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Programmierung und Angewandte Mathematik
C++ /Scilab Programmierung und Einführung in das Konzept der
objektorientierten Anwendungen zu wissenschaftlichen Rechnens
SS 2012
F Ek llFomuso Ekellem
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Inhalt
Taylorreihe
Programmierung und Angewandte Mathematik2
Fomuso Ekellem
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Taylorreihe
Taylorreihe und Taylorpolynom
In der Analysis verwendet man Taylorreihen, um Funktionen in der
Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen
Taylor-Formel, um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch
die sogenannten Taylor-Polynome anzunähern.
T l ih dli h S Taylorreihe = unendliche Summen
Nachteil = können nicht in endlicher Zeit errechnet werden,
deshalb
T-Polynom = endliche Summen (Näherung)
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Taylorreihe
Instrument um Potenzreihen zu finden aus beliebiger Funktionen
durch simples einsetzen
näherungsweise Berechnung von Funktionswerten Allg. Formel: (
)
0( ) 00
( ) ( )n
nf x
f xT x x
Unsere Formel: f(x)= f(0)+ f′ (o)·x + f″ (o) ·x² + ...
( ) 00( )
!f x n n
( ) ( ) ( ) ( )2!
Wozu noch? ->Integration von Funktionen, indem
Potenzreihenentwicklung und anschließend gliedweise Integriertg
g
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Taylorreihe
Satz 1: f: I->R soll mindestens (N+1)mal stetig
differenzierbar sein. x0 , x sind Teilmengen von I.
Dann gilt:f(x)= f(x0)+ f′ (x0)·(x - x0) + f″ (x0) ·(x- x0)² + f
′″(x0) ·(x- x0)3 + ... + f″ (x0) ·(x- x0)n +RN+1(x)
2 3! N!wobei es existiert ein z zwischen x0 und x sodassRN+1(x)
= f N+1 (z) ·(x- x0)N+1
(N+1)!
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Taylorreihe
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Taylorreihe
Rot = gleiche Funktion Blau = Polynom von Grad
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Taylorreihe
Rot = gleiche Funktion Blau = Polynom von Grad
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Taylorreihe
Rot = gleiche Funktion Blau = Polynom von Grad
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Taylorreihe
Rot = gleiche Funktion Blau = Polynom von Grad
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Taylorreihe
Aufgabe: Die Funktion soll in Umgebung der Stelle x0=0 durch
eine
1( )1 i ( )
f x
Parabel ersetzt werden.
( )1 sin( )
fx
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Taylorreihe
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Taylorreihe
Versuchen Sie zu entwickeln.
n
1i
niasin(x) X
L‘Hospital Regelung? Nach
Satz 1: f: I->R soll mindestens (N+1)mal stetig
differenzierbar sein. x0 , x sind Teilmengen von I. Dann gilt:
f(x)= f(x0)+ f′ (x0)·(x - x0) + f″ (x0) ·(x- x0)² + f ′″(x0)
·(x- x0)3 + ... + f″ (x0) ·(x- x0)n +RN+1(x) 2 3! N!2 3! N!
wobei es existiert ein z zwischen x0 und x sodassRN+1(x) = f N+1
(z) ·(x- x0)N+1
(N+1)!
Folgerung f(n) (x0) = g(n) (x0) = 0 für n = 0, 1, 2, 3,...,N
(f(0) = f) und g(n+1) ≠ 0) dann einfach )(
)()()(lim
0)1(
0)1(
0 xgxf
xgxf
N
N
XX
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Fourierreihe
Taylor versagt wenn die Funktion nicht stetig ist Fourierreihen
können nur symmetrische Funktionen berechnen Taylor - kann die
Funktion bis ins unendliche darstellen Taylor – Funktion muss
differenzierbar sein
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