Schulinterner Lehrplan zum Kernlehrplan für die gymnasiale … · 2020. 8. 26. · Sekundarstufe II eingeführte Arbeitsbuch „Lambacher Schweizer“ hervorragende Ansatzmöglich-keiten,

Schulinterner Lehrplanzum Kernlehrplan für die gymnasiale Oberstufe

Mathematik

am Alexander- von – Humboldt-Gymnasium,Neuss

Stand: 15.10.2015

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Die Fachgruppe Mathematik am Alexander-von-Humboldt-Gymnasium................................................................................................3

2 Entscheidungen zum Unterricht..............................................................5

2.1 Unterrichtsvorhaben........................................................................................................52.2 Grundsätze der fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit.................................842.3 Grundsätze der Leistungsbewertung und Leistungsrückmeldung...............................862.4Lehr- und Lernmittel......................................................................................................89

3 Entscheidungen zu fach- und unterrichtsübergreifenden Fragen... .89

4 Qualitätssicherung und Evaluation.......................................................91

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1 Die Fachgruppe Mathematik am Alexander-von-Humboldt-Gymnasium

Das Alexander-von-Humboldt-Gymnasium ist ein öffentliches Gymnasien der Stadt Neuss. Esliegt im Schulzentrum in Nachbarschaft zur Sekundarschule und dem Nelly-Sachs-Gymnasium.Das Alexander-von-Humboldt-Gymnasium hat eine heterogene Schülerschaft, was den sozialenund ethnischen Hintergrund betrifft. Es ist in der Sekundarstufe I vierzügig und wird als Ganztags-gymnasium geführt.

Als MINT-freundlich ausgezeichnete Schule nimmt die Mathematik im Schulalltag einen großenStellenwert ein. Die Fachschaft fühlt sich einem alltagsorientierten, anwendungsbezogenen, an-schaulichen und modernen Mathematikunterricht verpflichtet.

In die Einführungsphase der Sekundarstufe II wurden in den letzten Jahren regelmäßig neueSchülerinnen und Schüler von anderen Schulformen aufgenommen. Aus diesen neuen Schülerin-nen und Schülern werden in der Einführungsphase neue Klassen gebildet. Für die übrigen Schü-lerinnen und Schüler bleibt in der Regel die Klassenzusammensetzung der Jahrgangsstufe 9 be-stehen. Die Möglichkeit der Neubildung der Klassen bleibt der Schule vorbehalten.

In der Einführungsphase werden die Klassen im Klassenverband im Fach Mathematik unterrichtet.Der Mathematikunterricht findet drei – für die Neuaufnahmeklassen aus anderen Schulformen,vierstündig statt. In der Q1 werden in der Regel drei bis vier Grundkurse, die dreistündig, und zweiLeistungskurse, die fünfstündig unterrichtet werden, eingerichtet. Die Kurse können in Kooperati-on mit dem Nelly-Sachs-Gymnasium gebildet werden. Für die Schülerinnen und Schüler der je-weils anderen Schule gilt der schulinterne Lehrplan der Schule, in der sie den Mathematikunter-richt besuchen. Dies stellt für den Übergang in die Q1 insofern kein Problem dar, als dass dieKernlehrpläne zum Ende der Einführungsphase zu erreichende Kompetenzen fest vorgeben.

Der Unterricht findet im 45-Minuten-Takt statt, die Kursblockung sieht für Grundkurse eine, fürLeistungskurse zwei Doppelstunden vor.

Den im Schulprogramm ausgewiesenen Zielen, Schülerinnen und Schüler ihren Begabungen undNeigungen entsprechend individuell zu fördern und ihnen Orientierung für ihren weiteren Lebens-weg zu bieten, fühlt sich die Fachgruppe Mathematik in besonderer Weise verpflichtet:

Leistungsstarke Schülerinnen und Schüler werden ermutigt an der Kreisrunde der Mathematik-Olympiade und dem Bundeswettbewerb Mathematik (Ansprechpartner: Ben, Kir) teilzunehmen.Die Mathematikfachschaft empfiehlt weitergehend die Teilnahme am Online-Team-Wettbewerbder Bezirksregierung und am Mathematik-Turnier der Universitäten Köln-Bonn (Ansprechpartne-rin: Ben). Traditionell nehmen am Alexander-von-Humboldt-Gymnasium Schülerinnen und Schülerder Grund- und Leistungskurse am Känguru-Wettbewerb teil (Ansprechpartnerin: Ben).

Als besonderes Angebot versteht sich der Projektkurs Mathematik, der zum zweiten Halbjahr derQ1 angeboten wird, über zwei Halbjahre läuft und mit einem Vortrag und einer umfangreichenProjektarbeit abgeschlossen wird. Besonders erfolgreichen Absolventen des Projektkurses (No-tenbereich 15-13 Notenpunkte) wird im Rahmen der Abiturprüfung die Möglichkeit angeboten, einKolloquium im Rahmen der besonderen Lernleistung durchzuführen. Weitere Informationen zumProjektkurs erhalten Sie bei der Oberstufenkoordination (Nei) oder den Projektkurslehrern des ak-tuellen Jahrgangs (Zwa, Kir).

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Leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler erhalten von den Lehrkräften die Möglichkeit, in-dividuelle Übungs- und Förderangebote wahrzunehmen (zum Beispiel in Form von Internetlinks,Arbeits- und Übungsblättern, Regelheft-Führung, Lerntagebücher, etc.). Checklisten vor Klausurensind breiter Konsens; Übungsklausuren werden in der Regel nicht angeboten.

Für den Fachunterricht aller Stufen besteht Konsens darüber, dass wo immer möglich mathema-tische Fachinhalte mit Lebensweltbezug vermittelt werden. Dazu liefert das an der Schule in derSekundarstufe II eingeführte Arbeitsbuch „Lambacher Schweizer“ hervorragende Ansatzmöglich-keiten, z.B. in Form von Projekten. Die Absprache mit anderen Naturwissenschaften erfolgt the-menorientiert.

In der Sekundarstufe II kann verlässlich darauf aufgebaut werden, dass die Verwendung von Kon-texten im Mathematikunterricht bekannt ist.

In der Sekundarstufe I wird ein wissenschaftlicher Taschenrechner ab Klasse 7 verwendet, dyna-mische Geometrie-Software und Tabellenkalkulation werden an geeigneten Stellen im Unterrichtgenutzt, der Umgang mit ihnen eingeübt. Dazu stehen in der Schule PC-Unterrichtsräume undNotebooks zur Verfügung. In der Sekundarstufe II kann deshalb davon ausgegangen werden,dass die Schülerinnen und Schüler mit den grundlegenden Möglichkeiten dieser digitalen Werk-zeuge vertraut sind.

Der grafikfähige Taschenrechner wird in der Einführungsphase eingeführt. Es wird vorausgesetzt,dass alle Schülerinnen und Schüler ein identisches Gerät besitzen (zur Zeit: TI84+). Andere Gerä-te dürfen in Hinblick auf das Abitur, bei dem alle Schülerinnen und Schüler die gleichen Hilfsmittelverwenden müssen, weder im Unterricht noch in den Klausuren benutzt werden. Zu Beginn derQualifikationsphase beschaffen sich die Schülerinnen und Schüler eine von der FachschaftMathematik vorgegebene Formelsammlung (zur Zeit: Das große Tafelwerk interaktiv 2.0, Cornel-sen). Die Anschaffung der Formelsammlung ist freigestellt; jedoch ist sie in Hinblick auf das Abitureine lohnenswerte Anschaffung. In den Klausuren darf ebenfalls nur eine einheitliche für das Ab-itur zugelassene Formelsammlung benutzt werden. Für Schülerinnen und Schüler, die keine For-melsammlung besitzen, liegt in den Klausuren eine Formelsammlung aus.

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2 Entscheidungen zum Unterricht

Hinweis: Die nachfolgend dargestellte Umsetzung der verbindlichen Kompetenzerwar-tungen des Kernlehrplans findet auf zwei Ebenen statt. Das Übersichtsraster gibt denLehrkräften einen raschen Überblick über die laut Fachkonferenz verbindlichen Unter-richtsvorhaben pro Schuljahr. In dem Raster sind, außer dem Thema des jeweiligen Vor-habens, das schwerpunktmäßig damit verknüpfte Inhaltsfeld bzw. die Inhaltsfelder, in-haltliche Schwerpunkte des Vorhabens sowie Schwerpunktkompetenzen ausgewiesen.Die Konkretisierung von Unterrichtsvorhaben führt weitere Kompetenzerwartungenauf und verdeutlicht vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen, z. B. zur Festle-gung auf einen Aufgabentyp bei der Lernerfolgsüberprüfung durch eine Klausur.

2.1 Unterrichtsvorhaben

Die Darstellung der Unterrichtsvorhaben im schulinternen Lehrplan besitzt den Anspruch, sämtli-che im Kernlehrplan angeführten Kompetenzen abzudecken. Dies entspricht der Verpflichtung je-der Lehrkraft, Schülerinnen und Schülern Lerngelegenheiten zu ermöglichen, so dass alle Kompe-tenzerwartungen des Kernlehrplans von ihnen erfüllt werden können.

Die entsprechende Umsetzung erfolgt auf zwei Ebenen: der Übersichts- und der Konkretisierungs-ebene.

Im „Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben“ (Kapitel 2.1.1) wird die Verteilung der Unterrichtsvorha-ben dargestellt. Sie ist laut Beschluss der Fachkonferenz verbindlich für die Unterrichtsvorhaben I,II und III der Einführungsphase und für die Unterrichtsphasen der Qualifikationsphase. Die zeitli-che Abfolge der Unterrichtsvorhaben IV bis VIII der Einführungsphase ist jeweils auf die Vorgabenzur Vergleichsklausur abzustimmen.

Das Übersichtsraster dient dazu, den Kolleginnen und Kollegen einen schnellen Überblick überdie Zuordnung der Unterrichtsvorhaben zu den einzelnen Jahrgangsstufen sowie den im Kernlehr-plan genannten Kompetenzen, Inhaltsfeldern und inhaltlichen Schwerpunkten zu verschaffen. UmKlarheit für die Lehrkräfte herzustellen und die Übersichtlichkeit zu gewährleisten, werden in derKategorie „Kompetenzen“ an dieser Stelle nur die übergeordneten Kompetenzerwartungen aus-gewiesen, während die konkretisierten Kompetenzerwartungen erst auf der Ebene konkretisierterUnterrichtsvorhaben Berücksichtigung finden. Der ausgewiesene Zeitbedarf versteht sich als gro-be Orientierungsgröße, die nach Bedarf über- oder unterschritten werden kann. Um Spielraum fürVertiefungen, individuelle Förderung, besondere Schülerinteressen oder aktuelle Themen zu er-halten, wurden im Rahmen dieses schulinternen Lehrplans ca. 75 Prozent der Bruttounterrichts-zeit verplant.

Während der Fachkonferenzbeschluss zum „Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben“ zur Gewähr-leistung vergleichbarer Standards sowie zur Absicherung von Kurswechslern und Lehrkraftwech-seln für alle Mitglieder der Fachkonferenz Bindekraft entfalten soll, besitzt die Ausweisung „kon-kretisierter Unterrichtsvorhaben“ (Kapitel 2.1.2) empfehlenden Charakter. Referendarinnen undReferendaren sowie neuen Kolleginnen und Kollegen dienen diese vor allem zur standardbezoge-nen Orientierung in der neuen Schule, aber auch zur Verdeutlichung von unterrichtsbezogenenfachgruppeninternen Absprachen zu didaktisch-methodischen Zugängen, fächerübergreifendenKooperationen, Lernmitteln und -orten sowie vorgesehenen Leistungsüberprüfungen, die im Ein-zelnen auch den Kapiteln 2.2 bis 2.4 zu entnehmen sind. Begründete Abweichungen von den vor-

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geschlagenen Vorgehensweisen bezüglich der konkretisierten Unterrichtsvorhaben sind im Rah-men der pädagogischen Freiheit der Lehrkräfte jederzeit möglich. Sicherzustellen bleibt allerdingsauch hier, dass im Rahmen der Umsetzung der Unterrichtsvorhaben insgesamt alle prozess- undinhaltsbezogenen Kompetenzen des Kernlehrplans Berücksichtigung finden. Dies ist durch ent-sprechende Kommunikation innerhalb der Fachkonferenz zu gewährleisten.

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2.1.1 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben

EinführungsphaseUnterrichtsvorhaben I:

Thema: Den Zufall im Griff – Modellierung von Zu-fallsprozessen (E-S1)

Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen

Inhaltsfeld: Stochastik (S)

Inhaltlicher Schwerpunkt: Mehrstufige Zufallsexperimente

Zeitbedarf: 9 Std.

Unterrichtsvorhaben II:

Thema: Testergebnisse richtig interpretieren – Um-gang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (E-S2)

Zentrale Kompetenzen: Modellieren Kommunizieren


Inhaltlicher Schwerpunkt: Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Zeitbedarf: 9 Std.

Unterrichtsvorhaben III:

Thema: Beschreibung der Eigenschaften von Funk-tionen und deren Nutzung im Kontext (E-A1)


Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)

Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundlegende Eigenschaften von Po-

tenz-, Exponential- und Sinusfunktio-nen

Zeitbedarf: 15 Std.

Unterrichtsvorhaben IV:

Thema: Von der durchschnittlichen zur lokalen Ände-rungsrate (E-A2)

Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Werkzeuge nutzen


Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundverständnis des Ableitungsbe-

griffs

Zeitbedarf: 12 Std.

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Einführungsphase FortsetzungUnterrichtsvorhaben V:

Thema: Von den Potenzfunktionen zu den ganzratio-nalen Funktionen (E-A3)

Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Argumentieren Werkzeuge nutzen


Inhaltlicher Schwerpunkt: Differentialrechnung ganzrationaler

Funktionen

Zeitbedarf: 12 Std.

Unterrichtsvorhaben VI:

Thema: Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von Funk-tionen (E-A4)

Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Argumentieren


Inhaltlicher Schwerpunkt: Differentialrechnung ganzrationaler

Funktionen

Zeitbedarf: 12 Std.

Unterrichtsvorhaben VII:

Thema:Unterwegs in 3D – Koordinatisierungen des Raumes (E-G1)


Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Li-neare Algebra (G)

Inhaltlicher Schwerpunkt: Koordinatisierungen des Raumes

Zeitbedarf: 6 Std.

Unterrichtsvorhaben VIII:

Thema:Vektoren bringen Bewegung in den Raum (E-G2)

Zentrale Kompetenzen: Problemlösen


Inhaltlicher Schwerpunkt: Vektoren und Vektoroperationen

Zeitbedarf: 9 Std.

Summe Einführungsphase: 84 Stunden

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Qualifikationsphase (Q1) – GRUNDKURSUnterrichtsvorhaben Q1-I:

Thema:Bedeutung der zweiten Ableitung und Opti-mierungsprobleme (Q-GK-A1)

Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Werkzeuge nutzen


Inhaltlicher Schwerpunkt: Wiederholung aus der EF Funktionen als mathematische Modelle

Zeitbedarf: 15 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-II :

Thema:Funktionen beschreiben Formen – Modellie-ren von Sachsituationen mit ganzrationalen Funktionen (Q-GK-A2)


Inhaltsfelder: Funktionen und Analysis (A)Lineare Algebra (G)

Inhaltliche Schwerpunkte: Funktionen als mathematische Modelle Lineare Gleichungssysteme

Zeitbedarf: 9 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-III:

Thema: Beschreibung von Bewegungen undSchattenwurf mit Geraden (Q-GK-G1)



Inhaltlicher Schwerpunkt: Darstellung und Untersuchung geome-

trischer Objekte (Geraden)

Zeitbedarf: 9 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-IV:

Thema: Lineare Algebra als Schlüssel zur Lösung von geometrischen Problemen (Q-GK-G2)

Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Werkzeuge nutzen


Inhaltliche Schwerpunkte: Darstellung und Untersuchung geome-

trischer Objekte (Ebenen) Lineare Gleichungssysteme

Zeitbedarf: 9 Std.

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Qualifikationsphase (Q1) – GRUNDKURS (Fortsetzung)Unterrichtsvorhaben Q1-V:

Thema: Eine Sache der Logik und der Be-griffe: Untersuchung von Lagebeziehungen (Q-GK-G3)

Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Kommunizieren


Inhaltlicher Schwerpunkt: Lagebeziehungen

Zeitbedarf: 6 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-VI :

Thema: Räume vermessen – mit dem Ska-larprodukt Polygone und Polyeder untersu-chen (Q-GK-G4)



Inhaltlicher Schwerpunkt: Skalarprodukt

Zeitbedarf: 9 Std

Unterrichtsvorhaben Q1-VII:

Thema: Von der Änderungsrate zum Be-stand (Q-GK-A3)

Zentrale Kompetenzen: Kommunizieren


Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundverständnis des Integralbegriffs

Zeitbedarf: 9 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-VIII:

Thema: Von der Randfunktion zur Integral-funktion (Q-GK-A4)



Inhaltlicher Schwerpunkt: Integralrechnung

Zeitbedarf: 12 Std.

Summe Qualifikationsphase (Q1) – GRUNDKURS 78 Stunden

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Qualifikationsphase (Q2) – GRUNDKURSUnterrichtsvorhaben Q2-I:

Thema: Von stochastischen Modellen, Zu-fallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungenund ihren Kenngrößen (Q-GK-S1)

Zentrale Kompetenzen: Modellieren


Inhaltlicher Schwerpunkt: Kenngrößen von Wahrscheinlichkeits-

verteilungen

Zeitbedarf: 6 Std.

Unterrichtsvorhaben Q2-II:

Thema: Treffer oder nicht? – Bernoulliexperi-mente und Binomialverteilung(Q-GK-S2)



Inhaltlicher Schwerpunkt: Binomialverteilung

Zeitbedarf: 9 Std.


