Seminar 3-D Grafik Mathematische Grundlagen, Räume ...pilop/3D-basics.pdf · Seminar 3-D Grafik Mathematische Grundlagen, Räume, Koordinatensysteme, Projektionen Hermann Schwarz

Seminar 3-D Grafik

Mathematische Grundlagen, Räume, Koordinatensysteme, Projektionen

Hermann Schwarz

Marko Pilop

2003-11-20

http://www.informatik.hu-berlin.de/~pilop/3D_basics.pdf

{hschwarz|pilop}@informatik.hu-berlin.de

1. Vektoren und Vektorräume

2. Matrizen und Matrizenmultiplikation

3. Darstellung von Objekten in 2- und 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystemen3.1. Linien, Ebenen, deren Schnittpunkte und Schnittgeraden3.2. Polygone und deren Flächeninhalte

4. Geometrische Transformationen im 2- und 3-dimensionalen Koordinatensystem

4.1. Translation4.2 Skalierung4.3 Rotation

5. Homogene Koordinaten und Matrixdarstellung von Transformationen in homogenen Koordinaten

5.1. Translation und Rotation

5.2. Skalierung, Spiegelung, Projektion und Scherung

5.3. Verknüpfung von Transformationen

5.4. Inverse Transformationen

Vektoren und VektorräumeVektoren und Vektorräume


Vektorraum

Menge V mit Addition und skalarer Multiplikation, für die Vektorraumaxiome gelten

Vektor

Element des n-dimensionalen Euklidischen Zahlenraums

n

IR , representiert durch seine reellwertigen Koordinaten

x1, ........, xn in IR,

geschrieben als Zahlentupel (n-Tupel)


Linearkombination

x, y, z linear unabhängig,

falls es für keinen von deneneine Linearkombination deranderen gibt


Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier

Vektoren x und r resultiert

in einer skalaren Größe.

Länge oder Betrag eines

Vektors p

Wenn r z s Y r A s = 0


Matrizen und MatrizenmultiplikationMatrizen und Matrizenmultiplikation

Matrizen und Matrizen und MatrizenmultiplikationMatrizenmultiplikation

Die 3x3 Matrix

Das Produkt der Matrix A mal Spaltenvektor x


Multiplikation zweierMatrizen

beide Matrizen aus demselbenVektorraum !

Matrizenmultiplikation imallgemeinen nicht kommutativ!


Enxn =

Amxn @ Enxn = Amxn


1...0

.....

.....

0.010

0..01

Darstellung von Objekten in 2Darstellung von Objekten in 2-- und 3und 3--dimensionalen kartesischen dimensionalen kartesischen

KoordinatensystemenKoordinatensystemen

Darstellung von Objekten in 2Darstellung von Objekten in 2--und 3und 3--dimensionalen dimensionalen

kartesischen kartesischen KoordinatensystemenKoordinatensystemen

Dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem

Ein Punkt a: repräsentiert durch ein Ortsvektor

Richtung von Punkt a nach Punkt b : repräsentiert durch ein Richtungsvektor (Differenzvektor v=b-a)



Linie und Liniensegment



Ebene

wird durch zwei linear unabhängige Vektoren aufgespannt

parametrische Form:



Darstellung eines Dreiecks

Dreieck – durch a, b, und c begrenzte Ebene

Kreuzprodukt

definiert durch folgende Determinante



Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks mit Hilfe des Kreuzproduktes

Flächeninhalt =



Implizite (allgemeine) Form einer Ebenengleichung

aus

und p A n = 0 œ Geraden p auf der Ebene

folgt : œ p‘ (Punkte der Ebene)Y

Allgemeine Gleichung



, ( Flächennormale n = r x s )

durch Normierung (Division jeder Gleichungkomponente

durch den Betrag des Normalenvektors) erhält man

Hessesche Normalform der Ebenengleichung:

n A P – d = 0

oder

n A P = d ,

Wobei d = q A n Abstand der Ebene zum

Koordinatenursprung ist.

