0
-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180
0
-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180
Rüdiger Scholz (Hrsg.)
Crashkurs – Pendel
Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover
Crashkurs – Schwerependel
© Dezember 2011 R. Scholz PhysikPraktikum Leibniz Universität Hannover 2
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis........................................................................................................ 2
Literatur ..............................................................................................................................2
1 Die harmonische Schwingung ........................................................................... 3
2 Gravitationspendel ............................................................................................. 4
2.1 Das mathematische Pendel .....................................................................................4
2.2 Harmonisierung: Analyse für kleine Auslenkungen...............................................4
2.3 Bestimmung des Ortsfaktors...................................................................................4
2.4 Analyse für endliche Winkel ....................................................................................5
2.5 Das physikalische Pendel ........................................................................................6
3. Dämpfung .......................................................................................................... 8
3.1 Die Bewegungsgleichung........................................................................................8
3.2 Gedämpftes Pendel und Energiesatz.................................................................... 10
Anhang: Vollständige Lösung von Gl. 11 ...................................................................12
Literatur
1. Lehrbücher Experimentalphysik und der theoretischen Physik
2. R. P. Feynman/R. B. Leighton, M. Sands: The Feynman Lectures of Physics
3. H. Haken, A. Wunderlin: Die Selbststrukturierung der Materie, Vieweg 1991
4. F. Kuypers: Klassische Mechanik, VCH, 1990
Crashkurs – Schwerependel
1 Die harmonische Schwingung
Als harmonische Schwingung wird die Bewegung von
Körpern in einem quadratischen Potential
bezeichnet. Derartige Potentiale führen zu den
bekannten typisch sinusförmigen Bewegungen.
Parabelpotentiale (Abb. 1) ergeben sich aus
Rückstellkräften, deren Betrag proportional zur
Auslenkung ist:
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2 20
1 1 .
2 2
pot
pot
dW
F x D x
dx
W x D x m x
2
(1)
Aus der Newtonschen Grundgleichung
F(x) = ma folgt die Bewegungsdifferentialglei-
chung
0,Dm x F x D x x x
m
(2)
die direkt elementar lösbar ist:
0
0 0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
( ) cos ; 0
cos
sin ; 0
cos
2; 2 ; ; tan
xx t t x x t
xv t x t t v v t
vD mT
m D
0
.
x
(3)
1 Bewegung im Parabelpotential: Die rote Kugel schwingt
harmonisch hin und her
Die Struktur der Differentialgleichung Gl. 2 ist spezifisch für sämtliche harmonischen Schwingungen. Durch
entsprechenden Koeffizientenvergleich lassen sich daher in konkreten Fällen die charakteristischen
Eigenschaften der jeweilig vorliegenden Schwingung ableiten. Beim Fadenpendel wird das gezeigt.
Typische Merkmale und Kenngrößen harmonischer Schwingungen
x0 Amplitude = maximale
Auslenkung
0
0 0
0
4 2xv
T
x
mittlere Geschwindig-
keit
vmax = x00/cos Geschwindigkeits-
amplitude
0 = 2f Resonanz-(Kreis-)
frequenz
max 0 0
2 2 cosrms
v xv
mittlere quadratische
Geschwindigkeit
T0 = 1/f = 2/0 Periodendauer
Tabelle 1 Kenngrößen der harmonischen Schwingung
Dämpfungsterme, anharmonische Zusatzterme im Potential in Gl. 1 mit anderen x-Abhängigkeiten führen
zu Anharmonizitäten. Diese haben nicht nur Abweichungen der Resonanzeigenschaften zur Folge,
sondern bewirken u. U. qualitativ völlig neue Bewegungsformen, z. B. chaotische Schwingungen.
Crashkurs – Schwerependel
2 Gravitationspendel
In vielen Fällen führt die Bewegungsanalyse auf harmonische Näherungen. Schon deshalb ist die Analyse
harmonischer Bewegungen von zentraler Bedeutung:
Bewegung von Elektronen im Dielektrikum unter Einwirkung von Licht; Optik (vergleiche
„Crashkurs Optik“; PhysikPraktikum; LUH),
unterschiedliche Pendelarten, Matratzenmodell“ des Festkörpers,
Schwingungsanalyse in der Akustik und in der Baustatik.
