REGOLATORI STANDARD PIDREGOLATORI …PID PID –– Forma Standard ISAForma Standard ISA • È una generalizzazione della legge di controllo del PID, frequentemente utilizzata nei

SISTEMI DI CONTROLLOIngegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo

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REGOLATORI STANDARD PIDREGOLATORI STANDARD PIDREGOLATORI STANDARD PIDREGOLATORI STANDARD PID

Ing. Luigi Biagiottie mail: luigi biagiotti@unimore ite-mail: [email protected]

http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti

Regolatore Proporzionale, Integrale, Derivativo Regolatore Proporzionale, Integrale, Derivativo -- PIDPID

+ ++ +

+

+_

• Tre azioni di controllo combinate azione proporzionale all'errore azione proporzionale all'integrale dell'errore

i i l ll d i t d ll' azione proporzionale alla derivata dell'errore• standard industriale

• utilizzabile per moltissimi impianti• tecniche di taratura semplici ed automatiche

applicabili anche quando il modello dell'impianto è poco noto• implementabile con molte tecnologie• implementabile con molte tecnologie

Elettroniche (analogiche e digitali), meccaniche, pneumatiche, oleodinamiche

PID -- 2Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo

• disponibile a software sui sistemi di controllo industriale

Regolatori Regolatori PID PID –– forma standardforma standard

Kp Guadagno proporzionaleTi Costante di tempo dell’azione integrale (o di reset)

• Significato delle tre azioni di controllo

i p g ( )Td Costante di tempo dell’azione derivativa

Significato delle tre azioni di controllo• azione proporzionale

maggiore è l'errore, maggiore è l'azione di controllogg , gg• azione integrale

errore nullo a segnali di riferimento o disturbi costanti• azione derivativa

azione di controllo "preventiva" anticipo di fase anticipo di fase

I termini derivativo e/o integrale possono essere assenti:R l t PIPI R l t PDPD R l t PP


Regolatore PIPI, Regolatore PDPD, Regolatore PP

Regolatori PIDRegolatori PID

• Funzione di trasferimento

2 zeri a parte reale negativa, 1 polo nell'originep g , p gsistema improprio, non fisicamente realizzabile

• PID in forma reale: la derivata è sostituita dal termine:

• Simile ad una rete di anticipo20 i i il l ll' d ll

PID in forma reale: la derivata è sostituita dal termine:

• N = 520 per posizionare il polo all'esterno della banda di interesse.

l l l / d f 'Il polo reale in –N/Td modifica un po' la posizione degli zeri, ma per valori di N sufficientemente elevati la


variazione può essere trascurata

Regolatori PID Regolatori PID –– Casi particolariCasi particolari

• Regolatore P• 1/Ti=0 ; Td=0

allarga la banda aumenta il guadagno a bassa frequenza riduce il margine di fase

• usato per processi asintoticamente o semplicemente stabili d l t i i t ti h i hi d l ti d iquando le prestazioni statiche non richiedano elevati guadagni e

l'uso di un azione integrale

• Regolatore PI• Td=0• rete di ritardo con polo nell’origine e zero in –1/Ti

lt diff i li ll i d t i l• molto diffusi a livello industriale• soddisfacimento delle specifiche statiche (integratore)• f ilità di t t li i i (1° di + it d )


• facilità di taratura per semplici processi (1° ordine + ritardo)

Regolatori PID Regolatori PID –– Casi particolariCasi particolari

Caso ideale

C l• Regolatore PD

• 1/Ti=0

Caso reale

• 1/Ti=0• rete di anticipo con lo zero in s=-1/Td ed il polo reale fuori banda

(all’infinito nel caso reale)( )• usato quando non vi siano problemi di instabilità o di prestazioni

statiche, ma sia necessario allargare la banda passante


Regolatore PID completoRegolatore PID completo

• rete a sella: 1 polo nell'origine (+ 1 polo ad alta frequenza) e 2 50

idealeideale( p q )zeri

• zeri reali se T 4T0

• zeri reali se Ti 4Td

• zeri coincidenti (in s = -1/ 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2-50

realereale(

2Td) se Ti = 4Td

scelta spesso comoda

100 idealeideale

scelta spesso comoda per la taratura

0

realereale


-100

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2

Aspetti realizzativi delle azioni derivativeAspetti realizzativi delle azioni derivative

