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R a d i k a l u n d S o c k e l in G r u p p e n a l g e b r e n

i i b e r l o k a l e n d l i c h e n G r u p p e n

Von

WOLFGAI~G M~)LLER

Einleitung. Das allgemeine Interesse an Gruppenalgebren fiber lokalendlichen Grup- pen ist in den letzten gahren immer mehr gestiegen, jedoeh sind die bisherigen Kenntnisse fiber Begriffe wie das gacobson-Radikal oder den Sockel yon solchen Algebren noch sehr dfirftig.

W/ihrend man bei endliehen Gruppen G weil3, dab das Jaeobson-Radikal der Gruppenalgebra KG genau dann yon Null versehieden ist, wenn die Charakteristik des KSrpers K die Gruppenordnung tei lt, ist bei unendliehen Gruppen oder auch nur lokalendliehen etwas Ahnliches nur fiir das l\lilpotenz-Radikal bekannt ([5], Theo- rem 20.2). Beim Jacobson-Radikal liegen die Verh/~ltnisse anders. F fir die Gruppen ~M der finiten Permutationen einer unendliehen Menge M (vgl. [7]) werden wit n~mlieh zeigen, dab ffir alle KSrper K jedes zyklische Linksideal L ~ 0 der Grup- penalgebra K ~M einen direkten Summanden yon K ~M enth/~lt. Folglieh ist das gacobson-Radikal Rad(K| yon K ~M immer gleieh Null. Damit ist eine ent- sprechende Frage aus dem Anhang yon [5] beantworte$. In diesem Zusammenhang sei bemerkt, dab ffir die endlichen symmetrisehen Gruppen | (| ~- | falls M genau n Elemente hat) das Verh/~ltnis der K-Vektorraum-Dimensionen yon Rad(K | und K ~ n mit wachsendem n gegen 1 strebt, falls die Charakteristik des KSrpers K nieht !qull ist, was wir in [4] bewiesen haben.

Dual zum Radikal ist bei endlichen Gruppen der Soekel Soc(KG) yon KG, d.h. die Summe der einfachen Links- bzw. Reehtsideale yon KG; vor allem ist der Sok- kel, da KG artinseh ist, immer ungleich Null. Bei unendlichen lokalendlichen Grup- pen ist zwar noch Soc(K~KG) = Soc(KGKG), aber der Soekel yon KG ist Iqull, falls K algebraisch abgesehlossen ist, oder G die Eigenschaft hat, da$ es zu jeder endlichen Untergruppe U C G eine niehttriviale endliche Untergruppe V C G mit U n V -~ 1 ~bt , deren Normalisator Nc (V) die UntergTuppe U enth~lt, l\Iiehtsdesto- weniger kann der Soekel der Gruploenalgebra fiber einer lokalendlichen Gruppe sogar ein maximales Ideal sein, was wir in dem Fall, da$ G die Prfifer~uppe ~v~ ist, aus- ffihrlich untersuchen wollen.

1. Das Jacobson-Radikal y o n K ~ M. Es seien einige Bemerkungen aus der Dar- stellungstheorie der endliehen symmetrischen Gruppen vorausgeschickt. Wir kSnnen ngmlich die Gruppe ~M der finiten Permutationen einer unendliehen Menge M als

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induktiven Limes ~M = lim ~Z der symmetrischen Gruppen ~E auffassen, bei denen E alle endlichen Teilmengen yon M durchls Entsprechend gilt f'dr die Gruppenalgebra: K ~M = lim K | Zur Vereinfachung der Sehreibweise setzen wir jedoch K ~M ~ - - U K |

E

Ist K ein KSrper mit der Charakteristik 0, so erhalten wir primitive Idempotente der halbeinfachen Gruppenalgebra K | mit Hflfe der Tableaus T der Young- Diagramme [2]. ])as zu T gehSrige primitive Idempotent hat die Gestalt

ez = H~-I ~ p q ~ q , lo,q

wobei iiber alle Permutationen p e ~E, die die Zeilen yon T invariant lassen, und alle Permutationen q e ~ z , die die Spalten yon T invariant lassen, summiert wird; aq = 4- 1, je nachdem q gerade oder ungerade ist; H~ ist das Hakenprodukt des zu T geh6rigen Diagramms [2] - - es ist eine ganze Zahl. Falls K die Charakteristik to > 0 hat, ist genau dann H~ ~= 0, wenn [2] mit seinem p-Kern iibereinstimmt. In diesem Fall hat der zu [2] gehSrige Block den Defekt 0, und das Linksideal K ~ E ' e , 2 ist ein einfaeher direkter Summand yon K ~ z . p-Kerne shad z.B. Dia- gramme der Form

[~] = [ n ~ - l , (n - 1)~-1 . . . , 2~-1 , l ~ - q .

