Psychologische Methodenlehre Und Statistik I

Bivariate Deskriptive Statistik

Psychologische Methodenlehre und Statistik I

Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides

18. November 2009

Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides Psychologische Methodenlehre und Statistik I 1/48


Bivariate Haufigkeitstabelle (Kontingenztafel)Grafische DarstellungMaßzahl fur linearen Zusammenhang metrischer VariablenZusammenhangsmaß fur rangskalierte VariablenZusammenhangsmaß dichotome-metrische VariableZusammenhangsmaß fur zwei dichotome Variablen

Ziele

I Gemeinsame Betrachtung zweier Variablen

I Aufschluss uber Art und Starke des Zusammenhangeszwischen den beiden Variablen

I Bei metrischen Merkmalen: Beschreibung einer funktionalenBeziehung und darauf beruhende Prognosen fehlender Werte




MethodenI Zweidimensionale numerische und grafische Darstellung

I Bivariate Haufigkeitstabelle (Kontingenztafel, Kreuztabelle)

I Grafiken zur Beschreibung der Art des Zusammenhanges

I Maßzahlenermittlung zur Beschreibung der Starke desZusammenhanges zwischen den beiden Variablen

I Bei metrischen Variablen Darstellung des Merkmales X alsFunktion des Merkmales Y : X = f (Y )




KontingenztafelI Zwei Merkmale

I X mit Auspragungen x ′j , j = 1, . . . , k ,

I Y mit Auspragungen y ′l , l = 1, . . . ,m

I Messwertepaare (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)I Beispiel: Variablen Erhebungsgebiet und

Religionszugehorigkeit aus ALLBUS (2006)X = Erhebungsgebiet (x ′1 = Westd., x ′2 = Ostd.);Y = Religionszugehorigkeit (y ′1 = Evang., y ′2 = Rom.-Kath.,y ′3 = andere, y ′4 = keine)

I Bivariate Haufigkeitstabelle: X = Zeilen, Y = SpaltenI fjl , abs. H., oder rjl , rel.H. der Merkmalskombinationen in den

ZellenI z.B. f11 = Anzahl befragter Personen in Westdeutschland, die

evangelisch sind




Y = Religionszugehorigkeit1: 2: 3: 4:

Rom.-Evang. Kath. andere keine Gesamt

X = Erhe- 1: Westd. 905 838 165 377 2285bungsgebiet 2: Ostd. 284 45 25 765 1119

Gesamt 1189 883 190 1142 3404

Allgemein:

Yy ′1 y ′2 y ′3 y ′4 Gesamt

X x ′1 f11 f12 f13 f14 f1.x ′2 f21 f22 f23 f24 f2.Gesamt f.1 f.2 f.3 f.4 f.. = n




Zusammenfassung

y ′1 y ′

2 . . . y ′l . . . y ′

m

∑ml=1

x ′1 f11 f12 . . . f1l . . . f1m f1.

x ′2 f21 f22 . . . f2l . . . f2m f2.

......

......

......

......

x ′j fj1 fj2 . . . fjl . . . fjm fj.

......

......

......

......

x ′k fk1 fk2 . . . fkl . . . fkm fk.∑k

j=1 f.1 f.2 . . . f.l . . . f.m f.. = n

fjl = absolute H. der Merkmalskombinationen

fj . =∑m

l=1 fjl und f.l =∑k

j=1 fjl = univariate Randhaufigkeiten.Die eindimensionalen Haufigkeitsverteilungen heißenRandverteilungen.




Bedingte relative Haufigkeiten II rel. Haufigkeit des Merkmales X = x ′j unter der Bedingung

Y = y ′l

rX=x ′j |Y=y ′

l=

fjlf.l

(f.l > 0)

I Beispiel: Welcher Anteil der evangelischen Personen kommtaus Westdeutschland?

rX=Westd.|Y=Evang. =905

1189




Gesamt 1189 883 190 1142 3404




Bedingte relative Haufigkeiten III und vice versaI rel. Haufigkeiten des Merkmales Y = y ′l unter der Bedingung

X = x ′j

rY=y ′l |X=x ′

j=

fjlfj .

