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Regressionsanalyse
Oprea Andra Sanda Ioana
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Einleitung
Die Regressionsanalyse ist ein statistisches Analyseverfahren. Ziel ist es, Beziehungen zwischen einer abhängigen und einer oder mehreren unabhängigen Variablen festzustellen. Die Regressionsanalyse kann als Spezialfall eines Strukturgleichungsmodells aufgefasst werden.
Allgemein wird eine metrische Variable Y betrachtet, die von einer zweiten
Variablen x abhängt. Üblicherweise ist ein n-dimensionaler Vektor, wobei die einzelnen x-Werte untereinander unabhängig sind. Im eindimensionalen Fall spricht man von einer einfachen linearen Regressionsanalyse, in Dimensionen größer gleich zwei von einer multiplen Regressionsanalyse.
Deskriptive Regression
Im Falle einer deskriptiven Regression wird angenommen, dass die Zusammenhänge zwischen x und den Beobachtungen Y deterministisch sind, also nicht vom Zufall abhängen. Dieser Fall lässt sich als Y = f(x) darstellen, wobei die Funktion f nicht oder nicht vollständig bekannt ist. Bei diesen deskriptiven Verfahren wird vor allem Wert auf den numerischen Aspekt der Regression gelegt. Das typische Instrument zur Analyse ist dabei die Methode der kleinsten Quadrate.
Wahrscheinlichkeitstheoretische Regression
Im Falle der wahrscheinlichkeitstheoretisch basierten Regression sind die beobachteten Variablen mit einem zufälligen Fehler ε behaftet, dieser Fall wird durch
modelliert. Die „wahren“ Zusammenhänge zwischen Y und f(x) sind demnach nicht bekannt und müssen geschätzt oder prognostiziert werden. Entsprechend wird dieses statistische Regressionsmodell anhand von Schätz- und Testverfahren analysiert. Dennoch liegen der wahrscheinlichkeitstheoretisch basierten Regressionsanalyse immer die numerischen Verfahren der deskriptiven Regression zu Grunde.
• Die Regressionsanalyse ist ein statistisches Verfahren zur Analyse von Daten und geht von der Aufgabenstellung aus, sog. "einseitige" statistische Abhängigkeiten (d.h. statistische Ursache-Wirkung-Beziehungen) durch so genannte "Regressionsfunktionen" zu beschreiben. Dazu verwendet man oft lineare Funktionen, aber auch quadratische Funktionen und Exponentialfunktionen
Regression zwischen x und y
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• Es wird eine metrische Variable y betrachtet, die von einer oder mehreren metrischen unabhängigen Variablen bestimmt wird. Ein Beispiel wäre die Abhängigkeit der Arbeitslosenzahl von den Exporten und dem Inlandskonsum. Mit Hilfe der Regressionsanalyse wird die Struktur der Abhängigkeit zwischen y und den unabhängigen Variablen untersucht. Die interessierende Variable y wird abhängige Variable oder Zielvariable und die erklärenden Variablen x werden unabhängige Variablen oder Regressoren genannt.
Bezeichnungen der Variablen
Y X
Abhängige Variable Unabhängige Variable
Regressand, Zielvariable
Regressor
Endogene Variable Exogene Variable
Zu erklärende Variable
erklärende Variable
Response-Variable Prediktor-Variable
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Grundgesamtheit
Regressionsfunktion
Residuen
Zusammenhang zw. GGH und Regressionsfunktion
Methode der kleinsten Quadrate
• Die Methode der kleinsten Quadrate (KQ, auch: Methode der kleinsten Fehlerquadrate; englisch: Ordinary Least Squares Method, OLS) ist das mathematische Standardverfahren zur Ausgleichungsrechnung: Es ist eine Wolke aus Datenpunkten gegeben, die physikalische Messwerte, wirtschaftliche Größen usw. repräsentieren können. In diese Punktwolke soll eine möglichst genau passende parameterabhängige Modellkurve gelegt werden. Dazu bestimmt man die Parameter dieser Kurve numerisch, indem die Summe der quadratischen Abweichungen der Kurve von den beobachteten Punkten minimiert wird.
Normalgleichungen
Eine Regressionsgerade kann nach der Methode der Kleinsten Quadrate (KQ, OLS) bestimmt werden
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Annahmen des Klassischen linearen Regressionsmodells I1. Die Datenmatrix X ist fest vorgegeben (nicht zufällig)
2. Der wahre Zusammenhang ist von der Form:
3. Bezüglich der Störgröße ui
a) Der Störterm jeder Beobachtung hat den Erwartungswert 0
b) Alle Störterme haben die gleiche Varianz s (Homoskedastie): Var(ui)=s2
u
c) Alle Störterme sind paarweise unkorreliert: Cov(ui,uj)=0
4. Die Datenmatrix X hat den Rang (p+1).
• Die Annahme über die Störterme könnte man so auffassen, dass diese keinerlei Information enthalten darf und nur zufällig streut. Deshalb kann y auch nur durch Informationen aus X erklärt werden.
