. Deckungsbeitrag 4,42 1,03

x 5. Soziale Verantwortung 4,28 0,88 6. Ansehen in der Öffentlichkeit 4,26 0,95 7. Umsatz 4,19 0,91 8. Wachstum des Unternehmens 3,98 0,89

x 9. Verbraucherversorgung 3,74 1,11 10. Marktanteil 3,67 1,24 11. Macht und Einfluß auf den Markt 3,60 1,22

x 12. Umweltfreundlichkeit/Schonung nat. Ressourcen 3,37 1,36

x Leistungsziel Marktziel Ertragsziel


Unternehmenssituation - UnternehmenszieleUnternehmenssituation - Unternehmensziele

Situationsvariablen Markt-ziele

Leistungs-ziele

Ertrags-ziele

Unternehmensgröße +++ +++ +

Konkurrenzintensität +++ ---

Delegation derUnternehmerfunktion

+++

Hierarchieebene ---- ++ -Nationalität

Situationsvariablen Markt-ziele

Leistungs-ziele

Ertrags-ziele

Unternehmensgröße +++ +++ +

Konkurrenzintensität +++ ---

Delegation derUnternehmerfunktion

+++

Hierarchieebene ---- ++ -Nationalität


PräferenzenPräferenzen HöhenpräferenzHöhenpräferenz Welcher Zielwert wird innerhalb eines Zieles welchem Zielwert gegenüber bevorzugt?

vollständige Präordnungsrelation auf Zk ArtenpräferenzArtenpräferenz Welches Ziel wird gegenüber einem anderen Ziel bevorzugt? ZeitpräferenzZeitpräferenz Wie beurteilt der Entscheidungsträger Ergebnisse zu verschiedenen Zeiten? Risiko-, UnsicherheitspräferenzRisiko-, Unsicherheitspräferenz Wie beurteilt der Entscheidungsträger Ergebnisse bei unvollkommener Information?

HöhenpräferenzHöhenpräferenz Welcher Zielwert wird innerhalb eines Zieles welchem Zielwert gegenüber bevorzugt?

vollständige Präordnungsrelation auf Zk ArtenpräferenzArtenpräferenz Welches Ziel wird gegenüber einem anderen Ziel bevorzugt? ZeitpräferenzZeitpräferenz Wie beurteilt der Entscheidungsträger Ergebnisse zu verschiedenen Zeiten? Risiko-, UnsicherheitspräferenzRisiko-, Unsicherheitspräferenz Wie beurteilt der Entscheidungsträger Ergebnisse bei unvollkommener Information?


Klassifikation von EntscheidungsmodellenKlassifikation von Entscheidungsmodellen

Entscheidungs-Entscheidungs-modellemodelle

eineeineZielsetzungZielsetzung

mehreremehrereZielsetzungenZielsetzungen

RisikoRisikoSicher-Sicher-heitheit

Unge-Unge-wißheitwißheit RisikoRisikoSicher-Sicher-

heitheitUnge-Unge-wißheitwißheit

dyn

amisch

dyn

amisch

statischstatisch

statischstatisch

dyn

amisch

dyn

amisch

statischstatisch

dyn

amisch

dyn

amisch

statischstatisch

dyn

amisch

dyn

amisch

statischstatisch

dyn

amisch

dyn

amisch

dyn

amisch

dyn

amisch

statischstatisch


PlanungsmethodenPlanungsmethoden

OptimierungOptimierunglineare,ganzzahlige,nichtlineare,dynamische

graphische Modellegraphische ModelleNPT,Flußgraphen

stochastische Prozessestochastische ProzesseWarteschlangen,Simulation,Markov-Prozesse

datenanalytische Methodendatenanalytische MethodenClusteranalyse,MDS, Faktorenanalyse,Abhängigkeitsanalyse


Projektmanagementund

Netzplantechnik

Projektmanagementund

Netzplantechnik


Projektmanagement - CharakterisierungProjektmanagement - Charakterisierung

Projekt ist charakterisiert durch: relative Neuartigkeit, gewisse Einmaligkeit zeitliche Befristung Komplexität definierter Beginn definiertes Ende Projektmanagement ist die verantwortliche Projektmanagement ist die verantwortliche

Leitung der Planung, Organisation, Leitung der Planung, Organisation, Einführung und Kontrolle solcher Einführung und Kontrolle solcher VorhabenVorhaben

Projekt ist charakterisiert durch: relative Neuartigkeit, gewisse Einmaligkeit zeitliche Befristung Komplexität definierter Beginn definiertes Ende Projektmanagement ist die verantwortliche Projektmanagement ist die verantwortliche

Leitung der Planung, Organisation, Leitung der Planung, Organisation, Einführung und Kontrolle solcher Einführung und Kontrolle solcher VorhabenVorhaben


Projektzeitplanung - StrukturanalyseProjektzeitplanung - Strukturanalyse

Die Aufgabe, die Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Teilvorgängen zu untersuchen; d.h. für jeden Vorgang sind folgende Fragen zu beantworten:

Ist dieser Vorgang in Teilvorgänge zu unterteilen Welche Vorgänge finden unmittelbar vorher

statt? Welche Vorgänge finden unmittelbar nachher

statt? Welche Vorgänge können gleichzeitig ablaufen?

Die Aufgabe, die Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Teilvorgängen zu untersuchen; d.h. für jeden Vorgang sind folgende Fragen zu beantworten:

Ist dieser Vorgang in Teilvorgänge zu unterteilen Welche Vorgänge finden unmittelbar vorher

statt? Welche Vorgänge finden unmittelbar nachher

statt? Welche Vorgänge können gleichzeitig ablaufen?


Erstellung einer DV-Anlage - ZerlegungErstellung einer DV-Anlage - Zerlegung

1 Zerlegung in Teilaufgaben

A EntwurfB Fertigstellung ZEC Bereitstellung PeripherieD Installation des BSE Prüfung der AnlageF Installation des AnwenderprogrammsG FunktionsprüfungH Anschluß externer GeräteI Endabnahme

1 Zerlegung in Teilaufgaben

A EntwurfB Fertigstellung ZEC Bereitstellung PeripherieD Installation des BSE Prüfung der AnlageF Installation des AnwenderprogrammsG FunktionsprüfungH Anschluß externer GeräteI Endabnahme


Erstellen einer DV-Anlage - InterdependenzenErstellen einer DV-Anlage - Interdependenzen

2 zeitliche Interdependenzen bestimmenVorgang Dauer Vorgänger----------------------------------------------------------------A Entwurf 10 -B Fertigstellung ZE 5 AC Bereitstellung Pe 2 AD Installation des B 4 AE Prüfung der Anla 4 DF Installation des A 3 DG Funktionsprüfung 2 B, C, EH Anschluß externe 5 CI Endabnahme 1 F, G, H

2 zeitliche Interdependenzen bestimmenVorgang Dauer Vorgänger----------------------------------------------------------------A Entwurf 10 -B Fertigstellung ZE 5 AC Bereitstellung Pe 2 AD Installation des B 4 AE Prüfung der Anla 4 DF Installation des A 3 DG Funktionsprüfung 2 B, C, EH Anschluß externe 5 CI Endabnahme 1 F, G, H


Fragestellungen der NetzplantechnikFragestellungen der Netzplantechnik

ZeitplanungZeitplanung kürzeste Gesamtprojektdauer Anfangstermine aller Vorgänge Endtermine aller Vorgänge Pufferzeiten aller Vorgänge kritische Vorgänge kritische Wege

KostenplanungKostenplanung wie wird kostengünstig das Projekt verkürzt?

KapazitätsplanungKapazitätsplanung Projektdauer unter Berücksichtigung der Resourcen

ZeitplanungZeitplanung kürzeste Gesamtprojektdauer Anfangstermine aller Vorgänge Endtermine aller Vorgänge Pufferzeiten aller Vorgänge kritische Vorgänge kritische Wege

KostenplanungKostenplanung wie wird kostengünstig das Projekt verkürzt?

KapazitätsplanungKapazitätsplanung Projektdauer unter Berücksichtigung der Resourcen


EDV-Anlage CPM-NetzplanEDV-Anlage CPM-Netzplan

FZFZ SZSZ

ii [i,j]

Dij

A

10

11 22

D

B

C

4

5

2

33

55

44

I

1

77

3 Aufstellen des Netzplanes

4 Durchrechnen des Netzplanes

5 Interpretation der Ergebnisse

EF

G

H

4 3

50

66

2


Stochastische Prozesse

Stochastische Prozesse

Betriebswirtschaftliche Fragestellungen

“Zufallszahlen”

Betriebswirtschaftliche Fragestellungen

“Zufallszahlen”


MarktanteilsentwicklungMarktanteilsentwicklung

5 Waschmittelmarken Ariel, Dash, Persil, Omo, Tandil anfangs gleicher Marktanteil von 20 %nächste Periode kaufen 60 % Ariel-Kunden wieder Ariel und jeweils 10 % Dash, Persil, Omo und TandilDash-Käufer entsprechend 10%, 50%, 20%, 10%, 10%Persil-Käufer entsprechend 10%, 10%, 70%, 5%, 5%Omo-Käufer entsprechend 10%, 10%, 0%, 40%, 40%Tandil-Käufer entsprechend 15%, 15%, 15%, 15%, 40%

Wie entwickeln sich die Marktanteile?