q – Punkt aus der parametrischen Form

n – der normierte Normalenvektor der Ebene



Abstände zwischen zwei Punkten

gleich dem Betrag des Differenzvektors

Winkel zw. Zwei Vektoren



Winkel zw. Gerade und Ebene

Y Winkel zw. Richtungsvektor der Geraden

und Normalenvektor der Ebene

Winkel zw. zwei Ebenen

Y Winkel zw. Normalenvektoren dieser

Ebenen



Linie-Ebene-Schnitt

Durch Substituieren von 8s in die Geradengleichung

Schnittpunkt S = a + 8s A b



Ebene-Ebene-Schnitt

na x nb = r

P = (x, y, z)Y l = P + 8 A r



Konvexe und nicht-konvexe Polygone und deren Flächeninhalte

Unterteilung der Polydonfläche in Dreiecke

Die Formel gilt sowohl für konv. Als auch nicht-konvexe Polygone



Geometrische Transformationen im 2Geometrische Transformationen im 2--und 3und 3--dimensionalen dimensionalen KoordinatensystemKoordinatensystem

Geometrische Transformationen Geometrische Transformationen im 2im 2--dimensionalen dimensionalen KoordinatensystemKoordinatensystem

Translation

Zu jedem Punkt des Objekts den Verschiebungsvektor Addieren

Geometrische Transformationen Geometrische Transformationen im 2im 2-- und 3und 3--dimensionalen dimensionalen

KoordinatensystemKoordinatensystem

Skalierung (Streckung oder Stauchung)

Skalare Multiplikation der Ortsvektore des Objekts mit dem Skalierungsfaktor

Uniforme und nicht-uniforme Skalierung



Rotation

Polarkoordinaten des Punktes P

Koordinaten des neuen Punktes

Rotationsmatrix und Berechnung der Koordinaten des neuen Punktes



Transformationen im 3-dimensionalen Raum in homogenen Koordinaten (nächstes Kapitel)

Translation

Rotation um die z-Achse



Rotation um die x-Achse

Rotation um die y-Achse



Skalierung



Rotation um eine beliebige Achse um einen Winkel Θ

Rotationsmatrix:

R = TA @ Ry" @ Rx-$ @ Rz2 @ Rx$ @ Ry-" @ T-A



Homogene Koordinaten und Homogene Koordinaten und Matrixdarstellung von Matrixdarstellung von

Transformationen in homogenen Transformationen in homogenen KoordinatenKoordinaten

Homogene Koordinaten und Homogene Koordinaten und Matrixdarstellung von Matrixdarstellung von Transformationen in Transformationen in

homogenen Koordinatenhomogenen Koordinaten

Homogenes Koordinatensystem

dem zweidimensionalen kartesischen Vektorraum mit x-und y-Koordinaten entspricht ein dreidimensionaler homogener (x,y,w)-Vektorraum



Translation

Translationsmatrix



Rotation



Skalierung



Spiegelung

durch Verwendung negativer

Skalierungsfaktoren

z.B. Spiegelung an der x-Achse:

mit Fx=1 , Fy=-1



Projektion

Skalierungsfaktor=0

z.B. Fx=1, Fy=0 : Projektion an der

x-Achse



Scherung

Translation der x (y)-Koordinate

proportional zur y (x)-Koordinate



GliederungGliederung

Wie es weiter gehtWie es weiter geht

• Abstände

• Punkt-Tests

• Koordinatentransformationen

• View Frustum

• Projektionen

AbständeAbstände

AbständeAbstände

zwischen:

• Punkt – Ebene

• Gerade – Ebene

• Ebene – Ebene

• Punkt – Gerade

• Gerade – Gerade

trivial, wenn ein Schnittpunkt existiert

Punkt Punkt -- EbeneEbene

AbständeAbstände

n – Normalvektor |n|=1

HNF: n·p = d mit p∈R3

n

n·d

Ebene

0

q


AbständeAbstände



n

n·d

Ebene

0

q

q‘

r


AbständeAbstände



Abstand des Punktes q von der Ebene: n·q - d

n

n·d

Ebene

0

q

q‘

r


AbständeAbstände

Damit dann auch

• Gerade – Ebene(ein Punkt der Geraden wählen)

• Ebene – Ebene( ein Punkt der Ebene wählen)

berechenbar

Gerade Gerade -- GeradeGerade

AbständeAbstände

v x w

||v x w||

na

b = dd.h. wir konstruieren eine Fläche, senkrecht zum Normalenvektor von a, in der b liegt

v

bw

Gerade Gerade -- GeradeGerade

AbständeAbstände

v x w

||v x w||

na

b = dd.h. wir konstruieren eine Fläche, senkrecht zum Normalenvektor von a, in der b liegt

v

bw

und können so den Abstand von azu dieser Ebene bestimmen

n

PunktPunkt--TestsTests


liegt ein Punkt in:

• einem Rechteck ?