• Die letzte Annahme ist für eine eindeutige Lösung des Regressionsproblems erforderlich.
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Zerlegung der Abweichungsquadratsumme
Annahmen des Klassischen linearen Regressionsmodells IIDamit die Regressionsschätzungen inferentiell analysiert werden können,
müssen für das klassische lineare Regressionsmodell bestimmte zusätzliche Annahmen erfüllt sein:
Unter dieser Annahme gilt für das Bestimmtheitsmaß
Mit m = k+1 = Anzahl der „echten“ Regressoren (in der Einfachregression = 1)
Verteilung der Stichprobenregressionskoeffizienten-Aus ui~n folgt
-Die Koeffizienten der Stichprobenregressionsfunktion (B1, B2) sind Zufallsveränderliche.
-Sie sind erwartungstreu: E(Bi) = bi
-Sie sind Linearkombinationen von y:
-Aus a) und d) folgt:die Stichprobenregressionskoeffizienten Bi sind normalverteilt
a) Daraus folgt:
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Varianz der Stichprobenregressionskoeffizienten
Gauß-Markov-Theorem:
Unter allen linearen, unverzerrten Schätzfunktionen besitzt unter Gültigkeit der Annahmen 1 bis 3c die KQ-Schätzfunktion die kleinste Varianz. Sie ist
BLUE: Best linear unbiased estimator
Schätzer für die Varianz des Störterms• Die Varianz des Störterms ist im allgemeinen
unbekannt.
• Die kann mit Hilfe der Varianz der Residuen geschätzt werden:
unverzerrte Schätzwerte für Varianz der Stichprobenregressionskoeffizienten
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Konfidenzintervall für die Regressionskoeffizienten I
• Die KQ-Regressionskoeffizienten sind Linearkombinationen von Y.
• Y ist eine Linearkombinationen des Störterms U.
• U ist normalverteilt mit Erwartungswert von Null.
=> Y ist normalverteilt.
=>
2
1
( 2)ˆ
( )~ ( ; ) ~ ~
1
1
i
i i i i
i i
i i i i i i i ii i B
B B B B
i i
Bi
B i i B
tB E B B B B
B n N
BW t t
S
W B
S
t S S
n
B t
Dichtefunktionen von t-Verteilungen
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Quantile tFG,1-α der t-Verteilung mit FG Freiheitsgraden
Konfidenzintervall für die Regressionskoeffizienten II
Daraus folgt als Konfidenzintervall für eine konkrete Stichprobe:
Prognose mit Hilfe der linearen Einfachregression• Die Regressionsfunktion
kann auch für die Prognose von y-Werten für Werte von X verwendet werden, die nicht in der Stichprobe vorhanden sind.
• Verlässliche Ergebnisse nur im Intervall
; 2 ; 22 2
i ii B i i Bn n
b t s b t s
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•[xmin; xmax] zu erwarten.
• Der Prognosefehler ist umso größer, je weiter der x-Wert, für den der y-Wert prognostiziert werden soll, vom Mittelwert der x-Wert abweicht.
Analyse der Residuen bei linearer Einfachregression• Mögliche Verletzung der Gauß-Markov-Annahmen
– Heteroskedastisch (Folie, Bleymüller S. 156)
– autokorreliert
• Fehlspezifikation (Folie , Bleymüller S. 157)
• Strukturbruch => Abhilfe evt. durch Dummy-Variablen
Dummyvariablen
-Annahme: Regressionsstichprobe stammt aus 2 Grundgesamtheiten
-Anlass der Annahme:
-Residuenanalyse
-inhaltlicher, z.B. ökonomischer, Zusammenhang
• Frage:Unterscheiden sich die Grundgesamtheiten nur im Ordinatenabstand oder zusätzlich auch in der Steigung der Regressionsfunktion?
• Wenn ungleiche Steigung der Regressionsfunktion angenommen wird: Stichprobe teilen und 2 Regressionen rechnen
Wenn gleiche Steigung der Regressionsfunktion angenommen wird: Dummyvariable verwenden und eine Regression rechnen.
Lineare Mehrfachregression
Einführen weiterer Erklärender in das Regressionsmodell
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Einflüsse auf das Bestimmtheitsmaß
Konstante
Funktionsform
Anzahl Regressoren
korrigiertes Bestimmtheitsmaß:
2 2 21
(1 )k
R R Rn k
•
Variablenbezeichnung
In der Regressionsanalyse unterscheidet man zwischen interessierenden und erklärenden Variablen.
Die interessierende Variable wird Kriterium, abhängige Variable, Response-Variable, endogene Variable, Regressand oder Zielvariable und
die erklärenden Variablen werden unabhängige Variablen, Prädiktor-Variablen, exogene Variable, Regressoren oder Kovariablen genannt.
Es ist a priori nicht klar, welche Variablen erklärend und welche interessierend sind. Typischerweise wählt man diejenige Variable als Response, die eine natürliche Variabilität aufweist. Das Ziel der Regression ist es somit zu bestimmen, wie die interessierende Variable (Response) von den erklärenden Variablen (Kovariablen) abhängt.
