Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit

Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit

LiteraturLedolter, Burrill, Statistical Quality Control: Kap.12: Statistical Process Control: Control Charts; Kap.13: Process Capability and Pre-Control Bergman, Klefsjö, Quality: Kap.12: 12: Control Charts; Kap.13: Capability

24.10.2003 Prozesskontrolle 2

Prozesskontrolle

Anwendung der Statistik zur Kontrolle (Beobachtung und Regelung) des Prozesses Änderungen des Mittelwertes (Niveau, Level) Änderungen der Prozessvariabilität

Ist der Prozess „in Kontrolle“ (stabil)?


Zielsetzung der Prozesskontrolle

Rasch entdecken, wenn der Prozess „außer Kontrolle“

Qualitätsverbesserung


Funnel-Experiment Lasse einen stabilen Prozess unverän-dert! Trichter- (funnel-) Experiment: Kugel rollt

durch Trichter; Ziel ist Nullpunkt, Kugel trifft im k-ten Versuch zk

Strategien: Trichter unverändert Verschiebe Trichter um –zk Verschiebe Trichter nach –zk

(Verschiebe Trichter nach zk)


Prozess- vs. Annahmekontrolle Prozesskontrolle (PK) reduziert Kosten,

Annahmekontrolle (AK) kommt zu spät PK gibt Hinweise auf Ursachen für

Mängel PK erlaubt Anpassen an Anforderungen PK erlaubt Verbesserungen PK erlaubt Robustifizierung


Shewhart-Karte


Kontrollkarten

Zeitreihen-Darstellung von Prozess- oder Produktcharakteristika

Graphische Hilfe um festzustellen, ob Prozess „in Kontrolle“

Variabilität durch common (usual) causes vs. Variabilität durch special (assignable) causes

Alarm => Suche nach Ursachen Mittel, den Prozess (1) besser zu

verstehen und (2) zu verbessern


Bedeutung der Kontrollkarten

Anwendung heißt: Analyse des Prozesses oder Produktes

Produktentstehung ist wichtiger als Produkt (Deming: „nur 6% der Fehler durch special causes“)

Einfache Technik


Anwendung der Kontrollkarte

Was (welche Charakteristika) soll kontrolliert werden?

Welche Standards sind zu erfüllen? Welche Messungen? Welcher Messvorgang? Welche Verarbeitung der Messungen?


Kontrollkarten bei Dienstleistungen

Anwendungen bei IBM Kingston Vorschlagswesen (Dauer der Realisie-

rung) Medizinische Einstellungsuntersuchung

(Dauer) Auftragsabwicklung (Anzahl der Fehler) Etc.


Typen von Kontrollkarten Mittelwerts-Karte ( Karte) s-Karte (Standardabweichung) R-Karte (range) c-Karte (counts) p-Karte (proportion)

Für metrische Merkmale: Mittelwerts-, s- und R-Karte: Mittelwert und Variabilität müssen kontrolliert werden!

x


Aufbau einer Kontrollkarte

Mittellinie (center line) untere Kontrollgrenze (lower control

limit, LCL) obere Kontrollgrenze (upper control

limit, UCL) Als Kontrollgrenzen sind 3-Grenzen

üblich (siehe unten)


Verwendung einer Kontrollkarte

1. In regelmäßigen Intervallen: Ziehen einer Stichprobe (n=4 oder 5)

2. Für k-te Stichprobe: MWk, sk, Rk

3. Eintragen in Kontrollkarten


Beispiel: Mittelwerts-Karte

nach zGWS gilt (näherungsweise): bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Mittelwerte im Intervall

Ersetzen von durch , durch gibt

nn

3,

3

x

n

sxUCL

n

sxLCL

3,

3

s


Beispiel: Mittelwerts-Karte, Forts.

