Simulation - hu-berlin.dedidaktik.math.hu-berlin.de/files/simulation_08_09.pdf · Simulation "Gerechte Teilung" n=20 n=100 n=200 n=400 n=800 Nr. abs. rel. abs. rel. abs. rel. abs

Simulation

Elke Warmuth

Humboldt-Universitat Berlin

WS 2008/09

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ZieleBerliner Rahmenlehrplan

UnterrichtsbeispieleAusgewahlte Probleme

1 Ziele

2 Berliner Rahmenlehrplan

3 UnterrichtsbeispieleGerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt

4 Ausgewahlte Probleme1√n-Gesetz

Zufallszahlen vom Taschenrechner

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Was ist Simulation?

Nachspielen von Vorgangen mit zufalligem Ergebnis mit einemZufallsgenerator oder Pseudozufallsgenerator

Simulieren kann man nur auf der Basis eines Modells!

Triviales Beispiel: Geschlecht von Neugeborenen

Modellannahme: P(Junge) = P(Madchen) = 0, 5

Zufallsgenerator: guter Wurfel – Annahme!

Realisierung: 1, 2, 3,→ Junge, 4, 5, 6 → Madchen

Mit den Modellwahrscheinlichkeiten”entstehen“ Jungen und

Madchen

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Ziele:

Erfahrungen mit dem Zufall sammeln

Intuitionen uberprufen/korrigieren

Wirkungen bekannter Wahrscheinlichkeiten erleben

Unbekannte Wahrscheinlichkeiten oder andere Kenngroßenschatzen

Modelle besser verstehen

Auswirkungen von Modellparametern erkunden

Modellbilden uben

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Klasse 9/10

Kompetenzen

Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigenZufallsexperimenten

Tatigkeiten

XXX

schatzen von Wahrscheinlichkeiten aufgrund von Simulationen

Sehr wenig, sehr schade, verschenkte Moglichkeiten

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Gerechte TeilungLosproblemSammelbilderJulklappKernzerfallIrrfahrt

Problem der gerechten Teilung

mein bevorzugtes Einstiegsbeispiel – es ist nicht zu schwer

Weniger ist mehr

Einsatz des Arbeitsblattes ab Klasse 7mit den Aufgaben 1 bis 4

In 9/10 aufgreifen: Modellierung mit Baumdiagrammen,Umgang mit Erwartungswerten

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Gerechte Teilung Anton und Pünktchen spielen ein Spiel, bei dem es kein Unentschieden gibt. Der Sieger erhält in jeder Runde einen Punkt. Beide haben immer dieselbe Gewinnchance 0,5. Gesamtsieger soll sein, wer zuerst 5 Punkte hat. Die Oma hat dem Gesamtsieger 8,- € versprochen. Beim Stand von 3:2 für Anton werden sie gestört und können das Spiel nicht fortsetzen. Anton fordert den gesamten Einsatz für sich ein, da er ja dem Sieg deutlich näher ist. Pünktchen verlangt einen Anteil 40%des Preises, da sie ja 40% der Spiele gewonnen hat. Mit diesem Problem beschäftigte man sich bereits im 15. Jahrhundert. Vollständig gelöst wurde es erst im 17. Jahrhundert durch Blaise Pascal und Pierre Fermat. Viele bezeichnen den Zeitpunkt der Lösung des Problems der gerechten Teilung als die Geburtsstunde der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1. Würdest Du eher der Argumentation von Anton oder eher der von Pünktchen oder keiner von beiden

folgen? Wenn Du keiner folgst, nach welchem Prinzip würdest Du den Einsatz aufteilen? 2. Auch wenn die beiden nicht weiterspielen können, kannst Du durch Simulationen die Wahrscheinlich-

keit schätzen, mit der Anton ausgehend vom gegenwärtigen Spielstand Gesamtsieger wird. Simuliere mit einem Würfel 20 weitere Spielverläufe ausgehend vom Spielstand 3:2. Beschreibe Deine Vor-gehensweise und registriere den jeweiligen Gesamtsieger. Trage in der Zeile „Zeit“ ein, wievielmal Du jeweils würfeln musstest, bis der Gesamtsieger feststand.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Sieger Zeit

3. Gib einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit an, dass Anton Gesamtsieger wird.

Teile den Wetteinsatz im Verhältnis der Siegchancen auf. 4. Ermittle aus deinen Simulationen die Häufigkeitsverteilung für die Anzahl T der Spiele bis zur

Entscheidung.