Thema: Modellieren mit Binomialverteilun-gen (Q-GK-S3)

Zentrale Kompetenzen: Modellieren Argumentieren



Zeitbedarf: 9 Std.

Unterrichtsvorhaben Q2-IV :

Thema: Von Übergängen und Prozessen (Q-GK-S4)



Inhaltlicher Schwerpunkt: Stochastische Prozesse

Zeitbedarf: 9 Std.

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Qualifikationsphase (Q2) – GRUNDKURS FortsetzungUnterrichtsvorhaben Q2-V:

Thema: Natürlich: Exponentialfunktionen (Q-GK-A5)



Inhaltlicher Schwerpunkt: Fortführung der Differentialrechnung

Zeitbedarf: 9 Std.

Unterrichtsvorhaben Q2-VI:

Thema: Modellieren (nicht nur) mit Exponen-tialfunktionen (Q-GK-A6)



Inhaltliche Schwerpunkte: Fortführung der Differentialrechnung Integralrechnung

Zeitbedarf: 12 Std.

Summe Qualifikationsphase (Q2) – GRUNDKURS: 54 Stunden

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Qualifikationsphase (Q1) – LEISTUNGSKURSUnterrichtsvorhaben Q1-I:

Thema:Optimierungsprobleme (Q-LK-A1)

Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen


Inhaltliche Schwerpunkte: Funktionen als mathematische Modelle Fortführung der Differentialrechnung

Zeitbedarf: 20 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-II:

Thema:Funktionen beschreiben Formen – Modellie-ren von Sachsituationen mit Funktionen (Q-LK-A2)


Inhaltsfelder: Funktionen und Analysis (A)Lineare Algebra (G)

Inhaltliche Schwerpunkte: Funktionen als mathematische Modelle Lineare Gleichungssysteme

Zeitbedarf: 20 Std.


Thema: Beschreibung von Bewegungen undSchattenwurf mit Geraden (Q-LK-G1)




trischer Objekte (Geraden)

Zeitbedarf: 10 Std.


Thema: Die Welt vermessen – das Skalar-produkt und seine ersten Anwendungen (Q-LK-G2)



Inhaltlicher Schwerpunkt: Skalarprodukt

Zeitbedarf: 10Std.

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Qualifikationsphase (Q1) – LEISTUNGSKURS FortsetzungUnterrichtsvorhaben Q1-V:

Thema: Ebenen als Lösungsmengen von li-nearen Gleichungen und ihre Beschreibung durch Parameter (Q-LK-G3)




trischer Objekte (Ebenen)

Zeitbedarf: 10 Std.


Thema: Lagebeziehungen und Abstandspro-bleme bei geradlinig bewegten Objekten (Q-LK-G4)



Inhaltlicher Schwerpunkt: Lagebeziehungen und Abstände (von

Geraden)

Zeitbedarf: 10 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-VII

Thema: Von der Änderungsrate zum Be-stand (Q-LK-A3)

Zentrale Kompetenzen: Kommunizieren


Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundverständnis des Integralbegriffs

Zeitbedarf: 10 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-VIII:

Thema: Von der Randfunktion zur Integral-funktion (Q-LK-A4)



Inhaltlicher Schwerpunkt: Integralrechnung

Zeitbedarf: 20 Std.

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Qualifikationsphase (Q1) – LEISTUNGSKURS FortsetzungUnterrichtsvorhaben Q1-IX:

Thema: Von stochastischen Modellen, Zu-fallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungenund ihren Kenngrößen (Q-LK-S1)



Inhaltlicher Schwerpunkt: Kenngrößen von Wahrscheinlichkeits-

verteilungen

Zeitbedarf: 5 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-X:

Thema: Treffer oder nicht? – Bernoulliexperi-mente und Binomialverteilungen (Q-LK-S2)




Zeitbedarf: 10 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-XI:

Thema: Untersuchung charakteristischer Größen von Binomialverteilungen (Q-LK-S3)




Zeitbedarf: 5 Std.

Summe Qualifikationsphase (Q1) – LEISTUNGSKURS 130 Stunden

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Qualifikationsphase (Q2) – LEISTUNGSKURSUnterrichtsvorhaben Q2-I:

Thema: Natürlich: Exponentialfunktionen und Logarithmus (Q-LK-A5)



Inhaltlicher Schwerpunkt: Fortführung der Differentialrechnung

Zeitbedarf: 20 Std.

Unterrichtsvorhaben Q2-II

Thema: Modellieren (nicht nur) mit Exponen-tialfunktionen (Q-LK-A6)



Inhaltliche Schwerpunkte: Fortführung der Differentialrechnung Integralrechnung

Zeitbedarf: 20 Std.


Thema: Ist die Glocke normal? (Q-LK-S4)

Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Werkzeuge nutzen


Inhaltlicher Schwerpunkt: Normalverteilung

Zeitbedarf: 10 Std.


Thema: Signifikant und relevant? – Testen von Hypothesen (Q-LK-S5)



Inhaltlicher Schwerpunkt: Testen von Hypothesen

Zeitbedarf: 10 Std.

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Qualifikationsphase (Q2) – LEISTUNGSKURS FortsetzungUnterrichtsvorhaben Q2-V:

Thema: Von Übergängen und Prozessen (Q-LK-S6)



Inhaltlicher Schwerpunkt: Stochastische Prozesse

Zeitbedarf: 10 Std.


Thema: Untersuchungen an Polyedern (Q-LK-G5)



Inhaltliche Schwerpunkte: Lagebeziehung und Abstände (von

Ebenen) Lineare Gleichungssysteme

Zeitbedarf: 10 Std.

Unterrichtsvorhaben Q2-VII:

Thema: Strategieentwicklung bei geometri-schen Problemsituationen und Beweisaufga-ben (Q-LK-G6)

Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen


Inhaltlicher Schwerpunkt: Verknüpfung aller Kompetenzen

Zeitbedarf: 10 Std.

Summe Qualifikationsphase (Q2) – LEISTUNGSKURS: 90 Stunden

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Übersicht über die Unterrichtsvorhaben

E-PhaseUnterrichtsvorhaben Thema Stundenzahl

I E-S1 9II E-S2 9III E-A1 15IV E-A2 12V E-A3 12VI E-A4 12VII E-G1 6VIII E-G2 9

Summe: 84 Q1 Grundkurse

Unterrichtsvorhaben Thema StundenzahlI Q-GK-A1 15II Q-GK-A2 9III Q-GK-A3 9IV Q-GK-A4 12V Q-GK-G1 9VI Q-GK-G2 9VII Q-GK-G3 6VIII Q-GK-G4 9

Summe: 78 Q2 Grundkurse

Unterrichtsvorhaben Thema StundenzahlI Q-GK-A5 9II Q-GK-A6 12III Q-GK-S1 6IV Q-GK-S2 9V Q-GK-S3 9VI Q-GK-S4 9

Summe: 54

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Q1 LeistungskurseUnterrichtsvorhaben Thema Stundenzahl

I Q-LK-A1 20II Q-LK-A2 20III Q-LK-G1 10IV Q-LK-G2 10V Q-LK-G3 10VI Q-LK-G4 10VII Q-LK-A3 10VIII Q-LK-A4 20IX Q-LK-S1 5X Q-LK-S2 10XI Q-LK-S3 5

Summe: 130 Q2 Leistungskurse

Unterrichtsvorhaben Thema StundenzahlI Q-LK-A5 20II Q-LK-A6 20III Q-LK-S4 10IV Q-LK-S5 10V Q-LK-S6 10VI Q-LK-G5 10VII Q-LK-G6 10

Summe: 90

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2.1.2 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben

Hinweis: Thema, Inhaltsfelder, inhaltliche Schwerpunkte und Kompetenzen hat die Fachkonferenz des Riese-Gymnasiums/der Riese-Gesamtschule verbindlich vereinbart. In allen anderen Bereichen sind Ab-weichungen von den vorgeschlagenen Vorgehensweisen bei der Konkretisierung der Unterrichtsvorhabenmöglich. Darüber hinaus enthält dieser schulinterne Lehrplan in den Kapiteln 2.2 bis 2.4 übergreifende so-wie z. T. auch jahrgangsbezogene Absprachen zur fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit, zur Leistungsbewertung und zur Leistungsrückmeldung. Je nach internem Steuerungsbedarf können solche Absprachen auch vorhabenbezogen vorgenommen werden.

Vorhabenbezogene Konkretisierung:

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Einführungsphase Stochastik (S)

Thema: Den Zufall im Griff – Modellierung von Zufallsprozessen (E-S1)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente simulieren Zufallsexperimente verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungs-

wertbetrachtungen durch beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahr-

scheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):ModellierenDie Schülerinnen und Schüler treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer rea-

len Situation vor (Strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische

Modelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine

Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)

Werkzeuge nutzenDie Schülerinnen und Schüler verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum

… Generieren von Zufallszahlen… Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen… Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen… Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert)

Beim Einstieg ist eine Beschränkung auf Beispiele aus dem BereichGlücksspiele zu vermeiden (anders als LS). Einen geeigneten Kontextbietet die Methode der Zufallsantworten bei sensitiven Umfragen (z.B.Umfrage im Kurs, Geschmackstest mit Cola oder Schokolade, …). Außer-dem soll der mathematische Zufallsbegriff bezüglich seiner Aussagekraftüberprüft werden.

Zur Modellierung von Wirklichkeit werden durchgängig Simulationen –auch unter Verwendung von digitalen Werkzeugen (Tabellenkalkulation) –geplant und durchgeführt (Zufallsgenerator).

Das Urnenmodell wird auch verwendet, um grundlegende Zählprinzipienwie das Ziehen mit/ohne Zurücklegen mit/ohne Berücksichtigung der Rei-henfolge zu thematisieren.

Die zentralen Begriffe Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswertwerden im Kontext von Glücksspielen erarbeitet und können durch zu-nehmende Komplexität der Spielsituationen vertieft werden. Digitale Werkzeuge werden zur Visualisierung von Wahrscheinlichkeits-verteilungen (Histogramme) und zur Entlastung von händischem Rechnenverwendet. Trotzdem sollten auch in diesem Bereich „hilfsmittelfreie“ Auf-gabentypen trainiert werden.

Thema: Testergebnisse richtig interpretieren – Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (E-S2)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler

modellieren Sachverhalte mit Hilfe von Baumdiagrammen und Vier-oder Mehrfeldertafeln

bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten prüfen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische

Unabhängigkeit bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlich-

keiten.Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):ModellierenDie Schülerinnen und Schüler

erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)

erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)

beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validie-ren)

KommunizierenDie Schülerinnen und Schüler erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus zuneh-

mend komplexen mathematikhaltigen Texten (Rezipiere und Modellie-ren)

wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Pro-duzieren)

Ein problemorientierter Einstieg soll die inhaltliche Arbeit motivieren (z.B.Zusammenhang zwischen Handy und Geschlecht, Rauchen und Gewicht,HIV-Testverfahren).

Um die Übertragbarkeit des Verfahrens zu sichern, sollen insgesamt min-destens zwei Beispiele aus unterschiedlichen Kontexten betrachtet wer-den.

Zur Förderung des Verständnisses der Wahrscheinlichkeitsaussagen wer-den parallel Darstellungen mit absoluten Häufigkeiten verwendet.

Die Schülerinnen und Schüler sollen zwischen verschiedenen Darstel-lungsformen (Baumdiagramm, Mehrfeldertafel) wechseln können und die-se zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten beim Vertauschen vonMerkmal und Bedingung und zum Rückschluss auf unbekannte Astwahr-scheinlichkeiten nutzen können (Inhaltlich Anwendung des Satz vonBayes). Bei der Erfassung stochastischer Zusammenhänge ist die Unterscheidungvon Wahrscheinlichkeiten des Typs P(A∩B) von bedingten Wahrschein-lichkeiten – auch sprachlich – von besonderer Bedeutung.

Einführungsphase Funktionen und Analysis (A)

Thema: Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen und deren Nutzung im Kontext (E-A1)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler wiederholen individuell anhand einer Checkliste grundlegendes

Wissen zu linearen und quadratischen Funktionen beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen

Exponenten sowie quadratischen und kubischen Wurzelfunktionen beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Ex-

ponentialfunktionen wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf

Funktionen (Sinusfunktion, quadratische Funktionen, Potenzfunktio-nen, Exponentialfunktionen) an und deuten die zugehörigen Parame-ter

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):ModellierenDie Schülerinnen und Schüler erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit

Blick auf eine konkrete Fragestellung(Strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische

Modelle (Mathematisieren)

Werkzeuge nutzenDie Schülerinnen und Schüler nutzen des grafikfähigen Taschenrechners: Tabellenkalkulation, Funk-

tionenplotter verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum

… Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle … zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen

Algebraische Rechentechniken werden grundsätzlich parallel vermitteltund diagnosegestützt geübt (solange in diesem Unterrichtsvorhaben erfor-derlich in einer von drei Wochenstunden, ergänzt durch differenzierende,individuelle Zusatzangebote aus Aufgabensammlungen). Die Polynomdivi-sion, sowie die Linearfaktorzerlegung, sind nicht mehr verpflichtend.

Dem oft erhöhten Angleichungs- und Förderbedarf von Schulformwechs-lern wird ebenfalls durch gezielte individuelle Angebote Rechnung getra-gen. Hierbei sind konkret die Trigonometrischen Funktionen aufzuarbei-ten.Hilfreich kann es sein, dabei die Kompetenzen der Mitschülerinnen undMitschüler (z. B. durch Kurzvorträge) zu nutzen.

Ein besonderes Augenmerk muss in diesem Unterrichtsvorhaben auf dieEinführung in die elementaren Bedienkompetenzen der verwendeten Soft-ware und des GTR gerichtet werden. (Grundlegende Eingabebefehle, Ori-entierung in den Untermenüs, Wertetabellen, Graphen plotten und das„Window“ ausrichten)

Als Kontext für die Beschäftigung mit Wachstumsprozessen können zu-nächst Ansparmodelle (insbesondere lineare und exponentielle) betrachtetund mithilfe einer Tabellenkalkulation verglichen werden. Für kontinuierli-che Prozesse und den Übergang zu Exponentialfunktionen werden ver-schiedene Kontexte (z. B. Bakterienwachstum, Abkühlung) untersucht. Der entdeckende Einstieg in Transformationen kann etwa über das Bei-spiel „Sonnenscheindauer“ aus den GTR-Materialien erfolgen, also zu-nächst über die Sinusfunktion. Anknüpfend an die Erfahrungen aus der SIwerden dann quadratische Funktionen (Scheitelpunktform) und Parabelnunter dem Transformationsaspekt betrachtet.

Thema: Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate (E-A2)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler berechnen durchschnittliche/ mittlere und lokale/ momentane Ände-

rungsraten und interpretieren sie im Kontext erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenz-

wertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate

deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate/ Tangen-

tensteigung beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungs-

funktion) leiten Funktionen graphisch ab begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrem-

punkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):Argumentieren (Vermuten)Die Schülerinnen und Schüler stellen Vermutungen auf unterstützen Vermutungen beispielgebunden präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück-

sichtigung der logischen Struktur

Werkzeuge nutzen

Für den Einstieg wird ein Stationenlernen zu durchschnittlichen Ände-rungsraten in unterschiedlichen Sachzusammenhängen empfohlen, dieauch im weiteren Verlauf immer wieder auftauchen (z. B. Bewegungen,Zu- und Abflüsse, Höhenprofil, Temperaturmessung, Aktienkurse, Ent-wicklung regenerativer Energien, Sonntagsfrage, Wirk- oder Schadstoff-konzentration, Wachstum, Kosten- und Ertragsentwicklung).Der Begriff der lokalen Änderungsrate wird im Sinne eines spiraligen Cur-riculums qualitativ und heuristisch verwendet.

Als Kontext für den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Än-derungsrate wird die vermeintliche Diskrepanz zwischen der Durch-schnittsgeschwindigkeit bei einer längeren Fahrt und der durch ein Mess-gerät ermittelten Momentangeschwindigkeit genutzt. Neben zeitabhängigen Vorgängen soll auch ein geometrischer Kontextbetrachtet werden.

Tabellenkalkulation und Dynamische-Geometrie-Software (Geogebra)werden zur numerischen und geometrischen Darstellung des Grenzpro-zesses beim Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungs-rate bzw. der Sekanten zur Tangenten (Zoomen) eingesetzt.

Im Zusammenhang mit dem graphischen Ableiten und dem Begründender Eigenschaften eines Funktionsgraphen sollen die Schülerinnen undSchüler in besonderer Weise zum Vermuten, Begründen und Präzisierenihrer Aussagen angehalten werden. Hier ist auch der Ort, den Begriff desExtrempunktes (lokal vs. global) zu präzisieren und dabei auch Sonderfäl-le, wie eine konstante Funktion, zu betrachten, während eine Untersu-chung der Änderung von Änderungen erst zu einem späteren Zeitpunktdes Unterrichts (Q1) vorgesehen ist..

Die Schülerinnen und Schüler verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum

… Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle … grafischen Messen von Steigungen

nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkun-den und Recherchieren, Berechnen und Darstellen

Thema: Von den Potenzfunktionen zu den ganzrationalen Funktionen (E-A3)


nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichen Expo-nenten

wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an

begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrem-punkte) mit Hilfe berechneter Werte des Graphen der Ableitungsfunkti-on

berechnen Extrempunkte, identifiziere sie als Hoch- und Tiefpunkte und grenzen Sie zu Sattelpunkten ab.

