Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 1
Zahlensysteme 12:34
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 2
Mathematische Grundlagen
Quantisierung von Individuum x• Allquantor x: „für alle x gilt“• Existenzquantor Ǝx: „es existiert ein mind. ein x“• Resultat:• x ist quantisiert: w, f unabhängig von x• Aussage x (p(x))
Ǝx (p(x))
Prädikate => Aussagen
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 3
Venn-Diagramme (Beispiele)
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 4
Angebot zum Selbststudiumhttp://141.24.211.89/moodleIKSSchlüssel: *IKS2016#
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 5
Rechnerorganisation – 2.Vorlesung
• Begriffe, Mathematische Grundlagen (1)• Boolesche Algebren, Normalformen (2,3)• Kombinatorische Schaltungen (4)• Programmierbare Strukturen (5)• Automaten, Sequentielle Schaltungen (6-9)• Rechneraufbau und –funktion (11,12)• Informationskodierung (13,14)
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 6
Rechnerorganisation – 2.Vorlesung
Funktion digitaler Schaltungen:– Variablen, Belegungen– BMA, Wertetabellen– Syntax schaltalgebraischer Ausdrücke– Semantik, Wertfunktion– BAA, Wertberechnung– Ausdruck => Wertetabelle
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 7
Variablen, Belegungen
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 9
Variablen, Belegungen
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 10
Variablen, Belegungen
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 11
Variablen
• Binäre Variable x0,y0:
– 2 Werte (Konstanten): 0,1
– Bezeichnung: Kleinbuchstabe + Index
• Vektoren x, y:
– Tupel aus n Variablen x=[xn-1,...,x1,x0], |x|=n
– 2n Wertekombinationen (Belegungen)
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 12
Belegungen
• Eingangsvektor x=[xn-1,...,x1,x0], |x|=n
• Belegungen: X0,Y0 X2n -1 , Y2m -1
– 2n : von [0,0,0,...,0] bis [1,1,1,...,1]
• Bezeichnung: Großbuchstabe + Index
• Belegungsmengen X: X={X0, X1, X2,... }, |X|= 2n
• Y={Y0, Y1, Y2,... }, |Y|= 2m
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 13
Wertetabelle Bezeichnung der Elemente
• Bit (Wert der Variablen eines Vektors x=[x2,x1,x0] bzw. y=[y1,y0]) in einer Belegung Xi, Yt
• z.B. Bit 2 von x=[x2,x1,x0] in der Belegung X3
– X3(x2)=0 („X3 von x2“) mit X3=[ 0, 1, 1], x=[x2,x1,x0]
• Bit 1 von y=[y1,y0] in der Belegung Y2
– Y2(y1)=1 („Y2 von y1“) Y2=[1,0], y=[y1,y0]
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 14
Wertetabelle Bezeichnung der Elemente
• Funktionsbeschreibung mit Mengen• Menge der Eingangsbelegungen: X• Menge der E. mit Funktionswert 1: X1
• zugehörige Indexmenge: I1
• Menge der E. mit Funktionswert 0: X0
• zugehörige Indexmenge: I0
– X= X1 X0, X1 X0 = – I = I1 I0, I1 I0 =
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 15
Rechenregeln: 0+0=0 Übertrag 0;0+1=1 Übertrag 0;
0+1+0=1 Übertrag 0;0+1+1=0 Übertrag 1;1+1+1=1 Übertrag 1;
Summe =1 eine „1“ oder drei „1“ in Xi
Übertrag =1 Anzahl „1“ in Xi > 1 (2 Bits sind = 1)
Ü
Wertetabelle Beispiel: Addition
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 16
Unter Berücksichtigung eines Übertrages der vorigen Stelle
Wertetabelle Beispiel: Addition
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 17
Wertetabelle Beispiel: AdditionNachbereich
üi-1 ai bi üi si Adder
x2 x1 x0 y1 y0 intern
X0 0 0 0 0 0 Y0
X1 0 0 1 0 1 Y1
X2 0 1 0 0 1 Y1
X3 0 1 1 1 0 Y2
