Schwingungslehre in Kursstufe 12 1/55 Ernst Schreier

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Schwingungslehre in Kursstufe 12

Ein Unterrichtsversuchunter Bercksichtigung musikalischer Aspekte

0 STOFFVERTEILUNG 3

1 FOURIERSYNTHESE UND FOURIERANALYSE 5

1.1 Stehende Wellen / Eigenschwingungen / Resonanz 51.1.1 Unterschiede zw. fortschreitenden und Stehenden Wellen 51.1.2 Eigenschwingungen (Harmonische) stehender Wellen 61.1.3 Resonanz & Oberschwingungen beim Klavier (Musikraum) = Hausaufgabe fr Freitag 7

1.2 Fourieranalyse und -synthese 8

2 KLANGSPEKTREN MUSIKALISCHER INSTRUMENTE 10

2.1 Saiteninstrumente 102.1.1 Eigenfrequenzen / Gesetz von Mersenne 112.1.2 Geschlagene Saiten / Klavier 122.1.3 Gezupfte Saiten (Gitarre): Dreiecksform 122.1.4 Gestrichene Saiten (Geige) / Sgezahnschwingung 13

2.2 Blasinstrumente 172.2.1 Schwingende Luftsulen 172.2.2 Beidseitig offenes Rohr / Heulrohr 182.2.3 Einseitig geschlossenes Rohr / Quincksches Rohr 182.2.4 Holzblasinstrumente 202.2.5 Blechblasinstrumente 23

2.3 Menschliche Stimme / Formanttheorie 242.3.1 Lineares Modell der Stimmerzeugung 242.3.2 Formanttheorie der Vokale 252.3.3 Weitergehende Informationen 27

2.4 Membrane / Flchenhafte Schallgeber 292.4.1 Chladnische Klangfiguren 29

2.5 bungsstunde / Klangfarbe mit CoolEdit 312.5.1 berblick 32

3 TONSYSTEME / MUSIKALISCHE STIMMUNGEN 33

3.1 Harmonie: Konsonanz und Dissonanz 333.1.1 Aufbau der pythagorischen Tonleiter ber Ganz- und Halbtonintervalle / Monochord 353.1.2 Aufbau der pythagorischen Tonleiter ber den Quintenzirkel 37

3.2 Naturtonreihe / Blechblser / Diatonische Tonleiter 38

3.3 Temperierte Stimmung / Kammerton / Gitarrengriffbrett 40

4 HRPSYCHOLOGIE / WEBER-FECHNERSCHES GESETZ 42

4.1 Lehrerversuche mit CoolEdit 424.1.1 Amplitude und Lautstrke 424.1.2 Frequenz und Tonhhe 43

4.2 Weber Fechnersches Gesetz 44

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2

4.2.1 Definition der Psychophysik 454.2.2 Konstruktion einer Empfindungsskala 454.2.3 Der Zusammenhang der Reizgre p und der Empfindungsgre E 464.2.4 Der Zusammenhang von Tonhhe und Frequenz 484.2.5 Der Zusammenhang von Lautstrke und Intensitt 49

4.3 Hrphysiologie 504.3.1 Aufbau des Ohres 504.3.2 Frequenzanalyse / Ortstheorie des Hhrens 514.3.3 Lautstrkeempfinden 52

4.4 Akustische Tuschungen 554.4.1 Kombinationstne / Nichtlinearitten 554.4.2 Residuumstne / Fehlender Grundton 554.4.3 Shepard Tonfolge 55

0 StoffverteilungThema Versuche Lernziele

1-3 Physikalische Grundlagen (Harmonische, Fourierspektrum)

1StehendeWellen

Gummiband

Unterschiede fortschreitenderund stehender Wellen

Harmonischevon stehenden Wellen

2 Fourier Akustische Schwebungen bei

Harmonischen einer Rechteck-schwingung

Prinzip und Vorgehensweiseder Fouriersynthese

Fourier ist kein mathematischesSpielzeug sondern Sinnesrealitt

3+4Fourier mitCoolEdit

Grundlegende Handhabungvon CoolEdit

Klangsynthese und -analyse derfundamentalen periodischenFunktionen Sinus, Rechteck,Dreieck, Sgezahn

Phase akustisch unbedeutend

Synthese (graphisch) Synthese (akustisch) Analyse (FFT) desselben Wellenform interpretieren Verknpfung der Klangfarbe

mit Wellenform (rudimentr) grundlegende Wellenparameter

(Frequenz, Amplitude, Phase) Ohmsches Gesetz der Akustik

5-8 Praktische Anwendung / Akustische Relevanz (Klangerzeugung und -spektrum)

5Saiten-instrumente

Monochord Grundtonparameter Anregungsprinzip gezupft / geschlagen gestrichen Rckkopplungsmodell

(Holzklotz auf Reibungsband)

Wiederholung lineares Kraftgesetz Analogie zum Federpendel (D / m) Anregung bestimmt Schwingungs-

form (= Fourierkomponenten) Sgezahn (Geige) Dreieck (Zupfinstrumente, Stimme) Rckkopplung

(phasenrichtige Anregung)

6Blas-instrumente

Heulrohr Quinckscher Resonator Kundtsches Rohr Anschauungsmaterial

Lippenpfeife Zungenpfeife

Schwingende Luftsulen Randbedingung

bestimmt Eigenfrequenz Anregungsmechanismus Lippenpfeife (offenes Ende) Zungenpfeife (geschlossenes Ende) Resonanzbegriff berblick:

Anregungssystem Resonanzsystem Fourierspektrum

Stimme Abtasten der Stimmlippen Abtasten der

vokalbildenden Resonanzrume

Analogie und Anwendung einesModells (schwingende Luftsule) aufNaturgegebenheit (Phonetik)

Schwingungslehre in Kursstufe 12 4/55 Ernst Schreier

4

Flchen-hafteSchallgeber

Chladnische Klangfiguren

Anharmonische Vielfache Zweidimensionalitt Knotenlinien als 2dim Knoten Vorbereitung auf Potentialtpfe etc.

7+8

Klang- bzw.Fourier-analysemit CoolEdit

CoolEdit Frequenzbestimmung Oberschwingungen Frequenz-Amplitudenspektrum Zeit-Frequenz- Spektrum menschlische Sprache

Sichtbarmachung der Obertne Festigung des "Vertrauens"

in diese Anschauungsweise Randbedingungen

Frequenzspektrum Frequenzspektrum

Klangeindruck

9/10Harmonie als Grundprinzip menschlicher Modellvorstellungen

(Physik als Modellvorstellung, Einflu von menschlichen Harmonie- und Ordnungsprinzipienin die Modellierung, z.B. Kepler, Atommodell, Quantenmechanik)

9

Harmonie /KonsonanzTonleitern(event. 2Std.)

Monochord / Saitenverhltnisse viel, viel Bruchrechnen eventuell Trompete mitnehmen

3 Ventil Systeme Gitarre (Temp.Stimmung)

pythagorische Tonleiter(elementare konsonante Intervalle)

Naturtonreihe (Blasinstrumente) Temperierte Stimmung

(Logarithmik) Harmonie als Grundprinzip der Physik

(Galilei, Kepler, Bohr)

10 CoolEdit verschiedene Tonleitern

11 /12

Psychophysik als Verknpfungsubjektiv Sinneswahrnehmung mit

objektiv messbaren Reizgren.

11WeberFechner

Hrphysiologie Reizempfindungsschwellen fr

Frequenz (Tonintervalle) und Lautstrke (dB-Skala)

Weber-Fechnersches Gesetz

Grundgesetz Psychophysiologie:Weber-Fechner, angewandt auf Lautstrke Tonhhe

Vergleich zur Optik

12AkustischeTuschun-gen

CoolEdit Lehrervortrag Nichtlineares Kraftgesetz Grenzen d. Superpositionsprinzips Empfinden physikalischer Reiz

Schwingungslehre in Kursstufe 12 5/55 Ernst Schreier

5

1 Fouriersynthese und Fourieranalyse

1.1 Stehende Wellen / Eigenschwingungen / Resonanz

Bei einfacher Reflexion bildet sich immer eine stehende Welle vor der Wand aus Bei mehrfacher Reflexion nur unter bestimmten Bedingungen (Randbedingungen)

Versuch: Stehende Wellen mit Gummiband

Gummiband verbunden mit Experimentiermotor angetrieben mit Sinusgenerator

Fortschreitende Welle durch Gummibandlaufen lassen mit Reflexion

Frequenz langsam erhhen

Fortschreitende und stehende Welle neben-einander und Unterschiede aufschreiben (a)

Stehende Welle im Knoten packen nix tut sich im Bauch packen zerstrt die Welle Randbedingungen entscheidend (b)

1.1.1 Unterschiede zw. fortschreitenden und Stehenden Wellen

Fortschreitende Welle Stehende Welle

Kurvenbild verschiebt sichmit der Geschwindigkeit c

Kurvenbild bleibt rumlich fixiert

Alle Ortspunkte haben diegleiche Bewegungsamplitude.

Alle Ortspunkte erreichen diese zeit-lich nacheinander

Jeder Ortspunkt hat unterschiedli-che Bewegungsamplituden.

Alle Ortpunkte erreichenihre Amplitude zur gleichen Zeit.

In keinem Momentist berall Stillstand

In Moment grter Elongationist berall Stillstand.

In keinem Momentist berall die Elongation null

Im gleichen Moment (alle T/2)ist berall die Elongation Null(und die Schnelle maximal)

Jeder Ortpunktinnerhalb einer Wellenlnge hatunterschiedliche Phase

Alle Ortspunkteinnerhalb benachbarter Knotenhaben die gleiche Phase.

Zu beiden Seiten eines Knotensschwingen Ortspunkte gegenphasig.

Kein Punkt ist stndig in Ruhe Die Schnelleknoten ruhen stndig

Energie schreitet fort Energie bleibt am Ort,kein Energietransport

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1.1.2 Eigenschwingungen (Harmonische) stehender Wellen

Versuchsaufbau abzeichnen lassen (siehe Bild)

1.Harmonische) f1 k.te Harmonische f2, f3, f4, ....

Randbedingung: Saitenenden sind Knoten der Bewegung

Die Randbedingungen geben die Eigenschwingungen (Wellenlnge) vor

Besser den Versuch waagrecht ablaufen lassen und die Eigenschwingungen in eine Zeile:

Zusammenhang zwischenZeichnungen Seillnge Wellenlnge

1. Harmonische L = 1 (1 / 2) 1 = 2L / 12. Harmonische L = 2 ( 2 / 2) 2 = 2L / 23. Harmonische L = 3 ( 3 / 2 ) 3 = 2L / 34. Harmonische L = 4 ( 4 / 2 ) 4 = 2L / 4k. Harmonische L = k ( k / 2 ) k = 2L / k

Aus c = f folgt fr die Frequenz der

Oberschwingungen 122kf

Lc

kLk

cc

fk

k =

=

==

fr k = 1,2,3,4,...

zur GrundfrequenzLc

f21

=

d.h. die Frequenzen der Oberschwingungen sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz f1.

Merksatz:

Sind die Enden eines Seils der Lnge L fest eingespannt und damit Schwingungsknoten,so kann der Wellentrger nur zu sogenannten Eigenschwingungen angeregt werden.

Die Frequenz der Oberschwingungen sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz:

1kff k = mit Lc

f21

=

Die Konstante c ist dabei die Geschwindigkeit,mit der sich eine fortschreitende Welle auf dem Trger ausbreitet.

Frage: Warum kommt da die Wellengeschwindigkeit c vor ?Bem.: (2L / c) ist die Zeit, die die fortschreitende Welle braucht,

um nach zweifacher Reflexion wieder phasenrichtig anzukommen.

Hausaufgabe:Leiten Sie die Gleichung einer stehenden Welle aus der berlagerungzweier gegenlufiger eindimensionaler, fortschreitender Wellen gleicher Frequenz und Amplitude her.

von links nach rechts

=

xTt

sxts 2sin),(

von rechts nach links

+=

xTt

sxts 2sin),(

Additionstheorem ( ) )sin()cos()cos()sin(sin =

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Versuch: Stehende Lngswellen mit Schraubenfeder Schwinger wird durch Gummiband am Tisch oder Stativfu gehalten

1.1.3 Resonanz & Oberschwingungen beim Klavier (Musikraum) =Hausaufgabe fr Freitag

Eigenschwingungen (Harmonische) in der Musik Grundschwingung (Musik: Grundton) Oberschwingungen (Musik: Obertne, Partialtne)

Resonanz:Wird ein zu Eigenschwingungen fhiger Wellentrgermit einer seiner Eigenfrequenzen angeregt, so tritt Resonanz auf

berleitung zu den Saiteninstrumenten durch "Hausaufgabe"

Schwingungsanregung durch einen Oberton (Partialton)d.h. eine Saite kann mit jeder ihrer Obertne schwingen

Dmpfer von Grundton Saite (G) abheben einzelne Harmonische von G (g, d1, g1, h1, d2, etc.)

hart ("staccato") anspielen G schwingt mit dieser Harmonischen Zwischentne anspielen (a, f, etc.)

hart ("staccato") anspielen G schwingt nicht !