(fj . > 0)

I Beispiel: Welcher Anteil der Personen in Westdeutschland istevangelisch?

rY=Evang.|X=Westd. =905

2285Y = Religionszugehorigkeit1: 2: 3: 4:



Gesamt 1189 883 190 1142 3404




Empirische Unabhangigkeit I

I X und Y sind unabhangig, wenn die bedingtenHaufigkeitsverteilungen gleich den unbedingtenHaufigkeitsverteilungen sind

fjlf.l

=fj .n

bzw.fjlfj .

=f.ln

I Bei Unabhangigkeit gilt auch:

fjl =fj .f.ln

fur alle j = 1, . . . , k, l = 1, . . . ,m.




Empirische Unabhangigkeit II

y ′1 y ′2 . . . y ′l . . . y ′m∑m

l=1

x ′1 f11 f12 . . . f1l . . . f1m f1.x ′2 f21 f22 . . . f2l . . . f2m f2....

......

......

......

...x ′j fj1 fj2 . . . fjl . . . fjm fj ....

......

......

......

...x ′k fk1 fk2 . . . fkl . . . fkm fk.∑k

j=1 f.1 f.2 . . . f.l . . . f.m f.. = n




Beispiel: Erhebungsgebiet und Religionszugehorigkeit sindunabhangig, wenn der Anteil der Personen mit evangelischerReligion in Westd. gleich ist wie in Gesamtdeutschland (bzw. auchin Ostdeutschland)rEv .|Westd = 905

2285 = 0.396, rEv .|Ostd = 2841119 = 0.254,

rEv . = 11893404 = 0.349



X = Erhe- 1: Westd. 0.396 0.367 0.072 0.165 1bungsgebiet 2: Ostd. 0.254 0.040 0.022 0.684 1

Gesamt 0.349 0.259 0.056 0.335 0.999

Maßzahl fur Zusammenhang im SSKarin Waldherr & Pantelis Christodoulides Psychologische Methodenlehre und Statistik I 11/48



Beispiel Bivariate Haufigkeitstabelle fur metrische Variablen:Variable X : vom Arzt gewogenes Gewicht; Variable Y : selbstangegebenes Gewicht; n = 20 16-jahrige Madchen

Beispiel: f46,46 = 1Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides Psychologische Methodenlehre und Statistik I 12/48



Nominalskalierte Variablen: Balkendiagramm




Metrische Variablen: StreudiagrammEintragen der n Messwertepaare in kartesisches KoordinatensystemBeispiel: Linearer Zusammenhang

VariablePerson X Y1 2 32 5 63 1 24 3 45 6 7




Starker positiver Zusammenhang

große X -Werte, große Y -Werte; Punkteschwarm ist ellipsenformig;je schmaler die Ellipse, umso starker der Zusammenhang




Starker negativer Zusammenhang

große X -Werte, kleine Y -Werte




Mittelmaßiger Zusammenhang




Geringer Zusammenhang




Nicht-linearer (U-formiger) Zusammenhang




Kovarianz

Gemeinsame Variation der Variablen X und Y - mittleresAbweichungsprodukt

I Hoher Wert → positive Abweichung vom Mittelwert(xi − x > 0),niedriger Wert → negative Abweichung vom Mittelwert(xi − x < 0)

I Starker positiver Zusammenhang: hohe X -Werte → hoheY -Werte und niedrige X -Werte → niedrige Y -Werte




xi − x > 0 ∧ yi − y > 0 → (xi − x)(yi − y) > 0xi − x < 0 ∧ yi − y < 0 → (xi − x)(yi − y) > 0

cXY = 1n−1

∑ni=1(xi − x)(yi − y) großer positiver Wert




xi − x < 0 ∧ yi − y > 0 → (xi − x)(yi − y) < 0xi − x > 0 ∧ yi − y < 0 → (xi − x)(yi − y) < 0

⇒ cXY = 1n−1

∑ni=1(xi − x)(yi − y) großer negativer Wert




cXY =1

n − 1

n∑i=1

(xi − x)(yi − y) Betrag der Kovarianz klein




Eigenschaften der Kovarianz

I Formel zur Berechnung der Kovarianz:

cXY =1

n − 1

n∑i=1

xiyi −nx y

n − 1=

1

n − 1

(n∑

i=1

xiyi − nx y

)

I Betrag der maximalen Kovarianz zweier Variablen ist Produktihrer Standardabweichungen