5 Waschmittelmarken Ariel, Dash, Persil, Omo, Tandil anfangs gleicher Marktanteil von 20 %nächste Periode kaufen 60 % Ariel-Kunden wieder Ariel und jeweils 10 % Dash, Persil, Omo und TandilDash-Käufer entsprechend 10%, 50%, 20%, 10%, 10%Persil-Käufer entsprechend 10%, 10%, 70%, 5%, 5%Omo-Käufer entsprechend 10%, 10%, 0%, 40%, 40%Tandil-Käufer entsprechend 15%, 15%, 15%, 15%, 40%

Wie entwickeln sich die Marktanteile?


Entwicklung: Graphische DarstellungEntwicklung: Graphische Darstellung

Marktanteilsentwicklung

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Perioden

Mar

ktan

teil

Ariel Dash Persil Omo Tandil

Marktanteilsentwicklung

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Perioden

Mar

ktan

teil

Ariel Dash Persil Omo Tandil


LagerhaltungLagerhaltung

Nachfrage nach einem Gut N (100, 30) - verteilt

Lieferzeit 5 Tage, Auffüllung sofort wirksam

Fehlmengen werden nachgeliefert

Fehlmengenkosten 1 GE pro Tag (=ZE) und ME

Lagerkosten 0,1 GE pro Tag und ME

Bestellkosten 20 GE unabhängig von der Menge

Welches ist die optimale (s, S)-Politik?

Nachfrage nach einem Gut N (100, 30) - verteilt

Lieferzeit 5 Tage, Auffüllung sofort wirksam

Fehlmengen werden nachgeliefert

Fehlmengenkosten 1 GE pro Tag (=ZE) und ME

Lagerkosten 0,1 GE pro Tag und ME

Bestellkosten 20 GE unabhängig von der Menge

Welches ist die optimale (s, S)-Politik?


LagerbestandsentwicklungLagerbestandsentwicklungLagerbestandsentwicklung

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

1 4 7

10

13

16

19

22

25

28

31

34

37

40

43

46

49

52

55

58

61

64

67

70

73

76

79

82

85

88

91

94

97

10

0

Tage

Be

sta

nd


PersonaleinsatzPersonaleinsatz

18 Kfz-Mechaniker in einer Autowerkstatt zur Reparatur von Kundenwagen

ca. alle 30 min benötigt ein Mechaniker ein Ersatzteil

Abfertigung bei der Materialausgabe dauert ca. 5 min

Wie viel Beschäftigte sollten in der Materialausgabe eingesetzt werden?

18 Kfz-Mechaniker in einer Autowerkstatt zur Reparatur von Kundenwagen

ca. alle 30 min benötigt ein Mechaniker ein Ersatzteil

Abfertigung bei der Materialausgabe dauert ca. 5 min

Wie viel Beschäftigte sollten in der Materialausgabe eingesetzt werden?


Simulation des PersonaleinsatzesSimulation des Personaleinsatzes


Simulation BankschalterSimulation Bankschalter


Use of operations research in current activities Use of operations research in current activities

Techniques No. ofProjects

Frequency ofuse (%)

Statistical analysis* 63 29

Simulation 54 25

Linear programming 41 19

Inventory theory 13 6

PERT/CPM 13 6

Dynamic programming 9 4

Nonlinear programming 7 3Queueing 2 1Heuristic programming 2 1

Miscellaneous 13 6

* Includes probalility theory, regression analysis, exponential smoothing, statistical sampling, and tests of hypotheses.

Techniques No. ofProjects

Frequency ofuse (%)

Statistical analysis* 63 29

Simulation 54 25

Linear programming 41 19

Inventory theory 13 6

PERT/CPM 13 6

Dynamic programming 9 4

Nonlinear programming 7 3Queueing 2 1Heuristic programming 2 1

Miscellaneous 13 6

* Includes probalility theory, regression analysis, exponential smoothing, statistical sampling, and tests of hypotheses.


Relative use of OR techniques (Ledbetter and Cox Survey)Relative use of OR techniques (Ledbetter and Cox Survey)

Techniques Number ofres-pondents

Never

1 2 3 4

VeryFrequently5

Mean

Regression analysis 74 9.5 2.7 17.6 21.6 48.6 3.97

Linear programming 78 15.4 14.1 21.8 16.7 32.0 3.36

Simulation (inproduction)

70 11.4 15.7 25.7 24.3 22.9 3.31

Network models 69 39.1 29.0 15.9 10.1 5.6 2.14

Queueing theory 71 36.6 39.4 16.9 5.6 .1.4 1.96

Dynamic programming 69 53.6 36.2 7.2 0.0 .2.9 1.62

Game theory 67 59.7 25.4 8.9 6.0 0.0 1.61

* Percentages shown here are based on the number of responses to each technique.

Techniques Number ofres-pondents

Never

1 2 3 4

VeryFrequently5

Mean

Regression analysis 74 9.5 2.7 17.6 21.6 48.6 3.97

Linear programming 78 15.4 14.1 21.8 16.7 32.0 3.36

Simulation (inproduction)

70 11.4 15.7 25.7 24.3 22.9 3.31

Network models 69 39.1 29.0 15.9 10.1 5.6 2.14

Queueing theory 71 36.6 39.4 16.9 5.6 .1.4 1.96

Dynamic programming 69 53.6 36.2 7.2 0.0 .2.9 1.62

Game theory 67 59.7 25.4 8.9 6.0 0.0 1.61

* Percentages shown here are based on the number of responses to each technique.

Degree of use (%)*


Lineare Entscheidungsmodelle

Lineare Entscheidungsmodelle

Grundlagen linearer Optimierung Schattenpreise, Sensitivität Lineares Entscheidungsmodell mit EXCEL Voraussetzungen linearer Entscheidungsmodelle Lineare Entscheidungsmodelle bei mehreren Zielen

Grundlagen linearer Optimierung Schattenpreise, Sensitivität Lineares Entscheidungsmodell mit EXCEL Voraussetzungen linearer Entscheidungsmodelle Lineare Entscheidungsmodelle bei mehreren Zielen


Fallstudie Berger (1)Fallstudie Berger (1)

M-1 M-2

Verkaufspreis 1000 DM 1200 DM

zurechenbare Kosten 700 DM 800 DM

Stück-DB 300 DM 400 DM

variable Kosten Dreherei 50 DM 100 DM

Unterlieferantenhöchstpreis 350 DM=======

500 DM=======

M-1 M-2

Verkaufspreis 1000 DM 1200 DM

zurechenbare Kosten 700 DM 800 DM

Stück-DB 300 DM 400 DM


Unterlieferantenhöchstpreis 350 DM=======

500 DM=======



M-1 M-2 Gesamt

gewünschte Produktion 1000 St. 900 St.

Stück-DB 300 DM 400 DM 660 000 DM

bisherige Produktion 200 St. 900 St.

Stück-DB 300 DM 400 DM 420 000 DM

Differenz 240 000 DM========

M-1 M-2 Gesamt

gewünschte Produktion 1000 St. 900 St.

Stück-DB 300 DM 400 DM 660 000 DM

bisherige Produktion 200 St. 900 St.

Stück-DB 300 DM 400 DM 420 000 DM

Differenz 240 000 DM========



Kapazitätserhöhung Dreherei/Fräserei = 800 Einheiten

ergibt 300 DM pro Einheit und somit für

Kapazitätserhöhung Dreherei/Fräserei = 800 Einheiten

ergibt 300 DM pro Einheit und somit für

M-1 M-2

300 DM 600 DM


Unterlieferantenhöchstpreis 350 DM======

700 DM======


Berger - EntscheidungsblattBerger - Entscheidungsblatt

Fallstudie BergerProduktionsentscheidungen

M-1 M-2 Verbrauch Kapazität Rest Art1500 St. 150 St.

1 2 1800 2000 200 Dreherei1 1 1650 2500 850 Bohrerei1 1 1650 2500 850 Stanzerei3 2 4800 4800 0 Spulenwicklerei1 0 1500 1500 0 Endmontage M-10 1 150 900 750 Endmontage M-2

300,00 DM 400,00 DM 510.000,00 DM DB276.600,00 DM Fixkosten116.733,33 DM Gemeinkosten116.666,67 DM Gewinn


Fallstudie Berger (LP-1)Fallstudie Berger (LP-1)

x1 = Menge M-1 x1 + 2x2 2000 Dreherei

x2 = Menge M-1 x1 + x2 2500 Bohrerei

x1 + x2 2500 Stanzerei

Gesamtdeckungsbeitrag 3x1 + 2x24800 Spulenwicklerei

300 x1 + 400 x2 x1 1500 Endmontage M-1

x2 900 Endmontage M-2

x1, x2

x1 = Menge M-1 x1 + 2x2 2000 Dreherei

x2 = Menge M-1 x1 + x2 2500 Bohrerei

x1 + x2 2500 Stanzerei

Gesamtdeckungsbeitrag 3x1 + 2x24800 Spulenwicklerei

300 x1 + 400 x2 x1 1500 Endmontage M-1

x2 900 Endmontage M-2

x1, x2


Lineares Programm LP (1)Lineares Programm LP (1)

Entscheidungsvariable x1, ..., xn

Zielfunktionskoeffizienten c1, ..., cn

Restriktionskoeffizienten aij mit i=1, ..., m

und j=1, ..., n

Ressourcen - RHS b1, ..., bm

Entscheidungsvariable x1, ..., xn

Zielfunktionskoeffizienten c1, ..., cn

Restriktionskoeffizienten aij mit i=1, ..., m

und j=1, ..., n

Ressourcen - RHS b1, ..., bm



c1x1+ ... +cnxn MAX

a11x1+ ... +a1nxn b1

. . .

