L. SCHHIEDER : Rekursive Erzeugung H e r m i t e seher Interpolationspolynome 433

ZAMM 68, 433 -440 (1973)

I,. SCHMIEDER")

Rekursive Erzeugung, Differentiation und Integration €I er m i t e scher Interpolationspolynome nebst einem Anwendungsbeispiel

Die H e r wi t esciien Tnterpolationspolyiaome werden auf Basispolynome zuruckgefuhrt, die zu einem Vektor zusammen- q&& werden, aus dem der Vektor der H e rnz itepolynome, ihrer Ableitungen und Integrale durch Matrizen-Multipli- Ention hervorgehen. Zur Erlauterung u i r d die Biegelinie des homogenen Balkens nach diesem Verfahren berechnet. Fur die C r e ensclte Funktion wird eine neue Barstellung gegeben.

The polynomials of H e r w i t e interpolntion are reduced to basis polynomials, which are combined to a vector. Wi th this vector the vector of H e r rnit e polynomials, their derivations and integrals are generated by matrix-multiplication. I n illustration the bending curve of the uniform beam is calculated by using this method. A new representation of G r e e n ' s function is given.

klHTepIIOJIRQIlOHHbIe rePMIIT0BCI';Me R.IIIO~OYdTeIIbI CBOARTCR K 6a3MCIIbIM MHOrOYJIeHaM, KOTOphIe OXBaTbI- UaIOTCR OHHklM BeKTOPOM, M3 I<OTOpOI'O l lYTeM YMHOHEeHllR MaTpMQ BbITeKaIOT BeKTOp TePMMTOBCKHX MHOr09JIeHOB, MX IIpOM3BOJ~HbIX M llHTWpaJIOB. AJIH HJIJIIOCTpaQPlIi IIpOkI3BOL@iTCfi BTMM MeTOAOM pac.reT JIHHMM n a r ~ 6 a O ~ H O ~ O ~ H O ~ ~ 6 a n w . Garfa HoBaR @opMympoBr<a (PYHKUMM r p M H a.

1. Definition und Erzeugung der Her mite polynome

Es sei die Aufgabe gestellt, eine Funktion durch ihre Ableitungen von der nullten bis zur a-ten ip den Punkten x = 0 und x = 1 auszudrucken. Dies ist gewissermaBen eine TAYLORentwickhng in zwei Punkten, weshalb es naheliegt, die Basispolynome

z 0 , p = xp (1 - x)b+1 , X1,b = xp+1 (1 - x)B (1) rinzufuhren. die zu dem Vektor

zusammengefafit werden. Aus der TAYLoRentwvicklung um x' = 0 und x = 1 folgen die Ableitungen

Fur die HERMITEpolynome vom Rang a und dem Gra,d 2 a + 1, die den Bedingungen

1 fur y =,5 &$(O) = i&(l) = { Ofur y = O , l , . . . . p - I (4)

genugen, a - i d folgender Ansatz gemacht : a U d a

I#(.) = A x oder Hi,p(x) = A i , ~ , + t x k , ) . , B, A = 0, 1. . . . ci , i, k = 0, 1 ; ( 5 ) uber doppelt auftretende Indizes ist zu summieren.

0 0

0 1 Fur :I' = 0 gibt es vier Gleichungen (Ho,o und Hl,o fur x = 0 und x = 1 auf der linken Seite) zur Bestim-

mung der zweireihigen Matrix A . Diese Matrix bleibt aber in A als linke obere Teilmatrix erhalten, denn die Funktionen xil (i = 0, 1) verschwinden in den Randpunkten, so da13 sich an den Bestimmungsgleichungen

fur A nichts andert. Aus demselben Grunde mu13 aber die untere linke Teilmatrix von A gleich null sein, 0 1

*) Deutsche Forschungs- und Versuchsanstalt fur Luft- und Raumfahrt E. V. (DFVLR) Institut fur Dynamik der Flugsysteme, komm. Leitung : Dr.-Ing. J. ACKERMANN, 8031 Oberpfaffenhofen.