Werte für T abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit

Berechne die durchschnittliche Anzahl der noch nötigen Spiele. 5. Gib alle Möglichkeiten für den weiteren Spielverlauf an und berechne deren Wahrscheinlichkeiten.

6. Ermittle die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahlen der noch erforderlichen Spiele und bestimme den

Erwartungswert für diese Anzahl.

AB_Gerechte_Teilung_MAM.doc Warmuth, HU Berlin

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Anton und Punktchen spielen ein Spiel, bei dem es keinUnentschieden gibt. Der Sieger erhalt in jeder Runde einen Punkt.

Beide haben immer dieselbe Gewinnchance 0,5. Gesamtsieger sollsein, wer zuerst 5 Punkte hat. Die Oma hat dem Gesamtsieger 8Euro versprochen.

Beim Stand von 3:2 fur Anton werden sie gestort und konnen dasSpiel nicht fortsetzen.

Anton fordert den gesamten Einsatz fur sich ein, da er ja dem Siegdeutlich naher ist. Punktchen verlangt einen Anteil von 40% desPreises, da sie ja 40% der Spiele gewonnen hat.

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Mit diesem Problem beschaftigte man sich bereits im 15.Jahrhundert. Vollstandig gelost wurde es erst im 17. Jahrhundertdurch Blaise Pascal und Pierre Fermat.Viele bezeichnen den Zeitpunkt der Losung des Problems dergerechten Teilung als die Geburtsstunde derWahrscheinlichkeitsrechnung.

Literaturempfehlung

A. Renyi: Briefe uber die Wahrscheinlichkeit. Berlin: DeutscherVerlag der Wissenschaften, 1969

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1. Wurdest Du eher der Argumentation von Anton oder eher dervon Punktchen oder keiner von beiden folgen? Wenn Dukeiner folgst, nach welchem Prinzip wurdest Du den Einsatzaufteilen?

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2. Auch wenn die beiden nicht weiterspielen konnen, kannst Dudurch Simulationen die Wahrscheinlichkeit schatzen, mit derAnton ausgehend vom gegenwartigen Spielstand Gesamtsiegerwird.Simuliere mit einem Wurfel 20 weitere Spielverlaufeausgehend vom Spielstand 3:2. Beschreibe DeineVorgehensweise und registriere den jeweiligen Gesamtsieger.Trage in der Zeile

”Zeit“ ein, wievielmal Du jeweils wurfeln

musstest, bis der Gesamtsieger feststand.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10SiegerZeit

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20SiegerZeit

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3. Gib aufgrund Deiner Simulationen einen Schatzwert fur dieWahrscheinlichkeit an, dass Anton Gesamtsieger wird.Teile den Wetteinsatz im Verhaltnis der Siegchancen auf.

4. Ermittle aus Deinen Simulationen die Haufigkeitsverteilung furdie Anzahl T der Spiele bis zur Entscheidung.

Werte fur T

abs. Haufigkeit

rel. Haufigkeit

Berechne die durchschnittliche Anzahl der noch notigenSpiele.

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5. Gib alle Moglichkeiten fur den weiteren Spielverlauf an undberechne deren Wahrscheinlichkeiten.

6. Ermittle die Wahrscheinlichkeiten fur die Anzahlen der nocherforderlichen Spiele und bestimme den Erwartungswert furdiese Anzahl.

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Hinweise

Wurfelbecher

1, 2, 3→ Anton gewinnt: A4, 5, 6→ Punktchen gewinnt: P

Simulationsbeispiel:3453 → APPA→ Sieger Anton, Zeit: 4

gemeinsame Auswertung zwingend, siehe Excel-Blatt

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Simulation "Gerechte Teilung"

n=20 n=100 n=200 n=400 n=800Nr. abs. rel. abs. rel. abs. rel. abs. rel.1 16 0,802 19 0,953 12 0,60 78 0,784 16 0,805 15 0,75 144 0,726 13 0,657 12 0,608 14 0,70 66 0,669 14 0,70