Dieses gehSre zu einer Gruppenalgebra K ~ F mit E C F ; dabei sei n so groB ge- wghlt, dab zu solch einem Diagramm [/~] ein Tableau T existiert, in dessen Dia- gonale wir die Menge E = {el, e2 . . . . } angeordnet finden:

e l . . . .

e 2 �9

s �9

K | ist dann ein einfaehes Linksideal in K@F und alle dazu isomorphen Link~ideale bilden einen halbeinfachen Block K ~ F " e mit dem zentralen Idem- potent e.

(1.1) Satz. Ist K ein K6rper und ~M die Gruppe der liniten Permutationen einer unendlichen Menge M, so is~ das Jacobson-.Radikal der Gru22enalgebra K ~M gleich Null.

Beweis . Wir setzen A = K~M. Hat K die Charakteristik 0, d a n n i s t A von- l~eumarm-reg~lgr ([5], Theorem 24.4). Es fo l~ Rad(A) = 0.

Ha t K die Charakteristik 2 > 0, so zeigen wir, dab jedes zyklisehe Linksideal A a ~ 0 einen direkten Summanden yon A enthglt, woraus sofor~ die Behauptung fo i l .

Zu dem :Element a gibt es eine endliche Teflmenge E C .M mit a e K ~F, C A. Seien iv, eT und e wie am SchluB der Vorbemerkung gewahlt, dann brauchen wir lediglich e t a ~= 0 naehzuweisen. Damit ist K ~F " ea = K ~F " ae ein direkter Sum- mand in dem Block K ~ F " e. :Er wird yon einem Idempotent e ' e K ~ F erzeu~. Wegen A ~- A a ~ A (! -- e') ist also A a nicht klein.

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Wir k6nnen ohne Einschrinkung annehmen, dab in dem Element a der Koef- fizient des Einselementes (1)e | gleich 1 e K ist:

a - - - - - (1) + ~ g ' g , k g e K .

Wir zeigen nun, dab der Koeffizient des Einselementes in

e t a -~- H ~ 1 ~ ~qkapqg

gleich H• 1 ist, denn aus pqg = (1) folgt pq e ~E, und bei dem vorgegebenen Ta- bleau ist dies nur fiir T = q = (1) der Fall. Dies sieht man so: p ist ein Produkt yon elementfremden Zyklen P1P~.. . Ps, in denen jeweris h6chstens ein Element aus E vorkommen kann. ])as gleiche trifft auf q = qzq2 -.. qt zu. AuBerdem kann es in jedem Paar (i~, qi) hSchstens ein gemeinsames Element geben, da zwei Elemente nicht gleichzeitig in einer Zeile und einer Spalte vorkommen k6nnen. Die Permuta- tion pq liI3t nun jedes der Elemente in • \ E invariant. Ware p 4= (1) und q 4= (1), so gibe es ein Element k e F \ E mit q(k) =~ k, aber p~/(k) = k, d.h. k und q(k) stehen sowohl in einer Spalte wie auch in einer Zeile, was nicht sein kann. Die rest- lichen ~Mle sind trivial. ])amit ist alles bewiesen.

Aus diesem Beweis folgt auch unabh in~g yon [5], da~ das l~ripotenz-Radikal yon K ~M gleieh Null ist, da es in jedem yon Null verschiedenen Links- oder l~echts- ideal idempotente Elemente gibt.

2. Der Seekel yon Gruppenalgebren fiber lokalendliehen 6ruppen.

(2.1) Lemma, Sei K ein K6r29er, G eine lokalendliche Grup2oe , G O eine endliche Unter- gru292e yon G, und a ~= 0 ein Element der Gru2openalgebra K Go C K G. 2)as Linksideal K G a ist genau dann ein]ach, wenn KGia in KG~ ein]aeh ist ]i~r alle endlichen Unter. grup2oen G~ mit Go C G~ C G.