Schwingungsanregung durch mehrere Obertned.h. eine Saite schwingt gleichzeitig mit allen ihren Obertnen

Dmpfer von Grundton Saite (G) abheben Akkord (d1, g1, h1) hart ("staccato") anspielen

G-Saite schwingt mit allen drei Harmonischen Mit dem Unterarm alle Klaviertasten anspielen

G-Saite schwingt mit allen Harmonischen= Dominant-Sept-Akkord (g, d1, g1, h1, d2, f2, g2)

Schwingungsanregung eines Obertons durch den Grundton Dmpfer von oktavierter Saite (g) abheben Grundton (G) hart anspielen

Oktavierte g-Saite schwingt mit eigenem Grundton (g) G-Saite schwingt gleichzeitig mit allen ihren Harmonischen

bergang zur Fouriersynthese

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1.2 Fourieranalyse und -synthese

EinstiegsVersuchAkustische Analyse einer Rechteckschwingung (200 Hz) des Frequenzgeneratorsdurch berlagerung mit Sinusschwingung Schwebungserscheinungen bei den Obertnen (600Hz, 1000Hz )

Was kann man aussagen, wenn man bei hheren Frequenzen Schwebungen hrt? In der Rechteckschwingung sind - zustzlich zur Grundschwingung (200 Hz)

Sinusschwingungen hherer Frequenz (600 Hz, 1000 Hz, 1400 Hz) verborgen

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830):

Jede beliebige periodische Funktion lt sich in eindeuti-ger Weise aus harmonischen Funktionen (Sinus- und Ko-sinusfunktionen) zusammensetzen:

])cos()sin([2

)]sin([2

)(

01

00

01

0

tnbtnaa

tnca

ta

nnn

nn

n

++=

++=

=

= Bem*

Dabei ist a0 ein fester Wert unabhngig der Kreisfrequenz w0.Die beiden Fourierkoeffizienten an und bn (Index n) sind die ei-gentlich interessanten Bestandteile, welche anhand fest gege-bener Algorithmen berechnet werden knnen.

dttntaT

aT

Tn =2/

2/ 0)sin()(

2

dttntaT

bT

Tn =2/

2/ 0)cos()(

2

Groe Bedeutung der harmonischen Schwingungen fr die gesamte Physik

Harmonische Schwingungen sind die Bausteine, aus denen sich durch berlagerungalle periodischen Vorgnge - mgen sie auch noch so kompliziert sein - in eindeutigerWeise zusammensetzen lassen.

Bem*Um die Phase zu bercksichtigen, nimmt man Cosinus und Sinus(lt sich gut mit der Zeigerdarstellung und orthogonale Komponenten (sin & cos) zeigen: = 0 sin (n0t) / = - sin (n0t) / = / 2 cos (n0t) / = 3 / 2 - cos (n0t)

Synthese einer Rechteckschwingung (GTR)

auf dem Overheadprojektor vormachen:

punktsymmetrisch zum Ursprung Sinusfunktion(bzw. ungerade Fkt f(-t) = f(t)) (Cosinus bei Achsensymetrie)

Wellenlnge bzw. Frequenz f = c/ der Grundfrequenz ist durchWellenlnge bzw. Periode T = 1/f = /c der Rechteckschwingung vorgegeben

Schwingungslehre in Kursstufe 12 9/55 Ernst Schreier

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Achsensymmetrischzum Bauch bei ( / 4) zwischen den Knoten nur ungeradzahlige Vielfache (Buckel abziehen / Tler auffllen)

Exakte Lsung (Rechteckschwingung)

+++++= ........)9sin(

91

)7sin(71

)5sin(51

)3sin(31

)sin(4

)( xxxxxa

xAR

Merke: Alle ungeradzahligen Harmonischen mit reziproker Amplitudenstrke

GTR-Aufgabe: Was passiert, wenn man analog hierzu, nicht nur die ungeradzahligen,sondern auch die geradzahligen, d.h. alle Harmonischen nimmt ??

Lsung (Sgezahnfunktion mit negativer Steigung)

+++++= ........)5sin(

51

)4sin(41

)3sin(31

)2sin(21

)sin(2

)( xxxxxa

xAR

Merke: Alle Harmonischen mit reziproker Amplitudenstrke

Lsung (Sgezahnfunktion mit positiver Steigung)

dttntaT

bT

Tn =2/

2/ 0)cos()(

2

Merke: Alle Harmonischen mit reziproker Amplitudenstrke

Lsung (Dreiecksfunktion)

+

+

= ........)7sin(

71

)5sin(51

)3sin(31

)sin(4

)(222

xxxxa

xAR

Merke: Alle ungeradzahligen Harmonischen mit quadratisch-reziproken Amplitudenstrkeund wechselndem Vorzeichen bzw- wechselnder Phase.

Diese mathematische Zerlegung funktioniert im Orts- oder Zeitraum

Zeitfunktion(an einem Ort) )2(sin)

2(sin)(sin tft

Tt

==

Ortsfunktion(zu einem Zeitpunkt) )

2(sin)(sin xxk

=

AbschluVersuchAkustische Analyse einer Sgezahnschwingung (200 Hz) des Frequenzgeneratorsdurch berlagerung mit Sinusschwingung Schwebungserscheinungen bei allen Obertnen (400Hz, 600Hz, 800Hz, 1000Hz )

Schwingungslehre in Kursstufe 12 10/55 Ernst Schreier

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2 Klangspektren musikalischer Instrumente

Musikalische Bezeichnungen physikalischer Schwingungen

Ton = reine Sinusschwingung mit fester Frequenz und Amplitude

Die Frequenz bestimmt die Tonhhe Die Amplitude bestimmt die Tonstrke

Klang = periodische, aber nicht sinusfrmige Schwingung

Der Klang entsteht durch Superposition von Sinusschwingungen,deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind.

Die Partialtne sind harmonische Obertne des Grundtones. Tonhhe ist bestimmt durch Frequenz der Grundschwingung Klangfarbe wird durch

Frequenz, Amplitude und Anzahl der Oberschwingungen bestimmt. Zustzlich entscheidend sind Einschwing- und Abklingverhalten

Tongemisch = berlagerung sinusfrmiger Schwingungen beliebiger Frequenzen (Glocken)

Gerusch = nichtperiodische Schalldruckschwankungen Gemisch unterschiedlicher Frequenzen

2.1 Saiteninstrumente

Mgliche Versuche:

Aufnahme der Schwingung durch Pick up Spule bzw. Tonabnehmer

Einfluparameter fr Frequenz Saitenspannung Saitenmaterials Saitenlnge

Schwingungsform bei Anregung durch Zupfen (Mitte, Rand, zeitlicher Verlauf) Streichen (Geigenbogen) Schlagen (analog Klavier)

Wechselstrom durch Metallsaite in Magnetspalt

Resonanzbereich mit einem Wechselstromgenerator durchfahren Zwei Wechselstromgeneratoren mit Harmonischen Amplitude der Harmonischen Wechselstrme verndern mit Stroboskop Snapshots der Schwingung anschauen

Reibungsoszillator / Sgezahnanregung gestrichener Saiten

Reibungsoszillator als Modell fr Energiezufuhr durch Geigenbogen Holzklotz auf Reibungsbandmaschine eingespannt zwischen waagrechten Federn Selbsterregte Schwingung (Sgezahn: Geige!!!)

durch Haftreibung - Federkraft - Gleitreibung - usw. phasenrichtige Zufuhr von Energie Reiches Obertonspektrum der Geige

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2.1.1 Eigenfrequenzen / Gesetz von Mersenne

Marin Mersenne, Harmonie universelle, 1636 Galilei, Galileo: Unterredungen und mathematische Demonstrationen

ber zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend",.1638

Die Frequenz der schwingenden Saite ist

proportional zur Quadratwurzel der Saitenspannung T umgekehrt proportional zur Masse pro Lngeneinheit = M / L umgekehrt proportional zur Saitenlnge L

Die ersten beiden Aussagen ergeben sich entweder durch Messung oder aus der Tatsache, da es sich hier um ein lineares Kraftgesetz

(d.h. rcktreibende Kraft proportional zur Auslenkung) handelt

analog zum Federpendel gilt: mD

f

Allgemeiner schreibt sich dieses Gesetz in der Form:

AT

LLc

f21

2== mit

der Saitenlnge L, der Saitenspannung T, der Querschnittsflche A und der Dichte = m / V = m / (L A)

des SaitenmaterialsAnwendung dieser Parameter:

Bassaiten werden mit Cu-Draht umwickelt m/L wird grer Saitenspannung wird zum Stimmen gendert Saitenlnge bestimmt die Tonhhe

Anregungsvorgang

Zupfen (Gitarre, Harfe) Streichen (Violine, Viola, Kontrabass, Cello) Schlagen (Hammermechanik beim Klavier)

Schwingungslehre in Kursstufe 12 12/55 Ernst Schreier

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2.1.2 Geschlagene Saiten / Klavier

Hammermechanik, Anschlagen einer Saiten / freies Ausschwingen filzbezogener Hammer schlgt / filzbezogener Dmpfer hebt sich ab nderung des Klangspektrums beim Klavier / freies Ausschwingen

Basssaiten sind mit Kupferdraht ein bis zweimal umwickelt Masse pro Lnge steigt Hochtonsaiten sind doppelt oder dreifach ausgelegt um mit der Lautstrke mitzuhalten

hherfrequente Obertne sind anharmonisch (Klangflle bzw. Wrme)d.h. die Frequenzen der realen Partialtne steigenmit der Ordnungszahl schneller an als die der exakten Harmonischen zum einen wegen temperierter Stimmung zum anderen wegen Steifheit der Stahlsaiten

Beim Drcken einer Taste wird der Dmpfer von der Saite gehoben und der Hammer versetzt die Saite in vertikale Schwingungen. ber den Steg werden die Schwingungen auf den Resonanzboden bertragen,

dessen Flche gro genug ist, um hrbare Luftschwingungen zu erzeugen. Ein typischer Konzertflgel hat etwa 243 Saiten (wobei bis zu drei Saiten eine sogenannte

Gleichklanggruppe bilden knnen), deren Lnge von 5cm bis 2m reichen. Um der extrem hohen Saitengesamtspannung von bis zu 3000N zu widerstehen, erreicht das

Gewicht des Stahlrahmens 120kg bis 180kg. Der Resonanzboden ist eine bis zu 1cm dicke Fichtenplatte. Nach der Orgel und elektronischen Gerten besitzt es das breiteste Frequenzspektrum.

Anschlag:

Die Hrte des Hammers ist neben der Saitenspannung ein Klangparameter. Ist der Hammer sehr leicht, wird er abgebremst und zurckgeworfen, bevor die Reflektionen ihn

erreichen. Die Saite schwingt in ihren Normalmoden. Normalerweise ist der Hammer deutlich schwerer als die Saite. Der reflektierte Anschlagspuls

erreicht den Hammer, bevor dieser zurckgeworfen wird. Daraus resultieren mehrere Kon-takte und damit Interferenzen von Hammer und Saite.

Im Allgemeinen klingen die harmonischen Amplitudeneiner geschlagenen Saite nicht so schnell ab wie bei einer gezupften Saite.

Eine Filzbeschichtung erlaubt eine Abstimmung der Hrte des Hammers. Hmmer knnen hrter gemacht werden, indem mit Sandpapier etwas weicher Filz entfernt wird,

oder mit Lack gehrtet wird. Hammer weicht man auf, indem man den Filz mit Nadeln einsticht. Harte Hmmer erregen besser hhere Frequenzen als weiche Der Klang harter Hmmer ist rau und blechern, der Klang weicher Hmmer eher dumpf ist.

2.1.3 Gezupfte Saiten (Gitarre): Dreiecksform

Versuch: Dreiecksform gezupfter Saiten:Anregung durch Zupfen des Gummibandes an den Rndern

Beleuchtung mit Stroboskop Simulation (Wellenmaschine und Folie)

mit Snapshots der Einzelbewegungen

Schwingung der Saite = Kombination aus Grundton und Obertnen

analog wie beim Rechtecksignal Knoten bei x = 0 und bei x = L

Schwingungslehre in Kursstufe 12 13/55 Ernst Schreier

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sin (x), da sin(0) = 0Sinusfunktion ( sin (x=0) = 0 ) nur ungeradzahlige Oberschwingungen,

damit achsensymmetrisch zur Mitte ( / 4 )zwischen den festgespannten Enden ( / 2 ) als Knoten

im Gegensatz zum Rechteck Maximale Auslenkung in der Mitte (/4)

gegenphasige Komponenten

n An/A1

1 1 +

2 0

3 1 / 9 -

4 0

5 1 / 25 +

6 0

7 1 / 49 -

2.1.4 Gestrichene Saiten (Geige) / Sgezahnschwingung

Die gestrichene Saite gehorchtzwei einfachen physikalischen Gesetzmigkeiten:

Gleitreibung ist kleiner als Haftreibung. Eine gespannte Saite kann nur in ihren

Eigenschwingungen schwingen

Stick and Slip

Haftreibungsphase:Streicht man den Bogen mit ausreichenderGeschwindigkeit und Kraft ber die Saite, so wirddiese zunchst aufgrund von Haftreibung vom Bogenausgelenkt.