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denn die HERMITEpOlynOme Hal, Hll verschwinden beide in z : 0 und 1. cbrig bleiberi avht Hestiminungs- glrichungen (HA", !Itu, Hbl, Hi in 5 : 0 und 1) zur Bestimmunp tier rechten Halfte tlcr Matrix

L. SCHNIWER: Rekursive Erzeugnng H e r m i t e scher lnterpolationspol~nolllc

0 I -1; +] (6)

mit zweireihigen Blockmatrizen. Durch den SchluW von a auf a + 1 findet man. daW jeweils nur die letzte

Uoppelspalte der neuen Matrix zu bcrechnen ist, wozu die 4 (a + 1) Gleichungen rnit gyi> (z 1 0 , 1) geniigcn. Das Gleichungssystem hat dann die Forin

Die zweikoniponentigen Vektoren ~f$/) uiid H(&-( l) sind an den Stellen :z = 0 und x = 1 einzusctzen. Mit Bezug auf (1). (3) und (4) erhalt man die Matrix

a + l

Fur i* = 1 folgen ilus den beiden Gleichungen

X;O +A"ZXb1 f A " 3 X ; 1 - - = o , X i 0 i - A 1 2 X h l + ~ ~ l ~ ~ x ~ l z - ' o naeh Einsetzen von z = 0 und z = 1 die vier Elemente

- 1 + A " , = o ,

A,, = 1 ,

1 +A,, = 0 , - 1 - A", = 0 ,

A,, = - 1 .

1 -- A1, = 0 ,

rind in gleichrr M'cise

A,, = 0 , A,, == 0 ,

Das Verfahren wurde programmiert und lieferte die in Tabelle 1 angegebeneii ICerte fur A . Die Zuruckfuhrung auf Basispolynome ermijglicht eine einheitliche Darstellung fur nlle HERMITEpdyiiornc

durch einen Funktionenvektor x und eine konstaiite Matrix A , die je nach dein gewiililten Grad abgebroctien werden. Differentiation und Integration werden an deni fur alle Polynome einheitlichen Eunktioiieiivektor x durchgefuhrt, was fur die Anwendung enorme Vorteile hat.

Die Differentiation der Basispolynome 1aWt sich folgendermaSen schreiben :

(X0,a)' =a XO,n-1 - ( 2 a + 1) (xo,. + x1,a) > (XI,&)' = - 01 X1,s-1 -t (2a + 1) (X0,a + XI,*) . (8) Die Gleichungen gelten fur alle a 2 0, wenn man die Definition (1) durch

X0,a f X1,. = 0 fur a < 0 erweitert. Die Gleichungen (8) lassen sich in Matrizenform schreiben :

x ' = L ) x mit L, R

L " ; o - 2 : 5 5J

Das bcstimmte Integral von 0 bis 1 iiber die Basispolynonie ist leiclit zu berechnen (s. z. H . 11 I)') :

(a + /?)! (a -t B -1- 2)!

(a + p -t I)! (a + B + I)! ( 2 % + 2 p + 3)!

X o , a x O , P = X1,.x1>P=(2a +2$-+q- ' s s Haufig tritt die lntegralniatrix

J,, = I x x" l )

auf, dcren Werte fur cx = 5 in Tabelle 2 zusammengestellt sind.

1 ) (la imd die Grerizen sind weggelasseii.

C. SCEIAIIJCDER: Rekursive Erzeugung Her m i t escher Interpolationspolynome

i

! I I I

3333 I I

C 3

-0

I/ k x x +

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31*

436 L. SCHYIEDCR: Rekursive Erzeugung Her m i t escher Interpolationspolynoine

Die Darstellung einer Funktion V ( x ) , deren Ableitungeri in den Randpunkten bis zur a-ten bekannt sind oder vorgegeben werden, lautet nunmehr

Die y-te Ableitung lautet mit Bezug auf (9)

(Im Gegensatz zu A und DY enthalt die Matrix (i b) die gleichen Matrizenprodukte niedrigeren Ranges nicht als Teilmatrizen.)

Die Matrix JAY tritt beim Integrieren quadratischer Ausdrucke auf. Z. B. 1st init Bezug auf (12) 1

0 I"" dx = v(A 0 2 ) J,,(A 0')'' v = w C v

Die Matrix C lautet, fur a = 1 : 12 -12 6

6 -6 4 6 -6 2

(13a)

2. Einige Eigenschaften der Hermitcpolynome Es wurde eine Reihe von HERMITEpolynomen bis zur Ordnung 60 (Polynome voin Grad 121) berechnet und aufgezeichnet. Wegen der Symmetriebeziehung (4) geniigt es, die Polynome fIO,,? zu betrachten. Die Poly-

nome Ho,a und die auf die FlLche eins norniierten Polynorne Ha,, scheinen init wachsendem a gegen die Stufenfunktion bzw. die Deltafunktion zu gehen. Die Konvergenz ist jedoch, faIls iibcrhaupt vorhanden, sehr langsam (s. Bilder 1, 2, 3).