2.1 Das mathematische Pendel
Die Masse ist eine Punktmasse (also ohne
Trägheitsmoment);
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die Massenaufhängung ist masselos;
Reibungsphänomene werden ignoriert.
Der Abstand zwischen Masse und
Drehpunkt, l, ist konstant.
Setzt man den frei wählbaren Energienullpunkt
willkürlich auf Null für = 0 ergibt sich die
potentielle Energie der Masse m am Faden zu
1 cospotW m g l . (3)
2 Die physikalischen Größen beim mathematischen Pendel
Es liegt also ganz offensichtlich kein Parabelpo-
tential vor und damit keine harmonische
Schwingung (vgl. Abb. 3).
2.2 Harmonisierung: Analyse für kleine Auslenkungen
In derartigen Fällen wird versucht, Randbedingungen zu finden, untern denen das System analytisch
leichter zugänglich ist. Wie bereits angedeutet, bietet sich bei der Schwingungsanalyse der Bereich sehr
kleiner Amplituden an. Bei kleinen Auslenkungen von < 10°, kann man im Rahmen einer Toleranzgren-
ze von 0,5 % die Taylorreihen der cos-Funktion nach dem quadratischen Term abbrechen:
2 4
22 4 2 4
0
1 11 cos ...
2 24
1 1 .
2 2
potW m g l m g l
m g l O m l O
(4)
Der Vergleich mit Gl. 1 und Gl. 2 zeigt, dass diese Näherung auf eine harmonische Schwingung führt.
Durch direkten Vergleich ergeben sich die charakteristischen Eigenschaften, z. B. die Periodendauer:
0
0
2 2 lT
g
. (5)
2.3 Bestimmung des Ortsfaktors
Nach Gl. 5 können Sie mit dem Schwerependel den Ortsfaktor g bestimmen (in Hannover gilt
g = (9,812874 5105) m/s2)
2
2
0
4 lg
T
.
Crashkurs – Schwerependel
Der Messgenauigkeit einer solchen g-Messung wird durch die Messung der Dauer t = nT0 von n
Schwingungen verbessert, bleibt aber stets durch die Messunsicherheit der Längenmessung nach unten
beschränkt. n folgt aus der Anforderung an die Genauigkeit der Zeitmessung:
0 0 0
22 2 ; 2g l t l t t l tq n l
g l t l nT nT l q T
l
.
Sind Zeit- und Längenmessung gleich ungenau, folgt z. B. für q = 0,1: n = 20.
2.4 Analyse für endliche Winkel
Für endliche Auslenkungen ist das Potential nicht mehr harmonisch und das Kräfteparallelogramm in
Abb. 2 liefert eine nicht mehr analytisch lösbare nichtlineare Differentialgleichung:
sin 0 sin 0gm l m g
l
.
Ein alternativer Weg zur Bestimmung der
Periodendauer T über den Energieerhaltungssatz
hilft hier (wie in zahlreichen anderen Fällen)
weiter. Die Argumentation geht so: Für eine volle
Schwingung = 40 braucht das Pendel die
volle Periodendauer T, ein kleines Winkelstück
d erfordert die Zeit dt. Die Summe über alle dt
für eine volle Schwingung ist T (da die
Winkelgeschwindigkeit d/dt eine Funktion des
Pendelausschlags ist, sich also ständig ändert,
erhalten Sie T durch Integration über
infinitesimale Zeitspannen dt):
Potential des mathematischen Pendels
0
-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180
Auslenkung
po
te
nt
ie
lle
E
ne
rg
ie
3 Die potentielle des mathematischen Pendels (gestrichelt die
harmonische Nährung)
0
0
1 1d d 4
Periode Periode
T t
d .
Der Energiesatz (hier noch ohne Reibung) liefert einen Wert für d/dt:
2 2 2
2 2
0 0
1 1 ; (1 cos )
2 2
21 (1 cos ) (1 cos ) cos cos .
2
kin pot
ges
W m v m l W m g l
gW m l m g l m g l
l
