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Fachwissenschaft – schulischeLehrinhaltefür Studierende der Lehramtsstudiengänge im Fach Mathematik und deren Lehrende

Referenzsystem

Referenzsystem für Lehramtsstudierende

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Vorwort

Das vorliegende Referenzsystem ist eine Übersicht über Vernetzungen der universitärenfachwissenschaftlichen Lehrveranstaltungen des lehramtsbezogenen Bachelor-studiengangs sowie einführenden fachwissenschaftlichen Lehrveranstaltungen desMasterstudiengangs des Fachbereichs Mathematik mit schulischen Lehrinhalten. DieseVernetzung erfolgt in Form von Verweisen auf Lehrpläne, Schulbücher sowie(fach-)didaktischen Kommentaren und Literaturhinweisen. Zum einen sollen damit die Lehrenden der fachwissenschaftlichen Veranstaltungenunterstützt werden, Anknüpfungspunkte für die Studierenden der Lehramtsstudiengängeherzustellen. Zum anderen soll für die Lehramtsstudierenden ein „Roter Faden“ sowohl inder einzelnen Lehrveranstaltung als auch im gesamten Studium erkennbar werden. DieVerwendung des Referenzsystems von Lehrenden und Studierenden soll dazu beitragen,die Relevanz fachwissenschaftlicher Inhalte des Studiums für den Einsatz in der Schulefür die Studierenden stärker erkennbar werden zu lassen und die fachwissenschaftlichenInhalte verstärkt unter fachdidaktischen Aspekten zu betrachten. Das Referenzsystem wurde als Ergänzung zu den Modulhandbüchern der neuenBachelor- und Masterstudiengänge erstellt und in der Form diesen angepasst. Dies solleinen übersichtlichen, einfachen Gebrauch für Lehrende und Studierende parallel zu denModulhandbüchern gewährleisten. Im Referenzsystem wird an vielen Stellen auf die allgemeinen mathematischenKompetenzen sowie die mathematischen Leitideen der Bildungsstandards Bezuggenommen. In jeder der beschriebenen Lehrveranstaltungen werden die meisten dergenannten mathematischen Kompetenzen benötigt und aktiv trainiert und für die Lehre inder Schule nutzbar gemacht. Deshalb wird nicht in jeder der Lehrveranstaltungs-beschreibungen noch einmal explizit darauf hingewiesen.Eine ausführliche Beschreibung der Kompetenzen und Leitideen findet sich in denBildungsstandards im Fach Mathematik für den mittleren Schulabschluss sowie imRahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10. Zur besseren Übersicht für dieBenutzer des Referenzsystems sind die mathematischen Kompetenzen sowie diemathematischen Leitideen im folgenden kurz aufgelistet.

Allgemeine mathematische Kompetenzen:K1: Mathematisch argumentierenK2: Probleme mathematisch lösenK3: Mathematisch modellierenK4: Mathematische Darstellungen verwendenK5: Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehenK6: Kommunizieren

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Mathematische Leitideen:L1: Zahl und ZahlbereicheL2: Messen und GrößenL3: Raum und FormL4: Funktionaler ZusammenhangL5: Daten und Zufall

Die Entwicklung des Referenzsystems erfolgte im Rahmen des vom Ministerium fürBildung, Wissenschaft, Jugend und Kultur des Landes Rheinland-Pfalz geförderteninterdisziplinären Projekts DIDAGMA (www.didagma.de). Wir danken allen Dozenten des Fachbereichs Mathematik der TU Kaiserslautern, die unsbei der Erstellung dabei unterstützt haben, die Besonderheiten ihrer Lehrveranstaltungenfür die Lehramtsstudierenden herauszuarbeiten.

Kaiserslautern, im August 2010

Florentine Bunke, Horst W. Hamacher, Thorsten RheudeFachbereich Mathematik der TU Kaiserslautern

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Grundlagen der Mathematik A/B: Lineare Algebra und Analysis

Grundlagen der Mathematik IBezug zum Lehrplan

Bemerkungen Orientierungsstufe & Sekundar-stufe I

Sekundarstufe II

Die Lehrveranstaltung Grundlagender Mathematik I (GdM I) greift dasaus der Schule vorhandene Defini-tions- und Satzgefüge auf und er-weitert dieses schrittweise.Themen der GdM I sind in den ne-benstehenden Spalten beispielhaftherausgegriffen.

Zahlen und Zahlbereiche:Orientierungsstufe: (L1) NatürlicheZahlen1, (L1) Ganze Zahlen2 (ausder Grundschule sind lediglich dieZahlen von 1-1000000 bekannt),(L1) Bruchzahlen3

Klasse 7-8: (L1) Prozent- undZinsrechnung4, (L1) RationaleZahlen5 (in diesem Zusammen-hang wird auch die Abgeschlos-senheit der Grundrechenarten the-matisiert), (L4) Zuordnungen undFunktionen6, (L5) Daten und Zu-fall7Klasse 9: (L1) Quadratwurzeln8

Exponentialfunktion:Klasse 9-10: (L4) NichtlineareFunktionen.9

Grenzwerte/Folgen/Monotonie:mit 30 Schulstunden sowohl imLeistungskurs als auch im Grund-kurs vorgesehen.10

vollständige Induktion:Im Lehrplan der Oberstufe explizitim Rahmen des fächerübergreifen-den Blockes „Das Problem desUnendlichen“ erwähnt.11 Sonstnicht explizit vorgesehen, aber imAnhang vieler Oberstufenbücherals Beweismethode vorgestellt.12

Vektorräume/Basis/Dimension/Ma-trizen:Im Lehrplan der Oberstufe im Rah-men der Linearen Algebra/Analyti-schen Geometrie behandelt, dabeiist im Grundkurs einer der drei fol-genden Wahlpflichtbausteine zubehandeln:Wahlpflichtgebiet 1: Geraden undEbenen im Raum – Wahlpflichtge-biet 2: Geometrische Abbildungenund Matrizen – Wahlpflichtgebiet3: Matrizen in praktischen Anwen-dungen.13 Im Leistungskurs ist ei-nes von den folgenden drei Gebie-ten zu wählen: Wahlpflichtgebiet 1:Vektorielle analytische Geometrie– Wahlpflichtgebiet 2: Vektorenund Matrizen – Wahlpflichtgebiet3: Vektorräume und Gleichungs-systeme − Anwendungen.14

1 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 16f2 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 20f3 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 23f4 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 46f5 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 48f6 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 59f7 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 67f8 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 73f9 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 99f10 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 25 bzw. S. 49.11 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 8912 z.B. August Schmid u.a. (Hrsg.): LS Mathematik - Analysis Leistungskurs Gesamtausgabe, Stuttgart u.a. 1999,

S.306f.13 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 31ff.14 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 57ff.

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Differentialrechnung/Integralrech-nung: Im Bereich Analysis der Oberstu-fe.15

Grundlagen der Mathematik IIBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

GdM II baut auf GdM I auf undführt die Erweiterung des aus derSchule vorhandenen Definitions-und Satzgefüges fort.

Themen der GdM II sind in den ne-benstehenden Spalten beispielhaftherausgegriffen.

Flächen- und Volumenberech-nung:Klasse 5: (L2) Messen undGrößen.16 (Es wird z.B. dieDeterminante behandelt, die dieFlächenberechnung beimParallelogramm und dieVolumenberechnung beim Spatverallgemeinert.)

Matrizen/Eigenwerte/Vektorräume:Im Lehrplan der Oberstufe im Rah-men der Linearen Algebra/Analyti-schen Geometrie behandelt, dabeiist im Grundkurs einer von dreiWahlpflichtbausteinen zu behan-deln, wobei sich Wahlpflichtgebiet2: Geometrische Abbildungen undMatrizen und Wahlpflichtgebiet 3:Matrizen in praktischen Anwen-dungen mit der Thematik der Ma-trizen auseinandersetzen.17 ImLeistungskurs behandeln die Bau-steine Wahlpflichtgebiet 2: Vekto-ren und Matrizen und Wahlpflicht-gebiet 3: Vektorräume und Glei-chungssysteme − Anwendungendie Thematik rund um Matrizen18

Differential- und Integralrechnung:Im Bereich Analysis der Oberstu-fe19, allerdings mit nur einer Verän-derlichen.