Die Form aller Polynome (siehe als Beispiel die in Bild 4 dargestellten Polynome loHO,,Y)) ist dadurch gekennzeichnet, daI3 sie 1. im Innern des Intervalls 0 < x < 1 nullstellenfrei sind 2 . dort ein einziges Maximum haben.

Beide Eigenschaften lassen sich beweisen :

1. Mit Bezug auf (1) hat das Polynom HO,@ in z = 0 eine j3-faehe ixnd in x = 1 eine (B + 1)-fache Nullstclle.

") x' bestimmt, das keine positiven

a a

n

Die restlichen Nullstellen werden allein durch das Polynom k@ reellen Nullstellen haben kann, da samtliche Koeffizienten positiv sind.

h =0

a a Bild 1. tlERJtITEsche l'olynome 140,o fur a = 1 bis 60 Uild 2. Die erste Ableitung cler Poljwme HO,O it11 der Steile U n z = 0,5 %Is Funktion von u

H() ,O(Z) + H0,0 (1 - z) = 1

2) Falls 1;eine Verwechslung moglich ist, wird das Zeichen T fur den transponierten (Zeilen-) Vektor weggeiassen. 3) Linke obere Tndizes sind den in (4) und ( 5 ) eingefiihrten Kopfindizes gleichzusetzen.

L. SCHM~EDER: Rekursive Erzeugung H e r m i t e scher Interpolationspolynome 437 ~

2.

n I3ild 1. llERn1ITEsche Polynome 1o170,p, willkiirlich normiert i$ild 3. 1IclrllrTEsche l'olynome H o , ~ fiir a = 10, 3 0 , 60, srtDer LaHO,~ 1 n o r n i i ~ r t ;ruf f L l g , s dr: = 1

0

Die zweite Eigenschaft folgt aus der Tatsache, dal3 die erste Ableitung der HERMITEpolynome im Intervall- innern nur eine Nullstelle hat. Nach dem Satz von ROLLE liegt zwischen zwei Nullstellen einer stetig diffe- renzierbaren Funktion mindestens eine Nullstelle der ersten Ableitung dieser Funktion. Ferner sind die Nullstellen in den Randpunkt,en*) a,uf Grund der Eigenschaften der HERBzITEpolynome (4) bekannt. Damit

la& sich eine Abzahlung der Nullstellen des HERMITEpolynoms Ho,p und seiner Ableitungen bis zur a-t,en vornehmen, wie sie in Tabelle 3 durchgefiihrt ist.

a

Tabel lc 3

Polynom Nullstellen Nullstellen Nullstellen Nullst,ellen i n x = O i n x = 1 in 0 < z < 1 insgesamt

Das erste Polynom kann nach (14) im Intervall keine Nullstelle haben. Mit jeder Ableitung erhoht sich die Zahl der Nullstellen im Innern mindestens um eins auBer beim Ubergang zur (p + 1)-ten Ableitung. Da die p-te Ableitung in x = 0 nicht verschwindet, verlangt der Satz von ROLLE lediglich, dafi die Zahl der Nullstellen im Innernnicht kleiner wird. Es kann aber bei keinem ubergang eine Nullstelle mehr hinzukommen, als der Satz von ROLLE fordert, da dann die Gesamtzahl der Nullstellen bei der (p + 1)-ten Ableitung uberschritten wiirde. Da die erste Ableitung der HERMITE- polynome im Intervallinnern genau eine Nullstelle hat, haben die HEMITEpolynome selbst dort genau ein Extremum (s. hierzu

1 . ~ ~

0,s

1 B 0 2-

die in Bild 5 dargestellten Polynome 5H0,0 . . . BHfb). 0.5

Bild 5. Die nulltc bis fiinfte Ablcitung dea HERnlITEschen Polynoms 'Iio,O, willkiirlich -.. --L. ~~ ~ -L -A normiert bis auf die nullte hblcitung ll 0.25 qw 0.75 %DO

X - - - A

3. Die Biegung des homogenen Balkens als Beispiel Es miissen die virtuelle elastische Energie (Formanderungsarbeit) 6E und die virtuelle aufiere Arbeit 6A einander gleich sein :

6~ = j 6 w a t = 6 A = $ p a v a f , (16) 6 W = bezogene elastische Energie, p = auI3ere Belastung ; df = Flachenelement . T.'

d t = Volumelement,

= Auslenkung des Balkens (nach oben gerichtet), 4, St&t a-faeher Nnllstelle sagen wir ;,a Nullste!len im Randpunkt".