Gleitreibungsphase:Wird die rcktreibende Kraft (Saitenspannung) sogro, dass sie die maximale Haftreibung berwindet,dann beginnt die Saite entgegen derBogenbewegung zu gleiten.

Ist die Saite deutlich auf der anderen Seiteangekommen, so bleibt sie erneut am Bogenhaften, wird wieder mitbewegt, bis sie schlielicherneut vom Bogen losgelst wird. Wenn mandiesen Ablauf periodisch wiederholen kann, erhltman die gewnschte Saitenschwingung.

Schwingungslehre in Kursstufe 12 14/55 Ernst Schreier

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Versuch: Sgezahnform gestrichener SaitenPick-up (Tonabnehmer) Spule an Monochord Saite

Induktionsspannung aufs Oszi (prop to Schnelle der Saite) Durch Integration mit der Zeitkonstanten = RC erhlt man die Saitenposition Ergebnisse des Oszilloskopbildes (siehe Abbildung):

geringe Saitengeschwindigkeit = Bogengeschwindigkeit(lngere Haftreibungsphase)

Rckstellkraft > Haftreibungskraft hohe Saitengeschwindigkeit = Gleitreibungsphase Oszillogramme kehren sich um, wenn man die Streichrichtung ndert Oszillogramme werden hher, wenn man die Streichgeschwindigkeit steigert. Das Geschwindigkeitsverhltnis (Haft- / Gleit) entspricht

dem Lngenverhltnis x/(L-x) der geteilten Saite am AbtastortIn der Saitenmitte ist das Signal zeitsymmetrisch

Eine nderung des Anstreichortes ndert das Zeitverhltnis nicht

Die Zeitabschnitte zwischen den Umkehrpunkten innerhalb einer Periodeverhalten sich genauso wie die Teillngen der Saiten links und rechts vom Beobachtungspunkt

Die Saite bildet zu jedem Zeitpunkt einDreieck ber den Saitenendpunkten. Diedritte Ecke luft, je nach Streichrichtung, inder einen oder anderen Richtung auf eineraus zwei Parabelbgen bestehendenBahn um (Helmholtz! siehe Kummer!).

Die Umlaufzeit T = L/c = L/sqrt(K/) ist diePeriode der freien Grundschwingung.

Versuch: phasenrichtige Energiezufuhr beim Anregungsmechanismus gestrichener Saiten

Holzklotzresonator (auf Reibungsband) Zwei Geigenbogen (aktiv/passiv) auf beiden Saitenhlften

Phasenrichtige Energiezufuhr durch Rckkopplungsmechanismus:

Ein genauer Zeitgeber, der das Haften und Abgleiten der Saite am Bogen auslst,ist die periodisch wiederkehrende Knickstelle, die Helmhoitz beobachtet hat.

Der mit der Periode der freien Saitenschwingung umlaufende Saitenknicksynchronisiert die Energiezufuhr im Wechselspiel zwischen Haft- und Gleitreibung.

Das pltzliche Loslsen der Saite, wenn das Gleiten beginnt, liefert einen Knick (s.o.), der wh-rend jeder vollen Schwingung einen Rundlauf entlang der Saite luft. Dieser Knick wird am Stegreflektiert und wenn er wieder am Bogen (Ausgangspunkt) ankommt, dann gibt er diesem Teilder Saite einen heftigen Ruck, der garantiert, dass sie wieder am Bogen haftet.

Schwingungslehre in Kursstufe 12 15/55 Ernst Schreier

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Nachdem der Knick am Sattel reflektiert wurde, gibt er der Saite (am Ausgangspunkt) dann einenRuck in die entgegengesetzte Richtung. Dies fhrt dazu, dass die Saite rechtzeitig vom Bogengelst wird, um einen neuen Durchlauf zu starten.

Dieser "stick and slip" Mechanismus verursacht die sgezahnfrmige Auslenkung

Dieser (Stick and Slip) Rckkopplungsmechanismus funktioniert auch bei Singenden Weinglsern Quitschender Kreide Quitschende Autobremsen

Der geschilderte Rckkopplungsmechanismusfunktioniert nur, wenn die Geschwindigkeitdes Bogens und die Kraft, mit der er auf dieSaite gedrckt wird (die Geiger sagen dazu:Bogendruck) zueinander passen.

Je nher am Steg gestrichen wird, desto ge-ringer ist der Abstand zwischen Maximal- undMinimaldruck: Nahe am Steg und schnell -das sind gerade die Bedingungen fr einen in-tensiven, brillanten Ton.

Das Spektrum der Sgezahnschwingung ist einfach:Die Amplitude jeder n-ten Harmonischen ist genauder n-te Teil der Anfangsamplitude der Grundschwingung.

Bemerkung: Wie schon beim Klavier (wo sich der Hammer zumeist bei L/7 befindet),

sollte auch die Geigensaite bei L/7 angestrichen werden(Die 7. Harmonische ist das erste dissonante Tonintervall)

Je nach Auflage- bzw. Streichpunkt werden entsprechende Obertne verstrkt bzw. gedmpft.

Schwingungslehre in Kursstufe 12 16/55 Ernst Schreier

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2.1.4.1 Aufbau der Geige Akustischer Kurzschlu: Die komprimierte Luft vor der Saite strmt leicht in die Verdnnungs-

zone hinter der Saite. Die schwingende Saite strahlt selbst sehr ineffektiv Schall ab.

Resonanzkrper ist notwendig!!!

Vier ber einen Resonanzkrper gespannte Saiten verschiedenen Durchmessers. Unter dem baseitigen Stegfu ist die Decke durch den sogen. Babalken versteift. Unter dem diskantseitigen Fu sttzt der Stimmstock die Decke gegen den Boden ab.

Der Steg hat die Funktion, die Saitenschwingungen auf die Geigenkorpus zu bertragen. Da der diskantseitige Stegfu ganz in der Nhe des Stimmstocks, also relativ fest aufsteht, wirkt

der Steg wie ein dreiarmiger Hebel, der die horizontale Bewegung der Stegoberkante zu einervertikalen vorwiegend des baseitigen Fues macht.

Dieser "stampfende" Fu setzt einen groen Teil der Baseite der Decke in Bewegung, dennunter ihm verluft ja gerade der Babalken.

2.1.4.2 Resonanzfrequenzen des Geigenkorpus

Versuch: Helmholtzresonanz Tieftonlautsprecher ber einem der beiden f-Lcher

Mikrofon ber das andere f-Loch Starke Resonanz bei f = 275 Hz (bei allen Geigen)

Helmholtz bei f=275 Hz Ringresonanzen

(f = 315 Hz bzw. f = 340 Hz) Schwingungsmode bei ca. 466 Hz

Helmholtz-Resonanz ist Gegeneinanderpumpen von Decke und Boden,bekannt vom Bierflaschen-Blasen: Das Luftpolster im Flaschenbauch entspricht einer

Feder, die um so hrter ist, je kleiner das Volumen V ist. (D 1/V) Der Luftpfropfen im Flaschenhals entspricht der

Masse des Masse-Federpendels, welche mit der Lnge l des Flaschenhalses wchst und mit dem Halsquerschnitt A sinkt (m l/A):

lVAc

mDc

f 22

==

Schwingungslehre in Kursstufe 12 17/55 Ernst Schreier

17

2.2 Blasinstrumente

Wesentlich bessere Schallabstrahlung als Saiteninstrumente,da das schwingende System aus dem gleichen Material besteht wie das schallausbreitende.

2.2.1 Schwingende Luftsulen

Quinckesches Rohr

Abstimmen der Luftsuledurch Variation des Wasserstandes

Die von auen aufgezwungene Luftschwin-gung findet Resonanzbedingungen vord.h. erfllt die Randbedingungenfr Eigenschwingungen der Luftsule

Luftsule wird gemessen /4 und dann im Abstand von /2

(ungeradzahliges Vielfaches von / 4) Wer kann das erklren ??

Genauere Behandlung durch Sichtbarmachender Luftschwingung Kundtsche Rhre

Bei der Gelegenheit (Resonanz !!!!! ) erklren am besten Schler erklren lassen, warum

es beim Durchfahren Stellen gibt, an denendie Lautstrke zunimmt.

Kundtsches RohrAugust Kundt, deutscher Physiker, 1815-1894

Auf beiden Seiten eines Schnelleknotens schwingen die Luftteilchen von links und rechts entweder gegen den Knoten an Druckmaximum oder vom Knoten weg Druckminimumd.h. ein Bewegungknoten ist ein Druckbauch (Modell mit Kopf zwischen den Hnden)

Bewegungsknoten = Druckbauch (z.B. geschlossenes Ende) Bewegungsbauch = Druckknoten (z.B. offenes Ende) Druck und Schnelle schwingen phasenverschoben um = / 2 Abstand zwischen zwei Bewegungsknoten bzw. Bewegungsbuchen = / 2 Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft ber

c = f (Frequenzgenerator) (doppelter Abstand)

Verschieben des Kolbens Verndern der Frequenz und Bestimmung der Wellenlnge Auftragen der Wellenlnge gegen die reziproke Frequenz (Steigung ist c)

Die Linien, die der Korkstaub bildet, entstehen durch Luftstrmungen im Rohr. Sie haben mit derWellenlnge nichts zu tun. Weitere Infos: Bergmann / Schfer.

Schlerexperiment mit CoolEdit Reagenzglser Frequenz aufnehmen und mit der Formel verknpfen

Schwingungslehre in Kursstufe 12 18/55 Ernst Schreier

18

2.2.2 Beidseitig offenes Rohr / Heulrohr

Randbedingungen: An den Enden Schnellebuche bzw. Druckknoten Abstand zweier Buche = Abstand zweier Knoten = / 2 (analog wie bei der Saite!!)

Lnge der Luftsule Wellenlnge Frequenz

L = 1 ( 1 / 2 ) 1 = 2L f1 = c / 1= 1 (c / 2L) = 1 f1

L = 2 ( 2 / 2 ) 2 = 2L / 2 f2 = c / 2= 2 (c / 2L) = 2 f1

L = 3 ( 3 / 2 ) 3 = 2L / 3 f2 = c / 3= 3 (c / 2L) = 3 f1

L = k ( k / 2 ) k = 2L / k fk = c / k= k (c / 2L) = k f1

,...3,2,12

.2

=== kfrLc

kfbzwkL kn

2.2.3 Einseitig geschlossenes Rohr / Quincksches Rohr

Unterschiedliche Randbedingungen Abstand (Knoten - Bauch = / 4) + Abstand (Bauch-Bauch = / 2 )

Lnge der Luftsule Wellenlnge Frequenz

L = 1 ( 1 / 4 ) 1 = 4L f1 = c / 1= 1 (c / 4L) = 1 f1

L = 3 ( 2 / 4 ) 2 = 4L / 3 f2 = c / 2= 3 (c / 4L) = 3 f1

L = 5 ( 3 / 4 ) 3 = 4L / 5 f2 = c / 3= 5 (c / 4L) = 5 f1

L = (2k-1) ( k / 4 ) k = 4L / (2k-1)fk = c / k

= (2k-1) (c / 4L)= (2k-1) f1

,..3,2,14

)12(.4

)12( === kfrLc

kfbzwkL kk

Schwingungslehre in Kursstufe 12 19/55 Ernst Schreier

19

Merkregeln: Abstand zwischen zwei Bewegungsknoten bzw. Bewegungsbuchen = / 2

gleiche Randbedingungen geradzahlige Vielfache der Grundfrequenz gemischte Randbedingungen ungeradzahlige Vielfache der Grundfrequenz Dies spiegelt sich im Klangcharakter wider.