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):ProblemlösenDie Schülerinnen und Schüler analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden) erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Pro-

blemlösung aus (Lösen)

Argumentieren

Im Anschluss an Unterrichtsvorhaben II (Thema E-A2) wird die Frage auf-geworfen, ob mehr als numerische und qualitative Untersuchungen in derDifferentialrechnung möglich sind. Für eine quadratische Funktion wird derGrenzübergang bei der „h-Methode“ exemplarisch durchgeführt.Empfehlung: Durch Variation im Rahmen eines Gruppenpuzzles vermutendie Lernenden eine Formel für die Ableitung einer beliebigen quadra-tischen Funktion. Dabei vermuten sie auch das Grundprinzip der Lineari-tät (ggf. auch des Verhaltens bei Verschiebungen in x-Richtung). DurchAnalyse des Rechenweges werden die Vermutungen erhärtet.

Um die Ableitungsregel für höhere Potenzen zu vermuten, nutzen dieSchüler den GTR und die Möglichkeit, Werte der Ableitungsfunktionen nä-herungsweise zu tabellieren und zu plotten. Eine Beweisidee kann optio-nal erarbeitet werden. Der Unterricht erweitert besonders Kompetenzenaus dem Bereich des Vermutens. Auch hier sollten im Hinblick auf die„hilfsmittelfreien“ Aufgabentypen das Ableiten und das Berechnen vonWerten per Hand eingeübt werden.

Kontexte spielen in diesem Unterrichtsvorhaben eine untergeordneteRolle. Quadratische Funktionen können aber stets als Weg-Zeit-Funktionbei Fall- und Wurf- und anderen gleichförmig beschleunigten Bewegungengedeutet werden.

Die Schülerinnen und Schüler präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück-

sichtigung der logischen Struktur (Vermuten) nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumen-

te für Begründungen (Begründen) überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert

werden können (Beurteilen)


… Lösen von Gleichungen… zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen

Die Motivation zur Beschäftigung mit Polynomfunktionen soll durch eineOptimierungsaufgabe geweckt werden. Die verschiedenen Möglichkeiten,eine Schachtel aus einem DIN-A4-Blatt herzustellen, führen insbesondereauf Polynomfunktionen vom Grad 3. Hier können sich alle bislang erarbei-teten Regeln bewähren.

Ganzrationale Funktionen vom Grad 3 werden Gegenstand einer qualitati-ven Erkundung mit dem GTR, wobei Parameter gezielt variiert werden.Bei der Klassifizierung der Formen können die Begriffe aus Unterrichtsvor-haben II (Thema E-A2) eingesetzt werden. Zusätzlich werden die Symme-trie zum Ursprung und das Globalverhalten untersucht. Die Vorteile einerDarstellung mithilfe von Linearfaktoren und die Bedeutung der Vielfachheiteiner Nullstelle werden hier thematisiert.

Durch gleichzeitiges Visualisieren der Graphen einer Funktion und der zu-gehörigen Ableitungsfunktion entdecken und erläutern die SuS Eigen-schaften von ganzrationalen Funktionen 3. Grades, indem sie diese mitden ihnen schon vertrauten quadratischen Funktionen quadratischenFunktionen abgleichen. Ein Schwerpunkt liegt auf dem Erkennen und Er-klären von Zusammenhängen von charakteristischen Punkten einer Funk-tion und ihrer Ableitungsfunktion.

Thema: Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von Funktionen (E-A4)


leiten Funktionen graphisch ab nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrem-

punkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichem Expo-

nenten wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen

an lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern

oder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurück-führen lassen, ohne digitale Hilfsmittel

verwenden das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkrite-rium zur Bestimmung von Extrempunkten

unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigen-

schaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathema-tischen Problemen

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):ProblemlösenDie Schülerinnen und Schüler erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (hier: Zurückführen auf

Bekanntes) (Lösen) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Pro-


Argumentieren

Ein kurzes Wiederaufgreifen des graphischen Ableitens am Beispiel derSinusfunktion führt zur Entdeckung, dass die Kosinusfunktion deren Ablei-tung ist.

Für ganzrationale Funktionen werden die Zusammenhänge zwischen denExtrempunkten der Ausgangsfunktion und ihrer Ableitung durch die Be-trachtung von Monotonieintervallen und der vier möglichen Vorzeichen-wechsel an den Nullstellen der Ableitung untersucht. Die Schülerinnenund Schüler üben damit, vorstellungsbezogen zu argumentieren. Die Un-tersuchungen auf Symmetrien und Globalverhalten werden fortgesetzt.

Bezüglich der Lösung von Gleichungen im Zusammenhang mit der Null-stellenbestimmung wird durch geeignete Aufgaben Gelegenheit zum Übenvon Lösungsverfahren ohne Verwendung des GTR gegeben.

Der logische Unterschied zwischen notwendigen und hinreichenden Krite-rien kann durch Multiple-Choice-Aufgaben vertieft werden, die rund umdie Thematik der Funktionsuntersuchung von Polynomfunktionen Begrün-dungsanlässe und die Möglichkeit der Einübung zentraler Begriffe bieten.Neben den Fällen, in denen das Vorzeichenwechselkriterium angewendetwird, werden die Lernenden auch mit Situationen konfrontiert, in denen siemit den Eigenschaften des Graphen oder Terms argumentieren. So er-zwingt z. B. Achsensymmetrie die Existenz eines Extrempunktes auf derSymmetrieachse.

Beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen werden we-sentliche Aspekte einer Funktionsuntersuchung (ausgenommen Wende-punkte) behandelt. Dabei können auch Tangentengleichungen bestimmtwerden.

Die Schülerinnen und Schüler präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück-


te für Begründungen (Begründen) berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige / hinrei-

chende Bedingung, Folgerungen […]) (Begründen) erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie (Beur-

teilen)

Einführungsphase Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)

Thema: Unterwegs in 3D – Koordinatisierungen des Raumes (E-G1)


wählen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitungeines geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum

stellen geometrische Objekte in einem räumlichen kartesischen Koor-dinatensystem dar

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):ModellierenDie Schülerinnen und Schüler erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit

Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine

Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) nutzen Vectoris 3D zur Problemlösung mathematischer Fragestellun-

gen (Werkzeug nutzen)

Kommunizieren (Produzieren)Die Schülerinnen und Schüler wählen begründet eine geeignete Darstellungsform (Zeichnung oder

Rechnung) aus wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen

Ein alltagsbezogener, anwendungsbezogener Einstieg zum Thema „Koor-dinaten“ soll gewählt werden (z.B. Koordinaten im Klassenraum, verschie-dene Koordinatisierungen (GPS, geographische Koordinaten, Polarkoordi-naten: hier besteht die Möglichkeit von Schülervorträgen)).

An geeigneten, nicht zu komplexen geometrischen Modellen (z. B. „un-vollständigen“ Holzquadern) lernen die Schülerinnen und Schüler, ohneVerwendung einer DGS zwischen (verschiedenen) Schrägbildern einer-seits und der Kombination aus Grund-, Auf- und Seitenriss andererseitszu wechseln, um ihr räumliches Vorstellungsvermögen zu entwickeln.Hierbei sollen auch die Grenzen der zeichnerischen Darstellung be-trachtet werden.

Mithilfe einer DGS werden unterschiedliche Möglichkeiten ein Schrägbildzu zeichnen untersucht und hinsichtlich ihrer Wirkung beurteilt. Hier wirdbesonders auf die dem LS beiliegende CD verwiesen, die einen digitalenLernzirkel zu Punkten und Vektoren im Raum mit Vectoris 3D enthält.

Thema: Vektoren bringen Bewegung in den Raum (E-G2)


deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und kennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren

stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vek-toren dar

berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mit Hilfe des Satzes von Pythagoras

addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und unter-suchen Vektoren auf Kollinearität

weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mit-hilfe von Vektoren nach

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):ProblemlösenDie Schülerinnen und Schüler entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung

ein (Lösen) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Pro-


Durch Operieren mit Verschiebungspfeilen werden einfache geometrischeProblemstellungen gelöst: Beschreibung von Diagonalen (insbesonderezur Charakterisierung von Viereckstypen), Auffinden von Mittelpunkten(ggf. auch Schwerpunkten), Untersuchung auf Parallelität.

Q-Phase Grundkurs Funktionen und Analysis (A)

Thema: Die Bedeutung der zweiten Ableitung und Optimierungsprobleme (Q-GK-A1)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler interpretieren den Verlauf der ersten Ableitung in Bezug auf Extrema beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion

mit Hilfe der 2. Ableitung verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien so-

wie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten

führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese

verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien […] zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten

Prozessbezogene Kompetenzen:

ModellierenDie Schülerinnen und Schüler treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer rea-

len Situation vor.(Strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische


Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validie-

ren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Mo-

delle für die Fragestellung (Validieren)

ProblemlösenDie Schülerinnen und Schüler

Leitfrage: „Woher kommen die Funktionsgleichungen?“Zur Festigung und Sicherung der Grundvorstellung sollte mit einer kurzenWiederholungseinheit zum Ableitungsbegriff und den aus der EF bekann-ten Regeln eingestiegen werden. Dabei wird der Zusammenhang zwi-schen erster Ableitung und Verlauf des Funktionsgraphen noch einmalklar herausgestellt und Bedingungen für Extrema formuliert.

Die Beschreibung von Links- und Rechtskurven über die Zu- und Ab-nahme der Steigung führt zu einer geometrischen Deutung der zweitenAbleitung einer Funktion als „Krümmung“ des Graphen und zur Be-trachtung von Wendepunkten.

Die simultane Betrachtung beider Ableitungen führt zur Entdeckung einesweiteren hinreichenden Kriteriums für Extrempunkte. Anhand einer Funkti-on mit Sattelpunkt wird die Grenze dieses hinreichenden Kriteriums ent-deckt. Vor- und Nachteile der beiden hinreichenden Kriterien werden ab-schließend von den Lernenden kritisch bewertet.

Das Aufstellen der Funktionsgleichungen fördert Problemlösestrategien.Es wird deshalb empfohlen, den Lernenden hinreichend Zeit zu geben,u. a. mit Methoden des kooperativen Lernens selbstständig zu Zielfunktio-nen zu kommen. An Problemen, die auf quadratische Zielfunktionen führen, sollten auchunterschiedliche Lösungswege aufgezeigt und verglichen werden. Hierbietet es sich außerdem an, Lösungsverfahren auch ohne digitale Hilfsmit-tel einzuüben.

An mindestens einem Problem entdecken die Schülerinnen und Schülerdie Notwendigkeit, Randextrema zu betrachten (z.B. verschiedene Varian-ten des „Hühnerhofs“).

finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation (Er-kunden)

wählen heuristische Hilfsmittel (z.B. Skizze, informative Figur, Tabelle …) aus, um die Situation zu erfassen (Erkunden)

nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches Probieren, Darstellungswechsel, Zurückführen auf Bekanntes, Zerle-gen in Teilprobleme, Verallgemeinern …) (Lösen)

setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen)

berücksichtigen einschränkende Bedingungen (Lösen) führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen) vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und

Gemeinsamkeiten (Reflektieren)

Werkzeuge nutzenDie Schülerinnen und Schüler nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkun-

den […], Berechnen und Darstellen

Ein Verpackungsproblem (Dose oder Milchtüte) wird unter dem Aspekt derModellvalidierung/Modellkritik untersucht.Außerdem sollte ein Beispiel zur Gewinnoptimierung behandelt werden.Auch hier bietet es sich an, Grenzen der Modellierung kritisch zu diskutie-ren. Abschließend kann ein komplexes Problem behandeln werden, das dieSchülerinnen und Schüler nur durch systematisches Probieren oder an-hand des Funktionsgraphen lösen können (GTR als Werkzeug).

Stellen extremaler Steigung eines Funktionsgraphen werden im Rahmengeeigneter Kontexte (z. B. Neuverschuldung und Schulden oder Besu-cherströme in einen Freizeitpark/zu einer Messe und erforderlicher Perso-naleinsatz) thematisiert und dabei wird die Bedeutung der zweiten Ablei-tung als Zu- und Abnahmerate der Änderungsrate der Funktion wiederho-lend vertieft. Das Aufstellen von Tangentengleichungen bzw. Wendetan-genten wird ergänzend behandelt.

Thema: Funktionen beschreiben Formen - Modellieren von Sachsituationen mit ganzrationalen Funktionen (Q-GK-A2)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die

sich aus dem Kontext ergeben („Steckbriefaufgaben“) beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare

Gleichungssysteme wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Glei-

chungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind

untersuchen ganzrationale Funktionenscharen.

Prozessbezogene Kompetenzen:ModellierenDie Schülerinnen und Schüler erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit

Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer rea-





delle für die Fragestellung (Validieren) verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Vali-

dieren)

Leitfrage: „Woher kommen die Funktionsgleichungen?“

Anknüpfend an die Einführungsphase (vgl. Thema E-A1) werden an ei-nem Beispiel in einem geeigneten Kontext (z.B. Fotos von Brücken, Flug-bahnen) die Parameter der Scheitelpunktform einer quadratischen Funkti-on angepasst. Anschließend werden aus gegebenen Punkten Gleichungs-systeme für die Parameter der Normalform aufgestellt.

Designobjekte oder architektonische Formen können zum Anlass genom-men werden, die Funktionsklassen zur Modellierung auf ganzrationaleFunktionen 3. oder 4. Grades zu erweitern und über gegebene Punkte,Symmetrieüberlegungen und Bedingungen an die Ableitung Gleichungenzur Bestimmung der Parameter aufzustellen. Hier bietet es sich an, nacheiner gemeinsamen Einführung weiterführende Beispiele mithilfe offenerUnterrichtsformen (z.B. Lerntheke, Gruppenpuzzle ) zu behandeln.

In diesem Zusammenhang erhalten die Schülerinnen und Schüler Gele-genheit, über Grundannahmen der Modellierung (Grad der Funktion, Sym-metrie, Lage im Koordinatensystem, Ausschnitt) selbst zu entscheiden,deren Angemessenheit zu reflektieren und ggf. Veränderungen vorzuneh-men.

reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annah-men (Validieren)

reflektieren den Einfluss von Parametern auf die Eigenschaften ganz-rationaler Funktionenscharen (Validieren)


… Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen… zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen

nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkun-den […], Berechnen und Darstellen

Das algebraische Lösen der Gleichungssysteme soll nicht den zentralenSchwerpunkt der Modellierung überlagern. Daher wird der GTR als Werk-zeug zum Lösen von Gleichungssystemen und zur graphischen Darstel-lung der erhaltenen Funktionen im Zusammenhang mit der Validierungverwendet. Ebenso wird das Gaußverfahren thematisiert, um einige gutüberschaubare Systeme mit drei Unbekannten auch ohne digitale Werk-zeuge lösen zu können.

Vertiefend werden zentrale Eigenschaften ganzrationaler Funktionen anFunktionenscharen untersucht und der Einfluss von Parametern kritischreflektiert.

Thema: Von der Änderungsrate zum Bestand (Q-GK-A3)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Ge-

samtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächen-

inhaltsfunktion

Prozessbezogene Kompetenzen:KommunizierenDie Schülerinnen und Schüler erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus […]

mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen (Rezipieren)

formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungs-wege (Produzieren)

wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus (Produzieren) wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Pro-

duzieren) dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar (Produzieren) erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren)

Das Thema ist komplementär zur Einführung der Änderungsraten. Des-halb sollten hier Kontexte, die schon dort genutzt wurden, wieder aufge-griffen werden (Geschwindigkeit – Weg, Zuflussrate von Wasser –Wassermenge).

Der Einstieg kann über ein Stationenlernen oder eine arbeitsteilige Grup-penarbeit erfolgen, in der sich die Schülerinnen und Schüler selbstständigeine Breite an Kontexten, in denen von einer Änderungsrate auf den Be-stand geschlossen wird, erarbeitet (Vorschlag Buch, S. 50). Dabei entwickeln und vergleichen die Schülerinnen und Schüler eigen-ständig erste Strategien zur genauen bzw. näherungsweisen Berechnungdes Bestandes. Die entstehenden Produktsummen werden als Bilanzüber orientierte Flächeninhalte interpretiert. Anschließend erfolgt die Optimierung der Näherungen mithilfe derSchachtelung durch Ober- und Untersummen.So können die Schülerinnen und Schüler aus eine vorgegebenen Rand-funktionsgraphen Eigenschaften der zugehörigen Flächenbilanzfunktionablesen und deren Graphen grob skizzieren.Falls die Lernenden entdecken, welche Auswirkungen dieser Umkehrpro-zess auf die Funktionsgleichung der „Bilanzfunktion“ hat, kann dies zurÜberleitung in das folgende Unterrichtsvorhaben genutzt werden.

Die Ergebnisse der Gruppenarbeit können auf Plakaten festgehalten undin einem Museumsgang präsentiert werden. Schülervorträge über be-stimmte Kontexte sind hier wünschenswert.

Thema: Von der Randfunktion zur Integralfunktion (Q-GK-A4)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von

der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeu-tischen Grenzwertbegriffs

erläutern geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Än-derungsrate und Integralfunktion (Hauptsatz der Differential- und Inte-gralrechnung)

nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und

numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der

Änderungsrate bestimmen Flächeninhalte mit Hilfe von bestimmten Integralen

Prozessbezogene Kompetenzen:ArgumentierenDie Schülerinnen und Schüler stellen Vermutungen auf (Vermuten) unterstützen Vermutungen beispielgebunden (Vermuten) präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück-

sichtigung der logischen Struktur (Vermuten) stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen)

Werkzeuge nutzen Die Schülerinnen und Schüler nutzen […] digitale Werkzeuge [Erg. Fachkonferenz: Tabellenkalkulati-

Schülerinnen und Schüler sollen hier entdecken, dass die Bestandsfunkti-on eine Stammfunktion der Änderungsrate ist. Dazu kann das im vorher-gehenden Unterrichtsvorhaben (vgl. Thema Q-GK-A3) entwickelte numeri-sche Näherungsverfahren auf den Fall angewendet werden, dass für dieÄnderungsrate ein Funktionsterm gegeben ist. Die Graphen der Änderungsrate und der Bestandsfunktion können dieSchülerinnen und Schüler mit Hilfe einer Tabellenkalkulation und einesFunktionenplotters gewinnen, vergleichen und Beziehungen zwischendiesen herstellen. Fragen, wie die Genauigkeit der Näherung erhöht werden kann, gebenAnlass zu anschaulichen Grenzwertüberlegungen.Da der Rekonstruktionsprozess auch bei einer abstrakt gegebenen Rand-funktion möglich ist, wird für Bestandsfunktionen der Fachbegriff Integral-funktion eingeführt und der Zusammenhang zwischen Rand- und Integral-funktion im Hauptsatz formuliert (ggf. auch im Lehrervortrag).

