18
Rüdiger Scholz Fourier-Analyse zeitabhängiger Signale Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Rüdiger Scholz Fourier-Analyse zeitabhängiger Signale · Fourier-Analyse zeitabhängiger Signale 1 Periodische Funktionen: Fourier-Reihen Periodische Funktionen lassen sich in ihre

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Rüdiger Scholz

Fourier-Analyse zeitabhängiger Signale

Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

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Fourier-Analyse zeitabhängiger Signale

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis........................................................................................................ 2

Literatur ........................................................................................................................... 2

1 Periodische Funktionen: Fourier-Reihen .......................................................... 3

1.1 Mathematisierung des Problems ......................................................................... 3 1.2 Darstellungen ...................................................................................................... 5

2 Nichtperiodische Funktionen: Fourier-Integral ................................................ 6

3 Zusammenfassung ............................................................................................. 7

Fourier-Reihen, reel ... ..................................................................................................... 7 ... und komplex ................................................................................................................ 7 Fourier-Integral ............................................................................................................... 7 Weitere Beispiele ............................................................................................................. 7

4 Einige physikalische Anwendungen .................................................................. 9

Energiespektren .............................................................................................................. 9 Gedämpfter harmonischer Oszillator .............................................................................. 9 Dämpfungsfunktion ........................................................................................................ 9 Strahlungsemission ........................................................................................................ 10

5 Messwert-Analyse .............................................................................................. 11

5.1 Diskrete Fourier-Transformation (= DFT) ........................................................ 11 5.2 Abtasttheorem, Nyquist-Frequenz ..................................................................... 13 5.3 Datenfenster ....................................................................................................... 14

6 Anhang .............................................................................................................. 15

5.1 Weitere wichtige Themen der Fourier-Analysis ................................................. 15 5.2 Hinweise zu Funktionen .................................................................................... 15 5.3 Ein heuristischer Weg zur Deltafunktion ........................................................... 16 5.4 Parsevals Gleichung für nichtperiodische Funktionen ....................................... 17

Impressum .................................................................................................................. 18

Bildverzeichnis ............................................................................................................... 18 Literatur 1. Lehrbücher zur reellen Analysis; Vor allem Murray R. Spiegel: Fourier-Analysis; McGraw Hill 2. M. Schulz: „Physik mit dem Bleistift“, Verlag Harri Deutsch 3. T. Butz; „Fourier-Transformation für Fußgänger“; Vieweg-Teubner, Wiesbaden, 7. Auflage 2011

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Fourier-Analyse zeitabhängiger Signale

1 Periodische Funktionen: Fourier-Reihen

Periodische Funktionen lassen sich in ihre Frequenzanteile zerlegen. Abb. 1 zeigt was gemeint ist. Dort ist die zunehmend „besser“ werdende Approximation eines Sägezahnsignals durch harmonische Teilschwingungen gezeigt. Stören beispielsweise die Verformungen an den Signalrändern und die Restwelligkeit nicht, käme bereits die in Abb. 1 gezeigte Näherung mit den ersten 5 Teilschwingungen in Betracht. Abb. 2 zeigt, in umgekehrter Perspektive, die Zerlegung des Sägezahnsignals in sein Schwingungsspekt-rum (seine Frequenzanteile). 1.1 Mathematisierung des Problems Eine Funktion h(t) sei im Intervall [-T/2, T/2] definiert und mit T periodisch (h(t+T) = h(t). Die Reihe

0

1

2 2cos sin

2 n nn

a n na t b tT T

π π∞

=

+ +

definiert die Fourier-Reihe von h(t) (hier wird die Zeitkoordinate t verwendet, die Überlegungen lassen sich leicht auf x als Ortskoordinate übertragen). Unter bestimmten Bedingungen konvergiert die Reihe gegen h(t): Die Dirichlet-Bedingungen legen die Konvergenzbe-dingungen fest. Danach reicht es aus, wenn h(t) im Intervall [-T/2, T/2] bis auf endlich viele Stellen eindeutig definiert und stückweise stetig ist. Unter diesen Voraussetzungen gilt also:

( ) ( )0

1

cos sin2 n n

n

ah t a n t b n tω ω

=

= + +∑ mit ω = 2π/T (1)

Wie berechnet man die Koeffizienten an und bn damit die Reihe gegen f(t) konvergiert? Dazu müssen Sie folgende Integrale ausrechnen

( ) ( )/2 /2

0/2 /2

2 2d ; d cos

T T

nT T

a t h t a t h t n tT T

ω− −

= =∫ ∫ und ( )/2

/2

2d sin ; 1, 2,3,...

T

nT

b t f t n t nT

ω−

= =∫ (2)

Gl. 2 können aus einem typisch physikalischen Annäherungsargument herleiten (vgl. Anhang für die Details der Rechnung). Dazu untersucht man, ob die Funktionenfolge hn(t):

( ) ( )0

1

cos sin2

n

n k kk

ah t a k t b k tω ω

=

= + +∑ (3)

2 Zerlegung das Signals oben links in seine Frequenzkomponen-

ten; unschwer sind die Frequenzkomponenten 0 HZ, 1 Hz, 2 Hz, ... zu erkennen. Der 0-Hz-Anteil ist in Abb. 1 als Gleichspannung -„Offset“ bei konstant 5 V zu erkennen.

Am

plit

ude

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Frequenz (Hz)

0 2 4 6 8 10

1 Zerlegung eines Sägezahnsignals (f(t) = 10 V - 10 V/s⋅t) in

Partialschwingungen, für das rot dargestellte Summensignal wurden die ersten 5 Partialschwingungen mit den Frequenzen fn = n⋅1 Hz und den Amplituden a0 = 10 V und bn = 10 V/(πn) addiert. Die Partialschwingungen bis n = 5 sind dargestellt.