+ +1/T1/TIIss

+y e +

+uKKpp

sTd-

+yspStruttura classicaStruttura classica

PID sNT1 d

d

yl f d t di ll èl f d t di ll èla f.d.t. di anello è la f.d.t. di anello è la stessa nei 2 casila stessa nei 2 casi

Struttura con Struttura con +

+1/T1/TIIss

+yazione derivativa azione derivativa solo sulla uscitasolo sulla uscita

e +

-uKKpp

-

+ysp

sTd

limitazione dellalimitazione dellai di t lli di t ll

PIDy

sNT1 d

d


azione di controlloazione di controllo

Regolatori PID Regolatori PID -- EsempioEsempio

• Impianto:

Sintesi per cancellazione:

c 0.78M 50°

50

MF 50

0

Gai

n dB

10 -1 10 0 10 1

Frequency (rad/sec)

-50

Frequency (rad/sec)-60

-90120e

deg

-120-150-180

Phas

e


10 -1 10 0 10 1

Regolatori PID Regolatori PID -- EsempioEsempio

• Comportamento delle diverse azioni derivative

Impianto:c 0.78M 50°

15derivata dell'uscitaderivata dell'uscita

MF 50

1

1.2

10

derivata dell uscitaderivata dell uscita

0 4

0.6

0.8

5

derivata dell'errorederivata dell'errore

0

0.2

0.4

0 5 10 150

0 5 10 150 5 10 15Time (s)

uscita impianto

0 5 10 15Time (s)

uscita regolatore


p g

Effetto del rumore di misuraEffetto del rumore di misura

• azione derivativa reale: • polo in --N/N/TTdd 1

1.2

0.4

0.6

0.8

I i t0 5 10 15

0

0.2Impianto:

Mi

N = 205

N = 55

Misurarumorosa

uscita del d i t

0 0

derivatore

-50 5 10 15

-50 5 10 15


0 5 10 15Time (s)

0 5 10 15Time (s)


•• Problemi causati dalla saturazione dell'attuatoreProblemi causati dalla saturazione dell'attuatore• controllo applicato all'impianto da quello generato dal regolatore

rallentamento nella rispostarallentamento nella risposta

G(s)uM

R(s)ysp + e u m y

G(s)-uM

R(s)-



• Problemi causati dalla saturazione dell'attuatore• controllo applicato all'impianto da quello generato dal regolatore

eccessivo “caricamento” dell'azione integrale rallentamento nella risposta

1

1.5

2

1

1.5

2

uscitauscita

-0.5

0

0.5

y(t),

e(t)

-0.5

0

0.5

y(t),

e(t)

erroreerrore

0.8

1-1

0.8

-1

0 2

0.4

0.6

umaxu(

t)

0.2

0.4

0.6

u(t)

controllocontrollo

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

t [s]0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-0.2

0

t [s]2

PID -- 13

Con saturazioneSenza saturazione


• Problemi causati dalla saturazione dell'attuatore• schema di desaturazione per regolatori PID

modello della modello della saturazionesaturazione

-uM

uM G(s)Kpysp

+-e u m y++

+ - -uM

uM

z

la desaturazione noni l' i

in in regioneregione linearelinearefdtfdt PIPI

interessa l'azione derivativa sull'uscita

fdtfdt PIPIu m



• Problemi causati dalla saturazione dell'attuatore• desaturazione dell'azione integrale

2 1.5

0 5

1

1.5

2

e(t)

0.5

1

1.5

, e(t)

1

-0.5

0

0.5

y(t),

-0.5

0

0.5

y(t)

0.6

0.8

1-1

0.6

0.8

1

)

0.5

0.2

0.4

u(t)

umax 0.2

0.4

u(t)

umax

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

t [s]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

t [s]

Con saturazione Con desaturazione

appena l'errore cambia di segno, l'azione di appena l'errore cambia di segno, l'azione di controllo si desaturacontrollo si desatura


controllo si desaturacontrollo si desatura

PID PID –– Forma Standard ISAForma Standard ISA

• È una generalizzazione della legge di controllo del PID, frequentemente utilizzata nei regolatori commerciali.