15 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 26ff. bzw. S. 50 ff.16 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 28.17 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 34ff.18 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 60ff.19 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 26ff. bzw. S. 50 ff.

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Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra undZahlentheorie

Algebraische StrukturenBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Ein ausführliches Skript zur Vorle-sung „Algebraische Strukturen“wurde von Thomas Markwig er-stellt.20

Die Veranstaltung liefert zum Bei-spiel die Grundlagen, um Fehlerer-kennungen bei Codes (Strichcode,ISBN) oder um KryptographischeMethoden zu verstehen.

Über die direkt dem Lehrplan zuzu-ordnenden Themen werden auchEinselement und Teilbarkeit durchNull thematisiert, die in der Schulemeist als gegeben dargestellt wer-den.

Zahlen und Zahlbereiche:Orientierungsstufe: (L1) NatürlicheZahlen21 (in diesem Zusammen-hang auch Primfaktorzerlegung,Teilen mit Rest, ggT und kgV), (L1)Ganze Zahlen22 (aus der Grund-schule sind lediglich die Zahlenvon 1-1000000 bekannt), (L1)Bruchzahlen23. (L3) Raum undForm24 (insbesondere Symmetrie-eigenschaften).

Klasse 7-8: (L1) Rationale Zah-len25 (in diesem Zusammenhangwird auch die Abgeschlossenheitder Grundrechenarten themati-siert, eine schöne Zusammenfas-sung und Aufgaben zur Vertiefungfinden sich in „Elemente der Ma-thematik 7“26 oder in „Neue Wege7“27);

(L1) Prozent- und Zinsrechnung28

(in diesem Zusammenhang wer-den Relationen und Zuordnungenangesprochen, die in Form vonÄquivalenzrelationen auch Teil derVorlesung sind)

Skalarprodukt/Vektorprodukt:GK: Lineare Algebra, Wahlpflicht-gebiet 1: Geraden und Ebenen imRaum29

LK: Lineare Algebra, Wahlpflicht-gebiet 1: Vektorielle analytischeGeometrie30

Die eigentliche Behandlung vonSkalar- und Vektorprodukt findet inGdM statt, im Rahmen der AGSwird die Notwendigkeit von abge-schlossenen Operationen und dieEigenschaften von Körpern the-matisiert, diese werden bei Lehre-rInnen als Hintergrundwissen inder Schule benötigt31

Polynome / Polynomdivision:z.B. Differentialrechnung (imRahmen der Kurvendiskussion)32

Abspalten von Nullstellenz.B. Differentialrechnung (imRahmen der Kurvendiskussion)33

20 http://www.mathematik.uni-kl.de/~keilen/download/Lehre/AGSWS07/skript.pdf21 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 16ff22 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 20f23 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 23f24 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 30f25 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 48f26 Griesel, Heinz u.a. (Hrsg.): Elemente der Mathematik 7 Rheinland-Pfalz, Braunschweig 2007, S. 218.27 Lergenmüller, Arno u.a. (Hrsg.): Mathematik Neue Wege – Arbeitsbuch für Gymnasien 7, Rheinland-Pfalz,

Braunschweig 2007, S.252ff.28 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 42.29 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 31ff.30 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 57ff.31 Jahnke, Thomas u.a. (Hrsg.): Mathematik - Analytische Geometrie Lineare Algebra gymnasiale Oberstufe, Berlin

2003, S. 85ff.32 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, GK: S. 26f. LK: S. 50f.33 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, GK: S. 26f. LK: S. 50f.

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Einführung: AlgebraBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

In dieser Vorlesung wird die Bezie-hung zweier grundlegender alge-braischer Strukturen (Gruppen undKörper) zueinander untersucht.Dies führt zu Antworten auf klassi-sche (in derSchule unbeantwortete) Fragender Schulgeometrie (wie die "Qua-dratur des Kreises" oder die "Win-keldreiteilung") und der Schulalge-bra (Verallgemeinerung der pq-Formel für nicht-quadratische Glei-chungen). Der angehende Lehrer lernt also,was geht und was nicht, und vorallemauch weshalb. Eine wichtige Rollespielen dabei auch Symmetriebe-trachtungen.

Das auch im Abschnitt zum„Proseminar Geometrie“ erwähnteSkript von Labs34 enthält auchVerknüpfungen zu der Einführungin die Algebra.

Die Abstraktionsstufe der behan-delten Themen ist höher als beider Behandlung in der Schule, die-ses Wissen ist aber als Hinter-grund für das mathematische Ver-ständnis der zukünftigen Lehrerund Lehrerinnen wichtig.

"Konstruktionen mit Zirkel undLineal", "quadratische Gleichun-gen und binomische Formeln","Nullstellen", "Wurzeln", "Symme-trie", "Zahlbereichserweiterung"

Es besteht kein unmittelbarer Be-zug zu den Inhalten der Sekundar-stufe II.

Interessante Anwendungsbeispie-le sind Symmetriebetrachtungenbei Kristallen in der Chemie.

Euklidische GeometrieBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Die Geometrie wie sie in der Mittel-stufe (inhaltlich im wesentlichenunverändert seit Jahrhunderten)gelehrt wird, basiert auf den Er-kenntnissen, die in den 'Elemen-ten' des griechischen Mathemati-kers Euklid dargelegt sind. EineBesonderheit des Werkes liegt dar-

Die Vorlesung beschäftigt sich mitGeraden, Dreiecken, Strahlensät-zen,dem Satz des Pythagoras und an-deren Sätzen zu Dreiecken, Win-keln, Punkt- und Achsenspiegelun-gen, Drehungen, ggf. auch Kon-gruenzabbildungen, also im Prin-

34 Labs, Oliver: Dynamische Geometrie – Grundlagen und Anwendungen, Saarbrücken 2008.http://www.oliverlabs.net/data/0708_DynGeo.pdf

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in, dass alle Erkenntnisse durch lo-gische Schlüsse aus einigen weni-gen Axiomen abgeleitet werden –Axiome, die Schüler ohne Hinter-fragen akzeptieren.In der Vorlesung werden die Axio-me und wesentliche Sätze themati-siert.Zudem werden Beweise für zentra-le Sätze wie den Satz Pythagorasangesprochen, wie sie auch in derSchule behandelt werden.

Der Inhalt der Vorlesung variiertleicht mit dem/der DozentIn, alsEinleitungswerk kann man aller-dings das schöne Buch von Harts-horne empfehlen.35

zip mit der gesamten (koordinaten-losen) Schulgeometrie der Mittel-stufe.

Die offensichtliche Verknüpfungzum Lehrplan und Schulbüchernerfolgt anhand weniger Beispiele:

Klasse 7: Geometrische Abbildun-gen – Symmetrien: Achsenspiege-lungen, Punktspiegelungen, Paral-lelverschiebungen, Drehungen(mit Zirkel und Lineal)36

Klasse 8: Kongruenz und Kongru-enzabbildungen37

Klasse 9: Strahlensätze38

Geometrie – ebene KurvenBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Kurven entstehen z.T. aus geome-trischen Konstruktionen, könnenaber auch einfach als Lösung vonGleichungen beschrieben werden.Die Vorlesung untersucht dieseAmbivalenz und das Wechselspielgeometrischer Eigenschaften derKurven mit algebraischen Eigen-schaften der Gleichungen. Diegeometrische Interpretation alge-braischer Sachverhalte trägt unge-mein zu deren Verständnis bei,und die Berechnungen auf alge-braischer Seite führen zu einembesseren Verständnis der Geome-trie. Diese Sichtweise ist auch fürden Schulunterricht hilfreich, etwabei der Behandlung von quadrati-schen Gleichungen, der Kurvendis-kussion rationaler Funktionen oderder analytischen Geometrie. Einwesentlicher Aspekt ist die Visuali-sierung der Kurven und ihrer Ei-genschaften mit Hilfe von Softwarewie Cinderella39 oder Surfex.