. . .

. . .

am1x1+ ... +amnxn bm

x1, ..., xn 0

c1x1+ ... +cnxn MAX

a11x1+ ... +a1nxn b1

. . .

. . .

. . .

am1x1+ ... +amnxn bm

x1, ..., xn 0



cTx MAX

Ax b

x 0

cTx MAX

Ax b

x 0

StandardformStandardform


Fall Berger - Graphische LösungFall Berger - Graphische Lösung

x2

x1

LP-Graphik

(200, 900) (1000, 900)

(1400, 300)

(1500, 150)

Spulenwicklerei

Dreherei

Endmontagen

Die Kapazitätsbeschränkungen für die Bohrerei und die Stanzerei sind redundant und damit weggelassen worden

x2

x1

LP-Graphik

(200, 900) (1000, 900)

(1400, 300)

(1500, 150)

Spulenwicklerei

Dreherei

Endmontagen

Die Kapazitätsbeschränkungen für die Bohrerei und die Stanzerei sind redundant und damit weggelassen worden


Simplex - VerfahrenSimplex - Verfahren


Definition und Hauptsatz der LPDefinition und Hauptsatz der LP

Definition:

x heißt zulässig <=> Ax b, xx heißt optimal <=> (y zulässig => cTy cTx)

Hauptsatz:Hauptsatz:

Ist die Menge der zulässigen Punkte nicht leer, so enthält die Menge der optimalen Punkte mindestens eine Ecke (des Restriktionspolyeders) oder es existiert keine optimale Lösung

Definition:

x heißt zulässig <=> Ax b, xx heißt optimal <=> (y zulässig => cTy cTx)

Hauptsatz:Hauptsatz:

Ist die Menge der zulässigen Punkte nicht leer, so enthält die Menge der optimalen Punkte mindestens eine Ecke (des Restriktionspolyeders) oder es existiert keine optimale Lösung


ProduktionsplanungsproblemProduktionsplanungsproblem

Ein Produkt kann in zwei Qualitäten QI und QII hergestellt werden. Der Stückdeckungsbeitrag von QI beträgt 3, der von QII 2 Geldeinheiten. Zur Her-stellung des Produktes werden zwei Maschinen M1 und M2 benötigt, eine Einheit von QI benötigt 3 Zeiteinheiten auf M1 und 9 auf M2, für QII lauten die Werte 6 Zeiteinheiten auf M1 und 3 Zeiteinheiten auf M2. Insgesamt stehen in der Produktionsperiode 3000 Zeiteinheiten je Maschine zur Verfügung.

Gesucht ist das Produktionsprogramm für eine Periode, das den höchsten Gesamtdeckungsbeitrag liefert.

Ein Produkt kann in zwei Qualitäten QI und QII hergestellt werden. Der Stückdeckungsbeitrag von QI beträgt 3, der von QII 2 Geldeinheiten. Zur Her-stellung des Produktes werden zwei Maschinen M1 und M2 benötigt, eine Einheit von QI benötigt 3 Zeiteinheiten auf M1 und 9 auf M2, für QII lauten die Werte 6 Zeiteinheiten auf M1 und 3 Zeiteinheiten auf M2. Insgesamt stehen in der Produktionsperiode 3000 Zeiteinheiten je Maschine zur Verfügung.

Gesucht ist das Produktionsprogramm für eine Periode, das den höchsten Gesamtdeckungsbeitrag liefert.


Lineares ModellLineares Modell

x1 Menge Qualität I

x2 Menge Qualität II

Ziel 3x1 + 2x2 MAX

3x1 + 6x23000

9x1 + 3x2 3000

x1, x2 0

x1 Menge Qualität I

x2 Menge Qualität II

Ziel 3x1 + 2x2 MAX

3x1 + 6x23000

9x1 + 3x2 3000

x1, x2 0


Graphische LösungGraphische Lösung


BasislösungBasislösung

Gegeben sei ein Gleichungssystem der Form

Ax + y = b mit A mxn, x n, y, b m

Setzt man einige der Variablen {x1, ..., xn,

y1, ..., ym} willkürlich auf Null und lassen sich die restlichen Variablen dann eindeutig aus dem obigen Gleichungssystem ermitteln, so heißt die ermittelte Lösung Basislösung; gilt für diese Basislösung xi 0 (i = 1, ..., n) und yi 0 (i = 1, ..., m), so heißt sie zulässige Basislösung.

Gegeben sei ein Gleichungssystem der Form

Ax + y = b mit A mxn, x n, y, b m

Setzt man einige der Variablen {x1, ..., xn,

y1, ..., ym} willkürlich auf Null und lassen sich die restlichen Variablen dann eindeutig aus dem obigen Gleichungssystem ermitteln, so heißt die ermittelte Lösung Basislösung; gilt für diese Basislösung xi 0 (i = 1, ..., n) und yi 0 (i = 1, ..., m), so heißt sie zulässige Basislösung.


Ecken und BasislösungenEcken und Basislösungen

Satz:

Bei einem linearen Optimierungssystem mit den Restriktionen Ax b, x 0 ist x eine Ecke genau dann, wenn x Teil einer zulässigen Basislösung des zugehörigen Gleichungs-systems Ax + y = b ist.

Satz:

Bei einem linearen Optimierungssystem mit den Restriktionen Ax b, x 0 ist x eine Ecke genau dann, wenn x Teil einer zulässigen Basislösung des zugehörigen Gleichungs-systems Ax + y = b ist.


Simplex StartSimplex Start

x1 x2 y1 y2 z

3 6 1 0 0 3000

9 3 0 1 0 3000

-3 -2 0 0 1 0

Basis {y1, y2, z}

Nichtbasis {x1, x2}

Pivotzeile; d.h. y2 aus der Basis

neue Basis {x1, y1, z}neue Nichtbasis {y2, x2}

Pivotspalte, d.h. x1 in die Basis


Simplex UmformungSimplex Umformung

x1 x2 y1 y2 z

0 5 1 -1/3 0 2000

1 1/3 0 1/9 0 333 1/3

0 -1 0 1/3 1 1000

B N B N B

B = Basiselement

N = Nichtbasiselement

-x2 + 1/3y2 + z = 1000

z = 1000 +x2 - 1/3y2 = 1000


Simplex EndtableauSimplex Endtableau

x1 x2 y1 y2 z

0 1 1/5 -1/15 0 400

1 0 -1/15 6/45 0 200

0 0 1/5 4/15 1 1400

B B N N B

x1 x2 y1 y2 z

0 1 1/5 -1/15 0 400

1 0 -1/15 6/45 0 200

0 0 1/5 4/15 1 1400

B B N N Bz = 1400 - 1/5y1 - 4/15y2

mit y1, y2

maximal möglicher Wertvon z ist 1400


Simplex VorgehensweiseSimplex Vorgehensweise1. Wandle die -Gleichungen durch Schlupfvariable in Gleichungen

um und stelle das Tableau samt Zielfunktionszeile auf.2. Suche negativen Wert in der Zielfunktionszeile und bestimme damit

die Pivotspalte. Lässt sich kein solcher Wert finden, so ist das Endtableau und damit die optimale Lösung gefunden.

3. Bilde die Quotienten aus der Rechten Seite, dividiert jeweils durch den positiven Wert in der Pivotspalte ohne Berücksichtigung der Zielfunktionszeile. Der kleinste Quotient bestimmt die Pivotzeile. Lässt sich kein Quotient bilden, so ist das Problem unbeschränkt und keine optimale Lösung möglich.

4. Das Element, das sowohl in der Pivotzeile als auch in der Pivotspalte liegt, heißt Pivotelement.

5. Teile die Pivotzeile durch das Pivotelement und ziehe von jeder anderen Zeile des Tableaus ein Vielfaches der so umgeformten Pivotzeile derart ab, dass das Element in der Pivotspalte dieser Zeile Null wird. Schließe die Zielfunktionszeile hierbei ein.

6. (Gehe zu 2).

1. Wandle die -Gleichungen durch Schlupfvariable in Gleichungen um und stelle das Tableau samt Zielfunktionszeile auf.

2. Suche negativen Wert in der Zielfunktionszeile und bestimme damitdie Pivotspalte. Lässt sich kein solcher Wert finden, so ist das Endtableau und damit die optimale Lösung gefunden.