I Kovarianz einer Variablen mit sich selbst ist die Varianz derVariablen

I Kovarianz nicht direkt interpretierbar (kein standardisiertesMaß)




Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient(Produkt-Moment-Korrelation)

rXY =cXY

sX sY− 1 ≤ rXY ≤ 1

rXY = 0 X und Y kein linearer ZusammenhangrXY > 0 positiver ZusammenhangrXY < 0 negativer ZusammenhangrXY ± 1 perfekter Zusammenhang

Bestimmtheitsmaß: B = r2 gibt Anteil der Varianz von X wieder,der durch Y erklart werden kann und vice versa







Voraussetzungen fur Produkt-Moment-Korrelation

I Berechnung von Mittelwert und Varianz mussen sinnvoll sein⇒ Zwei metrische Variablen

I Linearer Zusammenhang

I keine Ausreisser (= Datenpunkte, die weit abseits derPunktwolke liegen)⇒ Streudiagramm




Ausreisser 1. Art




Ausreisser 2. Art




Datenbeispiel

Variable X : vom Arzt gewogenes Gewicht; Variable Y : selbstangegebenes Gewicht; n = 20 16-jahrige Madchen

vgl. Folie 13: Bivariate Haufigkeitstabelle




Datenbeispiel

∑ni=1 xi = 1 · 46 + 1 · 48 + 1 · 51 + 4 · 52 + . . . =

∑ni=1 yi =

= 1062 = 1061

x = 53.1 y = 53.05∑ni=1 x2

i = 1× 462 + 1× 482 + . . . = 56558∑n

i=1 y2i = 56461

s2X = 8.73 s2

Y = 9.21

sX = 2.95 sY = 3.03∑ni=1 xiyi = 56494

cXY =1

1956494− 20

192816.96 = 8.15

rXY = 0.91⇒ B = 0.83 = 83% erklarter Varianzanteil




Berechnung in SPSS - StreudiagrammBeispiel: Zusammenhang zwischen Selbstwert undKorperzufriedenheit




SPSS - Output Streudiagramm




Berechnung in SPSS - Korrelationskoeffizient




Interpretation von Korrelationen

I rXY = 0 bedeutet nur: kein linearer Zusammenhang

I Keine Kausalinterpretation aufgrund großem rXY moglich

I rXY gibt keine Auskunft uber Ursache-Wirkungs-Beziehungen

I Scheinkorrelation: der Zusammenhang zwischen X und Y istdurch eine dritte Variable Z induziert (Frage nachsachlogischem Zusammenhang)

I Beispiel: Anzahl der Notarzte, die zu einem Einsatzort gerufenwurden, und Anzahl der spateren Todesopfer. PlausibelsteErklarung: beide Variablen werden von Schwere desKatastrophenfalles beeinflusst.




Partielle Korrelation

I Ziel: Korrelation zwischen Variablen X und Y ohne denEinfluss von Z → partielle Korrelation von X und Y unterKonstanthalten von Z (‘Z wird aus der Korrelation herauspartialisiert’)

I Partielle Korrelation:

rXY |Z =rXY − rXZ rYZ√

(1− r2XZ )(1− r2

YZ )




Beispiel: aus Sedlmeier & Renkewitz (2008): Zusammenhangzwischen Haufigkeit des Kirchgangs, X , und Ausmaß anAuslanderfeindlichkeit, Y , in deutscher Kleinstadt rXY = 0.42. Eswird vermutet, dass der Zusammenhang durch eine Drittvariable,namlich Alter, Z , verursacht wird.

rXZ = 0.70; rYZ = 0.44

rXY |Z =0.42− 0.70 · 0.44√(1− .702)(1− .442)

= 0.17

Zusammenhang hat sich vermindert.