Konstruktionen mit Zirkel und Line-al, Geometriesoftware und Computer-einsatz im Mathematikunterricht, Zahlbereichserweiterung, Nullstellen von Polynomen mitVielfachheit, Diskriminante und quadratischeGleichungen;

Differentialrechnung und Tangen-ten, Graphen von Funktionen

Lineare Algebra: GK: Lineare Al-gebra, Wahlpflichtgebiet 1: Gera-den und Ebenen im Raum41

LK: Lineare Algebra, Wahlpflicht-gebiet 1: Vektorielle analytischeGeometrie42

35 Robin Hartshorne "Geometry: Euclid and beyond"36 Griesel, Heinz u.a. (Hrsg.): Elemente der Mathematik Rheinland-Pfalz, Braunschweig 2007, S. 97 ff.

Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 53f.37 Brand, Dieter u.a: Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien 8, Stuttgart 2008, S. 8 ff. und S. 62 ff.

Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 53f.38 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 73.

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T. Markwig stellt auf seiner Web-seite ein Skript zur Verfügung, dasals Fortbildung für Mathematikleh-rer entwickelt wurde und entspre-chend Verknüpfungen zu Schulebietet.40

Proseminar „Geometrie“Bezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Ein Skript aus der Veranstaltungs-reihe Elementarmathematik vomhöheren Standpunkt der UdSSaarbrücken beschäftigt sich mitden Grundlagen und der Anwen-dung von dynamischer Geome-trie43

Klasse 8: Dreiecke und Vierecke –Konstruktionen, Kongruenzsätze,Satz des Thales, Symmetrien44

Kongruenz und Kongruenzabbil-dungen45

Berechnungen an Kreis und Zylin-der – Umfang, Flächeninhalt, Zahlπ, Oberflächeninhalt, Volumen46

39 http://www.cinderella.de/40 Stephan Klaus, Oliver Labs, Thomas Markwig: Theorie und Visualisierung algebraischer Kurven und Flächen.

Fortbildung für Mathematiklehrer, 200942 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 57ff.41 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 31ff.43 Labs, Oliver: Dynamische Geometrie – Grundlagen und Anwendungen, Saarbrücken 2008.

http://www.oliverlabs.net/data/0708_DynGeo.pdf44 Griesel, Heinz u.a. (Hrsg.): Elemente der Mathematik 8 Rheinland-Pfalz, Braunschweig 2008, S. 39 ff.45 Brand, Dieter u.a: Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien 8, Stuttgart 2008, S. 8 ff. und S. 62 ff.46 Griesel, Heinz u.a. (Hrsg.): Elemente der Mathematik 8 Rheinland-Pfalz, Braunschweig 2008, S. 199 ff.

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Fachwissenschaftliche und fachdidaktische Voraussetzungen

Elementarmathematik vom höheren StandpunktBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

In diesem lehramtsspezifischenProseminar soll ein vertieftes, überdie Schulbildung hinaus gehendesVerständnis elementarmathemati-scher, teils schulmathematischer,Inhalte als solides Fundament fürdas weitere Studium erarbeitetwerden. Durch die Anbindung di-daktischer Kommentare an die In-halte sollen auch fachdidaktischeKenntnisse erworben werden.

Als individuelle Zielsetzung für je-den Teilnehmer soll das selbstän-dige Erarbeiten und Aufbereiten eines durch die jeweilige Literaturvorgegebenen mathematischenThemengebietes zu einem Vortrageingeübt werden, mit dem Ziel, dieInhalte den anderen Teilnehmernbestmöglich und verständlich zuvermitteln.

Darüber hinaus sollen Rückmel-dungen (Feedback) zum eigenenVortrag empfangen sowie zu denVorträgen der anderen Teilnehmergegeben werden, um einerseitszur Entwicklung eines eigenen gu-ten Vortragstiles beizutragen undandererseits mit der wichtigenKompetenz des Bewertens undGebens von Rückmeldungen ver-traut zu werden. Der zugrunde liegende Bewer-tungsbogen wurde im Rahmen desProjektes DIDAGMA erarbeitet.

Als mögliche grundlegende Litera-tur sind u.a. die Bücher 47, 48 und 49

geeignet.

Inhaltlich werden unterschiedlicheFragestellungen aus den Berei-chen Geometrie, Zahlen, Kombi-natorik, Wahrscheinlichkeitstheo-rie, Graphentheorie, Mengenlehre,sowie Fragestellungen der Linea-ren Algebra und Analysis, die inder Vorlesung „Grundlagen derMathematik“ aus Zeitgründen nichtausführlich behandelt werdenkonnten, betrachtet. Die Themender Präsentationen werden in Ab-sprache mit den Studierenden un-ter Berücksichtigung von Wunscht-hemen ausgewählt. Anhand dieser Themenbeispielewird die Einordnung in den Lehr-plan vorgenommen. Durch die va-riable Kursstruktur – die auch aufdie Vorerfahrungen der Teilnehmereingeht – können aber jederzeitandere Themen und damit andereVerknüpfungen zum Lehrplan ge-funden werden.

Mögliche Themengebiete sind:

Mengen: Grundbegriffe, natürlicheZahlen, vollständige Induktion,ÄquivalenzrelationenZahlen: Zahlaufbau von N über Zzu Q (und R), Binomialkoeffizien-ten und Pascalsches DreieckGeometrie: Kongruenzabbildungenin der Ebene, Gruppen von Kon-gruenzabbildungen – Symmetrie-gruppen, Geometrische Konstruk-tionen in der StandortplanungWahrscheinlichkeitstheorie: Kom-binatorische Grundaufgaben, Ur-nenmodelle, Wahrscheinlichkeits-räume und -verteilungenGraphentheorie:Kürzeste-Wege-Problem, Minimale Spannende

Inhaltlich werden unterschiedlicheFragestellungen aus den Berei-chen Geometrie, Zahlen, Kombi-natorik, Wahrscheinlichkeitstheo-rie, Graphentheorie, Mengenlehre,sowie Fragestellungen der Linea-ren Algebra und Analysis, die inder Vorlesung „Grundlagen derMathematik“ aus Zeitgründen nichtausführlich behandelt werdenkonnten, betrachtet. Die Themender Präsentationen werden in Ab-sprache mit den Studierenden un-ter Berücksichtigung von Wunscht-hemen ausgewählt. Anhand dieser Themenbeispielewird die Einordnung in den Lehr-plan vorgenommen. Durch die va-riable Kursstruktur – die auch aufdie Vorerfahrungen der Teilnehmereingeht – können aber jederzeitandere Themen und damit andereVerknüpfungen zum Lehrplan ge-funden werden.

Mögliche Themengebiete sind:

Mengen: Grundbegriffe, natürlicheZahlen, vollständige Induktion,ÄquivalenzrelationenZahlen: Zahlaufbau von N über Zzu Q (und R), Binomialkoeffizien-ten und Pascalsches DreieckGeometrie: Kongruenzabbildungenin der Ebene, Gruppen von Kon-gruenzabbildungen – Symmetrie-gruppen, Geometrische Konstruk-tionen in der StandortplanungWahrscheinlichkeitstheorie: Kom-binatorische Grundaufgaben, Ur-nenmodelle, Wahrscheinlichkeits-räume und -verteilungenGraphentheorie:Kürzeste-Wege-Problem, Minimale Spannende

47 Hamacher, Korn, Korn, Schwarze: Mathe & Ökonomie – Neue Ideen für den praxisnahen Unterricht, UniversumVerlag, 200448 Krauter: Erlebnis Elementargeometrie, Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, 200549 Hußmann, Lutz-Westphal (Hrsg.): Kombinatorische Optimierung erleben, vieweg Verlag, 2007

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BäumeLineare Algebra: Determinanten,Eigenwertprobleme, LineareGleichungssystemeAnalysis: Polynome, NichtlineareGleichungssysteme, LineareDifferentialgleichungen

BäumeLineare Algebra: Determinanten,Eigenwertprobleme, LineareGleichungssystemeAnalysis: Polynome, NichtlineareGleichungssysteme, LineareDifferentialgleichungen

Einführung in die Didaktik der MathematikBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Die Einführung in die Fachdidaktikgibt Beispiele aus allen Bereichenund Altersstufen der Schulmathe-matik.Die Veranstaltung zielt hauptsäch-lich auf eine (begriffliche) Meta-Ebene ab und behandelt die fachli-chen Aspekte meist nur zur Ver-deutlichung des fachdidaktischenKonzeptes. Direkte Verbindungzum Lehrplan bilden die im Lehr-plan definierten Kompetenzen derBildungsstandards50 (siehe auchVorwort). Sie werden aktiv trainiertund theoretisch beleuchtet.