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Sign

alsp

annu

ng (

V)

Zeit (s)

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mit zunehmendem n die Funktion h(t) approximiert, ob also der quadratische Fehler

( ) ( )( )/2

22

/2

1d

T

n nT

t h t h tT

δ−

−∫

durch entsprechende Wahl der Koeffizienten ak und bk minimal wird. Setzen Sie Gl. 3 ein:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

/2 /21 12 2 22 d d 2 .../2 /2

2 22/2 /2 /2 /21 2 22 0 0d d dt cos dt sin .1/2 /2 /2 /24 2 2

T Tt h t h t t h t h t f t h tn n n nT TT T

T T T Tn a ba a k kt h t t h t a h t k t b h t k tk kkT T T TT T T T

δ

ω ω

= − = − + =∫ ∫−

∑= + − + − + −∫ ∫ ∫ ∫=− − − −

Jeder einzelne Klammerausdruck für sich muss minimal werden. Die Nullstellen der ersten Ableitung der Klammern nach den a0, ak bzw. bk ergeben:

( )/2

0/2

2d

T

T

a t h tT −

= ∫ ; ( )/2

/2

2d cos

T

kT

a t h t k tT

ω−

= ∫ und ( )2

2

2d sin ; 1, 2,...

T

kT

b t h t k t kT

ω−

= =∫

Das sind aber gerade die Formeln aus Gl. 2. Einsetzen in δn2 liefert den Minimalfehler:

( ) ( )/2 2

22 2 20,min

1/2

2 1d

2 2

T n

n k kkT

at h t a b

=−

= − + +

∑∫ .

Daraus folgen zwei wichtige Beziehungen:

1. Die Besselsche Ungleichung:

( ) ( )/22

22 20

1 /2

2d

2

Tn

k kk T

aa b x h x

T= −

+ + ≤∑ ∫ .

2. Die Parsevalsche Gleichung gilt, wenn die Folge der Fourier-Polynome im Mittel gegen h(t) konvergiert:

( ) ( )/22

22 20

1 /2

2d

2

Tn

k kk T

aa b t h t

T= −

+ + =∑ ∫ . (4)

Ein kurzer Beweis von Gl. 2 nutzt man die Orthogonalität1 der trigonometrischen Funktionen:

( ) ( )/2 2

. ., . .,/2 /2

/2

/2

d cos cos ; d sin sin ;2 2

d sin cos 0.

T T

m n m m m n m mT T

T

T

T Tt n t m t t n t m t

t n t m t

ω ω δ δ ω ω δ δ

ω ω

− −− −

⋅ = + ⋅ = −

⋅ =

∫ ∫

Man multipliziere also Gl. 1 mit cos mωt bzw. sin mωt und integriere von -T/2 bis T/2. und erhält Gl. 2. Diese Herleitung setzt voraus, dass die Reihenfolge von Summation und Integration getauscht werden darf. Wenn h(t) sich in oben beschriebener Weise „einigermaßen zahm“ verhält, vor allem, wenn ihre Schwankung beschränkt ist2, dürfen Sie vertauschen.

1 Zur Orthogonalität von Funktionen: s. Anhang 2 f(x) ist im Intervall [a, b] von beschränkter Schwankung, wenn f(x) dort stückweise stetig ist und nur endlich viele Maxima und Minima besitzt; vgl. /1/)

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1.2 Darstellungen Transformation der Variablen Für explizit zeitabhängige Funktionen h(t), die auf [c, c + T] periodisch sind schreibt man (t‘ = c+t+T/2):

( )2 2d cos

c T

nc

a t h t n tT T

π+

= ∫ und ( )2 2d sin

c T

nc

b t h t n tT T

π+

= ∫

Symmetrieargumente • Ist die Funktion h gerade, gilt also h(t) = h(-t) müssen alle ungeraden Anteile der Reihe

verschwinden. Es gilt also bn = 0 für alle n. und ( )/2

/2

2d cos

T

nT

a t h t n tT

ω−

= ∫

• Ist die Funktion ungerade, müssen die an sämtlich verschwinden: an = 0 und

( )/2

/2

2d sin

T

nT

b t h t n tT

ω−

= ∫ .

Komplexe Darstellung In der Quantenphysik sind Wellenfunktionen und Variablen prinzipiell komplexwertig. Die komplexe Exponentialfunktion (Eulergleichung) exp(iωt) = cosωt + i sinωt liefert die Lösung:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

!

1

01

01

exp i cos i sin

cos i sin cos i sin

cos sin

n nn n

n nn n

n n n nn

h t c n t c n t n t

c c n t n t c n t n t

c c c n t i c c n t

ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω

∞ ∞

=−∞ =−∞

= =−∞

− −=

= = + =

= + + + +

= + + + −

∑ ∑

∑ ∑

Der Koeffizientenvergleich mit ( ) ( )0

1

cos sin2 n n

n

ah t a n t b n tω ω

=

= + +∑ liefert die Beziehung zwischen an,

bn und cn:

( ) ( )exp inn

h t c n tω∞

=−∞

= ∑ mit ( )

( )

01

021

i 021

i 02

n n n

n n

a n

c a b n

a b n

== − > + <

, umgekehrt

( )−

=

= +

= −

0 02

i

n n n

n n n

a ca c c

b c c

mit n = 0, 1, 2, ... also:

( ) ( )( ) ( ) ( )/2 /2

/2 /2

1 1 1i d cos sin d exp i

2

T T

n n nT T

c a b t h t n t i n t t h t n tT T

ω ω ω− −

= − = − = −∫ ∫ (5)

Die Parsevalsche Gleichung Gl. 4 für reelle Funktion h(t) vereinfacht sich zu

( ) ( )2/2 2

2 2 20

1/2

1d 2

2

T n

k k nk kT

at h t a b c

T

= =−∞−

= + + =∑ ∑∫ . (6)

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2 Nichtperiodische Funktionen: Fourier-Integral

• Mit zunehmender Breite des Periodizitätsintervalls [-T/2, T/2], also wachsendem T, liegen die diskreten Fourier-Frequenzen ωn = n2π/T zunehmend enger beieinander.

