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Mechanik diskreter Systenie und allgemeine Dynamik - T 60 lliid 3. Relativer Aufliegergierwinkel p1 bei verdgert ansprechender A nh8ngerlmmsc. mit dcr Pahrgeschwindigkeit P zu Brcmsheginn als Parameter, lihrr ilcr vom llrems- Brginn nn verstrictienen Zeitl aufgetragrn 4 Ilild 2. Realteile des groOten Eigenwertes der Matrix A@) (1) Rlder der Hinterachse der Sattelzugmaschine blockierrn (2) Vcrzogerten Ansprechen der Anhlngerbremw (3) llgder der Anhingerachse blockieren (4) Uremsung mit rollendon Riidern (5) ltiiiler der Vorderachse der Zugmmchine blockieren Es ergab sich nur im Fall 5 ein stets stabiler Bewegungsverlauf. Fur alle anderen Fiille konnte durch Integration des nichtlinearen Systemes (1) mit geeigneten Anfangsbedingungen (gestreckte Zuglage, zwei kleine Winkelgeschwindigkeiten der beiden Fahrzeugteile um die z-Achse mit entgegengesetzten Vorzeichen) fur hohere Fahrgeschwindigkeiten zu Bremsbeginn ein instabiler Bewegungsablauf nachgewiesen werden. In Bild 3 ist diese Rechnung fur den Fall 2 von Bild 2 durchgefuhrt. Es zeigt sich fur diesen Fall eine sehr gute Obereinstimmung, die vermuten liiBt', dalj die obigen hinreichenden Bedingungen des Satzes 2 den not- wendigen Bedingungen sehr nahe kommen. Literatur 1 SLIBAR, A. und TROGER, H., Das Fahrverhalten des Sattelaufliegers im stationaren Fahrvorgang, ATZ 1972. 2 SLIBAR, A. und TROOER, H., Das Fahrverhalten des Sattelaufliegers im instationaren Fahrvorgang bei verzogertrr Anhiingcr- 3 HAHN, W., Stability of Motion, Springer, 1967. 4 MAGNUS, K., Uber ein Verfahren zur Untersuchung niehtlinearer Schwingnngs- und Regelungssysteme, VD1-Forschungsheft 5 SANSONE, G. and CONTI, R., Nonlinear Differential Equations, Pergamon Press, 1964. G SAUER, R. und Sza~6, I., Mathematische Hilfsmittel de8 Ingenieurs, Teil 1, Springer, 1967. Anschrift: Dipl. Ing. Dr. techn. HANS TROGER, 2. Institut fiir Mechanik, T. H. Wien, A-1040 Wien, Karlsplatz 13, Osterreich bremsung, ATZ 1973. 451 (1955). ZAMM 63, T 60 -T 62 (1973) E. WARNCRE Selbsterregte Schwingungen eines in Gleitlagern laufenden starren Rotors In Gleitlagern laufende, unwuchtfreie Maschinenwellen konnen selbsterregte Schwingungen ausfiihren, [ 11. Der Olfilm in den Lagern wirkt dabei sowohl ddmpfend als auch anfachend. Die notwendige Energie wird dem Antrieb entnommen. Die Olfilmkriifte in den Lagern hangen von der Drehzahl und - nichtlinear - von den Lagekoordinaten und der Geschwindigkeit des Wellenzapfens in der Lagerschale ab. Damit sind die Bewegungsgleichungen zur Untersuchung des Schwingungsverhaltens der Welle nichtlinear. Da selbsterregte Schwingungen sicher dann auftreten, wenn die Gleichgewichtslage der Welle instabil jst, wird in vielen Veriiffentlichungen die Stabilitat, mit, um die Gleichgewichtslage linearisierten Bewegungs-

Selbsterregte Schwingungen eines in Gleitlagern laufenden starren Rotors

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Mechanik diskreter Systenie und allgemeine Dynamik - T 60

lliid 3. Relativer Aufliegergierwinkel p1 bei verdgert ansprechender A nh8ngerlmmsc. mit dcr Pahrgeschwindigkeit P zu Brcmsheginn als Parameter, lihrr ilcr vom llrems- Brginn nn verstrictienen Zeit l aufgetragrn

4 Ilild 2. Realteile des groOten Eigenwertes der Matrix A @ ) (1) Rlder der Hinterachse der Sattelzugmaschine blockierrn (2) Vcrzogerten Ansprechen der Anhlngerbremw (3) llgder der Anhingerachse blockieren (4) Uremsung mit rollendon Riidern (5) ltiiiler der Vorderachse der Zugmmchine blockieren

Es ergab sich nur im Fall 5 ein stets stabiler Bewegungsverlauf. Fur alle anderen Fiille konnte durch Integration des nichtlinearen Systemes (1) mit geeigneten Anfangsbedingungen (gestreckte Zuglage, zwei kleine Winkelgeschwindigkeiten der beiden Fahrzeugteile um die z-Achse mit entgegengesetzten Vorzeichen) fur hohere Fahrgeschwindigkeiten zu Bremsbeginn ein instabiler Bewegungsablauf nachgewiesen werden. In Bild 3 ist diese Rechnung fur den Fall 2 von Bild 2 durchgefuhrt. Es zeigt sich fur diesen Fall eine sehr gute Obereinstimmung, die vermuten liiBt', dalj die obigen hinreichenden Bedingungen des Satzes 2 den not- wendigen Bedingungen sehr nahe kommen.