Die Regeln zur Bildung von Stammfunktionen werden von den Schülerin-nen und Schülern durch Rückwärtsanwenden der bekannten Ableitungs-regeln selbstständig erarbeitet. (z.B. durch ein sog. Funktionendomino)

In den Anwendungen steht mit dem Hauptsatz neben dem numerischenVerfahren ein alternativer Lösungsweg zur Berechnung von Gesamtbe-ständen zur Verfügung.

Davon abgegrenzt wird die Berechnung von Flächeninhalten, bei der auchIntervalladditivität und Linearität (bei der Berechnung von Flächen zwi-schen Kurven) thematisiert werden. Bei der Berechnung der Flächeninhal-te zwischen Graphen werden die Schnittstellen in der Regel numerischmit dem GTR bestimmt.

Komplexere Übungsaufgaben sollten am Ende des Unterrichtsvorhabensbearbeitet werden, um Vernetzungen mit den Kompetenzen der bisheri-

on und Funktionenplotter] zum Erkunden und Recherchieren, Berech-nen und Darstellen

Verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum… Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse… Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrals

gen Unterrichtsvorhaben (Funktionsuntersuchungen, Aufstellen von Funk-tionen aus Bedingungen) herzustellen.

Als weitere Anwendung des Integrals kann die Berechnung von Mittelwer-ten von Funktionen thematisiert werden. Im Rahmen individueller Förde-rung kann dies z.B. über einen Schülervortrag geschehen.

Thema: Natürlich: Exponentialfunktionen (Q-GK-A5)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und die be-

sondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion untersuchen Wachstums- und Zerfallsvorgänge mithilfe funktionaler

Ansätze interpretieren Parameter von Funktionen im Anwendungszusammen-

hang bilden die Ableitungen weiterer Funktionen:

- natürliche Exponentialfunktion

Prozessbezogene Kompetenzen:ProblemlösenDie Schülerinnen und Schüler erkennen und formulieren einfache und komplexe mathematische Pro-

bleme (Erkunden) entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches

Probieren, Darstellungswechsel, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme) (Lösen)

führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen) variieren Fragestellungen auf dem Hintergrund einer Lösung (Reflek-

tieren).

Werkzeuge nutzen Die Schülerinnen und Schüler Verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum

… zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen

Zu Beginn des Unterrichtsvorhabens sollte eine Auffrischung der bereitsin der Einführungsphase erworbenen Kompetenzen durch eine arbeitstei-lige Untersuchung verschiedener Kontexte z. B. in Gruppenarbeit mit Prä-sentation stehen (Wachstum und Zerfall).Im Anschluss werden die Eigenschaften einer allgemeinen Exponential-funktion zusammengestellt. Der GTR unterstützt dabei die Klärung derBedeutung der verschiedenen Parameter und die Veränderungen durchTransformationen.

Die Frage nach der Ableitung an einer Stelle führt zu einer vertiefendenBetrachtung des Funktionstypen. Der systematische Vergleich von Expo-nentialfunktionen mit verschiedenen Basen a und ihrer Ableitungsfunktio-nen mithilfe des GTR führt zu der Erkenntnis, dass sich Funktion und Ab-leitungsfunktion nur um einen konstanten Faktor unterscheiden. Dabei er-gibt sich quasi automatisch die Frage, für welche Basis Funktion und Ab-leitungsfunktion übereinstimmen.

Dies führt zur Definition der Eulerschen Zahl und der natürlichen Expo-nentialfunktion.

… grafischen Messen von Steigungen entscheiden situationsangemessen über den Einsatz mathematischer

Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge und wählen diese gezielt aus nutzen […] digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Be-

rechnen und Darstellen

Thema: Modellieren (nicht nur) mit Exponentialfunktionen (Q-GK-A6)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Wachstums- und Zerfallsvorgänge mithilfe funktionaler

Ansätze interpretieren Parameter von Funktionen im Kontext bilden die Ableitungen weiterer Funktionen:

- Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten bilden in einfachen Fällen zusammengesetzte Funktionen (Summe,

Produkt, Verkettung) wenden die Kettenregel auf Verknüpfungen der natürlichen Exponenti-

alfunktion mit linearen Funktionen an wenden die Produktregel auf Verknüpfungen von ganzrationalen Funk-

tionen und Exponentialfunktionen an bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und

numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der

Änderungsrate


Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische


Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine

Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) ordnen einem mathematischen Modell verschiedene passende Sach-

situationen zu (Mathematisieren)

Im Zusammenhang mit der Modellierung von Wachstumsprozessen durchnatürliche Exponentialfunktionen mit linearen Exponenten wird die Ketten-regel eingeführt, um auch (hilfsmittelfrei) Ableitungen für die entsprechen-den Funktionsterme bilden zu können. Als Beispiel für eine Summenfunk-tion wird eine Kettenlinie modelliert. An mindestens einem Beispiel sollteauch ein beschränktes Wachstum untersucht werden.

An Beispielen von Prozessen, bei denen das Wachstum erst zu- und dannwieder abnimmt (Medikamente, Fieber, Pflanzen), wird eine Modellierungdurch Produkte von ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionenerarbeitet. In diesem Zusammenhang wird die Produktregel zum Ableiteneingeführt.

In diesen Kontexten ergeben sich ebenfalls Fragen, die erfordern, dassaus der Wachstumsgeschwindigkeit auf den Gesamteffekt geschlossenwird.

Parameter werden nur in konkreten Kontexten und nur exemplarisch vari-iert (keine systematische Untersuchung von Funktionenscharen). Dabeiwerden z. B. zahlenmäßige Änderungen des Funktionsterms bezüglich ih-rer Auswirkung untersucht und im Hinblick auf den Kontext interpretiert.

beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validie-ren)

beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Mo-delle für die Fragestellung (Validieren)

verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Vali-dieren)


Q-Phase Grundkurs Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)

Thema: Beschreibung von Bewegungen und Schattenwurf mit Geraden (Q-GK-G1)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler stellen Geraden und Strecken in Parameterform dar interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext





Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Mo-


dieren)

Werkzeuge nutzenDie Schülerinnen und Schüler nutzen Geodreiecke […] geometrische Modelle und Dynamische-Geo-

metrie-Software

Lineare Bewegungen werden z. B. im Kontext von Flugbahnen (Kondens-streifen) durch Startpunkt, Zeitparameter und Geschwindigkeitsvektor be-schrieben und dynamisch mit DGS dargestellt. Dabei sollten Modellie-rungsfragen (reale Geschwindigkeiten, Größe der Flugobjekte, Flugebe-nen) einbezogen werden.

Eine Vertiefung kann darin bestehen, den Betrag der Geschwindigkeit zuvariieren. In jedem Fall soll der Unterschied zwischen einer Geraden alsPunktmenge (z. B. die Flugbahn) und einer Parametrisierung dieserPunktmenge als Funktion (von der Parametermenge in den Raum) her-ausgearbeitet werden.

Ergänzend zum dynamischen Zugang wird die rein geometrische Frageaufgeworfen, wie eine Gerade durch zwei Punkte zu beschreiben ist. Hier-bei wird herausgearbeitet, dass zwischen unterschiedlichen Parametrisie-rungen einer Geraden gewechselt werden kann. Punktproben sowie dieBerechnung von Schnittpunkten mit den Grundebenen sollen auch hilfs-mittelfrei durchgeführt werden. Die Darstellung in räumlichen Koordinaten-systemen sollte hinreichend geübt werden.

Auf dieser Grundlage können z. B. Schattenwürfe von Gebäuden in Paral-lel- und Zentralprojektion auf eine der Grundebenen berechnet und zeich-nerisch dargestellt werden. Der Einsatz der DGS bietet hier die zusätzli -che Möglichkeit, dass der Ort der Strahlenquelle variiert werden kann. In-haltlich schließt die Behandlung von Schrägbildern an das Thema E-G1an.

verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum… grafischen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und Geraden… Darstellen von Objekten im Raum

Thema: Lineare Algebra als Schlüssel zur Lösung von geometrischen Problemen (Q-GK-G2)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler stellen Ebenen in Parameterform dar untersuchen Lagebeziehungen […] zwischen Geraden und Ebenen berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von

Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare

Gleichungssysteme interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen

Prozessbezogene Kompetenzen:ProblemlösenDie Schülerinnen und Schüler wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle,

experimentelle Verfahren) aus, um die Situation zu erfassen (Erkun-den)

entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) wählen Werkzeuge aus, die den Lösungsweg unterstützen (Lösen) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. [...] Darstellungs-

wechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invariantenfinden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallun-terscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, […]) (Lösen)

führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen) vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und

Gemeinsamkeiten (Reflektieren) beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und

Effizienz (Reflektieren) analysieren und reflektieren Ursachen von Fehlern (Reflektieren)

Werkzeuge nutzen

Ausgehend von der Erkenntnis, dass drei Punkte, die nicht auf einer Ge-raden liegen, eine Ebene eindeutig festlegen, wird die Parameterdarstel-lung einer Ebenen im Raum entwickelt.

Im weiteren Unterrichtsvorhaben werden Problemlösekompetenzen er-worben, indem sich heuristische Strategien bewusst gemacht werden(eine planerische Skizze anfertigen, die gegebenen geometrischen Ob-jekte abstrakt beschreiben, geometrische Hilfsobjekte einführen, bekann-te Verfahren zielgerichtet einsetzen und in komplexeren Abläufen kombi-nieren und unterschiedliche Lösungswege kriteriengestützt vergleichen).

Punktproben sowie die Berechnung von Spurgeraden in den Grundebe-nen und von Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen führen zunächstnoch zu einfachen Gleichungssystemen. Die Achsenabschnitte erlaubeneine Darstellung in einem räumlichen Koordinatensystem.

Die Untersuchung von Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen imRaum (z.B. anhand von Schattenwürfen eines Mastes auf eine Dachflä-che) motiviert eine Fortführung der systematischen Auseinandersetzung(Q-GK-A2) mit linearen Gleichungssystemen, mit der Matrix-Vektor-Schreibweise und mit dem Gauß-Verfahren.

Die Lösungsmengen werden mit dem GTR bestimmt, zentrale Werkzeug-kompetenz in diesem Unterrichtsvorhaben ist die Interpretation des ange-zeigten Lösungsvektors bzw. der reduzierten Matrix. Die Vernetzung dergeometrischen Vorstellung (Lagebeziehung) und der algebraischen For-malisierung sollte stets deutlich werden.


… Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen

Thema: Eine Sache der Logik und der Begriffe: Untersuchung von Lagebeziehungen (Q-GK-G3)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden […]

Prozessbezogene Kompetenzen:ArgumentierenDie Schülerinnen und Schüler präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück-

sichtigung der logischen Struktur (Vermuten) stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Ober- / Unterbegriff)

(Begründen) nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumen-

te für Begründungen (Begründen) berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige / hinrei-

chende Bedingung, Folgerungen / Äquivalenz, Und- / Oder-Verknüp-fungen, Negation, All- und Existenzaussagen) (Begründen)

überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinertwerden können (Beurteilen)

KommunizierenDie Schülerinnen und Schüler erläutern mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzu-

sammenhängen (Rezipieren) verwenden die Fachsprache und fachspezifische Notation in ange-

messenem Umfang (Produzieren) wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Pro-

duzieren) erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren) vergleichen und beurteilen ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer

Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität (Diskutieren)

Die vorangegangene Unterrichtseinheit zu Lagebeziehungen von Gera-den und Ebenen motiviert die Untersuchung von Lagebeziehungen vonGeraden im Raum.

Zum Einstieg bietet sich eine anschauliche Untersuchung dieser Lagebe-ziehungen an (z.B. mit Vektoris (siehe Stationenlernen im Buch) oderdurch Visualisierung mit Seilen/Stöcken im Kursraum). Dabei sollte deutlich werden, dass bei zweidimensionalen Abbildungen (z.B. Fotografien) räumlicher Situationen in der Regel die Information überdie Lagebeziehung von Objekten verloren geht. Verfeinerte Darstellungs-weisen (z. B. unterbrochene Linien, schraffierte Flächen, gedrehtes Koor-dinatensystem) helfen, dies zu vermeiden und Lagebeziehungen syste-matisch zu untersuchen.

Der Fokus der Untersuchung von Lagebeziehungen liegt auf dem logi-schen Aspekt einer vollständigen Klassifizierung sowie einer präzisen Be-griffsbildung (z. B. Trennung der Begriffe „parallel“, „echt parallel“, „iden-tisch“). Flussdiagramme und Tabellen sind ein geeignetes Mittel, solcheAlgorithmen darzustellen. Es werden möglichst selbstständig solche Dar-stellungen entwickelt, die auf Lernplakaten dokumentiert, präsentiert, ver-glichen und hinsichtlich ihrer Brauchbarkeit beurteilt werden können. Indiesem Teil des Unterrichtsvorhabens sollen nicht nur logische Strukturenreflektiert, sondern auch Unterrichtsformen gewählt werden, bei denenKommunikationsprozesse im Team unter Verwendung der Fachspracheangeregt werden. Eine analoge Bearbeitung der in Q-GK-G2 erarbeitetenBeziehungen zwischen Geraden und Ebenen bietet sich an.

Als Kontext kann dazu die Modellierung von Flugbahnen (Kondensstrei-fen) aus Q-GK-G1 wieder aufgegriffen werden. Dabei wird evtl. die Fragedes Abstandes zwischen Flugobjekten relevant. Bei genügend zur Verfü-gung stehender Zeit oder binnendifferenziert könnte (über den Kernlehr-plan hinausgehend) das Abstandsminimum numerisch, grafisch oder al-gebraisch mit den Verfahren der Analysis ermittelt werden.

Begrifflich davon abgegrenzt wird der Abstand zwischen den Flugbahnen.Dies motiviert die Beschäftigung mit orthogonalen Hilfsgeraden (Q-GK-G4).

Thema: Räume vermessen – mit dem Skalarprodukt Polygone und Polyeder untersuchen (Q-GK-G4)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es untersuchen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und

Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung)


bleme (Erkunden) analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden) entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. […] Darstellungs-

wechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invariantenfinden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallun-terscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, […]) (Lösen)

wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Pro-blemlösung aus (Lösen)

beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz (Reflektieren)

Das Skalarprodukt wird zunächst als Indikator für Orthogonalität aus einerAnwendung des Satzes von Pythagoras entwickelt. Durch eine Zerlegungin parallele und orthogonale Komponenten wird der geometrische Aspektder Projektion betont. Dies wird zur Einführung des Winkels über den Ko-sinus genutzt (alternativ zu einer Herleitung aus dem Kosinussatz). Eine weitere Bedeutung des Skalarproduktes kann mit den gleichen Über-legungen am Beispiel der physikalischen Arbeit erschlossen werden.

Bei hinreichend zur Verfügung stehender Zeit kann in Anwendungskon-texten (z.B. Vorbeiflug eines Flugzeugs an einem Hindernis unter Einhal-tung eines Sicherheitsabstandes, vgl. Q-GK-G3) entdeckt werden, wie derAbstand eines Punktes von einer Geraden u. a. als Streckenlänge überdie Bestimmung eines Lotfußpunktes ermittelt werden kann. Bei dieserProblemstellung sollten unterschiedliche Lösungswege zugelassen undverglichen werden.

Tetraeder, Pyramiden, Würfel, Prismen und Oktaeder bieten vielfältige An-lässe für (im Sinne des Problemlösens offen angelegte) exemplarischegeometrische Untersuchungen und können auf reale Objekte (z. B. Ge-bäude) bezogen werden. Dabei kann z. B. der Nachweis von Dreiecks- bzw. Viereckstypen (an-knüpfend an das Thema E-G2) wieder aufgenommen werden. Wo möglich, werden auch elementargeometrische Lösungswege als Alter-native aufgezeigt.

Q-Phase Grundkurs Stochastik (S)

Thema: Von stochastischen Modellen, Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihren Kenngrößen (Q-GK-S1)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben erläutern den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen bestimmen den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ von

Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen

Prozessbezogene Kompetenzen:ModellierenDie Schülerinnen und Schüler treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer rea-

len Situation vor (Strukturieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine


ren)

Anhand verschiedener Glücksspiele wird zunächst der Begriff der Zufalls-größe und der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung (als Zuordnungvon Wahrscheinlichkeiten zu den möglichen Werten, die die Zufallsgrößeannimmt) zur Beschreibung von Zufallsexperimenten eingeführt.

Analog zur Betrachtung des Mittelwertes bei empirischen Häufigkeitsver-teilungen wird der Erwartungswert einer Zufallsgröße definiert. Das Grundverständnis von Streumaßen wird durch Rückgriff auf die Er-fahrungen der Schülerinnen und Schüler mit Boxplots in der Sekundarstu-fe I reaktiviert.

