roboter Kniematik

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Robotik

ROBOTER KINEMATIKForschungsbericht 1990-15 Gnter Hommel Hermann Hei

Prof. Dr.-Ing. Gnter Hommel Fachgebiet PDV und Robotik Fakultt IV Elektrotechnik und Informatik Technische Universitt Berlin

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis .......................................................................................................... 1 Einfhrung in die Robotermathematik ............................................................... 1.1 Beschreibung von Objektstellungen................................................................. 1.1.1 Sechsdimensionale Beschreibungsvektoren ......................................... 1.1.2 Homogene Koordinaten und homogene 44-Matrizen ........................ 1.1.3 Duale Zahlen und duale 33-Matrizen ................................................. 1.1.4 Duale Quaternionen .............................................................................. 1.2 Operationen auf Stellungsbeschreibungen ....................................................... 1.2.1 Umrechnung sechsdimensionaler Beschreibungsvektoren in homogene 44 Matrizen ....................................................................... 1.2.2 Umrechnung homogener 44-Matrizen in sechsdimensionale Beschreibungsvektoren ......................................................................... 1.2.3 Operationen auf homogenen 44-Matrizen .......................................... 1.2.4 Umrechnung homogener 44-Matrizen in duale 33-Matrizen ........... 1.2.5 Umrechnung dualer 33-Matrizen in homogene 44-Matrizen ........... 1.2.6 Operationen auf dualen 33-Matrizen .................................................. 1.2.7 Operationen auf dualen Quaternionen .................................................. 1.2.8 Umrechnung homogener 44-Matrizen in duale Quaternionen ........... 1.2.9 Umrechnung dualer Quaternionen in homogene 44-Matrizen ........... Roboterkinematik .................................................................................................. 2.1 Theorie der Vorwrtsrechnung......................................................................... 2.1.1 Prinzipielle Vorgehensweise ................................................................. 2.1.2 Beziehungen zwischen benachbarten Gelenken ................................... 2.1.3 Berechnung der Effektorstellung .......................................................... 2.1.4 Vereinfachungen und Sonderflle bei der Vorwrtsrechnung .............. 2.1.5 Optimale Null-Lagen der Robotergelenke ............................................ 2.1.6 Beispiel: Berechnung der Effektorstellung .......................................... 2.2 Grundlagen der Rckwrtsrechnung ................................................................ 2.2.1 Vereinfachungsmglichkeiten fr die Rckwrtsrechnung .................. 2.2.2 Klassifikation von Roboterkonstruktionen und Zielvorgaben .............. 2.2.3 Vorberlegungen zur expliziten Lsung der kinematischen Gleichung .............................................................................................. 2.2.4 Auswahl nichtredundanter Bestimmungsgleichungen ..........................

i 1 1 2 3 5 8 10 10 12 16 21 21 23 27 29 30 33 34 34 34 39 40 41 42 47 47 48 55 57

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Inhaltsverzeichnis

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2.3 Ein Verfahren zur expliziten Lsung der kinematischen Gleichung zweiten Grades ................................................................................................. 60 2.3.1 Charakterisierung der Robotergelenke ................................................. 60 2.3.2 Orientierungsbetrachtung ...................................................................... 61 2.3.3 Positionswertbetrachtung ...................................................................... 67 2.3.4 Abstandsbetrachtung ............................................................................. 68 2.3.5 Distanzbetrachtung ............................................................................... 70 2.3.6 Anwendung der Positionswertbetrachtung auf den .............................. 71 2.3.7 Einflu verschiedener Anstze auf die Lsungsstruktur am Beispiel des GdA06 .............................................................................. 74 2.3.8 Zusammenstellung der explizit quadratisch lsbaren Roboterklassen ...................................................................................... 80 2.4 Verfahren zur expliziten Lsung der kinematischen Gleichung mit Grad vier .................................................................................................................... 82 2.4.1 Roboterkonstruktionen mit drei sich schneidenden Rotationsachsen .................................................................................... 82 2.4.2 Roboterkonstruktionen mit 2 Zylindergelenken ................................... 86 2.4.3 Vergleich der Lsungen mit Grad zwei und Grad vier ......................... 89 2.5 Berechnung der Gelenkgeschwindigkeit .......................................................... 92 2.6 Inkrementelle Rckwrtsrechnung ................................................................... 96 2.6.1 Linearisierung der Roboterfunktion F(v1 , ... , vn) ................................ 96 2.6.2 Bestimmung der Gelenkvariablen aus einem linearen Gleichungssystem ................................................................................. 100 2.6.3 Vergleichende Bewertung der expliziten und der inkrementellen Rckwrtsrechnung............................................................................... 109 Index ............................................................................................................................... 111 Literaturverzeichnis ...................................................................................................... 116