Ein einfaches Beispiel ist die Darstellung des Körpergewichts in kg (hier: Y) in Abhängigkeit von der Körpergröße in cm (hier: x). Man sieht, dass der Response Y und die Kovariable x nicht vertauschbar sind, da die Körpergröße ab einem bestimmten Alter unverändert bleibt.
Zusammenhangsarten zwischen Variablen
Man verwendet zur Beschreibung eines Zusammenhangs zwischen der abhängigen Variable Y und der (oder den) unabhängigen Variablen x unterschiedliche Funktionen. Diese unterscheiden sich in ihrer Komplexität. Lineare Funktionen, das heißt durch Geraden gegebene Funktionen, sind dabei die einfachsten funktionalen Zusammenhänge. In diesem Fall wird angenommen, dass das interessierende Merkmal Y gut durch eine lineare Kombination anderer Merkmale x erklärt werden kann (lineare Regression). Die Gewichtung der Einflüsse der erklärenden Merkmale wird dabei aus Daten geschätzt. Ein lineares Regressionsmodell hat den Vorteil, dass es zum Beispiel mittels kleinster Quadrate exakt berechnet werden kann. Betrachtet man den Fall mit nur einer unabhängigen Variable
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Nichtlineare Systeme müssen dagegen meist näherungsweise gelöst werden. Häufig können diese Regressionsmodelle dann nicht mehr wahrscheinlichkeitstheoretisch analysiert werden. Solche Regressionen sind beispielsweise die Geometrische Regression, Exponentielle Regression oder Potenzielle Regression. Bei der Logarithmischen Regression, welche nicht mit der Logistischen Regression zu verwechseln ist, arbeitet man, wie der Name bereits vermuten lässt, mit folgendem Ansatz für die Regression:n, so spricht man von linearer Einfachregression.
Die gängigen Statistik-Software-Pakete bieten diese Berechnungen heute automatisiert.
Dies kann für den Fall mit mehreren exogenen Variablen erweitert werden, wobei diese wiederum von mehreren abhängigen Variablen erklärt werden. Die abhängigen Variablen der einen Gleichung können hierbei als erklärende Variablen in einer anderen Gleichung erscheinen. Y und X werden dann durch Vektoren dargestellt (Ökonometrisches Modell).
Einfache Lineare Regression
Ein Spezialfall von Regressionsmodellen sind lineare Modelle. Hierbei spricht man von der einfachen linearen Regression, und die Daten liegen in der Form
vor. Als Modell wählt man
man nimmt somit einen linearen Zusammenhang zwischen xi und Yi an. Die Daten yi
werden als Realisierungen der Zufallsvariablen Yi angesehen, die xi sind nicht stochastisch, sondern Messstellen. Ziel der Regressionsanalyse ist in diesem Fall die Bestimmung der unbekannten Parameter β0 und β1.
Annahmen
Damit die Regressionsschätzungen inferentiell analysiert werden können, müssen für das lineare Regressionsmodell bestimmte Annahmen erfüllt sein:
1. Bezüglich der Störgröße εi
2. Der Zufallsvektor ist verteilt mit dem
Erwartungswertvektor 0, d.h. .3. Die Zufallsvariablen εi sind stochastisch unabhängig voneinander d. h.
, wobei In die n dimensionale Einheitsmatrix bezeichnet. Dies kann man genauer auch schreiben als
wobei δij das Kronecker-Delta bezeichnet. Hierbei gilt
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das heißt die Fehler sind unkorreliert mit homogener Varianz.
Die Datenmatrix , welche im Abschnitt zur multiplen Regression explizit angegeben ist, ist fest vorgegeben.
4. Die Datenmatrix hat den Rang (p + 1).
In der ersten Annahme haben also alle εi die gleiche Varianz (Homoskedastizität) und sie sind paarweise unkorreliert. Man interpretiert dies so, dass die Störgröße keinerlei Information enthalten darf und nur zufällig streut. Deshalb kann Y nur durch
Informationen aus erklärt werden.
Die zweite Annahme hält konstant.Die dritte Annahme ist für eine eindeutige Lösung des Regressionsproblems
erforderlich.
Beispiel
Hier wird die einfache lineare Regression anhand eines Beispiels dargestellt.