• Vi h d i t f t t i t• Viene anche denominata forma pesata, con peso su set-point e misura.

• Per b=1 c=1 si ottiene la forma standard del PIDPer b 1, c 1 si ottiene la forma standard del PID• Permette di ottenere funzioni di trasferimento diverse (e quindi

risposte diverse) tra ingresso di set-point e disturbo sull’uscita e p ) g pl’uscita stessa

• l’acronimo ISA sta per International Society of Automation( i i i t t l di I t t S i t f A i )(originariamente nota col nome di Instrument Society of America)


PID PID –– Forma Standard ISAForma Standard ISA

• Realizza un regolatore a due gradi di libertà: l’elaborazione del set-point e dell’uscita sono diverse. Ciò permette di aggiustare in modo indipendente le risposte al set-point ed ai disturbi di carico.

+-

+

I parametri b e cI parametri b e c consentono di

fissare gli zeri della f i difunzione di

trasferimento tra set-point e uscita


set point e uscita

Metodi di taratura mediante tabella (tuning)Metodi di taratura mediante tabella (tuning)

• Sono metodi di taratura “convenzionali” spesso adottati in pratica per tarare strutture di controllo PID per sistemi industriali con poli reali. E i t d di “fil fi ” di t t h i diff i d l tiEsistono due diverse “filosofie” di taratura che si differenziano dal tipo di descrizione del sistema controllato:• Metodi ad anello apertoMetodi ad anello aperto

Si basano sull’approssimazione del sistema controllato con un sistema del primo ordine con ritardop

• Metodi ad anello chiusoSi basano sulla conoscenza dedotta per via sperimentale, del

margine di ampiezza del sistema e della frequenza caratteristica dove arg( ) 180ocaratteristica f dove arg(f)=-180o


Tuning in anello apertoTuning in anello aperto• Concetto base

• il metodo si applica a processi industriali con risposta aperiodica (poli reali) molto diffusi(poli reali) molto diffusi

• si approssima l'impianto con un modello del 1° ordine con ritardo

• si entra in opportune tabelle costruite per garantire• si entra in opportune tabelle costruite per garantire• la tipologia della risposta in retroazione (Ziegler-Nichols,…)• il soddisfacimento di opportuni indici integrali sull'errore:il soddisfacimento di opportuni indici integrali sull errore:

ISE IAE ITAE


Tuning in anello apertoTuning in anello aperto

• Costruzione del modello• con ingresso a gradino unitario si registra la risposta• la si approssima con una f.d.t. del 1° ordine con ritardo, ricavando

il guadagno statico dall’andamento asintotico Il ritardo T e la costante di tempo del polo dal calcolo della

tangente nel punto di flesso della risposta sperimentale

Punto di flesso

tT


T


• Tabelle per il tuning in base alla risposta desiderata



• Tabelle per il soddisfacimento di indici integrali:

• IAE (Integral Absolute Error)

Errore in retroazione a fronte di ingresso a gradino• IAE (Integral Absolute Error)

• ITAE (Integral Time Absolute Error)

• Basate sul modello dell’impianto


Tuning in anello chiusoTuning in anello chiuso

• Metodo di Ziegler-Nichols• Attivando la sola azione

proporzionale, si porta il sistema al limite della stabilità (oscillazioni permanenti)permanenti)

Plant

• In questo modo viene stimata la qdinamica dell’impianto

• Si determina il periodo T* delle oscillazioni ed il valore critico K* del guadagno per cui tali oscillazioni si verificano.• Attraverso questo esperimento si determina

• Margine di ampiezza dell’impianto:l d ll’ ( )