10 13 0,65 286 0,7211 14 0,7012 15 0,7513 14 0,70 69 0,6914 14 0,7015 12 0,60 142 0,7116 15 0,7517 16 0,8018 15 0,75 73 0,7319 13 0,6520 14 0,70 55221 12 0,60 0,6922 14 0,7023 17 0,85 75 0,7524 16 0,8025 16 0,80 138 0,6926 9 0,4527 14 0,7028 15 0,75 63 0,6329 11 0,5530 14 0,70 266 0,6731 14 0,7032 15 0,7533 13 0,65 63 0,6334 13 0,6535 8 0,40 128 0,6436 14 0,7037 11 0,5538 10 0,50 65 0,6539 14 0,7040 16 0,80

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Baumdiagramm

Gewinnwahrscheinlichkeitfur Anton:

14 + 2

8 + 316 = 11

16 ≈ 0, 69

Anton: 5,50 EuroPunktchen: 2,50 Euro

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Weitere Spiellange:

Anzahl der Spiele 2 3 4

Wahrscheinlichkeit 14

38

38

Erwartungswert der weiterenSpiellange

2 · 14 +3 · 38 +4 · 38 = 258 = 3, 125

Deutung?

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Wer darf zuerst ziehen?

5 Kinder ziehen nacheinander ohne Zurucklegen aus einemTopf mit 5 Losen: 4 Nieten und ein Gewinn.Sie streiten sich uber die Reihenfolge. Ist der Streit berechtigt?

diskutieren lassen

Simulationsideen?

z. B. Wurfel als Zufallszahlengenerator1→ Gewinn, 2, 3, 4, 5 → Niete, 6 → noch mal wurfeln

Bei jedem Durchgang verschwindet eine Augenzahl

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Beispiel

Anzahl der Simulationen voher festlegennicht: die nachste Simulation konnte besser sein

n = 5

5 4 6 5 1 3. Kind gewinnt1 1. Kind gewinnt3 2 2 4 4 5 1 5. Kind gewinnt4 2 2 2 1 3. Kind gewinnt6 6 5 4 2 2 6 5 3 1 5. Kind gewinnt

Ergebnisse zusammentragen

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Baumdiagramm:

P(4. Kind gewinnt) =4

5· 34· 23· 12

=1

5

Streit ist nicht berechtigt.

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Sammelbilderproblem

1. Eine Firma hat eine neue Serie Überraschungseier aufgelegt. Dabei gibt es die 6 beliebtesten Fußballer der Landes im Schlumpfdesign. Insgesamt werden alle 6 Motive in gleicher Anzahl hergestellt. Ihre Verteilung in den Kisten der Supermärkte sei aber völlig zufällig. Max ist begeisterter Fan und möchte natürlich alle Motive haben. Wie oft muss er vermutlich ein Überraschungsei kaufen, bis er alle 6 Fußballer zusammen hat?

2. Simuliere mit Würfeln den oben beschriebenen Prozess.

Notiere dabei die Ausgänge des Würfelns, bis auch die letzte Augenzahl ein erstes Mal erreicht wurde. Eine solche Serie könnte z. B. so aussehen:

3 1 6 1 1 4 6 6 2 2 1 1 5

Bezeichne dann mit x2 die Anzahl der Versuche, die Du benötigt hast, um nach der ersten gewürfelten Augenzahl eine davon verschiedene Augenzahl zu erreichen. Bezeichne mit x3 die Anzahl der Versuche, die Du benötigt hast, um nach den ersten beiden gewürfelten Augenzahl eine davon verschiedene Augenzahl zu erreichen. Usw. Im obigen Beispiel ist x2 = 1, x3 = 1, x4 = 3, x5 = 3 und x6 = 4. Für die erste Augenzahl braucht man immer x1 = 1 Versuch. Man hat also 1+1+1+3+3+4=13 Versuche benötigt, um alle 6 Motive zusammen zu bekommen.

Wir benutzen dieses Beispiel als Muster in der folgenden Tabelle:

Versuch

x1

x2

x3

x4

x5

x6

Gesamtanzahl der

Versuche Muster 1 1 1 3 3 4 13

1 2 3 4 5

Erstelle 5 Serien, die diesen Zufallsversuch simulieren und berechne den Mittelwert x der Anzahl der jeweils benötigten Versuche.