Bewei s . Ist K G a einfach und 0 4= KGib C KG~a, so ist KGb = KGa, und es existiert ein r e K G mit a = rb. Wir schreiben nun r als Summe yon zwei Ele- menten r = r ' + r" mit r' e KG~ und

T" = ~ kg g, ]~g ~ K , g e G\Gr g

])amit sehen wit sofort, dab a = r'b ist, woraus KG~b = KGr folgt. Sei jetzt KGta einfach f'tir alle endlichen Gruppen G~ D= Go, und sei 0 4= KGb C

C KGa. ])a G lokalendlich ist, gibt es eine endliche Gruppe Gm D= Go rest a, b e KGra. :Nach Voraussetzung ist dann aber KGmb = KGma mad somit auch KGb -~ KGa, was zu beweisen war.

Wit kSnnen hieraus auch schlieBen, dab der Reehtssoekel mit dem Link,~sockel yon K G ffir alle lokalendlichen Gruppen G iibereinstimmt, da dies bekanntlieh fiir alle endlichen Gruppen grit.

(2.2) Satz. Sei K ein algebraisch abgeschlos~ener KSrper und G eine unendliche lokal- endliche Grup2oe. Dann ist der Soclcel der Grulopenalgebra K G gleich Null.

Beweis . Wir nehmen an, K G a sei ein einfaches Linksideal. Nach (2.1) ist also KG~a einfach in KG~ fiir alle endlichen Gruppen G~ D= Go nfit a e KGo. Wfrhlen wir

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G~ so, da]~ [Gi : Go] > [Go : 1] ist, dann haben wir

dim-< KGi = [Gi : 1] < [G, :G0] 2 _--< ([G~ :Go]" dim-<KGoa)e =

= (dim.< KG~a) ~ .

Diese Ungleichung liefert einen Widerspruch zu der Tatsache, dal3 fox alle endlich dimensionalen Algebren A fiber einem algebraisch abgeschlossenen KSrper K und alle einfachen A-Linksmoduln E die Beziehung dim-<A ~ (dim-<E) u gilt.

Auf Grund der entsprechenden Theorie bei den endlichen Gruppen genfig~ es statt ,,K algebraisch abgeschlossen" zu fordern, dal3 tier KSrper K fOx alle endlichen Untergruppen Gi v~ G eine [G, : 1]-re primitive Einheitswurzel enth~lt.

(2.3) Satz. Sei K ein KSrper und G eine lokalendliche Gruppe mit der Eigenscha/t, daft es zu ]eder endlichen Untergrup2e U C G eine nichttriviale endliche Untergruppe V C G mit U c~ V ---- 1 gibt, deren Normalisator Na (V) die Untergrup10e U enthglt. ])ann ist der Sockel der Gru1010enalgebra KG gleich Null.

Beweis. Sei 0 ~ a e K U C KG, wobei U eine endliehe Untergruppe yon G sei, und sei die Untergruppe V zu U wie in der Voraussetzung gew~hlt. Da v - Z g

geV m i t a kommutiert, zeigt man leieht, dal3 das zyklisehe Linksideal KGa echt das Linksideal KGva enth~lt, gleichgfiltig, ob die Charakteristik des KSrpers K die Ordnung yon V teilt oder nicht. :Folglich gibt es keine einfachen Linksideale in KG.

Eine Gruppe, die die Voraussetzungen des obigen Satzes erfiillt, ist z.B. die im ersten Absatz betraehtete Gruppe | FOX alle KSrper K ist also Soe (K ~M) = 0. Man h/itte dies auch mit dem im Beweis yon Satz (1.l) verwendeten Verfahren leicht zeigen kSnnen.

Eine lokalendliehe Gruppe, die nieht zu diesem Typ gehSrt, ist die Prfifer~uppe ~p~. Wir woUen jetzt die Struktur der Gruppenalgebra fiber dieser Gruppe eingehend behandeln. Der Sockel dieser Gruppenalgebra kann bei geeig,neter Wahl des KSrpers sogar ein maximales Ideal sein.

~ ist die abelsche Gruppe O~/Z, wobei Qp = {1/10;;t] e Z, k e 1~} als additive Untergruppe yon Q aufgefal~t wird; io ist dabei eine Primzahl. Die Untergruppen Gn, die yon den Elementen gn----1/10 n + Z erzeug~ werden, sind die einzigen echten

Untergruppen yon ~ , d.h. wit k6nnen ( ~ = ~J Gn setzen. n = l

Ist die Charakteristik des KSrpers K gleich 10, dann bildet bekanntlich der Ideal- verband yon K~pcr eine Kette, wobei die Kette der nichtzyklisehen Ideale s zum halboffenen Intervall [0, 1) der reellen Zablen ist. Das Jacobson-Radikal ist das maximale Ideal in K ~ , w~hrend der Sockel gleich Null ist.

