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Prozent- und Promillerechnung 1.) Ein PC kostet im Großhandel 850 €. Dazu kommen 19% Mehrwertsteuer. Wie viel Euro beträgt die
Mehrwertsteuer? 2.) Auf einer anderen Rechnung für ein Gerät ist eine Mehrwertsteuer mit 142,50 € ausgewiesen. Wie hoch
ist der Rechnungsbetrag ohne Mehrwertsteuer? 3.) Auf einer alten Rechnung findet man: Rechnungsbetrag 867,50 DM, Mehrwertsteuer 121,45 DM. Wie
viel Prozent Mehrwertsteuer wurden damals berechnet? 4.) Familie Beckmann schließt eine Hausratsversicherung über 90.000 € ab. Die jährliche Prämie, die an die
Versicherung abzuführen ist, beträgt 0001,8 der Versicherungssumme.
Wie viel Euro Prämie sind zu zahlen? 5.) Julias Mutter hat eine Glasversicherung für ihr Haus abgeschlossen. Die jährliche Prämie richtet sich
nach dem Gebäudewert. Die Versicherung verlangt 0000,2 des Gebäudewerts als jährliche Prämie. Sie
beträgt 45 €. Welchen Wert besitzt das Gebäude?
6.) Für ihre Hausratsversicherung mit einer Versicherungssumme von 70.000 € zahlt Frau Peters jährlich
105 € Prämie. Wie viel Promille der Versicherungssumme sind das?
Prozent- und Promillerechnung
1.) Ein PC kostet im Großhandel 850 €. Dazu kommen 19% Mehrwertsteuer. Wie viel Euro beträgt die
Mehrwertsteuer? 2.) Auf einer anderen Rechnung für ein Gerät ist eine Mehrwertsteuer mit 142,50 € ausgewiesen. Wie hoch
ist der Rechnungsbetrag ohne Mehrwertsteuer? 3.) Auf einer alten Rechnung findet man: Rechnungsbetrag 867,50 DM, Mehrwertsteuer 121,45 DM. Wie
viel Prozent Mehrwertsteuer wurden damals berechnet? 4.) Familie Beckmann schließt eine Hausratsversicherung über 90.000 € ab. Die jährliche Prämie, die an die
Versicherung abzuführen ist, beträgt 0001,8 der Versicherungssumme.
Wie viel Euro Prämie sind zu zahlen? 5.) Julias Mutter hat eine Glasversicherung für ihr Haus abgeschlossen. Die jährliche Prämie richtet sich
nach dem Gebäudewert. Die Versicherung verlangt 0000,2 des Gebäudewerts als jährliche Prämie. Sie
beträgt 45 €. Welchen Wert besitzt das Gebäude?
6.) Für ihre Hausratsversicherung mit einer Versicherungssumme von 70.000 € zahlt Frau Peters jährlich
105 € Prämie. Wie viel Promille der Versicherungssumme sind das?
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Prozent-, Promille- und Zinsrechnung Einführende Aufgaben: 1.) Ein PC kostet im Großhandel 850 €. Dazu kommen 19% Mehrwertsteuer. Wie viel Euro beträgt die
Mehrwertsteuer? 2.) Auf einer anderen Rechnung für ein Gerät ist eine Mehrwertsteuer mit 142,50 € ausgewiesen. Wie hoch
ist der Rechnungsbetrag ohne Mehrwertsteuer? 3.) Auf einer alten Rechnung findet man: Rechnungsbetrag 867,50 DM, Mehrwertsteuer 121,45 DM. Wie
viel Prozent Mehrwertsteuer wurden damals berechnet? Die Grundformel der Prozentrechnung oder das Pfeilbild zur Berechnung des Prozentwertes lautet:
Pr ozentsatz100
p100
Grundwert Pr ozentsatzGrundwert Pr ozentwert Pr ozentwert
100
G pG Pw P
100
⋅
⋅
⋅→ =
⋅→ =
Für die Benutzung des TR ist es günstig das Pfeilbild auszunutzen: zur Aufgabe 1.)
19100850 Pw TR : 850 0,19 Pw Pw 161,50 €
⋅
→ ⋅ = =
oder: TR: Die Mehrwertsteuer beträgt 161,50 Euro. zur Aufgabe 2.)
19 19:
100 100G 142,50 142,50 G TR : 142,50 : 0,19 G G 750,00 €⋅
→ → = =
oder: TR: Der Rechnungsbetrag beträgt 750 Euro. zur Aufgabe 3.)
p100 p 121,45 p
867,50 121,45 TR : 121,45 : 867,50100 867,50 100
pTR : 0,14 TR :14% p
100
⋅
→ = =
= =
oder: TR: Buch, S.126 - 128
850 x 19 % 161,50
142,50 : 19 % 750
121,45 : 867,5 % 14
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Promillerechnung Information:
Promille sind Tausendstel. Es gilt: 0 000 00
3 p3 , allgemein : p
1000 1000= =
In der Promillerechnung verfährt man wie in der Prozentrechnung.
0003 von 50.000 € 150 €=
Grundschema der Promillerechnung: Pr omillesatz
1000Grundwert Pr omillewert⋅
→ 1.) Familie Beckmann schließt eine Hausratsversicherung über 90.000 € ab. Die jährliche Prämie, die an die
Versicherung abzuführen ist, beträgt 0001,8 der Versicherungssumme.