Druck- und Schnellezustnde schwingen gegenphasig (Dort wo sich was bewegt, entsteht keinDruck. Dort wo es sich hinbewegt, entsteht berdruck, dort wo es sich wegbewegt, Unterdruck)

gedackte Pfeifen (gemischte Randbedingung) klingen eine Oktave tiefer als offene Pfeifen gleicher Lnge und haben nur ungeradzahlige Harmonische

offenes Ende Schwingungsbauch Druckknotenfestes Ende Schwingungsknoten Druckbauch

Reflexion am offenen Ende

Verdichtungspfropf zerplatzt am offenen Ende Unterdruck (durch Zerplatzen) berlagert sich mit anlaufendem berdruck Normaler Luftdruck (Druckknoten), aber Schnellebauch (hohe Teilchenbewegung) Randbedingung fr offenes Ende (p = p0 = const)

Eigenfrequenzen best. durch Randbedingungen

geschlossenes Ende Luftteilchen knnen sich nicht bewegen = Bewegungsknoten Teilchen werden hier dagegengepresst und knnen nicht weg = Druckbauch

offenes Ende Luftteilchen bewegen sich rein und raus = Bewegungsbauch Druckverhltnisse an die Umgebung angepasst = Druckknoten

Corruga Heulrohr Schwingen lassen (Mikrofon in festgehaltenem Ende???) Entstehende Tne sind Naturtonreihe C C G C D G E

Schwingungslehre in Kursstufe 12 20/55 Ernst Schreier

20

2.2.4 Holzblasinstrumente

2.2.4.1 Anregungsvorgang / Zungen und Lippenpfeifen

Ein Ende, die Lufteintrittsffnung ist immer offen.

anderes Ende offenLippenpfeife

Schnellebauch

beide Enden offen alle Obertne klarer Klang

Blockflte, Querflte, Orgel

anderes Endegeschlossen

ZungenpfeifeDruckbauch

gemischte Randbedinungen nur ungeradzahlige Obertne schnarrender Klang

Schnarrwerk (Orgel) Klarinette, Saxophon Oboe, Fagott, Stimme

Lippenpfeifen / Labialpfeifen

Anregung am Luftblatt (Querflte, Heulrohr) nderung der Luftgeschwindigkeit an der Anblasffnung

regt Luftsule zu Eigenschwingungen an

Anregung durch Wirbelablsung an

Schneide bzw. Lippe

Luftstrom trifft auf Schneide und erzeugt Wirbel,die im Moment ihrer Ablsung die Luftsuleim Innern der Sule anstt.

Der Luftstrom, der durch die Kernspalte gebildet wird,strmt als dnne Lamelle durch den Aufschnitt undwird dort durch die Schallschwingungen in der Luft-sule periodisch abgelenkt, so da sie abwechselndnach innen und auen ausschwingt.

Sobald die Pfeife anspricht, bildet sich eine stabilestehende Welle in der Luftsule aus, welche nun denRhythmus der Wirbelablsung an der Lippe vorgibt.

Der Luftstrom liefert dann immer die ntige Energie nach,um einen gleichbleibenden Ton aufrecht zu erhalten (phasenrichtige Rckkopplung).

Wirbelablsung in der Natur: an zylindrischen Masten oder Drhten Surren der Hochspannungsleitungen proportional zur Windgeschwindigkeit umgekehrt propto Drahtdurchmesser f = 0.185 v/d

Schwingungslehre in Kursstufe 12 21/55 Ernst Schreier

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Visualisierung der Luftblattschwingungen http://members.aol.com/ReinerJank/emden.htmlUm das Luftblatt sichtbar zu machen, wurde eine prparierte Pfeife mit CO2 angeblasen. DieVersuchsanordnung hnelte dem Prinzip eines Diaprojektors, wobei die Pfeife das Dia" war.Als Lichtquelle diente ein gepulster Laser, der mit Lichtblitzen (Stroboskopprinzip) die Pfeifeseitlich durchleuchtete. Die Optik projiziert den Bereich der Kernspalte auf eine weie Wand.

Luftblatt einer offenen Pfeife als Animationsfilm (92 kB)

Einschwingvorgang einer gedeckten Pfeife als Animation (113 kB)

Luftblatt einer gedeckten Pfeife als Animationsfilm (112 KB)

Geschwindigkeitsprofil einer gedeckten Pfeife als animierte Grafik (94 KB)

Schwingungslehre in Kursstufe 12 22/55 Ernst Schreier

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Zungenpfeifen

Rohrbltter arbeiten wie Ventile,die den Luftstrom in das Instrument steuern.

Sie ffnen und schlieen sichabhngig vom Druck der schwingenden Luftsule.

periodisches ffnen (durch Druckmaximum)und Schliessen (durch Druckminimum)

kontinuierlicher Luftsto wird in Luftste zerteilt

Rechteckschwingung dominiert, ungeradzahlige Vielfache (gemischte Randbedingungen) Schnarrender Klang

Gekoppeltes Resonatorsystem(Zunge und Schallbecher)

Tonhhe von Zungenpfeifen wird von der1. Eigenschwingung der schwingenden Metallzunge bestimmt.

Schwingungsfrequenz wird von der Luftsule mitbestimmt (Resonator)

Das Frequenzspektrum und damit der Klangcharakter kann durch die Verstimmungder Resonanzfrequenzen zwischen den beiden Resonatoren beeinflut werden.

Zungenpfeife darf nur an der Zunge nachgestimmt werden (Zungenlnge)

Reduzierung der wirksamen Schallrohrlnge durch seitliche Grifflcher

Ist das Loch genauso gro wie die Innenbohrung, dann erhlt man dieselbe Tonhhe wie bei ei-nem Rohr, das bis zu diesem Loch reicht.

Je kleiner die Lcher,desto geringer der Unterschied zwischen tatschlicher und wirksamer Rohrlnge.

Wenn alle Tonlcher geschlossen sind, klingt der tiefste Ton, weil die Rohrlnge maximal ist. Werden nun die Grifflcher, die vom Mundstck am weitesten entfernt sind,

langsam nacheinander geffnet, so wird der Ton immer hher. Hinzu kommen noch berblastechniken, die jeden Ton in ihre nchsthhere Eigenfrequenz

versetzen. Dies ist bei einer Flte oder einer Oboe eine Oktave und bei der Klarinette gar eineDuodezime (Oktave+Quinte).

Schwingungslehre in Kursstufe 12 23/55 Ernst Schreier

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2.2.5 Blechblasinstrumente

Aufbau

Kesselfrmiges Mundstck konisches Mundstck Hauptrohr

zylindrisch (Trompeten, Posaunen) konisch (Flgelhorn, Tenorhorn, Tuba)

Schallbecher bzw. Horn istentscheidend fr Tonhhe und Klangfarbe

Anregung

Lippen des Blsers = Blatt einer Zungenpfeife d.h. geschlossenes Ende trotzdem alle Oberschwingungen, da hherfrequenten Wellen

weiter in den Schallbecher reichen Frequenzen rcken zusammen. Druckschwankungen im Mundstck und

gleichmiger Luftdruck aus der Lunge wirkt auf die Lippen Der Bereich vor (Mundstck) und hinter den Lippen

(Mund und Rachenraum ) beeinflussen sich gegenseitig Die periodischen Druckschwankungen, die im Mundstck auftreten, erregen eine Druck-

welle, die zuletzt den ausladenden Schallbecher erreicht. Whrend dieses Vorganges ver-liert die Welle durch Reibung und Wrmeableitung Energie.

An der Erweiterung des Schallbechers wird ein Groteil der Schallwelle reflektiert und luftzum Mundstck zurck. Der Rest der Welle wird in die Umgebung abgestrahlt.

Die reflektierte und wieder neu angeregte Schallwellen bilden zusammen stehende Wellen.

Klangfarbe / Obertne

ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz = Naturtonreihe C g c e g b c d e

Ventile verlngern das Hauptrohr entsprechendMan bentigt nur 3 Ventile, um alle chromatischen Tne zu erzeugen !!!!!!!!

1. Ventil groe Sekund 9 / 8 1,1252. Ventil kleine Sekund 10 / 9 1,1113. Ventil kleine Terz 6 / 5 1,2

1.+ 2. Ventil groe Terz = groe Sekund + kleine Sekund (9 / 8)(10 / 9) = 5 / 4 1,251.+ 3. Ventil groe Sekund + kleine Terz (9 / 8)(6 / 5) = 27/20 1,352.+ 3. Ventil Quart = kleine Sekund + kleine Terz (10/ 9)(6 / 5) = 4 / 3 1,33

1.+ 2.+ 3. Ventil groe Sekund + kleine Sekund + kleine Terz= (9 / 8)(10 / 9)(6 / 5) =kein Ventil Quint 3 / 2 1,5

Schwingungslehre in Kursstufe 12 24/55 Ernst Schreier

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2.3 Menschliche Stimme / Formanttheorie

Anschlu mit Analogie zur einseitig geschlossenen Luftsule (Oboe, Klarinette)und dem gekoppelten Systeme (Rohrblatt - Luftrhre)

Technisch-wirtschaftliche Relevanz = Computerinterface zum Menschen Sprachanalyse (Diktiergerte, Sicherheitssysteme, Autoanweisungen etc.) Sprachsynthese ("individuell" synthetisierte Sprachansagen (Telefon etc.)) Automatische Fremdsprachenbersetzung

Schematisches Modell der Tonerzeugung Energiequelle (Luftstrom, Geigenbogen, Zupfen, Hammer etc.) Oszillierendes bzw. Vibrierendes System (Schwingungserzeugung) Resonator (Luftsule, Geigenkrper, etc.)

2.3.1 Lineares Modell der Stimmerzeugung

Lunge als Luftreservoir entspricht dem Blasebalg einer Orgel keinerlei Einflu auf die Tonqualitt

Kehlkopf

Stimmlippen als Oszillatoren (Stimmhhe und ungefiltertes Stimmspektrum) fest verankert am vorderen Schildknorpel (Adamsapfel) beweglicher Stellknorpel am hinteren Befestigungspunkt

Der in den Stimmlippen liegende Muskel hat die Fhigkeit zu aktiver Eigenspannung geffneter Entspannungszustand = Atmungszustand

Straffung und Lockerung der Stimmbnderdurch bewute und unbewute Muskelanspannungen (Lage der Knorpel) Engstelle fr Luftstrom (bei gleichzeitig erhhtem (1%) Luftdruck durch die Lunge) Aerodynamisches Paradoxon

(Verringerung des statischen Luftdrucks durch Erhhung der Stromgeschwindigkeit,eventuell mit zwei Blttern vormachen, p.s.: Abdecken von Huserdchern)

Zusammenziehen der Stimmbnder Abschlu des Luftstroms Stimmbnder auseinander Erneuter Zyklus

Die Eigenfrequenz dieses Schwingungszyklussesbernimmt die Funktion eines Rckkopplungs-mechanismusses und bestimmt dieGrundfrequenz des Stimmlautes

Diese (1/T = 1/8ms = 125 Hz) ist abhngig von Spannungszustand der Stimmbnder und Geschwindigkeit des Luftstroms (Luftdruck)

Kein Muskel knnte aktivfr derartige Oszillationen sorgen

Dreiecksform dieses zyklischen Vorgangs obertonreiches Frequenzspektrummit Amplitudenabfall propto 1/n2

Stimmbandton ist stimmhafter,aber noch undifferenzierbarer Klang.

Ertasten der Stimmbandschwingungenmit stimmhaftem ("zzzz") und "stimmlosem ("ssss") S

Schwingungslehre in Kursstufe 12 25/55 Ernst Schreier

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2.3.2 Formanttheorie der VokaleVokaltrakt bzw. Resonanzkrper(Rachen- und Mundraum (primr), Nasenraum (sekundr))

Modell einer einseitig geschlossenen (Stimmbnder) Luftsule der Lnge 17,5cm Dies ergibt eine Grundfrequenz von f = c/4 = 333 / 0,7 Hz = ca. 500 Hz siehe Abb.: Knotenpunkte des Drucks durch Pfeile markiert

Diese Resonanzbereiche fr Grund- und Oberschwingungen nennt man Formanten Die Mundhhle als Resonator ist unabhngig von der Tonhhe

Schwingungslehre in Kursstufe 12 26/55 Ernst Schreier

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Der resonante Vokaltrakt modifiziert den von den Stimmlippen erzeugten Klang, wobei die Bereiche an und nahe der Eigenfrequenzen verstrkt und die dazwischenliegenden Bereiche geschwcht werden

(siehe Abbildung zum linearen Modell).

Die Formanten knnen durch Vernderungen der Luftsule (Mund und Zungenbewegung) inder Frequenz verschoben werden (d.h. weg von einfacher Luftsule, vgl. Geigenkrper)

Die folgende Abbildung vergleicht Rntgenaufnahmen beim Sprechen der Vokale a, e, i, o, umit den Einhllenden der dazugehrigen Frequenzspektren.

I E A O UM 270 530 730 570 300F 310 610 850 590 370F1K 370 690 1030 680 430M 2290 1840 1090 840 870F 2790 2330 1220 920 950F2K 3200 2610 1370 1060 1170M 3010 2480 2440 2410 2240K 3310 2990 2810 2710 2670F3K 3730 3570 3170 3180 3260

In grober Nherung kann man sagen, da

der erste Formant mit der vertikalen Stellung der Zunge(oben = tiefe Frequenz, unten = hohe Frequenz)

der zweite Formant mit der horizontalen Stellung(vorne = hohe Frequenz, hinten = tiefe Frequenz)

zusammenhngt.