438 I,. SCHMIEDER: Rekursive Erzeugung H c r m 1 t e scher Interpolationspolynome

6 V ist cine geometrisch mogliche, gedachte oder auch wirkliche Verscahiebunp, die in das System eingeleitet wird, wahrend die Krafte konstant bleiben.

6W ist beiin Balkcn durch das Produkt aus Biegernonient JZ iind Kriinmiung ~t - -- a T z V grgebrn:

(16a) M a2

6TY = M 6% = - 171 sa,, v - --ST’/‘ , 5 )

a = Lange des Balkens. OE l&Bt sich inittels zweimaliger partieller htegration uniformen :

n a m 6E = J n f s l t d a = ( d , M b V - M s a , Y ) I - J a,il!!svdr

0 0 0

Auf der rechten Seitc cntstcht

Po, PI = Auflagerkrafte, Mo, Hl = Randmomente . M und x sind iiber ein Stoffgesetz miteinander verbunden :

Man kann das Problem aufspalten in eiii solches mit homogener Differentialgleichung bei vorgepebenen Rand- werten und ein solchcs rni t homogenen Randwerten bei vorgegebener Relastung in1 Innern.

1. Da.s R a n d w e r t p r o b l e m Der Ansatz

V(.) = 1: lII(X) = 2) 1A X(.)

aLzml = o bzw. vi/ii = 0 , befriedigt die honiogene Differentialgleichung

er ist daher die exakte Losung des Randwertproblems. Einsetzen voii

in (17) und Gegeniiberstellun~ nit G1. (18) liefert, da jede Komponente von 6v willkurlich variirrt werden kann,

n Die Matrix, dieses Gleichungssystems ist dic Steifigkeitsmatrix Cl(n,ld, die auch durch Berechnen voii J ‘$2 dx d r

= B/a3 J(V”)z d-ermittelt werden kann (s. hierzu G1. (13%)). Die Matrix Cnanrl ist singular. Rechnet man

aus ( 2 2 ) bei gegebenen Randkraften die Verschiebnngen aus, so sind diese bis auf die beiden homogenm Lo- sungsvektoren

unbestimmt. (23) stellen aber gerade dic beiden moglichen Starrkiirperverriickungeri , cine Verschiebung und eine Drehung, dar. QUS der virtuellen Arbeit

1 0 X

0 a

b lhomog = [I 1 0 01 ) v2llomog = 11 0 -1 -1 I (23)

6Ahornog = [Po pi Nola Mi/al ~?9,1i01n0g = 0 ,

~ o + P 1 = 0 , a Po - No - N1 = 0 .

(24)

(25)

erhiilt man fu r i = 1 bzw. 2 die Gleichgewichtsbedingungen fur die Randkrafte

5, 8’ ist die Ableitnng nach der normierten Varisblen ria, und es ist

6 , Fiir den rechteckigen Balken ist 1’’ (6 8,l’ .

E h3 b 12

B = [kp m2] mit E = Elast,izitatsniodiil, b = Ralkenbreit,e, h -= &dkenhijhc.

L. HCKMIEDER: Rekursive Erzeugung Her m i t eschcr Interpolationspolynome 439

Damit die Gleichgewichtsbedingungell erfullt sind, mussen mindestens zwei Randverschiebungen vorgeschrie- ben werden. Dann sind die entsprechenclen virtuellen Verschiebungen null, und CHnnd reduziert sich auf eine zmeiiv?ihige Matrix. CHand enthalt funf nichtsingulare derartige Untermatrizen, die (wegen der Spiepelsym- nietrie) clrei verschieden gelagerten Balken entsprechen :

a) frci nuflicpend. b) einc Scite &gespaniit, c ) cine Stite frci aufliegend, an der anderen Seite vorgeschriebene Tangente.

Man lia1111 naturlich auch drci Randverschiebungen vorschreibcn und erhalt zwei weitere Falle

d) tifie Seite eingespannt, die andere frei aufliegend, e ) eine Seite eingespannt, an der anderen Seite vorgeschriebene Tangente.