• Der Frequenzschritt von ωn zu ωn+1 wird immer kleiner, ωn+1 - ωn = 2π/T → 0 . • ωn wird zur kontinuierlichen Variablen n2π/T → ω. • Das diskrete Spektrum wandelt sich in ein kontinuierliches. Dieser Prozess wird mathematisch durch den Übergang von der Fourier-Reihe zur Fourier-Integral beschrieben.

In ( ) ( )exp in nn

h t c tω∞

=−∞

= ∑ werden die diskreten Fourierkoeffizienten cn durch eine kontinuierliche sog.

Fouriertransformierte F(ω) ersetzt:3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )/2

/2

: lim lim d exp i d exp i .T

n nT TT

H Tc t h t t t h t tω ω ω∞

→∞ →∞− −∞

= = − = −∫ ∫

Die Rücktransformation H(ω) → ht) erhält man aus der Periodizität bzw. Orthogonalität der trigonomet-rischen Funktionen. Mithilfe der Deltafunktion rechnen Sie aus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

2 '

1 1d exp i d exp i d ' ' exp i '

2 2

1d ' ' d exp i '

2t t

H t t t h t t

t h t t t f t

πδ

ω ω ω ω ω ωπ π

ω ωπ

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

∞ ∞

−∞ −∞

= −

= − =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Allgemein gilt der Fourier-Integral-Satz: h(t) und dh(t)/dt seien auf jedem endlichen Intervall wenigstens stückweise stetig und das Integral

( )dt h t∞

−∞∫ existiere, dann existiert die Fourier-Transformierte von h(t) (vgl. /1/):

( ) ( ) ( )1d exp i

2h t H tω ω ω

π

−∞

= ∫ wobei ( ) ( ) ( )d exp iH t h t tω ω∞

−∞

= −∫ ist.

Ergänzungen: (1) Die δ-Funktion ist die F-Transformierte der 1:

( ) ( ) ( )FT 1 d 1 exp i 2t tω πδ ω∞

−∞

= ⋅ − =∫ und ( )( ) ( ) ( )FT d exp i 1t t t tδ δ ω∞

−∞

= ⋅ =∫

(2) Die Parsevalsche Beziehung lässt sich auf den kontinuierlichen Fall ausweiten (s. Anhang)

( ) ( )2 21d d

2t h t Hω ω

π

∞ ∞

−∞ −∞

=∫ ∫ .

(3) Für reelle Funktionen h(t) ist

3 Hier wird auf einen Faktor 1 / 2π verzichtet, damit F(0) den Mittelwert der Funktion ergibt.

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Fourier-Analyse zeitabhängiger Signale

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1d exp i d exp i *

2 2H t h t t t h t t Hω ω ω ω

π π

∞ ∞

−∞ −∞

− = − − = =∫ ∫ .

(4) Unter der Faltung zweier reeller Funktionen f und g versteht man die folgende Integraloperation:

( ) ( ) ( ) ( ): df g x y f y g x y g f x∞

−∞

= − =∫

Der wichtige Faltungssatz sagt nun (Beweis s. z. B. /1/), dass die Fourier-Transformierte der Faltungsfunktion gleich dem Produkt der Fourier-Transformierten der Einzelfunktionen ist:

( ) ( ) ( )d exp i : d exp i d exp i .x f g x kx x f x kx x g x kx∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

= ⋅∫ ∫ ∫

3 Zusammenfassung

Fourier-Reihen, reel ... h(t) sei eine T-periodische Funktion, h(t) = h(t + T) und erfülle die Dirichlet-Bedingungen.

( ) ( ) ( )/2 /2

0

1 /2 /2

2 2 2 2 2 2cos sin ; d cos ; d sin

2

T T

n n n nn T T

a n nh t a t b t a t h t n t b t h t n tT T T T T Tπ π π π∞

= − −

= + + = =

∑ ∫ ∫ (7A)

... und komplex

( ) ( )/2

/2

2 1 2exp i ; dt exp i

T

n nn T

n nh t c t c h t tT T Tπ π∞

=−∞ −

= = −

∑ ∫ . (7B)

Fourier-Integral Hier gilt der Fourier-Integral-Satz. h(t) und dh(t)/dt seien auf jedem endlichen Intervall wenigstens

stückweise stetig und das Integral ( )dt h t∞

−∞∫ existiere, dann kann h(t) als Integral dargestellt werden:

( ) ( ) ( ) ( )1d exp i ; d exp i .

2h t t H t FH h t tω ω ω ω ω

π

∞ ∞

−∞ −∞

= = −∫ ∫ (7C)

Weitere Beispiele (1) F-Transformierte der cos-Funktion h(t) = cos(Ωt)

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

1d cos exp i d exp i exp i exp i

2

1d exp i exp i

2

H t t t t t t t

t t t

ω ω ω

ω ω

π δ ω δ ω

∞ ∞

−∞ −∞

−∞

= Ω − = Ω + − Ω −

= Ω − + − Ω +

= Ω − + Ω +

∫ ∫

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Fourier-Analyse zeitabhängiger Signale

Sie finden zwei „δ-Spitzen“, eine bei der Kreisfrequenz Ω und eine bei - Ω.. Diese negative Kreisfrequenz hat ihre Ursache in der komplexen Darstellung. Die Form cos Ωt = (exp iΩt + exp -iΩt)/2 weist anschaulich zwei rotierende Zeige in der komplexen Ebene aus; der erste dreht gegen den Uhrzeigersinn (positive Kreisfrequenz) der zweite im Uhrzeigersinn (negative Kreisfrequenz).

