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Regelungs- und Systemtechnik 1 Kapitel 3: Laplace ... · PDF fileRegelungs- und Systemtechnik 1 Kapitel 3: Laplace-Transformation Prof. Dr.-Ing. habil. Pu Li Fachgebiet Prozessoptimierung

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  • Regelungs- und Systemtechnik 1

    Kapitel 3: Laplace-Transformation

    Prof. Dr.-Ing. habil. Pu Li

    Fachgebiet Prozessoptimierung

  • 2 Problemdarstellung:

    Man möchte die Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung umwandeln.

    Die Eigenschaften des Systems sind schwer zu analysieren!

    ukya dt dya

    dt yda

    dt yd

    unnn

    n

    n

    n

    =++++ −− −

    11

    1

    1 

  • 3

    , 00 00

    )(   

    ≥≠ <

    = t t

    tf

    Definition:

    ωσ js +=

    { } ∫ ∞

    −== 0

    )()()( dtetftfLsF st

    mit

    Zeitbereich:

    Frequenzbereich:

    Laplace-Transformation typischer Funktionen

  • 4 Laplace-Transformation typischer Funktionen

    Einheitssprung:   

    ≥ <

    == 01 00

    )()( t t

    ttf σ

    { } s

    e s

    dtetLsF stst 11)()( 00

    =−=== ∞

    − ∞

    −∫σ Rampenfunktion: ttf =)(

    2 0

    0 00

    11)1()( s

    dtete s

    de s

    dttesF stststst = 

      

     −−=−== ∫∫∫

    ∞ −∞−

    ∞ −

    ∞ −

    Exponentialfunktion: atetf −=)(

    as e

    as dtedteesF tastasstat

    + =

    + −===

    ∞ +−

    ∞ +−

    ∞ −− ∫∫

    11)( 0

    )(

    0

    )(

    0

  • 5 Laplace-Transformation typischer Funktionen

    Impulsfunktion:    ≤≤

    === → sonst0

    0/1 ,lim)()(

    0

    εε δ εεε

    t rrttf

    { } ∫∫ ==== −→ ∞

    − ε

    ε ε δδ

    0 0

    0

    11lim)()()( dtedtettLsF stst

    also 0für0)( ≠= ttδ

    und ∫ ∫ ∞

    ∞− →

    == ε

    ε ε δ

    0 0

    11lim)( dtdtt

  • 6 Laplace-Transformation typischer Operatoren Differential:

    )0()()()0(

    ))(()(

    0

    0 0

    00

    fssFdtetfsf

    dtestfetfdfedte dt df

    dt dfL

    st

    stststst

    −=+−=

      

      

     −−==

     

      =

      

      

    ∫∫∫ ∞

    ∞ −∞−

    ∞ −

    ∞ −

    Integral:

    )(1)(1

    )()(1

    )(1)()(

    0

    000

    0 00 00

    sF s

    dtetf s

    dtetfedzzf s

    dedzzf s

    dtedzzfdzzfL

    st

    stst t

    st t

    st tt

    ==

      

      

     −

     

       

     −=

      

       

     −=

     

       

     =

    

      

    

      

    ∫∫

    ∫ ∫∫ ∫∫

    ∞ −

    ∞ −

    ∞ −

    ∞ −

  • 7 Eigenschaften der Laplace-Transformation Zeitverschiebung (Totzeit):

    { }

    )()(

    )()()()(

    0

    0

    )(

    0

    sFedefe

    tdetfedtetftfL

    sss

    tssst

    τωτ

    ττ

    ωω

    ττττ

    − ∞

    −−

    ∞ −−−

    ∞ −

    ==

    −−=−=−

    ∫∫

    Überlagerung: { } )()()()( 22112211 sFasFatfatfaL +=+

    Ähnlichkeit: { } ( )

    )(1)(1)(1

    )(1)()(

    00

    /

    0

    /)(

    0

    a sF

    a def

    a def

    a

    atdeatf a

    dteatfatfL

    a s

    as

    aatsst

    ===

    ==

    ∫∫

    ∫∫ ∞ 

     