Eine renommierte Sektkellerei möchte einen hochwertigen Rieslingsekt auf den Markt bringen. Für die Festlegung des Abgabepreises soll zunächst eine Preis-Absatz-Funktion ermittelt werden. Dazu wurde in n = 6 Geschäften ein Testverkauf durchgeführt. Man erhielt sechs Wertepaare mit dem Ladenpreis x (in Euro) einer Flasche und die verkaufte Menge y an Flaschen:
Laden
Preis einer Flasche i
verkauftMenge i
Berechnung der Regressionsgeraden
Man geht von folgendem statistischen Modell aus:Man betrachtet zwei Variablen Y und x, die vermutlich ungefähr in einem
linearen Zusammenhang
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stehen. Auf die Vermutung des linearen Zusammenhangs kommt man, wenn man das obige Streudiagramm betrachtet, dort erkennt man, dass die eingetragenen Punkte nahezu auf einer Linie liegen. Im Weiteren sind x als unabhängige und Y als abhängige Variable definiert. Es existieren von x und y je n Beobachtungen xi und yi, wobei i von 1 bis n geht. Der funktionale Zusammenhang Y = f(x) zwischen x und Y kann nicht exakt festgestellt werden, da α + βx von einer Störgröße ε überlagert wird. Diese Störgröße ist als Zufallsvariable (der Grundgesamtheit) konzipiert, die nichterfassbare Einflüsse (menschliches Verhalten oder Messungenauigkeiten oder ähnliches) darstellt. Es ergibt sich also das Modell
oder genauer
Da α und β nicht bekannt sind, kann y nicht in die Komponenten α + βx und ε zerlegt werden. Des Weiteren soll eine mathematische Schätzung für die Parameter α und β durch a und b gefunden werden, damit ergibt sich
mit dem Residuum ei der Stichprobe. Das Residuum gibt die Differenz zwischen der Regressionsgerade a + bxi und den Messwerten yi an. Des Weiteren bezeichnet man mit den Schätzwert für yi und es gilt
und somit kann man das Residuum schreiben alsEs gibt verschiedene Möglichkeiten, die Gerade zu schätzen. Man könnte eine
Gerade so durch den Punkteschwarm legen, dass die Quadratsumme der Residuen, also der senkrechten Abweichungen ei der Punkte von dieser Ausgleichsgeraden minimiert wird. Trägt man die wahre unbekannte und die geschätzte Regressionsgerade in einer gemeinsamen Grafik ein, dann ergibt sich folgende Abbildung.
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Diese herkömmliche Methode ist die Minimum-Quadrat-Methode oder Methode der kleinsten Quadrate. Man minimiert die summierten Quadrate der Residuen,
bezüglich a und b. Durch partielles Differenzieren und Nullsetzen der Ableitungen erster Ordnung erhält man ein System von Normalgleichungen.
Die gesuchten Regressionskoeffizienten sind die Lösungen
mit als arithmetischem Mittel der x-Werte und als arithmetischem Mittel der y-Werte. SSxy stellt die empirische Kovarianz zwischen den xi und yi dar. SSxx bezeichnet die empirische Varianz der xi. Man nennt diese Schätzungen auch Kleinste-Quadrate-Schätzer (KQ) oder Ordinary Least Squares-Schätzer (OLS).
Für das folgende Zahlen-Beispiel ergibt sich und . Somit erhält man die Schätzwerte für a und b durch einfaches Einsetzen in obige Formeln. Zwischenwerte in diesen Formeln sind in folgender Tabelle dargestellt.
Flaschenpreis xi
verkaufte Menge yi
20 05
-25 25 25
16 32
-2 1 4
15 7 0 0 4
16 41
-1 1 1
Page
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13 62
-2 4 1
10 105
-25 25 25
otal90 30 -55 56 60
Es ergibt sich in dem Beispiel
und .Die geschätzte Regressionsgerade lautet somit
,so dass man vermuten kann, dass bei jedem Euro mehr der Absatz im
Durchschnitt um ungefähr eine Flasche sinkt.Multiple Regression
Im folgenden wird ausgehend von der einfachen linearen Regression die multiple Regression eingeführt. Der Response Y hängt linear von mehreren fest vorgegebenen Kovariablen ab, somit erhält man die Form
wobei ε wieder die Störgröße repräsentiert. ε ist eine Zufallsvariable und daher ist Y als lineare Transformation von ε ebenfalls eine Zufallsvariable. Es liegen für die xj, wobei , und Y je n viele Beobachtungen vor, so dass sich für die Beobachtungen i, wobei , das Gleichungssystem
ergibt. p gibt somit die Anzahl der Kovariablen oder die Dimension des
Kovariablenvektors an. In der einfachen linearen Regression wurde nur der Fall p = 1 betrachtet, ausgehend davon wird nun die multiple Regression als Verallgemeinerung dessen mit präsentiert. Als stichprobentheoretischer Ansatz wird jedes Stichprobenelement εi als eine eigene Zufallsvariable interpretiert und ebenso jedes Yi.
Da es sich hier um ein lineares Gleichungssystem handelt, können die Elemente des Systems in Matrix-Schreibweise zusammengefasst werden. Man erhält die
Spaltenvektoren der abhängigen Variablen Y und der Störgröße ε als
Zufallsvektoren und den Spaltenvektor der Regressionskoeffizienten βj, wobei ,
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und
Die Datenmatrix lautet in ausgeschriebener Form
Die Einsen in der ersten Spalte gehören zum Absolutglied β0. Des Weiteren trifft man, wie bereits im Abschnitt zur einfachen linearen Regression erwähnt, die Annahmen
und .
Somit gilt für
und .Ferner lässt sich das Gleichungssystem nun erheblich einfacher darstellen als
.