Schwingungslehre in Kursstufe 12 27/55 Ernst Schreier

27

Vergleiche hierzu z.B.

Vokal "i" mitoben (300 Hz) und vorne (2500 Hz)

Vokal "o" mitunten (600 Hz) und hinten (900 Hz)

Vokal "a" mitunten (800 Hz) und hinten (1250 Hz)

Man sieht, da hchstens zwei bis drei Formanten zu einer Charakterisierung ausreichen. In der Tabelle sind die Durchschnittwerte der ersten drei Formanten fr die Vokale angegeben,

jeweils fr Mnner, Frauen und Kinder. Einen besseren berblick bietet die sogenannte For-mantkarte, bei der die beiden ersten Formantfrequenzen gegeneinander aufgetragen sind.

Singstimme Frequenzbereich [Hz] Stimmlippen [mm]Bass 85 - 329 24-25

MnnerTenor 130-430 17-20Alt 170-640 18-19

FrauenSopran 250-1100 14-17

Sprachfrequenz [Hz]Lngenzunahmein der Pubertt

Mnner 100-200 10Frauen 200-380 3

2.3.3 Weitergehende Informationen

2.3.3.1 Konsonanten

Bei stimmlosen Konsonanten wie f", sch" oder s" sind die Stimmbnder offen;der Luftstrom wird durch Verengungen am Gaumen, zwischen Zunge und Zhnen bzw.zwischen den Lippen gefhrt, wobei durch Turbulenz ein unperiodischer, rauschartigerSchallvorgang entsteht. Das Spektrum zeigt viele Obertne, die aber nicht Harmonischesind. Eine Zwischenposition nimmt das h" ein, bei dem der Luftstrom auch leicht dieStimmbnder aktiviert.

Bei den Verschlulauten "k", "p", "t" wird der unmodulierte Luftstrom bei verschiede-nen Stellen des Mundraums gestaut und dann pltzlich freigegeben. Einer kurzenSprechpause folgt dabei ein explosionsartiger Knall - daher auch die Bezeichnung Plo-sivlaute". Ebenfalls eine Mittelstellung mit stimmhaften und stimmlosen Anteilen habendie Verschlulaute g", b" und d".

Bei den nasalen Lauten m", n", ng" wird das Rachenzpfchen herabbewegt, derLuftstrom durch die Nase gefhrt und der Mundraum fr kurze Zeit blockiert.

2.3.3.2 Ausgebildete Gesangsstimmen

Bei Sopranistinnen liegt die Gesangsfrequenz meist ber der Formantfrequenz und wirdinfolgedessen durch den Vokaltrakt nicht sehr verstrkt. Durch Formantverschiebung(nderung der Mundststellung) wird die Frequenz des ersten Formanten in die Nhe derGesangsfrequenz (so weit mglich) geschoben.

Bei Mnnerstimmen (vor allem Bass) werden durch die Formantennur hhere Harmonische der Singgrundfrequenz verstrkt.

Schwingungslehre in Kursstufe 12 28/55 Ernst Schreier

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Ausgeprgter Reichtum an Obertnen durch verringerte Impulsbreite der Stimmlip-penffnung (d.h. Verlngerung der Zeiten, in denen die Stimmlippen geschlossen sind).Dies wird durch Atemtraining erreicht.

Festliegender Gesangsformant bei 2500-3000 Hz (bei Mnner- und Frauenstimmen),welcher gestattet, die Singstimme aus der Orchestermusik herauszuhren, da in diesemFrequenzbereich die Orchesterintensitt deutlich geringer ist. Dieser zustzliche For-mant grndet in einem zustzlichen Resonanzraum (zwischen falschen und echtenStimmlippen) durch Absenkung des Kehlkopfes um ca. 2 cm.

Intensitt und Frequenz- (bzw. Lautstrke und Tonhhen) Vibrato mit f 6 Hz. Spannungszustnde der Muskeln werden laufend gendert und ermden weniger

rasch (ein lngeres Anhalten eines konstanten Spannungszustandes ermdet). Bei niederen Frequenzen wird das Vibrato eher durch die Stimmbnder erzeugt, bei

hheren Frequenzen eher durch den Vokaltrakt

Durch das Vibrato klingt der Ton fr den Hrer voller und subjektiv lauter und lt sich durch den Snger besser kontrollieren(Gehr sensitiver fr Vernderungen denn fr konstante Reize).

2.3.3.3 Pfeifen

Oszillieren bei der Sprach- und Toner-zeugung die Stimmlippen (geschlosse-nes Ende analog zu den Rohrblattin-strumenten)so oszilliert beim Pfeifen praktischnur der Luftstrom (analog zu Flten).

Die rhythmische Turbulenz des Luft-stroms entsteht durch eine Randzoneund der damit verbundenen bergangs-zone von Luftstrmen unterschiedli-cher Geschwindigkeiten.

Die Turbulenzen wandern rckwrts undbeeinflussen dadurch wiederum den ein-strmenden Luftstrom (Rckkopplung).

Die Tonhhe ist abhngig von der Gre der Lippenffnung und der Geschwindigkeitder hindurchstrmenden Luft.

2.3.3.4 Stimmen im Tierreich / Menschwerdung durch Sprache

Vgel haben zur Lautbildung ein eigenes Organ, die sogenannte Syrinx (siehe Abb.). Diese be-steht aus dnnen Huten, den sogennanten Paukenmembranen, die in zweifacher Ausfhrungnach der Gabelung der Luftrhre in einen Luftsack in den Bronchien eingebettet sind.

Im Gegensatz zum Stimmlippenton der Menschen sind die Tne der Vgel obertonarm, d.h. si-nusfrmig

Der anatomische Unterschied zwischen Menschen und Affen, der sprachliche Kommunikationermglicht, ist in der tieferen Lage des Kehlkopfes begrndet. Der betrchtlich verlngerte Vo-kaltrakt ist ntig, um die verschiedenen Formanten erzeugen zu knnen.

Schwingungslehre in Kursstufe 12 29/55 Ernst Schreier

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Aufgrund der anatomischen nderungen an der Schdelbasis (zur Halterung des abgesenktenKehlkopfes) kann man die Ausbildung einer differenzierten Lautbildung in die Zeit der Neander-taler (vor ca. 120.000-40.000 Jahre) datieren.

Nachteil eines tiefer liegenden Kehlkopfes ist das Risiko des Verschluckens. Die tiefere Lage des Kehlkopfes bildet sich auch beim Menschen erst innerhalb der ersten Jah-

re nach der Geburt aus (Babys knnen gleichzeitig an der Brust nuckeln und durch die Nase at-men, haben jedoch eine sehr geringe Sprachfhigkeit).

2.4 Membrane / Flchenhafte Schallgeber

gespannte Trommelfelle als Membran = einfachste flchenhafte Schallgeber Die Spannung ist wie bei der Saite die rckfhrende Kraft, die das System in Schwingung ver-

setzt, nachdem es von einem darauf ausgebten Druck verformt worden ist. Im Gegensatz zu den harmonischen Obertnen einer Saite,

besitzt die Membran jedoch nur anharmonische Obertne.

Die Pauke lst im Gegensatz zu anderen Trommelartenein Tonhhenempfinden aus, was sie zum wichtigsten Schlaginstrument im Orchester macht.

Erklrung hierfr. Das Trommelfell der Pauke schwingt unter der Last der Luftsule (Atmosphre). Die so

in Bewegung gesetzte Luftmasse wogt hin und her und setzt die Oberfrequenzen herab. Die im Kessel eingeschlossene Luft besitzt ihre eigenen Resonanzen

und wechselwirkt mit den Frequenzen des gespannten Trommelfells. Die Steifigkeit der Membran fhrt zur Erhhung der Frequenzen der oberen Harmonischen.

Durch nderung der Trommelfellspannung kann die Paukeber einen Bereich von mehr als einer Oktave gestimmt werden

Verdoppelt man die Membranspannung,so erhht sich ihre Frequenz um eine halbe Oktave.

Moderne Pauken haben pedalbetriebene Spannvorrichtungen.

2.4.1 Chladnische Klangfiguren(Ernst Florenz Friedrich Chladni, 1787)

Versuch feiner Sand auf Metallplatten Fixierung an einer oder mehreren Stellen Schwingungsanregung durch

Lautsprecher unter Metallplatte Elektromagneten Violinbogen

Sperrholzmodell eines Geigenkrpers

analog zum Kundtschen Rohr, nur zweidimensional: Sand wird von den schwingenden Flchen (Schwingungsbuche) weggeworfen und sammelt sich an den Schwingungsknoten

Tamburin: Sand innen reinstreuen nasse Einmachfolie auf beliebigen Drahtkrper (z.B. Geigen, Gitarrenkrper) spannen Metallplatte und magnetische Anregung Metallplatte und Geigenbogenanregung

Schwingungslehre in Kursstufe 12 30/55 Ernst Schreier

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Kreisfrmige Platten ( aus Akustik in der Musik, http://www.sushi-page.de )

f = 204,7 Hz f = 278,9 Hz f = 478,3 Hz

f = 836,4 Hz f = 1351 Hz f = 2015 Hz

Eigene Messungen mit groer Aluplatte:120 144 214 252 322 427 644 900 1200 1535 1910

Die Frequenz ist proportional zur Plattendicke (Steifigkeit) indirekt proportional zur Plattenflche

Literaturwerte fr die ersten 12 Oberschwingungen relativ zur Grundschwingung:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 1,59 2,14 2,30 2,65 2,92 3,16 3,50 3,60 3,65 4,06 4,15d.h. Die Oberschwingungen sind keine Harmonischen zur Grundfrequenz.

Schwingungslehre in Kursstufe 12 31/55 Ernst Schreier

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Quadratische Platten ( aus Akustik in der Musik, http://www.sushi-page.de )

f = 181,1 Hz f = 334,3 Hz f = 426,8 Hz

f = 604,4 Hz f = 657,3 Hz f = 1115 Hz

f = 1263 Hz f = 1898 Hz f = 1945 Hz

2.5 bungsstunde / Klangfarbe mit CoolEdit

Klangspektrum = Frequenz-Ordinate (Tonhhe) und Schalldruck-Abszisse Formanten = Obertonbereiche

CoolEdit im Unterricht

Klangspektrum einer Sinusschwingung (Stimmgabel) Klangspektrum einer Schwebung (verstimmte Stimmgabeln) Eigene Synthese von

Sinusfunktion, Schwebung, Rechteckfunktion, Dreiecksfunktion

Klangspektrum der Rechteckschwingung (Frequenzgenerator) Klangspektrum der Dreiecksschwingung (Frequenzgenerator)

Mgliche CoolEdit Versuche:Aufnahme des Klangspektrums einer Stimmgabel (Sinus) bei Anzupfen einer Monochord-Saite in der Mitte (Dreieck),

am Rand und zeitlicher Verlauf (Sgezahn Dreieck) bei Anstreichen einer Monochord Saite

Schwingungslehre in Kursstufe 12 32/55 Ernst Schreier

32

2.5.1 berblick

Wellenform Obertonspektrum Klangfarbe InstrumentSinus keine Obertne butterweich synthetischDreieck wenige ungeradzahlige Obertne sanft Flte / OrgelSgezahn alle Obertne, welche in ihrer

Amplitude um 6dB/Oktave abfallenschneidend Geige

Rechteck nicht so viele Obertne nicht ganz so schneidendwie der Sgezahn

Oboe

hart = hoher Anteil von Obertnen (Trompete)weich = geringer Anteil von Obertnen (Querflte)

hell = viele dominante Obertnedumpf = schwache hochfrequente Obertne

Stimmgabel: reiner Sinuston (bei Anschlag mit Gummihammer) bzw. geringe Anzahl von Oberschwingungen

Trompete: harter Klang = hoher Anteil von Obertnen

Querflte: weicher Klang = geringer Anteil von Obertnen

Oboe, Saxophon, Klarinette: ungeradzahligen Vielfachen dominieren: f=(2k+1) [c / 4L] Randbedingungen: ein Ende offen, eines geschlossen Klarinette: Der Pegel fllt nahezu linear im Obertonspektrum ab.

Geige: Anregungsvorgang streichend Sgezahn, d.h. alle Obertne, welche in ihrer Amplitude um 6dB/Oktave abfallen

Gitarre: Alle Dmpfungsmechanismen, die der Saite Energie entziehen, wirken sich auf die

hohen Frequenzkomponenten viel strker aus, als auf die tiefen. Kurz nach demAnzupfen existieren infolgedessen die hohen Fourierkomponenten nicht mehr.

