RS Oswin Weiser Pößneck Gleichungen mit einer Variablen lösen

RS „Oswin Weiser“ Pößneck

Gleichungen mit einer Gleichungen mit einer Variablen lösenVariablen lösen



Eine Gleichung mit einer Variablen x lösen heißt:

die Zahl für x finden, die eine wahre Aussage ergibt.


Gleichung lösen durch Probieren mit Tabelle:

Zahl für x:

x x 13 + 4 = 56 13 + 4 = 56

in Gleichung einsetzen: falsch / wahr?

1 1 13 + 4 = 5617 = 56

falsche Aussage

2 2 13 + 4 = 5630 = 56 falsche Aussage

3 3 13 + 4 = 5643 = 56 falsche Aussage

4 4 13 + 4 = 5656 = 56

wahre Aussage

Die Lösung der Gleichung ist x = 4 !Die Lösung der Gleichung ist x = 4 !



Zahl für x:

x x 3 + 9 = x + 15 3 + 9 = x + 15

in Gleichung einsetzen:

1 1 3 + 9 = 1 + 1512 = 16

falsche Aussage hier klicken

2 2 3 + 9 = 2 + 1515 = 17 falsche Aussage

hier klicken

3 3 3 + 9 = 3 + 1518 = 18

falsche Aussage hier klicken

4 4 3 + 9 = 4 + 1521 = 19

wahre Aussagehier klicken

Die Lösung der Gleichung ist x = 3 !Die Lösung der Gleichung ist x = 3 !

falsch / wahr?



Zahl für x:

x x 7 + 430 = x 7 + 430 = x 2 + 2000 2 + 2000

in Gleichung einsetzen:

1 1 7 + 430 = 1 2 + 2000437 = 2002

falsche Aussage

2 2 7 + 430 = 2 2 + 2000444 = 2004

falsche Aussage

wahre Aussage314 3147 + 430 = 3142 + 2000

2628 = 2628

Die Lösung der Gleichung ist (mühsam) x = 314 !Die Lösung der Gleichung ist (mühsam) x = 314 !

falsch / wahr?

Stunden später ..........


Eine Gleichung durch Probieren zu lösen kann unter Umständen sehr lange dauern.

Es gibt einen Rechenweg, mit dem man alle Gleichungen nach kurzer Zeit lösen kann.

Die Grundregel dabei ist:

„Verändere ich die eine Seite einer Gleichung, dann muss ich die andere Seite genau so verändern, damit das Gleichgewicht bleibt.“

Ziel ist: x soll auf einer Seite allein stehen.


3 9 3

3 15 3

3 9 3 15

Wenn ich auf der linken Seite 3 kg wegnehme, dann muss ich auf der rechten Seite auch 3 kg wegnehmen, damit das Gleichgewicht bleibt.

- 318 = 18

15 = 15


Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn man auf beiden Seiten

3 wegnimmt:

3 + x = 11

-3 -3

x

x - 4 = 9

+4 +4

x

3 x = 12

:3 :3

x

x = 62

2

x

4 hinzufügt:

den 3. Teil bildet: verdoppelt:

2

= 8

Wir vereinfachen die Gleichungen so, dass „x“ allein steht.

13=

4= 12=


Ziel ist: x soll auf einer Seite allein stehen.

Gleichungen lösen mit Umformungsregeln:

steht in der Gleichung: dann Umformungsregel:

x - 5 + 5 auf beiden Seiten

x + 5

x 5

x : 5

- 5 auf beiden Seiten

: 5 auf beiden Seiten

5 auf beiden Seiten

Will man eine Gleichung in eine einfachere umformen,verwendet man immer die Umkehrrechenart.


Subtraktionsregel:

Auf beiden Seiten einer Gleichung wird dieselbe Zahl subtrahiert.

Beispiel:

4x + 9 = 25 -9

4x + 9 -9 = 25 - 9

Gleichung:

Rechnung:

vereinfachte Gleichung: 4x = 16


Additionsregel:

Auf beiden Seiten einer Gleichung wird dieselbe Zahl addiert.