Schätzung der Regressionskoeffizienten
Auch im multiplen linearen Regressionsmodell wird die Quadratsumme der Residuen nach der Methode der kleinsten Quadrate minimiert. Man erhält als Lösung eines Minmierungsproblems den Vektor der geschätzten Regressionskoeffizienten als
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Dieser Schätzer ist nach dem Gauß-Markow-Theorem der BLUE (Best Linear Unbiased Estimator), also der beste (erwartungstreu mit kleinster Varianz) lineare unverzerrte Schätzer. Für die Eigenschaften der Schätzfunktion muss also keine Verteilungsinformation der Störgröße vorliegen.
Man erhält mit Hilfe des Minimum-Quadrat-Schätzers das Gleichungssystem
wobei der Vektor der Residuen und die Schätzung für ist. Das Interesse
der Analyse liegt vor allem in der Schätzung oder in der Prognose der abhängigen
Variablen für ein gegebenes Tupel von . Diese berechnet sich als
Ausgewählte Schätzfunktionen
Die Schätzwerte der Yi berechnen sich als
,wobei man dies auch kürzer als
mit
schreiben kann. Die Matrix ist idempotent und maximal vom Rang p + 1. Sie
wird auch Hat-Matrix genannt, weil sie den „Hut“ aufsetztDie Residuen werden ermittelt als
wobei mit vergleichbare Eigenschaften hat.
Die Prognose wird ermittelt als
Da fest vorgegeben ist, kann man alle diese Variablen als lineare
Transformation von und damit von darstellen, und deshalb können auch ihr Erwartungswertvektor und ihre Kovarianzmatrix unproblematisch ermittelt werden
Die Quadratsumme SSRes (von engl. „residual sum of squares“) der Residuen ergibt in Matrix-Notation
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Dies kann ferner auch geschrieben werden als
Die Varianz wird mit Hilfe der Residuen geschätzt, und zwar als mittlere Quadratsumme der Residuen
Schätzen und TestenFür die inferentielle Regression (Schätzen und Testen) wird noch die Information
über die Verteilung der Störgröße ε gefordert. Zusätzlich zu den bereits weiter oben aufgeführten Annahmen hat man hier als weitere Annahme:
Die Störgröße εi ist normalverteilt.
Zusammen mit der 1. Annahme erhält man für die Verteilung des Vektors der Störgröße:
,
wobei den Nullvektor bezeichnet. Hier sind unkorrelierte Zufallsvariablen auch stochastisch unabhängig. Da die interessierenden Schätzer zum größten Teil lineare Transformationen von sind, sind sie ebenfalls normalverteilt mit den entsprechenden Parametern. Ferner ist die Quadratsumme der Residuen als nichtlineare Transformation χ2-verteilt mit n − p Freiheitsgraden.
Beweisskizze: Sei
, damit erhält man
. Wobei
und der Satz von Cochran verwendet wurde.Ferner gilt ebenso
Betrachte hierzu auch den Artikel Bestimmtheitsmaß.Güte des RegressionsmodellsHat man eine Regression ermittelt, ist man auch an der Güte dieser Regression
interessiert. Häufig verwendet wird als Maß für die Güte das Bestimmtheitsmaß R2. Generell gilt, je näher der Wert des Bestimmtheitsmaßes bei 1 liegt, desto größer ist die
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Güte der Regression. Ist das Bestimmtheitsmaß klein, kann man seine Signifikanz durch die Hypothese H0: R2 = 0 mit der Prüfgröße
testen. F ist F-verteilt mit n-1 und n-p Freiheitsgraden. Überschreitet die Prüfgröße bei einem Signifikanzniveau α den kritischen Wert F(1 − α;n − 1;n − p), das (1-α)-Quantil der F-Verteilung mit n-1 und n-p Freiheitsgraden, wird H0 abgelehnt. R2 ist dann ausreichend groß, X trägt also vermutlich genügend viel Information zur Erklärung von Y bei. Die Residualanalyse, bei der man die Residuen über den unabhängigen Variablen aufträgt, gibt Aufschluss über
die Richtigkeit des angenommenen linearen Zusammenhangs, mögliche Ausreißer,
Homoskedastizität, Heteroskedastizität.Ein Ziel bei der Residualanalyse ist es, dass man die Voraussetzung der
unbeobachteten Residuen εi überprüft. Hierbei ist es wichtig zu beachten, dass
gilt. ei ist mit der Formel berechenbar. Im Gegensatz hierzu ist die Störgröße εi nicht berechenbar oder beobachtbar. Nach den oben getroffenen Annahmen soll für das Modell gelten
es liegt somit eine Varianzhomogenität vor. Dieses Phänomen wird auch als Homoskedastie bezeichnet und ist auf die Residuen übertragbar. Dies bedeutet, dass wenn man die unabhängigen Variablen x gegen die Residuen e aufträgt, dass dann keine systematischen Muster erkennbar sein sollten.
In der folgenden Grafik werden die unabhängigen Variablen x gegen die Residuen e geplottet.
