Schrödingersche Katzechaotische Systeme, Dekohärenz

WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 12. Vorlesung

Warum ist unsere Alltagswelt „klassisch“ ?

zu Hause …

… bei den wilden Kerlen

Klassische vs. quantenmechanische WeltGibt es einen „Schnitt“ zwischen der klassischen Welt

und der quantenmechanischen Welt ?

Schrödingersche KatzeSchrödingersche Katze befindet sich in einer abgeschlossenen Schachtel

In der Schachtel befindet sich weiters ein radioaktives Atom.Wenn das Atom zerfällt, wird der Zerfall von einem Geigerzähler detektiert.Im Fall einer Detektion wird ein Behälter mit einer giftigen Substanz (Zyankalie) geöffnetund die Katze stirbt.

Schrödingersche Katze1. Das Atom ist nicht zerfallen

Vor der Detektion:Atom nicht zerfallen + Katze lebt

Nach der Detektion:Atom nicht zerfallen + Katze lebt

2. Das Atom ist zerfallen

Vor der Detektion:Atom zerfallen + Katze lebt

Nach der Detektion:Atom zerfallen + Katze tot

Schrödingersche KatzeWas passiert, wenn sich das Atom in einer quantenmechanischen Superpositionzwischen „zerfallen“ und „nicht zerfallen“ befindet ?

Vor der Detektion:Atom in Superpositionszustand + Katze lebt

Nach der Detektion:(Atom nicht zerfallen ) x ( Katze lebt ) +

(Atom zerfallen ) x ( Katze tot )

Aber : Katzen sind entweder lebendig oder tot !?

Q: Warum gehorcht die Alltagswelt (makroskopische Welt) den Gesetzen der klassischen Physik ?

A1: Makroskopische Objekte gehorchen nicht den Gesetzen der QM !?

Entspricht der ursprünglichen Kopenhagener Deutung. Aber: Wo ist der Schnitt zwischen klassischer Welt und Quantenwelt ?

QuantenmechanikQuantenmechanik ist eine der erfolgreichsten Theorien der Physik

Q: Warum gehorcht die Alltagswelt (makroskopische Welt) den Gesetzen der klassischen Physik ?

A1: Makroskopische Objekte gehorchen nicht den Gesetzen der QM !?

Entspricht der ursprünglichen Kopenhagener Deutung. Aber: Wo ist der Schnitt zwischen klassischer Welt und Quantenwelt ?

QuantenmechanikQuantenmechanik ist eine der erfolgreichsten Theorien der Physik

A2: Quantenmechanisches Verhalten ist für makroskopische Objekte extrem unwahrscheinlich !?

Ort

Impuls

Beispiel … Harmonischer Oszillator

Ort

Impuls

x0

Trajektorie im Phasenraum

t = 0

t > 0

Klassische Systeme : regulär vs. chaotisch

Die Bewegung eines klassischen Objektskann durch eine Bahn (Trajektorie) imPhasenraum (Ort vs. Impuls) dargestelltwerden.

regulär

Ort

Impuls

Beispiel … Harmonischer Oszillator

Ort

Impuls

x0

Trajektorie im Phasenraum

t = 0 Ungenauigkeit im Anfangszustand

Ungenauigkeit im Endzustandwächst linear oder polynomial

Klassische Systeme : regulär vs. chaotisch

Bei einem regulären System nimmt eineUngenauigkeit im Anfangszustandlinear oder polynomial im Lauf der Zeitzu.

regulär

Ort

Impuls

Beispiel … Harmonischer Oszillator

Ort

Impuls

x0

t = 0

Ort

Impuls

t = 0

l … Lyapanov - Exponent

Chaotische Systeme

Bei einem chaotischen System nimmt eineUngenauigkeit im Anfangszustandexponetiell im Lauf der Zeit zu.

regulär chaotisch

Chaotische Systeme : BeispielEin Beispiel für eine klassisches chaotisches System ist der getriebeneanharmonische Oszillator

Je nach Wert von h verhält sich das System regulär oder chaotisch

Ort

Impu

ls

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Ort

Impu

ls

0 50 100 150 200 250 300-5

0

5

Zeit

Ort

Getriebener Oszillator : h = 0.2 … regulär

Zeit

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Ort

Impu

ls

Ort

Impu

ls

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250 300-5

0

5

Zeit

Ort

Getriebener Oszillator : h = 0.1 … chaotisch

Zeit

Ort

Impuls

t = 0

Hyperion

Hyperion (Mond des Saturns) bewegt sich auf einer chaotischen Umlaufbahn.Es würde ~20 Jahre benötigen, bis er vollständig delokalisiert wäre !!!

Makroskopische chaotische Systeme

Q: Warum gehorcht die Alltagswelt (makroskopische Welt) den Gesetzen der klassischen Physik ?

A1: Makroskopische Objekte gehorchen nicht den Gesetzen der QM !?

Entspricht der ursprünglichen Kopenhagener Deutung. Aber: Wo ist der Schnitt zwischen klassischer Welt und Quantenwelt ?

