SCHWINGUNGSLEHRE-Skript (1)

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SchwingungslehreSkript

Idee: Jürgen GilgGestaltung: Simon Singer

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Schwingungslehre – Inhaltsübersicht Seite 1 Periodizität und harmonische Bewegung 3 1.1 Einleitung .......................................................................................................................3 1.2 Harmonische Bewegungen und ihre mathematische Beschreibung ..............................4 1.3 Harmonische Bewegungen/Schwingungen – Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung ............................................................9 1.4 Differentialgleichung ungedämpfter harmonischer Bewegungen .................................13 2 Der harmonische eindimensionale Schwinger – ungedämpfte harmonische Schwingungen 14 2.1 Einleitung .....................................................................................................................14 2.2 Standard-Modell – Feder-Masse-System oder Federpendel .......................................15 2.2.1 Differentialgleichung ungedämpfter harmonischer Schwingungen ................15 2.2.2 Lösung der Differentialgleichung ....................................................................17 2.2.3 Zusammenhang zwischen Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung des schwingenden Körpers ...........................................21 2.2.4 Energieinhalt einer idealen Feder ..................................................................26 2.2.5 Energiebetrachtungen ....................................................................................28 2.3 Weitere Beispiele für ungedämpfte harmonische Bewegungen ..................................30 2.3.1 Physikalisches Pendel bei kleinen Auslenkungen ..........................................30 2.3.1.1 Aufstellen der Differentialgleichung ................................................................30 2.3.1.2 Linearisieren der Differentialgleichung ...........................................................32 2.3.1.3 Lösung der Differentialgleichung ....................................................................32 2.3.2 Mathematisches Pendel bei kleinen Auslenkungen .......................................33 2.3.3 Torsions- oder Drehpendel .............................................................................34 2.3.3.1 Aufstellen der Differentialgleichung ................................................................35 2.3.3.2 Lösung der Differentialgleichung ....................................................................36 2.3.4 Analogien Federpendel – Torsionspendel ......................................................37 3 Gedämpfte harmonische Schwingungen 38 3.1 Einleitung .....................................................................................................................38 3.2 Differentialgleichung viskos gedämpfter Schwingungen ..............................................39 3.3 Lösung der Differentialgleichung viskos gedämpfter Schwingungen ...........................41 3.4 Diskussion der Lösung der Differentialgleichung für den Schwingfall ..........................44 3.4.1 Bestimmung der Integrationskonstanten ........................................................44 3.4.2 Logarithmisches Dekrement ...........................................................................46 3.4.3 Bestimmung des Abklingkoeffizienten δ ........................................................47 3.4.4 Zusammenfassung .........................................................................................49 3.5 Kriechfall und aperiodischer Grenzfall .........................................................................50 4 Erzwungene Schwingung und Resonanz 54 4.1 Einleitung .....................................................................................................................54 4.2 Die Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung .............................................55 4.3 Lösung der Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung – partikuläre Lösung .......................................................................................................56 4.4 Diskussion der partikulären Lösung der Differentialgleichung .....................................58 4.4.1 Amplitudenresonanzkurve ..............................................................................58 4.4.1.1 Dämpfungsfreier Fall ......................................................................................59 4.4.1.2 Mit Dämpfung .................................................................................................59 4.4.2 Phasenverschiebung α .................................................................................64 4.4.2.1 Dämpfungsfreier Fall ......................................................................................64 4 4.2.2 Mit Dämpfung .................................................................................................64 4.5 Einschwingvorgang – Anmerkungen zur Mathematik der Differentialgleichung erzwungener Schwingungen ................................................67 Bezeichnungen, Formelzeichen und SI-Einheiten .................................................................71 Glossar ............................................................................................................. 72 bis 87

Schwingungslehre Inhaltsübersicht - 2 -

1 Periodizität und harmonische Bewegungen/Schwingungen 1.1 Einleitung In vielen Bereichen der Natur und Technik spielen Schwingungsvorgänge eine wichtige Rolle. Beispiele sind

• eine an einer Feder aufgehängte Masse, • eine Schiffschaukel auf dem Cannstatter Volksfest/Münchener Oktoberfest, • ein Uhrenpendel, • der Stuttgarter Fernsehturm, • eine Stimmgabel, • eine Saite eines Streichinstruments, • Ebbe und Flut, • die Kontraktion des Herzmuskels, • ein Herzschrittmacher, der den Herzmuskel anregt, • die Signale von Radiosternen, • die Schwingungen der Atome im Kristallgitter, • ein elektromagnetischer Schwingkreis.

Eine fundamentale Eigenschaft haben die genannten Systeme gemeinsam, die Periodizität. Die Lage eines Körpers oder allgemeiner der Zustand eines Systems ändert sich so, dass sich ein vorgegebenes Muster in regelmäßigen Zeitintervallen wiederholt. Die mathematische Definition eines periodischen Vorgangs lautet entsprechend. Eine physikalische Größe y ändert sich zeitlich derart, dass für alle Zeiten t gilt

)()( tyTty =+ (1.1)

Dabei ist T die Periodendauer. T ist das kleinste Zeitintervall, nach dem sich die Funktion wiederholt. Hat eine Funktion die Periode T , so gilt diese Periodizität notwendigerweise auch für alle Ableitungen dieser Funktion. Von den periodischen Bewegungen sind besonders wichtig die harmonischen Schwingungen und von diesen wiederum die mechanischen Schwingungen. Einige immer wiederkehrende Grundbegriffe und Bezeichnungsweisen seien im Folgenden vorab geklärt. Wird ein schwingungsfähiges System einmal, d. h. durch einen einmaligen Anstoß, zu Schwingungen angeregt und dann sich selbst überlassen, so spricht man von freien Schwingungen (z. B. ein Fadenpendel). Wird das System periodisch von außen angestoßen, so nennt man die sich einstellende Bewegungsform eine erzwungene Schwingung (z. B. ein Herzschrittmacher). Weiter unterscheidet man ungedämpfte und gedämpfte Schwingungen. Im ersten Fall werden Dämpfungs- bzw. Widerstandskräfte – also Reibung – vernachlässigt. Im zweiten Fall werden zumeist Reibungskräfte in einer speziellen Form – als geschwindigkeitsproportionale Reibung – berücksichtigt. Hervorgerufen durch die Widerstandskraft nehmen die Auslenkungen des Systems ab, die Bewegung kommt zur Ruhe.

Schwingungslehre – Abschnitt 1 ’Periodizität und harmonische Bewegungen’ - 3 -

1.2 Harmonische Bewegungen und ihre mathematische Beschreibung In der Physik und Technik sind harmonische Bewegungen besonders wichtig. Dafür gibt es zwei gute Gründe

• sehr viele physikalische Systeme lassen sich exakt oder doch in sehr guter Näherung durch diese Bewegungsform beschreiben;

• die zugrunde liegende mathematische Behandlung ist einfach. Die harmonische Bewegung ist eine spezielle Form der periodischen Bewegung, die in ihrer Zeitabhängigkeit durch eine harmonische Funktion beschrieben wird. Harmonische Funktionen sind die Sinus- und die Kosinus-Funktionen. Es gibt für eine harmonische Bewegung verschiedene, mathematisch gleichwertige, Beschreibungsweisen, die jederzeit ineinander überführt werden können. Diese Darstellungen sind

0cos(ˆ)( ϕ+ω== tytyy ) (1.2)

0sin(ˆ)( ϕ+ω== tytyy ) (1.3)

)sin()cos()( 21 tytytyy ω+ω== (1.4)

Diese drei Darstellungen enthalten gemeinsam jeweils • eine systemcharakteristische Kreisfrequenz ω • zwei Konstanten; diese sind für die Darstellungen (1.2) und (1.3) die Größen

und und für die Darstellung (1.4) die Größen und . y 0ϕ 1y 2y

Es wird später gezeigt, dass diese beiden Konstanten aus zwei Anfangsbedingungen zur Zeit bestimmt werden können, nämlich der Auslenkung und der Geschwindigkeit . Aus diesen zwei Bedingungen bestimmen sich die zwei Größen und .

s0=t )s0(y)s0()s0( yv &=

y 0ϕ

Die beiden Darstellungen (1.2) und (1.3) sind wegen der trigonometrischen Identität

)2

sin(cos π+α=α

wechselseitig ineinander überführbar. Es gilt demnach beispielsweise die Umformung/Identität

)sin(ˆ

]2

)sin[(ˆ)cos(ˆ

2

11

ϕ+ω=

π+ϕ+ω=ϕ+ω

ty

tyty

Die Gleichwertigkeit der beiden Darstellungen (1.2) und (1.4) lässt sich durch die Anwendung der trigonometrischen Additionstheoreme zeigen. Man braucht dazu die Identität

βα−βα=β+α sinsincoscos)cos(

Dies angewandt auf die Darstellung (1.2) ergibt

00

0

sin)sin(ˆcos)cos(ˆ)cos(ˆ

ϕω−ϕω=

ϕ+ω=

tytytyy

umgeschrieben )sin()sinˆ()cos()cosˆ( 00 tytyy ωϕ−ωϕ=


oder )sin()()cos()( 21 tytyy ω+ω=

mit der Setzung

01 cosˆ ϕ+= yy und 02 sinˆ ϕ−= yy

entspricht dies der Darstellungsform nach (1.4) Entsprechend lässt sich Darstellung (1.4) in (1.3) überführen. Die drei Beschreibungsweisen sind also äquivalent, man kann je nach Zweckmäßigkeit eine geeignete Darstellung aussuchen. Im Folgenden wird, weitgehend einheitlich, die Darstellung (1.2), also die Beschreibung durch eine Kosinus-Funktion, benutzt werden. Abb. 1-01 zeigt den zeitlichen Verlauf einer harmonischen Schwingung. Die physikalischen Größen und die zugehörigen Formelbuchstaben für die analytische Darstellung (1.2) und ihre grafische Repräsentation in Abb. 1-01 sind in Tabelle 1-01 zusammengestellt. Tabelle 1-01 Darstellung einer ungedämpften harmonischen Bewegung: Physikalische Größen und Formelbuchstaben (für die grafische Veranschaulichung vgl. Abb. 1-01).

y

Auslenkung, d. h. der Augenblickswert (oder momentane Wert) der Schwingungsgröße; auch Elongation genannt.

y Amplitude, d. h. die maximale Auslenkung.

ω Kreisfrequenz der Schwingung. )( 0ϕ+ωt

Phasenwinkel, d. h. das Argument der Kosinus-Funktion.

0ϕ

Nullphasenwinkel, d. h. derjenige Phasenwinkel, der für die Zeit 0=t das Argument der Kosinus-Funktion bestimmt.

T

Schwingungsdauer oder Periodendauer, d. h., die Zeit zwischen zwei auf einander folgenden identischen Schwingungszuständen.


0 2 4 6 8 10 12 14

-2

-1

0

1

20uerPeriodenda T

st

Kennwerte für diese Abbildung sind

Amplitude cm2ˆ =y

Periodendauer

oder Kreisfrequenz

s2,010 =T1

00 s

62 −π

=π

=ωT

Nullphasenwinkel 40π

−=ϕ

Damit folgt die dargestellte harmonische Bewegung der Zeitabhängigkeit

)4

s6

cos(cm0,2)( 1 π−⋅

π⋅= − tty

Abb. 1-01: Weg-Zeit-Gesetz einer ungedämpften harmonischen Schwingung.


Für eine harmonische Schwingung muss notwendigerweise die Periodizitätsbedingung (1.1) gelten, es muss also sein

)cos(ˆ))(cos(ˆ 00 ϕ+ω=ϕ++ω tyTty

)cos(ˆ)cos(ˆ 00 ϕ+ω=ω+ϕ+ω tyTty

Wegen der Periodizitätsbedingung der Kosinus-Funktion α=π+α cos)2cos(

muss notwendigerweise gelten

π=ω 2T oder Tπ

=ω2 (1.5)

Die anschauliche Bedeutung der Kreisfrequenz wird im Abschnitt 1.3 vorgestellt werden. Der Nullphasenwinkel 0ϕ

Im Weg-Zeit-Gesetz einer harmonischen Bewegung )cos(ˆ 0ϕ+ω= tyy

bestimmt der Nullphasenwinkel im Argument einer Kosinus-Funktion die Phasenlage zum Zeitpunkt und damit die Verschiebung der gegebenen Funktion gegen die Standard-Kosinus-Funktion

0ϕ0=t

)cos(ˆ tyy ω= , bei der der Nullphasenwinkel definitionsgemäß gleich null ist.

Es sind zwei Fälle zu unterscheiden (a) also 00 >ϕ 0a0 ϕ+=ϕ (dabei hat 0aϕ einen positiven Wert);

(b) also 0 0 <ϕ 0b0 ϕ−=ϕ (dabei hat 0bϕ einen positiven Wert).

Die mathematische Beschreibung dieser beiden Schwingungen lautet )cos(ˆ 0aa ϕ+ω= tyy (voreilend)

)cos(ˆ 0bb ϕ−ω= tyy (nacheilend)

Eine Veranschaulichung in grafischer Darstellung ergibt Voreile

nde Kosinus-Funktion

mt

ay

t

y


Nacheilende Kosinus-Funktion

Im Vergleich zur Standard-Kosinus-Funktion nennt man die durch die Funktionen bzw. beschriebenen Bewegungen voreilend bzw. nacheilend, weil für ihre Funktionen Werte haben, die gegenüber der Standard-Funktion für zeitlich früher (d. h. vorher) und für zeitlich später (d. h. nachher) erreicht werden.

Anders ausgedrückt: Das bezüglich

ay

by 0=t

ay

by

0=t nächstgelegene Maximum liegt • für die Funktion bei einem Zeitpunkt ay 0 m <t und

• für die Funktion bei einem Zeitpunkt (vgl. die beiden Skizzen).

Für die Berechnung von vergleicht man zweckmäßigerweise das erste Maximum der Funktionen bzw. mit dem Maximum bei

by 0m >t

0ϕ

ay by 0 =t

a

der Standard-Kosinus-Funktion; denn für ein Maximum der Funktionen bzw. zum Zeitpunkt muss das Argument der Kosinus-Funktion null werden; es gilt also notwendig

mit

y by 0m =t

0)( 0m =ϕ+ωt

Tπ

=ω2

wird daraus nach umstellen

π−=ϕ 2m0 T

t

Es wird für den Fall der zugehörige Nullphasenwinkel 0 m <t 00a >ϕ , also positiv,

der zugehörige Nullphasenwinkel 0m >t 0 )( 0b <ϕ− , also negativ.

by

t

mt

y


- 9 -

en/Schwingungen – Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung

in einer Ebene um eine vorgegebene Drehachse. Für die gleichförmige Kreisbewegung gelten aus der Mechanik die im Folgenden genannten Definitionen und Beziehungen. Aus der Anzahl der Umläufe Z und der dazu benötigten Zeit t ergibt sich die

(Umlauf-) Frequenz

1.3 Harmonische Bewegung

Man erhält eine harmonische Bewegung durch die Projektion eines gleichförmig auf einer Kreisbahn (konstanter Radius) umlaufenden Punktes. Dies ist in Abb. 1-02 dargestellt. Ein materieller Punkt Y (Masse m) läuft in konstantem Abstand R mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω

tZf

ZeitbenötigtedafürUmläufederAnzahl

=

Die SI-Einheit ist Hz1Hertz1][ ==f

Die Einheit Hertz enthält eine (dimensionslose) Anzahl pro Zeiteinheit, im Angelsächsischen korrekt als Einheit cycles per second ( 1sc − ). Die DIN-N

unterschlägt die (dimensionslose) Anzahl der Umläufe (Zyklen) und setzt 1s1Hz1 −= .

Periodendauer oder Umlaufdauer

orm

Die I

Prä he

senz

=T diejenige Zeit, die für eine Periode (einen Umlauf) gebraucht wird. S -Einheit ist s][ =T 1

ziser müsste die Ein it lauten − Periode)1][ =T

Der Zusammenhang zwischen Periode T und Frequ f ist gegeben durch

1(

fT 1= (1.6)

Die Winkelgeschwindigkeit ist definiert

TTπ

==ω2

uerPeriodendaWinkelenerüberstrichPeriodeeinerin

ωDer Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Frequenz f einer

Die SI-Einheit is

us

harmonischen Bewegung wird nach (1.6) fπ=ω 2

1s1][ −=ω t

Das folgt – korrekt – a

1s1ZeitPeriode

g: Definition des Winkels

PeriodeWinkelsloser)imension=⋅

(d][ −=ω

Anmerkun

rs

RadiusBogenlänge

=ϕ

In diesem Bogenmaß hat der Winkel die Einheit 1

]Länge[]Länge[]Winkel[ = 1

]m[]m[][ ==ϕ

Schwingungslehre – Abschnitt 1 ’Periodizität und harmonische Bewegungen’

Um dimensionslose physikalische Größen eindeutig zu keche ’Einheitensymbole‘. Für den Winkel im Bogenma

nnzeichnen, benutzt man zusätzli ß ist dieses

Einheitensymbol 1 Radiant = 1 rad

Damit wird die Einheit 1srad1][ −=ω .

Der umlaufende materielle Punkt Y (Masse m) in Abb. 1-02 wird mit parallelem Lichtbeleuchtet. Die Projektion des umlaufenden materiellen Punkts zeigt sich als Schattenpunkt auf dem Wandschirm. Der Projektionspunkt Y ′ des umlaufendPunkts Y bewegt sich auf dem Wandschirm harmonisch hin und her; denn fü

en r die

tionspunktes Y ′Bewegung des Projek entlang der y-Achse liest man aus Abb. 1-02

0

die Beziehung cos()( )ϕ+ω= Rty t

egung

uliche

Kreisbewe ung eines materiellen Teilchens P mit der konstanten

um eine Drehachse 0. Zwei Momentaufnahmen der Bewegung sind dargestellt und zwar für den Zeitpunkt und einen Zeitpunkt .

te harmonische Bewegungen/Schwingungen als n Kreisbewegung auf einen Durchmesser.

ab, d. h., der Projektionspunkt Y ′ führt gemäß (1.2) eine harmonische Bewaus. Der Begriff Kreisfrequenz bekommt durch diesen Zusammenhang zwischen gleichförmiger Kreisbewegung und harmonischer Bewegung seine anschaBedeutung.

P

)( 0ϕ+ωt

R

(a) Gleichförmige gWinkelgeschwindigkeit ω

0=t 0>tAbb. 1-02 – Teilbild (a): UngedämpfParallelprojektion einer gleichförmige

0ϕ

P

Y

0>t 0=t

R

y yY


1 -

rojektionspunkt auf einem Wandschirm beobachtet. Der Projektionspunkt

y

DP

er gleichförmig umlaufende Punkt P wird mit parallelem Licht beleuchtet und der Y ′ Y ′

führt eine ungedämpfte harmonische Bewegung aus. Die Bewegung von auf dem andschirm ist identisch zu der eines Punktes Y auf der y-Achse ( wurde nur zur

esseren Veranschaulichung eingeführt). Die Bewegung des Punktes Y bzw. des rojektionspunktes ) wird beschrieben durch

Y ′W Y ′bP Y ′

)cos()( 00 ϕ+ω= tRty

Abb. 1-02 – Teilbild (b): Ungedämpfte harmonische Bewegungen/Schwingungen ls Parallelprojektion einer gleichförmigen Kreisbewegung auf einen Durchmesser. a

R

R Y

ω

′ Y

0ϕ+ωt

beneojektionse

y ′

R

0

Licht paralleles

Pr

Schwingungslehre – Abschnitt 1 ’Periodizität und harmonische Bewegungen’ - 1

Physikalische Systeme, deren Bewegung nach diesem Weg-Zeit-Gesetz (1.2) erfolgt, haben, wie später gezeigt wird, als notwendige Voraussetzungen

• fehlende Dämpfung, • ein spezielles, und zwar ein lineares (HOOKEsches) Kraftgesetz.

ur deutlicheren Kennzeichnung dieses Sachverhaltes spricht man von ngedämpfter harmonischer Bewegung und benutzt für diese spezielle Bewegung en Index '0', also

für die Periodendauer ,

für die Frequenz ,

für die Kreisfrequenz ,

it den entsprechenden Zusammenhängen

Zud

0T

0f

0ω

m

und 0

00122

Tf π=π=ω

00

1T

f =

Tabelle 1-02

ergleich zwischen einer gleichförmigen Kreisbewegung und einer ungedämpften armonischen Bewegung (für die grafische Veranschaulichung vgl. Abb. 1-02).

Gleichförmige Kreisbewegung

Formelzeichen Ungedämpfte harmonische Bewegung

Vh

Zahl der Umläufe pro Zeiteinheit

0f Zahl der Schwingungen pro Zeiteinheit

Winkelgeschwindigkeit des umlaufenden Massenpunktes

0ω Kreisfrequenz

Umlaufdauer bzw. Periodendauer

0T Periodendauer bzw. Schwingungsdauer

Drehwinkel des Radiusvektors (Winkel des Fahrstrahls mit der y-Achse)

00 )( ϕ+t Phasenwinkel der Schwingung ω(Argument der harmonischen Funktion)

Winkel des Fahrstrahls mit der y-Achse zur Zeit

Nullphasenwinkel (er bestimmt den Phasenwinkel für 0=t ) 0=t

0ϕ

Radius der Kreisbahn R

- y

Amplitude (maximaler Wert der Auslenkung) Auslenkung zu beliebiger Zeit t (Momentanauslenkung)

y

Der Formelbuchstabe R ist für den Radius der Kreisbahn sinnvoll, für die harmonische Bewegung ersetzt man ihn durch die Amplitude .