Alternativ schreiben wir mit A3 (aus der Tabelle)

Die Größen und werden in der Initialisierungsphase ermittelt

sAxUCLsAxLCL 33 ,

x s


s-Karte

Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Standardabweichungen sk zwischen

B3 und B4 aus der Tabelle

sBUCLsBLCL 43 ,


R-Karte

Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Spannweiten Rk zwischen

D3 und D4 aus der Tabelle ist der Mittelwert der Rk aus der

Initialisierungsphase R-Karte ist einfacher, s-Karte zeigt eher

Änderung an

RDUCLRDLCL 43 ,

R


Bewertung von Kontrollkarten

Lauflänge (run length) RL: Zahl der Stichprobenwerte, bis eine Kontrollgrenze überschritten wird (die Kontrollkarte einen Alarm gibt)

Wahrscheinlichkeitsverteilung von RL:P(RL=k) = (1-w)k-1w, k = 1, 2, ...

mitw = P(Stichprobenwert liegt außerhalb Kontrollgrenzen)


ARL, mittlere Lauflänge

ARL (average run length)ARL = E(RL) = 1/w


Beispiel: Mittelwerts-Karte

Prozess in Kontrolle mit 0 und w = 1 P(LCL UCL)

= 0.0027und ARL = 1/0.0027 = 370

Prozess außer Kontrolle: = 0 + w = 1 P( 3 n Z 3 n)

x


Praxis der Kontrollkarten

Konstruktion: Auswahl des Stichproben-Intervalls Auswahl des Stichproben-Umfanges Art der Stichprobe

Verwendung: Kleiner Stichproben-Umfang (4 oder 5): toleriert

kleine d Kosten für (1) einzelne Messung, (2) Unterbre-

chung des Prozesses, (3) nicht entdecktes out-of-control Produkt

"rationale" Wahl der Stichproben


Kontrollkarten für Attribute

p- und np-Karte: zur Kontrolle des Anteils von defekten Stücken

c-Karte: bei komplexen Produkte (zB ganzer PKW): zur Kontrolle der Anzahl der Defekte (nonconformities) an einem geprüften Stück

u-Karte: wie c-Karte, aber auf Einheit bezogen; i-te Stichprobe umfasst ni Einheiten


Variablen- vs. Attributkontrolle

Variablenkontrolle: berücksichtigt mehr Information reagiert „rechtzeitig“ kleinere Stichproben

Attributkontrolle auch auf metrisch-skalierte Variable anwendbar

(brauchbar ja/nein) einfacher mehrere Merkmale gemeinsam robuster


Mittelwerts-Karte mit Warngrenzen

Bedingungen für „außer Kontrolle“ eine Beobachtung außerhalb 3-Grenze mindestens zwei von drei

Beobachtungen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 2-Grenze

mindestens vier von fünf Beobachtungen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 1-Grenze

mindestens acht Beobachtungen in Reihe ober- oder unterhalb CL


Warngrenzen: weitere Bedingungen

mindestens 15 Beobachtungen in Reihe innerhalb 1-Grenze ("hugging")

mindestens 15 Beobachtungen in Reihe außerhalb C ("Misch"-Prozess)

lange Folge von hoch-tief Beobachtungen ("Sägezahn")

Zyklen, Trend


Effekte der Warngrenzen

Prozess außer Kontrolle wird rascher entdeckt (ARL kleiner)

Achtung! Auch ARL bei Prozess in Kontrolle wird kleiner!


Beispiel: Mittelwertskarte

Entscheidung nach 1.: ARL(0) = 370ARL() = 33.9

Entscheidung nach 1. bis 4.: ARL(0) = 100

ARL() = 9


Prozessüberwachung

Ermittlung von x-barbar und s-bar nur mit Beobachtungen aus Prozess in Kontrolle

Kontrollgrenzen nachjustieren! Beispiel: Gewicht von Brotlaiben

Aus Beobachtungen 1 bis 25: x-barbar = 100.92 kg, s-bar = 1.74 kg, LCL = 98.44, UCL = 103.41

Aus Beobachtungen 1 bis 20: x-barbar = 100.17 kg, s-bar = 1.70 kg, LCL = 97.74, UCL = 102.60


Spezielle Kontrollkarten

Kontrollkarten für Einzelwerte Gleitende Spannweiten (moving range, MR)

