K I N G A S ZŰCS

F R I E D R I C H - S C H I L L E R - U N I V E R S I T Ä T J E N AF A K U L T Ä T F Ü R M A T H E M A T I K U N D

I N F O R M A T I K

A B T E I L U N G D I D A K T I K

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Raumgeometrie

Gliederung

Warum eigentlich Raumgeometrie?

Bezüge zu den Bildungsstandards

Inhaltlicher Überblick

Körpergrundformen - Grundbegriffe

Körpermodelle und –netze

Raumvorstellung und Kopfgeometrie

Volumen Zusammenhang mit Messen

Volumenbegriff

Approximieren von Volumina

Ausblick Platonische Körper

Archimedische Körper

Eulerscher Polyedersatz

Literatur

Warum eigentlich Raumgeometrie?

Reale Gegenstände als dreidimensionale Objekte Raum ist natürlicher als die Ebene

Alltagsbezug

Möglichkeit zur Erkundung von Grundformen

Vielfältige Möglichkeiten für Berechnungen

Bogen von der Freihandzeichnung bis hin zur darstellenden Geometrie

Vorbereitung auf Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Notwendig beim Verstehen physikalischer Zusammenhänge

Möglichkeit zum sinnvollen Computereinsatz

Bezüge zu den Bildungsstandards

Leitidee Messen (L2)

„Die Schülerinnen und Schüler

nutzen das Grundprinzip des Messens, insbesondere bei der Längen-, Flächen- und Volumenmessung, auch in Naturwissenschaften und in anderen Bereichen,

wählen Einheiten von Größen situationsgerecht aus (insbesondere für Zeit, Masse, Geld, Länge, Fläche, Volumen und Winkel),

Bezüge zu den Bildungsstandards

schätzen Größen mit Hilfe von Vorstellungen über geeignete Repräsentanten,

[…]

berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel sowie daraus zusammengesetzten Körpern,“

Bezüge zu den Bildungsstandards

Leitidee Raum und Form (L3)

„Die Schülerinnen und Schüler

erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in der Umwelt,

operieren gedanklich mit Strecken, Flächen und Körpern,

stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar,

stellen Körper (z. B. als Netz, Schrägbild oder Modell) dar und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen,

Bezüge zu den Bildungsstandards

analysieren und klassifizieren geometrische Objekteder Ebene und des Raumes,

beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen

Bezüge zu den Bildungsstandards

[…]

zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamische Geometriesoftware,

untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von Konstruktionsaufgaben und formulieren diesbezüglich Aussagen,

setzen geeignete Hilfsmittel beim explorativen Arbeiten und Problemlösen ein.“

Bezüge zu den Bildungsstandards

Ausblick auf die Oberstufe (Bildungsstandards für die Allgemeine Hochschulreife):

Streckenlängen und Winkelgrößen im Raum (Skalarprodukt)

Volumen von Rotationskörpern

Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen

Koordinatisierung auch von räumlichen geometrischen Sachverhalten

Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen beschreiben und analytisch untersuchen

Inhaltlicher Überblick

KörpergrundformenWürfel, Quader, Kugel, Pyramide, Kegel, Prisma, Zylinder

Klärung von GrundbegriffenKörper, Ecke, Kante, Seitenfläche, Volumen, Oberfläche, Mantelfläche, Polyeder

DarstellungenKörpernetze, Körpermodelle, "räumliche" Körperdarstellungen (Schrägbilder)

Entwicklung der RaumvorstellungRäumliche Wahrnehmung, Veranschaulichung, mentale Rotation, räumliche Beziehungen, räumliche Orientierung

Allgemeine ZusammenhängeFormeln für Oberflächen- und Volumenberechnungen, Satz von Cavalieri

Vertiefungspezielle Körper (Platonische und Archimedische Körper), Eulerscher Polyedersatz, zusammengesetzte Körper, Symmetrie, Kongruenz & Ähnlichkeit von Körpern

Körpergrundformen – Grundbegriffe

Mathenetz 6:17

Körpergrundformen - Grundbegriffe

Weigand et al, 2009: 141

Körpermodelle und -netze

Kompaktmodelle/Vollmodelle

Kantenmodelle

Flächenmodelle

Mathenetz 5: 113

Körpermodelle und -netze

Netz eines Körpers: vollständige Abwicklung seiner Oberfläche in die Ebene

Mathenetz 5: 113

Körperdarstellungen

Körperdarstellungen

Raumvorstellung und Kopfgeometrie

Raumvorstellung:

eine der sieben Primärfaktoren der Intelligenz

Fähigkeit, in der Vorstellung räumlich zu sehen und zu denken.