Tabelle 1-02 bringt einen zusammenfassenden Vergleich zwischen den wichtigsten Begriffen einer gleichförmigen Kreisbewegung und denjenigen einer ungedämpften harmonischen Bewegung. Sie ergänzt die Abb. 1-02.

y


1.4 Differentialgleichung ungedämpfter harmonischer Bewegungen Das Weg-Zeit-Gesetz ungedämpfter harmonischer Schwingungen ist gegeben durch die che Darstellung zeigt Abb. 1-01. Es sollen zunächst form l

Beziehung (1.2). Die grafisa die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a einer ungedämpften

n

Mathematisch ergeben sich Geschwindigkeit und Beschleunigung aus der Gleichung (1.2) durch ein- bzw. zweimaliges Differenzieren nach der Zeit. Aus

harmonischen Bewegung bestimmt werden. Anschaulich ist die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a einer harmonischeBewegung gegeben durch die Geschwindigkeit bzw. die Beschleunigung des Projektionspunktes Y in Abb. 1-02. ′

00cos(ˆ ϕ+ω= tyy ) (1.2)

icht vergessen) ergibt sich die Geschwindigkeit (Kettenregel n

)sin(ˆ 0ω−== yy&dd

00 ϕ+ω= ttyv (1.8)

nd die Beschleunigung u

)cos(ˆdd 0002tt

Setzt man (1.2) in (1.9) ein, so erhält man

dd==

va 22

ϕ+ωω−== tyyy && (1.9)

ω−=&&

o n Standardform

In der Sprache der Mathematik ist dies eine ’lineare, homogene Differentialgleichung 2. Ordnung’; die Bezeichnungsweise ist: ’lin ar’, d. h e Potenzen der Funktion und ihrer Ableitungen auf; ’homogen’, d. h. es tritt kein

yy 20

der in der übliche geschrieben

020 =ω+ yy&& (1.10)

e ., es treten kein ’Störglied’ auf, also

k tweder konstant ist od r die un enthält; ’ ie zweite Ableitung ist die höchste vorkommende Ableitung. D notwendig durc dieA er Differentialgleich

ein Ausdruck, der en2. Ordnung’, d. h., d

e abhängige Variable t

iese Differentialgleichung wird lso lautet die Lösungsfunktion d

coˆ

h Beziehung (1.2) gelöst. ung (1.10)

00s( ϕ+ω t ) (1.2)

Die oben hergeleitete Differentialgleichung (1.10) ist rwD funktion i kainteressiert, unter welchen Vorau etzungen ein phy stem dieser Differentialgleichung genügt und d beschrieben werden kann. Solche y

• physikalisches Pendel (bei kleinen Auslenkungen aus der Ruhelage), ge),

zu können.

= yy

in Physik und Technik seh ichtig. ie zugehörige Lösungs st das bereits be nnte Weg-Zeit-Gesetz (1.2). Es

sikalisches Syssdamit auch durch physikalischen S

ie vorgegebene Lösungsfunktionsteme sind

• mathematisches Pendel (bei kleinen Auslenkungen aus der Ruhela• Torsions- oder Drehpendel.

Die Einschränkung ’kleine Auslenkungen’ wird in später zu diskutierenden Bespielenpräzisiert werden; es gehört dazu die Aussage ’die Differentialgleichung wird linearisiert’, um sie in der o. g. Standardform darstellen


2 Der harmonische eindimensionale Schwinger – ungedämpfte harmonische Schwingungen

2.1 Einleitung Ein eindimensionales, schwingungsfähiges System, welches dem Weg-Zeit-Gesetz bzw. allgemein der Bewegungsgleichung

)cos(ˆ)( 00 ϕ+ω= tyty (1.2)

gehorcht, erfüllt, wie in Abschnitt 1.4 gezeigt, die Differentialgleichung einer unge-dämpften harmonischen Bewegung, gegeben durch

020 =ω+ yy&& (1.10)

In diesem Abschnitt wird untersucht, welche physikalischen Systeme und ihre Bewe-gungen durch eine Differentialgleichung der mathematischen Form (1.10) beschrie-ben werden. Es wird sich ergeben, dass dafür die beiden folgenden Voraussetzun-gen notwendig und hinreichend sind

• Reibungsfreiheit, d. h., es treten keine Widerstands-, Reibungs- oder Dämp-fungskräfte von außen auf.

• Lineares Kraftgesetz (HOOKEsches Gesetz), die Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage.

In realen physikalischen Systemen ist stets Dämpfung vorhanden. Diese Dämpfung ist aber in vielen Fällen schwach, so dass sie in erster Näherung vernachlässigt wer-den darf. Der Einfluss der Dämpfung auf die Bewegungsform wird in Abschnitt 4 aus-führlich diskutiert. In realen physikalischen Systemen ist die rücktreibende Kraft stets nur näherungs-weise proportional zur Auslenkung. Aber für sehr viele Systeme ist diese Näherung recht gut. In mechanischen Systemen gilt z. B. für die Dehnung bzw. Stauchung, für Verbiegen oder Verdrillen (oder eine Überlagerung all dieser Deformationen) bei nicht zu großen Deformationen in guter Näherung die geforderte Linearität. Die Erfül-lung der genannten Bedingungen führt stets zu ungedämpften harmonischen Schwingungen. Als mechanisches Standard-Modell wird zunächst ein Feder-Masse-System oder auch Federpendel betrachtet: Die eindimensionale (oder lineare) Schwingungen ei-nes Körpers der Masse m , befestigt an einer masselosen Feder, deren Rückstell-kraft linear von der Verlängerung bzw. Verkürzung y der Feder abhängt. Die Eigen-schaft der Feder wird durch eine Federkonstante c beschrieben. Ergänzend werden später weitere Beispiele gebracht; dabei wird auch die Grenze des Gültigkeitsbereiches der idealisierenden Modellvorstellungen, insbesondere der Linearität, diskutiert.

Schwingungslehre – Abschnitt 2 ’Der harmonische eindimensionale Schwinger’ - 14 -

2.2 Standard-Modell – Feder-Masse-System oder Federpendel 2.2.1 Differentialgleichung ungedämpfter harmonischer Schwingungen Um den Einfluss der Gravitationskraft zu kompensieren, befestigt man einen Körper der Masse m waagrecht schwingungsfähig an einer Feder (vgl. dazu Abb. 2-01).

ycF −=rück

m

m

y0

0rück =F

Ruhelage eireibungsfr

Oberes Teilbild: Feder entspannt; Ruhelage der Feder bei der Koordinate . 0=y

Unteres Teilbild: Feder aus der Ruhelage um y ausgelenkt.

Abb. 2-01 Teilbild (a): Das Standard-Modell für ungedämpfte harmonische Schwin-gungen: Feder-Masse-System (’Federpendel‘) ohne Reibung. Für die horizontale Bewegung wirkt auf den Körper der Masse in m y -Richtung al-lein die Rückstellkraft der gedehnten bzw. gestauchten Feder. rückF

Dem Feder-Masse-System liegen dabei die folgenden Modellvorstellungen zugrun-de:

• Die Charakteristik der Feder folgt einem linearen (HOOKEschen) Kraftgesetz. • Die Feder soll keine Masse haben, (d. h., die Massenelemente der Feder

brauchen nicht beschleunigt zu werden und ihre kinetische Energie muss deshalb nicht berücksichtigt werden).

• Es treten keine äußeren Widerstandskräfte auf; d. h., der Körper der Masse soll sich auf der Unterlage reibungsfrei bewegen. m

Es gilt ein lineares Kraftgesetz cyF −=rück (2.1)

Man nennt die Proportionalitätskonstante dieses Kraftgesetzes die Federkonstante der Feder (Formelbuchstabe c ). Es ist auch die Bezeichnung Richtgröße (Formel-buchstabe ) gebräuchlich. Die Rückstellkraft der Feder ist die einzige Kraft, welche in

Dy -Richtung auf den Körper der Masse einwirkt; die Gewichtskraft wird durch

die Unterlage kompensiert. m


Nach dem NEWTONschen Aktionsprinzip bewirkt eine Kraft auf einen Körper dessen Beschleunigung gemäß

ymmaF &&== (2.2)

In y-Richtung ist die Rückstellkraft die allein auf den Körper wirkende Kraft. Unter der Verwendung des linearen Kraftgesetzes (2.1) erhält man

0

0

=+

=+=−

ymcy

ycymymyc

&&

&&

&&

(2.3)

Dies ist aber genau die Differentialgleichung, die in Abschnitt 1 für eine ungedämpfte harmonische Bewegung hergeleitet wurde (1.10). Die wesentliche Voraussetzung für die mathematische Form der Differentialgleichung (2.3) ist ein lineares Kraftgesetz. Diese Aussage lässt sich auch umkehren: Wenn eine Differentialgleichung vom Typ (2.3) gilt, dann liegt notwendigerweise ein lineares Kraftgesetz vor. Für vertikale Schwingungen stimmt die statische Ruhelage des Körpers (Masse ) nicht mit der Nulllage

statym 0=y der entspannten Feder überein. Die Gravita-

tionskraft auf den Körper bewirkt lediglich eine Vorspannung der Feder. Diese Vor-spannung wirkt sich nicht auf die Eigenkreisfrequenz 0ω aus, solange die Kennlinie der Feder linear ist. Die Ruhelage der entspannten, idealen Feder liegt bei der Koordinate . Die sta-tische Ruhelage (bei angehängtem Körper) des schwingungsfähigen Systems stellt sich bei ein. Die Gleichgewichtsbedingung fordert

0=y

statyy =

0rückgravrrr

=+ FF

Gravitationskraft gmF =grav (nach unten, positive y -Richtung).

Rücktreibende Kraft der Feder statrück ycF −= (nach oben, negative y -Richtung).

Die statische Gleichgewichtsbedingung lautet 0stat =− ycgm .

Für eine zusätzliche Auslenkung um y aus der statischen Ruhelage wird die Gesamtauslenkung der Feder

statyy =)( stat yy + und damit die Rückstellkraft der Feder

)( statrück yycF +−=

und die Gesamtkraft auf den Körper ycycycmgycmgyycFFF −=−=−+−=++−=+= 0)()( statstatgravrückges

dabei wurde die statische Gleichgewichtsbedingung berücksichtigt. Mit dem NEW-TONschen Aktionsgesetz ergibt sich daraus sofort die Differentialgleichung der unge-dämpften harmonischen Bewegung

0=+ ymcy&&


)( stat yy +

staty

0

mgF =grav

statycF −=rück )(rück yycF stat +−=

mgF =grav Auslenkung

Abb. 2-01: Teilbild (b): Vertikale Schwingungen nahe der Erdoberfläche. 2.2.2 Lösung der Differentialgleichung Die mathematische Form der Differentialgleichung (2.3) ist identisch zu der in Ab-schnitt 1.4 dargestellten Gleichung (1.10). Deshalb lassen sich sämtliche dort gefun-denen Aussagen direkt auf das Modell des Feder-Masse-Systems übertragen. Durch Vergleich von (2.3) mit (1.10) folgt für den in der Differentialgleichung vor der Funktion y stehenden konstanten Koeffizienten, das Quadrat der Eigenkreisfre-quenz

mc

=ω 20 (2.4)

Mit der Beziehung

00

2Tπ

=ω (1.5)

erhält man damit für die Schwingungsdauer des Standard-Modells eines Feder-Masse-Systems

0T

cmT π= 20 (2.5)


Die Schwingungen, also das physikalische Verhalten des Systems, werden eindeutig durch die Masse m des angehängten Körpers und der Federkonstanten c der idea-len Feder festgelegt. Masse und Federkonstante m c bestimmen eindeutig die Ei-genkreisfrequenz (bzw. die Eigenfrequenz oder die Schwingungsdauer ) des Systems. Mit dieser Eigenkreisfrequenz

0ω 0f 0T

0ω antwortet das System auf einen einmaligen Anstoß. Man spricht in diesem Fall von freien Schwingungen. Für das Weg-Zeit-Gesetz übernimmt man aus Abschnitt 1 die Abhängigkeit als Kosi-nus-Funktion

00cos(ˆ)( ϕ+ω= tyty ) (1.2)

Eine analoge Beschreibung wäre

)sin(ˆ)( 00∗ϕ+ω= tyty

Vorsicht: Die Nullphasenwinkel sind für die beiden Beschreibungen verschieden! Als allgemeine Lösung einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung enthält die Lösungsfunktion (1.2) neben der systemcharakteristischen Eigenkreisfrequenz 0ω noch zwei zu bestimmende Integrationskonstanten, nämlich die Amplitude und den Nullphasenwinkel bzw. .

y

0ϕ∗ϕ0

Will man für einen konkreten Fall die Integrationskonstanten, also Amplitude und Nullphasenwinkel , zahlenmäßig bestimmen, so genügt die Differentialgleichung dazu alleine nicht. Es müssen noch zwei Zusatzbedingungen gegeben werden, am einfachsten die Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt

y0ϕ

0=t Auslenkung )0()0( yty == und Geschwindigkeit )0()0( vtv ==

Masse des Körpers und Federkonstante m c der Feder legen die Eigenkreisfre-quenz eindeutig fest; dabei sind aber Amplitude und Nullphasenwinkel noch beliebig wählbar. Ist aber die Bewegung des Systems einmal, bei vorgegebe-nen Anfangsbedingungen, gestartet, dann liegen auch und

0ω y 0ϕ

y 0ϕ ebenso eindeutig fest und damit kann die Schwingung eindeutig beschrieben und als Funktion der Zeit angegeben werden. Die anschauliche Bedeutung der drei physikalischen Größen Eigenkreisfrequenz 0ω , Amplitude und Nullphasenwinkel y 0ϕ und ihren Einfluss auf die Lösungsfunktion der Differentialgleichung einer ungedämpften harmonischen Bewegung sind in Abb. 2-02 dargestellt.


y

)(2 ty 1y

t 1T

1y− y

t 1T

)(1 ty

)(3 ty

1y

1y−

3y

3y−

y

t 1T

)(1 ty )(4 ty 1y

1y−

4T

Teilbild (a)

Teilbild (b)

Teilbild (c)

)(1 ty


Zwei identische Feder-Masse-Systeme mit gleichen Eigenkreisfrequenzen

00201 ω=ω=ω

Teilbild (a) Die beiden Lösungen haben identische Amplituden yyy ˆˆˆ 21 ==

Die beiden Lösungen unterscheiden sich in ihren Nullphasenwinkeln

001 =ϕ und 602π

=ϕ

Die zugehörigen Bewegungsgleichungen sind

)cos(ˆ)( 01 tyty ω= und )6

cos(ˆ)( 02π

+ω= tyty

Teilbild (b) Die beiden Lösungen haben identische Nullphasenwinkel 00301 =ϕ=ϕ

Die beiden Lösungen unterscheiden sich in ihren Amplituden

yyy ˆˆ32ˆ 13 ==

Die zugehörigen Bewegungsgleichungen sind

)cos(ˆ23)( 01 tyty ω= und )cos(ˆ)( 03 tyty ω=

Zwei verschiedene Feder-Masse-Systeme d. h. zwei Systeme mit verschiedenen Eigenkreisfrequenzen 0401 ω≠ω .

Für die Eigenkreisfrequenzen gilt 00104 22 ω=ω=ω

Teilbild (c) Die beiden Lösungen haben identische Amplituden yyy ˆˆˆ 41 ==

Die beiden Lösungen haben identische Nullphasenwinkel 00401 =ϕ=ϕ

Die zugehörigen Bewegungsgleichungen sind )cos(ˆ)( 01 tyty ω= und )2cos(ˆ)( 04 tyty ω=

Abb. 2-02: Grafische Darstellung verschiedener Lösungen der Differentialgleichung ungedämpfter harmonischer Schwingungen.


2.2.3 Zusammenhang zwischen Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung des schwingenden Körpers

Eine ungedämpfte harmonische Bewegung wird beschrieben durch

00cos(ˆ)( ϕ+ω= tyty ) (1.2)

Ein- bzw. zweimalige Differentiation dieser Funktion nach der Zeit t liefern die Ge-schwindigkeit und die Beschleunigung yv &= ya &&= .

)sin(ˆ)()( 00 ϕ+ωω−== tytytv & (1.8)

)(

)cos(ˆ)()(2

0

02

0

ty

tytyta

ω−=

ϕ+ωω−== && (1.9)

Unter der Verwendung der Gleichungen (1.2) und (1.8) lassen sich die Integrations-konstanten und bestimmen, wenn für die Zeit y 0ϕ 0=t die zugehörigen Anfangs-bedingungen und vorgegeben werden. )0(y )0(v

Beispiel zur Bestimmung der Integrationskonstanten Der Körper der Masse m wird zunächst um aus der Ruhelage ausgelenkt und anschließend zum Zeitpunkt ’ohne Anfangsgeschwindigkeit’ losgelassen; damit sind die Anfangsbedingungen

anfy0=t

anf)0( yy = und 0)0()0( == yv &

Einsetzen dieser Anfangsbedingungen in (1.2) und (1.8) liefert zwei Bestimmungs-gleichungen für Amplitude und Nullphasenwinkel y 0ϕ .

)cos(ˆ 0anf ϕ= yy

)sin(ˆ0 00 ϕω−= y

In der zweiten Gleichung muss in dem Produkt notwendigerweise einer der Faktoren auf der rechten Seite gleich null sein; Amplitude und Eigenkreisfrequenz kön-nen es für eine Schwingung nicht sein. Es folgt notwendigerweise und damit wird der Nullphasenwinkel (in der Darstellung der Schwingungen als Kosinus-Funktion)

y 0ω0)sin( 0 =ϕ

00 =ϕ

Dieses Ergebnis in die erste Bedingungsgleichung eingesetzt liefert für die Amplitude yyy ˆ)0cos(ânf ==

Damit lautet die Lösung der Differentialgleichung für alle Zeiten t für die im Beispiel vorgegebenen Anfangsbedingungen (Auslenken um aus der Ruhelage und an-schließendes ’Loslassen ohne Anfangsgeschwindigkeit’)

anfy

)cos(ˆ)( 0tyty ω=


Wie im vorgestellten Beispiel wird für die weitere Diskussion der Nullphasenwinkel gewählt. Dies vereinfacht die mathematische Beschreibung, ändert aber

nichts an der Allgemeingültigkeit der Ergebnisse. Die harmonischen Funktionen sind auf den Wertebereich zwischen (

00 =ϕ

1− ) und ( 1+ ) beschränkt; denn 1)sin(1 0 ≤ω≤− t und 1)cos(1 0 ≤ω≤− t

Deshalb gilt für die Beträge der Maximalwerte von Auslenkung y , Geschwindigkeit v und Beschleunigung a

Auslenkung yy ˆmax ±=

Geschwindigkeit 0maxmax ˆω±== yyv &

Beschleunigung 20maxmax ˆω±== yya &&

In Abb. 2-03 sind die Zeitabhängigkeiten von Auslenkung , Geschwindigkeit und Beschleunigung , vereinfachend für einen Nullphasenwinkel , grafisch dargestellt.

)(ty )(tv)(ta 00 =ϕ

Für spezielle Bahnpunkte erhält man für die Beträge (vgl. Abb. 2-03): Beim Durchgang durch die Ruhelage, also für 0=y , ist

die Geschwindigkeit maxvv =

die Beschleunigung 0=a und damit auch 0=F (in Übereinstimmung mit 0rück =−= ycF für 0=y ).

In den Umkehrpunkten, also für die Auslenkung yy ˆ±= , ist

die Geschwindigkeit 0=v (die Geschwindigkeit wechselt ihre Richtung.) die Beschleunigung maxaa = (in Übereinstimmung mit ycF ˆrück −= für yy ˆ= .)

In Abb. 2-04 sind für einige ausgewählte Bahnpunkte für eine Periode die Aus-lenkung y , die Geschwindigkeit v , die Beschleunigung und die nach NEWTON zur Beschleunigung proportionale Kraft

aF eingetragen.


y

y

ya &&=

yv &=

0T

t

t

t

0T−

y0ω

y20ω

Auslenkung

Geschwindigkeit

Beschleunigung


Für ein ideales Feder-Masse-System sind dargestellt: Auslenkung-Zeit-Gesetz )cos(ˆ)( 0tyty ω=

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz )sin(ˆ)()( 00 tytytv ωω−== &

Beschleunigung-Zeit-Gesetz )cos(ˆ)()( 02

0 tytyta ωω−== &&

Der Nullphasenwinkel wurde dabei vereinfachend gleich null gesetzt (diese Set-zung schränkt die Allgemeinheit nicht ein).