QuantenmechanikQuantenmechanik ist eine der erfolgreichsten Theorien der Physik

A2: Quantenmechanisches Verhalten ist für makroskopische Objekte extrem unwahrscheinlich !?

A3: Quantensysteme wechselwirken mit ihrer Umgebung … Dekohärenz

Intermezzo : BinomialverteilungBetrachten wir die N Kugeln, die sich in einer Schachtel bewegen

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich m Kugeln in der linken und N – m Kugeln in der rechten Hälfte befinden ?

Wahrscheinlichkeit für Konfigurationen

Intermezzo : BinomialverteilungDie Binomialverteilung liefert Wahrscheinlichkeit, dass sich m Kugeln in der linkenund N – m Kugeln in der rechten Hälfte befinden

Je größer die Zahl der Kugeln, desto schärfer ist die Verteilung (desto ganauer die Vorhersage) !!!

Die Vorhersage ist deshalb so genau, weil wir nur eine reduzierte Information über die Verteilung benötigen

Dekohärenz

System

Umgebung = „Environment“

Gegeben sei die Wellenfunktion für ein System S, das mit der Umgebung E wechselwirkt ( S und E sind „verschränkt“ )

i.A. interessieren wir uns nicht für die (unendlich) vielen Freiheitsgrade der Umgebung E

Dekohärenz : Wenn wir nur an den Eigenschaften des Systems S interessiert sind, werden die Vorhersagen umso genauer, je größer die Umgebung ist

… das System S verhält sich „klassisch“

Zweiniveausystem : reiner ZustandEin reiner Quantenzustand besitzt einen wohldefinierten Spin

Spin hat die Länge Eins :

Berechnung der Spinkomponenten

Spin i.A. kleiner als Eins, weil wir seinen Zustand nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit kennen !!!

Ein reiner Quantenzustand besitzt einen wohldefinierten Spin

Spineinstellung nur mit bestimmter Wahrscheinlichkeit bekannt

Zweiniveausystem : „gemischter“ Zustand

Zweiniveausystem : verschränkter ZustandBetrachten wir zwei Zweiniveausysteme S und E, die miteinander verschränkt sind

Wenn wir nur an den Eigenschaften von S interessiert sind, können wir nur sagen,dass es sich mit Wahrscheinlichkeit cos2q im Zustand „oben“ und mit Wahrscheinlichkeit sin2q im Zustand „unten“ befindet

… der Spin von S ist i.A. kleiner als Eins !!!

Durch Verschränkung wird Quanteninformationzwischen Teilchen geteilt !!!

Obwohl sich das Gesamtsystem in einem wohldefinierten Zustand befindet, sind die Spins der einzelnen Teilchen nicht genau bestimmt !!!

Zweiniveausystem : Einfluß der UmgebungBetrachten wir ein System S, das mit einer Umgebung E wechselwirkt

(z.B. radioaktives Atom + Katze)

Wir modellieren die Wechselwirkung mit der Umgebung E so, dass E den Zustand ändert, wenn das System S im unteren Zustand ist (cNOT – Gatter)

Wenn sich vor der Wechselwirkung das System in einem Überlagerungszustand befindet, kommt es durch die Messung zu einer Verschränkung

Durch die WW mit der Umgebung kommt es zu einemVerlust der „Quanteneigenschaften“ !!!

Dekohärenz

SE

E‘E‘‘

Wechselwirkung mit Umgebung ähnlich wie Energiemessung … System befindet sich bevorzugt in Energie – Eigenzuständen !!!

Falls Umgebung genügend groß, geht die Quanteinformation unwiderbringlich verloren („Dekohärenz“)

Die Interpretation der QM benötigt keine klassischen Messapparate – eine makroskopische Umgebung, die den Gesetzen der QM gehorcht, verhält sich gleich wie ein klassischer Messapparat (Die Schrödingersche Katze ist tot oder lebendig)

HWechselwirkung

System wird durch Wechselwirkungen mit der Umgebung mit dieser verschränkt.Die Quanteneigenschaften des Systems gehen dadurch verloren

Dekohärenz : „Klassische“ ZuständeEigenzustände der Wechselwirkung mit der Umgebung sind besonders stabil

Durch Wechselwirkung mit der Umgebung werden bestimmte Zustände selektiert, diebesonders stabil sind („Quantum Darwinism“).

Die Eigenschaften dieser Zustände sind in unterschiedlichen Teilen En der Umgebung(z.B. Photonen, die in unterschiedliche Raumwinkel gestreut werden) gespeichert, und können von unterschiedlichen Beobachtern ausgelesen werden, ohne dass der Zustanddes Systems S geändert wird.

Diese Zustände bezeichnet man als „klassisch“.

Quantenwelt versus klassische Welt

© W. Zurek

Experimente mit Licht, Ultrahochvakuum, tiefe Temperaturen (mK)

Unsere Alltagswelt ist „klassisch“ !!!

Biomaschinen sind sehr klassisch …© David Goodsell Photosynthesekomplex