(2) F-Transformierte einer T-periodischen Funktion

Als periodische Funktion ist f(t) durch eine F-Reihe darstellbar

( ) 2exp i .n

n

nf t c tTπ∞

=−∞

= ∑

Daraus berechnen Sie die F-Transformierte

( ) ( ) 2d exp i d exp i exp i

2 2d exp i 2

nn

n nn n

nF t f t t t c t tT

n nc t t cT T

πω ω ω

π πω π δ ω

∞ ∞ ∞

=−∞−∞ −∞

∞∞ ∞

=−∞ =−∞−∞

= − = −

= − = −

∑∫ ∫

∑ ∑∫

Anschaulich gesprochen, erhalten Sie eine Folge von δ-Zinken der Länge cn an den Stellen ω = n⋅2π/T. Dieses Bild führt auf die Bezeichnung δ-Kamm. (3) F-Transformierte der Ableitung

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

parielle Integrationd d

FT d exp i exp i i d exp id d

i .

h ht t h t t t h t tt t

H

ω ω ω ω

ω ω

∞ ∞∞

−∞−∞ −∞

= − = − − − −

=

∫ ∫

Der erste Term verschwindet, weil Funktion h(t) integrabel sein sollte ist h(|t|→∞) = 0. Ableitungen in der t-Welt verwandeln sich in einfache Produkte in der ω-Welt.

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Fourier-Analyse zeitabhängiger Signale

4 Einige physikalische Anwendungen

Energiespektren Physikalisch oft von besonderem Interesse ist das Energiespektrum einer zeitabhängigen Funktion f(t). f(t) stelle z. B. die Amplitude einer Zeitreihe dar, mit 0≤ t ≤ T. Die Fourier-Entwicklung ist dann:

( ) ( )ω ω∞

=

= + +∑0

1

cos sin2 n n

n

af t a n t b n t mit ω = 2π/T.

Der zeitliche Mittelwert der Energie berechnet sich aus dem Quadrieren der Amplitude.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

ω ω

ω ω

=

=

=

= ⋅ + + =

= + ⋅ + ⋅

= + +

∑∫ ∫

∑∫ ∫ ∫

2 0

10 0

0

10 0 0

22 20

1

1 1d d cos sin

2

2 1 2 2d d cos d sin

4 2

1.

4 2

T T

n nn

T T T

n nn

n nn

at f t t f t a n t b n t

T T

at f t a t f t n t b t f t n t

T T T

aa b

(Die Betragsstriche entfallen bei reellen Koeffizienten.) Man sieht hier sehr schön, dass jede Fourier-Komponente für sich zur mittleren Energie beiträgt, ohne Interferenzterme. Gedämpfter harmonischer Oszillator Die Newtonsche Bewegungsgleichung für den gedämpften harmonischen Oszillator ist

( ) ( ) ( ) ( )γ ω+ + =

202x t x t x t f t mit der äußeren Kraft m⋅f(t), der Dämpfungskonstanten γ und der

Eigenfrequenz des Oszillators 0km

ω = . Fourier-Transformation der Bewegungsgleichung ergibt (X bzw

F sind die Fourier-Transformierten von x bzw f):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 20 2 2

0

2 i2 i

ωω ω γ ω ω ω ω ω ω

ω ω γ ω− + + = ⇒ =

− +F

X X X F X .

Dämpfungsfunktion Die Funktion [h(t) = h0⋅exp(-γt) für t > 0 und h(t) = sonst] ist nicht periodisch. Die Analyse mittels Fourier-Integral ergibt (Abb. 3):

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 0 2 20

1 id exp i d exp +i

+iH t h t t h t t h h γ ωω ω γ ω

γ ω ω γ

∞ ∞

−∞

−= − = − = =

+∫ ∫

3 Die Funktion h(t) = h0⋅exp(-γt) (links) und ihre Fourier-Transformierte H(ω) (rechts) für γ = 1⋅10-3 s-1

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

t (s)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

-0,006 -0,004 -0,002 0 0,002 0,004 0,006

ω (1/s)

ImaginärteilRealteil

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Fourier-Analyse zeitabhängiger Signale

Strahlungsemission Eine Strahlungsquelle sende ein Strahlungsfeld exponentiell abnehmender Intensität aus (Abb. 4). Für die Feldamplitude E(t) gilt damit:

( )Ω

τ

<=

− ⋅ > 0

0 0

exp cos 02

tE t tE t t

;

das liefert die Fourier-Transformierte E(ω):

( )

( ) ( ) ( )

