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Regelungstechnik I

Vorlesung

Inhaltsverzeichnis

1 Beschreibung des dynamischen Verhaltens von bertragungsstrecken 5

1.1 Vollstndige Dierentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Vollstndiger Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Physikalisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Denition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Physikalisches Standartmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Herkmmliche Regelsysteme 9

2.1 Aufbau eines Regelsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Struktur, Begrie und Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Das Stabilittsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Der Frequenzgang F0 der aufgeschnittenen Regelschleife . . . . . . 102.2.2 Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung des Systems und de-

ren Zusammenhang mit den Polen von Fg (in der p-Ebene) . . . . 102.2.3 Stabilittskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.4 Vorschriften in der p-Ebene fr Stabilitt und Dmpfung . . . . . 12

2.3 Die wichtigsten herkmmlichen Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Kennzeichnung des momentanen Zustands einer bertragungsstrecke durch

einen Satz von Zustandsvariablen 13

3.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Zustandsvariable einer S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Regelysteme nach dem Prinzip der Rckfhrung eines vollstndigen Satzes

von Zustandsvariablen 14

4.1 Rckfhrung der Ausgangsgrse und ihrer ersten n-1 Ableitungen nach

der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Rckfhrung der Ausgangsgrssen der Bausteine mit Zeitverhalten des

physikalischen Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.1 Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Zur Wahl des Verstrkungsfaktors K und der n Rckfhrungsparameter

K1 bis Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3.1 Parameterbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2

4.3.2 bertragungsbeiwert der Fhrung im Beharrungszustand (Kw) . . 204.3.3 Relationen der Koezienten des Nennerpolynoms . . . . . . . . . . 20

4.3.4 Zeitmastab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4 Behandlung von bertragungsstrecken mit einem von eins verschiedenen

Zhlerpolynom ihres Frequenzgangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Lage der Pole und Zeitverhalten eines Regelsystems 24

5.1 Bestimmung der Sprungantwort im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . 24

5.2 Zwei Beispiele fr Pollage und Zeitverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2.1 Die Standartbertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2.2 Tiefpass mit kritischer Dmpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Mglichkeiten zur Ausbildung eines echten Integralverhaltens 25

6.1 berlagerte I-Regelschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.2 Bypass-I-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.3 Vergleich zwischen berlagerter I-Regelschleife und Bypass-I-Regler . . . . 27

7 Der quivalente Regler 28

7.1 Denition des quivalenten Reglers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.2 quivalenter Regler zum Regelsystem mit Rckfhrung der Ausgangsgrs-

se und ihrer n-1 Ableitungen nach der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.3 quivalenter Regler zum Regelsystem mit Rckfhrung der n Ausgangs-

grssen der Bausteine des physikalischen Modells . . . . . . . . . . . . . . 30

7.4 quivalenter Regler zum Regelsystem mit berlagerter Regelschleife . . . 30

7.5 quivalenter Regler zum Regelsystem mit Bypass-I-Regler . . . . . . . . . 31

8 Methode zur Dimensionierung herkmmlicher Regler 32

9 Das Beobachterprinzip (auch Luenberger-Beobachter genannt) 33

9.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9.2 Der vollstndige Streckenbeobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9.2.2 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9.2.3 Beobachter ohne bleibende Abweichung (bei Strung mit bleiben-

dem Anteil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9.3 Teilstreckenbeobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9.3.2 Beispiel fr einen Teilstreckenbeobachter 1. Ordnung . . . . . . . . 35

9.3.3 Beispiel fr einen Teilstreckenbeobachter 2. Ordnung . . . . . . . . 35

9.4 Festlegung der Gewichtsfaktoren g in Beobachtern . . . . . . . . . . . . . 35

10 Systemfhrung nach dem Prinzip unterlagerter Schleifen 36

11 System mit einem Wechsel der Regelgre 37

11.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3

11.2 Lsung bei Regelsystemen mit unterlagerten Schleifen (Kaskadenregelung) 37

11.3 Ablseregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4

1 Beschreibung des dynamischen

Verhaltens von bertragungsstrecken

bertragungsstrecke S mit:

Eingangsgre xe

Ausgangsgre xa

Strgre z

Vorraussetzungen fr S:

rckwirkungsfrei (von aussen gesehen)

lineares Verhalten (berlagerungssatz gltig!)

ohne Totzeiten

Strgre zzunchst= 0

5

1.1 Vollstndige Dierentialgleichung

Die vollstndige Dierentialgleichung lsst sich aus der physikalischen Grundgleichung

der Teilsysteme ermitteln:

Mechanische Teilsysteme:

F = m a ; M = J d dt

Elektrische Teilsysteme:

uR = R iR ; uL = Ld iLdt; iC = C

d uCdt

Thermische Teilsysteme:

entsprechende Bezeichnungen fr thermischen Widerstand und thermische Kapazitt

Bei linearem Verhalten ohne Totzeiten, diskreten energieaufnhemenden Elementen und

zeitinvarianten Parametern:

n+1(n)xa (t) + + 3 xa(t) + 2 xa(t) + 1 xa(t) + 0

= 1 xe(t) + 2 xe(t) + + m+1(m)xe (t) (1)

Zweckmig: Festlegung der Nullpunkte fr xe und xa im Beharrungspunkt (z.B. Nenn-betrieb)

xe, xa Abweichungen vom Beharrungszustand 0 = 0

Gl.(1) stets darstellbar in der Form:

an+1(n)xa (t) + + a3 xa(t) + a2 xa(t) + a1 xa(t)

= b1 xe(t) + b2 xe(t) + + bm+1(m)xe (t) (2)

wobei b1 = 1 und im Sonderfall b1 = 0 gilt

Vereinbarung:

Im folgenden werden S durch Dierentialgleichungen (DGL) gem Gl.(2) beschrie-

ben

6

1.2 Vollstndiger Frequenzgang

Blatt 1..3 zu Kapitel 1

1.3 Physikalisches Modell

1.3.1 Denition und Eigenschaften

ohne Beweis (Literatur: W. Oppelt)

Eine S mit n voneinander unabhngigen Energiespeichern wird durch eine bertra-

gungsfunktion n-ter Ordnung beschrieben und umgekehrt.

Denition: Energiespeicher sind dann voneinander unabhngig, wenn ihr Energieinhalt

vom System getrennt beeinusst werden kann

Beispiele:

7

Physikalisches Modell fr S n-ter Ordnung:

Reihen-/ Parallel-/ Kreisschaltung von insgesamt n unabhngigen Integrierern undPT1-Gliedern (Verzgerungsglieder 1. Ordnung)

Signalausgnge der Integrierer und PT1-Glieder kennzeichnen jeweils den Energi-einhalt eines eindeutig zugeordneten Energiespeichers der Original-S

zustzlich zur Reihen-/ Parallel-/ Kreisschaltung treten weitere Rck- oder Vor-wrtskopplungen nur als P-Glieder (Proportionalglieder) auf

Blatt 5+6 zu Kapitel 1

1.3.2 Beispiele


1.4 Physikalisches Standartmodell

Forderungen wie beim physikalischen Modell fr S n-ter Ordnung mit der

Einschrnkung:

Ab Glieder mit Zeitverhalten drfen nur Integrierer auftreten

8

2 Herkmmliche Regelsysteme

2.1 Aufbau eines Regelsystems

2.1.1 Struktur, Begrie und Aufgabe

Ein Regelsystem ist eine Anordnung, bei welcher die Ausgangsgre einer bertragungs-

strecke laufend gemessen und mit der dafr vorgegebenen Fhrungsgre verglichen wird

und bei der mit der so gebildeten Dierenz die Strecke derart beeinusst wird, dass die

Regelgre, auch unter dem Einuss einer ganz oder teilweise unbekannten Strgre, an

ihren Sollwertverlauf angeglichen wird.


2.1.2 Ein Beispiel


9

2.2 Das Stabilittsproblem

2.2.1 Der Frequenzgang F0 der aufgeschnittenen Regelschleife

Aufschneiden der Rckfhrungsschleife vor der Bildung der Regeldierenz:

Anregung mit harmonischer Schwingung (xe)Ermittlung von deren Wirkung auf x (ergibt unter den getroenen Voraussetzungenebenfalls eine harmonische Schwingung)

Dafr wird w = 0 und z = 0 vorrausgesetzt; beide hier unerheblich (berlagerungssatz!)FG der aufgeschnittenen Regelschleife:

F0 =x

xe= FR FS


2.2.2 Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung des Systems und

deren Zusammenhang mit den Polen von Fg (in der p-Ebene)

Unter den getroenen Vorraussetzungen Darstellung von Fg und Fgz stets wie folgt mg-lich (2.1.2):

Fg(p) =x

w=Zg(p)Ng(p), Fgz(p) =

x

z=Zgz(p)Ng(p)