0ϕ

Beachten Sie die verschiedenen Einheiten auf den Ordinatenachsen! Die harmonischen Funktionen sind auf den Wertebereich zwischen ( ) und ( ) beschränkt; denn

1− 1+

1)sin(1 0 ≤ω≤− t und 1)cos(1 0 ≤ω≤− t

Deshalb gilt für die Beträge der Maximal/Minimalwerte von Auslenkung y , Ge-schwindigkeit v und Beschleunigung aAuslenkung yy ˆminmax/ ±=

Geschwindigkeit 0minmax/minmax/ ˆω±== yyv &

Beschleunigung 20minmax/minmax/ ˆω±== yya &&

Abb. 2-03 Ungedämpfte harmonische Schwingungen.


y

m y−

y+

0

Für ausgewählte Bahnpunkte (Umkehrpunkte und Ruhelage) sind die Auslenkung y , die Geschwindigkeit v , die Beschleunigung a und die auf den Körper (Masse ) wirkende Kraft (ausgeübt von der Feder) eingetragen. Die Richtungen der vek-torieller Größen sind durch Pfeile angegeben; ihre Beträge sind als skalare Größen eingetragen.

mrückF

Vergleichen Sie mit der Darstellung in Abbildung 2-03. Das Weg-Zeit-Gesetz lautet )cos(ˆ)( 0tyty ω=

d. h., der Nullphasenwinkel wurde – ohne Beschränkung der Allgemeinheit – ver-einfachend gleich null gesetzt.

0ϕ

Abb. 2-04: Ungedämpfte harmonische Schwingungen eines idealen Feder-Masse-Systems (reibungsfrei auf horizontaler Unterlage, vgl. Abb. 2-01).

Zeitachse t

ycF ˆrück =

ya ˆ20ω=

yv ˆ0ω=

yv ˆ0ω−=

ycF ˆrück =

ya ˆ20ω=

000

rück

=

==

aF

y

0ˆ

==

vyy

0

00

rück

=

==

aF

y

0ˆ

=−=

vyy

0ˆ

=−=

vyy

ycF ˆrück

ya ˆ20ω−=

= −


2.2.4 Energieinhalt einer idealen Feder Durch Stauchen oder Dehnen wird Arbeit an der Feder verrichtet. Diese Arbeit wird als potentielle Energie in der Feder gespeichert. Diese gespeicherte Energie kann Arbeit verrichten.

Die für eine differentielle Änderung yr

d der Federlänge durch eine äußere Kraft extFr

aufzuwendende Arbeit ist als skalares Produkt definiert Wd

yyFyWrr

d)()(d ext ⋅=

Die äußere Kraft muss dabei der Rückstellkraft extFr

rückFr

der Feder stets das Gleichgewicht halten; also gilt (für das eindimensionale Problem)

0rückext =+ FF

cycyFF =−−=−= )(rückext

Damit wird die gesamte, gegen die rücktreibende Federkraft aufzuwendende Arbeit bei einer Dehnung der Feder von auf 12W 1y 2y

∫=∫=2

1

2

1

dd)(ext12y

y

y

yyycyyFW

)(21

21 2

12

22

122

1

yyccyWy

y−==

Die aufgewendete Arbeit ist als potentielle Energie in der Feder gespei-chert. Setzt man speziell , d. h., man bezieht die Längenänderungen der Fe-der auf ihre entspannte Nulllage, dann ist die potentielle Energie der Feder allgemein gegeben durch die Beziehung

12W FederpotE

01 =y

2Federpot 2

1 cyE = (2.6)

Als Abhängigkeit von der Auslenkung y erhält man für die potentielle Energie einer idealen Feder eine Parabel 2. Ordnung, deren Öffnung durch die Federkon-stante

FederpotE

c bestimmt wird. In Abb. 2-05 sind grafisch dargestellt

Die potentielle Energie einer idealen Feder in Abhängigkeit von der Auslen-

kung

FederpotE

y aus der Ruhelage. Die potentielle Energie hängt quadratisch von der Auslenkung

FederpotE

y ab. Sie hat in den beiden Umkehrpunkten yy ˆ±= ihren Maximalwert. Dieser Wert ist dabei gleich der Gesamtenergie des Feder-Masse-Systems, weil in den Umkehrpunkten wegen auch ist (Teilbild a). 0=v 0Körper

kin =E

Die rücktreibende Kraft in (linearer) Abhängigkeit von der Auslenkung y aus der Ruhelage. Für Auslenkungen in positiver (negativer)

rückFy -Richtung ist die Kraft in nega-

tive (positive) y -Richtung gerichtet (Teilbild b).


(a)

)(Federpot yE 2Feder

pot 21)( ycyE =

y y− 0 y

(b)

)(rück yF

ycyF −=)(rück

y−

y

0 y

Für das Modell eines Feder-Masse-Systems sind in Abhängigkeit von der Auslen-kung y aus der Ruhelage dargestellt

Die potentielle Energie der Feder (Parabelpotential) FederpotE

Der Betrag der auf den Körper der Masse m wirkenden Kraft rückF

Abb. 2-05: Lineares Kraftgesetz und Energieinhalt einer idealen Feder.


2.2.5 Energiebetrachtungen Da keine Widerstandskräfte auftreten, ein Einfluss der Reibung also nicht zu berück-sichtigen ist, muss notwendigerweise der Satz von der Erhaltung mechanischer Energieformen in der Schreibweise der Mechanik gelten, also

const.Federpot

Körperkin

Systemges =+= EEE

dabei ist die kinetische Energie des schwingenden Körpers gegeben durch

22Körperkin 2

121 ymmvE &== (2.7)

und die potentielle Energie der gedehnten oder gestauchten Feder durch

2Federpot 2

1 cyE = (2.6)

Einsetzen der Beziehungen (1.2) und (1.8) ergibt

)(sinˆ21

)(cosˆ21

0022

02Feder

pot

0022Feder

pot

ϕ+ωω=

ϕ+ω=

tymE

tycE (2.6‘)

mit

mc

=ω 20 (1.4)

wird

)ˆ(21

21ˆ

21)](cos1[ˆ

21)(sinˆ

21

22

2200

2200

22Körperkin

yyc

cyyctyctycE

−=

−=ϕ+ω−=ϕ+ω=(2.7)

Da die Quadrate der harmonischen Funktionen und auf den Wertebe-reich (0) bis ( ) beschränkt sind, also gilt

α2sin α2cos1+

1sin0 2 ≤α≤ und 1cos0 2 ≤α≤ergibt sich

2Federpot ˆ

210 ycE ≤≤ und 2Körper

kin ˆ210 ycE ≤≤

Für die Gesamtenergie erhält man mit (2.6‘) und (2.7‘) bei der vorausgesetzten Rei-bungsfreiheit den erwarteten konstanten Wert

const.ˆ21ˆ

21

)](cos)([sinˆ21

20

22Systemges

002

0022System

ges

=ω==

ϕ+ω+ϕ+ω=

ymycE

ttycE (2.8)

Es ist charakteristisch für eine ungedämpfte harmonische Schwingung, dass die Ge-samtenergie proportional zum Quadrat der Amplitude der harmonischen Schwingung ist.

gesE y


Die (konstante) Gesamtenergie , die potentielle Energie und die kine-

tische Energie können gegen die Ortskoordinate

SystemgesE Feder

potEKörperkinE y oder gegen die Zeit

aufgetragen werden. Diese beiden Darstellungen sind in Abb. 2-06 gezeichnet. Ver-wendet wurden dazu die Gleichungen (2.6), (2.6‘), (2.7‘) und (2.8).

t

SystemgesE

FederpotE

KörperkinE

0 t

)(tEE =

)(tE

021T 0T

(a)

FederpotE

KörperkinE

y y− 0

y

SystemgesE )(yE

)(yEE =

(b) Beispiel: Schwingungen beschrieben durch die Funktion )cos(ˆ)( 0tyty ω= ; (Auslenken des Körpers und Loslassen ohne Anfangsgeschwindigkeit)

Die potentielle Energie der Feder 2Federpot 2

1 ycE =

Die kinetische Energie der bewegten Masse 22Körperkin 2

121 ymvmE &==

Die (konstante) Gesamtenergie .constFederpot

Körperkin

Systemges =+= EEE

Teilbild (a): Energieverhältnisse in Abhängigkeit von der Zeit t . Teilbild (b): Energieverhältnisse in Abhängigkeit von der Auslenkung y .

Abb. 2-06: Energiebetrachtungen – ungedämpfte harmonische Schwingungen.


2.3 Weitere Beispiele für ungedämpfte harmonische Bewegungen Es werden im Folgenden einige weitere, einfache physikalische Systeme betrachtet, deren Verhalten jeweils durch die Differentialgleichung (1.10) der ungedämpften harmonischen Schwingung beschrieben wird. Deshalb können sämtliche Ergebnisse aus Abschnitt 1.4 direkt übernommen werden. Insbesondere wird die Näherung für die Gültigkeit eines linearen Kraftgesetzes diskutiert. 2.3.1 Physikalisches Pendel bei kleinen Auslenkungen Die Definition eines physikalischen Pendels ist: Ein physikalisches (oder physisches) Pendel ist ein starrer Körper beliebiger Mas-senverteilung, der im Schwerefeld der Erde so aufgehängt ist, dass er in einer verti-kalen Ebene um eine Achse, die nicht durch seinen Massenmittelpunkt geht, unter dem Einfluss der Gravitationskraft schwingen kann. Eine Darstellung eines physikalischen Pendels und eine Auflistung der im Folgenden benutzten Nomenklatur findet sich in Abb. 2-07. 2.3.1.1 Aufstellen der Differentialgleichung Wegen der Auslenkung des Körpers um den Winkel β aus der Ruhelage übt die Gravitationskraft ein rücktreibendes Drehmoment auf den Körper aus. Dieses Drehmoment versucht, den Körper in die Ruhelage

gravF rückM0=β zurückzutreiben.

Für das rücktreibende Drehmoment ergibt sich unter Berücksichtigung der Geometrie (vgl. 2.7)

β−= sinrück dgmM

Ein Drehmoment M bezüglich des Drehpunkts P bewirkt nach NEWTON eine Win-kelbeschleunigung α gemäß

β=β

=α= &&P2

2

PPdd J

tJJM

Man erhält nach Einsetzen von rückM

β=β− &&Psin Jdgm

oder nach Umstellen die Differentialgleichung

0sinP

=β+βJ

dgm&& (2.9)

In dieser Differentialgleichung (2.9) ist der zweite Ausdruck proportional zum Sinus des Auslenkwinkels β nicht aber zum Auslenkwinkel β . Diese Gleichung hat also nicht die mathematische Form der Differentialgleichung der ungedämpften harmoni-schen Schwingung (1.10). Im allgemeinen Fall wird sich deshalb keine harmonische Schwingung einstellen.


S

P

gravFr

d

β

gr

dr

Rücktreibendes Drehmoment gravFdMrrr

×=

Richtung: Anwenden der Rechtsschraubenregel: ’den Vektor dr

auf kürzestem Weg in den Vektor

r drehen’; damit zeigt der Vektor gravF M

r in die Zeichenebene hinein (rechts-

drehend).

Betrag: β=⋅⋅= sin),sin( gravgrav mgdFdFdMrrrrr

m Gesamtmasse des Pendelkörpers

P Drehpunkt einer horizontal verlaufenden Drehachse (reibungsfrei!) S Massenmittelpunkt

dr

, dAbstand Drehachse – Massenmittelpunkt (in einer vektoriellen Darstellung des Drehmoments M

r zeigt d

r von P nach ). S

PJ Massenträgheitsmoment des Körpers bezüglich der Achse durch P β (momentaner) Auslenkwinkel des Pendels aus der Ruhelage

0=β Ruhelage des physikalischen Pendels: Der Massenmittelpunkt liegt senk-recht unter dem Drehpunkt P (das entspricht dem Minimum der potentiel-len Energie der Lage des Körpers)

maxβ maximaler Auslenkwinkel des Pendels

gravF Gravitationskraft (angreifend im Massenmittelpunkt ) S

Abb. 2-07: Physikalisches (physisches) Pendel – Modell und benutzte Nomenklatur.


2.3.1.2 Linearisieren der Differentialgleichung Die Sinus-Funktion kann in eine Potenzreihe entwickelt werden

K−+β−β+β−β=β 753!7

1!5

1!3

1sin

Lies im Nenner das Symbol ’!’ als ’Fakultät‘; es ist 123!3 ⋅⋅= und usw. 12345!5 ⋅⋅⋅⋅=Für kleine Winkel β können diejenigen Glieder der Potenzreihe, deren Potenz größer als eins ist, gegen das lineare Glied vernachlässigt werden. Man bricht die Reihe nach dem linearen Glied ab und ersetzt damit die Sinus-Funktion durch den zugehö-rigen Winkel (gemessen im Bogenmaß!). β≈βsin

Dann ist das rücktreibende Moment näherungsweise proportional zum Aus-lenkwinkel β und man erhält nach dieser Linearisierung die Differentialgleichung

rückM

0P

=β+βJ

dgm&& (2.10)

Die Auswirkungen der ’Linearisierung’ zeigt die folgende Tabelle

Gradβ

radβ βsin Differenz (%)

0 0,0000 0,0000 0,00 2 0,0349 0,0349 0,00 5 0,0873 0,0872 0,11 10 0,1745 0,1736 0,51 15 0,2618 0,2588 1,14

2.3.1.3 Lösung der Differentialgleichung Diese linearisierte Differentialgleichung hat mathematisch wieder die Form der Diffe-rentialgleichung der ungedämpften harmonischen Schwingung (2.3). Damit erhält man mit (1.2) sofort die Bewegungsgleichung, also das Auslenkwinkel-Zeit-Gesetz

)cos( 00max ϕ+ωβ=β t (2.11)

und für die Eigenkreisfrequenz mit (2.4)

P

20 J

mgd=ω (2.12)

und für die Schwingungsdauer mit (2.5)

mgdJT P

0 2π= (2.13)

Alle hergeleiteten Beziehungen gelten aber selbstverständlich nur unter der gemach-ten, einschränkenden Annahme kleiner Auslenkwinkel aus der Ruhelage.


2.3.2 Mathematisches Pendel bei kleinen Auslenkungen Die Definition des mathematischen Pendels ist: Ein materieller Punkt der Masse m der an einem masselosen, nicht dehnbaren Fa-den der Länge aufgehängt ist und in der vertikalen Ebene unter dem Einfluss der Gravitationskraft schwingen kann.

L

Nach dieser Definition stellt also das mathematische Pendel eine spezielle Geomet-rie des physikalischen Pendels dar. Die Gesamtmasse ist in einem materiellen Teil-chen vereinigt, damit liegt der Massenmittelpunkt S im materiellen Teilchen; und es wird

• die Fadenlänge L gleich dem Abstand zwischen Drehachse P und Massenmittelpunkt ,

dS

• das Massenträgheitsmoment des materiellen Teilchens bezüglich des Drehpunkts P vereinfacht sich zu

PJ

2P mLJ =

Damit ergibt sich mit (2.12) als Beziehung für die Eigenkreisfrequenz des mathemati-schen Pendels

Lg

mLmgL

==ω 22

0 (2.14)

und die zugehörige Schwingungsdauer mit (2.13)

gLT π= 2math

0 (2.15)

Für das mathematische Pendel ist die Schwingungsdauer (allerdings unter der Nähe-rung kleine Auslenkwinkel aus der Ruhelage) unabhängig von der Pendelmasse . mRealisiert wird das Modell des mathematischen Pendels durch das Fadenpendel.

• Ein Körper der Masse m ist an einem langen, dünnen Faden aufgehängt. • Die geometrischen Abmessungen des Körpers sind sehr klein gegen die

Fadenlänge L . Die Beziehung (2.15) liefert eine einfache Methode zur Bestimmung der Fallbe-schleunigung (welche vom geografischen Ort an der Erdoberfläche abhängt). Eine genauere Bestimmung von ist mit dem so genannten Reversionspendel möglich.

gg

Reduzierte Pendellänge Für jedes physikalische Pendel lässt sich als Ersatzpendel ein mathematisches Pen-del angeben, das die gleiche Schwingungsdauer hat wie das physikalische Pendel. Man nennt die Länge dieses Ersatzpendels die reduzierte Pendellänge . redL

Die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels um die Achse durch P ist ge-geben durch

mgdJT Pphys

0 2π= (2.13)


Die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels mit der Pendellänge ist gegeben durch

redL

gL

T redmath0 2π= (2.15)

Die Forderung identischer Schwingungsdauern für die beiden Pendel verlangt phys0

math0 TT =

Dies ergibt

mgdJ

gL Pred =

Unter Benutzung des STEINERschen Satzes kann man das Massenträgheitsmoment immer zurückzuführen auf das Massenträgheitsmoment bezüglich einer dazu

parallelen Achse durch den Massenmittelpunkt S , also PJ SJ

2SP mdJJ +=

dmdJ

mdmdJ

L +=+

= S2

Sred (2.16)

2.3.3 Torsions- oder Drehpendel Eine homogene Kreisscheibe sei an einem Aufhängedraht bzw. Aufhängestab, der durch das Zentrum der Scheibe geht, aufgehängt. Das Verdrehen der Scheibe führt zu einer Verdrillung des Aufhängedrahtes. Dadurch wird ein rücktreibendes Dreh-moment hervorgerufen, das versucht, die Scheibe in ihre ursprüngliche Ruhelage zurückzutreiben. Das rücktreibende Drehmoment hängt von den elastischen Eigen-schaften der Aufhängung ab. In Abb. 2-08 ist dieses Modell dargestellt. Der Aufhän-gedraht (und seine elastischen Eigenschaften) sind ersetzt durch eine Schneckenfe-der, die mit einem Ende an der Drehachse der Scheibe und mit dem anderen Ende an einem außen stehenden Fixpunkt befestigt ist. Das rückstellende Drehmoment nach Verdrehen der Scheibe wird von der Schneckenfeder aufgebracht. Die Scheibe kann damit Drehschwingungen ausführen.


A

P′

P

S β

rückM

0

A vertikale Achse

PP ′− Lagerung (reibungsfrei)

Feder Schneckenfeder, die das Rückstellmoment aufbringt rückM

S Durchstoßpunkt der Achse durch die Scheibe

PJ Massenträgheitsmoment der Scheibe bezüglich der Drehachse PP ′−

β (momentaner) Auslenkwinkel des Pendels aus der Ruhelage 0=β Ruhelage

maxβ maximaler Auslenkwinkel des Pendels

rückM Rückstellmoment der Schneckenfeder (lineares Drehmomentengesetz) Abb. 2-08: Torsions- oder Drehpendel – Modell und benutzte Nomenklatur. 2.3.3.1 Aufstellen der Differentialgleichung Für kleine Verdrillungen des Aufhängedrahtes findet man experimentell: Das rücktreibende Drehmoment ist proportional zum Auslenkwinkel aus der Ruhelage der Scheibe. Also gilt

rückM β

β−= ∗cMrück (2.17)

Man nennt die Proportionalitätskonstante des linearen Drehmomentengesetzes die Drehfederkonstante (andere Bezeichnungsweisen sind Richtmoment oder Direk-

∗c


tionsmoment mit dem Formelbuchstaben ). Die Linearität des Drehmoments M mit dem Auslenkwinkel β nach (2.17) entspricht dem linearen (HOOKEschen) Kraft-gesetz des Feder-Masse-Modells nach (2.1).

∗D

Ein Drehmoment M bewirkt nach NEWTON eine Winkelbeschleunigung gemäß α

β= Jβ=α= &&

S2

2

SSdd

tJJM

Man erhält daraus nach Einsetzen von (2.17) die Differentialgleichung rückM

β=β− ∗ &&SJc

oder

0=β+β∗c

JS&& (2.18)

2.3.3.2 Lösung der Differentialgleichung Diese Differentialgleichung (2.18) hat wieder die mathematische Form der Differenti-algleichung einer ungedämpften harmonischen Schwingung (2.3). Damit erhält man sofort die Bewegungsgleichung analog zu (1.2)

)cos( 00max ϕ+ωβ=β t (2.19)

für die Eigenkreisfrequenz gilt analog zu (2.5) die Beziehung

S

20 J

c∗=ω (2.20)

Die Schwingungsdauer wird analog zu (2.5)

∗π=

cJ

T Storsion0 2 (2.21)

Die Beziehung für die Schwingungsdauer (2.21) erlaubt es, Massenträgheitsmo-mente bezüglich einer beliebigen Drehachse experimentell zu bestimmen:

0T

PJ

Man ermittelt zunächst die Drehfederkonstante , indem man einen homogenen Körper einfacher Geometrie, dessen Massenträgheitsmoment einfach berechnet werden kann, Drehschwingungen ausführen lässt und die zugehörige Schwingungs-dauer misst. Ist damit bekannt, so lässt sich bei Benutzung der gleichen An-ordnung das Massenträgheitsmoment eines Körpers beliebiger Geometrie und Massenverteilung durch die Messung der sich einstellenden Schwingungsdauer

bestimmen.

∗c

0T ∗c

PJ

Körper0T


2.3.4 Analogien Federpendel – Torsionspendel Man erkennt folgende, teilweise bereits aus der Mechanik bekannten Zusammen-hänge bzw. Übersetzungsregeln von der Translation des linearen Feder-Masse-Systems auf die Rotation eines Torsionspendels.