Über eingängige Beispiele von Verteilungen mit gleichem Mittelwert aberunterschiedlicher Streuung wird die Definition der Standardabweichungals mittlere quadratische Abweichung im Zusammenhang mit Wahrschein-lichkeitsverteilungen motiviert; anhand gezielter Veränderungen der Ver-teilung werden die Auswirkungen auf deren Kenngrößen untersucht undinterpretiert.

Anschließend werden diese Größen zum Vergleich von Wahrscheinlich-keitsverteilungen und zu einfachen Risikoabschätzungen genutzt.

Thema: Treffer oder nicht? – Bernoulli-Experimente und Binomialverteilungen (Q-GK-S2)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler verwenden Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufalls-

experimente erklären die Binomialverteilung im Kontext und berechnen damit Wahr-

scheinlichkeiten beschreiben den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilun-

gen und ihre graphische Darstellung bestimmen den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ von

Zufallsgrößen […]




ren)

Werkzeuge nutzenDie Schülerinnen und Schüler nutzen grafikfähige Taschenrechner und Tabellenkalkulationen […] verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum

… Generieren von Zufallszahlen… Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufalls- größen … Erstellen der Histogramme von Binomialverteilungen… Variieren der Parameter von Binomialverteilungen… Berechnen der Kennzahlen von Binomialverteilungen (Erwartungs- wert, Standardabweichung)

Der Schwerpunkt bei der Betrachtung von Binomialverteilungen soll aufder Modellierung stochastischer Situationen liegen. Dabei werden zu-nächst Bernoulliketten in realen Kontexten oder in Spielsituationen be-trachtet.

Durch Vergleich mit dem „Ziehen ohne Zurücklegen“ wird geklärt, dass dieAnwendung des Modells ‚Bernoullikette’ eine bestimmte Realsituation vor-aussetzt, d.h. dass die Treffer von Stufe zu Stufe unabhängig voneinandermit konstanter Wahrscheinlichkeit erfolgen.

Zur formalen Herleitung der Binomialverteilung bieten sich das Galtonbrettbzw. seine Simulation und die Betrachtung von Multiple-Choice-Tests an.

Eine Visualisierung der Verteilung sowie des Einflusses von Stichproben-umfang n und Trefferwahrscheinlichkeit p erfolgt dabei durch die graphi-sche Darstellung der Verteilung als Histogramm unter Nutzung des GTR.

Während sich die Berechnung des Erwartungswertes erschließt, kann dieFormel für die Standardabweichung für ein zweistufiges Bernoulliexperi-ment plausibel gemacht werden. Auf eine allgemeingültige Herleitung wirdverzichtet.

Durch Erkunden wird festgestellt, dass unabhängig von n und p ca. 68%der Ergebnisse in der 1σ -Umgebung des Erwartungswertes liegen.

Hinweis: Der Einsatz des GTR zur Berechnung singulärer sowie kumulier-ter Wahrscheinlichkeiten ermöglicht den Verzicht auf stochastische Tabel-len und eröffnet aus der numerischen Perspektive den Einsatz von Aufga-ben in realitätsnahen Kontexten.

Thema: Modellieren mit Binomialverteilungen (Q-GK-S3)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von

Problemstellungen schließen anhand einer vorgegebenen Entscheidungsregel aus einem

Stichprobenergebnis auf die Grundgesamtheit




ren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter […] Modelle für die Frage-

stellung (Validieren) reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annah-

men (Validieren)

ArgumentierenDie Schülerinnen und Schüler stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen) nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumen-

te für Begründungen (Begründen) verknüpfen Argumente zu Argumentationsketten (Begründen)

In verschiedenen Sachkontexten wird zunächst die Möglichkeit einer Mo-dellierung der Realsituation mithilfe der Binomialverteilung überprüft. DieGrenzen des Modellierungsprozesses werden aufgezeigt und begründet.In diesem Zusammenhang werden geklärt:- die Beschreibung des Sachkontextes durch ein Zufallsexperiment- die Interpretation des Zufallsexperiments als Bernoullikette- die Definition der zu betrachtenden Zufallsgröße- die Unabhängigkeit der Ergebnisse- die Benennung von Stichprobenumfang n und Trefferwahrscheinlich-

keit p

Dies erfolgt in unterschiedlichsten Realkontexten, deren Bearbeitung aufvielfältigen Zeitungsartikeln basieren kann. Auch Beispiele der Modellum-kehrung werden betrachtet („Von der Verteilung zur Realsituation“).

Prüfverfahren mit vorgegebenen Entscheidungsregeln bieten einen be-sonderen Anlass, um von einer (ein- oder mehrstufigen) Stichprobenent-nahme aus einer Lieferung auf nicht bekannte Parameter in der Grundge-samtheit zu schließen. Wenn genügend Unterrichtszeit zur Verfügung steht, können im Rahmender beurteilenden Statistik vertiefend (und über den Kernlehrplan hinaus-gehend) Produzenten- und Abnehmerrisiken bestimmt werden.

Hinweis: Eine Stichprobenentnahme kann auch auf dem GTR simuliertwerden.

Thema: Von Übergängen und Prozessen (G-GK-S4)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler beschreiben stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren

und stochastischen Übergangsmatrizen verwenden die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischer

Prozesse (Vorhersage nachfolgender Zustände, numerisches Bestim-men sich stabilisierender Zustände)





ren)

ArgumentierenDie Schülerinnen und Schüler präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück-


te für Begründungen (Begründen) stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen) überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert


Hinweis: Die Behandlung stochastischer Prozesse sollte genutzt werden, umzentrale Begriffe aus Stochastik (Wahrscheinlichkeit, relative Häufigkeit)und Analysis (Grenzwert) mit Begriffen und Methoden der Linearen Alge-bra (Vektor, Matrix, lineare Gleichungssysteme) zu vernetzen. Schülerin-nen und Schüler modellieren dabei in der Realität komplexe Prozesse,deren langfristige zeitliche Entwicklung untersucht und als Grundlage fürEntscheidungen und Maßnahmen genutzt werden kann.

Der Auftrag an Schülerinnen und Schüler, einen stochastischen Prozessgraphisch darzustellen, führt in der Regel zur Erstellung eines Baumdia-gramms, dessen erste Stufe den Ausgangszustand beschreibt. Im Zu-sammenhang mit der Interpretation der Pfadregeln als Gleichungssystemkönnen sie daraus die Matrix-Vektor-Darstellung des Prozesses entwi-ckeln.

Untersuchungen in unterschiedlichen realen Kontexten führen zur Ent-wicklung von Begriffen zur Beschreibung von Eigenschaften stochas-tischer Prozesse (Potenzen der Übergangsmatrix, Grenzmatrix, stabileVerteilung). Hier bietet sich eine Vernetzung mit der Linearen Algebra hin-sichtlich der Betrachtung linearer Gleichungssysteme und ihrer Lösungs-mengen an.

Q-Phase Leistungskurs Funktionen und Analysis (A)

Thema: Optimierungsprobleme (Q-LK-A1)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen

auf Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien […]

zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten bilden die Ableitungen weiterer Funktionen Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten führen Eigenschaften von zusammengesetzten Funktionen (Summe,

Produkt, Verkettung) argumentativ auf deren Bestandteile zurück wenden die Produkt- und Kettenregel zum Ableiten von Funktionen an








dieren)


Das Aufstellen der Funktionsgleichungen fördert Problemlösestrategien.Die Lernenden sollten deshalb hinreichend Zeit bekommen, mit Methodendes kooperativen Lernens selbstständig zu Zielfunktionen zu kommen unddabei unterschiedliche Lösungswege zu entwickeln.

An mindestens einem Problem entdecken die Schülerinnen und Schülerdie Notwendigkeit, Randextrema zu betrachten (z. B. „Glasscheibe“ oderverschiedene Varianten des „Hühnerhofs“).

Ein Verpackungsproblem (Dose oder Milchtüte) wird unter dem Aspekt derModellvalidierung/Modellkritik und Modellvariation untersucht.

Stellen extremaler Steigung eines Funktionsgraphen werden im Rahmengeeigneter Kontexte (z. B. Neuverschuldung und Schulden oder Besu-cherströme in einen Freizeitpark/zu einer Messe und erforderlicher Perso-naleinsatz) thematisiert und dabei der zweiten Ableitung eine anschauli-che Bedeutung als Zu- und Abnahmerate der Änderungsrate der Funktionverliehen. Die Bestimmung der extremalen Steigung erfolgt zunächst überdas Vorzeichenwechselkriterium (an den Nullstellen der zweiten Ablei-tung).

Im Zusammenhang mit geometrischen und ökonomischen Kontexten ent-wickeln die Schülerinnen und Schüler die Ableitungen von Wurzelfunktio-nen sowie die Produkt- und Kettenregel und wenden sie an.


ProblemlösenDie Schülerinnen und Schüler finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation (Er-

kunden) wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle

…) aus, um die Situation zu erfassen (Erkunden) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches

Probieren, Darstellungswechsel, Zurückführen auf Bekanntes, Zerle-gen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Verallgemeinern …) (Lö-sen)

setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen)

berücksichtigen einschränkende Bedingungen (Lösen) vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und


Thema: Funktionen beschreiben Formen - Modellieren von Sachsituationen mit Funktionen (Q-LK-A2)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler interpretieren Parameter von Funktionen im Kontext und untersuchen

ihren Einfluss auf Eigenschaften von Funktionenscharen bestimmen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die

sich aus dem Kontext ergeben („Steckbriefaufgaben“) beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion

mit Hilfe der 2. Ableitung verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien so-

wie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten

beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Glei-chungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind








Anknüpfend an die Einführungsphase (vgl. Thema E-A1) werden in unter-schiedlichen Kontexten (z. B. Fotos von Brücken, Gebäuden, Flugbahnen)die Parameter der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ange-passt.

Die Beschreibung von Links- und Rechtskurven über die Zu- und Ab-nahme der Steigung führt zu einer geometrischen Deutung der zweitenAbleitung einer Funktion als „Krümmung“ des Graphen und zur Be-trachtung von Wendepunkten. Als Kontext hierzu können z. B. Trassie-rungsprobleme gewählt werden.

Die simultane Betrachtung beider Ableitungen führt zur Entdeckung einesweiteren hinreichenden Kriteriums für Extrempunkte. Anhand einer Funkti-on mit Sattelpunkt wird die Grenze dieses hinreichenden Kriteriums ent-deckt. Vor- und Nachteile der beiden hinreichenden Kriterien werden ab-schließend von den Lernenden kritisch bewertet.

Im Zusammenhang mit unterschiedlichen Kontexten werden aus gegebe-nen Eigenschaften (Punkten, Symmetrieüberlegungen, Bedingungen andie 1. und 2. Ableitung) Gleichungssysteme für die Parameter ganzratio-naler Funktionen entwickelt. Schülerinnen und Schüler erhalten Gelegenheit, über Grundannahmender Modellierung (Grad der Funktion, Symmetrie, Lage im Koordinaten-system, Ausschnitt) selbst zu entscheiden, deren Angemessenheit zu re-flektieren und ggf. Veränderungen vorzunehmen.Damit nicht bereits zu Beginn algebraische Schwierigkeiten den zentralenAspekt der Modellierung überlagern, wird empfohlen, den GTR zunächstals Blackbox zum Lösen von Gleichungssystemen und zur graphischenDarstellung der erhaltenen Funktionen im Zusammenhang mit der Validie-rung zu verwenden und erst im Anschluss die Blackbox „Gleichungslöser“


dieren) reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annah-

men (Validieren)


… Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen… zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen

nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkun-den […], Berechnen und Darstellen

zu öffnen, das Gaußverfahren zu thematisieren und für einige gut über-schaubare Systeme mit drei Unbekannten auch ohne digitale Werkzeugedurchzuführen.

Über freie Parameter (aus unterbestimmten Gleichungssystemen) werdenLösungsscharen erzeugt und deren Elemente hinsichtlich ihrer Eignungfür das Modellierungsproblem untersucht und beurteilt. An innermathema-tischen „Steckbriefen“ werden Fragen der Eindeutigkeit der Modellierungund der Einfluss von Parametern auf den Funktionsgraphen untersucht.

Zur Förderung besonders leistungsstarker Schülerinnen und Schüler bie-tet es sich an, sie selbstständig über die Spline-Interpolation forschen undreferieren zu lassen.

Thema: Von der Änderungsrate zum Bestand (Q-LK-A3)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Ge-

samtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächen-

inhaltsfunktion

Prozessbezogene Kompetenzen:KommunizierenDie Schülerinnen und Schüler erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus […]

mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen (Rezipieren)


wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus (Produzieren) wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Pro-

duzieren) dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar (Produzieren) erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren)

Hinweis: Auch im Leistungskurs bilden eigene anschauliche Erfahrungenein gutes Fundament für den weiteren Begriffsaufbau. Deshalb hat sichdie Fachkonferenz für einen ähnlichen Einstieg in die Integralrechnung imLeistungskurs entschieden wie im Grundkurs. Er unterscheidet sich allen-falls durch etwas komplexere Aufgaben von der Einführung im Grundkurs.

Das Thema ist komplementär zur Einführung der Änderungsraten. Des-halb werden hier Kontexte, die schon dort genutzt werden, wieder aufge-griffen (Geschwindigkeit - Weg, Zuflussrate von Wasser – Wassermenge).Daneben wird die Konstruktion einer Größe (z. B. physikalische Arbeit) er-forderlich, bei der es sich nicht um die Rekonstruktion eines Bestandeshandelt.

Der Einstieg sollte über ein Stationenlernen oder eine arbeitsteilige Grup-penarbeit erfolgen, in der sich die Schülerinnen und Schüler selbstständigeine Breite an Kontexten, in denen von einer Änderungsrate auf den Be-stand geschlossen wird, erarbeiten. Außer der Schachtelung durch Ober-und Untersummen sollen die Schülerinnen und Schüler eigenständigweitere unterschiedliche Strategien zur möglichst genauen näherungswei-sen Berechnung des Bestands entwickeln und vergleichen. Die entste-henden Produktsummen werden als Bilanz über orientierte Flächeninhalteinterpretiert.Qualitativ können die Schülerinnen und Schüler so den Graphen einerFlächeninhaltsfunktion als „Bilanzgraphen“ zu einem vorgegebenen Rand-funktionsgraphen skizzieren.Falls die Lernenden entdecken, welche Auswirkungen dieser Umkehrpro-zess auf die Funktionsgleichung der „Bilanzfunktion“ hat, kann dies zurÜberleitung in das folgende Unterrichtsvorhaben genutzt werden.

Das Stationenlernen wird in einem Portfolio dokumentiert. Die Ergebnisseder Gruppenarbeit werden auf Plakaten festgehalten und in einem Muse-umsgang präsentiert. Schülervorträge über bestimmte Kontexte sind hierwünschenswert.

Thema: Von der Randfunktion zur Integralfunktion (Q-LK-A4)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von

der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeu-tischen Grenzwertbegriffs

erläutern den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integral-funktion

deuten die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktio-nen

nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen begründen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung unter

Verwendung eines anschaulichen Stetigkeitsbegriffs bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen bestimmen Integrale numerisch […] ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der

Änderungsrate oder der Randfunktion bestimmen Flächeninhalte und Volumina von Körpern, die durch die

Rotation um die Abszisse entstehen, mit Hilfe von bestimmten und un-eigentlichen Integralen

Prozessbezogene Kompetenzen:ArgumentierenDie Schülerinnen und Schüler stellen Vermutungen auf (Vermuten) unterstützen Vermutungen beispielgebunden (Vermuten) präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück-

sichtigung der logischen Struktur (Vermuten) stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen) verknüpfen Argumente zu Argumentationsketten (Begründen) erklären vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise

(Begründen)

Schülerinnen und Schüler sollen hier selbst entdecken, dass die Integral-funktion Ja eine Stammfunktion der Randfunktion ist. Dazu wird das imvorhergehenden Unterrichtsvorhaben entwickelte numerische Näherungs-verfahren zur Rekonstruktion einer Größe aus der Änderungsrate auf einekontextfrei durch einen Term gegebene Funktion angewendet und zurKonstruktion der Integralfunktion genutzt (Verallgemeinerung). Die Graphen der Randfunktion und der genäherten Integralfunktion kön-nen die Schülerinnen und Schüler mit Hilfe einer Tabellenkalkulation undeines Funktionenplotters gewinnen, vergleichen und Beziehungen zwi-schen diesen herstellen. Fragen, wie die Genauigkeit der Näherung er-höht werden kann, geben Anlass zu anschaulichen Grenzwertüberlegun-gen.

Um diesen Zusammenhang zu begründen, wird der absolute ZuwachsJa(x+h) – Ja(x) geometrisch durch Rechtecke nach oben und unten abge-schätzt. Der Übergang zur relativen Änderung mit anschließendem Grenz-übergang führt dazu, die Stetigkeit von Funktionen zu thematisieren, undmotiviert, die Voraussetzungen zu präzisieren und den Hauptsatz formalexakt zu notieren.

Hier bieten sich Möglichkeiten zur inneren Differenzierung:Formalisierung der Schreibweise bei der Summenbildung, exemplarischeEinschachtelung mit Ober- und Untersummen, formale Grenzwertbe-trachtung, Vergleich der Genauigkeit unterschiedlicher Abschätzungen.

In den Anwendungen steht mit dem Hauptsatz neben dem numerischenVerfahren ein alternativer Lösungsweg zur Berechnung von Produktsum-men zur Verfügung.

Davon abgegrenzt wird die Berechnung von Flächeninhalten, bei der auchIntervalladditivität und Linearität (bei der Berechnung von Flächen zwi-schen Kurven) thematisiert werden.