Beitrag der einzelnen Regressoren zur Erklärung von yMan ist daran interessiert, ob man einzelne Parameter oder Kovariablen aus dem
Regressionsmodell entfernen kann. Dies ist dann möglich, falls ein Parameter βj gleich Null ist, somit testet man die Nullhypothese H0: βj = 0. Das heißt man testet, ob der j-te Parameter gleich Null ist, falls dies der Fall ist, kann die zugehörige j-te Kovariable Xj aus dem Modell entfernt werden. Der Vektor b ist als lineare Transformation von Y verteilt wie
Wenn man die Varianz der Störgröße schätzt, erhält man für die geschätzte Kovarianzmatrix
Die geschätzte Varianz se(bj)2 eines Regressionskoeffizienten bj steht als j-tes Diagonalelement in der geschätzten Kovarianzmatrix. Es ergibt sich die Prüfgröße
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die t-verteilt ist mit n-p Freiheitsgraden. Ist | tj | größer als der kritische Wert t(1-α/2; n-p), dem (1-α/2)-Quantil der t-Verteilung mit n-p Freiheitsgraden, wird die Hypothese abgelehnt. Somit wird die Kovariable Xj im Modell beibehalten und der Beitrag des Regressors Xj zur Erklärung von Y ist signifikant groß.
Prognose
Ermittelt man einen Prognosewert, möchte man möglicherweise wissen, in welchem Intervall sich die prognostizierten Werte mit einer festgelegten Wahrscheinlichkeit bewegen. Man wird also ein Konfidenzintervall für den durchschnittlichen Prognosewert E(Y0) ermitteln. Es ergibt sich als Varianz der Prognose
Man erhält dann als (1-α)-Konfidenzintervall für den durchschnittlichen Prognosewert mit geschätzter Varianz
Speziell für den Fall der einfachen linearen Regression ergibt das
Speziell aus dieser Form des Konfidenzintervalls erkennt man sofort, dass das Konfidenzintervall breiter wird, wenn die exogene Prognosevariable x0 sich vom „Zentrum“ der Daten entfernt. Schätzungen der endogenen Variablen sollten also im Beobachtungsraum der Daten liegen, sonst werden sie sehr unzuverlässig.
Beispiel
Zur Illustration der multiplen Regression wird im folgenden Beispiel untersucht, wie die abhängige Variable Y: Bruttowertschöpfung (in Preisen von 95; bereinigt, Mrd. Euro) von den unabhängigen Variablen „Bruttowertschöpfung nach Wirtschaftsbereichen Deutschland (in jeweiligen Preisen; Mrd. EUR)“ abhängt. Die Daten sind im Artikel Regressionsanalyse/Datensatz angegeben. Da man in der Regel die Berechnung eines Regressionsmodells am Computer durchführt, wird in diesem Beispiel exemplarisch dargestellt, wie eine multiple Regression mit der Statistik-Software R durchgeführt werden kann.
Zunächst lässt man sich ein Streudiagramm ausgeben, in diesem erkennt man, dass die gesamte Wertschöpfung offensichtlich mit den Wertschöpfungen der
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wirtschaftlichen Bereiche positiv korreliert ist. Dies erkennt man daran, dass die Datenpunkte in der ersten Spalte der Grafik in etwa auf einer Geraden mit einer positiven Steigung liegen. Auffällig ist, dass die Wertschöpfung im Baugewerbe negativ mit den anderen Sektoren korreliert. Dies erkennt man daran, dass in der vierten Spalte die Datenpunkte näherungsweise auf einer Geraden mit einer negativen Steigung liegen.
In einem ersten Schritt gibt man das Modell mit allen Kovariablen in R ein lm(BWSb95~BBLandFF+BBProdG+BBBau+BBHandGV+BBFinVerm+BBDienstÖP) Anschließend lässt man sich in R ein Summary des Modells mit allen Kovariablen ausgeben, dann erhält man folgende Auflistung.
Residuals:Min 1Q Median 3Q Max
-1.5465 -0.8342 -0.1684 0.5747 1.5564
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Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 145.6533 30.1373 4.833 0.000525 ***BBLandFF 0.4952 2.4182 0.205 0.841493 BBProdG 0.9315 0.1525 6.107 7.67e-05 ***BBBau 2.1671 0.2961 7.319 1.51e-05 ***BBHandGV 0.9697 0.3889 2.494 0.029840 * BBFinVerm 0.1118 0.2186 0.512 0.619045 BBDienstÖP 0.4053 0.1687 2.402 0.035086 * ---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.222 on 11 degrees of freedomMultiple R-Squared: 0.9889, Adjusted R-squared: 0.9828 F-statistic: 162.9 on 6 and 11 DF, p-value: 4.306e-10
Der Test auf Güte des gesamten Regressionsmodells ergibt eine Prüfgröße von F
= 162.9. Diese Prüfgröße hat einen p-Wert von , somit ist die Anpassung signifikant gut.