Feder-Masse-System(Federpendel) Torsionspendel

Auslenkung y Auslenkwinkel β

Masse m Massenträgheitsmoment SJ

Kraft F Drehmoment M Federkonstante c Drehfederkonstante ∗c


3 Gedämpfte harmonische Schwingungen 3.1 Einleitung Die Schwingungen eines einmalig angestoßenen, realen physikalischen Systems klingen erfahrungsgemäß mit der Zeit ab. Nach langer Zeit sind die Auslenkungen null geworden, man sagt für ein Pendel z. B., ’es ist zur Ruhe gekommen’. Es sind Widerstands- oder Dämpfungskräfte zu berücksichtigen, die von außen auf ein schwingungsfähige System einwirken und die dazu führen, dass mechanische Schwingungsenergien (d. h. die potentielle Energie der Feder und die kinetische E-nergie der sich bewegenden Masse) allmählich in thermische Energie überführt wer-den. Man spricht allgemein von Reibungsverlusten. Reibungskräfte haben die Ten-denz, die Bewegung, welche sie beeinflussen, abzubremsen. Eine reine ungedämpfte harmonische Schwingung, die durch eine Sinus- bzw. Kosi-nus-Funktion mit einer zeitlich konstanten Amplitude beschrieben wird, kommt in der Natur nicht vor. In diesem Abschnitt wird der Einfluss der Reibung auf die Bewegung eines mechanischen schwingungsfähigen Systems untersucht. Als Beispiel wird modellmäßig wieder das Feder-Masse-System betrachtet. Neben der Masse des schwingenden Körpers und der Federkonstante

mc der idealen Feder wird die Dämp-

fung durch einen Dämpfungskoeffizienten berücksichtigt. bAusführlich wird ein Fall betrachtet, der für technische Anwendungen sehr wichtig ist und der sich mathematisch einfach behandeln lässt. Es wird folgendes Reibungsge-setz angenommen

vbFrr

−=reib (3.1)

Der Betrag der Reibungskraft reibFr

ist also proportional zum Betrag der Geschwin-

digkeit und wegen des Minus-Vorzeichens der Bewegungsrichtung, also der Rich-tung der Geschwindigkeit, stets entgegengerichtet. Der Dämpfungskoeffizient b ist als positive Größe definiert. Man nennt diese Art von Reibung auch viskose Reibung, in Analogie zum STOKESschen Reibungsgesetz. Sämtliche Ergebnisse und Folgerungen gelten nur unter diesen übergeordneten, speziellen Bedingungen für die Reibungskraft. Das Modell ’Feder-Masse-System’ mit Reibung zeigt schematisch Abb. 03-01.

Schwingungslehre – Abschnitt 3 ’Gedämpfte harmonische Schwingungen’ - 38 -

0

y

Ideale Feder Federkonstante c

Viskose Dämpfung (masselose Kugel) Dämpfungskoeffizient b

Körper Masse m

Das Modell des schwingungsfähigen Systems wird beschrieben durch

• die Federkonstante c , bestimmt durch ein lineares (HOOKEsches) Kraft-gesetz,

• die Masse m des schwingenden Körpers, • den Dämpfungskoeffizienten b , bestimmt durch eine geschwindigkeitspropor-

tionale Reibung, symbolisiert durch eine Kugel, die sich nach dem STOKES-schen Reibungsgesetz in einer Flüssigkeit bewegt.

Abb. 3-01: Das Standard-Modell für viskos gedämpfte Schwingungen – Feder-Masse-System (Federpendel). 3.2 Differentialgleichung viskos gedämpfter Schwingungen Modellmäßige Voraussetzungen sind: Ein lineares Kraftgesetz einer idealen Feder (die rücktreibende Kraft ist proportional zur Auslenkung; vgl. Abschnitt 2)

ycF −=rück (2.1)

(Anmerkung: Der Fall der sogenannten trockenen Reibung wird hier nicht diskutiert. Es gehört dazu eine geschwindigkeitsunabhängige Reibungskraft ). .constreib =F

Viskose Reibung: Die Dämpfer- oder Reibungskraft ist geschwindigkeitsproportional; sie ist proportional zum Betrag der Geschwindigkeit v des Körpers (Masse ) und seiner Bewegungsrichtung entgegen gerichtet.

m

ybbvF &−=−=reib (3.1)


Die Proportionalitätskonstante im STOKESschen Reibungsgesetz heißt Dämpfungs-koeffizient b . Die Gesamtkraft auf den Körper (Masse ) ist die Summe aus der rücktrei-benden Kraft der Feder und der Reibungskraft .

gesF m

rückF reibF

reibrückges FFF +=

Zusammen mit dem NEWTONschen Aktionsprinzip ymmaF &&==ges (2.2)

erhält man ybycym &&& −−=

bzw. nach Umordnen 0=++ ycybym &&&

oder nach Division durch die Masse , um den Koeffizienten vor der zweiten Ablei-tung zu normieren und zu eins zu machen

m

0=++ ymcy

mby &&&

Unter Benutzung der Beziehung für die Kreisfrequenz der ungedämpften harmoni-schen Schwingung

mc

=ω 20 (2.4)

erhält man schließlich die Differentialgleichung eines viskos gedämpften Feder-Masse-Systems zu

020 =ω++ yy

mby &&& (3.2)

In der Ausdrucksweise der Mathematik ist dies eine ’lineare homogene Differential-gleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten’. Zur Nomenklatur:

• ’Linear’: Die Funktion und ihre Ableitungen kommen nur in der 1. Potenz vor. • ’2. Ordnung’: Die höchste Ableitung ist die zweite. • ’Homogen’: Auf der rechten Seite der Differentialgleichung steht null, d. h., es

tritt kein Ausdruck auf, der entweder konstant ist oder der die unabhängige Variable, also die Zeit t enthält.


3.3 Lösung der Differentialgleichung viskos gedämpfter Schwingungen Um die Differentialgleichung zu lösen, muss man einen Lösungsansatz finden, wel-cher die Differentialgleichung (3.2) erfüllt. Man überlegt und argumentiert dazu folgendermaßen: Man kennt die Lösung der Differentialgleichung ungedämpfter Schwingungen; diese enthält eine harmonische Funktion. Man versucht deshalb in der Lösungsfunktion einen Ausdruck der Form )cos( 0d ϕ+ω t .

Es braucht aber eine Kreisfrequenz dω im gedämpften Fall nicht mit der Eigenkreis-frequenz der ungedämpften Schwingung überein zu stimmen. 0ω

Man weiß, dass die Schwingungen mit der Zeit abklingen; experimentelle Beo-bachtung zeigt ein exponentielles Abklingen. Deshalb setzt man ein Abklingen der Auslenkungen gemäß an. Dabei ist der Funktionswert der abklingenden Exponentialfunktion zum Zeitpunkt

t

tey δ−0ˆ 0y

0=t , aber keine konstante Amplitude. Man nennt die Größe , welche das zeitliche Abklingen der Auslenkungen kenn-zeichnet, den Abklingkoeffizienten; auch der Begriff Abklingkonstante ist gebräuch-lich. Da der Exponent der e-Funktion dimensionslos sein muss, hat die SI-Einheit

δ

δ1s1][ −=δ

Man versucht also für die Lösungsfunktion der Differentialgleichung der viskos ge-dämpften Schwingung folgenden Ansatz

)cos(ˆ)( 0d0 ϕ+ω== δ− teytyy t (3.3)

Um diesen Ansatz als Lösung der Differentialgleichung zu verifizieren, muss man vom Ansatz (3.3) zunächst die 1. und 2. zeitliche Ableitung bilden (Produkt- und Ket-tenregel anwenden).

)cos(ˆ)( 0d0 ϕ+ω== δ− teytyy t

)cos()(ˆ)sin()(ˆ 0d00dd0 ϕ+ω⋅δ−⋅+ϕ+ω⋅ω−⋅= δ−δ− teyteyy tt&

)]cos())(()sin())([(ˆ

)sin())((ˆ)cos()(ˆ

0d0dd0

0dd00d2

d0

ϕ+ω⋅δ−δ−+ϕ+ω⋅ωδ−+

ϕ+ω⋅ωδ−⋅+ϕ+ω⋅ω−⋅=δ−

δ−δ−

ttey

teyteyyt

tt&&

Ansatz und Ableitungen in die Differentialgleichung (3.2) eingesetzt ergibt

0)cos(ˆ

)cos()(ˆ)sin()(ˆ

)]cos())(()sin())([(ˆ

)sin())((ˆ)cos()(ˆ

0d02

0

0d00dd0

0d0dd0

0dd00d2

d0

=ϕ+ωω+

ϕ+ω⋅δ−⋅+ϕ+ω⋅ω−⋅+

ϕ+ω⋅δ−δ−+ϕ+ω⋅ωδ−+

ϕ+ω⋅ωδ−⋅+ϕ+ω⋅ω−⋅

δ−

δ−δ−

δ−

δ−δ−

tey

teyteymb

ttey

teytey

t

tt

t

tt

Sortiert nach Gliedern, die nur die Sinus- bzw. Kosinus-Funktion enthalten

0)sin()])(()())([(

)cos(])())(()[(ˆ

0dddd

0d2

02

d

0 =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ϕ+ωωδ−+ω−+ωδ−+

ϕ+ω⋅ω+δ−+δ−δ−+ω−⋅δ−

tmb

tmb

ey t


Wenn ein Produkt aus drei Gliedern null ist, dann muss mindestens einer der Glieder null sein (Satz vom Nullprodukt). Weil 0ˆ0 ≠y für alle Zeiten die Nulllage festschriebe,

also physikalisch sinnlos ist und die e-Funktion nie null wird ( ), muss der drit-te Ausdruck notwendig gleich null werden, also

0>δ− te

0)sin(]2[)cos(][ 0ddd0d2

022

d =ϕ+ωω−δω+ϕ+ωω+δ−δ+ω− tmbt

mb

Diese Gleichung muss für alle Zeiten t erfüllt sein, wenn der Ansatz eine Lösung der Differentialgleichung sein soll. Diese Forderung erfüllt man am einfachsten dadurch, dass man und δ so wählt, dass die beiden Koeffizienten [in eckigen Klammern] vor der Sinus- bzw. Kosinus-Funktion verschwinden, weil dann die linke Seite der Gleichung immer identisch gleich null ist, d. h. man fordert

dω

0][ 20

22d =ω+δ−δ+ω−

mb (3.4)

und

0]2[ dd =ω−δωmb (3.5)

Damit hat man zwei Bestimmungsgleichungen für die beiden Größen und , die diese eindeutig festlegen.

dω δ

Die zweite Bedingung liefert sofort für den Abklingkoeffizienten

mb

2=δ (3.6)

Die zweite mögliche Lösung liefert 0d =ω ; sie ist physikalisch nicht sinnvoll, weil sie keine Schwingung darstellt. Einsetzen von (3.6) in (3.4) liefert als Bedingung für die Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung

dω

220

2d )

2(

mb

−ω=ω

220

2d δ−ω=ω (3.7)

Das bedeutet: Der obige Ansatz (3.3) ist dann Lösung der Differentialgleichung (3.2), wenn und die Bedingungen (3.6) bzw. (3.7) erfüllen. Die allgemeine Lösungs-funktion einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten enthält noch zwei Integrationskonstanten, also und

δ dω

0y 0ϕ .

Der Ansatz

)cos(ˆ)( 0d0 ϕ+ω== δ− teytyy t

ist eine Lösung der Differentialgleichung

020 =ω++ yy

mby &&&

Dabei ist in der Lösungsfunktion

mb

2=δ


und 22

02

d δ−ω=ω

Bei viskoser Dämpfung ist die Kreisfrequenz mit Dämpfung dω stets kleiner als die Eigenkreisfrequenz 0ω im dämpfungsfreien Fall. Damit wird die Schwingungsdauer

im gedämpften System stets größer als die Schwingungsdauer im dämpfungs-freien Fall.

dT 0T

Die hergeleitete Beziehung ist nur sinnvoll, solange ist. 0220

2d >δ−ω=ω

Die beiden Integrationskonstanten und der Nullphasenwinkel 0y 0ϕ sind aus der Differentialgleichung allein nicht zu bestimmen. Es müssen für ihre Festlegung noch zwei Zusatzbedingungen vorgegeben werden, am einfachsten zwei Anfangsbedin-gungen, d. h. für die Zeit die Anfangsauslenkung und die Anfangsge-schwindigkeit des schwingenden Körpers. Ein Beispiel zur Festlegung der Integrationskonstanten findet sich in Abschnitt 3.4.

0=t )0(y)0()0( yv &=

Sowohl für die weitere Diskussion der gedämpften Schwingung als auch für die in Abschnitt 4 anstehende Diskussion der erzwungenen Schwingung ist es zweckmä-ßig, die Differentialgleichung (3.2) und ihre Lösung (3.3) formal umzuschreiben. Man führt als neue, dimensionslose Größe den Dämpfungsgrad D ein, welcher den Abklingkoeffizienten δ und die Eigenkreisfrequenz 0ω der ungedämpften Schwin-gung miteinander vergleicht, also

0ωδ

=D (3.8)

Wegen (3.6) ist dies gleichbedeutend mit der formalen Setzung

022 ω=δ= Dmmb (3.9)

Damit lässt sich die Differentialgleichung schreiben als

02 200 =ω+ω+ yyDy &&& (3.10)

Die zugehörige Lösungsfunktion lautet

)cos(ˆ 0d00 ϕ+ω= ω− teyy tD (3.11)

Aus (3.7) und (3.8) ergibt sich die Beziehung

)1( 220

2d D−ω=ω

bzw. 2

0d 1 D−ω=ω (3.12)

Die negative Lösung beim Ziehen der Wurzel ist physikalisch nicht sinnvoll. Die Lösungsfunktion enthält neben der abklingenden Amplitudenfunktion eine Kosi-nus-Funktion, welche sich zeitlich mit der Kreisfrequenz dω ändert. Deshalb spricht man, bei kleinen Dämpfungsgraden weiterhin von einer harmonischen gedämpften Schwingung, obwohl wegen der abklingenden Amplitude die strenge Periodizitätsbe-dingung (1.1) nicht mehr erfüllt ist.


3.4 Diskussion der Lösung der Differentialgleichung für den Schwingfall 3.4.1 Bestimmung der Integrationskonstanten Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung viskos gedämpfter Schwingungen lautet


mit 2

0d 1 D−ω=ω (3.12)

Beispiel für die Bestimmung der Integrationskonstanten und 0y 0ϕ aus den An-fangsbedingungen zum Zeitpunkt 0=t . Es werde dazu der Körper (Masse ) nach Auslenkung aus der Ruhelage um ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen, d. h., die Anfangsbedingungen lauten

m anfy

anf)0( yy =

0)0( =y&

Zur Festlegung der Integrationskonstanten braucht man zunächst die Ableitung von (3.11)

)]cos()sin([ˆ

)cos()(ˆ)sin()(ˆ

0d00dd0

0d000dd0

0

00

ϕ+ω⋅ω+ϕ+ω⋅ω−=

ϕ+ω⋅ω−⋅+ϕ+ω⋅ω−⋅=ω−

ω−ω−

tDtey

tDeyteyytD

tDtD& (3.13)

Einsetzen der Anfangsbedingungen für 0=t in (3.11) und (3.13) ergibt

00anf cosˆ ϕ= yy (3.11‘)

]cossin[ˆ0 000d0 ϕ⋅ω+ϕ⋅ω−= Dy (3.13‘)

Aus der zweiten Gleichung folgt, wegen 0ˆ0 ≠y

]cossin 000d ϕ⋅ω=ϕ⋅ω− D

und damit

2d

0

0

00

1cossintan

D

DD

−−=

ωω−

=ϕϕ

=ϕ (3.14)

Aus der ersten Gleichung ergibt sich damit

0

anf0 cos

ˆϕ

=y

y (3.15)

Der zeitliche Verlauf einer harmonischen gedämpften Schwingung für diese An-fangsbedingungen ist in Abb. 3-02 aufgezeichnet. Die beiden einhüllenden Exponen-tialfunktionen , welche das zeitliche Abklingen der Auslenkungen beschreiben, sind ebenfalls mit eingezeichnet.

tDeytA 00ˆ)( ω−±=


0 1 2 3 4 5 6 7

-15

-10

-5

0

5

10

15

st

cmy

Das allgemeine Weg-Zeit-Gesetz eines viskos gedämpften Federpendels lautet:

)cos(ˆ 0d00 ϕ+ω= ω− teyy tD

Gestrichelt gezeichnet sind die beiden Einhüllkurven, welche das Abklingen der Aus-lenkungen beschreiben, also die beiden Funktionen

tDeytA 00ˆ)( ω−±=

Als Kennwerte für die Abbildung wurden gewählt

Eigenkreisfrequenz 10 s2 −π=ω

Dämpfungsgrad 05,0=D

Anfangsauslenkung cm10)0( anf == yy

Anfangsgeschwindigkeit v -1scm0)0()0( == y&

Daraus ergibt sich für die Kreisfrequenz dω der gedämpften harmonischen Schwin-gung nach (3.2)

100d 20025,01 −π=ω≈−ω=ω s

und der Abklingkoeffizient zu δ11

0 s314,0s205,0 −− =π⋅=ω=δ D

Die beiden Integrationskonstanten, der Funktionswert der Exponentialfunktion

für und der Nullphasenwinkel 0y

tDeytA 00ˆ)( ω−±= 0=t 0ϕ bestimmen sich aus den

beiden vorgegebenen Anfangsbedingungen.


Nach (3.14) gilt für den Nullphasenwinkel

0025,0105,0

1tan

20−−

=−

−=ϕD

D

also

05,00 −≈ϕ im Bogenmaß oder im Gradmaß. o0 86,2−≈ϕ

Dieser Nullphasenwinkel macht sich bei dem gewählten Maßstab des Diagramms praktisch nicht bemerkbar. Nach (3.15) wird der Vorfaktor 0y

cm10cos

ˆ 00

anf0 =≈

ϕ= y

yy

Das dargestellte Weg-Zeit-Gesetz wird also beschrieben durch

)05,0s28,6cos(cm10 1s314,0 1−⋅⋅= −⋅− −

tey t

Abb. 3-02: Das Weg-Zeit-Gesetz von Schwingungen eines viskos gedämpften Feder-Masse-Systems bei schwacher Dämpfung. 3.4.2 Logarithmisches Dekrement Für die Auslenkung des Systems in einem Zeitpunkt t gilt

)cos(ˆ)( 0d0 ϕ+ω= δ− teyty t

entsprechend zu einem Zeitpunkt ( dTt + )

)])(cos[(ˆ)( 0dd)(

0dd ϕ++ω=+ +δ− TteyTty Tt

Umformen liefert

])cos[(ˆ

)]cos[(ˆ)(

dd0d0

0ddd0d

d

d

Tteey

TteeyTtyTt

Tt

ω+ϕ+ω=

ϕ+ω+ω=+δ−δ−

δ−δ−

wegen

π=⋅π

=ω 22d

ddd T

TT

und der Periodizität der Kosinus-Funktion bleibt schließlich

)cos(ˆ

]2)cos[(ˆ)(

0d0

0d0d

d

d

ϕ+ω=

π+ϕ+ω=+δ−δ−

δ−δ−

teey

teeyTtyTt

Tt

Bildet man das Verhältnis der Auslenkungen im zeitlichen Abstand einer (gedämpf-ten) Schwingungsperiode, dann erhält man

const.

)cos(ˆ)cos(ˆ

)()(

d

d

0d0

0d0d

==

ϕ+ω

ϕ+ω=

+

δ−

δ−

δ−δ−

T

t

Tt

e

teyteey

tyTty

weil für ein gegebenes System der Abklingkoeffizient δ und die Schwingungsdauer feste Werte haben. dT


Charakteristisch für viskos gedämpfte Schwingungen ist die Aussage: ’In jeweils einer Schwingungsperiode nehmen die Auslenkung um jeweils den glei-chen Faktor ab’, die Amplitudenverhältnisse sind konstant. In der Literatur findet man als Maß für die Abnahme der Auslenkungen das ’logarith-mische Dekrement’ (mit dem Symbol des griechischen Großbuchstabens – Lambda). Es leitet sich als Kehrwert der o. g. Beziehung her; man vergleicht die Aus-lenkungen zu Beginn und am Ende einer Schwingungsperiode und logarithmiert. Durch dieses Verfahren – die Auslenkungen nehmen ab – wird der Wert des loga-rithmischen Dekrements positiv.