Beispiel:

2x - 5 = 21 +5

2x -5 +5 = 21 + 5

Gleichung:

Rechnung:



Übung:Löse die Gleichung mit der Additions- oder Subtraktionsregel!

A) x + 17 = 30 B) x - 14 = 6

C) x - 7 = -25 D) x + 13 = - 45

-17

x + 17 - 17 = 30 - 17

x = 13

+14

x - 14 + 14 = 6 + 14

x = 20

+7

x - 7 + 7 = - 25 + 7

x = - 18

Probe: 13 + 17 = 30 w.A. Probe: 20 - 14 = 6 w.A.

Probe: -18 - 7 = -25 w.A.

-13

x + 13 - 13 = - 45 - 13

x = - 58

Probe: - 58 + 13 = - 45 w.A.


Multiplikationsregel:

Beiden Seiten einer Gleichung werden mit derselbe Zahl ( 0) multipliziert.

Beispiel:

2x = 4 5

5

2x 5 = 4 5 5

Gleichung:

Rechnung:



Divisionsregel:

Beiden Seiten einer Gleichung werden durch dieselbe Zahl ( 0) dividiert.

Beispiel:

4 x = -12 : 4

4 x = -12 4 4

Gleichung:

Rechnung:

vereinfachte Gleichung: 1 x = -3


Übung:Löse die Gleichung mit der Multiplikations- oder Divisionsregel!

A) x : 2 = 30 B) x 14 = 84

C) x 7 = - 63 D) x : 5 = - 45

2

x 2 = 30 22x = 60

:14

x 14 = 84 14 14

x = 6

:7

x 7 = - 63 7 7

x = - 9

Probe: 60 : 2 = 30 w.A. Probe: 6 14 = 84 w.A.

Probe: -9 7 = -63 w.A.

5

x 5 = - 45 5 5

x = - 225

Probe: - 225 :5 = - 45 w.A.


Zusammenfassung:

Will man eine Gleichung vereinfachen, verwendet man auf beiden Seiten die Umkehrrechnung.

Die Probe wird immer mit der Ausgangsaufgabe gemacht.

Bei der Probe setzt man die gefundene Zahl für x in die Ausgangsaufgabe ein.

Ergibt sich eine wahre Aussage, hat man die Lösung gefunden.


Löse die Gleichungen mit den Umformungsregeln!Verwende zuerst die Regeln für „+“ oder „-“.Im 2. Schritt verwende die Divisionsregel!

5x + 15 = 70 - 15

5x + 15 - 15 = 70 - 15 zusammenfassen

5 x = 55 : 5

x = 11

Probe: 5 11 + 15 = 7055 + 15 = 70

70 = 70 w.A. ENDE


Gleichung: x Gleichung: x 13 + 4 = 56 13 + 4 = 56

13

56

4

x = 1x = 1

ungleichungleich


13

56

4x = 2x = 2

ungleichungleich

13



13

56

4x = 3x = 3

ungleichungleich

13 13



x = 4x = 4

13 13 13 13

4

56

gleichgleich



3

15

x = 1x = 1

ungleichungleich

1

Gleichung: x Gleichung: x 3 + 9 = x + 15 3 + 9 = x + 15

9


x = 2x = 2

ungleichungleich

3

15

3

2


9


x = 4x = 4

ungleichungleich

3

15 4

3 3 3


9


x = 3x = 3

gleichgleich


3 9 3

3 15 3


Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn man auf beiden Seiten

3 wegnimmt:

3 + x = 11

-3 -3

x

x - 4 = 9

+4 +4

x

3 x = 12

:3 :3

x

x = 62

2

x

4 hinzufügt:

den 3. Teil bildet: verdoppelt:

2

= 8

Wir vereinfachen die Gleichungen so, dass „x“ allein steht.

13=

4= 12=

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