auch: Aktive Umordnung der Vorstellungsbilder und Entwicklung neuer Bilder aus vorhandenen

Raumvorstellung und Kopfgeometrie

Räumliche Wahrnehmung (Identifikation von Senkrechte und Waagerechte)

Weigand et al, 2009: 148

Raumvorstellung und Kopfgeometrie

Veranschaulichung (Vorstellung von Falten, Schneiden, Verschieben)

Weigand et al, 2009: 148

Raumvorstellung und Kopfgeometrie

Mentale Rotation (Vorstellung von Drehungen)

Weigand et al, 2009: 149

Raumvorstellung und Kopfgeometrie

Räumliche Beziehungen (Erfassung räumlicher Konfigurationen von mehreren Objekten)

Weigand et al, 2009: 149

Raumvorstellung und Kopfgeometrie

Räumliche Orientierung (Standortwechsel, Perspektivwechsel)

Weigand et al, 2009: 149

Raumvorstellung und Kopfgeometrie

Kopfgeometrie:

Lösen geometrischer Aufgaben im Kopf. Hierdurch wird gefördert:

die Vorstellung von Figuren,

die gedankliche Variation von Lage, Größe und Form von räumlichen Figuren,

die Kombination von räumlichen Figuren,

die Anwendung von Wissen über Eigenschaften und Beziehungen von räumlichen Figuren.

Raumvorstellung und Kopfgeometrie

Weigand et al, 2009: 153

Volumen und Messen

Aspekte des Messens:

1. Vergleichen

Weigand et al, 2009: 153

Volumen und Messen

Aspekte des Messens:

2. Auslegung

Mathenetz 5: 178

Volumen und Messen

Aspekte des Messens:

2. Ablesen

Mathenetz 5: 177

Volumen und Messen

Aspekte des Messens:

2. Berechnen (mit Hilfe von Formeln)

Mathenetz 5: 182

cbaVQuader

Volumenbegriff

Eigenschaft von räumlichen Figuren:

Raum einzunehmen

Fassungsvermögen

Verdrängungsvermögen

Volumenbegriff

Standardrepräsentanten/Ankervorstellungen/Stützpunktwissen

Mathenetz 5: 179

Approximieren von Volumina

Approximation insbesondere bei krummlinig begrenzten Figuren notwendig

Bereits am Kreis bekannt

Historische Bezüge (Kepler)

Approximation durch Körper, deren Rauminhalt bereits bekannt ist (Zylinder, Pyramide, evtl. Kegel)

Gruppenarbeit:

Gruppe 1: Kugelvolumen

Gruppe 2: Kegelvolumen

Approximieren von Volumina

Lesen Sie den Studientext sorgfältig durch.

Fassen Sie die Aussage des Textes in zwei-drei Sätzen zusammen.

Welche Vorkenntnisse/Vorerfahrungen benötigt die erfolgreiche Bewältigung des Textes?

Formulieren Sie mögliche Arbeitsaufträge zum Text.

Welche prozessbezogenen Kompetenzen können Ihrer Meinung nach durch diese Aufgabe gefördert werden?

Wo sehen Sie Vor- bzw. Nachteile dieser Aufgabe?

Platonische Körper

http://www.martinum.de

Archimedische Körper

http://www.brefeld.homepage.t-online.de/polyeder.html

Eulerscher Polyedersatz

Für ein beliebiges konvexes Polyeder, das durch ebene Vielecke begrenzt ist, gilt:

𝒆+𝒇−𝒌=𝟐

(e: Anzahl der Ecken, f: Anzahl der Flächen, k: Anzahl der Kanten)

zur Diskussion, was als Polyeder zugelassen werden soll und darf, siehe: Lakatos, I.: Beweise und Widerlegungen.

Literatur

Czukrowitz, J./Zimmermann, B. (Hrsg.) (2004): Mathenetz 5. Ausgabe N. Braunschweig: Westermann.

Czukrowitz, J./Zimmermann, B. (Hrsg.) (2006): Mathenetz 6. Ausgabe N. Braunschweig: Westermann.

Czukrowitz, J./Zimmermann, B. (Hrsg.) (2004): Mathenetz10. Ausgabe N. Braunschweig: Westermann.

KMK (2004): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den mittleren Schulabschluss.

Weigand, H.-G. et al. (Hrsg.) (2009): Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Heidelberg: Spektrum.

http://www.martinum.de/joomla3/ueber-uns/erprobungsstufe/74-der-mint-kurs-jgst-6-untersucht-die-platonischen-koerper (20.06.2016)

http://www.brefeld.homepage.t-online.de/polyeder.html(20.06.2016)

DANKE FÜR DIE AUFMERKSAMKEIT!