Λ

const.)ln()(

)(ln dd

d =δ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=Λ δ TeTtyty T

3.4.3 Bestimmung des Abklingkoeffizienten δ Die oben hergeleitete Beziehung für die Abnahme der Auslenkungen in einer Schwingungsperiode kann einfach auf n Schwingungsperioden erweitert werden. Man erhält analog für das Verhältnis der Auslenkungen im zeitlichen Abstand von (gedämpften) Schwingungsperioden,

n

d

)()( d nTe

tynTty δ−=

+

Diese Beziehung liefert die Möglichkeit, den Abklingkoeffizienten δ einer viskos ge-dämpften Schwingung zu bestimmen. (1) Man bestimmt experimentell die Auslenkungen im zeitlichen Abstand jeweils ei-ner Schwingungsperiode für etwa zehn Messwerte. Auftragen der Ergebnisse auf einfach-logarithmischem Papier liefert eine Gerade, deren Steigung dem Abklingko-effizienten entspricht; denn

dd )ln(

)()(

ln d nTetynTty nT δ−==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + δ−

Bei der Auswertung ist zu beachten, dass das einfach-logarithmische Papier Zehner-Logarithmen darstellt, bei der Bestimmung der Steigung aber natürliche Logarithmen benutzt werden müssen. (2) Wenn man schon weiß, dass die Dämpfung viskos ist, dann genügen zwei Mess-werte, um die Steigung der sich ergebenden Geraden zu ermitteln. Angewandt auf die Bestimmung des Abklingkoeffizienten liefert dies

dd

)()(ln nT

tynTty

δ−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

d

d)(

)(ln

nTtynTty

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

−=δ

Man kann zunächst versuchen, die Schwingungsdauer experimentell zu bestim-men; zumeist findet man aber (fast) keinen Unterschied zur Schwingungsdauer . Das ist auch zu erwarten, denn bei schwacher Dämpfung, also Dämpfungsgraden im

dT

0T


Bereich , unterscheiden sich die Schwingungsdauern und nur ge-ringfügig. Dies zeigt folgende Überlegung:

1,00 ≤≤ D dT 0T

Aus der Beziehung 2

0d 1 D−ω=ω

erhält man für die Verknüpfung der Schwingungsdauern und dT 0T

20

d1 D

TT

−=

Diese Beziehung kann in eine Reihe entwickelt werden

)...642311

4211

211(

1642

020

d +−⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅

−+≈−

= DDDTD

TT

Für einen Dämpfungsgrad verlängert sich also die Schwingungsdauer von auf

1,0=D0T

02

0d 005,1)10211( TTT ⋅=+≈ −

oder gerade einmal 5 Promille. Vorgehensweise: Man rechnet näherungsweise unter der Annahme ’schwacher Dämpfung’ mit ; aus dem errechneten Dämpfungskoeffizienten bestimmt man anschließend den Dämpfungsgrad D . Wenn dieser die Bedingung er-füllt, war die oben gemachte Annahme ’schwache Dämpfung’ gerechtfertigt und der Dämpfungskoeffizient wurde mit hinreichender Genauigkeit berechnet.

0d TT ≈ δ1,0≤D

(3) Die gegebenen Beziehungen erlauben auch den umgekehrten Lösungsweg: Man bestimmt zunächst aus dem Abklingen der Auslenkungen den Dämpfungsgrad und daraus dann – zusammen mit

D0ω – den Dämpfungskoeffizienten ; also δ

220

0d

0dd

12

1

22)(

)(ln

D

DnD

nDnDnTtynTty

−π−=

−ω

π⋅ω−=

ωπ

⋅ω−=δ−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

Aus der beobachteten Abnahme der Auslenkungen und der Anzahl der Schwin-gungsperioden erhält man daraus einen Zahlenwert für

n

zntynTty

D

D=

π−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=− 2

)()(

ln

1

d

2

Dabei wird z positiv, weil der Zählerausdruck, wegen 1)(

)(ln0 d <⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +<

tynTty ,

notwendig negativ ist.


Umformen ergibt

)1(1

1)1(

1

)1(

1

22

22

222

222

2

zD

zD

zDD

DzD

DzD

+=

=+

=+

−=

−=

Physikalisch sinnvoll ist nur die positive Wurzel dieser Gleichung. Diese Vorgehensweise ist angebracht, wenn man ’starke Dämpfung’ annehmen muss. Im Allgemeinen ist für praktische Probleme die Lösungsvariante mit und an-schließender Verifizierung der gemachten Annahme

0d TT ≈1,0≤D völlig ausreichend.

3.4.4 Zusammenfassung Bei einer geschwindigkeitsproportional gedämpften Schwingung nehmen die Auslen-kungen nach einer Exponentialfunktion ab. Die Abklingrate ist durch den Abklingkoef-fizienten bzw. den Dämpfungsgrad D gegeben. δ

Die Kreisfrequenz des gedämpften Systems ist stets kleiner als die Eigenkreis-frequenz der harmonischen Schwingung des zugehörigen ungedämpften Sys-tems.

dω

0ω

20d 1 D−ω=ω (3.12)

Als physikalisch messbare Größe muss die Kreisfrequenz dω reell sein. Aus der ma-thematischen Form von (3.12) ersieht man, dass für diese Forderung der Radikand positiv sein muss. Deshalb muss für die Lösung (3.11) der Differentialgleichung (3.10) die einschränkende Bedingung gelten:

1 0 <≤ D . Diese Bedingung kennzeichnet den Schwingfall. Die Schwingungsdauer des gedämpften Systems ist bei geschwindigkeitspropor-tionaler Reibung stets größer als die Schwingungsdauer des zugehörigen unge-dämpften Systems, denn wegen

dT

0T

20d 1 D−ω=ω also (3.12) 0d ω≤ω

und mit

dd

2Tπ

=ω

folgt

0d TT ≥


Für den dämpfungsfreien Fall, also für den Dämpfungsgrad 0=D wird in (3.11) die Exponentialfunktion

100 0 == ω−ω− ttD ee und nach (3.12) ergibt sich

0d ω=ω

d. h., die Lösungsfunktion (3.11) geht über in die aus Abschnitt 1 bereits bekannte Bewegungsgleichung ungedämpft harmonischer Schwingungen

)cos(ˆ 00 ϕ+ω= tyy (1.2)

mit der Amplitude

0ˆˆ yy =

3.5 Kriechfall und aperiodischer Grenzfall Die Lösung der Differentialgleichung (3.10) der geschwindigkeitsproportional ge-dämpften Schwingung lautet


Dieses Weg-Zeit-Gesetz beschreibt eine (quasi-)periodische Schwingung mit zeitlich – nach einer Exponentialfunktion – abklingenden Auslenkungen (Amplituden). Die Kreisfrequenz der gedämpften harmonischen Schwingung ist gegeben durch

20d 1 D−ω=ω (3.12)

Diese Beziehung ist nur sinnvoll für Dämpfungsgrade im Intervall , denn als physikalisch messbare Größe muss

1 0 << Ddω reell sein.

Es handelt sich dabei nicht mehr um Schwingungen im eigentlichen Sinn; also um eine Bewegungsform, bei der ein Körper sehr oft hin und her schwingt. Die Anmer-kungen des folgenden Abschnitts sind der Vollständigkeit halber gebracht; sie dienen auch als Vorbereitung auf die mathematische Behandlung bei der Lösung homoge-ner Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten durch einen all-gemeinen Exponentialansatz, der zu einer charakteristischen Gleichung führt, die die Fallunterscheidungen , 1 0 << D 1=D und beinhaltet. 1>DDie ausführliche mathematische Behandlung des Problems liefert für den Fall als Lösungsfunktion der Differentialgleichung (3.10) [ohne Beweis]

1>D

tDDtDD eyeyy )1(2

)1(1

20

20 −−ω−−+ω− += (3.16)

Die allgemeine Lösung (3.16) enthält zwei abklingende Exponentialfunktionen; sie enthält natürlich als Lösung einer Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten mit und wieder zwei Integrationskonstanten, die durch die An-fangsbedingungen bestimmt sind. Die durch die Bedingung definierte und durch (3.16) beschriebene Bewegung heißt Kriechfall. Das System nähert sich nach Auslenken und Loslassen asymptotisch dem Endwert null, also der Ruhelage.

1y 2y1>D

Beispiele für den Kriechfall für verschiedene Dämpfungsgrade bei vorgegebenen Anfangsbedingungen finden sich in Abb. 3-03.

D


Abschließend noch ein Beispiel für den Kriechfall: Ein mechanisches Feder-Masse-System, das durch ein sehr zähes Medium, also z. B. durch ein dickes Öl oder gar Honig gedämpft wird. Es werden sich sicherlich keine Schwingungen einstellen. Was passiert aber, wenn wird? Es wird nach (3.12) die Kreisfrequenz 1=D 0d =ω . Deshalb wird sich wieder keine Schwingung einstellen. In der Lösung (3.16) werden in den Exponentialfunktionen beide Exponenten 112 ==−± DDD , also identisch. Das bedeutete aber, dass nur noch eine auf die Anfangsbedingungen anzupassende Integrationskonstante in der Lösung der Differentialgleichung übrig bliebe. Das darf aber nicht sein. Eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffi-zienten enthält in ihrer Lösung stets zwei Integrationskonstanten. Mathematische Überlegungen (das zugehörige Verfahren heißt Variation der Kon-stanten) liefern als Lösung der Gleichung (3.4) für die Zusatzbedingung als Lösung der Differentialgleichung (3.10)

1=D

tetyyy 0)( 21ω−⋅+= (3.17)

Am einfachsten verifiziert man dies durch Bilden der Ableitungen von (3.17) und Ein-setzen in die Differentialgleichung (3.10) unter Berücksichtigung der Nebenbedin-gung . 1=DMan nennt diese spezielle Bewegungsform, die wegen 1=D zwischen Schwingfall ( ) und Kriechfall ( ) steht, den aperiodischen Grenzfall. 1 0 <≤ D 1>DEin Beispiel bringt Abb. 3-03. Der gezeichnete zeitliche Verlauf ergibt sich speziell für die folgenden Anfangsbedingungen: Auslenken des Körpers aus der Ruhelage und anschließendes Loslassen ohne Anfangsgeschwindigkeit. In physikalisch-technischen Systemen, also z. B. in Messwerken, versucht man, durch passende Wahl des Dämpfungsgrades D die Einstellzeit auf den abzulesen-den Endwert möglichst klein zu halten. Da wegen der Exponentialfunktion die Annä-herung an den Endwert stets nur asymptotisch erfolgt, ist es notwendig, eine untere Grenze von der Abweichung von dem Endwert anzugeben, um den Begriff Einstell-zeit festzulegen. Rasche Einstellzeiten ergeben sich für Dämpfungsgrade zwischen 0,5 und 1. Oft begnügt man sich mit einem Dämpfungsgrad von 0,5; dann schwingt zwar das Messwerk einige Male hin und her, für praktische Zwecke ist aber die sich ergebende Einstellzeit hinreichend klein. Zum direkten Vergleich mit dem Kriechfall bzw. dem aperiodischen Grenzfall ist der zeitliche Verlauf einer stark gedämpften Schwingung für 5,0=D in Abb. 3-03 mit aufgenommen.


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

-2

0

2

4

6

8

10

2=D

4=D

5,0=D1=D

st

cmy

0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

-0 05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,255,0=D

1=D

Dargestellt ist der Einfluss des Dämpfungsgrads D auf die sich ergebenden Bewe-gungsformen. Es wurden einheitlich für alle dargestellten Einzelkurven die folgenden Systemkenn-werte gewählt

Eigenkreisfrequenz: 10 s2 −π=ω

Anfangsbedingungen: (Auslenkung und Loslassen ohne Anfangsgeschwindigkeit) Anfangsauslenkung cm10)0( anf == yy Anfangsgeschwindigkeit 0)0()0( == yv &

Schwingfall (Zusatzbedingung 10 << D )


mit 2

0d 1 D−ω=ω (3.12)

Für den Schwingfall wurde der Dämpfungsgrad 5,0=D gewählt. Vergleichen Sie mit Abb. 3-02. Dort war für den Fall schwacher Dämpfung ein Dämp-fungsgrad gewählt worden. 05,0=D


Aperiodischer Grenzfall (Zusatzbedingung 1=D ) tetyyy 0)( 21

ω−+=

Kriechfall (Zusatzbedingung ) 1>D

tDDtDD eyeyy )1(2

)1(1

20

20 −−ω−−+ω− +=

Für den Kriechfall wurden die Dämpfungsgrade 2=D und 4=D gewählt. Die eingeschobene Detailzeichnung zeigt in vergrößertem Ordinatenmaßstab den Schwingfall und den aperiodischen Grenzfall für . s1≥t

Abb. 3-03: Weg-Zeit-Gesetz des Schwingungsverhaltens eines viskos gedämpften Federpendels bei starker Dämpfung.


4 Erzwungene Schwingungen und Resonanz 4.1 Einleitung Die bisher behandelten Systeme wurden nach einmaligem Anstoß sich selbst über-lassen. Die Schwingung erfolgt mit einer systemcharakteristischen Eigenkreisfre-quenz (bzw. Kreisfrequenz ), die von den charakteristischen Größen des Sys-tems abhängt. Im Falle des Feder-Masse-Systems sind dies die Masse des Kör-pers, die Federkonstante

0ω dωm

c der idealen Feder und der Dämpfungskoeffizient b im viskosen Reibungsgesetz. Es gilt

für die ungedämpfte harmonische Schwingung mc

=ω0

für die gedämpfte harmonische Schwingung 20d 1 D−ω=ω

In diesem Abschnitt sollen schwingungsfähige Systeme vorgestellt werden, auf die von außen eine Kraft ausgeübt wird. Vereinfachend wird dabei angenommen, dass die auftretende Störkraft harmonisch auf das schwingungsfähige System einwirkt. Das Schlüsselwort für die unter diesen Bedingungen auftretenden physikalischen Phänomene heißt Resonanz. Eine zeitlich periodisch wirkende Kraft vorgegebenen Betrags ruft in einem schwingungsfähigen System ein sehr verschiedenartiges Ver-halten hervor, je nachdem wie sich die erzwingende Kreisfrequenz zur Eigen-kreisfrequenz verhält. Präziser ausgedrückt: Wenn die Erregerkreisfrequenz

Eω

0ω Eω etwa gleich der Eigenkreisfrequenz 0ω wird, kann die Amplitude der erzwungenen Schwingung sehr groß werden, selbst dann, wenn der Betrag der erzwingenden Kraft klein ist. Eine betragsmäßig gleiche Kraft ruft dagegen wesentlich geringer ausge-prägte Effekte hervor, wenn die Erregerfrequenz sehr groß oder sehr klein gegen-über der Eigenfrequenz des Systems ist. Das Modell eines Feder-Masse-Systems, auf das von außen eine harmonische Kraft einwirkt, zeigt Abb. 4-01. Kennzeichnend für eine erzwungene Schwingung ist, dass nach einer (genügend langen) Einschwingzeit das schwingungsfähige System mit der ihm von außen auf-geregten Kreisfrequenz schwingt und nicht mit der für das System charakteristi-schen Eigenkreisfrequenz (bzw.

Eω

0ω dω ).

Es zeigt sich, dass die Antwort des schwingungsfähigen Systems, charakterisiert durch die sich einstellende stationäre Amplitude und die Phasenverschiebung A α zwischen Erreger und Schwinger, abhängt vom

(Kreis-) Frequenzverhältnis 0

Eωω

=η , definiert als Quotient aus Erregerkreisfrequenz

und Eigenkreisfrequenz , Eω 0ω

Dämpfungsgrad des Systems. DBei der Diskussion der erzwungenen Schwingung beschränkt man sich auf erzwin-gende Kräfte, die durch eine harmonische Zeitabhängigkeit beschrieben werden; also durch eine Funktion der Form

)cos(ÊEerzw tFF ω= (4.1)

Schwingungslehre – Abschnitt 4 ’Erzwungene Schwingungen und Resonanz’ - 54 -

mit

=EF Maximalwert der äußeren erzwingenden Kraft

=ωE Kreisfrequenz der erzwingenden Kraft

0

y

Ideale Feder Federkonstantem

Körper Masse m

Anregung durch eine erzwingende äußere Kraft

Viskose Dämpfung Dämpfungskoeffizient b (Symbol: masselose Kugel)

Einem Feder-Masse-Pendel mit geschwindigkeitsproportionaler Reibung wird von außen eine harmonische erzwingende Kraft aufgeprägt. Dies geschieht technisch am einfachsten dadurch, dass das Federende an einen Exzenter angekoppelt wird, der von einem Elektromotor variabler Drehzahl angetrieben wird. Abb. 4-01: Erzwungene Schwingung bei harmonischer Erregung und viskoser Reibung. 4.2 Differentialgleichung erzwungener Schwingungen Voraussetzungen für die Aufstellung der Differentialgleichung sind

• Ein lineares Kraftgesetz: Die rücktreibende Kraft der Feder ist proportional zur Auslenkung und ihr entgegengerichtet

(2.1) ycF −=rück

• Viskose Reibung: Die Dämpfer- oder Reibungskraft ist geschwindigkeitspro-portional und der Bewegung entgegengerichtet (STOKESsche Reibung).


ybvbF &−=−=reib (3.1)

• Eine harmonische erzwingende Kraft, also eine Zeitabhängigkeit gemäß

(4.1) )cos(ÊEerzw tFF ω=

[Dabei ist bei der in Abb. 4-01 dargestellten Anordnung der ’Federerregung’, also der harmonischen Variation des Aufhängepunktes mit )cos(ˆ EEerzw tyy ω= die zugehöri-

ge Kraft ]. )cos(ˆ)cos(ˆ EEEEerzwerzw tFtycycF ω=ω==

Aufstellen der Differentialgleichung Die resultierende Gesamtkraft auf den Körper ergibt sich durch Summation aller wir-kenden Kräfte mit (2.1), (3.1) und (4.1) zu

erzwreibrückges FFFF ++=

Zusammen mit dem NEWTONschen Aktionsprinzip ymmaF &&==ges (2.2)

erhält man damit

)cos(ÊE tFybcyym ω+−−= &&&

oder

)cos(ÊE tFybcyym ω=++ &&& (4.2)

Division durch die Masse und Benutzung der Beziehungen (2.4) für und (3.9) für b ergibt schließlich

m 0ω

)cos(ˆ

2 EE2

00 tmFyyDy ω=ω+ω+ &&& (4.3)

Mathematisch nennt man dies eine inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ord-nung mit konstanten Koeffizienten. Die linke Seite entspricht der homogenen Diffe-rentialgleichung (4.2) der geschwindigkeitsproportional gedämpften Schwingung, die Inhomogenität wird durch das Störglied auf der rechten Seite hervorgerufen, das die unabhängige Variable, die Zeit t , enthält. 4.3 Lösung der Differentialgleichung erzwungener Schwingungen –

Partikuläre Lösung In diesem Abschnitt wird zunächst eine besondere oder partikuläre Lösung der in-homogenen Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung hergeleitet und dis-kutiert. Bemerkungen zur allgemeinen Lösung einer inhomogenen linearen Differen-tialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten finden sich in Abschnitt 4.5. Die rechte Seite der Gleichung (4.3), das sogenannte Störglied in der inhomogenen Differentialgleichung, enthält die Erregerkreisfrequenz Eω . Die Beobachtung zeigt, dass ein schwingungsfähiges System dem Einfluss der äußeren Kraft folgt und nach einiger Zeit unregelmäßiger Bewegung (dem so genannten Einschwingvorgang) schließlich im eingeschwungenen Zustand mit zeitlich konstanter Amplitude A und der Kreisfrequenz schwingt und nicht mit der Eigenkreisfrequenz . Zur Lösung der Differentialgleichung (4.3) versucht man deshalb gezielt folgenden Ansatz

Eω 0ω


)cos( Epart α−ω= tAy (4.4)

mit A Amplitude der erzwungenen Schwingung im stationären, eingeschwungenen Zustand.

Eω Kreisfrequenz der erzwingenden Kraft.

α Phasenverschiebung zwischen erzwingender Kraft (Anregung) und Auslenkung

erzwFy des schwingungsfähigen Systems (Antwort).

[Bei Wahl des Minus-Vorzeichens im Ansatz wird der Wert von positiv]. α Diese Phasenverschiebung α darf nicht verwechselt werden mit dem Nullphasenwinkel 0ϕ .

Durch Einsetzen dieses Ansatzes muss gezeigt werden, dass Ansatz (4.4) der Diffe-rentialgleichung (4.3) genügt. Die ausführliche mathematische Herleitung ist sehr umfangreich, deshalb wird hier auf sie verzichtet, es wird nur der Rechengang kurz angedeutet, die Durchführung der Rechnung aber als mathematische Übungsaufga-be sehr empfohlen. Eine elegante Lösungsmöglichkeit bietet die Notation komplexer Darstellung.

• Bilden der 1. und 2. Ableitung der Gleichung (4.4). • Einsetzen des Ansatzes und seiner 1. und 2. Ableitung in die Differentialglei-

chung (4.3).

• Benutzen der Beziehung 0

Eωω

=η (4.5)

• Benutzen der trigonometrischen Additionstheoreme für die Funktionen und )cos( E α−ω t )sin( E α−ω t .

Damit kommen nur noch Ausdrücke vor, die die Sinus- und Kosinus-Funktionen und )sin( Etω )cos( Etω enthalten.

• Ordnen nach Gliedern, die )cos( Etω und )sin( Etω enthalten; es bleibt eine Gleichung: 0)sin(][)cos(][ EE =ω+ω tt KK .

• Wenn diese Gleichung identisch erfüllt sein soll, dann müssen die Koeffizien-ten der beiden harmonischen Funktionen, die in eckigen Klammern stehen, verschwinden, also null sein.

• Nullsetzen der Koeffizienten dieser Glieder liefert zwei Bedingungen, welche die im Lösungsansatz eingeführten physikalischen Größen stationäre Ampli-tude A und die Phasenverschiebung α eindeutig festlegen.

• Diese beiden Bedingungen können durch trigonometrische Umformungen wei-ter vereinfacht werden.