Überlege, welche Werte für x1, x2, ..., x6 zu erwarten sind und welcher Wert sich daraus für x ergibt. 3. Es gibt 120 verschiedene Pokémon-Karten, die man einzeln kaufen muss und die so verpackt sind,

dass man die Motive nicht erkennen kann. Wenn man davon ausgeht, dass vom Hersteller jedes Motiv gleich oft hergestellt wird, bevor die Karten in völlig zufälliger Reihenfolge verkauft werden, stellt sich die Frage, wie viele Karten im Durchschnitt von Eltern gekauft werden müssen, bis ihr Kind alle Motive besitzt. Berechne, welche Anzahl von notwendigen Käufen zu erwarten ist.

AB_Sammelbilderproblem_MAM.doc Lange/Warmuth, Berlin 21 / 45




Sammelbilderproblem

1. Eine Firma hat eine neue Serie Uberraschungseier aufgelegt.Dabei gibt es die 6 beliebtesten Fußballer der Landes imSchlumpfdesign. Insgesamt werden alle 6 Motive in gleicherAnzahl hergestellt. Ihre Verteilung in den Kisten derSupermarkte sei aber vollig zufallig. Max ist begeisterter Fanund mochte naturlich alle Motive haben.Wie oft muss er vermutlich ein Uberraschungsei kaufen, bis eralle 6 Fußballer zusammen hat?

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2. Simuliere mit Wurfeln den oben beschriebenen Prozess.Notiere dabei die Ausgange des Wurfelns, bis auch die letzteAugenzahl ein erstes Mal erreicht wurde. Eine solche Seriekonnte z. B. so aussehen:

3 1 6 1 1 4 6 6 2 2 1 1 5

Bezeichne dann mit x2 die Anzahl der Versuche, die Dubenotigt hast, um nach der ersten gewurfelten Augenzahl einedavon verschiedene Augenzahl zu erreichen. Bezeichne mit x3

die Anzahl der Versuche, die Du benotigt hast, um nach denersten beiden gewurfelten Augenzahlen eine davonverschiedene Augenzahl zu erreichen. Usw.

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3 1 6 1 1 4 6 6 2 2 1 1 5

Im obigen Beispiel ist x2 = 1, x3 = 1, x4 = 3, x5 = 3 und x6 = 4.Fur die erste Augenzahl braucht man immer x1 = 1 Versuch.Man hat also 1 + 1 + 1 + 3 + 3 + 4 = 13 Versuche benotigt, umalle 6 Motive zusammen zu bekommen.

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Wir benutzen dieses Beispiel als Muster in der folgenden Tabelle:

Versuch x1 x2 x3 x4 x5 x6 Gesamtanzahl der Versuche

Muster 1 1 1 3 3 4 13

1

2

3

4

5

6

Erstelle 5 Serien, die diesen Zufallsversuch simulieren und berechneden Mittelwert x der Anzahl der jeweils benotigten Versuche.

Uberlege, welche Werte fur x1, x2, . . . , x6 im Durchschnitt zuerwarten sind und welcher Wert sich daraus fur x ergibt.

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3. Es gibt 120 verschiedene Pokemon-Karten, die man einzelnkaufen muss und die so verpackt sind, dass man die Motivenicht erkennen kann. Wenn man davon ausgeht, dass vomHersteller jedes Motiv gleich oft hergestellt wird, bevor dieKarten in vollig zufalliger Reihenfolge verkauft werden, stelltsich die Frage, wie viele Karten im Durchschnitt von Elterngekauft werden mussen, bis ihr Kind alle Motive besitzt.Berechne, welche Anzahl von notwendigen Kaufen imDurchschnitt zu erwarten ist.

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Hinweise

2.

x1 = 1x2 =?, Erfolgswahrscheinlichkeit: 5

6 .

Bei 100 Kaufen durchschnittlich5

6· 100 mal Gluck.

Durchschnittliche Wartezeit auf ein neues Motiv: 10056 ·100

= 65

Fortsetzung der Idee und Additivitat:

x = x1 + x2 + . . . + x6

= 66 + 6

5 + 64 + 6

3 + 62 + 6

1

= 6 ·(

16 + 1

5 + 14 + 1

3 + 12 + 1

)= 6 · 49

20 ≈ 14, 7

Vergleich mit den Simulationswerten

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3.