Somit:

x Ng(p) = w Zg(p)(. . . d p3 + c p2 + b p+ a) x = (. . . p3 + p2 + p+ ) w (12)wobei a, b, c . . . und , , . . . reellx x; w w; p ddt

. . . d...

x + c x+ b x+ a x = . . . ...

w + w + w + w (13)

10

Lsung von DGL(13):

eine spezielle Lsung von (13) mit w 6= 0 [inhomogene Form von (13)] summiert mitallgemeiner Lsung von (13) mit w = 0 [homogene Form von (13)]

Allein die homogene Form von (13) entscheidet ber Stabilitt

Spezielle Lsung von (13): dazu Sprung in w zur Zeit t = 0

t 0: w = const. = wS ; w = 0 ; w = 0 ; . . .xs =

awS

Homogene Lsung von (13): dazu charakteristische Gleichung (CGL) zur DGL(13)

. . . d 3 + c 2 + b + a = 0 (14)

Eigenwerte der CGL: 1 ; 2 ; . . . ; n

xh = D1 e1 t +D2 e2 t + +Dn en t

(gilt fr einfache Eigenwerte; Lsung bei zusamenfallenden Eigenwerten siehe HM)

Bedingung fr die Stabilitt des durch DGL(13) beschriebenen Systems:

Realteile smtlicher Wurzeln der CGL(14) negativ

Wurzeln der CGL(14) (in komplexer Ebene) identisch mit Wurzeln (in p-Ebene)des Nennerpolynoms Ng von Fg(p) und Fgz(p) Folgt aus Vergleich von (14) mit (12)


2.2.3 Stabilittskriterium

Blatt 13 zu Kapitel 2

F0(p) =K

1 + p TaN sN + p2 TA TaN sN 2 Pole mit neg. Realteil

1p TaN 1 Pol bei p = 0

((8))

= () (0) mit () = |(0) = |0

11

(0) =pi

2 arctan

KsN 1Re[F0(j)]0Im[F0(j)]0

=pi

2

Fr K = 48: () = pi = pi2 stabilFr K = 144: () = pi = 32pi instabil


2.2.4 Vorschriften in der p-Ebene fr Stabilitt und Dmpfung

Betrachtung der Lage der Pole von Fg(p) in der p-Ebene


2.3 Die wichtigsten herkmmlichen Regler


12

3 Kennzeichnung des momentanen

Zustands einer bertragungsstrecke

durch einen Satz von

Zustandsvariablen

3.1 Problemstellung

S bende sich zur Zeit t = t0 auerhalb ihres Beharrungszustandes infolge von Ein-ssen, welche zu Zeiten t < t0 erfolgten, zum Zeitpunkt t = t0 aber bereits wiedervollstndig abgeklungen sind.

Gesucht: xa = xa(t) fr t > t0, wobei fr t > t0 xe 0 und z 0

3.2 Zustandsvariable einer S

Denition:

Ein Satz von Zustandsvariablen einer S ist ein Satz von Kenngrssen, deren Momen-

tanwerte zu einem Zeitpunkt t = t0 das Verhalten der S fr t > t0 ohne weitereBeeinussungen (xe 0, z 0 fr t > t0) eindeutig festlegen.


13

4 Regelysteme nach dem Prinzip der

Rckfhrung eines vollstndigen

Satzes von Zustandsvariablen

Herkmmlicher Weg:

Nachteil:

Zustzliche Informationen ber die S werden beim Aufbau des Regelsystems nicht be-

rcksichtigt

Stabilittsproblem unntig schwierig lsbar

Zweckmiger:

x1, x2, . . ., xn: Vollstndiger Satz von Zustandsvariablen der S

14

Vorteile:

einfach stabil zuhalten

Stabilitt ziemlich Unempndlich gegenber Parametereinstellungen

bertragungsverhalten des Regelsystems zumindest theoretisch frei einstellbar

Einfacher Aufbau des RRG bei zeitlich konstant gewichteter Rckfhrung eines vollstn-

digen Satzes von Zustandsvariablen

x1, x2, . . ., xn: Vollstndiger Satz von Zustandsvariablen der SK, K1, . . ., Kn: Einstellparameter des RRG (reell, n+ 1 freie Parameter)

4.1 Rckfhrung der Ausgangsgrse und ihrer ersten n-1

Ableitungen nach der Zeit

x1 = xx2 = xx3 = x.

.