Werkzeuge nutzen Die Schülerinnen und Schüler nutzen […] digitale Werkzeuge [Erg. Fachkonferenz: Tabellenkalkulati-

on und Funktionenplotter] zum Erkunden und Recherchieren, Berech-nen und Darstellen

verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum …… Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse… Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrals

Bei der Berechnung der Volumina wird stark auf Analogien zur Flächenbe-rechnung verwiesen. (Gedanklich wird mit einem „Eierschneider“ der Ro-tationskörper in berechenbare Zylinder zerlegt, analog den Rechteckenoder Trapezen bei der Flächenberechnung. Auch die jeweiligen Summen-formeln weisen Entsprechungen auf.)

Mit der Mittelwertberechnung kann bei entsprechend zur Verfügung ste-hender Zeit (über den Kernlehrplan hinausgehend) noch eine weiterewichtige Grundvorstellung des Integrals erarbeitet werden. Hier bietensich Vernetzungen mit dem Inhaltsfeld Stochastik an.

Thema:Exponentialfunktionen und Logarithmus (Q-LK-A5)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und begrün-

den die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion nutzen die natürliche Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der na-

türlichen Exponentialfunktion bilden die Ableitungen weiterer Funktionen:

o natürliche Exponentialfunktiono Exponentialfunktionen mit beliebiger Basiso natürliche Logarithmusfunktion

nutzen die natürliche Logarithmusfunktion als Stammfunktion der Funktion: x 1/x .


bleme (Erkunden) entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches

Probieren, Darstellungswechsel, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme)(Lösen)

führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen) variieren Fragestellungen auf dem Hintergrund einer Lösung (Reflek-

tieren)

Werkzeuge nutzen Die Schülerinnen und Schüler verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum

… zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen… grafischen Messen von Steigungen

Zu Beginn des Unterrichtsvorhabens empfiehlt sich eine Auffrischung derbereits in der Einführungsphase erworbenen Kompetenzen durch eine ar-beitsteilige Untersuchung verschiedener Kontexte in Gruppenarbeit mitPräsentation (Wachstum und Zerfall).Im Anschluss werden die Eigenschaften einer allgemeinen Exponential-funktion zusammengestellt. Der GTR unterstützt dabei die Klärung derBedeutung der verschiedenen Parameter und die Veränderungen durchTransformationen. Die Eulersche Zahl kann z. B. über das Problem der stetigen Verzinsung.eingeführt werden. Der Grenzübergang wird dabei zunächst durch denGTR unterstützt. Da der Rechner dabei numerisch an seine Grenzenstößt, wird aber auch eine Auseinandersetzung mit dem Grenzwertbegriffmotiviert.Die Frage nach der Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion an ei-ner Stelle führt zu einer vertiefenden Betrachtung des Übergangs von derdurchschnittlichen zur momentanen Änderungsrate. In einem Tabellenkal-kulationsblatt wird für immer kleinere h das Verhalten des Differenzenquo-tienten beobachtet.

Umgekehrt wird zu einem gegebenen Ableitungswert die zugehörige Stel-le gesucht. Dazu kann man eine Wertetabelle des Differenzenquotienten aufstellen,die immer weiter verfeinert wird. Oder man experimentiert in der Grafikdes GTR, indem Tangenten an verschiedenen Stellen an die Funktiongelegt werden. Mit diesem Ansatz kann in einem DGS auch der Graphder Ableitungsfunktion als Ortskurve gewonnen werden.

Abschließend wird noch die Basis variiert. Dabei ergibt sich automatisch,dass für die Eulersche Zahl als Basis Funktion und Ableitungsfunktionübereinstimmen.

Umkehrprobleme im Zusammenhang mit der natürlichen Exponentialfunk-tion werden genutzt, um den natürlichen Logarithmus zu definieren und

entscheiden situationsangemessen über den Einsatz mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge und wählen diese gezielt aus

nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkun-den und Recherchieren, Berechnen und Darstellen

damit auch alle Exponentialfunktionen auf die Basis e zurückzuführen. MitHilfe der schon bekannten Kettenregel können dann auch allgemeine Ex-ponentialfunktionen abgeleitet werden.

Eine Vermutung zur Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion wirdgraphisch geometrisch mit einem DGS als Ortskurve gewonnen und an-schließend mit der Kettenregel bewiesen.

Thema: Modellieren (nicht nur) mit Exponentialfunktionen (Q-LK-A6)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler verwenden Exponentialfunktionen zur Beschreibung von Wachstums-

und Zerfallsvorgängen und vergleichen die Qualität der Modellierung exemplarisch mit einem begrenzten Wachstum

bestimmen Integrale […] mithilfe von gegebenen oder Nach-schlagewerken entnommenen Stammfunktionen

ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate oder der Randfunktion




Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) ordnen einem mathematischen Modell verschiedene passende Sach-

situationen zu (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validie-



dieren) reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annah-

men (Validieren)

Als Beispiel für eine Summenfunktion eignet sich die Modellierung einerKettenlinie. An mindestens einem Beispiel wird auch ein beschränktesWachstum untersucht.

An Beispielen von Prozessen, bei denen das Wachstum erst zu- und dannwieder abnimmt (Medikamente, Fieber, Pflanzen), wird eine Modellierungdurch Produkte von ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktioneneinschließlich deren Verhalten für betragsgroße Argumente erarbeitet.

Auch in diesen Kontexten ergeben sich Fragen, die erfordern, dass ausder Wachstumsgeschwindigkeit auf den Gesamteffekt geschlossen wird.

Weitere Kontexte bieten Anlass zu komplexen Modellierungen mit Funk-tionen anderer Funktionenklassen, insbesondere unter Berücksichtigungvon Parametern, für die Einschränkungen des Definitionsbereiches oderFallunterscheidungen vorgenommen werden müssen.

Vernetzungsmöglichkeiten mit der Stochastik sollten aufgegriffen werden(z. B. Gaußsche Glockenkurve – sofern zu diesem Zeitpunkt bereits be-handelt).

Q-Phase Leistungskurs Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)

Thema: Beschreibung von Bewegungen und Schattenwurf mit Geraden (Q-LK-G1)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler stellen Geraden in Parameterform dar interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext stellen geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform dar







dieren)

Werkzeuge nutzenDie Schülerinnen und Schüler nutzen Geodreiecke, geometrische Modelle und Dynamische-Geome-

trie-Software

Lineare Bewegungen werden z. B. im Kontext von Flugbahnen (Kondens-streifen) durch Startpunkt, Zeitparameter und Geschwindigkeitsvektor be-schrieben und dynamisch mit DGS dargestellt. Dabei sollten Modellie-rungsfragen (reale Geschwindigkeiten, Größe der Flugobjekte, Flugebe-nen) einbezogen werden. Eine Vertiefung kann darin bestehen, den Betrag der Geschwindigkeit mit-tels einer Funktion zu variieren, z. B. zur Beschreibung einer gleichmäßigbeschleunigten Bewegung.

In jedem Fall soll der Unterschied zwischen einer Geraden als Punktmen-ge (hier die Flugbahn) und einer Parametrisierung dieser Punktmenge alsFunktion (von der Parametermenge in den Raum) herausgearbeitet wer-den.

Ergänzend zum dynamischen Zugang wird die rein geometrische Frageaufgeworfen, wie eine Gerade durch zwei Punkte zu beschreiben ist. Hier-bei wird herausgearbeitet, dass zwischen unterschiedlichen Parametrisie-rungen einer Geraden gewechselt werden kann. Durch Einschränkungdes Definitionsbereichs werden Strahlen und Strecken einbezogen.Punktproben sowie die Berechnung von Schnittpunkten mit den Grunde-benen erlauben die Darstellung in räumlichen Koordinatensystemen. Sol-che Darstellungen sollten geübt werden.

Auf dieser Grundlage können z. B. Schattenwürfe von Gebäuden in Paral-lel- und Zentralprojektion auf eine der Grundebenen berechnet und zeich-nerisch dargestellt werden. Der Einsatz der DGS bietet die zusätzlicheMöglichkeit, dass der Ort der Strahlenquelle variiert werden kann. Inhalt-lich schließt die Behandlung von Schrägbildern an das Thema E-G1 an.

verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum… grafischen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und Geraden… Darstellen von Objekten im Raum

Thema: Die Welt vermessen – das Skalarprodukt und seine ersten Anwendungen (Q-LK-G2)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es untersuchen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und

Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung) bestimmen Abstände zwischen Punkten und Geraden [...]


bleme (Erkunden) analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden) entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und


Das Skalarprodukt wird zunächst als Indikator für Orthogonalität aus einerAnwendung des Satzes von Pythagoras entwickelt. Durch eine Zerlegungin parallele und orthogonale Komponenten wird der geometrische Aspektder Projektion betont. Dies wird zur Einführung des Winkels über den Ko-sinus genutzt. Eine weitere Bedeutung des Skalarproduktes kann mit den gleichen Über-legungen am Beispiel der physikalischen Arbeit erschlossen werden. Die formale Frage nach der Bedeutung eines Produktes von zwei Vek-toren sowie den dabei gültigen Rechengesetzen wird im Zusammenhangmit der Analyse von typischen Fehlern (z. B. Division durch einen Vektor)gestellt.

Anknüpfend an das Thema E-G2 werden Eigenschaften von Dreieckenund Vierecken auch mithilfe des Skalarproduktes untersucht. Dabei bietensich vorrangig Problemlöseaufgaben (z. B. Nachweis von Viereckstypen)an. Ein Vergleich von Lösungswegen mit und ohne Skalarprodukt kann imEinzelfall dahinterliegende Sätze transparent machen wie z. B. die Äqui-valenz der zum Nachweis einer Raute benutzten Bedingungen und für die Seitenvektoren und eines Parallelogramms.

In Anwendungskontexten (z. B. Vorbeiflug eines Flugzeugs an einem Hin-dernis unter Einhaltung eines Sicherheitsabstandes) wird entdeckt, wieder Abstand eines Punktes von einer Geraden u. a. über die Bestimmungeines Lotfußpunktes ermittelt werden kann. Hierbei werden unterschiedli-che Lösungswege zugelassen und verglichen. Eine Vernetzung mit Ver-fahren der Analysis zur Abstandsminimierung bietet sich an.

Thema: Ebenen als Lösungsmengen von linearen Gleichungen und ihre Beschreibung durch Parameter (Q-LK-G3)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar stellen Ebenen in Koordinaten- und in Parameterform dar deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es stellen Ebenen in Normalenform dar und nutzen diese zur Orientierung

im Raum bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen

Prozessbezogene Kompetenzen:ArgumentierenDie Schülerinnen und Schüler stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Ober-/Unterbegriff)


te für Begründungen (Begründen) überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert



sammenhängen (Rezipieren) formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungs-

wege (Produzieren) wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Pro-

duzieren)

Im Sinne verstärkt wissenschaftspropädeutischen Arbeitens wird folgen-der anspruchsvoller, an Q-LK-G2 anknüpfender Weg vorgeschlagen:

Betrachtet wird die Gleichung: . Durch systematisches Probieren oder Be-trachten von Spezialfällen ( ) wird die Lösungsmenge geometrisch alsEbene gedeutet.

Die unterschiedlichen Darstellungsformen dieser Ebenengleichung undihre jeweilige geometrische Deutung (Koordinatenform, Achsenabschnitts-form, Hesse-Normalenform als Sonderformen der Normalenform) werdenin einem Gruppenpuzzle gegenübergestellt, verglichen und in Beziehunggesetzt. Dabei intensiviert der kommunikative Austausch die fachlichenAneignungsprozesse. Die Achsenabschnittsform erleichtert es, Ebenenzeichnerisch darzustellen. Zur Veranschaulichung der Lage von Ebenenwird eine räumliche Geometriesoftware verwendet.

Vertiefend (und über den Kernlehrplan hinausgehend) kann bei genügendzur Verfügung stehender Zeit die Lösungsmenge eines Systems von Ko-ordinatengleichungen als Schnittmenge von Ebenen geometrisch gedeu-tet werden. Dabei wird die Matrix-Vektor-Schreibweise genutzt. Dies bie-tet weitere Möglichkeiten, bekannte mathematische Sachverhalte zu ver-netzen. Die Auseinandersetzung mit der Linearen Algebra wird in Q-LK-G4 weiter vertieft.

Als weitere Darstellungsform wird nun die Parameterform der Ebenenglei-chung entwickelt. Als Einstiegskontext dient eine Dachkonstruktion mitSparren und Querlatten. Diese bildet ein schiefwinkliges Koordinatensys-tem in der Ebene. Damit wird die Idee der Koordinatisierung aus demThema E-G2 wieder aufgegriffen. Durch Einschränkung des Definitionsbe-reichs werden Parallelogramme und Dreiecke beschrieben. So könnenauch anspruchsvollere Modellierungsaufgaben gestellt werden.

Ein Wechsel zwischen Koordinatenform und Parameterform der Ebene istüber die drei Achsenabschnitte möglich. Alternativ wird ein Normalenvek-tor mit Hilfe eines Gleichungssystems bestimmt.

Thema: Lagebeziehungen und Abstandsprobleme bei geradlinig bewegten Objekten (Q-LK-G4)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext untersuchen Lagebeziehungen zwischen Geraden […] berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von

Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen

Prozessbezogene Kompetenzen:ArgumentierenDie Schülerinnen und Schüler präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück-

sichtigung der logischen Struktur (Vermuten) stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Ober-/Unterbegriff)


te für Begründungen (Begründen) berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige/hin-

reichende Bedingung, Folgerungen/Äquivalenz, Und-/Oder- Verknüp-fungen, Negation, All- und Existenzaussagen) (Begründen)



sammenhängen (Rezipieren) verwenden die Fachsprache und fachspezifische Notation in ange-

messenem Umfang (Produzieren) wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Pro-

duzieren)

Die Berechnung des Schnittpunkts zweier Geraden ist eingebettet in dieUntersuchung von Lagebeziehungen. Die Existenzfrage führt zur Unter-scheidung der vier möglichen Lagebeziehungen.

Als ein Kontext kann die Modellierung von Flugbahnen (Kondensstreifen)aus Thema Q-LK-G1 wieder aufgenommen werden, insbesondere mitdem Ziel, die Frage des Abstandes zwischen Flugobjekten im Unterschiedzur Abstandsberechnung zwischen den Flugbahnen zu vertiefen. Hier bie-tet sich wiederum eine Vernetzung mit den Verfahren der Analysis zur Ab-standsminimierung an.

Die Berechnung des Abstandes zweier Flugbahnen kann für den Ver-gleich unterschiedlicher Lösungsvarianten genutzt werden. Dabei wird un-terschieden, ob die Lotfußpunkte der kürzesten Verbindungsstrecke mit-berechnet werden oder nachträglich aus dem Abstand bestimmt werdenmüssen.

In der Rückschau sollten die Schüler nun einen Algorithmus entwickeln,um über die Lagebeziehung zweier Geraden zu entscheiden. Flussdia-gramme und Tabellen sind ein geeignetes Mittel, solche Algorithmen dar-zustellen. Die Schülerinnen und Schüler können selbst solche Darstellun-gen entwickeln, auf Lernplakaten dokumentieren, präsentieren, verglei-chen und in ihrer Brauchbarkeit beurteilen. In diesem Teil des Unterrichts-vorhabens sollten nicht nur logische Strukturen reflektiert, sondern auchUnterrichtsformen gewählt werden, bei denen Kommunikationsprozesseim Team unter Verwendung der Fachsprache angeregt werden.

erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren) vergleichen und beurteilen ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer

Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität (Diskutieren)

Thema: Untersuchungen an Polyedern (Q-LK-G5)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare

Gleichungssysteme wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Glei-

chungssysteme mit maximal drei Unbekannten an interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen stellen geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform dar untersuchen Lagebeziehungen […] zwischen Geraden und Ebenen berechnen (Schnittpunkte von Geraden sowie) Durchstoßpunkte von

Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext untersuchen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und

Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung) bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen


bleme (Erkunden) analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden) entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. […] Darstellungs-

wechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invariantenfinden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallun-terscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, [...]) (Lösen)

wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Pro-blemlösung aus (Lösen)

beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz (Reflektieren)

Tetraeder, Pyramiden, Würfel, Prismen und Oktaeder bieten vielfältige An-lässe für offen angelegte geometrische Untersuchungen und können aufreale Objekte bezogen werden.. Auch hier wird eine räumliche Geometrie-software eingesetzt. Wo möglich, werden auch elementargeometrischeLösungswege als Alternative aufgezeigt Die Bestimmung von Längen undWinkeln setzt das Thema Q-LK-G2 direkt fort. Winkel zwischen einer Ge-raden und einer Ebene erlauben Rückschlüsse auf ihre Lagebeziehung.

Abstände von Punkten zu Geraden (Q-LK-G2) und zu Ebenen (Q-LK-G3)ermöglichen es z. B., die Fläche eines Dreiecks oder die Höhe und dasVolumen einer Pyramide zu bestimmen. Abgesehen von der Abstandsbe-rechnung zwischen Geraden (erst in Q-LK-G5) müssen weitere Formender Abstandsberechnungen nicht systematisch abgearbeitet werden, siekönnen bei Bedarf im Rahmen von Problemlöseprozessen in konkreteAufgaben integriert werden.

Das Gauß-Verfahren soll anknüpfend an das Thema Q-LK-A2 im Zu-sammenhang mit der Berechnung von Schnittfiguren oder bei der Kon-struktion regelmäßiger Polyeder vertieft werden. Weiter bietet der Einsatzdes GTR Anlass, z. B. über die Interpretation der trigonalisierten Koeffizi-entenmatrix die Dimension des Lösungsraumes zu untersuchen. Die Ver-netzung der geometrischen Vorstellung und der algebraischen Formalisie-rung soll stets deutlich werden.