Wie viel Euro Prämie sind zu zahlen? 2.) Julias Mutter hat eine Glasversicherung für ihr Haus abgeschlossen. Die jährliche Prämie richtet sich
nach dem Gebäudewert. Die Versicherung verlangt 0000,2 des Gebäudewerts als jährliche Prämie. Sie
beträgt 45 €. Welchen Wert besitzt das Gebäude?
3.) Für ihre Hausratsversicherung mit einer Versicherungssumme von 70.000 € zahlt Frau Peters jährlich
105 € Prämie. Wie viel Promille der Versicherungssumme sind das?
zu Aufgabe 1.)
1,8100090000 PMw TR : 90000 0,0018 PMw PMw 162,00 €
⋅
→ ⋅ = =
Die Prämie beträgt 162 Euro. zu Aufgabe 2.)
0,2 0,2:
1000 1000G 45 45 G TR : 45 : 0,0002 G G 225.000 €⋅
→ → = =
Der Wert des Gebäudes beträgt 225.000 Euro. zu Aufgabe 3.)
p1000
000
p 105 p70.000 105 TR :105 : 70000
1000 70.000 1000p
TR : 0,0015 TR : 1,5 p1000
⋅
→ = =
= =
Der Promillesatz beträgt 0
001,5 .
Promillesatz Grundwert Promillewert
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Vermehrter und verminderter Grundwert Aufgabe 1: Im Winterschlussverkauf werden alle Preise um 35% gesenkt. Ina kauft sich ein Snowboard, das ursprüng-lich 280 € kosten sollte. Wie viel Euro muss sie im WSV dafür bezahlen? Möglichkeit 1:
p0,35100G Pw 280 Pw Pw 280 0,35 98 €
Pw 280 € 98 € 1
100% 3 % 6 %
2 €
5
8
5
⋅⋅
→ → = ⋅ =
− =
= − =
Möglichkeit 2: Wenn man weiß, dass man nach Abzug von 35% noch 65% zu bezahlen hat, berechnet man den endgülti-gen Preis (verminderter Grundwert) wie folgt:
0,65
100% 35% 65%
280 Pw Pw 280 0,65 182 €⋅
− =
→ = ⋅ =
Ina muss noch 182 € für das Snowboard bezahlen. Aufgabe 2: Der Benzinpreis von 1,30 € für 1 Liter Superbenzin wird um 2% erhöht. Wie teuer ist nun 1 Liter Superben-zin? Da der Preis erhöht wird gilt:
1,02
100% 2% 102%
1,30 Pw Pw 1,30 1,02 1,326 € 1,33 €⋅
+ =
→ = ⋅ = ≈
1 Liter Superbenzin kostet nun 1,33 €. MERKE: Vermindert (vermehrt) man den Grundwert um 35% (p%), so erhält man den verminderten (vermehrten) Grundwert. Um diesen zu berechnen, subtrahiert (addiert) man den Prozentsatz von 100% (zu 100%) und multipliziert ihn mit der entstehenden Dezimalzahl. Beispiele: Verminderung: 35%: 100% - 35% = 65% � Faktor: 0,65 17%: 100% - 17% = 83% � Faktor: 0,83 6,5%: 100% - 6,5% = 93,5% � Faktor: 0,935 Erhöhung: 19%: 100% + 19% = 119% � Faktor: 1,16 4,5%: 100% + 4,5% = 104,5% � Faktor: 1,045 0,3%: 100% + 0,3% = 100,3% � Faktor: 1,003
Verminderung des Grund-wertes: Faktor < 1
Erhöhung des Grundwer-tes: Faktor > 1
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Preisverminderungen in der Geschäftssprache: Rabatt: Preisnachlass aus besonderem Anlass: - Barzahlungsrabatt (Nachlass bei Barzahlung) - Mengenrabatt (Nachlass beim Kauf großer Stückzahlen) - Saisonrabatt (Nachlass in der Vor- oder Nachsaison, WSV, SSV) Skonto: Nachlass bei Zahlung innerhalb einer bestimmten Frist, z.B. 10 Tagen Aufgabe: Ein Kunde erhält im Mediamarkt einen Rabatt von 18% beim Kauf eines MP3-Players, der 125 Euro kosten soll. Da er sofort bar bezahlt, erhält er 3% Skonto auf den verminderten Preis. Wie teuer wird der MP3-Player?
0,82
0,18
0,
0
0
,97
3
125 Pw Pw 125 0,18 22,50 € Pw 125 € 22,50 € 102,50 €
102,5 Pw Pw 102,5 0,03 3,08 €
100% 18% 82%
100% 3% 97%
Taschenrechner :
125
Pw 102,5 € 3,08 € 99
Pw1 Pw2 2x verminderter Grundw
,42 €
ert
1
⋅ ⋅
⋅
⋅
− =
− =
→ = ⋅ = = − =
→ = ⋅ = = −
→ →
=
25 0,82 0,97 Pw2 Pw2 99,43 €⋅ ⋅ = =
MERKE: Man darf auf keinen Fall die beiden Prozentsätze 18% und 3% zu 21% addieren, da sich der 2. Prozentsatz 3% auf einen neuen Grundwert (102,50 €) bezieht! (Buch, S. 132/133)
Vom vermehrten (verminderten) Grundwert zurück zum Grundwert
Aufgabe 1: Julian hat Pech gehabt. Kurz bevor er sich entschlossen hat, ein Mountain-Bike zu kaufen, werden die Prei-se um 5% erhöht. Das Fahrrad kostet jetzt 609 €. Wie teuer war das Fahrrad vor der Preiserhöhung? Wichtig: Der Preis wurde um 5% erhöht und beträgt jetzt 609 €, also entsprechen 609 € = 105%!!! Gesucht ist der eigentliche Grundwert, der 100% beträgt.