• Pulsazione dell’impianto ( ):

Tuning in anello chiusoTuning in anello chiuso

• A partire dei valori di k* e T* si determinano i parametri del controllore

La procedura non si applica a sistemi che hanno MLa procedura non si applica a sistemi che hanno M infinitoinfinito


La procedura non si applica a sistemi che hanno MLa procedura non si applica a sistemi che hanno Maa infinitoinfinito

Metodi di taratura nel dominio della frequenzaMetodi di taratura nel dominio della frequenza

• Formulazione dei regolatori standard sotto forma di costanti di tempo


Regolatori PIRegolatori PI

40

60

dB)

Bode Diagram

0

20

Mag

nitu

de (d

-200

g)

-45

Pha

se (d

eg

• Dai diagrammi di Bode si nota che complessivamente l’effetto utile del

10-2

10-1

100

101

102

103

-90

Frequency (rad/sec)

• Dai diagrammi di Bode si nota che complessivamente l effetto utile del regolatore PI è quello di attenuare ad alta frequenza di una quantità che può essere scelta ad arbitrio modificando la pulsazione di intervento dello zero senza sfasare (sfasamento negativo trascurabile ad alta frequenza)

• Il PI i t t di it d


• Il PI si comporta come una rete di ritardo

Regolatori PI: regole di taraturaRegolatori PI: regole di taratura

• La taratura nel dominio delle frequenze può essere eseguita scegliendo opportunamente la costante di guadagno e la posizione d ll l fi di i t i di f tdello zero al fine di imporre un certo margine di fase e una certa pulsazione di incrocio per il sistema esteso

• D ti d l bl• Dati del problema:• Sistema esteso Ge(s)• Pulsazione di attraversamento * e margine di fase M *• Pulsazione di attraversamento c* e margine di fase Mf*

• Algoritmo per la taratura del PIStep1: Calcolare e (lettura diagramma di Bode)Step1: Calcolare e (lettura diagramma di Bode)

Step2: Calcolare l’anticipo di fase necessario per soddisfare la specifica su M*

f

Step3: Calcolare il valore di che garantisce lo sfasamentoStep3: Calcolare il valore di z che garantisce lo sfasamento


Regolatori PI: regole di taraturaRegolatori PI: regole di taratura

Step4: Valutare il valore di amplificazione introdotto dallo zero alla pulsazione c*

Step5: Calcolare in modo che c* diventi la nuova pulsazione di incrocio

• La calibrazione del PI posiziona uno zero a frequenza minore rispetto• La calibrazione del PI posiziona uno zero a frequenza minore rispetto a quella di attraversamento, producendo possibili code di assestamento o sovraleongazioni maggiori rispetto a quelle preventivate


Regolatori PI: taratura in cancellazioneRegolatori PI: taratura in cancellazione

• Anche la taratura del PI può essere svolta per cancellazione tra lo zero e un polo dell’impianto a frequenza inferiore rispetto a c

*

• Rimane in questo modo un unico grado di libertà () utilizzabile per imporre arbitrariamente c

* (caso a) oppure Mf* (caso b)

• AlgoritmoStep1: Fissare z in modo che lo zero del PI cancelli un polo di G(s) p z p ( )

Step2a: Data c* e

fissare

Step2b: Identificare la frequenza * per cui Ge(s) presenta una fase compatibile con Mf

* (cioè )p f ( )

e fissare


e fissare


• Rispetto ai PI presentano uno zero aggiuntivo (e un polo per la realizzabilità fisica).realizzabilità fisica).

• Possono essere visti come l’unione di un regolatore PI e di una rete anticipatrice

PI Rete Anticipatrice

• L’aggiunta della rete anticipatrice (e quindi dello zero legato all’azione derivativa) permette di migliorare il margine di fase (allargando la banda)banda)

• Per la taratura si procede dapprima considerando il solo PI e poi aggiungendo la rete anticipatrice


aggiungendo la rete anticipatrice

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REGOLATORI STANDARD PIDREGOLATORI STANDARD PIDFINEFINE

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