.

xn =(n1)x

15

Durch RRG wird festgelegt:

y = K(w C1 x C2 x C3 x Cn(n1)x ) (1)

Bei S entsprechend Gl.(2) in 1.1 mit (b1 = 1; b2, b3 . . . bn+1 = 0):

y = a1 x+ a2 x+ a3 x+ + an+1(n)x(2)

Aus (1) und (2):

an+1(n)x + + a3 x+ a2 x+ a1 x = KW KC1 xKC2 xKC3 x KCn

(n1)x

(n)x

an+1K

+(n1)x

(Cn +

anK

).

.

.

+ x(C3 +

a3K

)+ x(C2 +

a2K

)+ x(C1 +

a1K

)= w (3)

Vollstndige Lsung zu Gl.(3) (DGL n-ter Ordnung):

Lsung = eine spezielle Lsung der inhomogenen Form von Gl.(3) (w 6= 0)+ allgemeine Lsung der homogenen Form von Gl.(3) (w = 0)

16

Spezielle Lsung der inhomogenen Form von Gl.(3)

Annahme: Sprung in w zur Zeit t = 0 von 0 auf wS

t > +0: w = wS = const.w, w, . . . = 0

Eingesetzt in Gl.(3), eine Lsung von Gl.(3)

xs = wSC1 + a1K(4)

Allgemeine Lsung der inhomogenen Form von Gl.(3)

CGL:

nan+1K

+ n1(Cn +

anK

)+ 2

(C3 +

a3K

)+ (C2 +

a2K

)+ 1(C1 +

a1K

)= 0 (5)

Allgemeine Lsung der homogenen Form von Gl.(3):

xh = D1 e1 t +D2 e2 t + +Dn en t (6)

Vollstndige Lsung von Gl.(3):

x = xs + xh =wS

C1 + a1K+D1 e1 t +D2 e2 t + +Dn en t (7)

mit D1 . . . Dn aus den Anfangsbedingungen

Aus Gl.(7) folgt:

1 . . . n bestimmen Art und Weise und insbesondere die Geschwindigkeit, mitwelcher der neue Beharrungszustand angelaufern wird

bertragungsbeiwert der Fhrung im Beharrungszustand:

Kw =xsws

(4)=

1C1 + a1K(8)

17

blich:

Kw = 1 (9)

Zunchst n+1 freie Parameter: K und C1 . . . Cn (Eisntellparameter des RRG)Gl.(8) legt eine Beziehung zwischen diesen n+1 freien Parametern fest; somit verbleiben

n Parameter zur freien Wahl (zur Festlegung der Wurzeln der CGL)

(8)(5):

n Kwan+1K

=qn Tn

+n1 Kw(Cn +

anK

)

=qn1 Tn1

+ + 2 Kw(C3 +

a3K

)

=q2 T 2

+ Kw(C2 +

a2K

)

=T

+1 = 0

(10)

Aus (3), (8) und (10) Fhrungs-FG:x

w= Kw

11 + p T + q2 p2 T 2 + + qn pn Tn (11)

Hierzu Kw frei whlbar. Durch dessen Vorgabe entsteht gem Gl.(8) eine Bindung zwi-schen C1 und K. Unterstellt man z.B. dass hierdurch ber C1 verfgt wird, sind q2 bisqn und T ber eine geeignete Wahl von K und C2 bis Cn(reell) vllig beliebig whlbar.Damit sind die Wurzeln der CGL (1 . . . n) theoretisch vllig frei festzulegen.Praktische Grenzen durch limitierten Hub des Stellgliedes und Empndlichkeit des Sys-

tems gegenber Strsignalen.

Nachteil: hier mehrfache Dierentation des Ausgangssignal erforderlich

4.2 Rckfhrung der Ausgangsgrssen der Bausteine mit

Zeitverhalten des physikalischen Modells

4.2.1 Prinzip


4.2.2 Beispiele


18

4.3 Zur Wahl des Verstrkungsfaktors K und der n

Rckfhrungsparameter K1 bis Kn

x

w= Kw

11 + p T + q2 p2 T 2 + + qn pn Tn ((11) aus 4.1)

(sofern Zhlerpolynom des FG

xy der Regelstrecke Grad0, d.h. Regelstrecke ohne Kreis-

und Parallelschaltung und Vorwrtskopplungen)

Eigenschaftsparameter Kw, T, q2, q3, . . . , qn ber Einstellparameter K,K1,K2, . . . ,Kntheoretisch beliebig whlbar.