: Faktor
FaktorAlter Pr eis Neuer Pr eis
Alter Pr eis Neuer Pr eis
(Grundwert) (erhöhter / verminderter Grundwert)
⋅
←
→
Rechnung:
1,05
:1,05
G 609 €
G 609 € G 609 : 1,05 580 €
⋅
→
← = =
Vor der Preiserhöhung kostete das Fahrrad 580 €.
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Aufgabe 2: Teresa kauft sich im WSV einen Skianzug, erhält 35% Rabatt und zahlt an der Kasse 156 €. Was hätte sie ohne den Rabatt bezahlen müssen?
0,65
:0,65
G 156 €
G 156 € G 156 : 0,65 240 €
⋅
→
← = =
Der Skianzug kostete ursprünglich 240 €.
Berechnen des Prozentsatzes
Aufgabe: Gegeben ist ein Dreieck mit der Grundseite g = 8 cm und der Höhe h = 5 cm.
a.) Berechne die Fläche (A) des Dreiecks. b.) Die Höhe wird um 20% verlängert, die Grundseite um 5% verkürzt. Um wie viel Prozent verändert
sich dadurch der Flächeninhalt?
zu a.)
2g h 8 5A A A 20 cm
2 2
⋅ ⋅= = =
zu b.)
2
h 5 1,2 6 cm g 8 0,95 7,6 cm
7,6 6A 22,8 cm
2
p 22,8 : 20 1,14
1,14 114%
= ⋅ = = ⋅ =
⋅= =
= =
=
Der Flächeninhalt erhöht sich um 14%.
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Prozentrechnung 1.) Eine große Ausstellung wurde an einem Tag von 82550 Personen besucht.
a.) Von ihnen kauften 12% eine Abendkarte. Wie viele Abendkarten wurden an diesem Tag verkauft? b.) Von den 82550 Personen gingen 3302 in eine Sonderveranstaltung. Wie viel Prozent der Besucher
sahen an diesem Tag die Sonderveranstaltung? c.) An einem anderen Tag wurden 26250 Abendkarten verkauft, das waren 35% aller an diesem Tag
verkauften Karten. Wie viele Karten wurden an diesem Tag verkauft? d.) Die Besucherzahlen der Ausstellung erhöhten sich von einem Freitag auf Samstag um 20% und von
Samstag auf Sonntag um 30%. Um wie viel Prozent erhöhten sich die Besucherzahlen von Freitag auf Sonntag?
2.) Oliver will eine Stereoanlage kaufen. Er hat die Wahl zwischen zwei Angeboten:
I.) Elektro-Heinz: 1800 € zuzüglich 19% Mehrwertsteuer; 4% Nachlass bei Barzahlung. II.) Radio-Horst: 2250 € einschließlich 19% Mehrwertsteuer, 9% Rabatt wegen Ausverkaufs und
3% Nachlass auf den verminderten Preis bei Barzahlung. Welches Angebot ist günstiger?
3.) Fernseh-Paul hat zum 50-jährigen Jubiläum alle Preise um 15% gesenkt. Eine Stereoanlage kostet dann
nur noch 1275 €. Wie hoch war der Preis vorher?
Elektro-Huber senkt die Preise für eine Stereoanlage zunächst um 20% und danach noch einmal um 15%. Wie viel Prozent betrug die Preissenkung insgesamt?
4.) Verkauf von Eigentumswohnungen:
a.) Der Preis einer Eigentumswohnung erhöht sich um 5%. Der Käufer muss nun pro Quadratmeter 153 € mehr bezahlen. Wie viel Euro pro Quadratmeter sollte die Wohnung vor der Erhöhung kosten?
b.) Der Preis einer anderen Eigentumswohnung sinkt um 8% und beträgt nun 3174 € pro Quadratmeter. Wie viel Euro sollte 1 Quadratmeter vor der Erhöhung kosten?
c.) Ein Makler bietet zwei Eigentumswohnungen zunächst für 240.000 € an. Später senkt der Makler den Preis der einen Wohnung um 5% und erhöht den Preis der anderen Wohnung um 8%. Wie viel Prozent Mehreinnahme kann der Makler beim Verkauf der beiden Wohnungen insgesamt erwarten?
d.) Ein Makler bietet Eigentumswohnungen zu jeweils 200.000 € an. Wegen zu geringer Nachfrage bie-tet er die Wohnungen zu einem Sonderpreis an: Er senkt den Preis um 5%. Nach wenigen Monaten erhöht er diese Sonderpreise wieder um 8%. Wie viel Prozent ist nun eine Wohnung teurer als der ursprüngliche Verkaufspreis von 200.000 €?