Die während der Lehrveranstal-tung behandlten fachdidaktischenSpezialbegriffe können auch imBegriffsglossar, das ebenfalls imRahmen des Projektes DIDAGMAentwickelt wurde, nachgeschlagenwerden.51

Während der Veranstaltung wirdeine Vielzahl von Beispielen ausverschiedenen Bereichen desLehrplans zur Verdeutlichung derbehandelten fachdidaktischenKonzepte behandelt. Wegen desgroßen Umfangs sollen diese andieser Stelle nicht explizit aufge-zählt werden. Es wird auf die zu-gehörigen Vorlesungsfolien ver-wiesen.

Während der Veranstaltung wirdeine Vielzahl von Beispielen ausverschiedenen Bereichen desLehrplans zur Verdeutlichung derbehandelten fachdidaktischenKonzepte behandelt. Wegen desgroßen Umfangs sollen diese andieser Stelle nicht explizit aufge-zählt werden. Es wird auf die zu-gehörigen Vorlesungsfolien ver-wiesen.

Einführung in wissenschaftliches ProgrammierenBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Im Normalfall finden eher Pro-gramme mit BenutzeroberflächeAnwendung im Mathematikunter-richt, im Rahmen von Projekten istein Einsatz von MATLAB o.ä.

Siehe „Elektronische Medien imMathematikunterricht“52

Siehe „Computer im Mathematik-unterricht“53

In manchen Büchern der Oberstu-fe werden konkret Aufgaben zurVerwendung mit dem PC (auch

50 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 4f.51 http://www.didagma.de52 Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 9ff.53 Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 16f.

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durchaus denkbar.

Generell wird das Umsetzen vonmathematischen Algorithmen ineine formale Sprache, die derComputer „versteht“, trainiert. Dashierbei erworbene Wissen istebenso hilfreich, wenn einfachemathematische Verfahren z.B. mitExcel umgesetzt werden sollen.

außerhalb von Tabellenkalkulati-onsprogrammen) vorgeschlagen.Cornelsen arbeitet z.B. mit JavaS-cript54

Es ergeben sich vielfältige Einsatz-möglichkeiten, deren mathemati-sche Hintergründe in den Veran-staltungen „Grundlagen der Ma-thematik“ bzw. „Praktische Mathe-matik“ erklärt werden. Als Beispie-le seien hier numerisches Bestim-men von Nullstellen bzw. Lösenvon Gleichungen, numerische Inte-gration und Differentiation sowieeine Vielzahl möglicher Experi-mente mit stochastischem Hinter-grund genannt.

54 Vgl. Jahnke, Thomas u.a. (Hrsg.): Mathematik – Analysis gymnasiale Oberstufe, Berlin 2006, S. 424.

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Fachdidaktische Bereiche

Didaktik der ZahlbereichserweiterungenBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Das Thema „Zahlen und Zahlbe-reiche“ ist eine Leitidee der Bil-dungsstandards des Faches Ma-thematik55

Orientierungsstufe: (L1) NatürlicheZahlen56, (L1) Ganze Zahlen57 (ausder Grundschule sind lediglich dieZahlen von 1-1000000 bekannt),(L1) Bruchzahlen58

Klasse 5: Natürliche und ganzeZahlen59, Bruchzahlen erkunden60

Klasse 6: Dezimalzahlen61, Bruch-zahlen62

Klasse 7-8: (L1) Rationale Zah-len63 (in diesem Zusammenhangwird auch die Abgeschlossenheitder Grundrechenarten themati-siert)

Didaktik der elementaren AlgebraBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Klasse 7-8: (L1) Prozent- undZinsrechnung64, (L4) Zuordnungenund Funktionen65, (L5) Daten undZufall66

Klasse 9: (L1) Quadratwurzeln67

Klasse 9-10: (L4) nichtlineareFunktionen68

Problemlösen: Probleme lösenkann an vielen Stellen im Lehrplanangewendet werden, eine exakteZuordnung zu MathematischenThemen ist nicht möglich, der Teil-bereich ist allerdings deckungs-gleich mit K269.

Elementare Algebra wird in derOberstufe nicht explizit behandelt,das Wissen aus derOrientierungs-/Mittelstufe ist Basisfür das Arbeiten in der Oberstufe.

55 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 956 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 16f.57 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 20f.58 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 23f.59 Esper, Norbert u.a. (Hrsg.): Fokus Mathematik Rheinland-Pfalz Gymnasium Klasse 5, Berlin 2006, S. 45 ff.60 Esper, Norbert u.a. (Hrsg.): Fokus Mathematik Rheinland-Pfalz Gymnasium Klasse 5, Berlin 2006, S. 193 ff.61 Esper, Norbert u.a. (Hrsg.): Fokus Mathematik Rheinland-Pfalz Gymnasium Klasse 6, Berlin 2007, S. 5 ff.

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Didaktik der GeometrieBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Die Lehrveranstaltung „Didaktikder Geometrie“ orientiert sichgrundlegend am Aufbau, der auchbei der Einführung geometrischerBegriffe in der Schule genutzt wird.Gemeinsam mit den Studierendenwerden Aufgaben aus der Schulegelöst und deren didaktisches Po-tential und deren Bedeutung fürweiterführende Aufgaben analy-siert. Es wird an geeigneten Aufga-ben aufgezeigt, wie auch Verbin-dungen zu fachübergreifendemUnterricht (z.B. Projektionen in derKunst) möglich sind.Darüber hinaus wird versucht, an-hand von Beispielen Antwort aufdie Frage „Wozu Geometrie in derSchule?“ zu geben, damit dieLehramtsstudierenden in Unter-richtssituationen geeignete Bei-spiele auf die gleich lautendeSchülerfrage haben.

Die Verknüpfung zum Lehrplan70

erfolgt anhand einiger Beispiele:Klasse 5/6: Geometrische Figuren,Abbildungen und Symmetrie,MessenKlasse 7/8: Figurenlehre,Kongruenzgeometrie, MessenKlasse 9/10: Ähnlichkeit,Satzgruppe des Pythagoras,Darstellende Geometrie, Messen,TrigonometrieAußerdem sei auf besonders gutaufbereitete Schulbücher zu deneinzelnen Themenbereichen ver-wiesen:Klasse 6: Symmetrie und Abbil-dungen71

Klasse 7: Geometrische Abbildun-gen – Symmetrien: Achsenspiege-lungen, Punktspiegelungen, Paral-lelverschiebungen, Drehungen (mitZirkel und Lineal)72

Klasse 8: Dreiecke und Vierecke –Konstruktionen, Kongruenzsätze,Satz des Thales, Symmetrien73,Kongruenz und Kongruenzabbil-dungen74, Berechnungen an Kreisund Zylinder – Umfang, Flächenin-halt, Zahl π, Oberflächeninhalt,Volumen75

Klasse 9: Strahlensätze76

Auch der Lehrplan der Sekundar-stufe II enthält mit den Wahlpflicht-gebieten GK: Geraden und Ebe-nen im Raum und geometrischeAbbildungen und Matrizen 77, bzw.im LK: Vektorielle analytische Geo-metrie78 Bausteine, für die geome-trische Kenntnisse benötigt wer-den. Schwerpunkt der Vorlesungliegt allerdings auf Orientierungs-und Mittelstufe, da dort die Grund-lagen für späteres geometrischesArbeiten gelegt werden.