Simulation hochstens mit RechnerAnsatz bleibt gleich:

x = 120 ·120∑k=1

1

k

Summe ausrechnen oder abschatzenHarmonische Reihe verhalt sich etwa wie dieLogarithmusfunktion. Genauer:

limn→∞

(n∑

k=1

1

k− (ln(n) + c)

)= 0

c – Eulersche bzw. Mascheronische Konstante, c = 0, 57722....

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Tabelle mit c = 0, 57722

n n ·n∑

k=1

1k Abschatzung Relative

mit Eulerscher AbweichungKonstanten in %

20 71,9548 71,459 0,689

120 644,264 643,765 0,078

250 1525,17 1524,67 0,033

500 3396,41 3395,91 0,015

1000 7485,47 7484,98 0,007

Durchschnittlich 644 Kaufe fur 120 Pokemonkarten

Modellkritik!

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Julklapp-Aufgabe (Klasse 9/10)

n Schuler packen und verteilen Julklapp-Geschenke. Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer sein eigenesGeschenk zieht?

Wenn ein Schuler sein eigenes Geschenk zieht, dann nennenwir das einen Fixpunkt (bei der zufalligen Zuordnung derGeschenke)

n = 6: Zufallsgenerator Urne oder WurfelBeim Wurfeln schon gewurfelte Zahlen ubergehen!Ist das wirklich gleichwertig?

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Schuler 1 2 3 4 5 6 AnzahlFixpunkte

Nr. der Geschenk=Simulation Wurfelzahl

1 6 4 5 461 4163 2 0

2 5 6 1 3 52 4 0

3 3 5 34 1 32 6 1

4 1 4 412 43 235 6 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ergebnisse auswerten, zusammentragen ahnlich wie beim Problemder gerechten Teilung

Wahrscheinlichkeit schatzen

durchschnittliche Anzahl Fixpunkte = 1!

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n = 30

Taschenrechner oder Tabellenkalkulationsprogramm

Pseudozufallszahlen

EXCEL: Befehl Zufallszahl() imitiert das Ziehen auf gut Gluckeiner Zahl aus [0, 1)

Problem: Es muss 30 mal Ziehen ohne Zurucklegen simuliertwerden.

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Mogliche Losung:

1. Neue Nummern zuordnen mit 30 Zufallszahlen aus [0, 1)

Ubereinstimmung praktisch unmoglich33 / 45




2. =KKLEINSTE(Bereich;k) findet die der Große nach k-te Zahlin einer Liste, die Bereich heißt.Mit diesem Befehl werden nun die neuen Nummern sortiert.

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Theoretischer Hintergrund

Fur n unabhangige auf [0, 1) gleichverteilte ZufallsgroßenX1,X2, . . . ,Xn hat jede Reihenfolge dieselbeWahrscheinlichkeit 1

n! .

Eine Anordnung der Große nach ist also stochastischgleichwertig dem Ziehen ohne Zurucklegen.

Plausibel machen fur n = 2 und n = 3(raumliches Vorstellungsvermogen)

Simulation durchfuhrenMit F9 neue Simulation starten.

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Mogliche Fortsetzung in Sek II.

Rekursionsformel fur die Wahrscheinlichkeit von mindestenseinem Fixpunkt bei n Schulern

P(mindestens ein Fixpunkt) ≈ 0, 63 ab n = 6

Auszug aus der Verteilung der Anzahl der Fixpunkte F30 furn = 30

Wert von F30 0 1 2 3 4Wahrscheinlichkeit 0,37 0,37 0,18 0,06 0,02

E (Fn) = 1 unabhangig von n.

Literatur: Arthur Engel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Band I, Stuttgart: Klett, 1973.

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Kernzerfall (Klasse 9/10)Sehr einfaches Modell: radiaoaktives Praparat

Atom kann zwei Energiezustande haben:angeregt (hohe Energie) oder Grundzustand (niedrige Energie)

Kern geht”spontan“ vom angeregten in einen Zustand

geringerer Energie uber (zerfallt).Zeitpunkt des Zerfalls ist zufallig und hangt nicht vom

”Lebensalter“ ab.