5.) Fahrradkauf:
a.) Ein Fahrrad kostet 820 €. Nach einer Preiserhöhung beträgt der neue Preis 861 €. Um wie viel Pro-zent wurde das Fahrrad teurer?
b.) Händler Oswald verkauft ein Fahrrad mit einem Preisnachlass von 14% für nun 1161 €. Berechne den ursprünglichen Preis.
c.) Der Ladenpreis für ein Fahrrad beträgt 1200 €. Peter erhält das gleiche Fahrrad in einem Großmarkt 20% unter dem Ladenpreis, muss allerdings auf den ermäßigten Preis 19% Mehrwertsteuer bezah-len. Wie viel Prozent spart er gegenüber dem Ladenpreis?
6.) Studienfahrt:
a.) Eine Studienfahrt kostet 2850 €. Frau Albrecht muss 15% anzahlen. Wie viel Euro beträgt die An-zahlung?
b.) In den Reisekosten von 2850 € sind 85,50 € für Besichtigungen enthalten. Wie viel Prozent der Rei-sekosten sind das?
c.) Herr Berger tritt aus familiären Gründen von einer Reise zurück. Er muss 1295 € als Rücktrittsge-bühr bezahlen, das sind 35% der Reisekosten. Berechne die Reisekosten.
d.) Herr Ferber bucht über die Weihnachtstage einen Hotelaufenthalt in den Alpen. Er muss einen Fei-ertagszuschlag von 18% bezahlen. Die Reise kostet ihn dann 1121 €. Wie viel Euro hätte ihn die Reise ohne den Zuschlag gekostet?
(Lösungen: 5%; 4,8%; 3%; 2,6%; 1,5%; 32%; 56%; 4% ; 427,50 €; 1350 €; 3060 €; 3450 €; 1500 €; 1986,08 €; 2056,32 €; 75000 €; 9906 €; 3700 €; 950 €)
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Prozentrechnung (Lösungen) zu 1.) a.) b.) c.) d.) Pw 82550 0,12 p% 3302 : 82550 G 26250 : 0,35 p% 1,2 1,3
p% 0,04Pw 9906 G 750 p00
p 4% p
% 1,5
56%
6
= ⋅ = = = ⋅
= == =
= =
zu 2.) Pw 1800 0,19 0,96 Pw 2250 0,91
Pw 2056,32 € P
0
w 1986,
,97
07(5) €
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
= =
zu 3.)
G 1500 €
G 1275 : 0,85 p% 0,8 0,85
p
p 68% 32% gesen
8
k
6
t
0,
!
%=
= →
= = ⋅
=
zu 4.) a.) b.) c.) d.)
Pw 228000 € Pw 25920
G 153 : 0,05 G 3174
0 € Pw 205200 €
: 0,92 Pw 240000 0,95 Pw 240000 1,08 Pw 200000 0,95 1,08
228000 259200 205200p% p%
240000 240000
G 3060 € G 3
200000p% 1,015 p% 1,
450 €
p 1
026
5% p 2,6%
= =
=
= = = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅
+= =
+
=
=
=
=
=
=
zu 5.) a.) b.) c.)
Pw 1142,4
p% 861: 820 G
0 €G 1350 €
p 5% 5% erhöht!
p 95,2% 4,8% g
1161: 0,86 Pw 1200 0,8 1,19
p% 1,05
p%
ese
1142,4 : 1200
p% 0
n
2
k !
95
t
,
=
=
=
→
= →
= = = ⋅ ⋅
=
=
=
zu 6.) Pw 2850 0,15 p% 85,50 : 2850 G 1295 : 0,35 G 1121:1,18
p% 0,0Pw 427,50 € G 3700 € G 950 €
p 3%
3= = =
= ⋅ = =
=
=
=
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Prozentrechnung 1.) Ein PC mit Monitor, Drucker und Software kostet 1680 €. Herr Koch hat 2 Möglichkeiten, ihn zu bezah-
len. Entweder zahlt er in bar, dann hat er einen Preisnachlass von 3%. Oder er kauft auf Raten, dann muss er einen Preisaufschlag von 9% bezahlen.
Wie hoch ist der Unterschied der beiden Zahlungsarten?
2.) Max kauft beim Großhändler eine Stereoanlage für 280 €. Er erhält einen Rabatt von 25%. Zu dem er-
mäßigten Preis kommt noch die Mehrwertsteuer von 19% hinzu.
Wie viel Euro muss er bezahlen? 3.) Familie Förster bezahlte im Jahr 2005 monatlich 730 € Miete. Im neuen Jahr wurde der Mietpreis um 4%
erhöht.
Wie hoch ist der neue Mietpreis? 4.) Svenja kauft ein Fahrrad, für das ihr der Händler wegen eines Lackschadens 12% Preisnachlass ge-
währt. Sie bezahlt noch 550 €.
Was kostete das Fahrrad ursprünglich? 5.) Herr Köhler verdient als Facharbeiter einen Stundenlohn von 14,50 €. Seine monatliche Arbeitszeit be-
trägt 154 Stunden. Von seinem Bruttolohn werden 31,8% Steuer- und Sozialversicherungsbeiträge ab-gezogen.
Welchen Nettoverdienst hat Herr Köhler?