3. Bilde die Quotienten aus der Rechten Seite, dividiert jeweils durch den positiven Wert in der Pivotspalte ohne Berücksichtigung der Zielfunktionszeile. Der kleinste Quotient bestimmt die Pivotzeile. Lässt sich kein Quotient bilden, so ist das Problem unbeschränkt und keine optimale Lösung möglich.

4. Das Element, das sowohl in der Pivotzeile als auch in der Pivotspalte liegt, heißt Pivotelement.

5. Teile die Pivotzeile durch das Pivotelement und ziehe von jeder anderen Zeile des Tableaus ein Vielfaches der so umgeformten Pivotzeile derart ab, dass das Element in der Pivotspalte dieser Zeile Null wird. Schließe die Zielfunktionszeile hierbei ein.

6. (Gehe zu 2).


Voraussetzungen eines LPVoraussetzungen eines LP

Zielfunktionswert proportional abhängig von den Entscheidungsvariablen

Zielfunktionswert additiv zusammengesetzt aus den einzelnen Größen der Entschei-dungsvariablen

Additive Zusammensetzung ebenso für die Restriktionen

beliebig unterteilbare Variablen genaue Kenntnis der Koeffizienten

Zielfunktionswert proportional abhängig von den Entscheidungsvariablen

Zielfunktionswert additiv zusammengesetzt aus den einzelnen Größen der Entschei-dungsvariablen

Additive Zusammensetzung ebenso für die Restriktionen

beliebig unterteilbare Variablen genaue Kenntnis der Koeffizienten


Berger - LP mit EXCEL gelöstBerger - LP mit EXCEL gelöstMicrosoft Excel 5.0 AntwortberichtTabelle: [BERGER.XLS]BergerBericht erstellt am: 12.8.95 10:04

Zielzelle (Max)Zelle Name Ausgangswert Lösungswert

$C$11 DB - DM 540.000,00 DM

Veränderbare ZellenZelle Name Ausgangswert Lösungswert

$A$4 M-1 0 1400$B$4 M-2 0 300

NebenbedingungenZelle Name Zellwert Formel Status Differenz

$C$5 Dreherei 2000 $C$5<=$D$5 Einschränkend 0$C$6 Bohrerei 1700 $C$6<=$D$6 Nicht einschränkend 800$C$7 Stanzerei 1700 $C$7<=$D$7 Nicht einschränkend 800$C$8 Spulenwicklerei 4800 $C$8<=$D$8 Einschränkend 0$C$9 Endmontage M-1 1400 $C$9<=$D$9 Nicht einschränkend 100$C$10 Endmontage M-2 300 $C$10<=$D$10 Nicht einschränkend 600$A$4 M-1 1400 $A$4>=0 Nicht einschränkend 1400$B$4 M-2 300 $B$4>=0 Nicht einschränkend 300


Berger - ScenariosBerger - Scenarios

ÜbersichtsberichtAktuelle Werte: bisher optimal maximal

Veränderbare Zellen:M-1 1000 200 1400 1000M-2 500 900 300 900

Ergebniszellen:Gewinn Gewinn Gewinn Gewinn

106.666,67 DM 26.666,67 DM 146.666,67 DM 266.666,67 DM Anmerkung: Die Aktuelle Werte-Spalte repräsentiert die Werte der veränderbaren Zellen zum Zeitpunkt, als der Übersichtsbericht erstellt wurde. Veränderbare Zellen für Szenarios sind in grau hervorgehoben.


Fallstudie Berger (LP-2)Fallstudie Berger (LP-2)

M-1 M-2 Gesamt-DBbisheriges Prod.-Programm 200 900 420 000 DM

optimales Prod.-Programm 1400 300 540 000 DM

optimal bei 2800 Einh. Dreherei 1000 900 660 000 DM

optimal bei max. 1000 St. M-1 1000 500 500 000 DM

M-1 M-2 Gesamt-DBbisheriges Prod.-Programm 200 900 420 000 DM

optimales Prod.-Programm 1400 300 540 000 DM

optimal bei 2800 Einh. Dreherei 1000 900 660 000 DM

optimal bei max. 1000 St. M-1 1000 500 500 000 DM



höchster Stück-DB bei M-2

ergibt M-1: 200 und M-2: 900 Gesamt-DB: 420 000 DM

Engpaßfaktor Dreherei, relativer Stück-DB bei M-1


Berücksichtigung aller Restriktionen simultan


höchster Stück-DB bei M-2


Engpaßfaktor Dreherei, relativer Stück-DB bei M-1


Berücksichtigung aller Restriktionen simultan



Berger - HandlungsvorschlagBerger - Handlungsvorschlag

Preiskalkulation bei neuem Produktionsprogramm

M-1 M-2 M-1 M-2 DBvariable Kosten 50 DM 100 DM 1000 St. 900 St.DB-Differenz 150 DM 300 DM 300 DM 400 DM Preis 200 DM 400 DM 300.000 DM 360.000 DM 660.000 DM

1400 St. 300 St. 540.000 DM -400 St. 600 St. 120.000 DM

Handlungsempfehlung bei neuem Produktionsprogramm

M-1 M-2 max. Fremd-Kapazität 800angebotener Preis 210 DM 380 DM DB gesamte Produktion 660.000 DM variable Kosten 50 DM 100 DM variable Kosten 40.000 DM Preis Kapazität 160 DM 140 DM Fremdvergabe 152.000 DM Auftragsvergabe 0 St. 400 St. Fixkosten 276.600 DM gew. Produktion 1000 St. 900 St. Gemeinkosten 116.733 DM eigene Produktion 1000 St. 500 St. Gewinn 154.667 DM


Literatur: Lineare OptimierungLiteratur: Lineare Optimierung Domschke/Drexl: Einführung in Operations Research, 2. Aufl., Springer,

1991 Meyer/Hansen: Planungsverfahren des OR, 3. Aufl., Vahlen, 1985 Neumann: OR-Verfahren, Carl Hanser, 1977 Hillier/Liebermann: Introduction to OR, 4. Aufl., Holden-Day, 1986 Cook/Russel: Introduction to Management Science, 3. Aufl.., Prentice Hall,

1985 Render/Stair: Quantitative Analysis for Management, 3. Aufl., Allyn & Bacon

Inc., 1988 Gordon/Pressman: Quantitative Decision Making for Business, Prentice

Hall, 1978 Anderson/Sweeney/Williams: Quantitative Methods for Business, West

Publishing Company, 1986 Ellinger: OR, 3. Aufl., Springer, 1990 Bol: Lineare Optimierung, Athenäum, 1980 Noltemeier: Graphentheorie, de Gruyter, 1976 Hanssmann: Einführung in die Systemforschung, 3. Aufl., Oldenbourg, 1987

Domschke/Drexl: Einführung in Operations Research, 2. Aufl., Springer, 1991

Meyer/Hansen: Planungsverfahren des OR, 3. Aufl., Vahlen, 1985 Neumann: OR-Verfahren, Carl Hanser, 1977 Hillier/Liebermann: Introduction to OR, 4. Aufl., Holden-Day, 1986 Cook/Russel: Introduction to Management Science, 3. Aufl.., Prentice Hall,

1985 Render/Stair: Quantitative Analysis for Management, 3. Aufl., Allyn & Bacon

Inc., 1988 Gordon/Pressman: Quantitative Decision Making for Business, Prentice

Hall, 1978 Anderson/Sweeney/Williams: Quantitative Methods for Business, West

Publishing Company, 1986 Ellinger: OR, 3. Aufl., Springer, 1990 Bol: Lineare Optimierung, Athenäum, 1980 Noltemeier: Graphentheorie, de Gruyter, 1976 Hanssmann: Einführung in die Systemforschung, 3. Aufl., Oldenbourg, 1987


Interpretation der Lösung des Modells

Interpretation der Lösung des Modells

Sensitivität

Dualität

Spieltheorie

Sensitivität

Dualität

Spieltheorie


Sensitivität-ProduktionsplanungsbeispielSensitivität-Produktionsplanungsbeispiel

1. In welchem Rahmen darf der DB für QI schwanken, damit die gefundene optimale Lösung weiterhin optimal bleibt.

2.Wenn sich die Kapazität der Maschine M1 verändern ließe, in welchem Maße verändert sich der Gesamtdeckungsbeitrag pro veränderter Kapazitätseinheit?

3.Wie groß ist der Spielraum der Kapazitätsveränderungen in 2)?

1. In welchem Rahmen darf der DB für QI schwanken, damit die gefundene optimale Lösung weiterhin optimal bleibt.

2.Wenn sich die Kapazität der Maschine M1 verändern ließe, in welchem Maße verändert sich der Gesamtdeckungsbeitrag pro veränderter Kapazitätseinheit?

3.Wie groß ist der Spielraum der Kapazitätsveränderungen in 2)?


SensitivitätSensitivität

1. In welchem Rahmen kann man den Zielfunktionskoeffizienten ci verändern, ohne daß sich die optimale Basis ändert; d.h. das Endtableau immer noch ein Endtableau ist?

2. In welchen Rahmen kann man die Rechte Seite so verändern, daß das Endtableau immer noch ein Endtableau ist?

1. In welchem Rahmen kann man den Zielfunktionskoeffizienten ci verändern, ohne daß sich die optimale Basis ändert; d.h. das Endtableau immer noch ein Endtableau ist?