Das heißt, der Kern hat zu jedem Zeitpunkt dieselbeWahrscheinlichkeit, innerhalb der nachsten Minute zuzerfallen.

Kerne”handeln“ unabhangig voneinander

Halbwertzeit ist die Zeit, innerhalb der ein Kern mitWahrscheinlichkeit 0,5 zerfallt.

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Simulation des Verhaltens von 1000 Kernen uber mehrereHalbwertzeiten:

angeregt = 1, nicht angeregt = 0

in Excel: Zufallszahl() liefert zufalligen Punkt imIntervall [0, 1),2*Zufallszahl() liefert zufalligen Punkt im Intervall [0, 2),Ganzzahl(2*Zufallszahl()) liefert 0 oder 1 jeweils mitWahrscheinlichkeit 0,5.

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Simulieren39 / 45




Die Halbwertzeit T ist die Zeit, nach der im Mittel die Zahlder noch nicht zerfallenen Kerne jeweils auf die Halftereduziert ist.

N(t) – Anzahl der zum Zeitpunkt t noch nicht zerfallenenKerne

Modell Binomialverteilung

Erwartungswert ⇒ Zerfallsgesetz:

N(t) = N(0) exp(−λt)

Halbwertszeit T = ln 2λ , λ – Zerfallskonstante

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Quelle:Bigalke/Kohler: Mathematik 13.2, Cornelsen, 1997, S. 33

7 zufallige Schritte simulieren mit Wurfel, Munze, Taschenrechner

Annahme: mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach Norden bzw. Osten

Erfolgreiche Flucht gdw. 3 Schritte nach Norden und 4 nach Osten41 / 45




Lehrbuch: Beobachtete relative Haufigkeit der erfolgreichenFlucht bei 50 Simulationen (d.h. 50 mal 7 Schritte): 26%

Theoretische Wahrscheinlichkeit:(73

) (12

)7 ≈ 0, 27

Auffallige Nahe der beiden Werte. Ohne Kommentar imLehrbuch.

Bei n Versuchen ist mit Abweichungen der Großenordnung1√n, hier 1√

50≈ 0, 14 zu rechnen

Variation: Wenn ich mit Wahrscheinlichkeit p nach Ostengehe, was ist die wahrscheinlichste Position nach 7 Schritten?

Buch zu altem Rahmenplan. Die Aufgabe gehort in Klasse7/8 und nicht in Klasse 13.

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1√n-Gesetz


Zur Streuung der relativen Haufigkeiten:

Bei Simulationen ungefahre Vorstellung uber die Geschwindigkeitder Annaherung an den theoretischen Wert notwendig. Hilfreich:

1√n-Gesetz

Bei n unabhangigen Versuchen unterscheidet sich die relativeHaufigkeit hn(A) eines Ereignisses A von der WahrscheinlichkeitP(A) mit einer Sicherheit von mehr als 95% hochstens um 1√

n.

Beispiele:

n 20 100 200 400 8001√n

0,22 0,10 0,07 0,05 0,04

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1√n-Gesetz


Taschenrechner

RAN, (RAND, RND) liefert Zufallszahl aus [0,1) mit dreiNachkommastellen.

Deterministischer Algorithmus, Startzahl zufallig

Beispiel: RND liefert 0,837.Fasse das Ergebnis als 3 Zufallsziffern auf: 8 3 7.

Welche Eigenschaften erwarten wir von einem gutenZufallszahlengenerator?

Hat jede Ziffer dieselbe Wahrscheinlichkeit?Sind die aufeinanderfolgenden Ziffern voneinander unabhangig?

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1√n-Gesetz


Pokertest fur Zufallszahlengeneratoren

Betrachte Muster:

Muster verbal lauter gleiche zwei gleiche alle verschieden

Muster symbolisch aaa abb abc

Reprasentanten 111, 333 434,511 627, 935

Wahrscheinlichkeit 101000 = 0, 01 10·9·3

1000 = 0, 27 10·9·81000 = 0, 72

Zufallszahlen generieren und beobachtete rel. Haufigkeiten mit denModellwahrscheinlichkeiten vergleichen

Propadeutik des Testens.

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