1.1 Beschreibung von Objektstellungen

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Einfhrung in die Robotermathematik

1.1 Beschreibung von ObjektstellungenDie rumliche Stellung eines Objekts, z.B. auch des Effektors, wird durch die Definition von zwei Koordinatensystemen und die geometrischen Beziehungen zwischen beiden beschrieben: 1. Das objektspezifische charakterisiert das zu handhabende Objekt und wird mit diesem mitbewegt; in der Geometrie wird deshalb hufig vom Gangsystem gesprochen. Koordinatenursprung und Richtung der Achsen werden entsprechend der Objektgeometrie und Aufgabenstellung vom Anwender sinnvoll festgelegt und knnen sich z.B. am Schwerpunkt, an Symmetrieachsen oder bestimmten ausgezeichneten Objektpunkten, -kanten oder -flchen orientieren. Das Bezugskoordinatensystem beschreibt das die Objekte umgebende System; da dieses System in der Regel fest ist (zumindest hinsichtlich der Relativbewegung der ihm zugeordneten Objekte), wird es in der Geometrie auch als Rastsystem bezeichnet. Koordinatenursprung und Richtung der Achsen sind entsprechend der Aufgabenstellung bzw. Umwelt whlbar (in der Literatur deshalb oft auch Weltkoordinatensystem genannt) und knnen z. B. durch Fertigungseinrichtungen, Handhabungseinrichtungen oder Gebude vorgegeben werden.

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Beide Koordinatensysteme sind i.a. kartesische Rechtssysteme; in besonderen Anwendungsfllen knnen auch andere orthogonale Koordinatensysteme benutzt werden (z.B. Zylinder- oder Kugelkoordinatensystem), deren Koordinaten aber immer in die Koordinaten eines kartesischen Hilfskoordinatensystems transformiert werden knnen. Wir beschrnken uns deshalb im weiteren auf das am hufigsten verwendete kartesische Rechtskoordinatensystem. Die Orientierung eines Objekts ist die Winkelbeziehung zwischen den Achsen des objektspezifischen Koordinatensystems und denen des Bezugskoordinatensystems. Die Position eines Objekts ist der Ort, den ein bestimmter Punkt des Objekts in der Regel der Ursprung des objektspezifischen Koordinatensystems im Bezugskoordinatensystem einnimmt.

1.1 Beschreibung von Objektstellungen

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Die Stellung (=rumliche Stellung) eines Objekts wird durch die Position und die Orientierung im vorgegebenen Bezugskoordinatensystem definiert. Der Freiheitsgrad f ist die Anzahl der mglichen unabhngigen Bewegungen (Translationen, Rotationen) eines Objekts gegenber einem Bezugskoordinatensystem. Demnach hat ein im Raum frei bewegliches Objekt den Freiheitsgrad f=6, der sich bei einem kartesischen Bezugskoordinatensystem aus drei translatorischen Bewegungsmglichkeiten (Verschiebungen) zur Festlegung der Position und drei rotatorischen Bewegungsmglichkeiten (Drehungen) zur Festlegung der Orientierung zusammensetzt. Der Freiheitsgrad f=6 ist nicht nur eine notwendige, sondern auch eine hinreichende Voraussetzung, damit ein Objekt eine beliebige vorgegebene Stellung im Bezugskoordinatensystem einnehmen kann. Die Anzahl der Bewegungsachsen eines Roboters (Getriebefreiheitsgrad F ) ist nicht gleichzusetzen mit der Anzahl der Freiheitsgrade. Beispiel: Ein Industrieroboter mit acht Achsen (drei translatorische und fnf rotatorische) besitzt trotzdem nur den Freiheitsgrad f=6; der Vorteil der greren Achsenzahl liegt in der erhhten Flexibilitt, die z.B. bei Montagearbeiten sinnvoll sein kann. Ein Problem ergibt sich beim Anfahren einer vorgegebenen Stellung aus der Mehrdeutigkeit der Gelenkstellungen, die eine aufgabenspezifische Festlegung notwendig macht. Auch bei einer Achsenzahl F 6 kann gelten: Achsenzahl > Freiheitsgrad. Die Vor- und Nachteile einer solchen Konstellation sind die gleichen wie im obigen Beispiel; zustzlich jedoch erlaubt eine solche Konstruktion nicht, da der Effektor jede beliebige Stellung im Raum einnehmen kann, was bei vielen Handhabungsaufgaben ein schwerwiegender Mangel sein drfte. Beispiel: Eine automatische Teleskopantenne besitzt den Freiheitsgrad f=1, aber mehrere (nicht unabhngige) translatorische Bewegungsachsen. Es gilt: Ein Roboter mit dem Freiheitsgrad f bentigt mindestens f (geeignet angeordnete) Bewegungsachsen. Falls f > 3, so si