62 Esper, Norbert u.a. (Hrsg.): Fokus Mathematik Rheinland-Pfalz Gymnasium Klasse 6, Berlin 2007, S. 67 ff.63 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 48f64 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 46f65 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 59f66 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 67f67 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 73f68 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 99f69 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 470 vgl. (L3) Raum und Form, Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 49ff71 Lergenmüller, Arno u.a. (Hrsg.): Neue Wege 6, S. 148ff.72 Griesel, Heinz u.a. (Hrsg.): Elemente der Mathematik Rheinland-Pfalz, Braunschweig 2007, S. 97 ff.

Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 53f.73 Griesel, Heinz u.a. (Hrsg.): Elemente der Mathematik 8 Rheinland-Pfalz, Braunschweig 2008, S. 39 ff.74 Brand, Dieter u.a: Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien 8, Stuttgart 2008, S. 8 ff. und S. 62 ff.75 Griesel, Heinz u.a. (Hrsg.): Elemente der Mathematik 8 Rheinland-Pfalz, Braunschweig 2008, S. 199 ff.76 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 73.77 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 31ff.78 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 57ff.

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Mathematik als Lösungspotential A: Modellieren und PraktischeMathematik

Lineare OptimierungBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Fragestellungen und Methoden derLinearen Optimierung eröffnenLehrenden und Lernenden neueMöglichkeiten der Unterrichtsge-staltung, in der problemorientierteZugänge eine wichtige Rolle spie-len und selbsttätiges forschendentdeckendes Lernen gefördertwird.

Themen aus der Linearen Optimie-rung sind prinzipiell in allen Stufen(entsprechend aufbereitet) zur Mo-tivation an Mathematik einsetz-bar.79 Ein Buch, das sich mit der li-nearen Optimierung auseinander-setzt und Vorschläge für praxisna-hen Unterricht liefert wurde vonProf. Hamacher et al. 2004 veröf-fentlicht.80

In der Veranstaltung werden dieKompetenzen K2, K3 und bei einerUmsetzung im Unterricht auch K681

benötigt und aktiv trainiert und fürdie Lehre in der Schule nutzbar ge-macht.In den neu konzipierten Lehrplä-nen wurde der Kompetenz 3 (Ma-thematisch modellieren) explizitGewicht zugesprochen.

Wie bereits erwähnt kann mit The-men der Linearen Optimierung na-hezu alle Anforderungen der Kern-kompetenzen des Lehrplanes82 er-füllt werden. Darüber hinaus spie-len graphische Methoden zu Opti-mierung explizit in (L7) Funktiona-ler Zusammenhang - nichtlineareFunktionen eine Rolle.83

Darüber hinaus wird bereits in derMittelstufe auch explizit mit Un-gleichungen84 gearbeitet. Am Bei-spiel einer Optimierungsaufgabemit Restriktionen können solcheUngleichungen eingeführt werden.

Nicht als eigenständiges Themen-gebiet im Lehrplan vorgesehen.

Teilaspekte der Linearen Optimie-rung spielen jedoch in der Mathe-matik der Oberstufe eine großeRolle. Durch geeignet gewählteBeispiele kann über die Optimie-rung also eine Motivation für dieSchülerInnen generiert werden.Beispiele für thematische Schnitt-mengen sind: Geraden und Halb-räume85, Schnittpunktberechnungvon Geraden86 und Lösen vonGleichungssystemen87, und insbe-sondere auch graphische (geome-trische Lösungsmethoden), aberauch mit Aufgaben aus der Diffe-rential-/Integralrechnung (z.B. Ex-tremwertaufgaben: Optimierungvon Milchkartons88)).

Eine unmittelbare Anwendung desVorlesungsstoffes ist zudem ggf. inProjektunterricht möglich.

79 Vgl. auch http://optimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/80 Horst W. Hamacher, u.a.: Mathe & Ökonomie – Neue Ideen für den praxisnahen Unterricht, Wiesbaden, 200481 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 4f82 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 4.83 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 100.84 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 6085 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 31ff und 57ff.86 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 31ff und 57ff.87 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 64ff88 z.B. August Schmid u.a. (Hrsg.): LS Mathematik - Analysis Leistungskurs Gesamtausgabe, Stuttgart u.a. 1999,

S.147f.

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NetzwerkoptimierungBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Wie in der Linearen Optimierunglassen sich auch in der Netzwer-koptimierung Bereiche finden, diein nahezu allen Klassenstufen alsMotivation eingesetzt werden kön-nen.89

Ein Buch, das sich mit der Netz-werkoptimierung auseinandersetztund Anwendungen von Netzwerk-problemen für SchülerInnen undStudentInnen liefert wurde 2007veröffentlicht.90

In der Veranstaltung werden dieKompetenzen K2, K3 und bei einerUmsetzung im Unterricht auch K691

benötigt und aktiv trainiert und fürdie Lehre in der Schule nutzbar ge-macht.In den neu konzipierten Lehrplä-nen wurde der Kompetenz 3 (Ma-thematisch modellieren) explizitGewicht zugesprochen.

Kürzeste Wege Probleme (bei U-Bahn-Fahrten, Schulwegen oderDatenpaketen im Internet)92, Mini-male aufspannende Bäume (zurPlanung von Leitungsnetzen, Stra-ßen oder Computerverkabelungen)und die Grundfrage der Nezwer-koptimierung: „Wie viel passt nochin die Leitung?“, also Fluss-Proble-me, sind alltagsnah und den Schü-lerInnen bekannt.

Modellieren und Probleme mathe-matisch zu lösen sind wie bereitserwähnt im Lehrplan als Kompe-tenzen verankert93.

Darüber hinaus spielen graphischeMethoden zu Optimierung explizitin (L7) Funktionaler Zusammen-hang - nichtlineare Funktioneneine Rolle.94

Die Eulersche Polyederformel wirdbereits im Lehrplan der Orientie-rungsstufe aufgegriffen.95

Nicht als eigenständiges Themen-gebiet im Lehrplan vorgesehen.Jedoch durchaus Vernetzungenmöglich: Eine unmittelbare An-wendung des Vorlesungsstoffesvor allem in Projektunterricht mög-lich.

Wird im Grundkurs im Gebiet derLinearen Algebra/AnalytischenGeometrie das Wahlpflichtgebiet 3:Matrizen in praktischenAnwendungen, bzw. imLeistungskurs dasWahlpflichtgebiet 2: Vektoren undMatritzen gewählt, bietet sich an,einen Exkurs zu Algorithmen96 zumachen, die mit Matrizen arbeiten(Als relativ intuitiver Algorithmusbietet sich der Algorithmus vonDijkstra an).

89 Vgl. auch http://optimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/90 Stephan Hußmann, Brigitte Lutz-Westphal: Kombinatorische Optimierung erleben, Wiesbaden, 2007.91 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 4f92 Vgl. P. Gritzmann, R. Brandenberg: Das Geheimnis des kürzesten Weges – Ein mathematisches Abenteuer, Berlin,

Heidelberg, New York, 2002.93 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 4.94 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 100.95 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 32.96 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 37ff und 60ff.

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Mathematische ModellierungBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Um mathematische Modellierungernsthaft betreiben zu können,werden die Kompetenzen K1, K2,K3 und K697 benötigt und aktiv trai-niert. Aufgrund der sehr großenThemenauswahl ist zu praktisch al-len Gebieten des Lehrplans einBezug herstellbar. Auf einen expli-ziten Verweis wird allerdings ver-zichtet.Der Kompetenz 3 (Mathematischmodellieren) wurde bei der Erstel-lung des Lehrplanes explizit Ge-wicht zugesprochen. Die Veranstaltung zur mathemati-schen Modellierung kann alsoStrategien, Heuristiken und sicherauch Themen für eine spätere Pro-jektarbeit in der Schule liefern.Außerdem liefert sie an einigenStellen die Motivation zur Einfüh-rung von Techniken und Verfahren,die in den weiterführenden mathe-matischen Vorlesungen vorgestelltwerden.

Katja Maaß, Dozentin an der PHFreiburg widmete sich Modellie-rungsbeispielen im Untericht derSekundarstufe I98. Das Buch ent-hält konkrete Themenvorschlägemit möglichen Lösungen , die zumTeil einzelne Kompetenzen inner-halb des Modellierungsprozessesansprechen, teilweise aber auchden gesamten Prozess anstoßen.