Theoretisch optimal:

x

w= Kw (blicherweise = 1)

also T = 0 (und alle q endlich) Forderung (vgl. Beispiele) K =Erfllung (auch nur nherungsweise) nicht sinnvoll

4.3.1 Parameterbilanz

Einstellparameter Parameter Parameterzahl

Gewichtung der Signale in den Rckfhrungs-

schleifen

K1,K2, . . . ,Kn n

Verstrkung des P-Gliedes nach dem Summati-

onspunkt

K 1

Gesamtzahl, Haben n+1

Eigenschaftsparameter Parameter Parameterzahl

bertragungsbeiwert der Fhrung im Behar-

rungszustand

Kw 1

Relationen der Koezienten des Nennerpoly-

noms

q2, q3, . . . , qn n-1

Zeitmastab (gewnschte oder mgliche Regel-

geschwindigkeit)

T 1

Gesamtzahl, Soll n+1

19

4.3.2 bertragungsbeiwert der Fhrung im Beharrungszustand (Kw)

blicherweise Kw = 1 (Ausnahme eventuell bei berlagerung weiterer Schleifen)

4.3.3 Relationen der Koezienten des Nennerpolynoms

Die Beziehung:

x

w= Kw

11 + p T + q2 p2 T 2 + + qn pn Tn ((11) aus 4.1)

beschreibt das Verhalten eines Tiefpasslters.

Die Filtertheorie liefert zahlreiche sinnvolle Relationen der Koezienten q2 . . . qn fr eingnstiges Fhrungsverhalten.


4.3.4 Zeitmastab

x

w= Kw

11 + p T + q2 p2 T 2 + + qn pn Tn ((11) aus 4.1)

Eigentlich gewnscht:

T klein

K sehr gro hohe Systemunruhe hohe Reserve im Stellglied erforderlich oder rasches Austreten aus dem weitgehendlinearen Bereich

Kompromiss erforderlich zwischen hoher Regelgeschwindigkeit, ausreichender Systemru-

he und Bedarf an Stellreserve.

Dazu Kenntnis erforderlich ber:

Gre und Art von Sollwertvernderungen

Gre, Art und Angrispunkte von Strgren

Gre und Frequenzen von Strsignalen im Sollwert und Istwert

20

Diese sind in der Entwurfsphase meist nicht vollstndig bekannt endgltige Einstellungdes Zeitmastabs bei der Inbetriebnahme vor Ort.

Daher: Aufgrund vorliegender Grobkenntnisse K oder T whlen und damit, sowie aus Kwund q2 . . . qn (K),K1 . . .Kn berechnen und als erste Einstellempfehlung verwenden.

Auerdem: Verschiedene K oder T um den ersten Wert herum whlen und zugehrige

Stze (K),K1 . . .Kn berechnen verschiedene Koezientenstze fr Inbetriebnahme

Noch oen: Wahl von T fr erste Einstellempfehlung

a) Grober Schtzwert aus bekannter Hhe von Sollwertsprngen sowie bekannter Stell-

reserve bei bekanntem Arbeitspunkt


b) Grober Schtzwert aus Polverteilung der bertragungsstrecke


4.4 Behandlung von bertragungsstrecken mit einem von

eins verschiedenen Zhlerpolynom ihres Frequenzgangs


Zunchst: Denition einer zentralen Zustandsgre xc gem:

an+1(n)xc (t) + + a3 xc(t) + a2 xc(t) + a1 xc(t) = y(t) (4)bzw.

xcy

=1

a1 + a2 p+ a3 p2 + + an+1 pn (5)

Aus (2a) und (5):

x = xc(b1 + b2 p+ b3 p2 + + bm+1 pm) (6)x(t) = b1 xc(t) + b2 xc(t) + b3 xc(t) + + bm+1

(m)xc (t) (7)

21

Ein vollstndiger Satz von Zustandsgren einer S ist stets ein Satz von n linear unab-

hngigen Linearkombinationen ihrer zentralen Zustandsgre xc und deren (n-1) Ablei-tungen nach der Zeit.

Die n Ausgangsgren der Bausteine mit Zeitverhalten des physikalischen Modells einer

S sind stets ein Satz von Zustandsgren

Ein Regelsystem mit Rckfhrung der Ausgangsgren des physikalischen Modellslsst sich auf ein solches mit Rckfhrung der zentralen Zustandsgre und deren (n-1)

Ableitungen nach der Zeit zurckfhren.