Karte: MRi = |xi-xi-1|, i = 1, 2, ..., LCL = 0, UCL = 3.267 MR-bar

Karte für individuelle Beobachtungen, LCL = x-bar 3 (MR-bar/1.128), UCL = …

CUSUM-Karte EWMA-Karte (: Glättungsparameter)

EWMAi = xi + (-l) EWMAi-1


EWMA- und CUSUM-Karten

Vorteil: kleines ARL bei kleinen Störungen

Nachteil: komplizierter


Neuere Entwicklungen

Kontrollkarten für seriell korrelierte Qualitäts-Charakteristika

Kontrollkarten für multivariate Qualitäts-Charakteristika

Kosten-optimale Kontrollkarten


Prozessfähigkeit

Fähigkeit des (Produktions-) Prozesses, die Anforderungen des Kunden zu erfüllen

Anforderungen des Kunden Zielwert (Tg, target value) Untere Spezifikationsgrenze (LSL, lower

specification limit) Obere Spezifikationsgrenze (USL, upper

specification limit)


Prüfen der Prozessfähigkeit

Graphische Darstellung des Prozesses zB Histogramm: optischer Eindruck der Prozessfähigkeit des Anteils, der die Anforderungen nicht

erfüllt Fähigkeitsindizes Pre-control Karte


Fähigkeitsindizes

sind Indexzahlen, die das Ausmaß messen, in dem ein Prozess die Anforderungen des Kunden erfüllt.

Cp-Fähigkeitsindex Cpk- Fähigkeitsindex Cpm- Fähigkeitsindex CR- Fähigkeitsindex


Cp-Fähigkeitsindex

Cp = (USL − LSL)/(6)

misst die zulässige Streuung des Prozesses als Anteil an der tatsächlichen Streuung


Cp-Fähigkeitsindex: Beispiel

Normalverteilte Qualitätsvariable wenn = Tg, enthält der ±3-Bereich

99.73% der Produkte Cp = 1 bedeutet: 0.27% sind defekt

wenn = Tg

Achtung! Cp sagt nichts darüber aus, wie groß der Anteil der defekten ist!


Cp und Anteil der Defekten

Cp Bereich Def.ppm

1.00 ±3 2699.93

1.33 ±4 63.37

1.67 ±5 0.57

2.00 ±6 0.002


Cp-Fähigkeitsindex: Forts.

Viele Unternehmen verlangen ein Cp von 1.33!

Schätzung von Cp: wird durch s ersetzt

Cp-hat = (USL − LSL)/(6s) Beispiel:

Cp-hat(Breite) = (4.03-3.97)/6(0.008) = 1.25; Cp-hat(Stärke) = (0.265-0.235)/6(0.00421) =

1.19.


Cpk-Fähigkeitsindex

Cpk = Min {USL − , − LSL}/(3)

geschätzter Cpk: und werden durch x-bar und s ersetzt

Cpk-hat = Min {USL − x-bar, x-bar − LSL}/(3s)


Cpk-Fähigkeitsindex: Beispiel

Cpk-hat(Breite) = Min{4.03-3.9947, 3.9947-3.97}/3(0.008) =Min {0.0353, 0.0247}/0.024 = 1.03

Cpk-hat(Stärke) = Min {0.265-0.24894, 0.24894-0.235}/3(0.00421) = 1.10.


Cpm-Fähigkeitsindex

Cpm = (USL − LSL)/(6)

mit (*)2 = 2 + ( − Tg)2 Es gilt

Cpm = Cp /√[1 + ( − Tg)2/ 2] je größer | − Tg|, umso kleiner wird Cpm

gegenüber Cp


Cpm-Fähigkeitsindex: Schätzung

Cpm-hat = (USL − LSL)/(6s)

mit (s*)2 = i (xi − Tg)2/(n − 1), oder

Cpm-hat = (USL − LSL)/{6√[s2 +

(x-bar − Tg)2]}


Cpm-Fähigkeitsindex: Beispiel

Cpm-hat(Breite) = (4.03−3.97)/ {6√[(0.008)2 + (3.9947−4.00)2]} = 1.04

Cpk-hat(Stärke) = (0.265−0.235)/ {6√[(0.00421)2 +(0.24894−0.25)2]} = 1.15.