• einem Polygon ?

• einem Kreis ?

• in einer Kugel?

Punkt im Polygon?Punkt im Polygon?


P

ϕi

Pi+1Pi

Pn

P…

P…

P1

P0



P

ϕi

Pi+1Pi

Pn

P…

P…

P1

P0

P liegt im Polygon, wenn:

Summe aller ϕi = 2π



P

ϕi

Pi+1Pi

Pn

P…

P…

P1

P0

P liegt im Polygon, wenn:

Summe aller ϕi = 2π

P liegt nicht im Polygon, wenn:

Summe aller ϕi = 0

Punkt im Kreis?Punkt im Kreis?


P

0

rK

Kreis um Mittelpunkt K mit Radius r

Punkt P



P

0

rK0K

0P



P

0

rK0K

0P

0P - 0K



P

0

rK0K

0P

0P - 0K

P liegt im Kreis, wenn:

r < ||0P - 0K||



P

0

rK0K

0P

0P - 0K


r < ||0P - 0K||

P liegt nicht im Kreis, wenn:

r > ||0P - 0K||



P

0

rK0K

0P

0P - 0K


r < ||0P - 0K||

P liegt nicht im Kreis, wenn:

r > ||0P - 0K||

natürlich auf 3D erweiterbar � Kugel

Homogene KoordinatenHomogene Koordinaten

• zusätzliche Dimension einführen (n� n+1)

P(x, y, z) = P(x·wp, y·wp, z·wp, wp)

= P(xp, yp, zp, wp)

• indem man wp= 1 setzt, ist die Rückrechnung einfach

• Vorteil zu kartesischen Koordinaten:

• Translation durch Matrixmultiplikation beschreibbar

• mehrere aufeinanderfolgende Transformationen

können in einer Matrix beschrieben werden

KoordinatenKoordinaten

Homogene Koordinaten Homogene Koordinaten -- BeispielBeispiel

Statt in kartesischen Koordinaten:

Äquivalent in homogenen Koordinaten:




Verschiedene Arten, bzw. Bezugssysteme:

• Lokale Koordinaten

• Welt-Koordinaten

• Kamera-Koordinaten

• Bild-Koordinaten

Können in einander transformiert werden

Lokale KoordinatenLokale Koordinaten


• Auch Objekt- bzw. Modell- bzw. Master-Koordinaten

• Relativ zum Objekt definiert

y

x

z

WeltWelt--KoordinatenKoordinaten


• Wurzel für die Szenenhierarchie

• unabhängig

• Beschreibt Anordnung und Größe der Szenenobjekte

KameraKamera--KoordinatenKoordinaten


• Auch Augen-Koordinaten genannt

• Innerhalb der Welt definiert

• Zentrum ist Augpunkt

• Blickrichtung fokussiert den View Reference Point

• Definiert das View Frustum

BildBild--KoordinatenKoordinaten


• Anordnung der Bildkomponenten

• durch Projektion 3D � 2D









KoordinatentransformationenKoordinatentransformationen


Komplementär zu Transformationen von Objekten

Objekte bleiben fest, Koordinatensystem ändert seine Lage und eventuell seine Form

Zum Beispiel müssen wir

• Lokale Koordinaten in Welt-Koordinaten

• Welt-Koordinaten in Kamera-Koordinaten

überführen

ViewingViewing--PipelinePipeline


• Lokale Koordinaten � Welt-Koordinaten

(Translation, Rotation, Skalierung)

• Welt-Koordinaten � Kamera-Koordinaten

Koordinatensystemwechsel:

xy-Ebene = Bildebene

Auge liegt bei z = VPD

• Kamera-Koordinaten � Normalisierte Projektions-Koor.