In diesem Unterrichtsvorhaben wird im Sinne einer wissenschaftspropä-deutischen Grundbildung besonderer Wert gelegt auf eigenständige Lern-prozesse bei der Aneignung eines begrenzten Stoffgebietes sowie bei derLösung von problemorientierten Aufgaben.


… Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen… Durchführen von Operationen mit Vektoren und Matrizen

Thema: Strategieentwicklung bei geometrischen Problemsituationen und Beweisaufgaben (Q-LK-G6)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler stellen Geraden in Parameterform dar stellen Ebenen in Koordinaten- und in Parameterform dar stellen geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform dar untersuchen Lagebeziehungen zwischen Geraden und zwischen Ge-

raden und Ebenen berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von

Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext untersuchen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und

Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung) stellen Ebenen in Normalenform dar und nutzen diese zur Orientierung

im Raum bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen





delle für die Fragestellung (Validieren) reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annah-

men (Validieren)

ProblemlösenDie Schülerinnen und Schüler wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle,

Hinweis: Angesichts des begrenzten Zeitrahmens ist es wichtig, den Fo-kus der Unterrichtstätigkeit nicht auf die Vollständigkeit einer „Rezept-sammlung“ und deren hieb- und stichfeste Einübung zu allen denkbarenVarianten zu legen, sondern bei den Schülerinnen und Schülern prozess-bezogene Kompetenzen zu entwickeln, die sie in die Lage versetzen, pro-blemhaltige Aufgaben zu bearbeiten und dabei auch neue Anregungen zuverwerten.

Deshalb beschließt die Fachkonferenz, Problemlösungen mit den pro-zessbezogenen Zielen zu verbinden, 1) eine planerische Skizze anzuferti-gen und die gegebenen geometrischen Objekte abstrakt zu beschreiben,2) geometrische Hilfsobjekte einzuführen, 3) an geometrischen Situatio-nen Fallunterscheidungen vorzunehmen, 4) bekannte Verfahren zielge-richtet einzusetzen und in komplexeren Abläufen zu kombinieren, 5) unter-schiedliche Lösungswege Kriterien gestützt zu vergleichen.

Bei der Durchführung der Lösungswege können die Schülerinnen undSchüler auf das entlastende Werkzeug des GTR zurückgreifen, jedochsteht dieser Teil der Lösung hier eher im Hintergrund und soll sogar beiaufwändigeren Problemen bewusst ausgeklammert werden.

Bei Beweisaufgaben sollen die Schülerinnen und Schüler Formalisierun-gen in Vektorschreibweise rezipieren und ggf. selbst vornehmen. Dabeispielt auch die Entdeckung einer Gesetzmäßigkeit – ggf. mit Hilfe vonDGS – eine Rolle. Geeignete Beispiele bieten der Satz von Varignon oderder Sehnen-(Tangenten-) satz von Euklid.

Die erworbenen Kompetenzen im Problemlösen sollen auch in Aufgabenzum Einsatz kommen, die einen Kontextbezug enthalten, so dass diesesUnterrichtsvorhaben auch unmittelbar zur Abiturvorbereitung überleitetbzw. zum Zweck der Abiturvorbereitung noch einmal wiederaufgenommenwerden soll.


entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. Analogiebe-

trachtungen, Schätzen und Überschlagen, systematisches Probieren oder Ausschließen, Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekann-tes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, Verallgemeinern) (Lösen)

führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen) vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und

Gemeinsamkeiten (Reflektieren) beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und

Effizienz (Reflektieren) analysieren und reflektieren Ursachen von Fehlern (Reflektieren) variieren Fragestellungen auf dem Hintergrund einer Lösung (Reflek-

tieren)

Q-Phase Leistungskurs Stochastik (S)

Thema: Von stochastischen Modellen, Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihren Kenngrößen (Q-LK-S1)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben erläutern den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen bestimmen den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ von

Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen




ren)

Anhand verschiedener Glücksspiele wird zunächst der Begriff der Zufalls-größe und der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung (als Zuordnungvon Wahrscheinlichkeiten zu den möglichen Werten, die die Zufallsgrößeannimmt) zur Beschreibung von Zufallsexperimenten eingeführt.

Analog zur Betrachtung des Mittelwertes bei empirischen Häufigkeitsver-teilungen wird der Erwartungswert einer Zufallsgröße definiert. Das Grundverständnis von Streumaßen wird durch Rückgriff auf die Er-fahrungen der Schülerinnen und Schüler mit Boxplots reaktiviert.

Über eingängige Beispiele von Verteilungen mit gleichem Mittelwert, aberunterschiedlicher Streuung, wird die Definition der Standardabweichungals mittlere quadratische Abweichung im Zusammenhang mit Wahrschein-lichkeitsverteilungen motiviert; über gezielte Veränderungen der Verteilungwird ein Gefühl für die Auswirkung auf deren Kenngrößen entwickelt.

Anschließend werden diese Größen zum Vergleich von Wahrscheinlich-keitsverteilungen und zu einfachen Risikoabschätzungen genutzt.

Thema: Treffer oder nicht? – Bernoulli-Experimente und Binomialverteilungen (Q-LK-S2)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler verwenden Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufalls-

experimente erklären die Binomialverteilung einschließlich der kombinatorischen

Bedeutung der Binomialkoeffizienten und berechnen damit Wahr-scheinlichkeiten

nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von Problemstellungen




ren)


… Generieren von Zufallszahlen… Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufalls- größen… Erstellen der Histogramme von Binomialverteilungen

Der Schwerpunkt bei der Betrachtung von Binomialverteilungen soll aufder Modellierung stochastischer Situationen liegen. Dabei werden zu-nächst Bernoulliketten in realen Kontexten oder in Spielsituationen be-trachtet.

Durch Vergleich mit dem „Ziehen ohne Zurücklegen“ wird geklärt, dass dieAnwendung des Modells ‚Bernoullikette’ eine bestimmte Realsituation vor-aussetzt, d. h. dass die Treffer von Stufe zu Stufe unabhängig voneinan-der mit konstanter Wahrscheinlichkeit erfolgen.

Zur formalen Herleitung der Binomialverteilung und der Binomialkoeffizi-enten bieten sich das Galtonbrett bzw. seine Simulation und die Be-trachtung von Multiple-Choice-Tests an.

Die anschließende Vertiefung erfolgt in unterschiedlichen Sachkontexten,deren Bearbeitung auf vielfältigen Zeitungsartikeln basieren kann. AuchBeispiele der Modellumkehrung werden betrachtet („Von der Verteilungzur Realsituation“).

Hinweis: Der Einsatz des GTR zur Berechnung singulärer sowie kumulier-ter Wahrscheinlichkeiten ermöglicht den Verzicht auf stochastische Tabel-len und eröffnet aus der numerischen Perspektive den Einsatz von Aufga-ben in realitätsnahen Kontexten.

Thema: Untersuchung charakteristischer Größen von Binomialverteilungen (Q-LK-S3)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler beschreiben den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilun-

gen und ihre graphische Darstellung bestimmen den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ von

(binomialverteilten) Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen

nutzen die -Regeln für prognostische Aussagen nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von

Problemstellungen

Prozessbezogene Kompetenzen:ProblemlösenDie Schülerinnen und Schüler analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden) wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle,


erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. Invarianten finden,

Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Verallgemei-nern) (Lösen)

interpretieren Ergebnisse auf dem Hintergrund der Fragestellung (Re-flektieren)


Eine Visualisierung der Verteilung sowie des Einflusses von Stichproben-umfang n und Trefferwahrscheinlichkeit p erfolgt durch die graphischeDarstellung der Verteilung als Histogramm unter Nutzung des GTR.

Während sich die Berechnung des Erwartungswertes erschließt, kann dieFormel für die Standardabweichung induktiv entdeckt werden:In einer Tabellenkalkulation wird bei festem n und p für jedes k die quadra-tische Abweichung vom Erwartungswert mit der zugehörigen Wahrschein-lichkeit multipliziert. Die Varianz als Summe dieser Werte wird zusammenmit dem Erwartungswert in einer weiteren Tabelle notiert. Durch systema-tisches Variieren von n und p entdecken die Lernenden die funktionale Ab-hängigkeit der Varianz von diesen Parametern und die Formel .

Das Konzept der -Umgebungen wird durch experimentelle Daten abgelei-tet. Es wird benutzt, um Prognoseintervalle anzugeben, den notwendigenStichprobenumfang für eine vorgegebene Genauigkeit zu bestimmen undum das - Gesetz der großen Zahlen zu präzisieren.

… Variieren der Parameter von Binomialverteilungen… Erstellen der Histogramme von Binomialverteilungen… Berechnen der Kennzahlen von Binomialverteilungen (Erwartungs- wert, Standardabweichung)… Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufalls- größen

Thema: Ist die Glocke normal? (Q-LK-S4)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler unterscheiden diskrete und stetige Zufallsgrößen und deuten die Ver-

teilungsfunktion als Integralfunktion untersuchen stochastische Situationen, die zu annähernd normalver-

teilten Zufallsgrößen führen beschreiben den Einfluss der Parameter µ und σ auf die Normalvertei-

lung und die graphische Darstellung ihrer Dichtefunktion (Gaußsche Glockenkurve)

Prozessbezogene Kompetenzen:ModellierenDie Schülerinnen und Schüler erfassen und strukturieren [...] komplexe Sachsituationen mit Blick auf

eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) übersetzen [...] komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle

(Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine


delle für die Fragestellung (Validieren) reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annah-

men (Validieren)

ProblemlösenDie Schülerinnen und Schüler erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) wählen Werkzeuge aus, die den Lösungsweg unterstützen (Lösen)

Werkzeuge nutzen

Normalverteilungen sind in der Stochastik bedeutsam, weil sich die Sum-menverteilung von genügend vielen unabhängigen Zufallsvariablen häufigdurch eine Normalverteilung approximieren lässt. Dementsprechend be-schließt die Fachkonferenz den Einstieg in dieses Unterrichtsvorhabenüber die Untersuchung von Summenverteilungen.

Mit einer Tabellenkalkulation werden die Augensummen von zwei, drei,vier… Würfeln simuliert, wobei in der grafischen Darstellung die Glocken-form zunehmend deutlicher wird. Ergänzung für leistungsfähige Kurse: Gut geeignet ist auch die Simulationvon Stichprobenmittelwerten aus einer (gleichverteilten) Grundgesamtheit.

Ergebnisse von Schulleistungstests oder Intelligenztests werden erst ver-gleichbar, wenn man sie hinsichtlich Mittelwert und Streuung normiert,was ein Anlass dafür ist, mit den Parametern µ und σ zu experimentieren.Auch Untersuchungen zu Mess- und Schätzfehlern bieten einen anschau-lichen, ggf. handlungsorientierten Zugang.

Da auf dem GTR die Normalverteilung einprogrammiert ist, spielt die Ap-proximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (Satz vonde Moivre-Laplace) für die Anwendungsbeispiele im Unterricht eine unter-geordnete Rolle. Dennoch sollte bei genügender Zeit deren Herleitung alsVertiefung der Integralrechnung im Leistungskurs thematisiert werden, dader Übergang von der diskreten zur stetigen Verteilung in Analogie zur Ap-proximation von Flächen durch Produktsummen nachvollzogen werdenkann (vgl. Q-LK-A3). Die Visualisierung erfolgt mithilfe des GTR.

Theoretisch ist von Interesse, dass es sich bei der Gaußschen Glocken-kurve um den Graphen einer Randfunktion handelt, zu deren Stammfunk-tion (Gaußsche Integralfunktion) kein Term angegeben werden kann.


… Generieren von Zufallszahlen… Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen… Erstellen der Histogramme von Binomialverteilungen... Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Zufalls- größen

nutzen digitale Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen

entscheiden situationsangemessen über den Einsatz mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge, wählen sie gezielt aus und nutzen sie zum Erkunden …, Berechnen und Darstellen

reflektieren und begründen die Möglichkeiten und Grenzen mathema-tischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge

Thema: Signifikant und relevant? – Testen von Hypothesen (Q-LK-S5)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler interpretieren Hypothesentests bezogen auf den Sachkontext und das

Erkenntnisinteresse beschreiben und beurteilen Fehler 1. und 2. Art





ren)

KommunizierenDie Schülerinnen und Schüler erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus zuneh-

mend komplexen mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen (Rezipie-ren)


führen Entscheidungen auf der Grundlage fachbezogener Diskussio-nen herbei (Diskutieren)

Zentral ist das Verständnis der Idee des Hypothesentests, d. h. mit Hilfeeines mathematischen Instrumentariums einzuschätzen, ob Beobachtun-gen auf den Zufall zurückzuführen sind oder nicht. Ziel ist es, die Wahr-scheinlichkeit von Fehlentscheidungen möglichst klein zu halten.Die Logik des Tests soll dabei an datengestützten gesellschaftlich relevan-ten Fragestellungen, z. B. Häufungen von Krankheitsfällen in bestimmtenRegionen oder alltäglichen empirischen Phänomenen (z. B. Umfrageer-gebnisse aus dem Lokalteil der Zeitung) entwickelt werden, sie wird ab-schließend in einem ‚Testturm’ visualisiert.

Im Rahmen eines realitätsnahen Kontextes werden folgende Fragen dis-kutiert:

- Welche Hypothesen werden aufgestellt? Wer formuliert diese mit welcher Interessenlage?

- Welche Fehlentscheidungen treten beim Testen auf? Welche Kon-sequenzen haben sie?

Durch Untersuchung und Variation gegebener Entscheidungsregeln wer-den die Bedeutung des Signifikanzniveaus und der Wahrscheinlichkeitdes Auftretens von Fehlentscheidungen 1. und 2. Art zur Beurteilung desTestverfahrens erarbeitet.

Thema: Von Übergängen und Prozessen (Q-LK-S6)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und EmpfehlungenInhaltsbezogene Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler beschreiben stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren

und stochastischen Übergangsmatrizen verwenden die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischer

Prozesse (Vorhersage nachfolgender Zustände, numerisches Bestim-men sich stabilisierender Zustände)





ren)

ArgumentierenDie Schülerinnen und Schüler präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück-


te für Begründungen (Begründen) stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen) überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert


Die Behandlung stochastischer Prozesse sollte genutzt werden, umzentrale Begriffe aus Stochastik (Wahrscheinlichkeit, relative Häufigkeit)und Analysis (Grenzwert) mit Begriffen und Methoden der Linearen Alge-bra (Vektor, Matrix, lineare Gleichungssysteme) zu vernetzen. Schülerin-nen und Schüler modellieren dabei in der Realität komplexe Prozesse,deren langfristige zeitliche Entwicklung untersucht und als Grundlage fürEntscheidungen und Maßnahmen genutzt werden kann.

Der Auftrag an Schülerinnen und Schüler, einen stochastischen Prozessgraphisch darzustellen, führt in der Regel zur Erstellung eines Baumdia-gramms, dessen erste Stufe den Ausgangszustand beschreibt. Im Zu-sammenhang mit der Interpretation der Pfadregeln als Gleichungssystemkönnen sie daraus die Matrix-Vektor-Darstellung des Prozesses entwi-ckeln.

Untersuchungen in unterschiedlichen realen Kontexten führen zur Ent-wicklung von Begriffen zur Beschreibung von Eigenschaften stochas-tischer Prozesse (Potenzen der Übergangsmatrix, Grenzmatrix, stabileVerteilung, absorbierender Zustand). Hier bietet sich eine Vernetzung mitder Linearen Algebra hinsichtlich der Betrachtung linearer Gleichungssys-teme und ihrer Lösungsmengen an.

Eine nicht obligatorische Vertiefungsmöglichkeit besteht darin, Ausgangs-zustände über ein entsprechendes Gleichungssystem zu ermitteln und zuerfahren, dass der GTR als Hilfsmittel dazu die inverse Matrix bereitstellt.

2.2 Grundsätze der fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit

In Absprache mit der Lehrerkonferenz sowie unter Berücksichtigung des Schulprogramms hatdie Fachkonferenz Mathematik die folgenden fachmethodischen und fachdidaktischen Grund-sätze beschlossen. In diesem Zusammenhang beziehen sich die Grundsätze 1 bis 15 auf fä-cherübergreifende Aspekte, die auch Gegenstand der Qualitätsanalyse sind, die Grundsätze 16bis 26 sind fachspezifisch angelegt.

Überfachliche Grundsätze:1. Geeignete Problemstellungen zeichnen die Ziele des Unterrichts vor und bestimmen

die Struktur der Lernprozesse.2. Inhalt und Anforderungsniveau des Unterrichts entsprechen dem Leistungsvermögen

der Schüler/innen.3. Die Unterrichtsgestaltung ist auf die Ziele und Inhalte abgestimmt.4. Medien und Arbeitsmittel sind schülernah gewählt.5. Die Schüler/innen erreichen einen Lernzuwachs.6. Der Unterricht fördert eine aktive Teilnahme der Schüler/innen.7. Der Unterricht fördert die Zusammenarbeit zwischen den Schülern/innen und bietet

ihnen Möglichkeiten zu eigenen Lösungen.8. Der Unterricht berücksichtigt die individuellen Lernwege der einzelnen Schüler/innen.9. Die Schüler/innen erhalten Gelegenheit zu selbstständiger Arbeit und werden dabei

unterstützt.10. Der Unterricht fördert strukturierte und funktionale Partner- bzw. Gruppenarbeit.11. Der Unterricht fördert strukturierte und funktionale Arbeit im Plenum.12. Die Lernumgebung ist vorbereitet; der Ordnungsrahmen wird eingehalten.13. Die Lehr- und Lernzeit wird intensiv für Unterrichtszwecke genutzt.14. Es herrscht ein positives pädagogisches Klima im Unterricht.15. Wertschätzende Rückmeldungen prägen die Bewertungskultur und den Umgang mit

Schülerinnen und Schülern.