Im Rahmen von Modellierungsta-gen am Fachbereich Mathematikwurden mehrere Projekte ausgear-beitet und erprobt, die die Bearbei-tung komplexer, authentischer Fra-gestellungen aus der Erfahrungs-welt der Schüler ermöglichen.

Ausgehend von den vielfältigen Er-fahrungen der in Kaiserslauternentwickelten Mathematischen Mo-dellierungswochen ist inzwischeneine große Sammlung von realenFragestellungen entstanden, diemit Methoden der MathematischenModellierung in kleineren Projek-ten im Unterricht sowie im Rahmenvon Arbeitsgemeinschaften oderFacharbeiten bearbeitet werdenkönnen.Verbindungen zu praktisch allenGebieten der Oberstufenmathema-tik sind dabei möglich.99

Proseminar Mathematische ModellierungBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

In der Veranstaltung Mathemati-sche Modellierung werden ausge-wählte Bearbeitungen realer Pro-blemstellungen vorgestellt und dis-kutiert. Um selbst das mathemati-sche Modellieren zu erlernen, istdas eigene Tun unabdingbar! Daher bietet dieses Proseminar dieMöglichkeit, durch die konkrete Be-arbeitung von realen Fragestellun-gen in Gruppen zu je 4–5 Teilneh-mern einen praktischen Einstieg indie Modellierung zu bekommenund die eigenen Fähigkeiten zu

Es gelten im Grunde dieselbenBemerkungen wie zur Veranstal-tung Mathematische Modellierung,nur dass hier die Fähigkeit, selbstProbleme mit Methoden der Ma-thematischen Modellierung zu lö-sen, erlernt werden soll. Dies ist unbedingte Voraussetzungdafür, später selbst Schüler bei derMathematischen Modellierung an-zuleiten und zu betreuen.

s. Orientierungsstufe & Sekundar-stufe I

97 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 4f98 Maaß, Katja, Mathematisches Modellieren – Aufgaben für die Sekundarstufe I, Berlin 2007.99 Vgl. auch http://optimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/ und http://wwwagtm.mathematik.uni-

kl.de/agtm/home/modelling.html

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entwickeln. Speziell für Studierende des Lehr-amts gibt es die Möglichkeit, dieselbst bearbeiteten Projekte beiModellierungstagen an Schulenvon der anderen Seite – der desBetreuers – zu erleben und dabeiwertvolle Erfahrungen zu sam-meln.

Mathematik als Lösungspotential B: Einführung in die Stochastik

Stochastische MethodenBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Die Vorlesung „Praktische Mathe-matik: Einführung in die stochasti-schen Methoden“ deckt den The-menbereich für Schulmathematikumfassend ab.

L5 Daten und Zufall bietet vieleAnwendungsbereiche, die im Rah-men von anderen Themen behan-delt werden sollen. Explizit imLehrplan genannt sind: Zählstrate-gien, Daten(-erfassung und -aus-wertung).100

In Klassen 7-8 werden erste kon-krete Anwendungen von stochasti-schen Methoden genannt: einstufi-ge Zufallsexperimente und Wahr-scheinlichkeiten im Alltag.101

In Klasse 9 stehen hauptsächlichstatistische Daten und Quellen imMittelpunkt (Schwerpunkt zur Be-rufsqualifizierung ausgerichtet).102

In Klasse 9-10 werden außerdemBaumdiagramme, Pfadregeln u.ä.Eingeführt.103

Sowohl in Grundkurs104 als auchim Leistungskurs105 sind die The-menblöcke „Stochastik“ verpflich-tend vorgeschrieben und werdenzumeist ein gesamtes Halbjahrlang behandelt, dabei werden na-hezu alle Themen der Vorlesung inAnsätzen aufgegriffen.

100 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 35f101 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 64f102 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 79103 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 109f104 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 40ff105 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 68ff

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Themenmodul A: Mathematik im Wechselspiel zwischen Abstraktionund Konkretisierung

Einführung: AlgebraBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

In dieser Vorlesung wird die Bezie-hung zweier grundlegender alge-braischer Strukturen (Gruppen undKörper) zueinander untersucht.Dies führt zu Antworten auf klassi-sche (in derSchule unbeantwortete) Fragender Schulgeometrie (wie die "Qua-dratur des Kreises" oder die "Win-keldreiteilung") und der Schulalge-bra (Verallgemeinerung der pq-Formel für nicht-quadratische Glei-chungen). Der angehende Lehrer lernt also,was geht und was nicht, und vorallemauch weshalb. Eine wichtige Rollespielen dabei auch Symmetriebe-trachtungen.

Das auch im Proseminar„Geometrie“ erwähnte Skript vonLabs106 enthält auchVerknüpfungen zu der Einführungin die Algebra.

Die Abstraktionsstufe der behan-delten Themen ist höher als beider Behandlung in der Schule, die-ses Wissen ist aber als Hinter-grund für das mathematische Ver-ständnis der zukünftigen Lehrerund Lehrerinnen wichtig.

"Konstruktionen mit Zirkel undLineal", "quadratische Gleichun-gen und binomische Formeln","Nullstellen", "Wurzeln", "Symme-trie", "Zahlbereichserweiterung"

Es besteht kein unmittelbarer Be-zug zu den Inhalten der Sekundar-stufe II.

Interessante Anwendungsbeispielesind Symmetriebetrachtungen beiKristallen in der Chemie.

Einführung: FunktionalanalysisBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Im Umgang mit funktional-analyti-schen Konzepten kann ein ange-hender Lehrer/eine angehende

„Matrix“, „Konvergenz“, „Abstand“

Der Lehrlpan der Oberstufe be-

106 Labs, Oliver: Dynamische Geometrie – Grundlagen und Anwendungen, Saarbrücken 2008.http://www.oliverlabs.net/data/0708_DynGeo.pdf

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Lehrerin ein Zusammenspiel vonMethoden der Linearen Algebra,der Analysis und der Topologie er-fahren. Die in der Oberstufenmathematikzentralen Begriffe, wie etwa Matrix,Konvergenz und Abstand, werdenin der Funktionalanalysis von ei-nem abstrakteren Standpunkt ausbeleuchtet und ermöglichen sodem Lehrenden vertiefende Einbli-cke.

schränkt sich im Bereich Analysisauf die Themen Grenzwerte, Diffe-rentialrechnung und Integralrech-nung. Die eigentliche Thematik der Funk-tionalanalysis geht damit über denStoff der Oberstufe hinaus undbietet wenig Möglichkeiten zurschülergerechten Reduktion.

Einführung: FunktionentheorieBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

In der Schule werden Brüche ein-geführt, da es ganze Zahlen gibt,die einander nicht teilen. Wurzeln(und damit die reellen Zahlen) wer-den eingeführt, weil die Länge geo-metrisch konstruierbarer Streckennicht mehr rational ist und weilman positive Zahlen als Quadrat-zahlen schreiben möchte. Immerwenn ein Problem im bekanntenZahlbereich nicht mehr lösbar ist,erweitern wir den Zahlbereich. ImSchulunterricht hört man damitzwar bei den reellen Zahlen auf,aber ganz natürliche Fragen (z.B.sind auch negative Zahlen Qua-dratzahlen?) bleiben offen. Dabeiist nur noch ein vergleichsweisekleiner Schritt zu tun – von den re-ellen zu den komplexen Zahlen –,um zum optimalen Zahlbereich zukommen. Sowohl in der Algebra,als auch in der Analysis lösen sichviele Probleme über den komple-xen Zahlen in Luft auf und wir er-halten eine weit angenehmereTheorie. In der Vorlesung Funk-tionentheorie wird dabei die Analy-sis über den komplexen Zahlen un-tersucht.

"Nullstellen von Polynomen / qua-dratische Gleichungen","Zahlbereichserweiterung", "Inte-gration", "Differentiation"

Der Lehrplan der Oberstufe be-schränkt sich im Bereich Analysisauf die Themen Grenzwerte, Diffe-rentialrechnung und Integralrech-nung. Die eigentliche Thematik der Funk-tionentheorie geht damit über denStoff der Oberstufe hinaus undbietet wenig Möglichkeiten zurschülergerechten Reduktion.

