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R. Hohmann OTTO-VON-GUERICKE-UNIVERSITÄT MAGDEBURG Fakultät für Informatik Institut für Simulation und Graphik Optimierung einer nachhaltigen Binnenfischerei

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R. Hohmann

OTTO-VON-GUERICKE-UNIVERSITÄT MAGDEBURG

Fakultät für InformatikInstitut für Simulation und Graphik

Optimierung einer nachhaltigen Binnenfischerei

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1 Einleitung

In einem Binnensee wird eine einzige Fischpopulation befischt - Vereinbarkeit von Ökonomie und Ökologie,

• Gesucht ist Investitionsrate in neue Boote zur Gewinnmaximierung – Optimierungsaufgabe,

• Optimum hängt ab von finanziellen und ökologischen Bedingungen (Fischpreis, Bootskosten, Fischertrag),

• Nachhaltigkeit als stationärer Zustand,

• Polyoptimierung wichtet Profit und Fangmenge,

• Moderne Ortungstechnik mit höherem Gewinn, System-Zusammenbruch ohne Boots-Restriktionen.

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2 Dichteabhängiger Fang

• Modell von Bossel 2004 angegeben (Vensim), Suboptima durch Parameterstudien gewonnen.Eigene Implementierung in ACSL und Stella.

Modellspezifika:• logistisches Wachstum der Fischpopulation,

• jährliche Abschreibungen der Boote, • Investitionsanteil des Nettogewinns in neue Boote, • Fangmengen proportional zur Fischdichte:

Fangmenge := Fangpotential∙Fischdichte.

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Kausalitäten im Fischerei-Modell (System Dynamics)

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Dichteabhängiger Fang

2.1 Modellsystem

• Parameter

AR = 100 [km2] Fanggebiet, C = 100 [t Fisch/km2] spez. Fischkapazität, K = C∙AR [t Fisch] max. Fischkapazität, A = 1 [1/Jahr] max. Fischzuwachsrate, F = 100 [t Fisch/(Boot∙Jahr)] max. spez. Fangmenge, O = 50.000 [€/(Boot∙Jahr)] spez. Unterhaltskosten, Q = 100.000 [€/Boot] Bootsneukosten, 1/D = 15 [Jahr] Bootslebensdauer, D = 1/15 [1/Jahr] Abschreibung, P = 1.000 [€/t Fisch] Fischpreis,

I [1 ] Investitionsanteil Boote - Optimierungsparameter.

 

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Dichteabhängiger Fang

• Algebraische Zwischengrößen

[1] Fischdichte, [t Fisch/Jahr] Fischzuwachs, [t Fisch/Jahr] Fangpotential, [t Fisch/Jahr] Fangmenge,

[€/Jahr] Fangerlös, [€/Jahr] Bootsunterhalt, [€/Jahr] Nettoeinkommen, [€/Jahr] Investitionsmittel Boote,

[Boote/Jahr] Neuerwerb Boote, [Boote/Jahr] Stilllegung Boote,

[€/Jahr] Profit – zu maximieren!

 

K/1zh hzr 1A 1

2F zbhbmmv P 2O zu

uvn ng I

Q/gw2D zs gnp

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Dichteabhängiger Fang

• Zustandsgleichungen

[t Fisch/Jahr] d(Fischbestand)/dt

[Boote/Jahr] d(Boote)/dt

• Anfangsbedingungen

z1(0) = 5.000 [t Fisch], z2(0) = 25 [Boote], tm = 50 [Jahre]

• mit und

strukturelles Räuber-Beute-System erkennbar:

mrdtdz /1

swdtdz /2

/QPIJ D/QOIE

21111 F/KK/1A zzzzz

2212 EJF/K zzzz

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Maximierung des Profits/Gütefunktionals.

• Angenommen wird eine unimodale Funktion ,

zum Maximum monoton ansteigend und abfallend,

zulässig auch monotoner Anstieg im Intervall.

• Unbestimmtheitsintervall (Toleranz) des optimalen Investitionsanteils wird schrittweise reduziert.

Numerisches Verfahren:• Methode Goldener Schnitt.

3 Optimierung

f

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3.1 Methode Goldener Schnitt

Zwischenpunkte teilen Intervall in festen Verhältnissen,

1/q = q+1 goldener Schnitt.

wird gesetzt.

Falls neues Suchintervall zwischen und , nun als “ - Punkt”, zu berechnen ein neuer “ - Punkt”.

)(

)(

abqay

abpax

618,02/)15( q

p

)()( yfxf a yx y x

2q

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Methode Goldener Schnitt

• Sie benötigt nur einzelnen neuen Lauf für jeden Vergleich, mit zwei Läufen zu Beginn.

• Die Anzahl der Auswertungen (Läufe) beträgt:

Toleranz

Start-Intervall

Größerer Integer Wert durch “ceiling function “ .

• führt zu Läufen,

• erfordert Läufe.Prozess ermittelt das Maximum mit .