Ist die Charakteristik des KSrpers ungleich 1o, dannist die Gruppenalgebra K~p~ radikalfrei, da sie regular ist. ])er Sockel yon K~p~ aber han~ wesentlich vom K6rper ab. Dazu werden wir im Fall, da~ K ein Unterk6rper des K6rpers C d e r komplexen Zahlen ist, eine Charakterisierung angeben. Das folgende Lemma geht dabei wesentlich ein.

(2.4) Lemma. Sei K ein K6rper mit der Charakteristilc O, Gn die zyklische Gru10pe mit der Ordnung 10n, und KGn die zugeh6rige Gru1910enalgebra. 1)ann gilt:

4 8 0 W . I~/~(~LLER ARCH. MATH.

a) Bs gibt eine bi]ektive Abbildung

en: { P I P e K [ X ] , P / ( X~" -- 1)) -+{e l eeKGn, e ---- ee},

wobei die irreduziblen Polynome und die 2rimitiven Idempotente einander ents29rechen.

b) Ist (X p" -- 1) = 1-I P~ das Produkt der irreduziblen Polynome P~ e K[X], dann ra i = 1

ist K Gn ---- @ K Gn 8n ( Pt), und der Block K Gn en ( P~) ist isomor2h zum Zer/Sllungs- i = t

kSr•er K[XJ/(Pt) des Polynoms P~ i~ber K [fer alle i = 1, 2 , . . . , m.

Beweis . a) Seien a~ = at(X1, . . . , X~) die elementarsymmetrischen Polynome in

X1 . . . . . X~ und s~ ---- st (X1 . . . . . X~) = ~. X~ die Potenzsummen. Dann ist bekalmt- j=l

t r lich a~ = ai(sl . . . . , st) ein Polynom in ~[sl . . . . . at] und st = si(al . . . . . ai) ein Poly- nora in Z [ a l , . . . , at]. Wit setzen a0 = 1.

Ist nun L ~ K ein algebraisch abgeschlossener KSrper und ~ e L eine primitive pn-te Einheitswurzel, dana sind die primitiven Idempoten te / i in LGn D= KGn yon

pn

der l~orm ]~ = to -n ~ ~i~g~ und jedes Idempotent in KGn ist Summe solcher Idem- k = l

potente. Is t {~1 i e I C 1~) eine Menge verschiedener 2n-ter Einheitswurzeln (r sei die Anzahl der Elemente yon I), so ordnen wir dem Polynom

P = 1 - I ( x - = _ o k i e x) i r / r

das Idempotent

i ~ I k = l

zu. Auf Grund der oben angedeuteten Beziehung zwischen at -mad s~ liegt en (P) genau dann in K G , , wean P ~ K IX] ist. Diese Abbfldung hat die Eigenschaft, dab ffir P = P1P~ und P/(X v~ -- 1) gilt: en(P1P2) = en(P1) + en(P~). Daraus ergibt sich leicht die Behauptung a).

b) Es geniigt zu bemerken: Die Ideale KGnsn(P~) sind KSrper,

[KGn en (P~) : K] = grad P~,

g;xen(P~) ist Nullstelle des Polynoms P~ s K [ X ] C KGnen(P~)[X], und die Poly- nome P~ zerfaUen (als Faktoren der Kxeisteilungspolynome) sehon dann, wenn ein linearer Faktor abspaltet.

Wit betrachten jetzt die Einbetr der (aN multiplikativ angesehenen) Gruppen Gn-+ G~+I mit g~ ~-> (gn+l)~ und der Grupl0enalgebren KGn-+ KGn+I. Bin Idem- potent e ~ KGn ist auch Idempotent in KGn+z, und ffir alle l~aktoren P yon (X v = - 1) galt : en+ l ( P ( X ~ ) ) = en ( P ( X) ). Damit kSnnen wit den folgenden Satz beweisen.

(2.5) Satz. Sei K C (~ ein Unterk6r2oer des KSrpers der komplexen Zahlen, ~eien t tn C (~ die KreisteilungskSrper der pn.ten Einheitswurzeln ]iir alle natiirlichen Zahlen n, und sei G = ~p~ die Prii/ergruppe zur Primzahl I~. Falls die Folge der KSrt)er K (3 t tn ,

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n = 1, 2 , . . . stationar wird, ist KG/Soe(KG) isomor29h zu K; im andern Fall ist Soc (KG) gleich Null.