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Einführung: TopologieBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Die Topologie untersucht Eigen-schaften von geometrischen Gebil-den, die unter Dehnung und Stau-chung erhalten bleiben. Dazu redu-ziert sie Begriffe wie die Stetigkeitvon Funktionen auf ihre wesentli-chen Eigenschaften. Dieser kon-zeptionelle Zugang ist dem Ver-ständnis, das Schülern etwa für dieStetigkeit vermittelt wird deutlichnäher als die Definitionen aus derAnalyis.

Keine explizite Verbindung.Mit Topologie wird jedoch im Be-reich der 7.-8. Klasse im Zusam-menhang von zusammengesetz-ten Figuren107 und in (L3) Raumund Form der Orientierungsstufe108

gearbeitet.

Auch in der Oberstufe keine expli-zite Verbindung möglich, im Rah-men der Vektoranalysis/Geometriewird allerdings mit stetigen Abbil-dungen, Schnitten und Nachbar-schaftsbeziehungen gearbeitet.109

Elementare ZahlentheorieBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Die Elementare Zahlentheorie be-schäftigt sich mit elementaren Fra-gen zu Eigenschaften ganzer Zah-len und zu ganzzahligen Lösungenvon Gleichungen. Die Fragen (z.B.ist jede gerade Zahl größer alszwei Summe zweier Primzahlen?)kann jeder Mittelstufenschüler ver-stehen, beantworten können selbstdie besten Mathematiker die Fra-gen z.T. nicht. In der Vorlesungwerden viele solcher Fragen ange-sprochen und Methoden zu Lö-sung entwickelt. Man beachteauch, dass die Suche ganzzahligerLösungen von Gleichungen fürSchüler in aller Regel nahe liegen-der ist als die Suche beliebiger re-eller Lösungen, obwohl sie schwie-riger ist.

Orientierungsstufe: (L1) NatürlicheZahlen111 (hier insbesondere Prim-zahlen, Primfaktorzerlegung); (L1)Ganze Zahlen112; (L1) Bruchzah-len113

Klasse 7-8: (L1) Rationale Zah-len114

"quadratische Gleichungen","ggT", "Division mit Rest", "Zahlbe-reichserweiterungen"

Im Anhang zum Lehrplan wird fürinterdisziplinäre Arbeiten der The-menbereich „Das Problem des Un-endlichen“ vorgeschlagen und dortkonkret die Frage: Gibt es unend-lich viele Primzahlen/Primzahlzwil-linge?115 gestellt, die im Skript vonT. Markwig zur Elementaren Zah-lentheorie auch explizit so gestelltwird.116

107 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 51f108 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 30f109 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 31ff und 57ff.

22

Ein Vorlesungsskript, wurde vonThomas Markwig erstellt.110

GruppentheorieBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Im Schulunterricht werden ver-schiedenste Rechenoperationenverwendet – die vier sogenanntenGrundrechenarten Addition, Multi-plikation, Subtraktion und Division,aber auch das sukzessive Ausfüh-ren von Spiegelungen und anderenSymmetrieoperationen (d.h. dieKomposition von Abbildungen).Welchen Gesetzen diese Operatio-nen genügen, d.h. was erlaubt istund weshalb, ist eine nahe liegen-de Frage. Eine strukturelle Unter-suchung dieser Frage führt unmit-telbar zum Begriff der Gruppe, wieer in der Vorlesung algebraischeStrukturen eingeführt wird. Die Re-duktion auf das Wesentliche inKombination mit der nötigen Ab-straktion hilft, Gemeinsamkeitenund Zusammenhänge zu erkennenund zugleich neue interessanteStrukturen zu finden – Mathematikist mehr als Rechnen. Der Inhalt der Vorlesung geht weitüber das Grundverständnis desGruppenbegriffs in den algebrai-schen Strukturen hinaus.

Vermutlich keine direkten Anwen-dungsmöglichkeiten, allerdingskönnte in der Mittelstufe im Zu-sammenhang mit Zahlbereichser-weiterung eine Schnittmenge auf-treten (vgl. Fachdidaktik zur Zahl-bereichserweiterung)

"Symmetrie", "Rechenoperationen"

kein diekter Zusammenhang zumLehrstoff der Sekundarstufe II

110 http://www.mathematik.uni-kl.de/~keilen/download/Lehre/ZTSS08/skript.pdf116 Markwig, Thomas: Elementare Zahlentheorie – Vorlesungsskript, Kaiserslautern 2008, S. 5f.115 Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 89.114 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 48f113 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 23f112 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 20f111 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 16f

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Themenmodul B: Mathematik als fachübergreifendeQuerschnittswissenschaft

Einführung: Gewöhnliche DifferentialgleichungenBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

In Orientierungsstufe und Sekun-darstufe I ist noch keine Verbin-dung herstellbar, da keine Diffe-rentialrechnung bekannt ist.

Differential- und Integralrechnungwird in der Analysis der Oberstufebehandelt, dabei wird der Haupt-satz der Differential- und Integral-rechnung thematisiert117 Im Leis-tungskurs sollen darüber hinausauch einfache Differentialgleichun-gen gelöst werden Die Lösungender Differentialgleichungen sollten(evtl. nach einer einfachen Sepa-ration oder Substitution) durch di-rektes Integrieren ermittelt werdenkönnen. Weiterhin sieht der Lehr-plan vor, dass ein numerischesLösungsverfahren für Differential-gleichungen kennen gelernt wer-den soll.118

Einführung in das symbolische RechnenBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Viele Gleichungen, die in der Ma-thematik und in ihren Anwendun-gen auftreten, lassen sich nicht ex-akt lösen – sei es, dass die Anzahlder Nachkommastellen der Lösun-gen unendlich ist, oder sei es,dass die Anzahl der Lösungenselbst unendlich ist. Oft lassensich aber wesentliche Eigenschaf-ten der Lösungen oder der Geo-metrie der Lösungsmengen ermit-teln, indem man die Lösungensymbolisch berechnet. Zudemkönnen diese symbolischen Lö-sungen oft verwendet werden, umexakt weiter zu rechnen und Run-dungsfehler zu vermeiden. In der

"Polynome", "Nullstellen von Poly-nomen", "Dimension", "Primzahlenund Primfaktorzerlegung"

Der generell für Lehrer gefordertesichere Umgang mit mathemati-scherSoftware wird gefördert sowie ei-genes Programmieren geübt.

"Polynome", "Nullstellen von Poly-nomen", "Dimension", "Primzahlenund Primfaktorzerlegung"

Der generell für Lehrer gefordertesichere Umgang mit mathemati-scherSoftware wird gefördert sowie ei-genes Programmieren geübt.

117 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 26ff. bzw. S. 50 ff.118 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 55.

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Vorlesung werden algorithmischeVerfahren entwickelt, die für An-wendungen in den Bereichen deralgebraischen Geometrie und derZahlentheorie bedeutsam sind, diez.T. aber auch Bestandteil der Ma-thematiksoftware sind, die in Schu-len eingesetzt wird.

In der Vorlesung werden ganz we-sentlich die GrundkompetenzenK2 und K5 gefordert und gefördert.

Lineare OptimierungBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Fragestellungen und Methodender Linearen Optimierung eröffnenLehrenden und Lernenden neueMöglichkeiten der Unterrichtsge-staltung, in der problemorientierteZugänge eine wichtige Rolle spie-len und selbsttätiges forschendentdeckendes Lernen gefördertwird. Themen aus der LinearenOptimierung sind prinzipiell in allenStufen (entsprechend aufbereitet)zur Motivation an Mathematik ein-setzbar.119 Ein Buch, das sich mitder linearen Optimierung ausein-andersetzt und Vorschläge für Pra-xisnahen Unterricht liefert wurdevon Prof. Hamacher et al. 2004veröffentlicht.120

In der Veranstaltung werden dieKompetenzen K2, K3 und bei einerUmsetzung im Unterricht auchK6121 benötigt und aktiv trainiertund für die Lehre in der Schulenutzbar gemacht.