00

00

0

d exp cos exp i2

1 i 1 1d exp i exp i exp i

i i2 2 2i2 2

tE E t t t

EE t t t t

ω Ω ωτ

Ω Ω ωτ ω Ω ω Ωτ τ

= − ⋅ −

= + − − − = + − − + −

Das Intensitätsspektrum I(ω) erhalten Sie daraus nach I(ω) = |E(ω)|2 (Abb. 5). Sie erkennen die erwartete Resonanzstelle bei ω = Ω. Die Fourier-Transformierte E(ω) weist hier wiederum die Resonanz bei ω = -Ω auf, entsprechend der Darstellung einer Schwingung mithilfe der gegenläufig rotierenden Zeiger in der komplexen Ebene (s. o.): Damit das resultierende Feld reell wird, gibt es für jede Fourier-Komponenten E(ω) die „Schwesterkomponente“ mit E(ω) = E*(-ω). In der Atomphysik: unterscheiden sich die Wechselwirkungen von E(ω) und E(-ω) möglicherweise. Hier erlangen negative Frequenzen „echte“ physikalische Bedeutung. Für die Analyse der Linienform betrachtet man eine der Resonanzlinien (Abb. 6):

( ) ( )( )( ) ( )

2

2 2 20 0 2

2

1 111 i2 4

I E E Eω ωΩ ωΩ ωτ τ

= = =+ −− −

Diese Linienform wird als Lorentzprofil bezeichnet. Sie ist die typische Linienform zur Beschreibung des Resonanzverhaltens gedämpfter Oszillatoren. Die Linie ist um ω = Ω symmetrisch, die Linienbreite ist (full width at half maximum = FWHM) ∆ω = 1/τ. Die Analyse von Position und Form von Resonanzlinien gehört zu den Hauptaufgaben der Physik. Sichtbar wird ein typisch duales Argument: Je kürzer die Lebensdauer τ der Schwingung, desto breiter die ist Linie.

6 Intensitätsspektrum I(ω); ω ist ein Einheiten von Ω aufgetragen

Ω − 1/2τ Ω + 1/2τ

∆ω = 1/τ

4 Gedämpftes Strahlungsfeld τ = 2⋅10-15 s; f = 5⋅1014 Hz;

λ = 600 nm

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0,0E+00 5,0E-06 1,0E-05 1,5E-05 2,0E-05

Feld

ampl

itude

(V/m

)

Zeit (ns)

E(t)

5 Intensitätsspektrum I(ω); ω ist ein Einheiten von Ω aufgetragen

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

ω/Ω

Intensitätsspektrum

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5 Messwert-Analyse

In aller Regel liegen die Messergebnisse eines Experimentes nicht als kontinuierlicher Funktionsterm u(t), sondern, wie in Abb. 7, als Liste diskreter Messwerte vor. Abb. 7 zeigt N = 8 Ergebnisse einer Messreihe. Die Messwerte wurden sind in konstanten Zeitschritten ∆t = 2,5 ms, also mit einer Abtastrate (Sampling-Frequenz) von fS = 1/∆t = 400 Hz aufgenommen worden:

un = u(tn) =u(n⋅∆t); n = 0, 1, ... (N - 1).

Messwerte außerhalb des Zeitintervalls [0, T]= [0, N⋅∆t] existieren nicht. 5.1 Diskrete Fourier-Transformation (= DFT) Um eine diskrete Messreihe zu analysieren, verwenden Sie die diskrete Fourier-Transformation, wahrscheinlich mit einem Algorithmus, der als schnelle Fourier-Transformation = fast Fourier-Transformation = FFT bekannt und in zahlreichen Programmen zur Datenverarbeitung verfügbar ist. Aus diesem Grunde sollen hier bereits deren Grundannahmen eingeführt werden: • N ist eine 2er-Potenz, N = 2m, m = 0, ,2, 3, ... • Die Folge der Messwerte unwird außerhalb des Intervalls [0, T = N⋅∆t] automatisch periodisch

fortgesetzt.: uN = u0. Die erste Einschränkung ist praktisch ohne Bedeutung, bei der zweiten müssen Sie ggf. Gegenmaßnah-men ergreifen, weil dies mit den experimentellen Gegebenheiten u. U. nicht zusammenpasst. Statt der kontinuierlichen Zeitvariablen t verwendet die DFT die diskreten Zeitwerte tn = n⋅∆t = n⋅T/N. Statt der kontinuierlichen Kreisfrequenzvariablen ω wird durch die automatische periodische Fortsetzung nach Durchlaufen des Sampling-Intervalls T (Sampling-Frequenz fS = 1/∆t = 1/(T⋅N) die diskrete Kreisfrequenzvariable ωn = n⋅2π/T = n⋅2π⋅1/(N⋅∆t) = n/N⋅2π⋅fS festgelegt. Die Exponentialfunktion in Gl. 7C wird also ersetzt (vgl. dazu /3/):

( ) ( )2 2exp i exp i exp i exp i exp in

n nt n t Tt t

T T Nπ πω ω ω∆ → = = ∆ =

.

Um das Spektrum der Folge un zu bestimmen wird die Fourier-Reihe Gl. 7B angepasst:

( )/2

/2

1 2dt exp i

T

nT

nc u t tT T

π

= − ∫ →

( ) ( )1 1

0 0

1 2 1exp i exp i2

N N

nk k

n n kc t u k t k t u k tN t N t N N

π π− −

= =

⋅ = ∆ ⋅ ⋅ ∆ − ⋅ ∆ = ⋅ ∆ − ∆ ⋅ ∆ ∑ ∑

Man definiert die DFT durch:

1

0

1exp i2

N

nkn

n kU uN N

π−

=

⋅ = −

∑ und zurück 1

0

exp i2N

n kk

n ku UN

π−

=

⋅ =

∑ . (8)

Die beiden Transformationsrichtungen passen zueinander, wie Sie leicht so nachrechnen:

7 8 Messpunkte der Messung einer cos-Schwingung mit f = 50 Hz;

Samplingintervall T = 8⋅2,5 ms = 0,02 s

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,005 0,01 0,015 0,02Zeit (s)

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( )

1 1 1

'0 0 ' 0

1 1

'' 0 0

'