K1 x+K2 x2 + +Kn xn = C1 xc + C2 xc + + Cn(n1)xc (8)

gem (11) aus 4.1:

xcw

= Kw1

1 + p T + q2 p2 T 2 + + qn pn Tn

mit

Kw =1

C1 + a1K((8) aus 4.1)

T = Kw(C2 +

a2K

)((10) aus 4.1)

q T = Kw

(C+1 +

a+1K

)fr = 2, 3, . . . (n 1)

qn Tn = Kw

an+1K

22

Fhrungs-FG des Regelsystems:

(6) mit (11) aus 4.1:

x

w= Kw

b1 + b2 p+ b3 p2 + + bm+1 pm1 + p T + q2 p2 T 2 + + qn pn Tn (10)

Kw sowie die Parameter q2 . . . qn und T des Nennerpolynoms (und damit die Poledes Fhrungs-FG) sind ber K sowie C1 bis Cn bzw K1 bis Kn theoretisch beliebigeinstellbar (Beweis siehe 4.1 und 4.2)

Zhlerpolynom (b1 . . . bm+1) durch S gegeben, kann ber die Parameter des RRGnicht beeinusst werden

Die Stabilitt des Regelsystems ist nur durch die Pole des Fhrungs-FG (also durchdessen Nennerpolynom) bestimmt; diese sind ebenso frei einstellbar wie bei den S

mit Zhlerpolynom 1


23

5 Lage der Pole und Zeitverhalten eines

Regelsystems

5.1 Bestimmung der Sprungantwort im Zeit- und

Frequenzbereich

Beispiel: Regelsystem nach dem Prinzip der Rckfhrung eines vollstndigen, zeitlich

konstant gewichteten Satz von Zustandsvariablen fr die Drehzahl einer Gleichstromstel-

ler gespeisten, fremderregten Gleichstrommaschine.

(Beispiel 1 aus 4.2.2)

Gegeben: Sprung in der Fhrungsgre w von w = 0 auf w = 1 zum Zeitpunkt t = 0(bei mW = 0)

Gesucht: Sprungantwort xu im Zeit- und Frequenzbereichfr alle Zeitfunktionen gilt: f(t)|t

6 Mglichkeiten zur Ausbildung eines

echten Integralverhaltens


Echtes Integralverhalten ist auf 2 verschiedenen Wegen erreichbar:

berlagerte I-Regelschleife 6.1

Bypass-I-Regler 6.2

Um ws xs = 0 generell sicherzustellen, ist w x zu bilden, auf einen Integrierer zugeben und mit dessen Ausgang das System geeignet zu beinussen

6.1 berlagerte I-Regelschleife

Vorgehen in Teilschritten a) und b)

a) Inneres Regelsystem mit zeitlich konstant gewichteter Rckfhrung der Ausgangs-

gren der Bausteine mit Zeitverhalten des physikalischen Modells aufzubauen, Eingang

w, Ausgang x

25

xw

= Kw1

1 + p T + q2 p2 T 2 + + qn pn T nwobei die Eigenschaftsparameter Kw, T , q2, . . . , qn des inneren Regelsystems ber dieEinstellparameter K,K1, . . . ,Kn frei einstellbar sind

b) Inneres Regelsystem nach a) mit Eingang w und Ausgang x in herkmmlicher Weisemit einem I-Regler versehen.

x

w=

11 + p TIKw + p

2 TIKw

T + q2 p3TIKw

T 2 + + qn pn+1 TIKwT n

TI und Kw hier direkt gegeneinander austauschbar z.B. Kw = 1 (keine Einschrn-kung!)

xw

=1

1 + p TI + p2 TI T + q2 p3 TI T 2 + + qn pn+1 TI T n lsst sich schreiben in der bekannten form

xw

=1

1 + p T + q2 p2 T 2 + + qn+1 pn+1 Tn+1

mit T = TI ; q2 = TT , q3 = q

2

(T T

)2, . . . , qn+1 = qn

(T T

)n

26

Wurzeln der bertragungsfunktion (n+1)-ter Ordnung wieder theoretisch frei whlbar

und

xsws

= 1, da berlagerter I-Regler

Parameter-Bilanz

Einstellparameter Parameter Parameterzahl

Gewichtung der Signale in den n Rckfhrungs-

schleifen des inneren Regelsystems

K1,K2, . . . ,Kn n

Verstrkung des R-Gliedes nach dem Summati-

onspunkt des inneren Regelsystems

K 1

berlagerter I-Regler TI 1

Gesamtzahl, Haben n+2

Eigenschaftsparameter Parameter Parameterzahl

bertragungsbeiwert der Fhrung im Behar-

rungspunkt des inneren Regelsystems (=1)