2. In welchen Rahmen kann man die Rechte Seite so verändern, daß das Endtableau immer noch ein Endtableau ist?


Sensitivität KoeffizientenSensitivität KoeffizientenFall 1: Entscheidungsvariable

xk in der BasisFall 1: Entscheidungsvariable

xk in der Basis

xk

0...

1...~

aik

~

bi

.

.

.00 dk

xk

ã1k

.

.

.

.

.

.

.

.ãmk

dk

Variation des Zielfunktionskoeffizienten ck um

Fall 2: Entscheidungsvariable xk nicht in der Basis

Fall 2: Entscheidungsvariable xk nicht in der Basis

c dk kmax , ~~ min , ~

~

d

afür a c

d

afür ak

ikik k

k

ikik0 0


Sensitivität RestriktionenSensitivität RestriktionenFall 1: Schlupfvariable yk in

der BasisFall 1: Schlupfvariable yk in

der BasisFall 2: Schlupfvariable yk

nicht in der BasisFall 2: Schlupfvariable yk

nicht in der Basis

yk

0...

1...~

bj

.

.

.00

yk

ã1k

~

b1

. .

. .

. .

. .

. .

. .

ãmk

~

bm

dk

max ,~

~~ min ,

~

~~

b

afür a b

b

afür ai

ikik k

i

ikik0 0 ~

b bj k

Schattenpreis = 0 für Schattenpreis dk für


Duales ProblemDuales ProblemSei cTx MAX ein lineares Optimierungsproblem

(*) A x b x 0

dann bezeichnet das zu (*) duale Problem

bTy ATyc

y 0(*) wird dementsprechend primales Problem genannt

Es gilt: Das zu (**) duale Problem ist wieder (*) und besitzen (*) und (**) zulässige Punkte, so gilt für alle zulässigen Punkte x

von (*) und y von (**) cTx bTy. Insbesondere besitzen in diesem Falle beide Probleme Optimallösungen und die optimalen

Zielfunktionswerte beider Probleme sind gleich.

Sei cTx MAX ein lineares Optimierungsproblem

(*) A x b x 0

dann bezeichnet das zu (*) duale Problem

bTy ATyc

y 0(*) wird dementsprechend primales Problem genannt

Es gilt: Das zu (**) duale Problem ist wieder (*) und besitzen (*) und (**) zulässige Punkte, so gilt für alle zulässigen Punkte x

von (*) und y von (**) cTx bTy. Insbesondere besitzen in diesem Falle beide Probleme Optimallösungen und die optimalen

Zielfunktionswerte beider Probleme sind gleich.


Duales Problem und SchattenpreiseDuales Problem und Schattenpreise

Satz: Besitzen das primale als auch das duale Problem zulässige Lösungen, so sind die Schattenpreise im Endtableau des

Simplexalgorithmus gerade die Lösung des dualen Problems.

Begründung:Durch Veränderung von b verändert sich auch der Zielfunktionswert von (**). Aufgrund der Gleichheit im Optimum von (**) und (*) verändert sich auch der optimale Zielfunk- tionswert des primalen Problems und bei der Veränderung um eine Einheit von z.B. bk

genau um yk*, wenn (y1*, ..., ym*) die optimale Lösung von (**) darstellt.

Satz: Besitzen das primale als auch das duale Problem zulässige Lösungen, so sind die Schattenpreise im Endtableau des

Simplexalgorithmus gerade die Lösung des dualen Problems.

Begründung:Durch Veränderung von b verändert sich auch der Zielfunktionswert von (**). Aufgrund der Gleichheit im Optimum von (**) und (*) verändert sich auch der optimale Zielfunk- tionswert des primalen Problems und bei der Veränderung um eine Einheit von z.B. bk

genau um yk*, wenn (y1*, ..., ym*) die optimale Lösung von (**) darstellt.


Berger - SchattenpreiseBerger - Schattenpreise

Reduzierte Ziel- Zulässige ZulässigeZelle Name Endwert Kosten Koeffizient Zunahme Abnahme

$A$4 M-1 1400 0 300 300 100$B$4 M-2 300 0 400 200 200

Nebenbedingungen Nebenbedingung Zulässige Zulässige

Zelle Name Endwert Schattenpreis Rechte Seite Zunahme Abnahme$C$5 Dreherei 2000 150 2000 800 200$C$6 Bohrerei 1700 0 2500 1E+30 800$C$7 Stanzerei 1700 0 2500 1E+30 800$C$8 Spulenwicklerei 4800 50 4800 200 2400$C$9 Endmontage M-1 1400 0 1500 1E+30 100$C$10 Endmontage M-2 300 0 900 1E+30 600


Berger - LösungBerger - Lösung

Preiskalkulation bei neuem Produktionsprogramm

M-1 M-2 M-1 M-2 DBvariable Kosten 50 DM 100 DM 1000 St. 900 St.DB-Differenz 200 DM 400 DM 300 DM 400 DM Preis 250 DM 500 DM 300.000 DM 360.000 DM 660.000 DM

1000 St. 500 St. 500.000 DM 0 St. 400 St. 160.000 DM

Handlungsempfehlung bei neuem Produktionsprogramm

M-1 M-2 max. Fremd-Kapazität 800angebotener Preis 260 DM 510 DM DB gesamte Produktion 500.000 DM variable Kosten 50 DM 100 DM variable Kosten - DM Preis Kapazität 210 DM 205 DM Fremdvergabe - DM Auftragsvergabe 0 St. 0 St. Fixkosten 276.600 DM gew. Produktion 1000 St. 900 St. Gemeinkosten 116.733 DM eigene Produktion 1000 St. 500 St. Gewinn 106.667 DM


Modellierung linearer Entscheidungsmodelle

in verschiedenen Funktionalbereichen

Modellierung linearer Entscheidungsmodelle

in verschiedenen Funktionalbereichen


EXCEL - LiquiditätsproblemEXCEL - Liquiditätsproblem

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Monate

Liquidität

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Monate

Liquidität


EXCEL - Lineares EntscheidungsmodellEXCEL - Lineares EntscheidungsmodellKredittyp Periode 1 2 3 4 5 6 12

1 1 100 -1011 2 100 -1011 3 100 -1011 4 100 -101

0,55 12 99 -0,55 -0,55 -100,550,55 13 99 -0,55 -0,55 -100,550,55 14 99 -0,55 -0,55 -100,55

Variable x(.)

0 1 0 0 0 0 0 0 00 2 0 0 0 0 0 0 00 3 0 0 0 0 0 0 0

1,89473252 4 0 0 0 189,473252 -191,367984 0 00,95704891 5 0 0 0 0 95,7048909 -96,6619398 0

0 6 0 0 0 0 0 0 00 7 0 0 0 0 0 0 00 8 0 0 0 0 0 0 00 9 0 0 0 0 0 0 00 10 0 0 0 0 0 0 00 11 0 0 0 0 0 0 0

1,01010101 12 100 -0,55555556 -0,55555556 -101,565657 0 0 02,02581369 13 0 200,555556 -1,11419753 -1,11419753 -203,695567 0 01,0269672 14 0 0 101,669753 -0,56483196 -0,56483196 -103,261552 00,1391054 15 0 0 0 13,7714344 -0,07650797 -0,07650797 0

0 16 0 0 0 0 0 0 00 17 0 0 0 0 0 0 00 18 0 0 0 0 0 0 00 19 0 0 0 0 0 0 00 20 0 0 0 0 0 0 0

Kreditsaldo 100 300 400 500 200 -5,6843E-14 -13,9870478Liquiditätsprognose 0 -200 -300 -400 -100 100 100Mindestkassenbestand 100 100 100 100 100 100 100Soll-Kreditsaldo 100 300 400 500 200 0 0Differenz 0 5,6843E-14 5,6843E-14 5,6843E-14 -5,6843E-14 -5,6843E-14 -13,9870478 -13,987048

Kredittyp Periode 1 2 3 4 5 6 12

1 1 100 -1011 2 100 -1011 3 100 -1011 4 100 -101

0,55 12 99 -0,55 -0,55 -100,550,55 13 99 -0,55 -0,55 -100,550,55 14 99 -0,55 -0,55 -100,55

Variable x(.)