Berechnung in SPSSBeispiel: Zusammenhang zwischen Korperzufriedenheit undSelbstwertgefuhl, Kontrollvariable Body Mass Index (BMI)




Rangkorrelation nach Spearman

I Variablen ordinalskaliert oder andere Voraussetzungen furProdukt-Moment-Korrelation nicht gegeben

I Produkt-Moment-Korrelation der Rangplatze R(xi ) und R(yi )I Berechnung:

I Zuordnung von Rangzahlen zu den der Große nach geordnetenMesswerten x(1) ≤ . . . ≤ x(n) und y(1) ≤ . . . ≤ y(n)

I Tritt eine Auspragung x ′j mehrmals auf (Bindung) erhalten alle

Personen mit diesem x ′j als Rangplatz das arithmetische Mittel

der zu vergebenden RangplatzeBeispiel:geordnete Urliste: 10, 12, 12, 13, 15Rangplatze: 1, 2.5, 2.5, 4, 5




I Praktische Berechnungsformel:

rsp = 1−6∑n

i=1 d2i

n(n2 − 1)

mit di = R(xi )− R(yi )

I Kontrolle der Rangplatzvergabe:

n∑i=1

R(xi ) =n(n + 1)

2bzw.

n∑i=1

R(yi ) =n(n + 1)

2

n∑i=1

di = 0

I −1 ≤ rsp ≤ 1




Beispiel fur Rangkorrelation nach SpearmanBundeskanzler X und Vizekanzler Y bewerten die Dringlichkeitvon 10 politischen Problemen. (Hohe Punktezahl = hoheDringlichkeit; von Intervallskala kann nicht ausgegangen werden).Wie sehr stimmen sie uberein?

Problem xi R(xi ) yi R(yi ) di

1 40 9 30 9 02 15 4 7 4 03 22 7 28 8 -14 20 6 10 6.5 -0.55 7 1 4 2 -16 55 10 45 10 07 25 8 10 6.5 1.58 10 3 6 3 09 17 5 9 5 010 8 2 2 1 1




Beispiel fur Rangkorrelation nach Spearman

n∑i=1

d2i = 5.5 rsp = 1− 33

990= 0.967




Punkt-biseriale Korrelation fur Zusammenhang einerdichotomen mit einer metrischen Variable

Abgeleitet aus Produkt-Moment-Korrelation

rpb =x1 − x0

sx

√n1n0

n(n − 1)

Voraussetzung: metrische Variable eingipfelig, symmetrisch, keineAusreisser




BeispielALLBUS (2006): Zufallsstichprobe n = 22, Zusammenhangzwischen Geschlecht und Alter der Befragten; 1 = Mann, 0 = Frau

Person Geschlecht Alter Person Geschlecht Alter1 1 58 12 0 682 0 45 13 0 643 0 54 14 1 454 1 79 15 0 635 1 46 16 0 206 0 34 17 1 377 1 76 18 0 208 0 63 19 1 529 1 49 20 0 5010 0 55 21 1 4411 1 32 22 0 57




n1∑i=1

xi = 518, n1 = 10, x1 = 51.80

n0∑i=1

xi = 593, n0 = 12, x0 = 49.42

N∑i=1

xi = 1111,N∑

i=1

x2i = 61285, sX = 15.70

rpb =51.8− 49.42

15.7

√0.26 = 0.077

⇒ kein Zusammenhang zwischen Geschlecht und AlterBerechnung in SPSS mittels Korrelationskoeffizient nach Pearson




Streudiagramm fur Punkt-biseriale Korrelation




Vierfelderkorrelation

Y1 2

X 1 f11 f12 f1.2 f21 f22 f2.

f.1 f.2 f..

oder

Y+ −

X + f++ f+− f+.− f−+ f−− f−.

f.+ f.− f..

Bei zwei dichotomen Variablen ergibt sich als Spezialfall derProdukt-Moment-Korrelation der Phi-Koeffizient:

rφ =f11f22 − f21f12√

f1.f2.f.1f.2

Vorzeichen von rφ ist abhangig von Vorzeichen der Determinantef11f22 − f21f12 (Uberwiegen der Kombinationen 11 und 22 oder 12und 21)! Vorsicht bei Interpretation!




BeispielALLBUS (2006): Zusammenhang zwischen Geschlecht undHandy-Besitz in Ostdeutschland

Handy-Besitzja nein

Geschlecht Mann 446 96 542Frau 414 165 579

860 261 1121

rφ =(446)(165)− (414)(96)√

(542)(579)(860)(261)=

33846

265404.57= 0.13

→ nur sehr geringer Zusammenhang zwischen Geschlecht undHandy-BesitzBerechnung in SPSS mittels Korrelationskoeffizient nach Pearson


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