Klavier: Whrend der Ton abklingt, ndert sich die Klangfarbe: Kurz nach dem Anschlag klingt der Klavierton hart (starke Obertne). Der Grundton bernimmt allmhlich die Fhrung (sinusfrmig) Die Obertne sind nur angenhert Harmonische

(ab der 4. Harmonischen weicht die Frequenz nach oben ab).

Blockflte: Whrend des Einschwingens dominiert der Anteil mit der doppelten Frequenz (1500

Hz) des Grundtons (750 Hz), nimmt auf Kosten des Grundtons ab und trgt imweiteren Verlauf als breites Frequenzband zur Klangfarbe des Instruments bei.

anharmonische und niederfrequente Anteile rhren vonTurbulenzen und Druckschwankungen whrend des Anblasens her

Schwingungslehre in Kursstufe 12 33/55 Ernst Schreier

33

3 Tonsysteme / Musikalische Stimmungen

3.1 Harmonie: Konsonanz und Dissonanz

Bisher nur mit einem Klang bzw. einer Tonhhe beschftigt Jetzt geht es um das Zusammenklingen (Konsonanz) zweier oder mehrerer Klnge

Ergebnis ( fr spter): Die Tonhhe wird durch die Frequenz bestimmtDie Tonintervalle durch das Frequenzverhltnis

Pythagoras von Samos (570-480 v. Chr.) Harmonie = Verhltnis kleiner ganzer Zahlen (Rationale Zahlen) Zahlen und Proportionen haben tieferen Sinn,

z.B.: pythagorische Zahlen: a2 + b2 = c2 (3,4,5) platonische Krper, regelmige Polyeder

Untersuchung des harmonischen Zusammenklangs (Konsonanz) zweier Tne Zusammenhangs zwischen Saitenlnge und Tonhhe

Versuch: Messung der Frequenzen am Monochord mit Oszilloskop entweder mit Mikrofon oder mit Tonabnehmer d.h. Pick-up-Spule

35

815

23

35

Oktave12

0

=ff

32

0

=LL

Quint23

0

=ff

43

0

=LL

Quart34

0

=ff

Elementare konsonante Tonintervalle(Konsonanz von Klangintervallen aufgrund zusammenfallender Obertonspektren)

Auszug aus Galilei, Galileo: Unterredungen und mathematische Demonstrationenber zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betref-fend",.1638

"Das primre, unmittelbare Verhltnis der akustischen Intervalle wird weder von der Lnge derSaiten noch von ihrer Spannung oder ihrem Querschnitt bestimmt, sondern von der Anzahl derSchwingungen und Lufterschtterungen, die unser Trommelfell treffen und letzteres entsprechenderzittern lassen. Halten wir dieses fest, so knnen wir mit Sicherheit angeben, weshalb uns einigeZusammenklnge angenehm, andere weniger angenehm und wieder andere sehr mifallend be-rhren, also den Grund fr die mehr oder minder vollkommene Konsonanz und fr die Disso-nanz..Konsonant und wohlklingend werden diejenigen Intervalle sein, deren Tne in einer gewissenOrdnung das Trommelfell erschttern; wozu vor allem gehrt, da die Schwingungszahlen in ei-nem rationalen Verhltnis zueinander stehen, damit die Knorpel des Trommelfells sich nicht insteter Qual befinden, in verschiedenen Richtungen ausweichen zu mssen und den auseinan-dergehenden Schlgen zu gehorchen.

Schwingungslehre in Kursstufe 12 34/55 Ernst Schreier

34

Deshalb ist die erste und vollkommenste Konsonanz die Oktave, weil auf jede Erschtterung destieferen Tones zwei des hheren kommen, so da beide abwechselnd zusammenfallen und aus-einandergehen ... Die Quinte klingt auch sehr gut, weil auf die zwei Schwingungen der einenSaite die hhere drei Schwingungen vollfhrt, von denen also ein Drittel mit denen des tieferenTones zusammenfllt; und bei der Quarte trifft die vierte Schwingung mit der des Grundtones zu-sammen. Bei der Sekunde trifft nur noch eine von neun Schwingungen eine Schwingung des tie-feren Tones, alle anderen weichen ab, und daher empfindet man bereits eine Dissonanz"

Bemerkung:

Dies von den Schlern erklren bzw. bersetzen lassen Oktave: "auf jede Erschtterung",

d.h. auf eine Periode des tieferen Tones T0 = 2 T kommen zwei Perioden des hherenbzw. Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit des hheren Tones f = 2 f0 doppelt so gro.

Quint: "auf zwei Schwingungen der einen" ..:2 T0 = 3 T bzw. T/T0 = 2/3 bzw. f/f0 = 3/2

Quarte: "die vierte Schwingung...":3 T0 = 4 T bzw. T/T0 = 3/4 bzw. f/f0 = 4/3

Oktave: (f = 2 f0)

Der hhere Klang (f2 = 2 f1) hat nur Obertne,welche auch im tieferen Klang vorhanden ist

Quint: (f = 3/2 f0)

Jeder zweite Oberton des hheren Klangsist im Obertonspektrum des tieferen Klangs enthalten

Quart: (f = 4/3 f0)

Jeder zweite Oberton des hheren Klangs (f2 = 2 f1)ist im Obertonspektrum des tieferen Klangs enthalten

Merksatz: Zwei Klnge werden als konsonant (zusammenklingend) empfunden,wenn sie viele gemeinsame Obertne besitzen.Je geringer die Zahl der gemeinsamen Obertne,desto dissonanter der Zusammenklang.

Nicht die absoluten Frequenzwerte, sondern dieFrequenzverhltnisse sind ausschlaggebend, ob Konsonanz oder Dissonanz vorliegen !

Frequenzverhltnis zweier Tne bezeichnet man als Tonstufe oder Intervall Die Schwingungsverhltnisse der Obertne entscheiden ber Konsonanz und Dissonanz

Vollkommene Konsonanzen: Oktave, Quint Unvollkommene Konsonanzen: Quarte, groe und kleine Terz, groe und kleine Sexte Dissonanzen: groe und kleine Septime, groe und kleine Sekund

Schwingungslehre in Kursstufe 12 35/55 Ernst Schreier

35

Bemerkung: Bezeichnungsweisen fr verschiedene Tonlagen:

Bezeichnung der Oktav-Anfangstneim deutschen Sprachraum C2 C1 C c c

1 c2 c3 c4 c5

nach Helmholtz CII CI C c c' c'' c''' c'''' cv

nach USA Norm C0 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8

3.1.1 Aufbau der pythagorischen Tonleiterber Ganz- und Halbtonintervalle / Monochord

Bemerkungen: Pythagoras kannte keine Frequenzen, sondern nur Saitenlngen.

Dies ist aber gleichwertig mit der folgenden Frequenzbehandlung. Die in Klammern angedeutete Abhngigkeit der physikalischen Frequenz von der physikali-

schen Tonbezeichnung ist keine Abhngigkeit im funktionalen Sinne. Besser wren Indices !!!

Prinzip: Einem musikalisch empfundenen festen Intervall zweier Tneentspricht physikalisch dem Verhltnis der beiden Frequenzen f1 / f2

Konsequenz: Der Summe zweier musikalischer Tonintervalle entspricht physikalisch dem Produkt der entsprechenden Frequenzverhltnisse.

Tonbezeichnung: C G cTonintervall: Quint Quart

Frequenzverhltnis:23

)()(

=CfGf

34

)()(

=Gfcf

Frequenz f(C) f(G) f(c)

Oktav

Andere Schreibweise: )(12

)(23

34

)(23

34

)(34

)( CfCfCfGfcf ==

==

Quint + Quart = Oktav

)()(

)()(

Gfcf

CfGf

)()(

Cfcf

=

34

23

12

=

Konsequenz: Der Differenz zweier musikalischer Tonintervalle entspricht physikalisch der Quotient der entsprechenden Frequenzverhltnisse.

Oktav - Quart = Quint

)()(

)()(

Gfcf

Cfcf

)()(

CfGf

34

12

23

46

==

Schwingungslehre in Kursstufe 12 36/55 Ernst Schreier

36

Aufgabe: Berechnen Sie das Frequenzverhltnis fr einenGanztonschritt (Sekund) in pythagoreischer Stimmung:

OktavC G c

Quint QuartQuart Quint

F Sekund G

C GQuint Tonintervall

23

)()(

=CfGf

Frequenzverhltnis

C F GQuart Sekund Tonintervalle

34

)()(

=CfFf

89

)()(

=FfGf

Frequenzverhltnis

f(C) f(F) f(G)

Rechenschritt

Quint - Quart = Sekund

)()(

)()(

CfFf

CfGf

)()(

FfGf

34

23

89

=

Aufgabe: Vervollstndigung der Pythagorischen Tonleiter:

OktaveQuart Quint4 / 3 3 / 2

Frequenzverhltnis relativ zum Vorgnger (Ganzton bzw. Halbtonschritt)

C D E F G A H C

Sekund Sekund Halbton Sekund Sekund Sekund Halbton

9 / 8 9 / 8 9 / 8 9 / 8 9 / 8

Terz Halbton Tritonus Halbton

(9 / 8 )2 = 81 / 64 256 / 243 ( 9 / 8 )3 = 729 / 512 256 / 243

Frequenzverhltnis relativ zum Grundton C

C D E F G A H C

1 9 / 8 81 / 64 4 / 3 3 / 2 27 / 16 243 / 128 2

Schwingungslehre in Kursstufe 12 37/55 Ernst Schreier

37

Berechnung des pythagorischen Halbtonschrittes:

Quart - Terz: 243256

232

33222

322

89

34 3

522

=

=

=

Quint - Tritonus: 243256

232

33222

23

89

23 3

533

=

=

=

Die Quint ( f' / f = 3 / 2 )spielt die entscheidende Bedeutung beim Aufbau der pythagorischen Tonleiter

3.1.2 Aufbau der pythagorischen Tonleiter ber den Quintenzirkel

Prinzip: Quintensprnge aufwrts (im Urzeigersinn): Multiplikation mit Faktor (3/2) Quintensprnge abwrts (gegen Urzeigersinn): Multiplikation mit Faktor (2/3) Bei berschreiten der Oktave Runteroktavieren Faktor (1/2)

F C G D A E H1

23

1

23

2

23

3

23

4

23

5

23

1 Oktavnach oben

1 Oktave nach unten 2 Oktaven nach unten

1

21

0

21

1

21

1

21

2

21

2

21

F C G D A E H

34

123

89

1627

6481

128243

Weiterfhrung liefert die Halbtne H - Fis - Cis - Gis - Dis - Ais - Eis - C

C

D

E

FG

A

H

Schwingungslehre in Kursstufe 12 38/55 Ernst Schreier

38

Problem rationaler Frequenzverhltnisse: Quintenzirkel schliesst sich nicht !

Aufgrund der Anzahl der Halbtonschritte msste gelten:

Quint 7Oktave

=12

12 Quinten = 7 Oktaven

Es gilt jedoch: 712

223

Die Tondifferenz bei Kreisschlu des Quintenzirkels nennt man

pythagorisches Komma 524288531441

23

223

19

127

12

==

3.2 Naturtonreihe / Blechblser / Diatonische Tonleiter

Versuch: Messung der Frequenzen des Heulrohres mit Oszilloskop

Diese Tne kommen durch eine Resonanz der Luftstrmung im Inneren des Rohres zu Stande.Abhngig von der Geschwindigkeit wird jeweils nur einer der Partialtne verstrkt. Die entstehen-den Tne bilden zusammen die sogenannte Naturtonreihe. Sie entsteht auch bei vielen Musikin-strumenten, z.B. bei Blechblsern.

Die Folge der (musikalischen) Naturtonreihe entsprichtder Folge der (physikalischen) Harmonischen (Obertne bzw. Partialtne)

C1 C G c e g b c1 d1 e1

f0 2 f0 3 f0 4 f0 5 f0 6 f0 7 f0 8 f0 9 f0 10 f0

Die Intervalle zwischen den Obertnen sind deshalb von Natur aus konsonant

12

23

34

45

56

67

78

89

910

Quint QuartgroeTerz

kleineTerz

groeSekund

kleineSekund

Quint QuartOktave

OktaveOktave

groeTerz

kleine Sextegroe Sexte

Versuch: Messung der Frequenzen der Trompete mit Oszilloskop

Naturtne der Trompete: 116,5 Hz (B), 233 Hz (b), 349,5 Hz (f), 466 Hz (b')Ventile verlngern das Hauptrohr entsprechendMan bentigt nur 3 Ventile, um alle chromatischen Tne zu erzeugen !!!!!!!!

