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Proseminar über elementare Zahlentheorie

Literatur

[B] Peter Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie, 5., überarb. u. ak-tual. Au�. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 2002, e29,95.

[F] Otto Forster, Algorithmische Zahlentheorie. vieweg Lehrbuch Mathe-matik, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig/Wiesbaden 1996.

[FR] Benjamin Fine, Gerhard Rosenberger, Number Theory, an introduction

via the distribution of primes. Birkhäuser, Boston 2007, e51,36.

[K] Theo Kempermann, Zahlentheoretische Kostproben. WissenschaftlicherVerlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, e17,80.

[N] Melvyn B. Nathanson, Elementary Methods in Number Theory. Gradua-te Texts in Mathematics 195, Springer-Verlag, New York 2000, e58,80.

[P] Friedhelm Padberg, Elementare Zahlentheorie, 2., überarb. und erw.Au�age. Spektrum, Akademischer Verlag, Heidelberg-Berlin 1996, e20.

[R] Reinhold Remmert, Peter Ullrich, Elementare Zahlentheorie, 2., korr.Au�age. Birkhäuser Verlag, Basel-Boston-Berlin 1995, e24,50.

[Sche] Harald Scheid, Zahlentheorie, 3. Au�age.. Spektrum Akademischer Ver-lag, Heidelberg-Berlin 2003, e55.

[Schw] Friedrich Schwarz, Einführung in die Elementare Zahlentheorie.B. G. Teubner, Stuttgart-Leipzig 1998.

[Sh] Victor Shoup, A computational introduction to number theory and alge-

bra. Cambridge University Press, Cambridge 2005, e46,74.

[St] John Stillwell, Elements of Number Theory. Springer-Verlag, New York2003, e45,96.

[V] Oleg N. Vasilenko, Number theoretic algorithms in cryptography. Trans-lations of mathematical monographs 232, AMS, Providence, RI 2007.

Diese Bücher werden in der Seminarbibliothek (im Bibliotheksbüro) stehen.

Vortragsthemen

Die folgende Themeneinteilung und die Themenauswahl sind nur als grobenVorschlag zu sehen. Es können ohnehin nicht alle Vorträge gehalten werden!Themen können anders aufgeteilt werden oder die Reihenfolge kann geändertwerden, wenn dadurch die Einhaltung des zeitlichen Rahmens erleichtert wird.

Die Literaturangaben sind natürlich auch nur ein Vorschlag. Zur Vorberei-tung Ihres Vortrags müssen Sie nicht alle relevanten Bücher verwenden; Siekönnen sich diejenigen aussuchen, mit denen Sie am besten arbeiten können.

Vortrag 1.

Teilbarkeitslehre in N und Z, Primzahlen, der Satz von Euklid, der Fundamen-talsatz der Arithmetik (eindeutige Primfaktorzerlegung), die Teilersummen- undTeileranzahlfunktionen, vollkommene Zahlen [B, F, FR, N, R, Sche, Sh, St]

Vortrag 2.

Der euklidische Algorithmus, ggT und kgV, die Kettenbruchdarstellung ra-tionaler Zahlen, lineare diophantische Gleichungen und ihre Lösungsmengen[B, F, FR, N, Sche, Sh, St]

Vortrag 3.

Zahlentheoretische Funktionen, multiplikative und additive Funktionen, Fal-tung, wichtige zahlentheoretische Funktionen wie die Möbiussche µ-Funktionund die Eulersche ϕ-Funktion [B, FR, N, R, Sche, Sh, St]

Vortrag 4.

Quadratische Zahlkörper, ihre Ganzheitsringe, deren Einheiten, euklidische qua-dratische Zahlbereiche, Primzahlen als Summe zweier Quadrate [B, F, FR, R, St]

Vortrag 5.

Lineare Kongruenzen, der Chinesische Restsatz, die Sätze von Euler, Fermatund Wilson, Anwendungen in der Kryptographie [B, F, FR, N, R, Sh, St]

Vortrag 6.

Quadratische Reste, Legendre-Symbol, das quadratische Reziprozitätsgesetz,Fermatsche Primzahlen, Jacobi-Symbol [B, F, FR, N, R, Sche, Schw, Sh, St]

Vortrag 7.

Darstellungen von Zahlen als Summen von Quadraten [B, F, FR, Sche, St]

Vortrag 8.

Polynomiale diophantische Gleichungen, Pythagoräische Tripel, rationale Punk-te auf algebraischen Kurven [B, FR, Sche, St]

Vortrag 9.

Die Pellsche Gleichung X2 − dY 2 = 1 [B, F, Sche, St]

Vortrag 10.

Kettenbruchzerlegungen, Kriterien für Rationalität, Faktorisieren mit Ketten-bruchzerlegungen [B, F, N, Sche, Schw]

Vortrag 11.

Prime Restklassengruppen (Z/mZ)∗, Primitivwurzeln, Pseudozufallszahlenge-neratoren [F, R, Schw]

Vortrag 12.

Die g-adische Darstellung natürlicher, rationaler und reeller Zahlen, Irrationa-lität und Transzendenz [B, R]

Vortrag 13.

Primzahltests, Carmichaelzahlen, probabilistische Primzahltests, die Methodenvon Solovay-Strassen und von Rabin [F, FR, N, Sche, Schw, Sh, V]

Vortrag 14.

Faktorisierungsmethoden, die Pollardsche rho-Methode, die p − 1 Faktorisie-rungsmethode [F, Schw, V]

Vortrag 15.

Anwendungen der Zahlentheorie in der Kryptographie, speziell die RSA-Public-Key-Verschlüsselung und verwandte Methoden [F, FR, N, Schw, Sh, St]

Vortrag 16.

Der p + 1-Primzahltest und die p + 1-Faktorisierungsmethode [F, V]

Vortrag 17.

Die Verteilung der Primzahlen (Übersichtsvortrag) [FR, N, R, Sche, Schw]