CR-Fähigkeitsindex, Target-Z

Fähigkeitsverhältnis (capability ratio)

CR = 1/Cp

Anteil der zulässigen Streuung des Prozesses, den die tatsächliche Streuung ausnützt

Target-Z: Maß für Abweichung zwischen und Tg

Target-Z = (Tg − )/


CR-Fähigkeitsindex, Target-Z

CR und Target-Z gemeinsam erlauben die Beurteilung der Prozessfähigkeit

je kleiner CR und je kleiner |Target-Z|, umso besser

Beispiel: Procter & Gamble: CR < 0.75 (entspricht Cp > 1.33);

|Target-Z| < 0.5 ( muss innerhalb von /2 von Tg liegen)


CR und Target-Z: Beispiel

CR-hat(Breite) = 0.8 Target-Z-hat(Breite) =

(4.00−3.9947)/(0.008) = 0.66

CR-hat(Stärke) = 0.84 Target-Z-hat(Stärke) =

(0.25−0.24894)/(0.00421) = 0.25


Six Sigma

Teil des TQM-Konzepts von Motorola Anforderungen:

so, dass LSL und USL mindestens 6 von Tg (USL−Tg, Tg−LSL ≥ 6)

x-bar höchstens 1.5 von Tg (|x-bar – Tg| < 1.5)

Prozess mit normalverteilter Qualitäts-variabler produziert maximal 3.4 defekte Stücke per Million!


Six Sigma: Forts.

Bei X ~ N(Tg + 1.5, 2)

P(defektes Stück)= 1 – P(Tg−6 X Tg+6)

= 1 – P(-7.5 X 4.5) 1 – (4.5) = 0.0000034

Beachte! Cpk = 1.5


Fähigkeitsindizes in der Praxis

Gutes Instrument zur Dokumentation Wahl von LSL und USL entscheidend Normalverteilungsannahme Stabiler Prozess vs. fähiger Prozess Schätzung der Fähigkeitsindizes


Normalverteilungsannahme

Bei Nichtzutreffen irreführend! Beispiel

X ~ U(-1, 1), so dass = 0, = 0.577 seien LSL = -1.5, USL = 1.5 die Wahrscheinlichkeit für defekte Produktion ist

Null! Aber Cp = 3/(6*0.577) = 0.87!

Achtung! Bei light-tail Verteilungen ist der Prozess fähiger, als es Fähigkeitsindizes anzeigen; und umgekehrt.


Schätzung der Fähigkeitsindizes

einfache Stichprobe nicht ausreichend aus Prozesskontrolle:

(n) (A3) (s-bar)/3 oder (n) (A2) (R-bar)/3 als Schätzer für (besser als s-bar!)

x-barbar als Schätzer für Voraussetzung: stabiler Prozess!


Konfidenzintervall für Cpk

Cpk {1 ± 2√[1/(9nCpk2)+1/(2(n-1))]}

n: Zahl der Beobachtungen zum Schätzen von Cpk

Voraussetzung: Normalverteilter Prozess


Pre-Control Karte Kontrolle der Fähigkeit; analog zur

Mittelwertskarte CL: Tg PC-lines: Tg ± |USL- Tg|/2 schließen grüne

Zone ein Gelbe Zonen: PC-line bis LSL bzw. USL Rote Zonen: außerhalb LSL bis USL


Pre-Control Karte: Verfahren Probelauf (PLauf):

5x in GrZ: Beginne Standardprüfung Wiederhole, wenn 1x in GeZ Justiere, wenn 2x in GeZ oder 1x in RZ

Standardprüfung: Ziehen von Paaren 2 in GrZ oder je 1x in GrZ und GeZ: OK 2 in gleicher GeZ: justiere Niveau, PLauf 2 in versch. GeZ: justiere Prozess, PLauf ≥1 in RZ: justiere Prozess, PLauf

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