Man erhält schließlich nach ausführlicher Rechnerei als Endergebnis: Der Ansatz (4.4) ist eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (4.3), wenn die beiden folgenden Bedingungen für die Amplitude bzw. die Phasenverschie-bung zwischen erzwingender Kraft und Schwingung des angeregten Systems er-füllt sind:

Aα


222E

)2()1(

1ˆ

η+η−⋅=

DcFA (4.6)

212tanη−

η=α

D (4.7)

bzw. nach Einführen der Umkehrfunktion (vorläufig)

212arctanη−

η=α

D (4.8)

Eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung (4.3) der erzwungenen Schwingung lautet also

)12arctancos(

)2()1(

1ˆ2E222

Epart

η−

η−ω

η+η−⋅=

DtDc

Fy (4.9)

[vgl. die Hinweise zum Wertebereich der Arcus-Tangens-Funktion in Abschn. 4.4.2.1] In den folgenden Abschnitten wird das Verhalten der stationären Amplitude und der Phasenverschiebung in Abhängigkeit vom Frequenzverhältnis η und vom Dämpfungsgrad diskutiert werden.

Aα

D 4.4 Diskussion der partikulären Lösung der Differentialgleichung 4.4.1 Amplitudenresonanzkurve Die Lösung (4.9) der Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung (4.3) ent-hält folgenden Ausdruck für die, nach dem Einschwingvorgang, stationär sich einstel-lenden Amplitude A

222E

)2()1(

1ˆ

η+η−⋅=

DcFA (4.6)

Diese Beziehung enthält das (Kreis-) Frequenzverhältnis η und den Dämpfungsgrad . Dies erlaubt, die stationäre Amplitude als Funktion von D A η für verschiedene

Parameterwerte des Dämpfungsgrades darzustellen. D

Der Vorfaktor c

FEˆ

entspricht gerade der statischen Auslenkung , die eine zeit-

lich konstante Kraft bei Vorliegen eines linearen Kraftgesetzes hervorrufen würde. Dieser Ausdruck kann deshalb als Normierungsfaktor für die so-genannte Resonanzüberhöhung dienen.

staty

const.Eerzw == FF

In Abb. 4-02 sind Amplitudenresonanzkurven für verschiedene Dämpfungsgrade D dargestellt. Man erkennt für schwache Dämpfung die starke Überhöhung in einem engen Fre-quenzintervall. Dieser Sachverhalt wird durch den Ausdruck Resonanz beschrieben. Im Folgenden soll der Verlauf der Amplitudenfunktion zuerst für den Sonderfall

, d. h. ohne Dämpfung, diskutiert werden, um die wichtigsten Eigenschaften des Kurvenverlaufs zu beleuchten. Danach wird der allgemeine Fall mit Dämpfung besprochen werden.

0=D


Wichtig für die Diskussion sind die Werte für die Amplitudenresonanz speziellen Wer-ten des Kreisfrequenzverhältnisse η

1 0 <η≤ oder 0E ω<ω

1=η oder 0E ω=ω

1>η oder 0E ω>ω

4.4.1.1 Dämpfungsfreier Fall

Aus (4.6) erhält man mit der Zusatzbedingungen 00=

ωδ

=D

2E

22E

11ˆ

)1(

1ˆ)0(

η−⋅=

η−⋅==

cF

cFDA

• Für wird die Amplitude 0→ηc

FA E0

ˆlim =→η

• Für wird die Amplitude sehr groß, weil der Nenner sehr klein wird. Speziell für den Resonanzfall

1=η1=η hat die Funktion einen Pol . ∞=

→ηA

1lim

• Für wird im Radikand und damit geht die Amplitude gegen null, also .

∞→η ∞→η2

0lim =∞→η

A

Es ergibt sich also der in Abb. 4-02 für 0=D eingezeichnete Verlauf für die Amplitu-denresonanzkurve (mathematisch idealisierter Fall, denn jedes reale System ist ge-dämpft). 4.4.1.2 Mit Dämpfung Falls ist, kann der Radikand in (4.6) als Summe zweier Quadrate, die nicht gleichzeitig null sind, nicht mehr null werden; der Radikand kann aber sehr klein wer-den. Die Amplitude kann folglich zwar noch sehr groß werden, aber nicht mehr über alle Grenzen anwachsen. Es gibt eine charakteristische Kreisfrequenz bzw. ein charakteristisches Kreisfrequenzverhältnis

0≠D

resω

resη , für das die stationäre Amplitude des Systems ein Maximum hat. Die zugehörige Kreisfrequenz heißt Resonanzkreis-frequenz .

A

resω

Die Resonanzfrequenz erhält man am einfachsten durch Bestimmen des Wertes , für den die stationäre Amplitude ein Maximum annimmt. resη A maxA

Das ist eine Extremwertaufgabe, den Rechenaufwand kann man durch physikalische Argumentation vereinfachen. Die Amplitude hat dann ein Maximum, wenn der Ra-dikand ein Extremum hat. Vom dämpfungsfreien Fall weiß man aber bereits, dass das Extremum von ein Maximum ist.

A

A


Man erhält damit nach Nullsetzen der ersten Ableitung des Radikanden von (4.6) nach η

22res 21 D−=η

also 2

res 21 D−=η (4.10)

bzw. 2

0res 21 D−ω=ω (4.11)

resω ist die Kreisfrequenz, bei welcher die Amplitudenfunktion (4.6) ihr Maximum hat. Bei Vorliegen von geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung liegt das Maximum der Resonanzkurve stets bei einer Kreisfrequenz resω , die kleiner ist als die Eigenkreis-frequenz des schwingungsfähigen Systems. Je kleiner der Dämpfungsgrad D ist, umso näher liegt die Resonanzkreisfrequenz

0ω

resω an der Eigenkreisfrequenz . 0ω

Weil der Dämpfungsgrad nach (3.8) als positive Größe definiert ist, liefert (4.11) für die Gültigkeit die Zusatzbedingung

D

220 ≤< D

d. h., ein Maximum in der Amplitudenresonanzkurve kann nur dann auftreten, wenn

die Dämpfung nicht zu groß ist; der Grenzwert liegt bei 22

=D .

(Mathematisch entspricht das der 2. Lösung der Extremwertaufgabe, welche als Lö-sung ein lokales Minimum bei ergibt, s. u..) 0=η

Einsetzen der Resonanzkreisfrequenz resω bzw. resη in die Amplitudenbeziehung (4.6) liefert den Maximalwert der Amplitude bei Resonanz

2E

res12

12

ˆ

DD

FA−

= (4.12)

Wie physikalisch erwartet, wird bei zunehmender Dämpfung die Resonanzüberhö-hung kleiner (vgl. Abschnitt 4.2). Der Begriff Resonanzüberhöhung drückt dabei aus, dass die stationäre Amplitude größer wird als die statische Auslenkung

cFy E

statˆ

=

In Tabelle 4-01 ist das Ergebnis einer ausführlichen mathematischen Diskussion der Amplitudenfunktion (4.6) für verschiedene Dämpfungsgrade D zusammengestellt. Für geht die stationäre Amplitude in jedem Fall, also unabhängig von der Dämpfung, gegen null, denn

∞→η0lim =

∞→ηA .


Tabelle 4-01: Zusammenstellung der Ergebnisse der Kurvendiskussion der Amplitudenfunktion

D Extrema zugehörige Amplitude A

220 << D Lokales Minimum bei 0=η

cFA E

minˆ

=

220 << D

Maximum bei 2res 21 D−=η

max2E

res12

1Â

DDcFA =

−=

220 << D Absolutes Minimum bei

∞→η 0min →A

22

=D Maximum bei 0=η

(Die beiden obigen Extrema fallen zusammen) c

FA Emax

ˆ=

22

>D Maximum bei 0=η

(Minimum entfällt) cFA E

maxˆ

=

Den Einfluss der Dämpfung auf Resonanzfrequenz und Resonanzamplitude veran-schaulicht Abb. 4-02. In der Tabelle 4-02 sind einige zusätzliche Zahlenwerte zur Demonstration der Ver-schiebung des Resonanzmaximums und der Reduktion der Amplitude mit wachsen-der Dämpfung gegeben. Man sieht, dass bei einer erzwungenen Schwingung die Resonanzüberhöhung sehr

groß werden kann gegen die statische Auslenkung c

Fy Eˆ

stat = . Dies kann sich nega-

tiv auswirken und zur Zerstörung des schwingungsfähigen Systems führen (Reso-nanzkatastrophe). Andererseits kann man die Resonanzüberhöhung auch zur geziel-ten Verstärkung bestimmter Frequenzen ausnutzen (Zungenfrequenzmesser, Vor-verstärker im Rundfunkempfänger). Anmerkung: Wenn bei großen Amplituden die elastische Grenze überschritten wird, dann gelten die Voraussetzungen für die Differentialgleichung (4.3) nicht mehr, des-halb gelten auch die Differentialgleichung und sämtliche daraus hergeleiteten Aussa-gen und Beziehungen nicht mehr.


0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

cFE1

cFE2

0=D

2,0=D

4,0=D

22

=D

5=D

0

Eωω

=η

Resonanz- überhöhung

Aufgetragen ist die Amplitudenfunktion der partikulären Lösung der Differential-gleichung für den eingeschwungenen Zustand nach (4.6)

A

222E

)2()1(

1ˆ

η+η−⋅=

DcFA

Die Abszisse gibt das Kreisfrequenzverhältnis 0ω

ω=η E

Die Ordinate zeigt die stationären Amplituden. Diese sind auf die statische Auslen-

kung c

Fy Estat

ˆ= normiert (Resonanzüberhöhung)

Die Resonanzkurven gehören für den Schwingfall zu verschiedenen Werten des

Dämpfungsgrads im Intervall D220 ≤≤ D und für den Kriechfall zum Dämpfungs-

grad 5=DAbb. 4-02: Erzwungene Schwingungen bei harmonischer Anregung - Amplitudenresonanzkurve.


Tabelle 4-02: Erzwungene Schwingung und Resonanz. Der Einfluss der Dämpfung auf Resonanzkreisfrequenz resη und zugehörige Reso-nanzamplitude . Der Dämpfungsgrad D wurde in (3.8) definiert. Zur Berechnung von und wurden die Beziehungen (4.10) und (4.12) benutzt.

resA

resη resA

D 0

resres ω

ω=η

cFA

/E

res

0,0000 1,000 ∞ 0,0005 1,000 1000 0,0010 1,000 500 0,0025 1,000 200 0,0050 1,000 100 0,0100 1,000 50 0,0250 0,999 20 0,0500 0,998 10 0,1000 0,990 5,025 0,2500 0,935 2,066 0,3750 0,848 1,438 0,5000 0,707 1,155 0,5500 0,629 1,089 0,6000 0,529 1,042 0,6250 0,468 1,025 0,6500 0,394 1,012 0,6750 0,298 1,004 0,7000 0,141 1,000

2/2707,0 = 0,000 1,000

Eine (etwas willkürliche) Einteilung in schwache und starke Dämpfung wird in der Praxis oft folgendermaßen getroffen

schwache Dämpfung: Charakterisiert dadurch, dass sich die Resonanzkreisfrequenz nur um gegen die Eigenkreisfrequenz verschiebt. Dagegen ändert sich die Resonanzamplitude sehr stark.

%11,0≤D

starke Dämpfung: Gekennzeichnet durch sehr star-ke Verschiebung der Resonanzkreisfrequenz, beglei-tet von einer nur geringen Abnahme der Resonanz-überhöhung.

1,0>D


4.4.2 Phasenverschiebung α Aus dem in (4.4) gewählten Ansatz zur Lösung der Differentialgleichung gibt der Phasenwinkel α an, wie die Auslenkung y des schwingungsfähigen Systems der erzwingenden harmonischen Kraft nacheilt. Die Phasenverschiebung darf nicht mit dem Nullphasenwinkel verwechselt werden.

erzwF α

0ϕ

Die Lösung der Differentialgleichung ergab für die Phasenverschiebung folgende Bedingung

α

212tanη−

η=α

D (4.7)

Oder nach Einführung der Umkehrfunktion [unter Berücksichtigung des Wertebe-

reichs der Umkehrfunktion (22π

<η<π

− )]

212arctanη−

η=α

D für 10 <η≤

212arctanη−

η+π=α

D für 1≥η (4.8)

Es soll im Folgenden der Verlauf dieser Funktion in Abhängigkeit vom Frequenzver-hältnis und vom Dämpfungsgrad D untersucht werden. η

4.4.2.1 Dämpfungsfreier Fall Es ist ; also wird in (4.7) bzw. (4.8) 0=D

• für wird der , der ; damit gilt 1 <η 0Zähler = 0Nenner ≥ 0=α

• für wird der , der 1>η 0Zähler = 0Nenner ≤ ; damit gilt π=α

• für ist α zunächst nicht definiert. In Übereinstimmung mit späteren Ergebnissen (Abschnitt 4.4.2.2) ist es zweckmäßig

für die Phasenverschiebung

1=η

1=η2π

=α zu definieren.

Der Verlauf der Phasenverschiebung α in Abhängigkeit vom Kreisfrequenzverhältnis ist in Abb. 4-03 dargestellt. η

4.4.2.2 Mit Dämpfung Wegen erfolgt für ausgewählte Kreisfrequenzverhältnisse 0>D

• für ; also wird 0≈η 0E ω<<ω 0lim0

=α→η

Auslenkung y und erzwingende Kraft sind näherungsweise in Phase. erzwF

• für ; also wird 1=η 0E ω=ω2

lim1

π=α

→η

Die Auslenkung y eilt erzwingender Kraft für erzwF 1=η um genau nach, und zwar unabhängig vom Dämpfungsgrad D.

o90


• für ; also wird ∞→η 0E ω>>ω π=α∞→η

lim

Die Auslenkung y und erzwingende Kraft sind näherungsweise in Ge-genphase. Dabei hängt die asymptotische Näherung an den Grenzwert vom Dämpfungsgrad ab.

erzwFπ

DZusätzliche Hinweise über den Kurvenverlauf gewinnt man durch Bestimmung der Steigung von ),( Dηα=α für die oben speziell ausgesuchten η-Werte, für die der Funktionswert bereits bekannt ist. Man erhält nach Ableiten

1)24(12

dd

224

2

+η−+η

+η=

ηα

DD

und Einsetzen spezieller η-Werte

• für wird 0=η D2dd

0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ηα

=η

• für wird 1=ηD1

dd

1=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ηα

=η

• für wird ∞→η 0dd

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ηα

∞→η

D. h., für beginnen alle Kurven bei 0=η 0=α . Die Steigung der Kurven ist in die-sem Anfangspunkt proportional zum Dämpfungsgrad D .

Alle Kurven haben einen weiteren gemeinsamen Punkt. Für 1=η ist 2π

=α .

Deshalb wurde in Abschnitt 4.4.2.1 dieser Punkt auch für den dämpfungsfreien Fall definiert. Die Steigung der Kurve in diesem Punkt ist umgekehrt proportional zu D , d. h., die Kurve verläuft bei schwacher Dämpfung steil und bei starker Dämpfung flach. Der Verlauf der Annäherung an die Gegenphase π=α hängt wiederum von D ab. In Abb. 4-03 sind die Phasenverschiebungen α gegen η für verschiedene Werte des Dämpfungsgrades D aufgetragen. Die -Werte sind dieselben wie die für die Ampli-tudenresonanzkurven der Abb. 4-02.

D

Für sind die Auslenkung 0≈η y und die erzwingende Kraft nahezu in Phase. Das System folgt der erzwingenden Kraft nahezu phasengleich. Für die anregende Kraft und die Auslenkung des Körpers der Masse gilt, dass die jeweilige Ruhelage und die Umkehrpunkte gleichzeitig und gleichsinnig durchlaufen werden.

erzwF

m

Für den Fall bleibt die Phase der erzwungenen Schwingung (oder die Antwort

des Systems) gerade um

1=η

2π

=α hinter der erzwingenden Kraft (also der Anregung)

zurück.


0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

π 0=D

2,0=D 4,0=D

22

=D

5=D2π

0

Eωω

=η

α Aufgetragen ist die Phasenverschiebung α der partikulären Lösung der Differential-gleichung für den eingeschwungenen Zustand nach (4.8)

212arctanη−

η=α

D für 10 <η≤

212arctanη−

η+π=α

D für 1≥η (4.8)

Die Abszisse gibt das Kreisfrequenzverhältnis 0ω

ω=η E an.

Die Ordinate zeigt die Phasenverschiebung α (im Bogenmaß) Die einzelnen Verläufe der Phasenverschiebung gehören für den Schwingfall zu ver-

schiedenen Werten des Dämpfungsgrads D im Intervall 220 ≤≤ D und für den

Kriechfall zum Dämpfungsgrad 5=D . Die ausgewählten Dämpfungsgrade entsprechen denen der Amplitudenresonanz-kurven aus Abb. 4-02. Abb. 4-03: Erzwungene Schwingung bei harmonischer Anregung und viskoser Reibung - Phasenverschiebung α .


Das bedeutet: Der schwingende Körper geht gerade durch die Gleichgewichtslage, wenn den Maximalwert erreicht. Der Körper der Masse schwingt dann in Richtung der erzwingenden Kraft weiter. Freilich nimmt der Betrag der Kraft ab, weil aber die Kraft und die Richtung der Auslenkung gleich sind, wird der Körper be-schleunigt. Dies geht solange weiter, bis

erzwF m

0erzw =F geworden ist. Der Körper hat dann gerade seinen Umkehrpunkt erreicht. Die Bewegungsrichtung des Körpers kehrt sich um, gleichzeitig wirkt die Kraft wieder in diese neue Bewegungsrichtung, d. h. wieder wird die Masse beschleunigt, usw. mFür den Resonanzfall wird dem System also in jeder Lage (auf jedem Punkt seiner Bahn) Energie zugeführt. Der Energieinhalt des Systems wüchse also über alle Grenzen, wenn nicht Reibungsverluste aufträten. Ein stationärer Zustand kann sich nur einstellen, wenn gilt Energieaufnahme pro Periode = verrichtete Reibungsarbeit pro Periode Bei kleiner Dämpfung wird dieser Zustand möglicherweise nicht erreicht, weil die er-laubten Amplituden für den linearen Bereich der Federkennlinie bereits überschritten werden. Die mathematische Lösung der Differentialgleichung gilt aber nur für den eingeschwungenen Zustand, also den stationären Fall. Für große Kreisfrequenzverhältnisse ( 1>>η ) kann der Körper der erzwingenden Kraft wegen seiner Trägheit nicht mehr folgen. Für sehr große Kreisfrequenzverhält-nisse schließlich bleibt der Körper der Masse m praktisch in Ruhe. 4.5 Einschwingvorgang – Anmerkungen zur Mathematik

der Differentialgleichung erzwungener Schwingungen Die bisherige Diskussion hat sich auf den eingeschwungenen Zustand beschränkt, d. h., die erzwingende Kraft hat schon sehr lange auf das schwingungsfähige System eingewirkt, das System schwingt dann mit der ihm von außen aufgezwunge-nen Kreisfrequenz ; ein Beitrag der Eigenkreisfrequenz

erzwF

Eω 0ω des Systems ist nicht mehr vorhanden. Schaltet man für ein schwingungsfähiges System die Störung zur Zeit ein, dann wird neben der erzwingenden Kreisfrequenz

erzwF 0=t

Eω auch die Eigenkreisfre-quenz des schwingungsfähigen Systems eine Rolle spielen, d. h. auch in der Lö-sungsfunktion der Differentialgleichung auftreten. Man nennt diesen Vorgang, der zwischen der Zeit

0ω

0=t und dem eingeschwungenen Zustand liegt, den Einschwing-vorgang. Bei schwacher Dämpfung des Systems kann dieser Einschwingvorgang sehr lange dauern. Um die allgemeine Lösung der Differentialgleichung anzugeben, also die Lösung, die für alle Zeiten das Verhalten des Systems richtig beschreibt, braucht man einen Satz aus der Theorie der Differentialgleichungen:

0>t

’Die allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung ist gleich der Summe aus der allgemeinen Lösung der zugehörigen linearen, homogenen Dif-ferentialgleichung und einem partikulären Integral der inhomogenen Differentialglei-chung.’

partikulärinhomogen

allgemeinhomogen

allgemeininhomogen yyy +=


Die allgemeine Lösung enthält wieder zwei Integrationskonstanten. Sucht man die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung für ein spezielles Problem, so muss man die beiden Integrationskonstanten auf die Anfangsbedingungen bei an-passen.