Kw = 1 1

Relationen der Koezienten des Nennerpoly-

noms des Gesamtsystems

q2, q3, . . . , qn+1 n

Zeitmastab T 1

Gesamtzahl, Soll n+2

Anmerkung: Erhhung der Ordnungszahl um 1, Strecke n-ter Ordnung fhrt auf Fh-

rungsbertragungsfunktion (n+1)-ter Ordnung

6.2 Bypass-I-Regler


6.3 Vergleich zwischen berlagerter I-Regelschleife und

Bypass-I-Regler


27

7 Der quivalente Regler

7.1 Denition des quivalenten Reglers

Dem quivalenten Regler werden nur Informationen ber den Soll- und Istwert derRegelgre zugefhrt

Er soll dasselbe leisten (bezglich Fhrungsverhalten) wie die beschriebenen Re-gelsysteme mit Rckfhrung eines vollstndigen Satzes von Zustandsvariablen

7.2 quivalenter Regler zum Regelsystem mit Rckfhrung

der Ausgangsgrsse und ihrer n-1 Ableitungen nach der

Zeit

Anordnung:

x

w= Kw

11 + p T + q2 p2 T 2 + + qn pn Tn ((11) aus 4.1)

28

EigenschaftsparameterKw, T, q2, q3, . . . , qn ber die EinstellparameterK,C1, . . . Cn theo-retisch beliebig whlbar

Schritt 1: Anordnung umgezeichnet gem Forderung aus 7.1

Strverhalten: PDn1-Regler wirksam

Schritt 2: Anordnung umgezeichnet

Merkmale:

Bestimmung von K,C1, . . . Cn wie frher beschrieben

Gesamtverhalten wie System mit PDn1-Regler und vorgeschaltetem Fhrungsl-ter (n-1)-ter Ordnung

Fr Regelstrecken hherer Ordnung geringe praktische Bedeutung, da mehrfacheDierentiation wegen Strgren in der Ausgangsgre technisch nicht sinnvol rea-

lisierbar. Die quivalenz ist fr Regelstrecken bis 2. Ordnung (PD-Regler) inter-

essant.

Dynamsich wirksamer Teil des Fhrungslters kann hug entfallen, abhngig vonCharakter des zeitlichen Verlaufs der Fhrungsgre und abhngig von den Stell-

grenzen innerhalb der Regelstrecke

29

7.3 quivalenter Regler zum Regelsystem mit Rckfhrung

der n Ausgangsgrssen der Bausteine des physikalischen

Modells


K1 x+ K2 x2+ K2 x2.

.

.

+ Kn xn

= xR =

x[G1

+ p G2+ p2 G3.

.

.

+ pn1 Gn]mit G abhngig von den Parametern der Regelstrecke und von den Einstellparameterndes RRG

und G zeitlich konstant

Merkmale:

Bestimmung von K,K1, . . . ,Kn wie frher beschrieben

wie 7.2

7.4 quivalenter Regler zum Regelsystem mit berlagerter

Regelschleife


Merkmale:

Bestimmung von TI ,K,K1, . . . ,Kn wie frher beschrieben

Gesamtverhalten wie System mit PIDn1-Regler und vorgeschaltetem Fhrungs-lter n-ter Ordnung

wie bei 7.2

30

7.5 quivalenter Regler zum Regelsystem mit

Bypass-I-Regler


Merkmale:

Bestimmung von TI ,K,K1, . . . ,Kn wie frher beschrieben

Gesamtverhalten wie System mit PIDn1-Regler und vorgeschaltetem Fhrungs-lter n-ter Ordnung. Ordnung des Fhrungslters kann durch geeignete Festlegung

von TI auf (n-1) reduziert werden.

wie bei 7.2

31

8 Methode zur Dimensionierung

herkmmlicher Regler


32

9 Das Beobachterprinzip (auch

Luenberger-Beobachter genannt)

9.1 Aufgabenstellung


9.2 Der vollstndige Streckenbeobachter

9.2.1 Grundlagen


Denition: Gi(p) ist die bertragungsfunktion der Streckennachbildung vom Eingang Eizum Ausgang xBOriginalstrecke fr = 0 bzw. = 0:

x = F (p) y (1)

Streckennachbildung (unter Anwendung berlagerungssatz)

xB = F (p) y +[g1 G1(p) + g2 G2(p) + + gn Gn(p)

](x xB

)(2)

(1) in (2):

xB[1 +

n=1

g G(p)]

= F (p) y[1 +

n=1

g G(p)]

xB = F (p) y (3)

Dies gilt fr alle Werte von g1, , gn (inklusive 0)!