View Frustum auf Einheitswürfel abbilden

• Norm. Projektions-Koordinaten � Bild-Koordinaten

Lokale Koordinaten Lokale Koordinaten �� WeltWelt--KoordinatenKoordinaten


• Objekte liegen als Prototypen vor

• Definitionspunkte unabhängig von späterer Größe und Position im Welt-Koordinatensystem

• Ursprung des Lokalen Koordinatensystems im Zentrum des Objektes

• Beim Modeling erhalten Objekte im Welt-Koordinatensystem ihre individuelle Größe, Orientierung und Position durch:

Skalierung, Rotation und Translation


1. Modell-Koordinatensystem liegt deckungsgleich zum Weltkoordinatensystem

2. Modell-Koordinatensystem durch schrittweise Ausführung von Einzeltransformationen in die gewünschte räumliche Lage bringen

3. Objekt im Weltkoordinatensystem abbilden

4. Objektkoordinaten aller Objektpunkte mit den Transformationsmatrizen multiplizieren




2) Rotation R2um y-Achse

3) Rotation R3um x-Achse

1) Rotation R1um z-Achse

Sei Q(x, y, z, 1) Punkt eines Objektes:

(QWC)T = R3·R2·R1·(QMC)T

ViewView FrustumFrustum

ProjektionenProjektionen

Front-, Back-Plane

• damit nahe Objekte nicht ganze Szene verdecken

• entfernte Objekte erscheinen ganz klein



Abbildung eines Vektors x aus einem n-Dimensionalen Vektorraum X auf einen Vektor aus einem m-Dimensionalen Unterraum U

Uns beschäftigen Abbildungen des 3D-Raumes auf eine Ebene � planare Projektionen (n=3, m=2)

Projektionen Projektionen -- ÜbersichtÜbersicht


Projektionen

planare geometrische nicht planare

Zentral Parallel

Einpunkt Zweipunkt Dreipunkt orthogonale schiefe

Grund, Auf, Seitenriß Normal-axometrische

isometrisch dimetrisch trimetrisch

Zentralprojektion Zentralprojektion -- EigenschaftenEigenschaften


• auch Perspektivische Projektion genannt




• wir kennen das Projektionszentrum Z (Augpunkt)





• Verzerrung: parallele Linien sehen nicht immer so aus





• Verzerrung: parallele Linien sehen nicht immer so aus

• räumlicher Eindruck durch perspektivische Verkürzung



• Winkel bleiben nur erhalten, wenn die Geraden parallel zur Bildebene sind



• Winkel bleiben nur erhalten, wenn die Geraden parallel zur Bildebene sind

• Parallele Linien schneiden sich in der Unendlichkeit

EinEin--PunktPunkt--PerspektivePerspektive


• Ein Fluchtpunkt F (nur Projektionszentrum)

ZweiZwei--PunktPunkt--PerspektivePerspektive


• zwei Fluchtpunkte F1 und F2 (i .d.R. auf Augenhöhe)

DreiDrei--PunktPunkt--PerspektivePerspektive


• Drei Fluchtpunkte F1, F1 und F3

• zusätzlicher Fluchtpunkt für vertikale Kanten (Frosch- / Vogelperspektive)

• nur geringe Realitätsverbesserung

ParallelprojektionenParallelprojektionen


• Abstand vom Projektionszentrum zur Projektionsebene ist unendlich � parallele Projektionslinien

� Spezialfall der Zentralprojektion

• spiegelt exakte Maße wider

• parallele Linien bleiben parallel

• nur Winkel, die parallel zur Projektionsebene sind, bleiben erhalten

• weniger realistisch (Mangel an perspektivischer Verkürzung)

Orthogonale ParallelprojektionOrthogonale Parallelprojektion


Projektionsrichtung = Normale der Projektionsebene(oder umgekehrt)

� Projektionsstrahlen stehen senkrecht zur Bildebene

AufAuf--, Grund, Grund--, , SeitenrißSeitenriß

Orthogonale ProjektionenOrthogonale Projektionen

• oft für technische Zeichnungen verwendet

• Entfernungen & Winkel können abgemessen werden

• schwierige Interpretation � nicht immer Rekonstruierbar

NormalaxonometrischeNormalaxonometrische ProjektionenProjektionen


• Isometrische Projektion

• Schnittpunkte der Bildebene mit den Hauptachsen sind alle gleich weit vom Ursprung entfernt

• alle Koordinaten werden gleich verkürzt



• Dimetrische Projektion

• Zwei Koorinatenachsen werden in der gleichen Entfernung vom Ursprung geschnitten

• gleiche Verkürzung auf zwei Achsen



• Trimetrische Projektion

• Alle Koorinatenachsen werden in unterschiedlicherEntfernung vom Ursprung von der Bildebene geschnitten

• alle Koordinaten werden unterschiedlich verkürzt

Schiefwinklige Parallelprojektion (Oblique)Schiefwinklige Parallelprojektion (Oblique)


• Projektionsrichtung ungleich der Normalen der Projektionsebene

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