Grundbegriffe Geraden – Kreis Winkel – Kreis

Rund um den Kreis

Dr. Elke Warmuth

Sommersemester 2018

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Grundbegriffe Geraden – Kreis Winkel – Kreis

Grundbegriffe

Geraden – Kreis

Winkel – Kreis

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Grundbegriffe Geraden – Kreis Winkel – Kreis

Kreis – Kreisflache oder Kreislinie

Definition

I Die Kreislinie um M mit dem Radius r ist die Menge allerPunkte der Ebene, die von M den Abstand r haben.

I Die Kreisflache um M mit dem Radius r ist die Menge allerPunkte der Ebene, die von M hochstens den Abstand r haben.

BemerkungenI In der Schule ist mit Kreis in der Regel die Kreislinie gemeint. Aber:

Flacheninhalt eines Kreises! Wir verwenden im Folgenden in derRegel den Begriff Kreis im Sinne von Kreislinie.

I Der doppelte Radius heißt Durchmesser d .

I Jede Strecke, die M mit einem beliebigen Punkt P der Kreislinieverbindet, wird ebenfalls als Radius bezeichnet; ebenso jedeVerbindungsstrecke zweier Punkte der Kreislinie, die durch M geht,als Durchmesser.

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Geraden und Kreis

I p – Passante

I s – Sekante

I AB – Sehne

I PQ – Durchmesser,|PQ| = d

I MC – Radius, |MC | = r

I t – Tangente,MC – Beruhrradius derTangente t

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SatzWenn eine Durchmesser eines Kreises senkrecht auf einer Sehnedieses Kreises steht, dann halbiert der Durchmesser die Sehne.

Beweis.

I 1. Fall: AB ist kein Durchmesser:

1. Geg.: CD ⊥ AB. Z.z. |AE | = |BE |2. Hilfslinien?4MEA ∼= 4MEB

I 2. Fall: AB ist Durchmesser:Jeder Durchmesser halbiert jedenanderen Durchmesser.

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Aufgaben

1. Begrunden Sie: Die Mittelsenkrechte einer Sehne eines Kreisesverlauft durch den Mittelpunkt M.

2. Gegeben sei ein Kreis. Geben Sie eine Konstruktion seinesMittelpunktes an.

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Definition

Eine Gerade t, die sich mit einem Kreis k ingenau einem Punkt P schneidet, heißt Tan-gente an den Kreis im Punkt P.

SatzEine Gerade t durch einen Punkt P des Kreises k ist genau dannTangente an k , wenn der Radius MP senkrecht auf t steht.

Beweis.1. t sei Tangente. Außer P liegen alle Punkte von t außerhalb des

Kreises. P hat den kurzesten Abstand zu M und ist somit Fußpunktdes Lotes von M auf t.

2. t stehe senkrecht auf MP. Angenommen Q ∈ k ∩ t. 4MPQ istgleichschenklig. Folglich |]MQP| = 90◦. Das ist ein Widerspruchzur Winkelsumme im Dreieck.

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Satz des Thales

SatzIm Kreis sind alle Winkel uber einem Durchmesser rechte Winkel.

Beweis.Ubungsaufgabe

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Umkehrung des Satzes des Thales

SatzEs sei AB ein Durchmesser eines Kreises k und P ein Punkt mit|]APB| = 90◦. Dann liegt P auf k.

Die Redeweise”Die Strecke AB erscheint vom Punkt P aus unter

einem Winkel α“ bedeutet: ]APB = α.

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Durch die Umkehrung des Thalessatzes ergibt sich:

Die Ortslinie aller Punkte, von denen aus eine Strecke AB untereinem Winkel von 90◦ erscheint, ist ein Kreis mit AB alsDurchmesser.

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Anwendung des Thalessatzes: Konstruktion der Tangenten aneinen Kreis von einem Punkt P außerhalb des Kreises aus.

Aufgabe

I Geben Sie eine Konstruktionsbeschreibung.

I Begrunden Sie, dass |PQ| = |PR| ist.

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Zwei Punkte A und B einesKreises zerlegen ihn in denKreisbogen AB und den Kreis-bogen BA. Der Umlaufsinn istentgegen dem Uhrzeigersinn.

DefinitionDie Winkel ]APB, deren Scheitel P auf dem Kreisbogen außerhalbdes Bogens AB liegen, heißen Peripheriewinkel (oder

Umfangswinkel) zum Bogen AB.

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Definition

Der Winkel ]AMB heißt Zen-triewinkel (oder Mittelpunkts-

winkel) uber dem Bogen AB.

Satz

I Alle Peripheriewinkel uber einem Kreisbogen AB sind gleichgroß.

I Der Zentriwinkel uber einem Kreisbogen AB ist doppelt sogroß wie jeder Peripheriewinkel uber diesem Bogen.

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Beweis.Wir betrachten nur den Fall, dass AB kleiner als ein Halbkreis ist.

I 2ε+ µ = 180◦.

I 2ε+ 2δ + 2η = 180◦.

I ⇒ 2(δ + η) = µ, also ist derZentriwinkel doppelt so groß wie derPeripheriewinkel γ = δ + η.

I Wegen µ = 180◦ − 2ε folgtγ = 90◦ − ε.

Fur eine andere Lage von C auf dem Bogen BA verlauft derBeweis analog.

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Aufgabe

Uberlegen Sie sich, dass der Satz des Thales ein Spezialfall desvorigen Satzes ist.

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DefinitionDie Tangente in A an einen Kreis bildet mit der Sehne AB zweiSehnentangentenwinkel in A. Der zum Bogen AB gehorendeSehnentangentenwinkel im Punkt A ist dann derjenige Winkel, derbezuglich gAB in derselben Halbebene wie AB liegt; seinNebenwinkel in der anderen Halbebene bezuglich gAB ist der zumBogen BA gehorende Sehnentangentenwinkel im Punkt A.

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SatzDer zum Kreisbogen AB gehorende Sehnentangentenwinkel istgenauso groß wie jeder Peripheriewinkel uber diesem Bogen.

Beweis.Ubungsaufgabe.

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Definition

Der Fasskreisbogen zur Strecke AB ist dergeometrische Ort aller Punkte in der Ebe-ne, von denen aus man diese Strecke unterdemselben Winkel sieht.

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Konstruktion eines Fasskreisbogens

I Geg.: Strecke AB und Winkelγ, ges.: Mittelpunkt desKreises, fur den diePeripheriewinkel uber derSehne AB die Große γhaben.

I Es gilt ε = 90◦ − γ.

I Trage 90◦ − γ in A und in B ab. Der Schnittpunkt derSchenkel ist M. Spiegelung von M an AB liefert denMittelpunkt des zweiten Kreises.

Aufgabe

Konstruieren Sie die Fasskreisbogen zur Strecke AB mit|AB| = 6cm und γ = 60◦.

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Aufgabe

Losung: 36◦

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