Be weis . Sei Kn = KCSHn. Dann hat jeder irreduzible Faktor Pi ~ K [ X ] des Kreisteilungspolynoms ~ den Grad [Hn:Kn].

I s t nun K Ga ein einfaehes Ideal (0 ~ a e KGn, a kann ohne Einsehri~nkung als Idempotent gewahlt werden), dann mfissen naeh (2.1) fOr alle m ~ n die Ideale KGma C KGm einfach sein, d.h. aber dab die Polynome eml(a) irreduzibel sein mfissen. Wenn s~ 1 (a) Fak tor yon r 1 --< s ~< n, ist, so ist

Snlm_s (a)(X) --~ e~ -1 (a)(Z p ' - ' )

einer yon ~5~. Es folgt:

[Hm : Kin] = pm-s . g r a d ( s [ i (a)) = prn-s[Hs : Ks] =

= [ H ~ : H~] [Hs: K~] = [ H ~ : K~].

Damit ist die Folge Km for m ~ s stationer, und der zweite Teil ist gezeigt. Sei jetzt die Folge Km for m ~ n stationer. Werm das Kreisteilungspolynom

k

r = I - i P ~ ( x ) i = l

das Produkt yon k irreduziblen Faktoren ist, so ist aueh

r = I-I P~ (Xp~-') i = 1

das Produkt yon k irreduziblen Faktoren. H a t man nun ein Idempotent e e KGs mit der Eigensehaft, dab ( X - - 1 ) nieht Faktor yon e71(e) ist, so ist e als Element in KGs+m eine Summe yon hSehstens s . k orthogonalen primitiven Idempdtenten for alle m >___ n, d.h. aber dab KGe halbeinfaeh ist. Betraehte nun den KG-Epi- morphismus ~: K G - - > K mit s c { Z k a g ] = : k a , darm liegen alle solchen Idem-

\g~a / gsG potente im Kern yon :~, den sie aueh erzeugen, was man ohne Sehwierigkeiten zeigt. Diese Idempotenten erzeugen andererseits den Soekel yon KG. Damit ist der Satz bewiesen.

Zur Struktur yon KG bemerken wir noch folgendes: Fal]s die Folge K n H n sta- t ioner wird, dann ist der Soekel yon KG isomorph zu einer abzi~hlbar unendlichen direkten Summe yon /~ , wobei /~ ~ K den kleinsten KSrper bezeiehnet, in dem alle Kreisteiluugspolynome ~ , , n ~ 1 zerfallen. Dieser karm bei komponentenweiser Multiplikation als Ring (ohne Eins) betraehtet werden. Adjungiert man dazu ein Einselement 1 zusammen mit den K-Vielfachen K . 1, so erh~lt man einen zu KG isomorphen l~ing.

Es sei zum SchluB noch erw~hnt, dab der Sockel der Gruppenalgebra fiber der Pr i i fer~uppe E ~ unabh~ngig yon der Charakteristik q des KSrpers (selbstversti~nd- lieh mul3 q ungleieh p sein) maximal ist, wenn die Kreisteilungspolynome ~b~, fiber K irreduzibel sind. Solehe :KSrper sind z.B. die PrimkSrper der Charakteristik q, werm q Primitivwurzel m o d p und zugleieh qp-1 ~ 1 m o d p 2 ist; for p ---- 3 sind es die KSrper mi t q = 2, 5, 11, 23, 29, 41, .. . Elementen. Es gibt in diesen F&llen in

Archiv der Mathcmatik XXV 31

482 W. MOLLER ARCH. MATH.

KGn genau soviele primitive Idempotente wie im Fall K ----- 0. Der Beweis sei noch angedeutet: Mit den Bezeichnungen yon (2.4) sei e n ( P ) ~ KGn, dann ist

~ . ( ~ ) l e K fiir alle k = l , . . . , p n . ieI

Ohne Einschr~nkung sei P ein Faktor des Kreisteilungspolynoms Cp,. Jetzt zeigt man durch Induktion nach n > s a u f Grund der Eigenschaften des Polynoms ~ X i :

i~I

ieI

Damit mul~ abet Y = ~ , sein, woraus die Behauptung folgt.

Literaturverzeichnis

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Eingegangen am 6. 12. 1973

Ansehrift des Autors:

Wolfgang Mtiller Mathematisches Institut der Universitiit 8 Miinehen 2 Theresienstr. 39