1 'exp i2 exp i2 exp i2

1exp i2 '

N N N

n nkk k n

N N

n nn k

N nn

n k n k n ku U uN N N N

ku n n uN N

δ

π π π

π

− − −

= = =

− −

= =

⋅ ⋅ ⋅ = = −

= − − =

∑ ∑ ∑

∑ ∑

Auch der seltsame Faktor N kürzt sich weg. Die diskreten Fourier-Kreisfrequenzen ωk, die zu den Fourier-Komponenten Uk gehören:

2 2 2 ,k kk k ktN N t T

ω π ω π π∆ = ⇒ = =∆

(9)

hängen vom Sampling-Intervall T ab, nicht jedoch von einer eventuell die ursprüngliche Funktion u(t) kennzeichnenden Periodizität mit einer Kreisfrequenz Ω . Hier müssen Sie Obacht geben. Es ist nicht in jedem Fall sofort klar, welche Auswirkungen es hat, wenn sich Ω und ωk ähneln. Beispiel aus Abb7: Wechselspannung u(t) = cos(Ωt) mit einer Frequenz von Ω = 2π/T0 = 2π⋅(50 Hz). Um N = 8 Samplestellen genau über eine Periode zu legen, wählt man ∆t = T0/N = 20 ms/8 = 2,5 ms. Daraus erhalten Sie die Messwertefolge

0 1 2 3 4 5 6 71 1 1 1

0; ; 0; ; 1; ; 0;2 2 2 2

u u u u u u u u= = = = − = − = − = =

Daraus berechnen Sie eine Folge reeller Fourier-Komponenten Uk:

U0 = 0; U1 = 0,5; U2 = 0 = U3 = U4 = U5 = U6; U7 = 0,5.

Diese gehören zu den Fourier-Kreisfrequenzen ωk = 2πk/(N∆t):

ω0 = 0; ω1 = 2π⋅(50 Hz); ω2 = 2⋅2π⋅(50 Hz); ω3 = 3⋅2π⋅(50 Hz); ω4 = 4⋅2π⋅(50 Hz); ...

Zu der von null verschiedenen Komponente U7 gehört die Kreisfrequenz ω7= 7⋅2π⋅(50 Hz). Welche Bedeutung hat diese Kreisfrequenz? Mit Gl. 8 berechnen Sie

( )1 1

0 0

1

0

1 1exp i2 exp i2

1exp i2

N N

n nN kn n

N

n kn

n N k nkU u u nN N N N

nku UN N

π π

π

− −

−= =

−=

⋅ − − = − = − +

− = − =

∑ ∑

Die Fourier-Kreisfrequenz ω7 gehört danach als Kreisfrequenz ω-1 = -ω1 zu der Fourier-Komponente U-1. Mit Blick auf die kontinuierliche Transformation der Funktion cos(Ωt) war das Erscheinen einer negativen Frequenzkomponente auch zu erwarten. Die Transformation nach Gl. 8 nummeriert die Fourier-Komponenten offenbar um: UN - k = U-k. Anschaulich: Der Teil des Spektrums mit negativen Kreisfrequenzen wird „nach rechts geklappt“ (englisch: wrapping). Bis k = N/2 wird positiv aufwärts gezählt, ab da von der negativen Seite aufwärts bis k = 0. Im Beispiel von Abb. 7: U0 = 0; U1 = 0,5; U2 = 0; U3 = 0; U4 = U-4 =0; U5 = U8-3 = U-3 = 0; U6 = U-2; U7 = U-1 = 0,5. Und bei U8 = U0 beginnt die Zählung wieder neu. Diese Darstellung ist vielleicht etwas gewöhnungsbedürftig. Darum noch einige Bemerkungen dazu.

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Ist der Transformationsinput u(t) reell, so ist UN - k = U-k = Uk*. Ist u(t) eine gerade Funktion, sieht der Spektralbereich rechts von UN/2 genauso aus, wie der Bereich bis UN/2 - nur gespiegelt. Bei ungerader Funktion u(t) steht in der rechten Hälfte das konjugiert Komplexe, also dasselbe wie links, jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen (/3/). Rechnen Sie mit Gl. 8 nach. 5.2 Abtasttheorem, Nyquist-Frequenz Das Wrapping-Verfahren macht klar, dass die maximale Kreisfrequenz bei UN/2, nach Gl. 9 als für auftritt.

Ny/ 2 1

2 2 22 2

sfNN t t t

πΩ π π π = = = = ∆ ∆ ∆ ; mit fs = 1/∆t.

In diesem Fall werden pro Sampling-Intervall gerade einmal zwei Signalwerte aufgenommen. Diese Kreisfrequenz wird als Nyquist-Frequenz bezeichnet. Sie spielt in der Fourier-Analysis eine zentrale Rolle: Die Nyquist-Frequenz ist die größte Kreisfrequenz, die bei gegebener Abtastrate 1/∆t gerade noch vernünftig dargestellt werden kann. Die Bandbreite eines Signals, also die maximale darin enthaltene Frequenz fmax = ΩNy/(2π), müssen zur Festlegung der Abtastrate 1/∆t bekannt sein. Nicht bandbreiten-begrenzte Signale machen deshalb Probleme. Frequenzanteile, die außerhalb des Intervalls [-ΩNy, ΩNy] werden „irgendwie“ in den abbildbaren Bereich hinuntergefaltet und erzeugt u. U. Signalanteile, die ursprünglich nicht vorhanden waren. Dieser Effekt wird als aliasing bezeichnet. Das Abtasttheorem stellt sicher, dass die DFT überhaupt zu verwertbaren Ergebnissen führen kann. Es besagt, dass die echte Funktion u(t) aus den Folgentermen u(k⋅∆t) rekonstruiert werden kann, wenn u(t) bandbreiten-begrenzt ist und man alle Samples u(k⋅∆t) mit der jeweiligen Gewichtung sinωt/ωt aufaddiert (vgl./3/):

( ) ( )( )

Ny

Ny

sin( )

k

t k tu t u k t

t k tΩ

Ω

=−∞

− ∆= ∆

− ∆∑ .