0 1 0 0 0 0 0 0 00 2 0 0 0 0 0 0 00 3 0 0 0 0 0 0 0

1,89473252 4 0 0 0 189,473252 -191,367984 0 00,95704891 5 0 0 0 0 95,7048909 -96,6619398 0

0 6 0 0 0 0 0 0 00 7 0 0 0 0 0 0 00 8 0 0 0 0 0 0 00 9 0 0 0 0 0 0 00 10 0 0 0 0 0 0 00 11 0 0 0 0 0 0 0

1,01010101 12 100 -0,55555556 -0,55555556 -101,565657 0 0 02,02581369 13 0 200,555556 -1,11419753 -1,11419753 -203,695567 0 01,0269672 14 0 0 101,669753 -0,56483196 -0,56483196 -103,261552 00,1391054 15 0 0 0 13,7714344 -0,07650797 -0,07650797 0

0 16 0 0 0 0 0 0 00 17 0 0 0 0 0 0 00 18 0 0 0 0 0 0 00 19 0 0 0 0 0 0 00 20 0 0 0 0 0 0 0

Kreditsaldo 100 300 400 500 200 -5,6843E-14 -13,9870478Liquiditätsprognose 0 -200 -300 -400 -100 100 100Mindestkassenbestand 100 100 100 100 100 100 100Soll-Kreditsaldo 100 300 400 500 200 0 0Differenz 0 5,6843E-14 5,6843E-14 5,6843E-14 -5,6843E-14 -5,6843E-14 -13,9870478 -13,987048


EXCEL-AntwortberichtEXCEL-Antwortbericht

Microsoft Excel 5.0 AntwortberichtTabelle: [EUSOPTVL.XLS]EUSOPTBericht erstellt am: 9.9.95 16:54


$O$47 Differenz -13,98704778 -13,98704778


$C$43 Kreditsaldo 100 $C$43>=$C$46 Einschränkend 0$D$43 Kreditsaldo 300 $D$43>=$D$46 Einschränkend 0$E$43 Kreditsaldo 400 $E$43>=$E$46 Einschränkend 0$F$43 Kreditsaldo 500 $F$43>=$F$46 Einschränkend 0$G$43 Kreditsaldo 200 $G$43>=$G$46 Einschränkend 0$H$43 Kreditsaldo -5,68434E-14 $H$43>=$H$46 Einschränkend 0$I$43 Kreditsaldo -13,98704778 $I$43>=$I$46 Nicht einschränkend 186,0129522$J $43 Kreditsaldo -13,98704778 $J $43>=$J $46 Nicht einschränkend 286,0129522$K$43 Kreditsaldo -13,98704778 $K$43>=$K$46 Nicht einschränkend 486,0129522$L$43 Kreditsaldo -13,98704778 $L$43>=$L$46 Nicht einschränkend 386,0129522$M$43 Kreditsaldo -13,98704778 $M$43>=$M$46 Nicht einschränkend 286,0129522$A$23 Variable 0 $A$23>=0 Einschränkend 0$A$24 Variable 0 $A$24>=0 Einschränkend 0$A$42 Variable 0 $A$42>=0 Einschränkend 0

Microsoft Excel 5.0 AntwortberichtTabelle: [EUSOPTVL.XLS]EUSOPTBericht erstellt am: 9.9.95 16:54


$O$47 Differenz -13,98704778 -13,98704778


$C$43 Kreditsaldo 100 $C$43>=$C$46 Einschränkend 0$D$43 Kreditsaldo 300 $D$43>=$D$46 Einschränkend 0$E$43 Kreditsaldo 400 $E$43>=$E$46 Einschränkend 0$F$43 Kreditsaldo 500 $F$43>=$F$46 Einschränkend 0$G$43 Kreditsaldo 200 $G$43>=$G$46 Einschränkend 0$H$43 Kreditsaldo -5,68434E-14 $H$43>=$H$46 Einschränkend 0$I$43 Kreditsaldo -13,98704778 $I$43>=$I$46 Nicht einschränkend 186,0129522$J $43 Kreditsaldo -13,98704778 $J $43>=$J $46 Nicht einschränkend 286,0129522$K$43 Kreditsaldo -13,98704778 $K$43>=$K$46 Nicht einschränkend 486,0129522$L$43 Kreditsaldo -13,98704778 $L$43>=$L$46 Nicht einschränkend 386,0129522$M$43 Kreditsaldo -13,98704778 $M$43>=$M$46 Nicht einschränkend 286,0129522$A$23 Variable 0 $A$23>=0 Einschränkend 0$A$24 Variable 0 $A$24>=0 Einschränkend 0$A$42 Variable 0 $A$42>=0 Einschränkend 0


EXCEL - EmpfindlichkeitsberichtEXCEL - Empfindlichkeitsbericht

Microsoft Excel 5.0 SensitivitätsberichtTabelle: [EUSOPTVL.XLS]EUSOPTBericht erstellt am: 9.9.95 16:54

Veränderbare Zellen Reduzierte Ziel- Zulässige Zulässige

Zelle Name Endwert Kosten Koeffizient Zunahme Abnahme$A$23 Variable 0 -0,001892973 -0,999999997 0,001892973 1E+30$A$24 Variable 0 -0,001882515 -0,999999997 0,001882515 1E+30$A$25 Variable 0 -0,338853169 -0,999999997 0,338853169 1E+30$A$26 Variable 1,894732516 0 -1 0,336610099 0,001874055$A$27 Variable 0,957048909 0 -1 0,335120674 0,001863747$A$42 Variable 0 -2,65 -2,65 2,65 1E+30


Zelle Name Endwert Schattenpreis Rechte Seite Zunahme Abnahme$C$43 Kreditsaldo 100 -0,010422041 100 201,6759777 100$D$43 Kreditsaldo 300 -0,010318956 300 102,2377405 95,70891014$E$43 Kreditsaldo 400 -0,006880445 400 95,16834858 101,6697531$F$43 Kreditsaldo 500 -0,010167303 500 18295,21013 191,3891667$G$43 Kreditsaldo 200 -0,010066637 200 18478,16224 96,66726263$H$43 Kreditsaldo -5,68434E-14 -0,006663703 0 96,13259857 13,89445923$I$43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -200 186,0129522 1E+30$J $43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -300 286,0129522 1E+30$K$43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -500 486,0129522 1E+30$L$43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -400 386,0129522 1E+30$M$43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -300 286,0129522 1E+30

Microsoft Excel 5.0 SensitivitätsberichtTabelle: [EUSOPTVL.XLS]EUSOPTBericht erstellt am: 9.9.95 16:54

Veränderbare Zellen Reduzierte Ziel- Zulässige Zulässige

Zelle Name Endwert Kosten Koeffizient Zunahme Abnahme$A$23 Variable 0 -0,001892973 -0,999999997 0,001892973 1E+30$A$24 Variable 0 -0,001882515 -0,999999997 0,001882515 1E+30$A$25 Variable 0 -0,338853169 -0,999999997 0,338853169 1E+30$A$26 Variable 1,894732516 0 -1 0,336610099 0,001874055$A$27 Variable 0,957048909 0 -1 0,335120674 0,001863747$A$42 Variable 0 -2,65 -2,65 2,65 1E+30


Zelle Name Endwert Schattenpreis Rechte Seite Zunahme Abnahme$C$43 Kreditsaldo 100 -0,010422041 100 201,6759777 100$D$43 Kreditsaldo 300 -0,010318956 300 102,2377405 95,70891014$E$43 Kreditsaldo 400 -0,006880445 400 95,16834858 101,6697531$F$43 Kreditsaldo 500 -0,010167303 500 18295,21013 191,3891667$G$43 Kreditsaldo 200 -0,010066637 200 18478,16224 96,66726263$H$43 Kreditsaldo -5,68434E-14 -0,006663703 0 96,13259857 13,89445923$I$43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -200 186,0129522 1E+30$J $43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -300 286,0129522 1E+30$K$43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -500 486,0129522 1E+30$L$43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -400 386,0129522 1E+30$M$43 Kreditsaldo -13,98704778 0 -300 286,0129522 1E+30


EXCEL - GrenzberichtEXCEL - GrenzberichtMicrosoft Excel 5.0 GrenzenwertberichtTabelle: [EUSOPTVL.XLS]EUSOPTBericht erstellt am: 9.9.95 16:54

ZielzelleZelle Name Wert

$O$47 Differenz -13,98704778

Veränderbare Zellen Untere Ziel- Obere Ziel-Zelle Name Wert Grenze Ergebnis Grenze Ergebnis

$A$23 Variable 0 0 -13,98704778 -5,68434E-14 -13,98704778$A$24 Variable 0 0 -13,98704778 -5,68434E-14 -13,98704778$A$25 Variable 0 0 -13,98704778 -5,68434E-14 -13,98704778$A$26 Variable 1,894732516 1,894732516 -13,98704778 1,894732516 -13,98704778$A$27 Variable 0,957048909 0,957048909 -13,98704778 0,957048909 -13,98704778$A$28 Variable 0 5,68434E-16 -13,98704778 186,0129523 -200,0000001$A$29 Variable 0 0 -13,98704778 286,0129522 -300$A$30 Variable 0 0 -13,98704778 286,0129522 -300$A$31 Variable 0 0 -13,98704778 286,0129522 -300$A$32 Variable 0 0 -13,98704778 286,0129522 -300$A$33 Variable 0 0 -13,98704778 #NV #NV$A$34 Variable 1,01010101 1,01010101 -13,98704778 1,01010101 -13,98704778$A$35 Variable 2,025813692 2,025813692 -13,98704778 2,025813692 -13,98704778$A$36 Variable 1,026967203 1,026967203 -13,98704778 1,026967203 -13,98704778$A$37 Variable 0,139105398 0,139105398 -13,98704778 70,33267225 -199,9999999$A$38 Variable 0 5,77384E-16 -13,98704778 107,929416 -300,0000002$A$39 Variable 0 5,74176E-16 -13,98704778 107,9294159 -300$A$40 Variable 0 0 -13,98704778 107,9294159 -300$A$41 Variable 0 0 -13,98704778 107,9294159 -300$A$42 Variable 0 0 -13,98704778 #NV #NV