      −∞

    ∞ −

    ∞ −

    ωωωω ω

    ω

    Achtung: { } )()()()( 2121 sFsFtftfL ≠

  • 8 Laplace-Transformation typischer Funktionen

    )(tf )(sF )(tf )(sF

    )(tσ s 1 tωsin 22 ω

    ω +s

    t 2

    1 s

    tωcos 22 ω+s s

    nt 1 ! +ns

    n te at ωsin− 22)( ω ω

    ++ as

    ate − as +

    1 te at ωcos− 22)( ω++ as s

    ate −−1 )( ass

    a +

    )(tδ 1

    dt dx )0()( xssX −

    2

    2

    dt xd 2 ( ) (0) (0)s X s sx x− − 

    Laplace-Transformation: )()( sFtf →

    Inverse Laplace-Transformation: )()( tfsF →

    { })()( tfLsF =

    { })()( 1 sFLtf −=

    )

    (

    t

    f

    )

    (

    s

    F

    )

    (

    t

    f

    )

    (

    s

    F

    )

    (

    t

    s

    s

    1

    t

    w

    sin

    2

    2

    w

    w

    +

    s

    t

    2

    1

    s

    t

    w

    cos

    2

    2

    w

    +

    s

    s

    n

    t

    1

    !

    +

    n

    s

    n

    t

    e

    at

    w

    sin

    -

    2

    2

    )

    (

    w

    w

    +

    +

    a

    s

    at

    e

    -

    a

    s

    +

    1

    t

    e

    at

    w

    cos

    -

    2

    2

    )

    (

    w

    +

    +

    a

    s

    s

    at

    e

    -

    -

    1

    )

    (

    a

    s

    s

    a

    +

    )

    (

    t

    d

    1

    dt

    dx

    )

    0

    (

    )

    (

    x

    s

    sX

    -

    2

    2

    dt

    x

    d

    2

    ()(0)(0)

    sXssxx

    --

    &

    _1202374135.unknown

    _1202374332.unknown

    _1202374462.unknown

    _1202399228.unknown

    _1202399241.unknown

    _1335073251.unknown

    _1202399192.unknown

    _1202374390.unknown

    _1202374431.unknown

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    _1202373365.unknown

    _1202373258.unknown

    _1202373287.unknown

    _1202373243.unknown

  • 9 Wirkungen der Polstellen )(tf )(sF p

    tωsin 22 ω ω +s

    ωj±

    tωcos 22 ω+s s ωj±

    te at ωsin− 22)( ω ω

    ++ as ωja ±−

    te at ωcos− 22)( ω++ +

    as as ωja ±−

    t 2

    1 s

    nt 1

    ! +ns

    n ate −

    as + 1

    ate −−1 )( ass

    a +

    )

    (

    t

    f

    )

    (

    s

    F

    p

    t

    w

    sin

    2

    2

    w

    w

    +

    s

    w

    j

    ±

    t

    w

    cos

    2

    2

    w

    +

    s

    s

    w

    j

    ±

    t

    e

    at

    w

    sin

    -

    2

    2

    )

    (

    w

    w

    +

    +

    a

    s

    w

    j

    a

    ±

    -

    t

    e

    at

    w

    cos

    -

    2

    2

    )

    (

    w

    +

    +

    +

    a

    s

    a

    s

    w

    j

    a

    ±

    -

    t

    2

    1

    s

    n

    t

    1

    !

    +

    n

    s

    n

    at

    e

    -

    a

    s

    +

    1

    at

    e

    -

    -

    1

    )

    (

    a

    s

    s

    a

    +

    _1202374390.unknown

    _1202450087.unknown

    _1202450156.unknown

    _1202450225.unknown

    _1240648274.unknown

    _1202450178.unknown

    _1202450110.unknown

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    _1202374135.unknown

    _1202374167.unknown

    _1202373243.unknown

  • 10

    da )0()( 0

    fssFdte dt df

    dt dfL st −=

     

      =

      

       ∫

    ∞ −

    [ ])0()(limlim 0

    fssFdte dt df

    s

    st

    s −=

     

      

    ∞→

    ∞ −

    ∞→

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