6.) Für eine Kettensäge zahlt ein Hobbygärtner nach Abzug von 3% Rabatt 184,30 €. Wie hoch war der
ursprüngliche Verkaufspreis? 7.) Nach Hinzurechnen von 19% MwSt kostet ein Produkt 124,95 €. Wie viel kostet das Produkt ohne
Mehrwertsteuer? 8.) Die Reparatur eines Rollers kostet 174 €. Darin sind 19% MwSt enthalten. Wie viel Euro beträgt die
Mehrwertsteuer? 9.) Anjas Taschengeld wird von 20 € auf 25 € erhöht. Um wie viel Prozent wurde das Taschengeld erhöht? 10.) Im Jahr 2002 besuchten 24000 Badegäste das Waldschwimmbad. Im Jahr 2003 wurden 8% mehr Be-
sucher gezählt als 2002, im Jahr 2004 waren es 5% weniger als 2003.
a.) Wie viele Besucher hatte das Schwimmbad 2003? b.) Wie viele Besucher waren es 2004 weniger als 2003? c.) Um wie viel Prozent stieg die Besucherzahl von 2002 bis 2004? d.) Die Einnahmen des Kiosks sanken 2004 gegenüber dem Vorjahr um 15% auf 68000 €. Wie hoch
waren die Einnahmen in 2003? Lösungen: 105 € ; 25% ; 201,60 € ; 625 € ; 249,90 € ; 27,78 € ; 1522,91 € ; 1296 ; 80000 € ; 25920 ; 2,6 % ; 190 € ; 759,20 €
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Prozentrechnung (Lösungen) zu 1.)
Pw 1629,60 € Pw 1831,20 €
Pw 1680 0,97 Pw 16
1831,20 € 1629,60 € 201,6
80 1,09
0 €
= ⋅ = ⋅
= = − =
zu 2.) zu 3.)
Pw 280 0,75 1,19 Pw 210 1,
P
19
w 249,90 €
= ⋅ ⋅ =
=
⋅
Pw 730 1,04
Pw 759,20 €=
= ⋅
zu 4.) zu 5.)
G 550 : 0,8
5
8
G 62 €
=
=
L 154 14,50
Pw 2233 0,682
Pw
2233 €
1522,91 €
= ⋅ =
=
=
⋅
zu 6.) zu 7.)
G 184,30 : 0
0
,97
G 19 €=
=
G 124,95 : 1
5
,19
G 10 €=
=
zu 8.)
G 174 :1,19 Mwst : 174 14 27,78
G
€
146, 2
22
2 €
6,
=
= − =
zu 9.)
p 1,25
p% 125% Erhöhung um 25%
p 25 : 20
=
=
=
zu 10.)
a.) Pw
P
25920 Besuch
w 24000 1
r
,08
e=
= ⋅
b.) Pw 24624 Besuche 25r 920 24624 129
Pw 25920 0,
6
95
= − =
= ⋅
c.) p 1,026
p% 102,6%
p 24624 :
Erhöhun
2400
g um ,
0
2 6%
=
=
=
d.) G 68000 : 0,8
G 80 0
5
.00 €=
=
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Zinsrechnung Die Zinsrechnung ist eine erweiterte Prozentrechnung mit anderen Begriffen.
Zinsrechnung Prozentrechnung
Kapital (k) Grundwert (G)
Zinssatz (p%) Prozentsatz (p%)
Zinsen (z) Prozentwert (Pw) p
100k z⋅
→ p
100G Pw⋅
→ Bei der Zinsrechnung kommt noch der Zeitfaktor (i) dazu: Aufgabe: Claudia hat zu Jahresbeginn 850,00 € auf ihrem Sparbuch. Dafür erhält sie Zinsen. Der Zinssatz beträgt 2,5%. Das bedeutet: Claudia bekommt nach einem Jahr 2,5% ihres Geldes (Kapital) als Zinsen gut ge-schrieben.
a.) Wie viel Euro Zinsen erhält sie nach 1 Jahr? b.) Wie viel Euro Zinsen erhält sie nach ½ Jahr? c.) Wie viel Euro Zinsen erhält sie nach 1 Monat? d.) Wie viel Euro Zinsen erhält sie nach 7 Monaten? e.) Wie viel Euro Zinsen erhält sie nach 1 Tag? f.) Wie viel Euro Zinsen erhält sie nach 200 Tagen?
1 Jahr wird in der Zinsrechnung mit 360 Tagen gezählt (12 x 30 Tage)! zu a.) zu b.) zu c.)
p100
2,5100
k z
850 z
850 0,025 z
21,25 € z
⋅
⋅
→
→
⋅ =
=
p 1100 2
2,50,5100
k z1 j
850 z1 z
850 0,025 0,5 z
10,63 € z
⋅ ⋅
⋅⋅
→ →
→ →
⋅ ⋅ =
=
p 1100 12
2,5 1100 12
k z1 j
850 z1 z
1850 0,025 z
121,77 € z
⋅ ⋅
⋅ ⋅
→ →
→ →
⋅ ⋅ =
=
zu d.) zu e.) zu f.)
p 7100 12
2,5 7100 12
k z1 j
850 z1 z
7850 0,025 z
1212,40 € z
⋅ ⋅
⋅ ⋅
→ →
→ →
⋅ ⋅ =
=
p 1100 360
2,5 1100 360
k z1 j
850 z1 z
1850 0,025 z
3600,06 € z
⋅ ⋅
⋅ ⋅
→ →
→ →
⋅ ⋅ =
=
p 200100 360
2,5 200100 360
k z1 j
850 z1 z
200850 0,025 z
36011,81 € z
⋅ ⋅
⋅ ⋅
→ →
→ →
⋅ ⋅ =
=
MERKE:
ZinssatzZeitfaktor100
pi100
1
ZinssatzKapital Jahreszinsen Zinsen z Kapital Zeitfaktor
100
p p 360k z z z k i z k (Zeitraum Tage)
100 100 100
⋅⋅
⋅⋅
→ → = ⋅ ⋅
→ → = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Buch, S.143 - 149
Seite 12 von 17
Aufgabe:
Löse die Formel k p i
z100 360
⋅ ⋅=
⋅
(Zinsen für den Zeitraum: Tage) nach allen vorkommenden Variablen auf.
z 100 360 z 100 360 z 100 360
k p ip i k i k p
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =
⋅ ⋅ ⋅
Die Grundaufgaben dazu: 1.) Welches Kapital bringt in 120 Tagen zu 2,5% angelegt 47,50 € Zinsen?