Microsoft Excel 5.0 GrenzenwertberichtTabelle: [EUSOPTVL.XLS]EUSOPTBericht erstellt am: 9.9.95 16:54

ZielzelleZelle Name Wert

$O$47 Differenz -13,98704778

Veränderbare Zellen Untere Ziel- Obere Ziel-Zelle Name Wert Grenze Ergebnis Grenze Ergebnis

$A$23 Variable 0 0 -13,98704778 -5,68434E-14 -13,98704778$A$24 Variable 0 0 -13,98704778 -5,68434E-14 -13,98704778$A$25 Variable 0 0 -13,98704778 -5,68434E-14 -13,98704778$A$26 Variable 1,894732516 1,894732516 -13,98704778 1,894732516 -13,98704778$A$27 Variable 0,957048909 0,957048909 -13,98704778 0,957048909 -13,98704778$A$28 Variable 0 5,68434E-16 -13,98704778 186,0129523 -200,0000001$A$29 Variable 0 0 -13,98704778 286,0129522 -300$A$30 Variable 0 0 -13,98704778 286,0129522 -300$A$31 Variable 0 0 -13,98704778 286,0129522 -300$A$32 Variable 0 0 -13,98704778 286,0129522 -300$A$33 Variable 0 0 -13,98704778 #NV #NV$A$34 Variable 1,01010101 1,01010101 -13,98704778 1,01010101 -13,98704778$A$35 Variable 2,025813692 2,025813692 -13,98704778 2,025813692 -13,98704778$A$36 Variable 1,026967203 1,026967203 -13,98704778 1,026967203 -13,98704778$A$37 Variable 0,139105398 0,139105398 -13,98704778 70,33267225 -199,9999999$A$38 Variable 0 5,77384E-16 -13,98704778 107,929416 -300,0000002$A$39 Variable 0 5,74176E-16 -13,98704778 107,9294159 -300$A$40 Variable 0 0 -13,98704778 107,9294159 -300$A$41 Variable 0 0 -13,98704778 107,9294159 -300$A$42 Variable 0 0 -13,98704778 #NV #NV


Beispiel: PersonaleinsatzplanungBeispiel: PersonaleinsatzplanungIn einem Krankenhaus besteht durchschnittlich folgender Bedarf an Aufsichts- und Pflegepersonal:

Von 0.00 - 4.00 Uhr: 30 Personen






Schichtbeginn ist jeweils um 0.00, 4.00, 8.00, 12.00, 16.00, 20.00 Uhr, eine Schicht dauert jeweils 8 Stunden. Wie muß der Schichtplan lauten, damit insgesamt möglichst wenig Aufsichts- und Pflegepersonal benötigt wird?

In einem Krankenhaus besteht durchschnittlich folgender Bedarf an Aufsichts- und Pflegepersonal:







Schichtbeginn ist jeweils um 0.00, 4.00, 8.00, 12.00, 16.00, 20.00 Uhr, eine Schicht dauert jeweils 8 Stunden. Wie muß der Schichtplan lauten, damit insgesamt möglichst wenig Aufsichts- und Pflegepersonal benötigt wird?


TransportproblemTransportproblem

F = FabrikenV = Verbraucher

ai = Kapazität der Fabrik Fi

bj = Nachfrage des Verbrauchers Vj

cij Transportkosten pro Einheit von Fi nach Vj

F1

Fm

V1

Vn

(- max cij,

(c11,

(cij,

(cmn,

(0, ai) (0, bj)


ZuordnungsproblemZuordnungsproblem

K = KandidatenS = Stellen

cij = Grad der "Un"-eignung von Kandidat Ki für Stelle Sj

(cij,

K1

Km

S1

Sn

(0, 1)

(0, 1)

(- max cij,


MEHRZIELOPTIMIERUNGMEHRZIELOPTIMIERUNG


Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung (1)Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung (1)

Beispiel:Eine Firma stelle zwei Produkte A und B in den Quantitäten x1 und x2 her (jeweils in 1000 Stück). Die erzielbaren Absatzpreise seien 6 (für A), bzw. 4 (für B) Geldeinheiten pro hergestellter Einheit (= 1000 Stück), wobei aber nur 7 Einheiten von B abgesetzt werden können. Die beiden Produkte durchlaufen drei Abteilungen, wobei folgende Kapazitätsrestriktionen gegeben sind: x1 + 2x2 16

x1 + x2 10

4x1 + x2 28

Beispiel:Eine Firma stelle zwei Produkte A und B in den Quantitäten x1 und x2 her (jeweils in 1000 Stück). Die erzielbaren Absatzpreise seien 6 (für A), bzw. 4 (für B) Geldeinheiten pro hergestellter Einheit (= 1000 Stück), wobei aber nur 7 Einheiten von B abgesetzt werden können. Die beiden Produkte durchlaufen drei Abteilungen, wobei folgende Kapazitätsrestriktionen gegeben sind: x1 + 2x2 16

x1 + x2 10

4x1 + x2 28


Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung (2)Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung (2)

Die Stückkosten betragen bei Produkt A 5 Geldeinheiten und bei B eine Geldeinheit.

Das Management verfolgt zum einen das Ziel eines möglichst hohen Gesamtdeckungsbei-trages, zum anderen das Ziel einer hohen Auslastung sowie aus Marktgründen einen möglichst hohen Absatz und damit eine möglichst hohe Produktion des Produktes A.

Die Stückkosten betragen bei Produkt A 5 Geldeinheiten und bei B eine Geldeinheit.

Das Management verfolgt zum einen das Ziel eines möglichst hohen Gesamtdeckungsbei-trages, zum anderen das Ziel einer hohen Auslastung sowie aus Marktgründen einen möglichst hohen Absatz und damit eine möglichst hohe Produktion des Produktes A.


Effiziente - Ineffiziente EntscheidungenEffiziente - Ineffiziente Entscheidungen

Eine zulässige Entscheidung heißt effizient bzgl. der Ziele z1,..., zm (funktional effizient), wenn es keine andere zulässige Entscheidung gibt, die bzgl. aller Ziele mindestens gleich gut, bzgl. mindestens eines Zieles aber echt besser ist.

x effizient <==> x zulässig und es existiert keine zulässige Entscheidung y mit:

zi(y) > zi(x) (i=1,...,m) und zk(y) > zk(x) für ein k(bei Maximierung der zi )

Eine zulässige Entscheidung heißt effizient bzgl. der Ziele z1,..., zm (funktional effizient), wenn es keine andere zulässige Entscheidung gibt, die bzgl. aller Ziele mindestens gleich gut, bzgl. mindestens eines Zieles aber echt besser ist.

x effizient <==> x zulässig und es existiert keine zulässige Entscheidung y mit:

zi(y) > zi(x) (i=1,...,m) und zk(y) > zk(x) für ein k(bei Maximierung der zi )


BeispielBeispiel

a1 ineffizient, da von a2 dominierta3 ineffizient, da von a5 dominiert

z1 z2 z3 z4

a1 0 2 7 2

a2 4 4 8 6

a3 4 2 14 3a4 14 1 15 4

a5 10 2 20 3

z1 z2 z3 z4

a1 0 2 7 2

a2 4 4 8 6

a3 4 2 14 3a4 14 1 15 4

a5 10 2 20 3


Mehrzieloptimierung - GraphikMehrzieloptimierung - Graphik

xx11+x+x22<=10<=10

xx11+2x+2x22<=16<=16

4x4x11+x+x22<=28<=28

xx22<=7<=7

x2

x1

DeckungsbeitragAuslastungProduktion A


Methoden der MehrzieloptimierungMethoden der Mehrzieloptimierung

Einmalige Methoden Zielgewichtung Zielprogrammierung (Goalprograming)

Interaktive Methoden Setzen von Anspruchsniveaus (STEM) Tauschratenverfahren (Geoffrion)

Einmalige Methoden Zielgewichtung Zielprogrammierung (Goalprograming)

Interaktive Methoden Setzen von Anspruchsniveaus (STEM) Tauschratenverfahren (Geoffrion)


ZielgewichtungZielgewichtung

Artenpräferenz durch Angabe der Gewichteg1,...,gm mitgi=1

Lösen des Problems mit der Zielfunktionz(x)= gi*zi(x)

bei gi > 0 ergibt sich immer eine effiziente Lösung

jede effiziente Lösung läßt sich durch geeignete gi als Optimallösung des obigen Problems erreichen

Angabe für den Entscheidungsträger zu schwierig

Artenpräferenz durch Angabe der Gewichteg1,...,gm mitgi=1

Lösen des Problems mit der Zielfunktionz(x)= gi*zi(x)

bei gi > 0 ergibt sich immer eine effiziente Lösung

jede effiziente Lösung läßt sich durch geeignete gi als Optimallösung des obigen Problems erreichen