Abb. 8 demonstriert den Alias-Effekt: Die Sampling-Frequenz beträgt fS= 320 Hz. Damit ergibt sich eine Nyquist-Frequenz von fNy = ΩNy/(2π) = 160 Hz. Die Signalfrequenz von f= 300 Hz, ist so nicht abtastbar. Die Fourier-Analyse würde eine sehr niedrige Frequenz vortäuschen. Da der Alias-Effekt nicht reversibel ist, wenn er denn einmal das Spektrum verfälscht hat, sollten Sie lieber „auf Nummer sicher gehen“ und etwas zu feine Samples aufnehmen und ggf. später die Datensätze komprimieren. Einen Alias-Effekt kann man nachträglich nicht entfernen.

8 Alias-Effekt: Die Abtastrate ist etwas größer als die Frequenz

der Wechselspannung: fS = 320 Hz, f = 300 Hz

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,005 0,01 0,015 0,02Zeit (s)

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5.3 Datenfenster Datensätze sind prinzipiell endlich, sie fangen zum Zeitpunkt ta an und enden zum Zeitpunkt te. Ein solcher Datenstrom bildet also stets nur einen zeitlichen Ausschnitt der ganzen Wahrheit. Ein derartiges Ausschneiden entspricht mathematisch der Multiplikation des Signal u(t) mit einem Zeitfenster w(t). Dieses Zeitfenster ist so gebaut, dass w(t) ≈ 0 für t < ta und t > te. Aus dem bisher vorgestellten ist klar, dass ein solches Abschneiden die FT erheblich beeinflusst. Sei also w(t) eine Funktion, die zentriert um t = 0 ist und nur in einem wählbaren Bereich um t = 0 von null verschieden ist. Dann berechnet sich die FT inkl. Fensterfunktion so:

( ) ( ) ( ) ( )0d exp 2 iU w t u t w t t tπ ω∞

−∞

= − − ∫ .

Die Auswirkung einer Fensterfunktion erkennen Sie gut, wenn Sie ausschließlich das Fenster transformieren. Dazu drei typische Beispiele (1) Rechteckfenster: w(t ) = 1 für -T < t < T und w(t ) = 0 sonst (Standardfenster bei qtiPlot)

( ) ( ) ( )( )1 sind exp i d exp i exp i exp i 2

i

T

T

TW t w t t t t T T TTωω ω ω ω ω

ω ω

−∞ −

= − = − = − − − − =−∫ ∫ .

(2) Dreieckfenster (Parzen-Fenster): w(t ) = 1 - sign(t)⋅t/T für -T < t < T und w(t ) = 0 sonst

( ) ( )2

sin 2d exp i .2

T

T

TW t w t t T T

ωω ω

ω−

= − =

(3) Das cos2-Fenster (Hann-Fenster): w(t ) = cos2(πt/2T) für -T < t < T und w(t ) = 0 sonst

( ) ( ) 1 1 2d exp i sin .

2

T

T

TW t w t t TT T T

ω ω ωπ ω π ω ω−

= − = ⋅ − + − + ∫

Abb. 9 zeigt die FT der drei Fenster-Funktionen, W(ω). Um die störende Wirkung zu beurteilen, schaut man sich an, wie schnell W(ω) dauerhaft auf Null absinkt. Schon auf den ersten Blick scheidet das Rechteck-Fenster da eigentlich aus. Die FT weist für höhere ω immer wieder erhebliche Beiträge aus. Um die Fenster quantitativ zu bewerten, bedient an sich der audio-technischen Begriffswelt. Das Auftreten von Nebenmaxima im Spektrum wird als Übersprechen auf Nachbarkanäle (englisch: amplitude leakage) umgedeutet. Man berechnet die Übersprechdämpfung, also das Verhältnis der Höhe des ersten Nebenmaximums zur Höhe des Zentralmaximums in dB (20⋅log(W(ω)/W(0)). Bei normierten Peaks ist das einfach aus dem Diagramm lesen Sie ab (oder ausrechnen): • Rechteck: -13,3 dB; • Parzen:-26,5dB und • Hann: -31,5 dB

9 Normierte FT dreier Fenster-Funktionen: Rechteck-Fenster

(schwarz), Parzen-Fenster (rot) und Hann-Fenster (rot punktierrt)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500ω (1/s)

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6 Anhang

5.1 Weitere wichtige Themen der Fourier-Analysis Die Auswahl der in diesem Skript besprochenen Themen wurde nach besten Wissen vorgenommen um die typische Praktikumsfrage zu beantworten: Was sollten Sie in einem ersten praktischen Zugang ausprobiert haben? Dennoch bleibt die Auswahl eine Auswahl. Um das Skript nicht zu überlasten, sei hier, ohne weitere Erklärungen, eine Liste weiterer wichtiger Themen zusammengestellt: • Das Gibbssche Überschwingerproblem • Diverse Verschiebungssätze • Faltung (Unterschied zwischen Gewichten und Falten), Kreuz- und Autokorrelation • Weitere Fensterfunktionen • Einzelheiten der FFT • Digitale Datenfilter Bitte konsultieren Sie die Lehrbuchliteratur. Vor allem das Buch von Tilman Butz ist für Anfänger gut geeignet. Es finden sich mehrere Exemplare zum Ausleihen im PhysikPraktikum. 5.2 Hinweise zu Funktionen Orthogonalität und Vollständigkeit von Funktionenmengen; das Kronecker Delta Ein System von Funktionen Fk(x) heißt auf dem Intervall [a,b] orthogonal, wenn