� Eintragen der Werte in das Pfeilbild:
1.) 1
120z 47,50 : 142,50 €
360= = 2.) k 142,50 : 0,025 5700,00 €= =
2.) Bei welchem Zinssatz bringen 3600 € in 7 Monaten 42 € Zinsen?
� Eintragen der Werte in das Pfeilbild:
1.) 1
7z 42,00 : 72,00 €
12= = 2.) p 72 : 3600 0,02 2%= = =
3.) Wie lang muss ein Kapital von 6400 € zu einem Zinssatz von 3% angelegt werden, damit man 200 €
Zinsen erhält?
� Eintragen der Werte in das Pfeilbild:
1.) 1z 6400 0,03 192 €= ⋅ = 2.) i 200 :192 1,0416 y 1,0416 360 375 d= = = ⋅ =
Buch, S.149 - 155
k 0,025
120
360⋅
z1 47,50 €
3600 € p%
712
⋅
z1 42,00 €
6400 € 3%
i⋅
z1 200 €
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Berechnung von Kapital (k), Zinssatz (p), Zeit (i) Bei den folgenden Aufgaben geht es um die Bestimmung von Kapital (k), Zinssatz (p) oder Zeit (i). Notiere im Pfeilbild die gegebenen Werte an die richtige Stelle und versuche durch Gegenrechnungen den jeweils fehlenden Wert zu berechnen. Notiere diese Rechnung und löse mit dem Taschenrechner:
!!! Klebe dieses Arbeitsblatt (bis zur Schnittlinie) in dein Merkheft ein !!!
Pfeilbild zur Berechnung der Zinsen: zzk i1
100
p
→ →⋅
⋅
1.) Bei welchem Zinssatz ergeben 4300 € in 7 Monaten 150,50 €?
Pfeilbild:
Rechnung: 1.) 2.) 2.) Welches Kapital bringt in 220 Tagen 11 € Zinsen bei einem Zinssatz von 8%?
Pfeilbild:
Rechnung: 1.) 2.) 3.) In wie viel Tagen ergeben 7500 € Kapital bei einem Zinssatz von 5,5% 275 € Zinsen?
Pfeilbild:
Rechnung: 1.) 2.) 3.) �-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.) Übungsaufgaben dazu: (Pfeilbild und Rechnung dazu im Hausheft!)
a.) Berechne die Zinsen von: b.) Bei welchem Zinssatz ergeben: 820 € zu 5% für 9 Monate 7200 € in 3 Monaten 90 € Zinsen? 644 € zu 12% für 110 Tage 4300 € in 7 Monaten 105,50 € Zinsen? 1325 € zu 3,5% für 295 Tage 18660 € in 6 Monaten 1010,75 € Zinsen? 7900 € zu 11,3% für 258 Tage 25000 € in 10 Tagen 1000 € Zinsen? 2400 € zu 6,25% für 6 Monate 1975 € in 80 Tagen 19,75 € Zinsen? c.) Welches Kapital bringt in: d.) In wie vielen Tagen ergeben: 8 Monaten 24 € Zinsen bei 6%? 6000 € bei 8% Zinsen von 48 € 105 Tagen 4 € Zinsen bei 12%? 100 € bei 3% Zinsen von 1 €? 220 Tagen 15 € Zinsen bei 8%? 4250 € bei 12% Zinsen von 8,50 €? 270 Tagen 52 € Zinsen bei 3,5%? 7500 € bei 5,5% Zinsen von 275 €? 135 Tagen 38,50 € Zinsen bei 5,25%? 1800 € bei 13,25% Zinsen von 53 €?
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Berechnung von Kapital (k), Zinssatz (p), Zeit (i) Bei den folgenden Aufgaben geht es um die Bestimmung von Kapital (k), Zinssatz (p) oder Zeit (i). Notiere im Pfeilbild die gegebenen Werte an die richtige Stelle und versuche durch Gegenrechnungen den jeweils fehlenden Wert zu berechnen. Notiere diese Rechnung und löse mit dem Taschenrechner:
!!! Klebe dieses Arbeitsblatt (bis zur Schnittlinie) in dein Merkheft ein !!!
Pfeilbild zur Berechnung der Zinsen: zzk i1
100
p
→ →⋅
⋅
1.) Bei welchem Zinssatz ergeben 4300 € in 7 Monaten 150,50 €?
Pfeilbild:
Rechnung: 7
1.) z1 150,50 : 258 € 2.) p 258 € : 4300 € 0,06 p 6%12
= = = = =
2.) Welches Kapital bringt in 220 Tagen 11 € Zinsen bei einem Zinssatz von 8%?