1. Ventil groe Sekund 9 / 8 1,1252. Ventil kleine Sekund 10 / 9 1,1113. Ventil kleine Terz 6 / 5 1,2

1.+ 2. Ventil groe Terz = groe Sekund + kleine Sekund (9 / 8)(10 / 9) = 5 / 4 1,251.+ 3. Ventil groe Sekund + kleine Terz (9 / 8)(6 / 5) = 27/20 1,352.+ 3. Ventil Quart = kleine Sekund + kleine Terz (10/ 9)(6 / 5) = 4 / 3 1,33

1.+ 2.+ 3. Ventil groe Sekund + kleine Sekund + kleine Terz= (9 / 8)(10 / 9)(6 / 5) =kein Ventil Quint 3 / 2 1,5

Schwingungslehre in Kursstufe 12 39/55 Ernst Schreier

39

Dur-Dreiklnge bestehen ausPrim (Tonika), groer Terz (Mediante) und Quint (Dominante).

1 (Tonika)groe Terz 5/4 (Mediante)

Quint 3/2 (Dominante)

Die natrliche diatonische Dur Tonleiter ergibt sich durchAufbau dreier Dur-Dreiklnge auf Tonika, Dominante und Subdominante Tonale Musik ist auf diesen drei Stufen aufgebaut im Gegensatz zur atonalen Musik

(z.B. Zwlftonmusik)

Frequenzverhltnisse relativ zum Grundton C

C D E F G A H C d

1 9 / 8 5 / 4 4 / 3 3 / 2 5 / 3 15 / 8 2 / 1 9 / 4

C E Ggroe Terz 5 / 4

Quint 3/2

Subdominante F A Cgroe Terz 5 / 4

Quint 3/2

Dominante G H dgroe Terz 5 / 4

Quint 3/2

Die natrliche diatonische Dur Tonleiter (Frequenzverhltnisse relativ zum Grundton C):

C D E F G A H C

1 9 / 8 5 / 4 4 / 3 3 / 2 5 / 3 15 / 8 2

Die natrliche diatonische Dur Tonleiter (Frequenzverhltnisse benachbarter Tne):

189

89

45

45

34

34

23

23

35

35

815

815

2

9 / 8 10 / 9 16 / 15 9 / 8 10 / 9 9 / 8 16 / 15

groeSekund

kleineSekund

Halbtongroe

Sekundkleine

Sekundgroe

SekundHalbton

Alle Tne bis auf Sekund und Septime bilden mit dem Grundton Konsonanzen. Die diatonische Tonleiter erfllt optimal die Forderung nach einer harmonischen Zu-

sammenstellung und wird auch "Reine" Tonskala bzw. "Reine Stimmung" genannt.

Schwingungslehre in Kursstufe 12 40/55 Ernst Schreier

40

Flle von konsonanten Tonintervallen mit kleinen Verhltniszahlen innerhalbeiner Oktave:

C D E F G A H c d e 5 Quinten

5 Quarten

3 gr. Terzen

3 kl. Terzen

FrequenzVerhltnis

TonintervallHarmonieempfinden

1 : 2 Oktave2 : 3 Quinte3 : 4 Quarte

vollkommeneKonsonanzen

3 : 5 groe Sexte4 : 5 groe Terz5 : 6 kleine Terz5 : 8 kleine Sext

unvollkommeneKonsonanzen

4 : 7 kleine Sept7 : 10 Tritonus8 : 9 groer Ganzton9 : 10 kleiner Ganzton

Dissonanzen

3.3 Temperierte Stimmung / Kammerton / GitarrengriffbrettOrchestermusik mit Instrumenten fester Tonlage bringt die Notwendigkeit mit sich, die Einze-linstrumente aufeinander abzustimmen.

Forderungen: Oktave bleibt rein, d.h. f' / f0 = 2 / 1 Insgesamt 12 Halbtonschritte (Fnf Ganztne und zwei Halbtne) Jeder dieser 12 Halbtonschritte sollte als Grundton einer Tonleiter einsetzbar sein.

Lsung: Halbtonschritte mit einheitlichem Frequenzverhltnis

12246,122 1212

0

121 ====+ kkf

fundk

f

f

n

n

Eine irrationales Frequenzverhltnis ist aus der pythagoreischen Zahlenmystik undenkbaresVerhltnis. Wichtiger war nun das musikalische Empfinden und die prakt. Durchfhrbarkeit.

Schwingungslehre in Kursstufe 12 41/55 Ernst Schreier

41

Die temperierte Stimmung liegt somit "vermittelnd"zwischen der pythagorischen und diatonischen Stimmung:

Pythagoreisch Diatonisch Temperiertc 1 1 1d 1,12500 1,12500 1,12246e 1,26563 1,25000 1,25992f 1,33333 1,33333 1,33484g 1,50000 1,50000 1,49831a 1,68750 1,66667 1,68179h 1,89844 1,87500 1,88775c' 2 2 2

Kammerton A (440 Hz):Allgemein verbindliche Festlegung der Tonskala auf eine bestimmt Tonlageinnerhalb des Frequenzspektrums (Absolute Schwingungszahlen)

Logarithmisches Intervallma (siehe Weber-Fechner) in Analogie zum Schalldruckpegel:

Die relativen Frequenzen aufeinanderfolgender Oktavenbilden die Potenzreihe von 2

2

1

2

12 log2log

1200log1200

f

f

f

fZ ==

Die dimensionslose Einheit (analog zu dB) wird hier Cent genannt Der Faktor 1200 entspricht der Vereinbarung,

die Oktave in 1200 gleiche Intervalle einzuteilen. Ein Halbtonschritt entspricht dem Intervallma 100 Cent

Schwingungslehre in Kursstufe 12 42/55 Ernst Schreier

42

4 Hrpsychologie / Weber-Fechnersches Gesetz

Die Hrpsychologie befat sich mit dem Zusammenhang, der zwischen den Schallschwin-gungen und den durch sie ausgelsten und schlielich bewut gewordenen Sinnesempfin-dung besteht. Auf der einen Seite dieses Zusammenhangs steht objektive Physik - dasSchallwellenfeld mit seinen Megren. Auf der anderen Seite stehen Empfindungen.

Typische Fragestellungen der Hrpsychologie, sind z.B:

Welchen Einflu hat die Kurvenform einer periodischen Schwingungauf den Klang, und wie kann man diesen Einflu verstehen?

Wie empfindlich reagiert unser Ohr auf Amplitudenunterschiedeund wie hngt die empfundene Lautstrke von der Amplitude ab?

Wie empfindlich reagiert unser Ohr auf Frequenzunterschiede?

Die Hrpsychologie ist eine sehr aktuelle Wissenschaft. Wenn heute Musikstcke im Inter-net transportiert werden knnen, und das mit bezahlbaren Telefonkosten (MP3), dann nur,weil Erkenntnisse dieser Wissenschaft es gestatten, die Datenmenge von Wave-Dateien aufein Minimum zu reduzieren.

4.1 Lehrerversuche mit CoolEdit

4.1.1 Amplitude und Lautstrke

4.1.1.1 Absolute Reizschwelle (Lautempf.wav)

Abfolge vier amplitudenmodulierter Sinustne (1 kHz)mit Amax / Amin = 100 / 20, 100 / 80, 100 / 90 und 100 / 98.

nderung der Lautstrke ist allenfalls bis zur dritten Folge mglichunabhngig davon, mit welcher Gesamtlautstrke die Folge abgespielt wird.

4.1.1.2 Relativer Reizunterschied (Lautarex.wav)

Auf- und absteigende Amplitudenfolgemit konstanter Differenz An+1 An = const

Die nderungen des Lautstrkepegels werden nicht als gleich empfunden. Die Zunahme um 1 Einheit macht bei groer Amplitude weniger aus als bei kleiner.

Zwischen der Amplitude und der empfundenen Lautstrkebesteht kein proportionaler Zusammenhang.

Auf- und absteigende Amplitudenfolgemit konstantem Verhltnis An+1/An = 1,26

Die nderungen des Lautstrkepegelswerden jetzt eher als gleich gro empfunden.

Schwingungslehre in Kursstufe 12 43/55 Ernst Schreier

43

Resumee:Ob ein Ton 2 lauter empfunden wird als ein Ton 1 hngt nicht vondem Unterschied der Amplituden A2-A1 ab, sondern vom Verhltnis A2/A1.

4.1.2 Frequenz und Tonhhe

4.1.2.1 Absolute Reizschwelle

Abfolge fnf frequenzmodulierter Sinustne (1 Hz)mit f1 / f2 = 1,02 (2%); 1,01 (1%); 1,005 (0,5%), 1,0025 (0,25%), 1,001 (0,1%) Tonhhenunterschiede bis zum dritten Block d.h. 0,5% (bei 1 kHz)

nderung der Sampling Rate Abspielgeschwindigkeit wird verndert Empfindlichkeit hat sich verndert

kontinuierliche nderung der Frequenz (frequenzzuwachs.wav) Ansteigen der Frequenz eines Sinuston von 300Hz auf 310Hz Nach Erreichen von 310Hz wird der anfngliche Ton 300Hz eingespielt. Erst dann bemerkt man deutlich, da der Ton sich inzwischen gendert hat.

4.1.2.2 Relativer Reizunterschied

Aufsteigende Tonfolgemit konstantem Frequenzschritt fn+1 fn = 500Hz = const (

Aufsteigende Tonfolgemit konstantem Frequenzverhltnis fn+1 / fn = sqrt(2) = 1.414 = constd.h. Anstieg um eine halbe Oktave

Wenn wir unserem Auge gleichzeitig Licht verschiedener Wellenlngen anbieten, so ist esnicht in der Lage, die beiden Komponenten aus der Mischung herauszufinden. Wenn ich ro-tes und grnes Licht mische, sehe ich eben gelb; das Auge hat nicht die Fhigkeit, spek-tral aufzulsen. Anders unser Ohr. Zwei Tne, die in der Frequenz gengend weit ausein-ander liegen, werden getrennt wahrgenommen.

Schwingungslehre in Kursstufe 12 44/55 Ernst Schreier

44

4.2 Weber Fechnersches Gesetz

Rekapitulation:

Eine Folge von Oktaven entspricht

musikalisch einer arithmetischen Folge,d.h. die Differenz zweier benachbarter Tonhhen ist konstant

physikalisch einer geometrischen Folge,d.h. der Quotient zweier benachbarten Frequenzen ist konstant

Merksatz (Psychophysik)

Die menschliche Psyche setzteine geometrische Folge physikalischer Reizgren

z.B. Amplituden 01 . AqAbzwAqAn

nnn ==+ bzw. Frequenzen 01 . fqfbzwfqf

nnnn ==+

in eine arithmetische Folge psychischer Reizempfindungsgren um:

Lautstrken 01 . LnLbzwLLL nnn =+=+ Tonhhen 01 . CnCbzwCCC nnn =+=+

Sie ist damit einer logarithmischen Funktion vergleichbar:(Wahrnehmungsstrke proportional zum Logarithmus der Reizintensitt)

Oktave Quint + Quart

log (a * b) (log a) + (log b)

gr. Sekund Quint - Quart

log (a / b) (log a) - (log b)

Weber Fechner: Zusammenhang zwischen der Strke eines Reizes R

und der Strke der zugehrigen Sinnesempfindung E

Der gerade wahrnehmbare Unterschied dEzweier Sinneseindrcke ist abhngig von dem Verhltnis der nderung eines Reizes dR zur Strke des schon vorhandenen Reizes R:

(genauer: Reizintensitt R)

RRER

dRkdE

RdR

dE log)( =

Verhltnis der Reizstrke 212

1 logloglog RRR

R=

Differenz der Empfindung

Schwingungslehre in Kursstufe 12 45/55 Ernst Schreier

45

Psycho-physisches Grundgesetz von Weber und Fechner (1834):

Gleiche Verhltnisse des Reizes erzeugengleiche Stufen der Reizempfindung.

Sinn:Unterschiedserkennung ber mglichst ausgedehnte Erfahrungsbereiche(Frequenz, Schallintensitt, Lichtintensitt) hinweg.

Vgl. Logarithmisches Zahlungssystem(Mglichst jede Zahlungssumme mit mglichst wenig Einzelstufen)

Cents 1 2 5Cents 10 20 50Euro 1 2 5Euro 10 20 50Euro 100 200 500

4.2.1 Definition der Psychophysik

Ein physikalischer Reiz der Gre p erregt ein Sinnesorgan. Das hat beim Beobachter eine Empfindung der Strke E zur Folge.

Die Gre des Reizes p knnen wiruerlich mit einem physikalischen Messinstrument bestimmen,

Die Strke E der Empfindung kann nurder jeweilige Beobachter selbst innerlich beobachten.

Wie diese beiden Gren, die physikalische Gre p und die psychische Gre Ezusammenhngen, wird in der Psychophysik untersucht. Hier werden zwei grund-stzlich verschiedenartige Gren miteinander in Beziehung gebracht, eine uerlichmessbare physikalische Gre p und eine nur durch innerliches Erleben bestimmba-re psychische Gre E.