X4 1 0 0 0 1 Y1
X5 1 0 1 1 0 Y2
X6 1 1 0 1 0 Y2
X7 1 1 1 1 1 Y3
Vorbereich
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 19
Wertetabelle Bezeichnung der Elemente
21 0 2
0 0 0
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 20
Digitales System
Architektur
Funktion Struktur
Wertetabelle Schaltung
Y=(X) y = hk(x)
Ausgangsbelegung Yt Ausgangsvariable yj
Eingangsbelegung Xi Eingangsvariable xi
Belegungsmengen X1 Ausdrücke hk
bn
an
Ün
Ün-1 Sn+
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 25
Rechnerorganisation – 2.Vorlesung
2. Funktion digitaler Schaltungen:– Variablen, Belegungen– BMA, Wertetabellen– Syntax schaltalgebraischer Ausdrücke– Semantik, Wertfunktion– BAA, Wertberechnung– Ausdruck => Wertetabelle
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 27
Schaltalgebraische Ausdrücke
(Wertetabellen: eindeutige Abbildung Eingangsbelegung/ Ausgangsbelegung=> funktionsorientierte Beschreibung)
• ... sind Zeichenreihen zur strukturorientierten Beschreibungdigitaler Schaltungen
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 28
Syntax
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 29
Syntax
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 30
Schaltalgebraische Ausdrücke
• Syntax• Vereinfachte Schreibweise:• ohne äußere Klammern• Priorität• Beispiel
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 31
Rechnerorganisation – 2.Vorlesung
• 2. Funktion digitaler Schaltungen: • Variablen, Belegungen• BMA, Wertetabellen• Syntax schaltalgebraischer Ausdrücke• Semantik Wertfunktion• BAA, Wertberechnung• Ausdruck => Wertetabelle
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 32
Wertberechnung
• Wertberechnung: BAA• Rechenregeln für Konstante:• Negation: 1=0 0=1• Konjunktion: 11=1; 01=00=0 • Disjunktion: 00=0; 01=11=1
x1 x0
0 0 0 00 1 0 11 0 0 11 1 1 1
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 33
Semantik: Wertfunktion W
• E: Menge syntaktisch korrekter AusdrückeX: Menge der Eingangsbelegungen
SemantikW: E x X => {0,1}
Ausdruck hi Ehat bei bestimmter Belegung Xk Xbestimmten Wert W(hi , Xk)=1 bzw. =0
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 34
Rechnerorganisation – 2.Vorlesung
• 2. Funktion digitaler Schaltungen:– Variablen, Belegungen– BMA, Wertetabellen– Syntax schaltalgebraischer Ausdrücke– Semantik, Wertfunktion– BAA, Wertberechnung– Ausdruck => Wertetabelle
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 35
Semantik: Wertfunktion W
• Rechenregeln: BAA– Wertberechnung für Ausdrücke W(hk , Xi): – schrittweise Berechnung des Wertes– 1. Belegung der Variablen (Bits) – 2. Verknüpfung der Werte – Variable xj => Bit der Belegung Xi(xj)
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 36
Rechnerorganisation – 2.Vorlesung
• 2. Funktion digitaler Schaltungen:• Variablen, Belegungen• BMA, Wertetabellen• schaltalgebraische Ausdrücke• Syntax, Semantik• Wertfunktion, Wertberechnung• Ausdruck => Wertetabelle
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 37
Ausdruck => Wertetabelle
• Berechnung der Werte eines Ausdrucks bei allen Belegungen der Eingangsvariablen:
• Wertverlauf• Notation in Wertetabelle
• => Ausdruck repräsentiert Wertetabelle(für eine Ausgangsvariable)
© H.-D. Wuttke, K. Henke 20.10.2016 www.tu-ilmenau.de/iks 38
Das war‘s für heute
Viel Spaß beim Wiederholen!
Kap. 3.1.1, 3.2.1, 3.2.5.1, 3.2.5.2
Bis nächsten Donnerstag um 15.00 ...