Literatur 1 SLIBAR, A. und TROGER, H., Das Fahrverhalten des Sattelaufliegers im stationaren Fahrvorgang, ATZ 1972. 2 SLIBAR, A. und TROOER, H., Das Fahrverhalten des Sattelaufliegers im instationaren Fahrvorgang bei verzogertrr Anhiingcr-

3 HAHN, W., Stability of Motion, Springer, 1967. 4 MAGNUS, K., Uber ein Verfahren zur Untersuchung niehtlinearer Schwingnngs- und Regelungssysteme, VD1-Forschungsheft

5 SANSONE, G. and CONTI, R., Nonlinear Differential Equations, Pergamon Press, 1964. G SAUER, R. und S z a ~ 6 , I., Mathematische Hilfsmittel de8 Ingenieurs, Teil 1, Springer, 1967.

Anschrift: Dipl. Ing. Dr. techn. HANS TROGER, 2. Institut fiir Mechanik, T. H. Wien, A-1040 Wien, Karlsplatz 13, Osterreich

bremsung, ATZ 1973.

451 (1955).

ZAMM 63, T 60 -T 62 (1973)

E. WARNCRE

Selbsterregte Schwingungen eines in Gleitlagern laufenden starren Rotors

In Gleitlagern laufende, unwuchtfreie Maschinenwellen konnen selbsterregte Schwingungen ausfiihren, [ 11. Der Olfilm in den Lagern wirkt dabei sowohl ddmpfend als auch anfachend. Die notwendige Energie wird dem Antrieb entnommen.

Die Olfilmkriifte in den Lagern hangen von der Drehzahl und - nichtlinear - von den Lagekoordinaten und der Geschwindigkeit des Wellenzapfens in der Lagerschale ab. Damit sind die Bewegungsgleichungen zur Untersuchung des Schwingungsverhaltens der Welle nichtlinear.

Da selbsterregte Schwingungen sicher dann auftreten, wenn die Gleichgewichtslage der Welle instabil jst, wird in vielen Veriiffentlichungen die Stabilitat, mit, um die Gleichgewichtslage linearisierten Bewegungs-

Mechanics of Discrete Systems and General Dynamics T 61

gleichungen untersucht. Diese ,,lokale“ Stabilitat, schlie8t jcdocli selbstcrregtc Schwingungcn nicht aus,

Einen besseren Oberblick iiber das Schwingungsverhalten der Welle erhalt man durch systematische Berechnung und geeignete Darstellung der psriodischen Losungen der nichtlinearen Bewegungsgleichungen. Das wird im folgenden am Beispiel eines starren Rotors gezeigt.

Der Rotor, Bild 1, ist symmetrisch aufgebaut und in zwei gleichen, zylindrischen Gleitlagern gelagert. Er dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit 4. Wir unter- suchen Bewegungen, bei denen die Roforachse parallel zur Ausgangslage bleibt’. Dann entfallen Kreiselwirkungen. Mit

masse m und den Koordinaten x, y des Schwerpunktes S I-/-- lauten die Bewegungsgleichungen

______ _-

PI, P I .

~ k’=tIjJ; --act den olfilmkraften K,, K,, dem Rotorgewicht G, der Rotor- u -

z

. i-2

m x - K K , = O , m y - K K , + G = O ; . * d/dt . ( 1 ) uild I . Stnrrer notor. Icoordiunteii uud lcriifte

w ii neniicn die zuridchst unbekannte Kreisfrequcnz dcr gosuchtcn p”odische11 Losungen cu u11d fuhrcn dic Zeittransformation t = w t ein. Diese Losungen wcrdcn tlann 2 n-periodisch in t. Mit bczogencn Koordi- naten ( , q anstelle von x, y erhalt man die Bewegungsglcichungcn in dimensionsloser Form:

( 2 ) ( W / W 5” - p E”e(E, 7, E ’ , 17‘) = 0 , (w/Q)’ v‘‘ - J’q(5,7?, t’, q’) + 8 = 0 ; = d / d t .

f i und 6 sind Parameter dcs Systems, sie enthalten die Drehzahl aowie die Daten des Rotors uncl clcr Lager. Dic Funktionen Ft, Fq sind bezogcne Olfilmkrafte naoli OTT [4].