0=t

Man erhält damit als allgemeine Lösung der Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung bei harmonischer Anregung:

)cos()cos(ˆ E0d00 α−ω+ϕ+ω= ω− tAteyy tD (4.13)

mit den bereits früher definierten bzw. abgeleiteten Größen

mc

=ω0 (2.4)

20d 1 D−ω=ω (4.12)

222E

)2()1(

1ˆ

η+η−⋅=

DcFA (4.6)

212arctanη−

η=α

D für 10 <η≤

212arctanη−

η+π=α

D für 1≥η (4.8)

Die auf die Anfangsbedingungen anpassbaren Integrationskonstanten in (4.3) sind die Größen und 0y 0ϕ . Der erste Term, die Lösung der homogenen Differentialglei-chung, klingt als gedämpfte Schwingung mit der Zeit ab; nach hinreichend langer Zeit (nach Ende des Einschwingvorgangs) ist nur noch die partikuläre Lösung vorhanden und damit bestimmend für das Schwingungsverhalten. Auf den eingeschwungenen Zustand bezogen sich sämtliche Betrachtungen in den vorangegangenen Abschnit-ten. Anschließend noch eine physikalisch anschauliche Begründung für das Auftreten von

und in der allgemeinen Lösung (4.13) der Differentialgleichung (4.3) der er-zwungenen Schwingung:

0ω Eω

Regt man durch einen kurzen Impuls zum Zeitpunkt 0=t ein schwingungsfähiges System an, so wird dieses mit der Eigenkreisfrequenz 0ω schwingen. Wegen Dämp-fung wird diese Schwingung mit der Zeit abklingen. Wirkt aber eine periodische Kraft

über sehr viele Schwingungsperioden auf das System ein, dann lernt das Sys-tem gezwungenermaßen, dass es mit der erzwingenden Kreisfrequenz schwin-gen muss. Im Anfangsverhalten werden Beiträge von beiden Kreisfrequenzen in der Lösung enthalten sein.

erzwF

Eω

Ein anschauliches Beispiel zu den Begriffen Einschwingvorgang und stationärer Zu-stand bringt Abb. 4-04.


y

t

t

t

Einschwingvorgang stationärer Zustand

)cos(ˆ 0d0allgemeinhomogen

0 ϕ+ω= ω− teyy tD

)cos( Epartikulärinhomogen α−ω= tAy

partikulärinhomogen

allgemeinhomogen

allgemeininhomogen yyy +=


Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung lautet

)cos()cos(ˆ E0d00 α−ω+ϕ+ω= ω− tAteyy tD (4.13)

Die Integrationskonstanten ergeben sich aus den Anfangsbedingungen. 0y , 0ϕ

Gewählte Kennwerte für die Abbildung

• Eigenkreisfrequenz 10 s2 −π=ω

• Kreisfrequenz der erzwingenden Kraft 0E 51ω=ω also

51

0

E =ωω

=η

• Dämpfungsgrad 05,0=D

• statische Auslenkung cm83,3Estat ==

cFy

• Anfangsbedingungen m10)0( anf == yy ; -1scm0)0()0( == yv &

Es ergeben sich zunächst mit (4.12), (4.6) und (4.7):

• Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung 02

0d 1 ω≈−ω=ω D

• stationäre Amplitude cm99,304,1ˆ

)2()1(

1Ê

222E =⋅=

η+η−⋅=

cF

DcFA

• Winkel der Phasenverschiebung (weil 10 <η≤ ) 02,012arctan 2 =η−

η=α

D

Bestimmung der Integrationskonstanten

)cos()cos(ˆ E0d00 α−ω+ϕ+ω= ω− tAteyy tD

)sin()]cos()sin([ˆ EE0d00dd00 α−ωω−ϕ+ω⋅ω+ϕ+ω⋅ω−= ω− tAtDteyy tD&

Einsetzen der Anfangsbedingungen in die allgemeine Lösung und ihre Ableitung lie-fert zwei Gleichungen, aus denen und 0y 0ϕ bestimmt werden können. Man erhält zwei transzendente Gleichungen, die nur näherungsweise lösbar sind.

cm10)cos()cos(ˆ 00 =α−+ϕ Ay 0)sin()]cos()sin([ˆ E000d0 =α−ω−ϕ⋅ω+ϕ⋅ω− ADy

Man erhält als Lösung: und cm01,6ˆ0 =y 05,00 −=ϕ .

Damit wird das Schwingungsverhalten dargestellt durch

)02,0s26,1cos(cm99,3)05,0s28,6cos(ecm01,6 11s314,0 1−⋅⋅+−⋅⋅⋅= −−⋅− −

tty t

Der Nullphasenwinkel und der Phasenverschiebungswinkel sind so klein, dass sie in der Zeichnung nicht deutlich erkennbar sind.

05,00 −=ϕ 02,0=α

Die eingezeichnete Grenze zwischen Einschwingvorgang und eingeschwungenem Zustand ist nicht streng zu nehmen. Abb. 4-04: Erzwungene Schwingungen – Einschwingvorgang und stationärer Zustand.


Schwingungslehre ’Bezeichnungne, Formelzeichen und SI-Einheiten - 71 -

Bezeichnungen, Formelzeichen und SI-Einheiten Ungedämpfte harmonische Bewegungen Formelzeichen SI-Einheit Auslenkung (Feder-Masse-System; Federpendel) y m

Auslenkwinkel (physikalisches Pendel, Drehpendel) β 1

Amplitude y m

Federkonstante (lineares Kraftgesetz) c 1mN −

Drehfederkonstante (lineares Drehmomentengesetz) ∗c mN

Eigenkreisfrequenz 0ω 1s−

Eigenfrequenz 0f Hz

Schwingungsdauer 0T s

Phasenwinkel 00 ϕ+ω t 1

Nullphasenwinkel 0ϕ 1

Gedämpfte harmonische Bewegungen Lineare Schwingungen – Dämpfungskoeffizient (geschwindigkeitsproportionale Reibung) b 1skg −

Drehschwingungen – Dämpfungskoeffizient (winkelgeschwindigkeitsproportionale Reibung)

∗b smN

Abklingkoeffizient δ 1s−

Viskos gedämpfte Schwingungen – Kreisfrequenz dω 1s−

Dämpfungsgrad D 1

Einhüllkurve – Maximalwert 0y m

Erzwungene Schwingungen

Erzwingende Kraft – Betrag EF N

Erzwingende Kraft – Maximalwert EF N

Erzwingende Kraft – Kreisfrequenz Eω 1s−

Kreisfrequenzverhältnis η 1

Stationäre Amplitude A m

Phasenverschiebung Auslenkung – aufgeprägte Anregung α 1

Resonanzkreisfrequenz resω 1s−

Resonanzamplitude )(; resres βA m; (1)

Schwingungslehre – Glossar Abklingkoeffizient Der Abklingkoeffizient kennzeichnet die zeitliche Abnahme (’das Abklingen’) von Schwingungsauslenkungen (oft etwas ungenau als Amplituden bezeichnet) bei

viskos gedämpften Systemen.

δ→

→Für ein Feder-Masse-System (Federpendel) lautet das Auslenkung-Zeit-Gesetz

viskos gedämpfter Schwingungen →

→

)cos(ˆ 0d0 ϕ+ω= δ− teyy t

Der Abklingkoeffizient bestimmt sich zu δ

mb

2=δ

Dabei ist m : Masse des schwingenden Köpers, b : Dämpfungskoeffizient der geschwindigkeitsproportionalen Reibungskraft. →

Für ein Drehpendel gilt analog →

Jb2

∗=δ

Dabei ist J : Massenträgheitsmoment des Körpers bezüglich der Drehachse, ∗b : → Dämpfungskoeffizient des winkelgeschwindigkeitsproportionalen

Reibungsmoments. Additionstheoreme (trigonometrische) Wichtige Additionstheoreme für Anwendungen in der Schwingungslehre sind

β⋅αβ⋅α=β±αβ⋅α±β⋅α=β±α

sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(

m

Amplitude Die maximale Auslenkung eines ungedämpft schwingenden Systems. Die Amplitude entspricht dem Vorfaktor ( bzw. y maxβ ) bei der Beschreibung durch harmonische Funktionen.

→

→ Federpendel: )cos(ˆ 00 ϕ+ω= tyy oder )sin(ˆ 00= ω + ϕtyy

→ Drehpendel: )cos( 00max ϕ+ωβ=β t oder )sin( 00max ϕ+t =β β ω

Aperiodischer Grenzfall Bewegungsform eines schwingungsfähigen Systems, die zwischen dem Schwingfall und dem → Kriechfall steht. Man nennt diese spezielle Bewegung ’aperiodischer Grenzfall‘. Er gehört zum → Dämpfungsgrad

→

1=D .

Schwingungslehre Glossar - 72 -

Der aperiodische Grenzfall wird beschrieben für ein → Feder-Masse-System (Federpendel) durch das Auslenkung-Zeit-Gesetz

tetyyy 0)( 21ω−+=

→ Drehpendel durch das Winkel-Zeit-Gesetz tet 0)( 21

ω−β+β=β

Arbeit – ideale Feder (→ Energieinhalt ) Durch Stauchen oder Dehnen einer Feder wird an dieser Arbeit verrichtet. Die verrichtete Arbeit wird als potentielle Energie in der Feder gespeichert. Die gespeicherte Energie kann wiederum Arbeit verrichten. Eine äußere Kraft , die auf eine → ideale Feder wirkt, ändert die Federlänge extF y . Die von der äußeren Kraft aufzuwendende Arbeit ist definiert als das skalare Produkt aus äußerer Kraft und differentieller Längenänderung ; also

WdextF yd

)d())((d ext yyFW •=

Die äußere Kraft muss dabei der Rückstellkraft ( HOOKEsches Gesetz) der (idealen) Feder stets das Gleichgewicht halten; also gilt für die Beträge

extF → rückF →

0rückext =+ FF

cycyFF =−−=−= )(rückext

Damit wird die insgesamt gegen die rücktreibende Federkraft aufzuwendende Arbeit bei einer Dehnung der Feder von (AEW Ay Anfang) auf (Ey Ende)

∫=∫=E

A

E

A

dd)(extAE

y

y

y

yyycyyFW

)(21

21 2

A2

E2

AEE

A

yyccyWy

y−==

Die aufgewendete Arbeit ist als potentielle Energie in der Feder gespeichert.

AEW AEFederpot WE =

Bahngeschwindigkeit Die Bahngeschwindigkeit v eines Körpers bei einer gleichförmigen Kreisbewegung (Bahnradius R) wird definiert als Quotient aus dem in einer Periode zurückgelegten Weg (Kreisumfang) und der dafür benötigten Zeit (→ Periodendauer oder Umlaufzeit). Formelmäßig ergibt sich somit

RT

Rv ω=π

=2

Die abgeleitete SI-Einheit ist die einer Geschwindigkeit, also . 1sm1][ −=v

Für eine gleichförmige Kreisbewegung ist der zurückgelegte Weg proportional zur Zeit.


Bewegungen / Schwingungen • Harmonische Bewegungen / Schwingungen Harmonische Bewegungen sind eine spezielle Form → periodischer Bewegungen. Die Zeitabhängigkeit wird durch harmonische Funktionen beschrieben. →Harmonische Funktionen sind die Sinus- und die Kosinus-Funktion. Beispiel für harmonische Bewegungen sind Schwingungen (ungedämpfte). → →

• nacheilende Bewegung / Schwingungen Das Vorzeichen des Nullphasenwinkels im Argument einer → harmonischen Funktion bestimmt, ob eine Schwingungsform gegenüber der zugehörigen Standard-Funktion nacheilend oder voreilend ist. Beschreibt man Schwingungen durch eine Kosinus-Funktion, dann ergibt sich für den zugehörigen Nullphasenwinkel

→

0 b0 <ϕ−=ϕ und )cos(ˆ b0b ϕ−ω= tyy

Das Maximum von erhält man, wenn das Argument der Kosinus-Funktion null wird, also für einen Zeitpunkt im Argument der Kosinus-Funktion

by

mt

0)( bm0 =ϕ−ω t , d. h. 0b

0m 2

Tt bπ

ϕ=

ωϕ

=

mt ist positiv! Das erste Maximum einer nacheilenden Schwingungsbewegung liegt zeitlich später als das der Standard-Kosinus-Funktion. • voreilende Bewegungen / Schwingungen Das Vorzeichen des Nullphasenwinkels im Argument einer → harmonischen Funktion bestimmt, ob eine harmonische Schwingungsform gegenüber der zugehörigen Standard-Funktion nacheilend oder voreilend ist. Beschreibt man die Schwingungen durch eine Kosinus-Funktion, dann ergibt sich für den zugehörigen Nullphasenwinkel

→

0a0 >ϕ=ϕ und )cos(ˆ a0a ϕ+ω= tyy

Das Maximum von erhält man, wenn das Argument der Kosinus-Funktion null wird, also für einen Zeitpunkt im Argument der Kosinus-Funktion

ay

mt

0)( am0 =ϕ+ω t , d. h. 0a

0m 2

Tt aπ

ϕ−=

ωϕ

−=

mt ist negativ! Das erste Maximum einer voreilenden Schwingungsbewegung liegt zeitlich früher als das der Standard-Kosinus-Funktion. Dämpfung Jeder Einfluss auf ein schwingungsfähiges System, der mechanische Energieformen in nicht-mechanische Energieformen umsetzt, bewirkt eine Dämpfung des Systems. Man beobachtet: Die Auslenkungen des Systems nehmen im Verlauf der Zeit ab. Speziell bei viskos gedämpften Systemen wird die Abnahme der Auslenkungen durch eine Exponentialfunktion beschrieben.

→

Bei diesen Systemen ist eine (willkürliche) Einteilung der Dämpfung in schwache und → starke Dämpfung die Abgrenzung bei einem → Dämpfungsgrad .

→0,1=D


• Dämpfungskoeffizient Der Dämpfungskoeffizient b ( ) bestimmt das Maß einer Dämpfung im Fall → viskoser Reibung (STOKESsche Reibung). Dabei ist für ein

∗b

• Federpendel die → Dämpfungs- oder Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit →

ybbvF &−=−=reib

• Torsionspendel das → Dämpfungs- oder Reibungsmoment proportional zur Winkelgeschwindigkeit →

β&∗−= bMreib

• Dämpfungsgrad D Der Dämpfungsgrad D ist definiert als der Quotient aus Abklingkoeffizient und

Eigenkreisfrequenz eines viskos gedämpften schwingungsfähigen Systems → δ

→ 0ω

0ωδ

=D

Der Dämpfungsgrad ist eine dimensionslose Größe, denn die Einheiten von und sind: und .

δ

0ω1s1][ −=δ 1

0 s1][ −=ω

• Schwache Dämpfung ( 0,10 ≤≤ D ) Bei harmonisch erzwungenen Schwingungen verschiebt sich die Resonanz(kreis)frequenz ( ) nur um etwa gegen die

Eigen(kreis)frequenz ( ); die → Resonanzüberhöhung ist groß; sie ändert sich sehr stark mit zunehmender Dämpfung.

→resω resf %1

→ 0ω 0f

• Starke Dämpfung ( 11,0 << D ): Bei harmonisch erzwungenen Schwingungen verschiebt sich die Resonanz(kreis)frequenz ( ) sehr stark gegen die Eigen(kreis)frequenz

( ); die Resonanzüberhöhung ist gering und ändert sich nur wenig mit zunehmender Dämpfung.

→resω resf →

0ω 0f →

Differentialgleichung Eine Gleichung, die eine Funktion und deren Ableitungen enthält. • Bezeichnungsweisen ’Linear’: Es treten keine Potenzen der Funktion und ihrer Ableitungen auf. ’Homogen’: Es tritt kein ’Störglied’ auf, das entweder konstant ist oder die unabhängige Variable enthält. t’Ordnung’: Die höchste vorkommende Ableitung in der Differentialgleichung. • Differentialgleichung ungedämpfter Schwingungen Die Standardform lautet

020 =ω+ yy&&

In der Sprache der Mathematik ist dies eine lineare, homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.


Die Lösungsfunktionen sind notwendig harmonische Schwingungen; oder anders ausgedrückt: Harmonische Schwingungen gehören zu ungedämpften Systemen.

→

Die systemcharakteristischen Eigenkreisfrequenzen bestimmen sich für ein

→ Federpendel aus mc

=ω 20 (→ Federkonstante c und Masse ) m

→ Torsionspendel aus Jc∗

=ω 20 (→ Drehfederkonstante und

Massenträgheitsmoment J ).

∗c

• Differentialgleichung viskos gedämpfter Schwingungen

0=++ ymcy

mby &&& (→ Dämpfungskoeffizient ). b

Unter Benutzung der Beziehung für die Kreisfrequenz 0ω ungedämpfter harmonischer Schwingungen gemäß

mc

=ω 20

erhält man die Differentialgleichung eines viskos gedämpften Feder-Masse-Systems zu

020 =ω++ yy

mby &&&

In der Ausdrucksweise der Mathematik ist dies eine lineare, homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. • Differentialgleichung harmonisch erzwungener Schwingungen

)cos(ˆ

2 EE2

00 tmFyyDy ω=ω+ω+ &&&

(→ Dämpfungsgrad und Amplitude der erzwingenden Kraft ) D → EF

Mathematisch nennt man dies eine lineare, inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die linke Seite entspricht einer homogenen Differentialgleichung der geschwindigkeitsproportional gedämpften Schwingung, die Inhomogenität wird durch das Störglied auf der rechten Seite hervorgerufen, das die unabhängige Variable, also die Zeit t , enthält. Drehfederkonstante An einem drehfähig gelagerten physikalischen System (Beispiel Drehpendel/Torsionspendel) greift ein rückstellendes Drehmoment an, das zum Drehwinkel β proportional ist.

→rückM

β−= ∗cMrück

Die Proportionalitätskonstante ist die ’Drehfederkonstante‘; andere Bezeichnungsweisen sind ’Richtmoment‘ oder ’Direktionsmoment‘. Dies ist analog zum linearen Kraftgesetz einer idealen Feder ( HOOKEsches Gesetz).

∗c

→


Drehpendel (→ Pendel – Drehpendel ) Eigenkreisfrequenz Ungedämpfte lineare Schwingungen eines Systems werden beschrieben durch )cos(ˆ 00 ϕ+ω= tyy

Die Eigenkreisfrequenz für verschiedene Systeme bestimmt sich aus den Systemkonstanten.

0ω

→ Feder-Masse-System: mc

=ω 20

→ Fadenpendel: Lg

=ω 20

→ Torsionspendel: P

20 J

mgd=ω

Der Zusammenhang der → Eigenkreisfrequenz 0ω mit der experimentell beobachtbaren → Periodendauer oder der Schwingungsdauer ist gegeben durch 0T

00

2Tπ

=ω

Die abgeleitete SI-Einheit ist . 1s1][ −=ω

Eingeschwungener Zustand Bei erzwungenen Schwingungen ist dies der Schwingungszustand des Systems nach dem Einschwingvorgang im stationären Zustand, beschrieben durch eine

harmonische Funktion mit konstanter → Amplitude.

→→

→

Einschwingvorgang Bei erzwungenen Schwingungen ist dies der Schwingungszustand des Systems zwischen dem Einschalten der harmonischen Anregung und dem Schwingungsverhalten im stationären Zustand mit der (Kreis)Frequenz der Anregung.

→

→

Einstellzeit In physikalisch-technischen Systemen, z. B. in Messwerken, versucht man, durch passende Wahl des Dämpfungsgrades D einer gedämpften (harmonischen) Schwingung, die Einstellzeit auf den abzulesenden Endwert möglichst klein zu halten. Da wegen der Exponentialfunktion die Annäherung an den Endwert stets nur asymptotisch erfolgt muss man eine untere Grenze von der Abweichung zum Endwert angeben, um den Begriff ’Einstellzeit‘ festzulegen. Rasche Einstellzeiten ergeben sich für → Dämpfungsgrade im Intervall zwischen

→

15,0 << D .

Energieinhalt – ideale Feder (potentielle Energie) Wird eine ideale Feder von (→ Ay Anfang) auf (Ey Ende) gedehnt/gestaucht, dann ist die dazu aufzuwendende → Arbeit (verrichtet an einer idealen Feder) gegeben durch

)(21 2

A2

EAE yycW −=


Diese Arbeit ist als potentielle Energie in der Feder gespeichert. Setzt man speziell , d. h., bezieht man die Änderung y auf die Ruhelage, dann kann man für die

gespeicherte potentielle Energie einer idealen Feder allgemein schreiben 0A =y

2Federpot 2

1 cyE =

Energieresonanz ( Resonanz – Energieresonanz ) →

Fadenpendel (→ Pendel – Fadenpendel ) Feder-Masse-System (→Pendel – Federpendel ) Federpendel ( → Pendel – Federpendel ) Federkonstante In einem linearen Kraftgesetz (→ HOOKEsches Gesetz) ist sie die Proportionalitätskonstante zwischen der Rückstellkraft und der Auslenkung rückF y der Feder

ycF −=rück

Frequenz Die (Umlauf-)Frequenz einer → gleichförmigen Kreisbewegung ist definiert als

Zeitbenötigtedafür(Umläufe)PeriodenderAnzahl

=f

Die abgeleitete SI-Einheit ist 1s1Hz1Hertz1][ −===f

Gleichförmige Kreisbewegung Ein materielles Teilchen (Masse m ) läuft in konstantem Abstand R mit konstanter

Winkelgeschwindigkeit ω in einer Ebene um eine vorgegebene Drehachse. Dabei ist der Betrag der Bahngeschwindigkeit ebenfalls konstant. →

Harmonische Funktionen Harmonische Funktionen sind die Sinus- und die Kosinus-Funktion. Sie werden zur Beschreibung harmonischer Bewegungen verwendet, die eine spezielle Form periodischer Bewegungen sind. Beispiel: Harmonische Bewegungen sind ungedämpfte Schwingungen; sie werden beschrieben durch

→

)cos(ˆ 00 ϕ+ω= tyy oder )sin(ˆ 00 ϕ+ω= tyy

Der zeitlich konstante Vorfaktor heißt Amplitude. y →

HOOKEsches Gesetz Ein lineares Kraftgesetz liegt für ein → Feder-Masse-System dann vor, wenn die rücktreibende Kraft der Feder auf den angehängten Körper (Masse ) proportional zu ihrer Auslenkung ist (ideale Feder).

m

ycF −=rück

Die Proportionalitätskonstante c ist die → Federkonstante.