Wahl der reellen Faktoren g1, , gn

Dazu Strung annehmen

33

modizierte Strgre am Ausgang der Original-S soll diesselbe Wirkung her-vorrufen wie

Reaktion des Systems auf Strgre (dafr kann y = 0 angenommen werden)

xB = ( xB)n=1

g G(p)

xB

= 1 11 +

n=1

g G(p)(4)

Erwnscht: Auch bei Strung soll Beobachter mglichst diesselbe Ausgangsgre liefern

wie die Strecke selbst

xR

mglichst

rasch 1 R(p) = 11 +

n=1

g G(p)

mglichst

rasch 0

Wahl von g1 . . . gna) Betrge mglichst gro

b) Relationen so, dass mglichst schnell der eingeschwungene Zustand erreicht wird

Feststellung: Gi(p) sind jeweils Quotienten zweier Polynome in p von jeweils max. n-terOrdnung


9.2.2 Ein Beispiel


9.2.3 Beobachter ohne bleibende Abweichung (bei Strung mit

bleibendem Anteil)

9.2.3.1 Problemstellung und grundstzliche Lsung


34

9.2.3.2 Dimsensionierung


9.2.3.3 Ein Beispiel


9.3 Teilstreckenbeobachter

9.3.1 Grundlagen



9.3.2 Beispiel fr einen Teilstreckenbeobachter 1. Ordnung


9.3.3 Beispiel fr einen Teilstreckenbeobachter 2. Ordnung


9.4 Festlegung der Gewichtsfaktoren g in Beobachtern

Zunchst annehmen, dass die zu beobachtenden Gren doch direkt erfassbar sind und

gesamtes Regelsystem dimensionieren Zeitverhalten des Regelsystems festgelegt

Beobachter diesem Zeitverhalten zuordnen (vgl. 9.2)

35

10 Systemfhrung nach dem Prinzip

unterlagerter Schleifen


36

11 System mit einem Wechsel der

Regelgre

11.1 Problemstellung


11.2 Lsung bei Regelsystemen mit unterlagerten Schleifen

(Kaskadenregelung)

Schritt 1: Ankerstromregelung

Aufbau gem 10.3; dabei nung der Kreisschaltung ber das Glied 1pTaNgem 4.4 C2 = 1C Ankerstrombegrenzer vorschalten


Schritt 2: Regelung der Maschinendrehzahl bzw. der Kabinengeschwindigkeit

Aufbau gem 10.2

Begrenzereinheit vorschalten, Anschlge sind ber ein Steuersignal von auen sym-metrisch verstellbar


37

Schritt 3: Wegregelung

Aufbau gem 10.2, dabei E, E1, E2, E3 z.B. als Tiefpass mit kritischer Dmpfungauslegen (4.3.3e), da kein berschwingen erlaubt

Bei Bedarf echtes Integralverhalten z.B. mit Bypass-I-Regler (6.2) keine blei-bende Regelabweichung im Weg

Begrenzereinheit vorschalten (Anschlge bei 0 und L)


Schritt4: Funktionsgeber fr Geschwindigkeits-Weg-Prol

Bei Bedarf unterschiedliche Prole fr Berg- und Talfahrt


Funktionsbeschreibung:


11.3 Ablseregelung


Schritt 1: Drehzahlregelung

1.1: Beobachter fr den ungegltteten Motorstrom ( iB)

Grund: i enthlt hohe Wechselanteile Glttung (z.B. Tiefpass 1. Ordnung mitder Messzeitkonstanten Tm) erforderlich ( ig) ig ist keine dynamisch hochwertige Information

Aufbau gem 9.3 (Teilstreckenbeobachter)


38

1.2: Drehzahlregelung mit Bypass-I-Regler

Aufbau gem 6.2


Schritt 2: Dynamisch mglichst hochwertige Stromregelung

iB (aus Schritt 1.1) ist als Istwert hierfr allein nicht ausreichend (statisch zuungenau)

Verwendung von ig als Regelgre (Metiefpass aus Schritt 1.1)

Ankerstromregelung mit Bypass-I-Regler nach 6.2

Aufbau gem. 10.3; dabei nung der Kreisschaltung ber das Glied 1pTaN gem 4.4 C3 = 1C


Schritt 3: Kombination beider Regelsysteme

Sollwertvorgabe fr die Drehzahl: w

Sollwertvorgabe fr den Ankerstrom: v = imax,zul.


39

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