Zur Ermittlung periodischer Losungen von (2) verwenden wir das GALmKIN-Verfahren in der E’assung von URABE und REITER [5 ] . Mit den 2 n-periodischcn Rnsatzfunktionen

- 6 = a, + 2 ai cos i z + 2 a N + ( sin it,

i i

ij = 6, + 2 bi cos i t -1 2 b X i i sin i t ; ( i = 1 , . * ., N ) i i

(3)

fiihrt es die Berechnung von Naherungslosungen aiif die Bestimmung der 4 N $- 2 liocffizienten u,, b, aus 4 N + 2 nichtlinearen Gleichungen zuriick, fur die wir formal schreiben:

4% b,, w , j% 4 = 0 , ( j = O , . . . , 2 N ; k = 1 , . . .,4 N + 2 ) . (4 ) Neben den Koeffizienten a,, b, ist in (4) auch die Frcqueiiz w unbekannt. Diese Unbestimmtheit dcs Glei- chungssystems (4) beseitigt man durch eine zusatzliche Redingung fur die Koeffizienten al, b,; z. B. legt man a, zahlenmafiig fest. Damit wird die bej unserem autonomen Problem frei wahlbrtre Phasenlage der periodi- schen Losung fixiert.

Die Berechnung der Unbekannten aus (4) erfolgt n unierisrli mit eineni NEWTON-Verfahren, ohne daIJ die Gleichungen (4) formelmafiig aufgestellt werden miisscn.

In Bild 2 und 3 Bind einige Ergebnisse der Rechnungen dargestellt. Dic Bahnkurven deu Schwerpunktes S in Bild 2 werden mit Iireisfrequenzen w = (0,41 . . . 0,44) D durchlaufen. Es handelt sich um die bekanntc HaZbdrehfrequenzschuri?~gung, [2].

Die Abhangigkeit der Lbsungen von einem Parameter kann man ubersicht81ich in einem Verzweigungs- cliagramni darstellen. Dazu ist in Bild 3 der Iioeffizient bA , iiber dem Parameter p aufgetragen. Jeder Yunkt auf der Verzweigungskurve entspricht einer Irbsiing, die gekenrrzeichnetcn Yunkte 1-5 gehoren zu

T 62 Rlechanik diskreter Systenie wid allgemeine Dynainik

den in Bild 2 dargestellten Bahnkurven (periodjschen Losungen). Auf der B-Achse liegen die Gleichgewichts- lagen (konst'ante Losungen). Bei = P B (Punkt, 6) zweigen die periodischen von den konstanten Losungen ab.

Anhand von Bild 3 liiI3t sich das Schwingungsverhalten des Rotors diskutieren: I m Bereich /I < P A stellt sich nach einer Storung die Gleichgewichtslage wieder ein, weil sie stabil ist.

I m Bereich P A < P < p B gibt es neben ciner stabilen Gleichgewichtslage eine stabile periodische Liisung. Nach ejner Storung sind also trotz Stabilit,at dw Gleichgewichtslage selbsterregte Schwingungen moglich, was mail mit einer lincarisierten Rechnung nicht, erkennt. Fur j > P e ist die Gleichgewichtslage instabil. Der Rotor schwingt - abgesehen von Einschwingvorgangen - entsprechend der stabilen periodischen Losung.

Bei langsamer Veranderung des Parameters j, z. B. durch Verandern der Rotordrehzahl, treten bei / I A und P B Spriinge auf. Steigt 0 iiber j B hinaus, schwingt der Rotor bei /IR von der Gleichgewichtslage in die periodische Losung ein. Bei einer darauffolgcnden Verminderung von unter / I A wird zunachst der stabile periodischc A s t bis zum Punkt, 3 durchlaufen, dann erfolgt ein Sprung zu der stabilen Gleichgewichtslage.

Literabur 1 CAMERON, A., The principles of lubrication, Longmans, London 1966. 2 SOMEYA, T., Stabilitiit einer in zylindrischen Gleitlagern Iaufenden, unwuchtfreien Welle, Diss. ICitrlsruhe 1962. 3 TONDL, A, , The effect of an elastically-suspended foondnt,ion mass and its damping on the initiation of selfexcited vibrations

4 OTT, H. H., Zylindrischc Gleitlager bei instationiirer 13olastung, Uiss. 15. T. H. Ziirich 1948. 5 URABE, M. and REITER, A., Numerical computat,ion of nonlinear forced oscillations by Galerltin's procedure, Journ. of

of a rotor mounted in airpressurized bearings: Univ. of Sorit,hampton, Gas bearing Synip. 1971.

math. iinal. and appl. 14, 107-140 (1966).

AzsehriJt: Dr.-liig. E. WARNOKE, 33 Bramischweig, TU 13ra~unschweig, hleclianikze~~trum, BBD