Die Analyse der einzelnen Beiträge der Variablen (Tabelle Coefficients) des Regressionsmodells ergibt bei einem Signifikanzniveau von 0.05, dass die Variablen BBLandFF und BBFinVerm offensichtlich die Variable BWSB95 nur unzureichend erklären können. Dies erkennt man daran, dass die zugehörigen t-Werte zu diesen beiden Variablen verhältnismäßig klein sind, und somit die Hypothese, dass die Koeffizienten dieser Variablen Null sind, nicht verworfen werden kann
Die Variablen BBHandGV und BBDienstÖP sind gerade noch signifikant. Besonders stark korreliert ist Y (in diesem Beispiel also BWSb95) mit den Variablen BBProdG und BBBau, was man an den zugehörigen hohen t-Werten erkennen kann.
Im nächsten Schritt werden die insignifikanten Kovariablen BBLandFF und BBFinVerm aus dem Modell entfernt.
lm(BWSb95~BBProdG+BBBau+BBHandGV+BBDienstÖP)Anschließend lässt man sich wiederum ein Summary des Modells ausgeben, dann
erhält man folgende Auflistung.
Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -1.34447 -0.96533 -0.05579 0.82701 1.42914
Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 158.00900 10.87649 14.528 2.05e-09 ***BBProdG 0.93203 0.14115 6.603 1.71e-05 ***BBBau 2.03613 0.16513 12.330 1.51e-08 ***BBHandGV 1.13213 0.13256 8.540 1.09e-06 ***BBDienstÖP 0.36285 0.09543 3.802 0.0022 ** ---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.14 on 13 degrees of freedomMultiple R-Squared: 0.9886, Adjusted R-squared: 0.985
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F-statistic: 280.8 on 4 and 13 DF, p-value: 1.783e-12
Dieses Modell liefert eine Prüfgröße von F = 280.8. Diese Prüfgröße hat einen p-
Wert von , somit ist die Anpassung besser als im ersten Modell. Dies ist vor allem darauf zurückzuführen, dass in dem jetzigen Modell alle Kovariablen signifikant sind.
Spezielle Anwendungen der Regressionsanalyse
Spezielle Anwendungen der Regressionsanalyse beziehen sich auch auf die Analyse von diskreten und im Wertebereich eingeschränkten abhängigen Variablen. Hierbei kann unterschieden werden nach Art der abhängigen Variablen und Art der Einschränkung des Wertebereichs. Im Folgenden werden die Regressionsmodelle, die an dieser Stelle angewandt werden können, aufgeführt. Nähere Angaben hierzu finden sich bei Frone (1997)[1] sowie Long (1997
Modelle für unterschiedliche Arten abhängiger Variablen:
Binär: logistische Regression und Probit-Regression Ordinal: ordinale logistische Regression und ordinale Probit-
Regression Absolut: Poisson Regression, negative binomiale Regression
Nominal: multinomiale logistische Regression
Modelle für unterschiedliche Arten eingeschränkter Wertebereiche zensiert: Tobit-Modell trunkiert: trunkierte Regression
stichproben-selegiert: (sample-selected) stichproben-selegierte Regression
Anwendung in der ÖkonometrieFür quantitative Wirtschaftsanalysen im Rahmen der Regressionsanalyse,
beispielsweise der Ökonometrie, sind besonders geeignet:
Wachstumsfunktionen, wie zum Beispiel das Gesetz des organischen Wachstums
oder die Zinseszinsrechnung, Abschwingfunktionen, wie zum Beispiel die hyperbolische
Verteilungsfunktion oder die Korachsche Preisfunktion, Schwanenhalsfunktionen, wie zum Beispiel die im Rahmen der
logistischen Regression verwendete logistische Funktion, die Johnson-Funktion oder die Potenzexponentialfunktion,
degressive Saturationsfunktionen, wie zum Beispiel die Gompertz-Funktion oder die Törnquist-Funktion.
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Bestimmung der RegressionsgeradenGegenstand: eine Messgrösse y, die von einem veränderlichen äusseren Parameter x
abhängt.Einfachster Fall: Lineare Abhängigkeit y = + ßx.
Praktische Aufgabe: Ausgehend von N Messungen, d.h.
N Wertepaaren
x1 , y x2 , y . . . xN , y
die beste Interpolationsgerade ermitteln, d.h., die Gerade, für welche die Abweichungen der Interpolationswerte Yi = a + bxvon den gemessenen Werten yi minimal werden.
Anwendung des Prinzips der kleinsten Quadrate: ergibt die nachstehenden Ausdrücke für a und b.
Formelsammlung:
Zum Auswerten berechnet man:—
arithmetisches Mittel—
Fehlerquadratsummen
— Fehlerproduktsumme
— Steigung der Geraden
Der "Schwerpunkt" ( , ) liegt auf der Regressionsgeraden. Damit wird die Geradengleichung
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zu (Y – ) = b(x – ) oder Y = – b + bx.Der Achsenabschnitt (bei x = 0) ist damit .
a und b sind die besten unvoreingenommenen Schätzungen der wahren Werte und ß.
Es wird vorausgesetzt, dass x fehlerfrei ist, und dass die y-Messfehlerquellen überall gleich (d.h., x-unabhängig) sind.