( ) ( ) ,d .b

k l k k la

x F x F x c δ= ⋅∫

δk,l ist das Kroneckersymbol, δk,l = 1 für k = l und in allen anderen Fällen null. Das System sin nx, cos nx ist orthogonal über dem Intervall [-π,π]. Das Funktionensystem Fk(x) heißt vollständig über dem Intervall [a,b], wenn die Entwicklung

( )1

n

n i ii

f c F x=

= ∑ in [a,b] im Mittel gegen f(x) konvergiert. Wenn also ( ) ( )( )2lim d 0

b

nna

t f x f x→∞

− =∫ ist.

f kann dann durch die fn vollständig approximiert werden.

Man definiert die mittlere quadratische Abweichung der Näherung durch

( ) ( )( )22 1 d .( )

b

n na

t f x f xb a

δ = −− ∫

Die Vollständigkeitsbedingung kann also auch als lim δn2 = 0 geschrieben werden. Das Kroneckersymbol δk,l spielt auch bei der DFT eine wichtige Rolle; ein Beispiel geht so:

( )1 1

'0 0

''exp i2 exp 2 exp i2

N N

nnk k

n n kn k n k NN N N

π π π δ− −

= =

− ⋅ ⋅ ⋅ − = = ⋅

∑ ∑ .

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Die Schwankung von Funktionen Man wähle m Stellen xl auf dem Intervall [a,b] beliebig aus. Als Schwankung σ versteht man die Abweichungen benachbarter Funktionswerte:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 1... .m mf x f x f x f x f x f x f x f xσ −= − + − + − + + −

Beschränkt heißt diese Schwankung dann, wenn σ < M für eine endliche Konstante M, unabhängig von der Wahl der Stellen xl.. Funktionen mit beschränkter Schwankung haben konvergierende Fourierreihen. 5.3 Ein heuristischer Weg zur Deltafunktion Denkt man sich eine beliebige „Anspitzung“ der Frequenzverteilung gelangt man zum Konzept der Delta-„Funktion“ δ(x - x0) (die Anführungsstriche drücken ein Mahnung aus: δ(x - x0) hat keine Funktionswerte, ist damit keine richtige Funktion). Man legt die Integraleigenschaften fest und definiert so δ(x - x0)

( )

[ ] ( ) ( ) ( )

0 0

0 0 0

1. 0

2. , db

a

x x x x

x a b x x x f x f x

δ

δ

≠ ⇒ − =

∈ ⇒ − ⋅ =∫

Eigenschaft (2) setzt voraus, dass f(x) im Intervall keine Sprünge aufweist. Die genannte „Anspitzung“ der Frequenzverteilung zur „Delta-Zacke“ kann durch eine Grenzprozess von Funktionenfolgen mathematisch korrekt beschrieben werden. Man betrachte die Folge zunehmend schärferer Gaussvertei-lungen

( ) ( )2 2expnnF x n xπ

= − .

Für jede gilt ( )d 1nxF x∞

−∞

=∫ unabhängig von n. Mithilfe des Mittelwertsatz des Integralrechnung wird

Merkmal (2) plausibel. Danach findet man eine Stelle x mit

( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d 0nn nxF x f x f x xF x f

∞ ∞→∞

−∞ −∞

= →∫ ∫ .

Zentriert man mit der Variablentransformation x → x - x0 die Funktionen der Folge um x0 hat man eine Veranschaulichung der „Delta-Zacke“ δ(x - x0). Alle Funktionenfolgen φn mit diesen Eigenschaften heißen Deltafolgen:

( ) ( ) ( )lim d 0nnx x f x fφ

→∞−∞

=∫ und ( )d 1nx xφ∞

−∞

=∫ .

Eine im Zusammenhang mit der FT wichtige Deltafolge liefert die Integraldarstellung der Deltafunktion:

( ) ( )1 1 sin 1d expi d expi2 2

φ δπ π π

− −∞

= = ⇒ =∫ ∫n

nn

nxx k kx x k kxx

.

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Weitere Eigenschaften:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 ; 0

0

; wobei ) 0 ' 0'

d

nn n

n n

x x

ax x aa

x x

x xg x g x und g x

g x

f x x a f a x a

y x y y a x a

δ δ

δ δ

δ

δδ

δ δ

δ δ δ

= −

= ≠

=

−= = ≠

− = −

− − = −

5.4 Parsevals Gleichung für nichtperiodische Funktionen Die Erweiterung der Parsevalsche Beziehung für den kontinuierlichen Fall lautet:

( ) ( )2 2d dt f t Fω ω

∞ ∞

−∞ −∞

=∫ ∫

Mithilfe der Deltafunktion ist die Begründung einfach:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )

2

'

1d * d d d ' * ' exp i exp i '

2

1 1 1d d ' * ' d exp i ' d *

2 2 2

t f t f t t F F t t

F F t t F F

δ ω ω

ω ω ω ω ω ωπ

ω ω ω ω ω ω ω ω ωπ π π

∞ ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞ −∞

∞ ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞ −∞

= −

= − =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

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Fourier-Analyse zeitabhängiger Signale herausgegeben und bearbeitet von Rüdiger Scholz Korrektur und kritische Durchsicht Kim Weber © 2014 Rüdiger Scholz ⋅ Leibniz Universität Hannover www.uni-hannover.de

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