4.2.2 Konstruktion einer Empfindungsskala

Um der Empfindung eines Menschen berhaupt sinnvoll Zahlenwerte zuordnen zuknnen, muss eine Empfindungsskala konstruiert werden. Fechner war der erste,dem dies 1850 sinnvoll gelang (Die Vorgehensweise ist physikalischer Standard):

Gleichheit:Zwei gleiche Empfindungen E1 und E2 werden durch zwei Reize p1 undp2 verursacht. Dann muss eine eineindeutige Zuordnung gelten:.

E(p1) = E(p2) p1 = p2

Nullpunkt:Alle Reize p, die unterhalb der Reizschwelle p0 liegen,haben die Empfindung E = 0 zur Folge.

Schwingungslehre in Kursstufe 12 46/55 Ernst Schreier

46

E(p < p0) = 0Einheit:

Zwei Reize p1 und p2, die dieselbe Empfindung der Strke E1 auslsen,seien vorgegeben. Nun wird die Strke des Reizes p2 so lange vergrert,bis der Beobachter die Empfindung, die die beiden Reize bei ihm ausl-sen, das erste Mal gerade unterscheiden kann, d.h. bis E1 E2 erstmalserlebt wird. Die Differenz der beiden Reize p = p2 - p1, die gerade einenwahrnehmbaren Unterschied in der Empfindungsstrke E auslst, wirdUnterschiedsschwelle JND (just noticeable difference) p = p2 - p1genannt und zur Definition der Einheit der Empfindungsskala verwendet.E2 hat dann den Wert E2 = E1 + 1, wenn p1 um p vergrert wird. Diesist sinnvoll, da kleinere Reizunterschiede durch unsere Empfindung nichtunterschieden werden knnen.

4.2.3 Der Zusammenhang der Reizgre pund der Empfindungsgre E

Wie hngen nun die Reizgre p und die Empfindungsgre E zusammen. Dawir einen eineindeutigen Zusammenhang vorausgesetzt haben, fragen wir alsonach der Reiz-Empfindungs-Funktion p(E), bzw. deren Umkehrfunktion E(p).

Weber untersuchte 1834 die verschiedenen Sinne des Menschen unter der Fra-gestellung: Ist die Unterschiedsschwelle p, die die Zunahme der Empfindungs-strke E um eine Einheit verursacht, immer gleich oder hngt sie von der Strkeder Empfindung E bzw. der Gre des Reizes p ab.

Weber Konstanten:Die Unterschiedsschwelle (JND = just noticeable difference) p ist kein kon-stanter Wert, sondern von der absoluten Gre der Reizstrke p abhngig: Jegrer die Strke des Reizes p, desto grer mu der Unterschied p sein,damit zwei Reize verschieden stark empfunden werden.

pp

k

=

Die Weber Konstante k bestimmt,wie gro der Reizschwellenwert relativ zum Reizuntergrund sein mu.

Brightness 0.079Loudness 0.048Finger Span 0.022Heaviness 0.020Line Length 0.029Taste (salt) 0.083Electric Shock 0.013Vibration (fingertip) 0.036

Das Ergebnis von Weber beschreibt eine fundamentale Gesetzmigkeit, wieder Menschen die Welt erlebt. Diese drckt Fechner durch den folgenden Satzanschaulich aus:

Schwingungslehre in Kursstufe 12 47/55 Ernst Schreier

47

Ein Thaler hat viel weniger Wert fr den Reichen als fr den Armen, und wenn ereinen Bettler einen Tag lang glcklich macht, so wird er als Zuwachs zum Ver-mgen eines Millionrs gar nicht merklich von diesem gesprt.

Die Empfindung des Reichseins wchst alsonicht gleichmig mit der Geldmenge, die man besitzt.

Lst man diese Webersche Gleichung

kEp

EpEp

p

p

n

nn =

=

)(

)()(

1

1

nach p(En) auf, ergibt sich eine Rekursionsformel fr exponentielles Wachstum

n

n

nnn

kEp

kEp

EpkpEp

)1()(

)1)((

)()()(

0

1

11

+=

+=

+=

Ersetzt man die diskreten Werte En durcheine kontinuierliche Empfindungsstrke E,so erhlt man alsEmpfindungs-Reiz-Funktion p(E)

EkpEp )1()0()( +=

mit p(0) als Reizstrke eines gewhltenNullpunkt der Empfindungsstrke, d.h. alsabsolute Reizschwelle.

D.h. bei starken Empfindungen mu der u-ere Reiz sehr stark vergrert werden, umeine Zunahme der Empfindung zu bewirken.

Re

izst

rk

e p

Empfindungsstrke E

Bsp.: Soll beispielsweise die Helligkeit in einem Zimmer vergrert werden, kann bei dmmriger Beleuchtung eine Kerze eine groe Wirkung haben; bei gleiend heller Beleuchtung wird der Beleuchtungsanteil einer Kerze dagegen berhaupt nicht bemerkt.

Im tglichen Leben interessiert statt des oben dargestellten Zusammenhangs mehrdie Umkehrfunktion, d.h. die Reiz-Empfindungsfunktion E(p) als Aussage, wie grodie Empfindungsstrke E bei einer vorgegebenen Reizgre p ist

Schwingungslehre in Kursstufe 12 48/55 Ernst Schreier

48

+

=

+=

)0()(

log)1log(

1)(

)1log()()0()(

log

pEp

kpE

kpEp

Ep

Das Schaubildes macht deutlich, dass beikleinen Reizstrke die Sinnesorgane sehrempfindlich sind: eine kleine Zunahmeder Reizstrke p hat eine starke Zunah-me der Empfindung E zur Folge.

Bei groen Reizstrken p ist das genauumgekehrt: das Sinnesorgan ist sehr un-empfindlich, denn um eine Verstrkungder Empfindung zu erreichen, muss derReiz erheblich verstrkt werden.

Em

pfin

du

ng

sst

rke

E

Reizstrke p

Wir empfinden also nicht den Reiz selbst, sondern den Logarithmus des Verhltnis-ses der Reizgre zu einem Schwellenwert, bzw. die Hochzahl dieses Verhltnisses.

4.2.4 Der Zusammenhang von Tonhhe und Frequenz

Definition einer Tonhhenskala durch

Zwei Tne mit dem Abstand einer Oktavehaben einen Tonhhenunterschied von T=1

Der als Grundton gewhlte Ton hat die Tonhhe T=0

Fr den Weberquotienten c gilt demnach:

=

=+=

===

=

=

)0(log

2log1

)(

2)0()1()0()(

1121)1(

)()1(

)1()()1(

f

ffT

fcfTf

cTf

Tf

Tf

TfTf

Tf

f

TT

Logarithmisches Intervallma (siehe Weber-Fechner) in Analogie zum Schalldruckpegel:

Die relativen Frequenzen aufeinanderfolgender Oktavenbilden die Potenzreihe von 2

2

1

2

12 log2log

1200log1200

f

f

f

fZ ==

Die dimensionslose Einheit (analog zu dB) wird hier Cent genannt Der Faktor 1200 entspricht der Vereinbarung,

die Oktave in 1200 gleiche Intervalle einzuteilen.

Schwingungslehre in Kursstufe 12 49/55 Ernst Schreier

49

Ein Halbtonschritt entspricht dem Intervallma 100 Cent

4.2.5 Der Zusammenhang von Lautstrke und Intensitt

Zwei Empfindungsgrenzen: Die Hrschwelle (gerade hrbare Intensitt) Die Schmerzschwelle Im Frequenzbereich um 1 kHz umfat der durch diese beiden Schwellen defi-

nierte Hrbereich 12 Grenordnungen (10-12 W/m2 bis 1 W/m2) !!!!

Experimentelle Untersuchungen ergeben, da die Intensitt verzehnfacht werdenmu, um eine Steigerung des Lautstrkeempfindens um eine Einheit zu erhalten.

+

====

=

=

0

log)1log(

1)(91101

)1()(

)1()1()(

)1( II

cILdamitc

LI

LI

LI

LILI

LII

Schwingungslehre in Kursstufe 12 50/55 Ernst Schreier

50

4.3 Hrphysiologie

4.3.1 Aufbau des Ohres

Problem: Auenohr (Luftgefllt), 2- bis 3-fache Verstrkung im Gehrgang Innenohr (Wassergefllt, aus der Voramphibienzeit)

hohe Impedanzwiderstand, d.h. groer Anteil von Schallreflexion

(Luft cLuft) = 1,29 kg / m3 343 m / s = 442 kg / s m2(H20 cH20) = 998 kg / m3 1485 m / s = 1482030 kg / s m2

Mechanische Impedanzanpassung im Mittelohr (bis max. 2 kHz)

Trommelfell(kreisrunde, nach innen trichterfrmige Membran mit 10 mm Durchmesser) Schallschwingungen mechanische Schwingungen Amplituden bis herab zu 10E11 m (d.h. 1/10 Atomradius)

Gehrknchelchen (Hammer, Ambo, Steigbgel) Die Gehrknchelchen wandeln Schwingungen

groer Amplitude und kleiner Kraft (Trommelfell) in solchekleiner Amplitude und groer Kraft (Ovales Fenster) um.

Hebelwirkung (a2/a1 = 1,3) Kraftbertragung aufs Ovale Fenster

(Flchenverhltnis A2/A1 = 20)

Mittelohr (Trommelfell, Gehrknchelchen, Ovales Fenster)ist ber die 35 mm lange Ohrtrompete (Eustachische Rhre)mit dem Nasen-Rachen-Raum (zwecks Druckausgleich) verbunden.

Nchstes Problem (Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle): Schnelle Luftdruckschwankungen

in langsame Flssigkeitsschwankungen (?????) umzuwandeln

Innenohr

Schnecke (Cochlea) gefllt mit Perilymphe Vorhofgang (Scala Vestibuli) hinter dem ovalen Fenster mit Steigbgel

Schwingungslehre in Kursstufe 12 51/55 Ernst Schreier

51

Paukengang (Scala Timpani) hinter dem runden Fenster Schneckenspitze bzw. -loch (Helicotrema)

Schneckengang mit Basilarmembran Lnge 35 mm, Breite 0,04 mm (ovales Fenster) bis 0,49 mm (Helicotrema) Darauf befindet sich das Cortische Organ:

3500 Haarzellengruppen mit 20.000 Hrfasern Gehrnerven enden an den Rezeptorzellen (Haarzellen)

4.3.2 Frequenzanalyse / Ortstheorie des Hhrens

Basilarmembran wird durch Flssigkeitsschwingungen zuWanderwellenbewegung (Transversalbewegung der B-Membran) angeregt

Unterschiedliche, vom Ort abhngige mechanische Eigenschaften der Basilarmembranfhren dazu, da die Wanderwellen wie Brandungswellen nach einem ortsabhngigenmaximalen Aufsteilen aufgrund von Reibungskraften zusammenbrechen.

Maximum hngt von der Frequenz ab(Wanderwellendispersion, von Bksy, Nobelpreis 1961)

hohe Frequenz am Ovalen Fenster niedrige Frequenz am Helicotrema

Jede Frequenz wird auf eine andere Stelle des Ohres abgebildet Tne verschiedener Frequenz erregen

unterschiedliche rtliche (log linear) Bereiche auf der Basilarmembran Mechanisches Modell gekoppelter Pendel mit unterschiedlicher Pendellnge

Die hohe Frequenz- bzw. Tonhhen-Auflsung erfolgtdurch eine Konstrastverschrfung im Nervensystem (d.h. nicht physikalisch)

Ttschliche Auslenkungen im Bereich 10-10 m (an der Hrschwelle) menschlicher Hrbereich Merkregel 20 Hz - 20 kHz (d.h. 3 Zehnerpotenzen)

Schwingungslehre in Kursstufe 12 52/55 Ernst Schreier

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Der fr den mittleren Frequenzbereich (1-3 kHz) zustndigeOrtsbereich der Basilarmembran ist weiter auseinandergezogen

Der 2,7 cm lange Gehrgang zwischen Ohrmuschel und Trommelfellwirkt als breitbandiger Resonator mit einer Resonanzfrequenz von etwa 2700 Hz

Tonhhenunterscheidung in diesem Frequenzbereich besonders ausgeprgt

bertragung durch Mittelohr nur bis 2000 Hz(darber funktionierts nur mit Knochenleitung)

Nichtlineares Verhalten im Mittel- und Innenohr fhrt zu Kombinationstnen

4.3.3 Lautstrkeempfinden

Schallintensitt [ W / m2 ]= Schallleistung / Querschnittsflche= Schallenergie / (Querschnittsflche Zeit)

Weber Fechner

Einfhrung einer Pseudoeinheit namens Dezibel dB,welche die menschliche Empfindung (z.B. Hreindruck) nachbilden soll undein logarithmisches Ma des Verhltnisses zweier physikalischer Reizstrken,z.B. der Schallintensitt I oder Schalldruck p ist(aber nicht auf