In jetlem dieser Palle kann die Matrix invertiert werden, z. B. :

2 . Homogene Randbed ingungen

Slle vier Randverschiebungen sind vorgeschrieben, und der Balken ist im Innern belastet. Das Problem ist gelbst. wenn man die GREENSChe Funktion g(x, 6) kennt, welche die Durchbiegung des Balkens im Punkt x, vcrursacht durch eine Einslast im Punkte 6, angibt. Mit der Losung des Randwertproblems ist auch die Losung deb inhomogenen Problems gegeben. Man erkennt dies durch Unterteilen des Balkens in zwei finite Elemente der Lange C; a und (1 -- 6) a und Anbringen einer Last an der Schnittstelle. Die Elemente sind an einem Ende eingespannt, am ancleren frei beweglich. Zum Aufstellen der Steifigkeitsmatrjzen setzen wir in ( 2 2 ) a gleich 5 a bzw. (1 - 6) a nnd addieren beide Gleichungen:

I 6 E3 + (1 - 6)31 3 a 5 ( I - t) 152 - (1 - 6)21

3 a 5 (1 - 6) [t2 - (1 - 0 2 1 2 a2 6 2 (1 - E ) 2 M" + Ml

11'0 + Pi ] = [ f';] - M f - W q J

hilt JI; ~- 0. P, 1 folgt hieraus:

IXc T)archhiepungen links und rerhts vom Lastangriffspunkt ergeben sich dann mit Bezug auf Tabelle 1 211')

und g(x. [)recllts durch Vertauschen von x und 6. g(x, 6) ist eine Distribution endlieher Ordnung. Ihre dritte Ableitung nach x springt, abgesehen von

den1 Paktor a 3 / B , an der Stelle x = 6 um den Wert 1. Nach dem Satz von WEIERSTRASS kann jede solche 1)ist ribution durch Polynome beliebig genau approximiert werden. Unter Benutzung von HERMITEpolynOmen sieht das folgendermaIjen aus:

Man mach t in (17) und (18) die Randverschiebungen null und erhalt nacheinander

1 (r ,,,, a3 s" hl*honlnCr 7f110~1~0g (6) - -- dvhomog f l l ~ ~ ~ ~ o g H h o m o g ' h o m o g .

!x mu8 grijser als 1 sein, und in vllomog sind die ersten vier Komponenten null. Die Ausrechnung des Integral hefert die Matrix Chomog, und aus der letzten Gleichung la8t sich l)honrog berechnen :

c-1 t'1iornog = -- B lioniog f4iomng (6) .

Mit diesem Velitor peht man in den dnsatz (20) hinein und erhalt,

-.

7, x \\ iirde auf die Lange u normiert, d. h . es wurde x'g ~ x / r ~ gesetzt und anschliehnd * weggelassen.

440 L. SCHMIEDER: Rekursive Erzeugung H e r m i t e scher Interpolationspolynome

Ein Vergleich von g(5, E ) nach (28) bzw. (29) und gexiikt(t, t) nach ( 2 7 ) wurde fur verschiedene cc numerisch durchgefuhrt und lieferte folgende Ergebnisse :

Tabel le 4

10' Qexakt(E, 2,43 13,G 30,9 46,l 52,l

furcc=2 0,36 0,lO 0,04 0,05 0,06 Qerakt - Q goxskt

3 055 028 017 01 1 016 4 021 008 008 004 006 5 015 006 003 003 003 7 005 002 001 001 00 1

Eine betrachtliche Erhohung der Genauigkeit ergibt sich beim Schritt vona = 2 auf 3. IIERMITEpOlynOme hoherer Ordnung lohnen kaum den Rechenaufwand, es ist dann eine Unterteilung in Elemente vorzuziehen.

Herrn ERNST MAYR, 8031 Hoflach, Nr. 3, danke ich fur die Anfertigung der Programmc.

Litemtur 1 GROBNER. W., HOFREITER, N., Integraltafeln, Springer Verlag, Wien 1961. 2 BULIRSCH, R.. RUTISHAUSER, H., Interpolation und genaherte Quadratur in Mathomatische Hilfsmittel des Ingenieurs,

3 FALK, S., Das Verfahrcn yon Rayleigh-Ritz mit hermiteschen Interpolationspolynomcn, ZAMM 43, S. 149 - 166 (1963).

Eingereicht am 21. 4. 72, revid. Fassung am 24. 10. 72

Anschrift : Dr. L. SCHMIEDER, DFVLR-Institut fur Dynamik der Flugsysteme, 8031 Qberpfaffenliofcn, Post: Wessling/QBB,

Herausgeber R. Sauer, I. Szab6, Band 111, S. 232 -319, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New Yorlr.

BRD