2

1lg

/lg

q

TLmT

)( abL

LT 310 17mLT 410 22m

))/(log( TLO

m

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Methode Goldener Schnitt

• Sequenz von Läufen wird organisiert durch Block-IF und Integer Variable in derTERMINAL–Sektionvon ACSL.

• Profitoptimierung p = 469.642 [€/Jahr], m = 1.688 [t Fisch/Jahr],

z2 = 22 (21.5) Boote.

• Optimale Investitionsrate I = 0.233 vom Nettogewinn, Intervallgrenzen ,

bei dichteabhängigem Fang. der Investitionsrate I.5.0b1.0a

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Methode Goldener Schnitt

Optimierungsprozess für angestrebte 10-3 –Genauigkeit.

Erforderlich sind 15 Reduktionsschritte mit 17 Simulationsläufen, jeweils ein Wertepaar oder erscheint wieder im Folgeschritt des Verfahrens, Toleranz .

Schritt a I1 = x I2 = y b p1 = f (x) p2 = f (y)

0 0.10000 0.25279 0.34721 0.50000 465.571.30 386.333.59

1 0.10000 0.19443 0.25279 0.34721 448.239.88 465.571.30

2 0.19443 0.25279 0.28885 0.34721 465.571.30 442.286.25

… … … … … … …

14 0.23327 0.23345 0.23357 0.23375 469.641.77 469.641.58

15 0.23327 0.23338 0.23345 0.23357 469.641.74 469.641.77

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xfx, yfy,0004.0T

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3.2 Extremwertaufgabe

• Stationärer Zustand erst nach mit :

, .• Optimierung ersetzt durch Extremwertaufgabe des

Profits von unabhängiger Variablen I.

Optimaler Investitionsanteil Iopt für einen maximalen Gewinn analytisch:

Aktuell hiermit Iopt = 0.235 für z1 = 7.833 [t Fisch] und z2 = 22 (21.67) [Boote].

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PIFIODQK1 /z F/KA 12 zz

OPFDQ/DQ2Iopt

t 021 zz

Ipp

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3.3 Polyoptimierung

Mehrkriteriale Kompromisslösung zwischen• Wirtschaftlichkeits-Optimierung und einer• Fangmengen-Optimierung durch Polyoptimierung.

Definitionsgleichungen:

[1] relative Fangmenge,

[1] relative Profitrate,

[1] Güteindex / Gütefunktional

• Mengen- und Profitwichtungen MW und PW.

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K/mmr KP/ ppr

PWMW/PWMW100 prmrG

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Polyoptimierung

Unterschiedliche Wichtung der Optimierungsziele

• Im Falle (a) etwas höherer Investitionsanteil und Bootszahl, wenig verringerter Gewinn.

• Steht Fangmenge im Vordergrund (Fälle b, c), hoher Investitionsanteil in neue Boote – Subventionen!

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Fall MW PW Invest I Profit p Fang m Boote z2 Fische z1

a 1 5 0.277 450.175 1.933 26 (26.2) 7.377

b 4 2 0.705 113.170 2.411 41 (40.5) 5.946

c 5 1 1.000 0 2.456 43 (43.3) 5.667

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4 Dichte-unabhängiger Fang

Ortungstechnik - Fang hängt nur davon ab, wie Fangpotential ausgeschöpft wird (Chance ch = 0.8):

Fangmenge := Fangpotential∙Fangchance

• Modifikationen:

Fangmenge

Neuerwerb Boote

• Begrenzung der Bootszahl auf z2m = 30, 31, 32, 33 und 34 Boote – Stabilisierung des Systems!

• konstanter Investitionsanteil I = 0.3

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0,für/ 22 wsonstzzQgw m

chbm

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Dichte-unabhängiger Fang

• maximale Zuwachsrateder Fischpopulation:

bei halber Fischkapazität ,

mit Modellparametern:

rmax = 2.500 [t Fisch/Jahr],

für z1 = 5.000 [t Fisch].

• Profit für z2 = 31 Boote: p = 650.983 [€/Jahr], m = 2.480 [t Fisch/Jahr], max. Bootszahl z2m = 30, 31, 32, 33, 34.

z1 = 5.465 [t Fisch]. Stabilität mit 30 und 31 Booten.

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4/AKmax r

2/K1 z

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5 Schlussbetrachtung

• Mehrere Aspekte für die Ausbildung interessant:

• Ökologische Ressourcennutzung,

• stationärer nachhaltiger Zustand profit-maximiert,

• Intervallsuchverfahren “Goldener Schnitt” konvergiert beim dichteabhängigen Fang mit ,

• System hat Struktur eines Räuber-Beute-Systems,

• dichte-unabhängiger Fang erfolgreicher an der Stabilitätsgrenze der Boote – jedoch störungsanfällig!

• exemplarisch für öffentliche natürliche Ressourcen – Politik hat Grenzen (hier Bootszahl) zu setzen!

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TLO /log

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Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

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