Pfeilbild:
Rechnung: 220
1.) z1 11: 18 € 2.) k 18 € : 0,08 225 €360
= = = =
3.) In wie viel Tagen ergeben 7500 € Kapital bei einem Zinssatz von 5,5% 275 € Zinsen?
Pfeilbild:
Rechnung: 2
1.) z1 7500 0,055 412,50 € 2.) i 275 € : 412,50 € y 8 m 240 d3
= ⋅ = = = = =
�-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.) Übungsaufgaben dazu: (Pfeilbild und Rechnung dazu im Hausheft!)
a.) Berechne die Zinsen von: b.) Bei welchem Zinssatz ergeben: 820 € zu 5% für 9 Monate 7200 € in 3 Monaten 90 € Zinsen? 644 € zu 12% für 110 Tage 4300 € in 7 Monaten 105,50 € Zinsen? 1325 € zu 3,5% für 295 Tage 18660 € in 6 Monaten 1010,75 € Zinsen? 7900 € zu 11,3% für 258 Tage 25000 € in 10 Tagen 1000 € Zinsen? 2400 € zu 6,25% für 6 Monate 1975 € in 80 Tagen 19,75 € Zinsen? c.) Welches Kapital bringt in: d.) In wie vielen Tagen ergeben: 8 Monaten 24 € Zinsen bei 6%? 6000 € bei 8% Zinsen von 48 € 105 Tagen 4 € Zinsen bei 12%? 100 € bei 3% Zinsen von 1 €? 220 Tagen 15 € Zinsen bei 8%? 4250 € bei 12% Zinsen von 8,50 €? 270 Tagen 52 € Zinsen bei 3,5%? 7500 € bei 5,5% Zinsen von 275 €? 135 Tagen 38,50 € Zinsen bei 5,25%? 1800 € bei 13,25% Zinsen von 53 €?
4300 € 0,06
712
⋅
258 € 150,50 €
225 € 18 € 11 € 0,08
220
360⋅
7500 € 412,50 € 275 € 0,0055
2
3⋅
Euro: 30,75 / 23,61 / 38 / 639,77 / 75 / 600 / 114,29 / 306,82 / 1980,95 / 1955,56 / Zinssatz: 5% / 4,2% / 10,83% / 144% / 4,5% Zeit: 36 d / 120 d / 6 d / 240 d / 80 d
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Zinsen für mehrere Jahre - Zinseszins Aufgabe: Manuel hat 2000 € zur Verfügung. Er legt das Geld zum Jahresanfang auf ein Sparkonto und erhält 2,5% Zinsen. Da er am Jahresende das Geld noch nicht benötigt, lässt er es mit den Zinsen noch ein weiteres Jahr zu 2,5% auf seinem Sparkonto liegen.
a.) Wie viel Euro hat Manuel am Ende des 2. Jahres mit den Zinsen auf seinem Sparkonto? b.) Wie viel Euro Zinsen hat Manuel nach 2 Jahren von der Bank bekommen?
0,025
0,025
2000 50 2000 50 205
100% 2,5% 102,5%
100% 2,5% 1
0 €
2050 51,25 2050 51,25 2101,
02,5
5
%
2 €
⋅
⋅
+ =
+ =
→ + =
→ + =
Kürzere Berechnung:
21,
1,025
1,0
02
25
1,025 ,
5
1025
1.Jahr : 2000 2050 €
2.Jahr : 2050 2101,25 €
oder :
2000 2101,25
2000 210
€
1,25 €⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
→
→
→ →
→
a.) Manuel hat nach 2 Jahren 2101,25 € auf seinem Sparkonto. b.) Er hat in den 2 Jahren 50 + 51,25 = 101,25 € Zinsen erhalten.
Weiterführende Fragen:
c.) Wie hoch ist sein Sparkonto am Ende des 3. (4., 10.) Jahres?
3
4
10
1,025
1,025
1,025
3. Jahres : 2000 2153,78 € 153,78 € Zinsen
4. Jahres : 2000 2207,63 € 207,63 € Zinsen
10. Jahres : 2000 2560,17 € 560,17 € Zinsen
⋅
⋅
⋅
→
→
→
MERKE:
1.) Werden die Zinsen aus einem Jahr nicht vom Konto abgehoben, so werden sie im nächsten Jahr ebenfalls mitverzinst. Die Zinsen von den Zinsen nennt man Zinseszinsen.
2.) Zum Zinssatz 2%, 3%, 4% gehört der Zinsfaktor 1,02; 1,03; 1,04. Multipliziert man das Kapital mit diesem Zinsfaktor, so erhält man das Endkapital nach 1 Jahr einschließlich der Zinsen.
Buch, S.157/158
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Prozent-, Promille- und Zinsrechnung
Prozentrechnung: p% G pG Pw oder Pw
100⋅
⋅→ = Zinsrechnung: p% i
1
k i pk z z oder z
100 360⋅ ⋅
⋅ ⋅→ → =
⋅
1.) Zum letzten Bundesligaspiel des VfB Stuttgart kamen aufgrund des schlechten Wetters nur 20 485
Zuschauer. Das waren 35% weniger als beim letzten Heimspiel.
a.) Wie viele Zuschauer waren beim letzten Heimspiel im Stadion? b.) Um wie viel Prozent müsste sich die Zuschauerzahl erhöhen, um auf 40 000 Zuschauer zu
kommen? 2.) Auf einen Fotoapparat zu 320 € gibt es 18% Ausverkaufsrabatt. Herr Günstig erhält als Firmenange-
höriger darauf noch einmal 10% Personalrabatt.
a.) Wie viel muss Herr Günstig bezahlen? b.) Um wie viel Prozent ist die Kamera insgesamt günstiger geworden?