Wie bereits erwähnt kann mit The-men der Linearen Optimierung na-hezu alle Anforderungen der Kern-kompetenzen des Lehrplanes122

erfüllt werden. Darüber hinausspielen graphische Methoden zuOptimierung explizit in (L7) Funk-tionaler Zusammenhang - nichtli-neare Funktionen eine Rolle.123

Darüber hinaus wird bereits in derMittelstufe auch explizit mit Un-gleichungen124 gearbeitet. Am Bei-spiel einer Optimierungsaufgabemit Restriktionen können solcheUngleichungen eingeführt werden.

Nicht als eigenständiges Themen-gebiet im Lehrplan vorgesehen.

Teilaspekte der Linearen Optimie-rung spielen jedoch in der Mathe-matik der Oberstufe eine großeRolle. Durch geeignet gewählteBeispiele kann über die Optimie-rung also eine Motivation für dieSchülerInnen generiert werden.Beispiele für thematische Schnitt-mengen sind: Geraden und Halb-räume125, Schnittpunktberechnungvon Geraden126 und Lösen vonGleichungssystemen127, und insbe-sondere auch graphische (geome-trische Lösungsmethoden), aberauch mit Aufgaben aus der Diffe-rential-/Integralrechnung (z.B. Ex-tremwertaufgaben: Optimierungvon Milchkartons128)).

Eine unmittelbare Anwendung desVorlesungsstoffes ist zudem ggf. inProjektunterricht möglich.

119 Vgl. auch http://optimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/120 Horst W. Hamacher, u.a.: Mathe & Ökonomie – Neue Ideen für den praxisnahen Unterricht, Wiesbaden, 2004121 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 4f122 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 4.123 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 100.124 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 60125 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 31ff und 57ff.126 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 31ff und 57ff.127 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 64ff128 z.B. August Schmid u.a. (Hrsg.): LS Mathematik - Analysis Leistungskurs Gesamtausgabe, Stuttgart u.a. 1999,

S.147f.

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In den neu konzipierten Lehrplä-nen wurde der Kompetenz 3 (Ma-thematisch modellieren) explizitGewicht zugesprochen.

NetzwerkoptimierungBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Wie in der Linearen Optimierunglassen sich auch in der Netzwer-koptimierung Bereiche finden, diein nahezu allen Klassenstufen alsMotivation eingesetzt werden kön-nen.129 Ein Buch, das sich mit derNetzwerkoptimierung auseinander-setzt und Anwendungen von Netz-werkproblemen für SchülerInnenund StudentInnen liefert wurde2007 veröffentlicht.130

In der Veranstaltung werden dieKompetenzen K2, K3 und bei einerUmsetzung im Unterricht auchK6131 benötigt und aktiv trainiertund für die Lehre in der Schulenutzbar gemacht.In den neu konzipierten Lehrplä-nen wurde der Kompetenz 3 (Ma-thematisch modellieren) explizitGewicht zugesprochen.

Kürzeste Wege Probleme (bei U-Bahn-Fahrten, Schulwegen oderDatenpaketen im Internet)132, Mini-male aufspannende Bäume (zurPlanung von Leitungsnetzen, Stra-ßen oder Computerverkabelun-gen) und die Grundfrage der Nez-werkoptimierung: „Wie viel passtnoch in die Leitung?“, also Fluss-Probleme, sind alltagsnah und denSchülerInnen bekannt.

Modellieren und Probleme mathe-matisch zu lösen sind wie bereitserwähnt im Lehrplan als Kompe-tenzen verankert133.

Darüber hinaus spielen graphischeMethoden zu Optimierung explizitin (L7) Funktionaler Zusammen-hang - nichtlineare Funktioneneine Rolle.134

Die Eulersche Polyederformel wirdbereits im Lehrplan der Orientie-rungsstufe aufgegriffen.135

Nicht als eigenständiges Themen-gebiet im Lehrplan vorgesehen.Jedoch durchaus Vernetzungenmöglich: Eine unmittelbare An-wendung des Vorlesungsstoffesvor allem in Projektunterricht mög-lich.

Wird im Grundkurs im Gebiet derLinearen Algebra/AnalytischenGeometrie das Wahlpflichtgebiet3: Matrizen in praktischenAnwendungen, bzw. imLeistungskurs dasWahlpflichtgebiet 2: Vektoren undMatritzen gewählt, bietet sich an,einen Exkurs zu Algorithmen136 zumachen, die mit Matrizen arbeiten(Als relativ intuitiver Algorithmusbietet sich der Algorithmus vonDijkstra an).

129 Vgl. auch http://optimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/130 Stephan Hußmann, Brigitte Lutz-Westphal: Kombinatorische Optimierung erleben, Wiesbaden, 2007.131 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 4f132 Vgl. P. Gritzmann, R. Brandenberg: Das Geheimnis des kürzesten Weges – Ein mathematisches Abenteuer, Berlin,

Heidelberg, New York, 2002.133 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 4.134 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 100.135 Vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10, S. 32.136 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 37ff und 60ff.

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VektoranalysisBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Ein Skript von C. Mayer ist didak-tisch sehr gut aufbereitet mit Ver-weisen zur Schulmathematik 137.

Zu den Inhalten der Orientierungs-stufe und Sekundarstufe I kannnoch keine explizite Verbindunghergestellt werden.

Im Lehrplan der Oberstufe im Rah-men der Linearen Algebra/Analyti-schen Geometrie behandelt, dabeiist im Grundkurs einer der drei fol-genden Wahlpflichtbausteine zubehandeln:Wahlpflichtgebiet 1: Geraden undEbenen im Raum – Wahlpflichtge-biet 2: Geometrische Abbildungenund Matrizen – Wahlpflichtgebiet3: Matrizen in praktischen Anwen-dungen138 Im Leistungskurs ist ei-nes von den folgenden drei Gebie-ten zu wählen: Wahlpflichtgebiet 1:Vektorielle analytische Geometrie– Wahlpflichtgebiet 2: Vektorenund Matrizen – Wahlpflichtgebiet3: Vektorräume und Gleichungs-systeme − Anwendungen.139

Die in der Vorlesungsbeschreibungangegebenen Parametrisierungenwerden im Rahmen der Wahl-pflichtbausteine behandelt, die zu-gehörigen Integrale nicht zwangs-läufig. Mannigfaltigkeiten, Tangen-tialräume, Differentiale differen-zierbarer Abbildungen und dieklassischen Differentialoperatorenfinden keine Anwendung.Die Sätze von Gauß und Stokeskönnen ggf. aus der Physik derOberstufe bekannt sein.

Kryptographie und CodierungstheorieBezug zum Lehrplan


Sekundarstufe II

Die Bedeutung von Verfahren zurVerschlüsselung bzw. zur fehler-freien Übertragung von Daten istim Zeitalter zunehmender Digitali-sierung selbsterklärend. Viele derheute eingesetzten Verfahren be-ruhen auf einfachen mathemati-

"Primfaktorzerlegung", "ggT","Rechnen mit Matrizen", "lineareGleichungssysteme"

"Primfaktorzerlegung", "ggT","Rechnen mit Matrizen", "lineareGleichungssysteme"

137 http://www.student.uni-kl.de/~cmayer/Lectures/Vektoranalysis/skript.pdf138 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 31ff.139 Vgl. Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach der gymnasialen Oberstufe, S. 57ff.

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schen Grundprinzipien wie etwader Primfaktorzerlegung von gan-zen Zahlen oder der Lösung linea-rer Gleichungssysteme, so dassdie Verfahren dem Verständnisvon Schülern zugänglich sind. Inder Vorlesung werden sowohl dieGrundprobleme wie auch grundle-gende Verfahren angesprochen.

Als Literatur zum Einstieg geeignetist z.B. 140 und141.

140 Beutelspacher, A.: Kryptologie – Eine Einführung in die Wissenschaft vom Verschlüsseln, Verbergen undVerheimlichen, vieweg, 2005

141 Schulz, R.-H.: Codierungstheorie: Eine Einführung, vieweg, 2003

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