Angabe für den Entscheidungsträger zu schwierig


GoalprogrammingGoalprogramming

Angabe von gewünschten Zielwerten zi* und Wahl der Entscheidung x, die zi(x) - zi*| minimiert

ergibt durch Transformation eine lineare Zielfunktion

führt nicht notwendigerweise zu einer effizienten Entscheidung

Präferenzen für den Entscheidungsträger gut angebbar

Angabe von gewünschten Zielwerten zi* und Wahl der Entscheidung x, die zi(x) - zi*| minimiert

ergibt durch Transformation eine lineare Zielfunktion

führt nicht notwendigerweise zu einer effizienten Entscheidung

Präferenzen für den Entscheidungsträger gut angebbar


Setzen von AnspruchsniveausSetzen von Anspruchsniveaus

Aufstellen der Payoff-Matrix, bestimmt durch die Zielwerte zj(xi), wobei xi die optimale Entscheidung für Ziel zi ist.

min{zj(xi)|i} und max{zj(xi)|i} geben die Spann-weite der erreichbaren Zielwerte für Ziel zj an

Setzen eines Anspruchsniveaus, z.B. durchzj(x) z° als zusätzliche Restriktion und Eliminierung dieses Ziels bis eine akzeptabel Lösung erreicht oder nur noch ein Ziel da ist.

ergibt immer eine effiziente Lösung sehr gute Akzeptanz des Verfahrens

Aufstellen der Payoff-Matrix, bestimmt durch die Zielwerte zj(xi), wobei xi die optimale Entscheidung für Ziel zi ist.

min{zj(xi)|i} und max{zj(xi)|i} geben die Spann-weite der erreichbaren Zielwerte für Ziel zj an

Setzen eines Anspruchsniveaus, z.B. durchzj(x) z° als zusätzliche Restriktion und Eliminierung dieses Ziels bis eine akzeptabel Lösung erreicht oder nur noch ein Ziel da ist.

ergibt immer eine effiziente Lösung sehr gute Akzeptanz des Verfahrens


TauschratenverfahrenTauschratenverfahren

Ausgehend von einer nicht zufriedenstellenden effizienten Lösung werden Tauschraten zum Ziel z1 festgelegt

Mit diesen Tauschraten z1/zi wird eine Ziel-gewichtung durchgeführt und es wird in Richtung dieser so ermittelten Entscheidung gegangen, bis die Lösung akzeptabel ist oder neue Tauschraten festgelegt werden

u.U. ergibt sich keine effiziente Lösung mit den Tauschraten z1 zu z2 und z3 ergibt sich

auch die Tauschrate z2 zu z3, deshalb keine so gute Akzeptanz des Verfahrens

Ausgehend von einer nicht zufriedenstellenden effizienten Lösung werden Tauschraten zum Ziel z1 festgelegt

Mit diesen Tauschraten z1/zi wird eine Ziel-gewichtung durchgeführt und es wird in Richtung dieser so ermittelten Entscheidung gegangen, bis die Lösung akzeptabel ist oder neue Tauschraten festgelegt werden

u.U. ergibt sich keine effiziente Lösung mit den Tauschraten z1 zu z2 und z3 ergibt sich

auch die Tauschrate z2 zu z3, deshalb keine so gute Akzeptanz des Verfahrens


Fall Goldtaler AG - AusgangssituationFall Goldtaler AG - AusgangssituationAusgangssituation Monat 1 Monat 2 Monat 3

Absatz 4.000 DM 8.000 DM 12.000 DMZahlung sofort 288.000 DM 576.000 DM 864.000 DMZahlung später 250.000 DM 250.000 DM 300.000 DM 600.000 DMEinzahlungen 538.000 DM 876.000 DM 1.464.000 DM

Lieferantenkredit nein -1.520.000 DM 0 DMzahlw. Kosten -200.000 DM -400.000 DM -600.000 DMKontokorrent -200.000 DM -203.000 DMAuszahlungen -1.923.000 DM -400.000 DM -600.000 DM

Kasse 80.000 DM -1.305.000 DM -829.000 DM 35.000 DM

EK-Preis 80,00 DM

VK-Preis 150,00 DM zahlw. Kosten 50,00 DM Skonto VK 4,00%Abschreibung 5,00 DM Skonto EK 5,00%Zahl.-Verhalt. 50,00%best. Stück 20000Kontokorrent 1,50%


Fallstudie Goldtaler AG (1)Fallstudie Goldtaler AG (1)

-1.400.000 DM

-1.200.000 DM

-1.000.000 DM

-800.000 DM

-600.000 DM

-400.000 DM

-200.000 DM

- DM

200.000 DM

Ausgangssituation Monat 1 Monat 2 Monat 3

Liquiditätsentwicklung

-1.400.000 DM

-1.200.000 DM

-1.000.000 DM

-800.000 DM

-600.000 DM

-400.000 DM

-200.000 DM

- DM

200.000 DM

Ausgangssituation Monat 1 Monat 2 Monat 3

Liquiditätsentwicklung



Art Zins Ausgangss. Monat 1 Monat 2 Monat 3 GrenzeKontokorrent 1 1,50% 100,00% -101,50%Kontokorrent 2 1,50% 100,00% -101,50%Kontokorrent 3 1,50% 100,00% -101,50%Bank A1 2,50% 100,00% -102,50%Bank A2 2,50% 100,00% -102,50%Bank B 4,00% 100,00% -104,00%Termingeld 1 1,00% -100,00% 101,00%Termingeld 2 1,00% -100,00% 101,00%Termingeld 3 1,00% -100,00% 101,00%Kontokorrent 1 - DM - DM - DM - DM - DM 100.000 DM Kontokorrent 2 300.000 DM - DM 300.000 DM 304.500 DM- - DM 300.000 DM Kontokorrent 3 - DM - DM - DM - DM - DM 300.000 DM Bank A1 167.317 DM 167.317 DM - DM 171.500 DM- - DM 500.000 DM Bank A2 332.683 DM - DM 332.683 DM - DM 341.000 DM- 332.683 DM Bank B 497.551 DM 497.551 DM - DM - DM 517.453 DM- 1.300.000 DM Termingeld 1 744.868 DM 744.868 DM- 752.317 DM - DM - DM Termingeld 2 - DM - DM - DM - DM - DM Termingeld 3 - DM - DM - DM - DM - DM Kreditsaldo 80.000 DM- 1.305.000 DM 829.000 DM 29.453 DM- Liquiditätsprognose 80.000 DM 1.305.000 DM- 829.000 DM- 35.000 DM Liquidität 0 DM- 0 DM- 0 DM- 5.547 DM Mindestkassenbestand - DM - DM - DM - DM



Art Zins Ausgangss. Monat 1 Monat 2 Monat 3Kontokorrent 1 1,50% 100,00% -101,50%Kontokorrent 2 1,50% 100,00% -101,50%Kontokorrent 3 1,50% 100,00% -101,50%Bank A1 2,50% 100,00% -102,50%Bank A2 2,50% 100,00% -102,50%Bank B 4,00% 100,00% -104,00%Termingeld 1 1,00% -100,00% 101,00%Termingeld 2 1,00% -100,00% 101,00%Termingeld 3 1,00% -100,00% 101,00%Kontokorrent 1 - DM - DM - DM - DM - DM Kontokorrent 2 300.000 DM - DM 300.000 DM 304.500 DM- - DM Kontokorrent 3 - DM - DM - DM - DM - DM Bank A1 167.317 DM 167.317 DM - DM 171.500 DM- - DM Bank A2 332.683 DM - DM 332.683 DM - DM 341.000 DM- Bank B 497.551 DM 497.551 DM - DM - DM 517.453 DM- Termingeld 1 744.868 DM 744.868 DM- 752.317 DM - DM - DM Termingeld 2 - DM - DM - DM - DM - DM

Art Zins Ausgangss. Monat 1 Monat 2 Monat 3Kontokorrent 1 1,50% 100,00% -101,50%Kontokorrent 2 1,50% 100,00% -101,50%Kontokorrent 3 1,50% 100,00% -101,50%Bank A1 2,50% 100,00% -102,50%Bank A2 2,50% 100,00% -102,50%Bank B 4,00% 100,00% -104,00%Termingeld 1 1,00% -100,00% 101,00%Termingeld 2 1,00% -100,00% 101,00%Termingeld 3 1,00% -100,00% 101,00%Kontokorrent 1 - DM - DM - DM - DM - DM Kontokorrent 2 300.000 DM - DM 300.000 DM 304.500 DM- - DM Kontokorrent 3 - DM - DM - DM - DM - DM Bank A1 167.317 DM 167.317 DM - DM 171.500 DM- - DM Bank A2 332.683 DM - DM 332.683 DM - DM 341.000 DM- Bank B 497.551 DM 497.551 DM - DM - DM 517.453 DM- Termingeld 1 744.868 DM 744.868 DM- 752.317 DM - DM - DM Termingeld 2 - DM - DM - DM - DM - DM

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Prof. Dr. Dr. J. Hansohm Quantitative Planungsmethoden Allgemeine BWL - Hauptstudium 1-std. Vorlesung = 6 2-std. Veranstaltungen 6 2-std. Übungen freiwillig