Sonst gelten völlig andere Auswertungsverfahren.
Anmerkung.Bei dem hier beschriebenen Verfahren handelt es sich, genau bezeichnet, um die "Regression von y nach x", mit fehlerfreiem, variablem Parameter x als Abszisse. Ebenso gut könnte man aus den N Zahlenpaaren (xi, yi) eine "Regression von x nach y" rechnen.Überzeugen Sie sich selber an einem Beispiel, dass die beiden Regressionsgeraden wesentlich verschieden sind.
Regression von y nach x: Regression von x nach y: Zusammenhang: bb' = r2 (Beweis s. FAQs)Schnittpunkt
Nur der Korrelationskoeffizient r, als ein in x und y symmetrischer Ausdruck, ist für beide Regressionstypen eine gemeinsame gültige Richtgrösse.Bestimmen Sie daher aus dem jeweiligen Zusammenhang, wie herum Sie die lineare Regression ansetzen.
26Bestimmung der Regressionskoeffizienten a und b
Problemstellung: a und b bestimmen, so dass für die Punkte der Interpolationsgeraden Y = a+bx : Yi = a+bxi
die Fehlerquadratsumme
zu einem Minimum wird.
Praktisches Vorgehen: Am Minimum verschwinden die partiellen Ableitungen und ergeben ein lineares Gleichungssystem in den zwei Unbekannten a und b:
1 )
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2 )
Aus (1 ) folgt
bzw.
d.h., der Schwerpunkt liegt auf der Geraden.
Aus ( 2 ) folgt:
Damit sind a und b bestimmt und können aus den oben definierten Grössen berechnet werden:
Streuungsmasse (Formelsammlung)
— Korrelationskoeffizient
Eigenschaften: -1 ≤ r ≤ 1. Die Streuung von den yi um , ausgedrückt durch S ist zum Bruchteil r2 durch die Veränderungen an den x bedingt, zum Restanteil (1-r2) unabhängig.
— Totale Fehlerquadratsumme
— "Fehlerquadratsumme" der Interpolationspunkte (Regressions-"bedingte"Streuung)
— Reststreuungsquadrat um die Gerade
— Varianz der yi
— Standardabweichung
— Streuungsmasse von
— Streungsmasse von b
— Streuungsmasse von Y = a+bx (Mass der Abweichung von y = + ßx)
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— Streuung des Achsenabschnitts
Streuungsmasse (Verständnisfragen)
1. Was ist der Unterschied zwischen V(y) und V(Y)?2. Versuchen Sie, den Ausdruck für V(b) herzuleiten. Hinweis: Sxy lässt
sich umformen in
3. (Versuchen Sie, das nachzuvollziehen.)
4. Im Ausdruck sind und b statistisch unabhängig, so dass das Fehlerfortpflanzungsgesetz anwendbar ist.Dies führt zu den angegebenen Ausdrücken für V(Y) und V(a).
5. Wann benutzt man jeweils die Nenner N, N-1 und N-2?(An Taschenrechner-Besitzer: Prüfen Sie bitte nach, ob das eingebaute Programm zur Stichproben- und Regressions-Auswertung die richtigen Nenner benutzt.)
6. Die Grössen x und y stehen in einem linearen Zusammenhang, und es interessiert zu einem gegebenen y0-Wert der zugehörige x0-Wert. Welchen Weg würden Sie wählen:
o (a) Auflösen von Y = y + bx nach x, odero (b) Ansetzen der Regression X = a'+b'y, und Einsetzen von y0?
Vertrauensgrenzen bei der linearen Regression
Die statistische Beurteilung einer linearen Regression erfolgt in 3 Schritten.
1. Ist die Regression signifikant?2. Bestimmung der Vertrauensgrenzen für ß3. Bestimmung der Vertrauensgrenzen für y(x) und für den
Achsenabschnitt.
Punkt 1 bedeutet in anderen Worten: Lohnt es den Aufwand, in der Interpolation den x-abhängigen Term mitzunehmen, anstatt sich auf die Konstante
(Mittelwert der yi) zu beschränken?
Punkte 1 und 2 können in einem Arbeitsgang behandelt werden: Immer dann, wenn ß = 0 im Vertrauensbereich der ß liegt, ist die Regression nicht signifikant besser als die Auswertung der yi als einfache Stichprobe.
Punkt 2: Vertrauensgrenzen der Steigung
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b.Umkehrung des t-Tests mit b, s(b) und = N-2: bunten = b-tD(P, N-2)•s(b)
boben = b+tD(P, N-2)•s(b)
Wenn bunten < 0 < boben: Verwerfen der Regression.
Punkt 3: Vertrauensgrenzen für y(x):
Umkehrung des t-tests mit Y(x), s(y) und = N – 2
Yunten = Y(x) – tD(P,N – 2) · s(Y(x)) Yoben = Y(x) + tD(P,N – 2) · s(Y(x))
Die Vertrauensgrenzen des Achsenabschnitts ergeben sich als Spezialfall für x = 0 !