Fachliche Grundsätze:16. Im Unterricht werden fehlerhafte Schülerbeiträge produktiv im Sinne einer Förderung

des Lernfortschritts der gesamten Lerngruppe aufgenommen.17. Der Unterricht ermutigt die Lernenden dazu, auch fachlich unvollständige Gedanken

zu äußern und zur Diskussion zu stellen.18. Die Bereitschaft zu problemlösenden Arbeiten wird durch Ermutigungen und Tipps

gefördert und unterstützt.19. Die Einstiege in neue Themen erfolgen grundsätzlich mithilfe sinnstiftender Kontexte,

die an das Vorwissen der Lernenden anknüpfen und deren Bearbeitung sie in die da-hinter stehende Mathematik führt.

20. Es wird genügend Zeit eingeplant, in der sich die Lernenden neues Wissen aktiv kon-struieren und in der sie angemessene Grundvorstellungen zu neuen Begriffen entwi-ckeln können.

21. Durch regelmäßiges wiederholendes Üben werden grundlegende Fertigkeiten „wach-gehalten“.

22. Im Unterricht werden an geeigneter Stelle differenzierende Aufgaben (z. B. „Blüten-aufgaben“) eingesetzt.

23. Die Lernenden werden zu regelmäßiger, sorgfältiger und vollständiger Dokumentationder von ihnen bearbeiteten Aufgaben angehalten.

24. Im Unterricht wird auf einen angemessenen Umgang mit fachsprachlichen Elementengeachtet.

25. Digitale Medien werden regelmäßig dort eingesetzt, wo sie dem Lernfortschritt die-nen.

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2.3 Grundsätze der Leistungsbewertung und Leistungsrückmeldung

Auf der Grundlage von § 48 SchulG, § 13 APO-GOSt sowie Kapitel 3 des Kernlehrplans Mathe-matik hat die Fachkonferenz im Einklang mit dem entsprechenden schulbezogenen Konzept dienachfolgenden Grundsätze zur Leistungsbewertung und Leistungsrückmeldung beschlossen.Die nachfolgenden Absprachen stellen die Minimalanforderungen an das lerngruppenübergrei-fende gemeinsame Handeln der Fachgruppenmitglieder dar. Bezogen auf die einzelne Lern-gruppe kommen ergänzend weitere der in den Folgeabschnitten genannten Instrumente derLeistungsüberprüfung zum Einsatz.

Verbindliche Absprachen:

Die Aufgaben für Klausuren in parallelen Grund- bzw. Leistungskursen werden im Vorfeldabgesprochen und nach Möglichkeit gemeinsam gestellt.

Klausuren können nach entsprechender Wiederholung im Unterricht auch Aufgabenteileenthalten, die Kompetenzen aus weiter zurückliegenden Unterrichtsvorhaben oder übergrei-fende prozessbezogene Kompetenzen erfordern.

Mindestens eine Klausur je Schuljahr in der E-Phase sowie in Grund- und Leistungskursender Q-Phase enthält einen „hilfsmittelfreien“ Teil.

Die Aufgabenstellungen und – Typen nähern sich in Form und Formulierung immer mehrden Aufgaben des Zentralabiturs an. Für die Aufgabenstellung der Klausuraufgaben werdendie Operatoren der Aufgaben des Zentralabiturs verwendet. Diese sind mit den Schülerin-nen und Schülern zu besprechen.

Die Korrektur und Bewertung der Klausuren erfolgt anhand eines kriterienorientierten Be-wertungsbogens, den die Schülerinnen und Schüler als Rückmeldung erhalten.

Schülerinnen und Schülern wird in allen Kursen Gelegenheit gegeben, mathematischeSachverhalte zusammenhängend (z. B. eine Hausaufgabe, einen fachlichen Zusammen-hang, einen Überblick über Aspekte eines Inhaltsfeldes …) selbstständig vorzutragen.

Verbindliche Instrumente:

Überprüfung der schriftlichen Leistung Einführungsphase: Zwei Klausuren je Halbjahr, davon eine (in der Regel die vierte Klausur

in der Einführungsphase) als landeseinheitlich zentral gestellte Klausur. Dauer der Klausu-ren: 2 Unterrichtsstunden. (Vgl. APO-GOSt B § 14 (1) und VV 14.1.)

Grundkurse Q-Phase Q 1.1 – Q 2.1: Zwei Klausuren je Halbjahr. Dauer der Klausuren: 2Schulstunden in Q1.1, 3 Schulstunden in Q1.2 und Q2.1. (Vgl. APO-GOSt B § 14 (2) undVV 14.12)

Grundkurse Q-Phase Q 2.2: Eine Klausur unter Abiturbedingungen für Schülerinnen undSchüler, die Mathematik als 3. Abiturfach gewählt haben. Dauer der Klausur: 3 Zeitstunden.(Vgl. APO-GOSt B § 14 (2) und VV 14.2.)

Leistungskurse Q-Phase Q 1.1 – Q 2.1: Zwei Klausuren je Halbjahr. Dauer der Klausuren:3 Unterrichtsstunden in Q1.1, 4 Unterrichtsstunden in Q1.2, 5 Unterrichtsstunden in Q2.1.(Vgl. APO-GOSt B § 14 (2) und VV 14.2.)

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Leistungskurse Q-Phase Q 2.2: Eine Klausur unter Abiturbedingungen (die Fachkonferenzhat beschlossen, die letzte Klausur vor den Abiturklausuren unter Abiturbedingungen bzgl.Dauer und inhaltlicher Gestaltung zu stellen). Dauer der Klausur: 4,25 Zeitstunden. (Vgl.APO-GOSt B § 14 (2) und VV 14.2.)

Facharbeit: Gemäß Beschluss der Lehrerkonferenz wird die erste Klausur Q1.2 für diejeni-gen Schülerinnen und Schüler, die eine Facharbeit im Fach Mathematik schreiben, durchdiese ersetzt. (Vgl. APO-GOSt B § 14 (3) und VV 14.3.)

Überprüfung der sonstigen Leistung

In die Bewertung der sonstigen Mitarbeit fließen folgende Aspekte ein, die den Schülerinnen und Schülern bekanntgegeben werden müssen:

Beteiligung am Unterrichtsgespräch (Quantität und Kontinuität) Qualität der Beiträge (inhaltlich und methodisch) Eingehen auf Beiträge und Argumentationen von Mitschülerinnen und

-schülern, Unterstützung von Mitlernenden Umgang mit neuen Problemen, Beteiligung bei der Suche nach neuen Lösungswegen Selbstständigkeit im Umgang mit der Arbeit Umgang mit Arbeitsaufträgen (Hausaufgaben, Unterrichtsaufgaben…) Anstrengungsbereitschaft und Konzentration auf die Arbeit Beteiligung während kooperativer Arbeitsphasen Darstellungsleistung bei Referaten oder Plakaten und beim Vortrag von Lösungswegen Ergebnisse schriftlicher Übungen Möglichkeit zum Erstellen von Protokollen Anfertigen zusätzlicher Arbeiten, z. B. eigenständige Ausarbeitungen im Rahmen binnendif-

ferenzierender Maßnahmen, Erstellung von Computerprogrammen

Kriterien für die Überprüfung der schriftlichen Leistung

Die Bewertung der schriftlichen Leistungen in Klausuren erfolgt über ein Raster mit Punkten, dieim Erwartungshorizont den einzelnen Kriterien zugeordnet sind. Dabei sind in der Qualifikations-phase alle Anforderungsbereiche zu berücksichtigen, wobei der Anforderungsbereich II denSchwerpunkt bildet.

Die Zuordnung der Punktsumme zu den Notenstufen orientiert sich am Zuordnungsschema desZentralabiturs. Die Note ausreichend soll bei Erreichen von ca. 45% der Punkte erteilt werden.Von den genannten Zuordnungsschemata kann im Einzelfall begründet abgewichen werden,wenn sich z. B. besonders originelle Teillösungen nicht durch Hilfspunkte gemäß den Kriteriendes Erwartungshorizontes abbilden lassen oder eine Abwertung wegen besonders schwacherDarstellung (APO- GOSt §13 (2)) angemessen erscheint.Kriterien für die Überprüfung der sonstigen Leistungen

Im Fach Mathematik ist in besonderem Maße darauf zu achten, dass die Schülerinnen undSchüler zu konstruktiven Beiträgen angeregt werden. Daher erfolgt die Bewertung der sonstigenMitarbeit nicht defizitorientiert oder ausschließlich auf fachlich richtige Beiträge ausgerichtet.

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Vielmehr bezieht sie Fragehaltungen, begründete Vermutungen, sichtbare Bemühungen umVerständnis und Ansatzfragmente mit in die Bewertung ein.

Im Folgenden werden Kriterien für die Bewertung der sonstigen Leistungen jeweils für eine gutebzw. eine ausreichende Leistung dargestellt. Dabei ist bei der Bildung der Quartals- und Ab-schlussnote jeweils die Gesamtentwicklung der Schülerin bzw. des Schülers zu berücksichtigen,eine arithmetische Bildung aus punktuell erteilten Einzelnoten erfolgt nicht:

Leistungs-aspekt

Anforderungen für einegute Leistung ausreichende Leistung

Die Schülerin, der SchülerQualität der Unterrichts-beiträge

nennt richtige Lösungen und begründet sie nachvollziehbar im Zusammenhang der Auf-gabenstellung

nennt teilweise richtige Lösungen, in der Regel jedoch ohne nachvollziehbare Be-gründungen

geht selbstständig auf andere Lösungen ein, findet Argumente und Begründungen für ihre/seine eigenen Beiträge

geht selten auf andere Lösungen ein, nennt Argumente, kann sie aber nicht be-gründen

kann ihre/seine Ergebnisse auf unterschiedli-che Art und mit unterschiedlichen Medien darstellen

kann ihre/seine Ergebnisse nur auf eine Art darstellen

Kontinuität/Quantität

beteiligt sich regelmäßig am Unterrichtsge-spräch

nimmt eher selten am Unterrichtsgesprächteil

Selbststän-digkeit

bringt sich von sich aus in den Unterricht ein beteiligt sich gelegentlich eigenständig amUnterricht

ist selbstständig ausdauernd bei der Sache und erledigt Aufgaben gründlich und zuverläs-sig

benötigt oft eine Aufforderung, um mit der Arbeit zu beginnen; arbeitet Rückstände nur teilweise auf

strukturiert und erarbeitet neue Lerninhalte weitgehend selbstständig, stellt selbstständig Nachfragen

erarbeitet neue Lerninhalte mit umfangrei-cher Hilfestellung, fragt diese aber nur sel-ten nach

erarbeitet bereitgestellte Materialien selbst-ständig

erarbeitet bereitgestellte Materialen eher lückenhaft

Kooperation bringt sich ergebnisorientiert in die Gruppen-/Partnerarbeit ein

bringt sich nur wenig in die Gruppen-/Part-nerarbeit ein

arbeitet kooperativ und respektiert die Beiträ-ge Anderer

unterstützt die Gruppenarbeit nur wenig, stört aber nicht

Gebrauch der Fach-sprache

wendet Fachbegriffe sachangemessen an und kann ihre Bedeutung erklären

versteht Fachbegriffe nicht immer, kann sieteilweise nicht sachangemessen anwen-den

Werkzeug-gebrauch

setzt Werkzeuge im Unterricht sicher bei der Bearbeitung von Aufgaben und zur Visualisie-rung von Ergebnissen ein

benötigt häufig Hilfe beim Einsatz von Werkzeugen zur Bearbeitung von Aufga-ben

Präsentati-on/Referat

präsentiert vollständig, strukturiert und gut nachvollziehbar

präsentiert an mehreren Stellen eher ober-flächlich, die Präsentation weist Verständ-nislücken auf

Schriftliche Übung

ca. 75% der erreichbaren Punkte ca. 50% der erreichbaren Punkte

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2.4 Lehr- und Lernmittel

In der Einführungsphase wird das Lehrbuch Lambacher Schweizer Mathematik – Einführungs-phase benutzt. In der Qualifikationsphase wird der Band für den Grund- und Leistungskurs be-nutzt.

Der grafikfähige Taschenrechner wird etwa zu den Herbstferien des ersten Halbjahres der EFeingeführt. Die Fachschaft hat die Benutzung des TI84+ beschlossen.

Den Schülerinnen und Schülern wird empfohlen sich zu Beginn der Qualifikationsphase die For-melsammlung „Das große Tafelwerk interaktiv 2.0“ anzuschaffen. Diese Formelsammlung darfin den Klausuren benutzt werden.

3 Entscheidungen zu fach- und unterrichtsübergreifenden Fragen

Die Fachkonferenz Mathematik hat sich im Rahmen des Schulprogramms und in Absprache mitden betreffenden Fachkonferenzen auf folgende, zentrale Schwerpunkte geeinigt.

Zusammenarbeit mit anderen FächernDer Mathematikunterricht in der Oberstufe ist in vielen Fällen auf reale oder realitätsnahe Kon-texte bezogen. Insbesondere erfolgt eine Kooperation mit den naturwissenschaftlichen Fächernauf der Ebene einzelner Kontexte. An den in den vorangegangenen Kapiteln ausgewiesenenStellen wird das Vorwissen aus diesen Kontexten aufgegriffen und durch die mathematischeBetrachtungsweise neu eingeordnet. Der besonderen Rolle der Mathematik in den Naturwissen-schaften soll dadurch Rechnung getragen werden, dass die Erkenntnis von Zusammenhängenmathematisiert werden kann.

Der Mehrwert der grafikfähigen Taschenrechner wird fächerübergreifend durch die drei natur-wissenschaftlichen Fachschaften genutzt. Im Fach Physik werden Messreihen mithilfe der Aus-werteverfahren des grafikfähigen Taschenrechners quantitativ analysiert. Ebenso berät dieFachschaft Mathematik vor allem die Fachschaft Chemie über sinnstiftende Einsatzmöglichkei-ten des GTR.

WettbewerbeLeistungsstarke Schülerinnen und Schüler werden ermutigt an der Kreisrunde der Mathematik-Olympiade und dem Bundeswettbewerb Mathematik (Ansprechpartner: Ben, Kir) teilzunehmen.Die Mathematikfachschaft empfiehlt weitergehend die Teilnahme am Online-Team-Wettbewerbder Bezirksregierung und am Mathematik-Turnier der Universitäten Köln-Bonn (Ansprechpart-ner: Ben / Kir). Traditionell nehmen am Alexander-von-Humboldt-Gymnasium Schülerinnen undSchüler der Grund- und Leistungskurse am Känguru-Wettbewerb teil (Ansprechpartnerin: Ben).

Projektkurs

Als besonderes Angebot versteht sich der Projektkurs Mathematik, der zum zweiten Halbjahrder Q1 angeboten wird, über zwei Halbjahre läuft und mit einem Vortrag und einer umfangrei-chen Projektarbeit abgeschlossen wird. Besonders erfolgreichen Absolventen des Projektkurses(Notenbereich 15-13 Notenpunkte) wird im Rahmen der Abiturprüfung die Möglichkeit angebo-ten, ein Kolloquium im Rahmen der besonderen Lernleistung durchzuführen. Weitere In-formationen zum Projektkurs erhalten Sie bei der Oberstufenkoordination (Nei) oder den Pro-jektkurslehrern des aktuellen Jahrgangs (Zwa, Kir).

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Vorbereitung auf die Erstellung der FacharbeitSpätestens im ersten Halbjahr der Qualifikationsphase werden in eigenen Veranstaltungen Hin-weise zur Erstellung von Facharbeiten gegeben. Das betrifft u. a. Themenvorschläge, Hinweisezu den Anforderungen und zur Bewertung. Themenformulierungen, inhaltliche Fragestellungensowie speziell im Fach Mathematik erwartete Formatierung sind darüber hinaus mit dem jeweili-gen Fachlehrer abzusprechen.

ExkursionenIm Rahmen des Unterrichts können Exkursionen durchgeführt werden. Als besonders sinnvollhaben sich in der Vergangenheit Exkursionen zum Mathematikum in Bonn, aber auch – im Rah-men des Projektkurses – Exkursionen zur Universitätsbibliothek in Düsseldorf erwiesen.

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4 Qualitätssicherung und Evaluation

Durch parallele Klausuren (vgl. 2.3) in den Grundkursen, durch Diskussion der Aufgabenstel-lung von Klausuren in Fachdienstbesprechungen und eine regelmäßige Erörterung der Ergeb-nisse von Leistungsüberprüfungen wird ein hohes Maß an fachlicher Qualitätssicherung er-reicht.

Das schulinterne Curriculum (siehe 2.1) ist zunächst bis 2017 für den ersten Durchgang durchdie gymnasiale Oberstufe nach Erlass des Kernlehrplanes verbindlich. Jeweils vor Beginn einesneuen Schuljahres, d.h. erstmalig nach Ende der Einführungsphase im Sommer 2015 werden ineiner Sitzung der Fachkonferenz für die nachfolgenden Jahrgänge zwingend erforderlich er-scheinende Veränderungen diskutiert und ggf. beschlossen, um erkannten ungünstigen Ent-scheidungen schnellstmöglich entgegenwirken zu können.

Nach Abschluss des Abiturs 2017 wird eine Arbeitsgruppe aus den zu diesem Zeitpunkt in dergymnasialen Oberstufe unterrichtenden Lehrkräften auf der Grundlage ihrer Unterrichtserfah-rungen eine Gesamtsicht des schulinternen Curriculums vornehmen und eine Beschlussvorlagefür die erste Fachkonferenz des folgenden Schuljahres erstellen.

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Schulinterner Lehrplan zum Kernlehrplan für die gymnasiale … · 2020. 8. 26. · Sekundarstufe II eingeführte Arbeitsbuch „Lambacher Schweizer“ hervorragende Ansatzmöglich-keiten,