In der Schwingungslehre bestimmt dieses lineare Kraftgesetz die Bewegungen des Standardmodells → Feder-Masse-System (Federpendel), denn nur für ein lineares Kraftgesetz erhält man die → Schwingungsdifferentialgleichung ungedämpfter Schwingungen’ mit

0=+ ymcy&& mit

mc

=ω 20

Kraftgesetz (lineares) → HOOKEsches Gesetz Kreisfrequenz → Eigenkreisfrequenz Kreisfrequenzverhältnis Allgemein: Das Verhältnis zweier Kreisfrequenzen. Speziell: Bei → harmonisch erzwungenen Schwingungen wird damit das Verhältnis der (Kreis)frequenz ( ) der erzwingenden Anregung und der Eigen(kreis)frequenz ( ) des Systems bezeichnet.

→ EE, fω →

00, fω

Ein Kreisfrequenzverhältnis wird mit dem Formelbuchstaben η bezeichnet, es gilt die Definition

0

E

0

Eff

=ωω

=η

Kriechfall Mit ’Kriechfall’ bezeichnet man die Bewegungsform eines sehr stark gedämpften Systems mit einem Dämpfungsgrad . → 1>DDer Kriechfall wird für ein Feder-Masse-System beschrieben durch

tDDtDD eyeyy )1(2

)1(1

20

20 −−ω−−+ω− +=

Und analog für ein Drehpendel

tDDtDD ee )1(2

)1(1

20

20 −−ω−−+ω− β+β=β

Dabei ist die Eigenkreisfrequenz eines ungedämpft schwingenden Systems. 0ω →

Linearisierung Bei der Aufstellung der Differentialgleichung für schwingungsfähige Systeme kommt über die Geometrie der Anordnung ein Sinusglied in die Gleichung (→ mathe-matisches Pendel oder → physikalisches Pendel). Die Lösung der sich ergebenden Differentialgleichung ist nur möglich mit (1) Höherer Mathematik oder (2) geeigneten Computerprogrammen. Um eine → Differentialgleichung geschlossen lösen zu können, muss man durch ’Linearisierung’ eine Näherung erzwingen, dabei nimmt man allerdings in Kauf, dass der Gültigkeitsbereich der gefundenen Lösung einge-schränkt ist. Die Sinus-Funktion kann in eine Potenzreihe entwickelt werden ( Reihen-entwicklung)

→

K−+β−β+β−β=β 753!7

1!5

1!3

1sin


Für kleine Winkel β können diejenigen Glieder der Potenzreihe, deren Potenz größer als 1 ist, gegen das lineare Glied vernachlässigt werden. Man bricht die Reihe nach dem linearen Glied ab und ersetzt damit die Sinus-Funktion durch den zugehörigen Winkel (gemessen im Bogenmaß!). Dann gilt

β≈βsin

Mathematisches Pendel (→ Pendel – mathematisches Pendel ) Momentengesetz (lineares) In Analogie zum → HOOKEschen Gesetz für lineare Schwingungen gilt für ideale Drehfedern ein lineares Momentengesetz. Für ein Federpendel ist das rücktreibende Drehmoment der Drehfeder der auf den angehängten Körper (Massenträgheitsmoment ) proportional zur Winkelauslenkung

→

J

β−= ∗cMrück

Die Proportionalitätskonstante ist die Drehfederkonstante. ∗c →In der Schwingungslehre bestimmt dieses lineare Momentengesetz die Bewegungen des Standardmodells Drehpendel, denn nur für ein lineares Momentengesetz erhält man die → Schwingungsdifferentialgleichung ungedämpfter Schwingungen mit

→

020 =βω+β&& mit

Jc∗

=ω 20

Nullphasenwinkel Der Nullphasenwinkel ist der Phasenwinkel, der für den Zeitpunkt das Argument einer harmonischen Funktion (Kosinus- oder Sinus-Funktion) bestimmt.

0ϕ 0=t

)cos(ˆ 00 ϕ+ω= tyy )sin(ˆ 00 ϕ+ω= tyy

Das Vorzeichen des Nullphasenwinkels bestimmt, ob es sich um eine → voreilende oder um eine → nacheilende Schwingungsbewegung handelt. Pendel • Drehpendel (Torsionspendel) Ein räumlich ausgedehnter Körper, der über das lineare Rückstellmoment einer Drehfeder schwingungsfähig gelagert ist. Eine Spiralfeder ist an der Drehachse befestigt und bringt nach Verdrehen der Scheibe ein rücktreibendes Drehmoment

auf. Die Scheibe führt harmonische Drehschwingungen aus. →

rückM

• Fadenpendel Ein Fadenpendel ist die Realisierung eines mathematischen Pendels. →

• Der Durchmesser D des schwingenden Körpers ist sehr klein gegen die Fadenlänge L ( ). LD <<

• Die Masse des Fadens soll sehr klein sein gegen die Masse m des schwingenden Körpers (

Fmmm <<F ).

• Der Faden ist notwendig starr angenommen, er ist also nicht dehnbar.


• Feder-Masse-System (→ Pendel – Federpendel ) • Federpendel Einem Federpendel oder Feder-Masse-System liegen folgende Modellvorstellungen zu Grunde: Die Charakteristik der Feder folgt einem → linearen (HOOKEschen) Kraftgesetz.

cyF −=rück

Die Feder soll masselos sein, (d. h., die Massenelemente der Feder brauchen nicht beschleunigt zu werden und ihre kinetischen Energien müssen deshalb nicht berücksichtigt werden). Es treten keine äußeren Widerstandskräfte auf, d. h., der Körper der Masse m soll sich auf der Unterlage reibungsfrei bewegen. • Mathematisches Pendel Ein materieller Punkt der Masse m , der an einem masselosen, starr angenommenen, also nicht dehnbaren, Faden der Länge L aufgehängt ist und in der vertikalen Ebene unter dem Einfluss der Gravitationskraft schwingen kann. Realisiert wird das mathematische Pendel durch ein → Fadenpendel.

• Physikalisches Pendel Ein physikalisches (oder physisches) Pendel ist ein starrer Körper beliebiger Massenverteilung, der im Schwerefeld der Erde so aufgehängt ist, dass er in einer vertikalen Ebene um eine Achse – die aber nicht durch seinen Massenmittelpunkt (oder Schwerpunkt) geht – schwingen kann. S• Reduzierte Pendellänge Für jedes → physikalische Pendel lässt sich – unter der Voraussetzung kleiner Auslenkungen – stets die Länge eines mathematischen Pendels angeben, das die gleiche Schwingungsdauer hat. Aus

redL →

mgdJT Pphys

0 2π=

d Abstand des Massenmittelpunkts S von der Drehachse P m Masse des Körpers

PJ Massenträgheitsmoment bezüglich der Drehachse durch P

g Fallbeschleunigung

und

LgT π= 2math

0

folgt für gleiche Schwingungsdauern die zugehörige Pendellänge – bezeichnet als ’reduzierte Pendellänge‘

mdJL P

red =


• Reversionspendel Sonderform eines physikalischen Pendels mit zwei als Schneiden ausgebildeten verstellbaren Drehachsen (bzw. Drehpunkten), auf deren Verbindungsachse der Massenmittelpunkt liegt.

→

Ist für die jeweilige Schwingung um die beiden Drehachsen die Schwingungsdauer identisch, dann heißt der Achsenabstand reduzierte Pendellänge. →Man kann zeigen, dass ein Fadenpendel, dessen Länge gleich der reduzierten Pendellänge ist, die gleiche Schwingungsdauer hat. Mit einem Reversionspendel kann im Praktikum die Erdbeschleunigung experimentell mit großer Genauigkeit bestimmt werden.

g

Torsionspendel ( Pendel – Drehpendel ) →

Periodendauer Bei einem periodischen Vorgang ändert sich die Lage eines Körpers (oder allgemeiner der Zustand eines Systems) so, dass sich der Zustand in regelmäßigen Zeitintervallen wiederholt: Eine physikalische Größe ändert sich zeitlich derart, dass für alle Zeiten gilt

→

At

)()( tATtA =+

T ist die Periodendauer: T ist dabei das kleinste Zeitintervall, nach dem sich die Funktion wiederholt. )(tA

Die SI-Basis-Einheit ist s1][ =T

Periodizität Die regelmäßige Wiederkehr eines vorgegebenen Musters oder Zustands. Eine physikalische Größe ändert sich zeitlich derart, dass für alle Zeiten t gilt A

)()( tATtA =+ ,

d. h. nach der Periodendauer T hat die physikalische Größe wieder den Wert .

→ A)(tA

Die angegebene Gleichung formuliert die mathematische Bedingung für zeitliche Periodizität. Physikalisches Pendel ( Pendel – Physikalisches Pendel ) →

Reduzierte Pendellänge ( Pendel – Reduzierte Pendellänge ) →

Reibung In einem schwingungsfähigen System treten Widerstands- oder → Dämpfungskräfte auf, die mechanische Energieformen in nicht-mechanische Energieformen überführen. Dies führt zur Dämpfung von Schwingungsbewegungen. Man beobachtet eine zeitabhängige Abnahme der Auslenkung. Für die zumeist idealisierende Annahme der Reibungsfreiheit in der Schwingungslehre ist das Standardbeispiel ein ungedämpftes Feder-Masse-System für das Reibungsfreiheit gilt.

→


• Reibungsgesetze Äußere Reibung – Festkörperreibung – Trockene Reibung – COULOMBsche Reibung: Der Betrag der Reibungskraft ist unabhängig von der Geschwindigkeit des Körpers.

const.reib =Fr

Innere Reibung – Flüssigkeitsreibung – Viskose Reibung: Der Betrag der Reibungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit des Körpers.

vF ~reibr

Viskose Reibung ist die Bedingung für das exponentielle Abklingen von Schwingungsbewegungen. Turbulente Reibung – Luftreibung: Der Betrag der Reibungskraft ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit des Körpers.

2reib ~ vFr

Reihenentwicklung Jede – in Physik und Technik interessierende – Funktion lässt sich in eine Reihe entwickeln. Beispiele sind die Reihenentwicklungen der Sinus-/Kosinus-Funktion

K−+β−β+β−β=β 753!7

1!5

1!3

1sin

K−+β−β+β−=β 642!6

1!4

1!2

11cos

Lies im Nenner das Symbol ’!’ als ’Fakultät‘; es ist 123!3 ⋅⋅= und usw. 12345!5 ⋅⋅⋅⋅=Die Reihenentwicklung der Sinus-Funktion ist die Grundlage der → Linearisierung von Differentialgleichungen in der Schwingungslehre. Ihr Taschenrechner benutzt diese Reihenentwicklungen, um einen eingegebenen Wert mit jeder gewünschten Genauigkeit auszurechnen. Resonanz Bei harmonisch erzwungenen Schwingungen können kleine Ursachen große Wirkungen hervorrufen, wenn die erzwingende Frequenz und die Eigenfrequenz des Systems gewisse Bedingungen erfüllen.

→ →

• Amplitudenresonanz Ein schwingungsfähiges System, das harmonisch angeregt wird (also bei kosinus- bzw. sinusförmiger Anregung), schwingt im → stationären Zustand (nach dem Einschwingvorgang) mit der aufgezwungenen (Kreis)Frequenz

→);( EE fω der

Anregung. Die → stationäre Amplitude bei harmonisch erzwungenen Schwingungen hängt ab vom Kreisfrequenzverhältnis

A→ η des angeregten Systems. Die stationäre

Amplitude erreicht, bei schwacher Dämpfung, ihr (Resonanz)Maximum nahe bei einem Frequenzverhältnis . 1≈η


Amplitudenresonanz liegt vor bei einem (Kreis)Frequenzverhältnis 221 D−=η –

mit der Einschränkung 220 ≤≤ D

Dies unterscheidet sich von der Energieresonanz, zu der ein Frequenzverhältnis

→ →1=η gehört.

Die Höhe des Maximums ist abhängig vom Dämpfungsgrad D . →Bei geringer Dämpfung ( ) kann dies zur Resonanzkatastrophe führen. 0→D →

• Energieresonanz Ein schwingungsfähiges System, auf das eine zeitlich harmonisch wirkende Anregung ausgeübt wird, schwingt nach dem Einschwingvorgang im stationären Zustand mit der Frequenz der Anregung.

→ →

Im Unterschied zur Amplitudenresonanz hat das schwingungsfähige System ein Energiemaximum, wenn die (Kreis)Frequenz des anregenden Systems und die Eigen(kreis)frequenz des angeregten Systems gleich sind, also für ein

Kreisfrequenzverhältnis .

→);( EE fω

);( 00 fω→ 1=η

Da die Phasenverschiebung zwischen der Anregung und der Antwort des Systems

dann 2π beträgt, wird dem schwingungsfähigen System zu jedem Zeitpunkt Energie

zugeführt, und zwar unabhängig vom Dämpfungsgrad . → D

• Resonanzamplitude Die größte Amplitude eines harmonisch angeregten gedämpften schwingungsfähigen Systems im → stationären Zustand.

→

Die zugehörige (Kreis)Frequenz resres, fω ( Resonanz(kreis)frequenz) ist stets kleiner als die Eigen(kreis)frequenz

→

00, fω des angeregten Systems.

( Amplitudenresonanz und → Energieresonanz). →

• Resonanz(kreis)frequenz Die charakteristische Frequenz eines harmonisch angeregten schwingungsfähigen Systems bei der die stationäre Amplitude im eingeschwungenen Zustand ein Maximum hat. Bei → viskoser Dämpfung ist die Resonanz(kreis)frequenz stets kleiner als die → Eigen(kreis)frequenz

→resres, fω

0ω des schwingungsfähigen Systems. Je kleiner der → Dämpfungsgrad D ist, um so näher liegt die Resonanz(kreis)frequenz an der Eigen(kreis)frequenz ; für das → (Kreis)frequenzverhältnis gilt also

resres, fω → 00, fω1→η

• Resonanzkatastrophe Die → Resonanzamplituden bei harmonisch erzwungenen Schwingungen können bei geringer Dämpfung, also kleinen Dämpfungsgraden , sehr groß werden. Hinweis: Damit wird allerdings die Differentialgleichung, die bei eindimensionalen Schwingungen ein → lineares Kraftgesetz und bei Drehschwingungen ein lineares Drehmomentengesetz voraussetzt, hinfällig.

→ 0→D

→Eine große Resonanzüberhöhung kann deshalb zur Zerstörung des schwingungsfähigen Systems führen, d. h. zur ’Resonanzkatastrophe‘.

→


• Resonanzüberhöhung Als Resonanzüberhöhung u bezeichnet man den Zahlenfaktor, der sich als Quotient aus der Resonanzamplitude eines Feder-Masse-Systems und der statischen

Auslenkung c

Fy Estat

ˆ= bestimmt.

Die Resonanzüberhöhung u berechnet sich für ein Feder-Masse-System aus dem Dämpfungsgrad zu

→→ D

212

1

DDu

−=

Reversionspendel ( Pendel – Reversionspendel ) →

Richtmoment Drehfederkonstante →

Rückstellkraft / Rückstellmoment Auf physikalische Systeme, die aus ihrer Ruhelage ausgelenkt werden, wirken bei Translation bzw. Rotation jeweils rückstellende Kräfte bzw. Drehmomente, die versuchen, das System in die Ruhelage zurückzubringen. Einfache Verhältnisse und damit einfache, lineare Differentialgleichungen erhält man für lineare Kraft- bzw. Drehmomentengesetze. Stationärer Zustand Allgemein: Zustand, bei dem sich zeitlich nichts ändert, d. h., die (partiellen) Ableitungen nach der Zeit werden null. Speziell: Bei → erzwungenen Schwingungen der eingeschwungene Zustand (eine harmonische Schwingung) mit zeitlich konstanter → Amplitude.

→

Satz von STEINER → STEINERscher Satz Schwingfall Im Schwingfall erhält man für → viskos gedämpfte schwingungsfähige Systeme zeitlich exponentiell abklingende Schwingungen. Für lineare Schwingungen ( Feder-Masse-System) →

)cos(ˆ 0d00 ϕ+ω= ω− teyy tD

Für Drehschwingungen analog ( Drehpendel) →

)cos( 0dmax0 ϕ+ωβ=β ω− te tD

Der Dämpfungsgrad für den Schwingfall liegt im Intervall → 1 0 <≤ D . Für die Kreisfrequenz viskos gedämpfter Schwingungen gilt dω →

20d 1 D−ω=ω

Schwingungen • Bewegungsformen schwingungsfähiger System

(Standardbeispiele: Federpendel und Drehpendel) → →

• Freie Schwingungen Wird ein schwingungsfähiges System einmalig, also durch einen einmaligen Anstoß, zu Schwingungen angeregt und anschließend sich selbst überlassen, so spricht man von freien Schwingungen.


• Erzwungene Schwingungen Wird ein schwingungsfähiges System von außen periodisch/harmonisch angestoßen, so nennt man die sich einstellende Bewegungsform eine erzwungene Schwingung. In der Schwingungslehre wichtig ist der Fall, bei dem eine harmonische Anregung auf ein schwingungsfähiges System einwirkt, also für ein Feder-Masse-System folgende harmonische Krafteinwirkung gilt

→→

)cos(ÊEerzw tFF ω=

• Gedämpfte Schwingungen Ein schwingungsfähiges System führt gedämpfte Schwingungen aus, wenn äußere

Reibungskräfte wirken. →Reibungskräfte verringern die Auslenkungen und damit den Energieinhalt eines schwingungsfähigen Systems solange, bis das System zur Ruhe kommt. Besonders wichtig ist der häufige Fall → viskoser Reibung. Die Auslenkungen nehmen dann exponentiell ab.

→ Federpendel )cos( 0d0 ϕ+ω⋅⋅= δ− teyy t

→ Drehpendel )cos( 0d0 ϕ+ω⋅⋅β=β δ− te t

• Ungedämpfte Schwingungen Ein schwingungsfähiges System führt ungedämpfte Schwingungen aus, wenn Dämpfungs- bzw. Widerstandskräfte (Reibungskräfte) vernachlässigt werden können, also idealisierend für einen → Dämpfungsgrad 0=D . Ungedämpfte Schwingungen werden durch harmonische Funktionen beschrieben →

→ Federpendel )cos(ˆ 00 ϕ+ω= tyy

→ Drehpendel )cos( 00max ϕ+ωβ=β t

Die → Amplituden bzw. und damit auch der Energieinhalt eines Systems ändern sich bei ungedämpften Schwingungen nicht (keine Energieverluste durch Reibung).

y maxβ

STEINERscher Satz (’parallel axis theorem’) Ein räumlich ausgedehnter Körper der Masse hat um eine Achse mit Abstand vom Massenmittelpunkt S das Massenträgheitsmoment , wobei gilt

m dPJ

2SP mdJJ +=

Dabei ist das Massenträgheitsmoment bezüglich einer zur betrachteten Achse durch P parallelen Achse durch den Massenmittelpunkt S des Körpers.

SJ

STOKESsche Reibung ( Viskose Reibung ) →

Torsionspendel ( Pendel – Drehpendel ) →

Viskose Reibung Bei viskoser Reibung ist für ein Federpendel die Reibungskraft → reibF

r proportional

zum Betrag der Geschwindigkeit und der Geschwindigkeitsrichtung entgegen gerichtet.


Man nennt diese Reibung auch → STOKESsche Reibung. Es gilt ybvbF &−=−=reib

Der Dämpfungskoeffizient ist als positive Größe definiert. → b

Für → Drehschwingungen ist das Reibungsmoment reibMr

proportional zum Betrag

der Winkelgeschwindigkeit und der Richtung der Winkelgeschwindigkeit entgegen gerichtet. Es gilt

β−= ∗ &bMreib

Der Dämpfungskoeffizient ist als positive Größe definiert. → ∗bWinkelgeschwindigkeit Die Winkelgeschwindigkeit ω ist bei einer gleichförmigen Kreisbewegung definiert als der Quotient aus dem in einer Periode überstrichenen Winkel und der dazu benötigten Zeit (Umlaufzeit oder Periodendauer). Formelmäßig ergibt dies

→

fT

π=π

=ω 22

Die SI-Einheit ist . 1s1][ −=ω

Allgemeine Definition für nicht-gleichförmige Bewegungen der Translation und Rotation analog zur Definition der Geschwindigkeit bei eindimensionalen Bewegungen: Translation Rotation Zurückgelegter Weg x Überstrichener Winkel ϕ

Geschwindigkeit txv

dd

= Winkelgeschwindigkeit td

dϕ=ω

Beschleunigung 2

2

dd

dd

tx

tva == Winkelbeschleunigung 2

2

dd

dd

ttϕ

=ω

=α


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SCHWINGUNGSLEHRE-Skript (1)