3.) Frisches Holz schrumpft beim Trocknen um 0,3%. Der Zimmermann nennt diesen Vorgang Schwund-
verlust.
a.) Wie lang war ein Brett vor dem Trocknen, wenn es um 12 mm geschrumpft ist? b.) Wie lang muss ein Brett vor dem Trocknen sein, wenn es nach dem Trocknen 5 m lang sein
soll? (Rechne auf mm genau.) 4.) Bei der Zinsrechnung gilt: 1 Jahr = 360 Tage; 1 Monat = 30 Tage.
a.) Herr Winter nimmt ein Darlehen von 5600 € für 7 Monate auf. Der Zinssatz beträgt 9%. Wie viel Euro muss er insgesamt zurückzahlen?
b.) Frau Sommer überzieht ihr Konto für 30 Tage um 900 €. Sie muss dafür 9 € Zinsen bezahlen. Berechne den Zinssatz.
c.) Frau Herbst hat ein Sparguthaben von 2500 €, das mit 4% verzinst wird. Nach wie vielen Tagen ist das Guthaben auf 2580 € angewachsen?
d.) Herr Lenz möchte 5000 € für 3 Jahre anlegen. Zur Auswahl stehen 3 Zinsmodelle; die Zinsen werden jeweils wieder verzinst.
(1) Im 1. Jahr 2%, im 2. Jahr 3%, im 3.Jahr 4%. (2) Im 1. Jahr 3%, im 2. Jahr 3%, im 3.Jahr 3%. (3) Im 1. Jahr 4%, im 2. Jahr 3%, im 3.Jahr 2%.
Begründe durch Rechnung, bei welchem Modell sich das Kapital am besten verzinst.
5.) Die Teile eines Silberbestecks tragen den Stempel 800. Das bedeutet: 0
00800 des Gewichtes entfällt
auf Silber, der Rest auf andere Metalle. Die Besteckteile haben folgende Gewichte: Löffel 120 g, Messer 140 g, Gabel 100 g, Teelöffel 45 g. Wie viel Gramm Silber ist im Löffel, Messer und Gabel enthalten? Wie viel Gramm andere Metalle sind im Teelöffel enthalten?
6.) 1998 hatte die Handybranche in Deutschland einen Umsatz von 13,2 Milliarden Euro. 1999 stieg der
Umsatz um 10% und 2000 um 17% in Vergleich zum Vorjahr.
a.) Berechne den Umsatz für das Jahr 2000. b.) Um wie viel Prozent wurde der Umsatz im Jahr 2000 gegenüber 1998 gesteigert?
Lösungen: (31.515; 95,3%; 236,16 €; 26,2%; 4 m; 5015 mm; 5894 €; 12%; 288 d; 5463,12 €; 5463,64€; 5463,12 €; 96g; 112 g; 80 g; 9 g; 17 Mrd.; 28,8%)
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Prozent-, Promille- und Zinsrechnung (Lösungen) 1.)
0,65 p%a.) G 20485 b.) 20485 40000
G 20485 : 0,65 p 40000 : 20485
G 31.515 p 1,953 also um 95,3%
⋅ ⋅
→ →
= =
≈ ≈
2.)
0,82 0,9 p%a.) 320 Pw b.) 320 236,16
Pw 320 0,82 0,9 p 236,16 : 320
Pw 236,16 € p 0,738 also um 26,2%
⋅ ⋅ ⋅
→ → →
= ⋅ ⋅ =
= =
3.)
0,003 0,997a.) G 12 mm b.) G 5000 mm
G 12 : 0,003 G 5000 : 0,997
G 4000 mm 4 m G 5015 mm
⋅ ⋅
→ →
= =
= = ≈
4.)
3070,09 p% 36012
1 1
1
0,04 i1
1
a.) 5600 z z b.) 900 z 9
7 30z 5600 0,09 z 9 : 108
12 360z 294 € p 108 : 900 0,12
Er muss 5894 € zurückzahlen. p% 12%
c.) 2500 z 80 d.) (1) 5000 1,02 1,03 1,04 5463,12 €
z 2500 0
⋅⋅⋅ ⋅
⋅ ⋅
→ → → →
= ⋅ ⋅ = =
= = =
=
→ → ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅3,04 100 € (2) 5000 1,03 5463,64 €
i (80 : 100) 360 288 d (3) 5000 1,04 1,03 1,02 5463,12 €
= ⋅ =
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
5.)
Löffel: 800
Pw 120 120 0,8 96 g1000
= ⋅ = ⋅ =
Messer: 800
Pw 140 140 0,8 112 g1000
= ⋅ = ⋅ =
Gabel: 800
Pw 100 100 0,8 80 g1000
= ⋅ = ⋅ =
Teelöffel: 200
Pw 45 45 0,2 9 g1000
= ⋅ = ⋅ =
6.)
1,10 1,17 p%a.) 13,2 Pw b.) 13,2 17
Pw 13,2 1,10 1,17 p 17 : 13,2
Pw 17 Mrd p 1,288 also um 28,8%
⋅ ⋅ ⋅
→ → →
= ⋅ ⋅ =
≈ =
